МУ_КР_СМ_OK_30_08_2010

Н.М. Мальков, Л.В. Аветян
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Методические указания к выполнению курсовой
работы для специальностей 270102, 270104, 270114
ВЛАДИВОСТОК
2008
УДК 624.04
Авторы: Мальков Н.М., Аветян Л.В.
Строительная механика. Методические указания к выполнению курсовой
работе для специальностей 270102, 270104, 270114. / Владивосток: Изд-во
ДВГТУ, 2008. – 42; 24 илл.
Методические указания к выполнению курсовой работы по
строительной механике предназначены для студентов специальностей
270102, 270104, 270114.
СОДЕРЖАНИЕ
1. ЦЕЛЬ И СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ . . . . .
2
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1. Определение опорных реакций и усилий в шарнирах .
3
2.2. Построение эпюр внутренних усилий. . . . . . . . . .
9
2.3.Расчет шарнирно-консольных балок . . . . . . . . . .
20
2.4. Расчет неразрезных балок . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.5. Сравнение результатов расчета шарнирно-консольной и соответствующей ей неразрезной балок . . . .
38
2.5. Оформление курсовой работы . . . . . . . . . . . . . . .
38
Список литературы
40
Приложение. Выдержки из сортамента металлопроката
по ГОСТ 8239-89
41
1
1. ЦЕЛЬ И СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Курсовая работа по строительной механике выполняется в пятом
семестре. Название работы: «РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ ИЗ СТЕРЖНЕЙ И
ПОДБОР СЕЧЕНИЙ ДЛЯ ОТДЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ».
Цель работы: Закрепление навыков инженерного подхода к расчету
стержневых систем, изучение «азбуки» инженерных расчетов в
исследовании усилий рабочего состояния сооружений.
Курсовая работа состоит из двух частей.
Содержание работы
Часть 1. Нахождение реакций в связях и построение эпюр усилий в
простейших плоских стержневых сооружениях
1.1. Определение реактивных усилий в связях.
Для заданных восьми расчетных схем плоских статически
определимых стержневых систем необходимо определить опорные
реакции, разомкнуть контуры и найти реакции в отброшенных связях,
используя схему образования сооружений и типовые опорные схемы
расчета реакций.
1.2. Построение эпюр усилий в элементарных типовых схемах.
Для отмеченных преподавателем четырех схем построить эпюры
усилий (M, Q, N) и провести их статические проверки.
Часть 2. Расчет плоских стержневых сооружений
2.1. Расчет шарнирно-консольной балки и соответствующей ей
неразрезной балки.
Выполнить расчет заданной шарнирно-консольной балки на
постоянную нагрузку. Определить внутренние усилия от временной
нагрузки, приложенной в каждом пролете и на каждой консоли в
отдельности. Построить объемлющую эпюру изгибающих моментов в
балке.
Образовать из заданной шарнирно-консольной балки неразрезную
балку путем удаления шарниров, выполнить расчет на постоянную и
временную нагрузки, с помощью программы «FASTFRAME». Построить
объемлющую эпюру моментов.
2.2. Подобрать сечения соответствующих элементов двух балок из
прокатных профилей. Сравнить результаты расчетов двух вариантов
расчетной схемы балки по величинам внутренних усилий, характеру
распределения этих усилий и расходу материала.
2
Таблица 1
График выполнения работы
№ п/п
Содержание этапа выполнения работы
Неделя,
контроль
1
2
Выдача работы
Ч. 1. Нахождение реакций в связях и построение эпюр усилий в
простейших плоских стержневых сооружениях
Определение опорных реакций и усилий в шарнирах для
схем №1-3
Определение опорных реакций и усилий в шарнирах для
схем №4-6
Определение опорных реакций и усилий в шарнирах для
схем №7-8
Построение эпюр внутренних усилия для отмеченных
схем №1-2
Построение эпюр внутренних усилия для отмеченных
схем №3-4
Проверка правильности построения эпюр
Ч. 2. Расчет плоских стержневых сооружений
Построение поэтажной схемы шарнирно-консольной
балки
Расчет шарнирно-консольной балки на постоянную
нагрузку
Расчет шарнирно- консольной балки на временную
нагрузку
Построение объемлющей эпюры моментов для шарнирноконсольной балки
Расчет неразрезной балки на постоянную и временную
нагрузку с помощью программы «FastFrame»
Построение
объемлющей
эпюры
моментов
для
неразрезной балки
Подбор сечения элементов балок, сравнение результатов
расчета шарнирно-консольной балки и неразрезной балки.
Выводы по работе
Сдача работы
3
4
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5
6 - контроль
7
8
9 - контроль
10
11
12
13
14
15
16
17
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
2.1. Определение опорных реакций и усилий в шарнирах
При определении опорных реакций и усилий в шарнирах, составляя
уравнения статики полезно руководствоваться следующими принципами:
3
- необходимо стремиться к тому, чтобы в уравнение входило только
одно неизвестное и не входили бы ранее найденные неизвестные;
- в уравнение могут входить ранее найденные неизвестные, но они
должны быть проверены;
- если не удается составить уравнение с одним неизвестным,
необходимо составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
Эти принципы можно реализовать, если при нахождении опорных
реакций и усилий в шарнирах расчленять сооружение не на отдельные
элементы, а на группы или системы элементов, план расчета которых
хорошо известен. Можно выделить две системы элементов: систему А и
систему Б.
Система А: диск присоединен к земле или другой части сооружения
с помощью трех связей (рис.1).
а)
C
А
B
C
б)
А
1
1
B
Рис. 1. Система А, возможные варианты: тип 1 - общий случай
расположения трех связей, тип 2 –две связи параллельные.
4
План расчета системы А (тип 1): составляются три уравнения
моментов относительно точек пересечения линий действия неизвестных
усилий в связях (рис 2).
1
2
3
C
План расчета
Σ М1 = 0 → RA
Σ М2 = 0 → RB
Σ M3 = 0 → RC
RC
B
А
RB
RA
Рис. 2. План расчета системы А (тип 1)
План расчета системы А (тип 2): составляются два уравнения
моментов относительно точек пересечения линий действия параллельных
неизвестных и одно уравнение проекций сил на ось перпендикулярную к
линиям действия параллельных неизвестных усилий в связях (рис 3).
2
Y1
C
б)
1
RC
План расчета
Σ М1 = 0 → RC
Σ М2 = 0 → RB
Σ Y1 = 0 → RA
B
А
RA
RB
Рис. 3. План расчета системы А (тип 2)
5
Система Б: два диска соединены между собой шарниром и присоединены
к земле или другой части сооружения с помощью шарниров или
шарнирно-неподвижных опор (рис.4). Могут встретиться два случая
системы Б: тип 1 (рис. 4, а) с опорами в одном уровне и тип 2 (рис. 4, б) с
опорами в разных уровнях.
а)
С
В
А
б)
С
В
А
Рис. 4. Система Б, возможные варианты: тип 1 (а) - случай с
расположения опор в одном уровне, тип 2 (б) – расположение
опор в разных уровнях
План расчета системы Б (тип 1): вначале составляются два уравнения
моментов относительно опорных точек и находятся вертикальные
составляющие опорных реакций или усилий в шарнирах A и B с
проверкой правильности их нахождения, затем составляются уравнения
моментов относительно третьего шарнира С для левой и правой части
отдельно и находятся горизонтальные составляющие опорных реакций или
усилий в шарнирах A и B, правильность нахождения которых также
проверяется (рис. 5). Усилия в третьем шарнире находятся из
рассмотрения равновесия левого (AС) или правого диска (ВС), в качестве
уравнений равновесия используются уравнения проекций сил на
вертикальную и горизонтальную оси (рис. 6).
6
План расчета системы Б (тип 2): вначале составляются два уравнения
моментов относительно опорной точки B и третьего шарнира С для левой
части и, решением системы двух уравнений, находятся вертикальная и
План расчета
Σ МA = 0 → VB
Σ МB = 0 → VB
Проверка:
ΣY=0
С
Σ МлС = 0 → НА
Σ МпС = 0 → НB
HA
Проверка:
ΣX=0
В
А
VA
VB
HB
Рис. 5. План расчета системы Б (тип 1)
С
HC
С
План расчета для АС
Σ Y = 0 → VC
Σ X = 0 → HC
VC
План расчета для BС
Σ Y = 0 → VC
Σ X = 0 → HC
В
А
HA
VA
VB
HB
Рис. 6. План нахождения усилий в шарнире С
горизонтальная составляющие опорной реакции или усилия в шарнире A.
Затем составляются уравнения моментов относительно опорной точки А и
третьего шарнира С для правой части, решением полученной системы
двух уравнений находятся вертикальная и горизонтальная составляющие
опорной реакции или усилия в шарнире B. Правильность нахождения
составляющих опорных реакций проверяется составлением уравнений
проекций на координатные оси (рис. 7). Усилия в третьем шарнире С
находятся аналогично расчету системы Б (тип 1): из рассмотрения
7
равновесия левого (AС) или правого диска (ВС), в качестве уравнений
равновесия используются уравнения проекций сил на вертикальную и
горизонтальную оси (см. рис. 6).
План расчета
С
В
HA
А
VB
VA
Σ МB = 0
Σ МлС = 0
VА
НА
Σ МB = 0
Σ МпС = 0
VВ
НВ
Проверка:
ΣX=0
Σ Y= 0
HB
Рис. 7. План расчета системы Б (тип 2)
При расчете сложных сооружений необходимо научиться находить в
сложных системах простые системы ( А и Б ) и разбивать по шарнирам
именно так, чтобы получить рассмотренные простые системы, расчет
которых хорошо известен. Пример расчленения сложной системы на
простые показан на рис. 8. На рис 8 а) приведено сооружение, на рис 8 б) –
8 г) показаны системы дисков, которые можно выделить в этом
сооружении.
а)
Система А б)
q
E
с
C
с
а
а
а
а
Система А
D
А
B
в)
Система Б
E
E
C
D
А
HA
C
А
B
VA
D
VВ
HA
B
VA
VВ
Рис. 8. Расчленение сооружения на простые системы
8
г)
Для нахождения реакций опор и усилий в шарнирах сооружения,
расчетная схема которого дана на рис. 8 а), замечаем, что все сооружение
представляет собой систему А (тип 2), это показано на рис 8 б). Поэтому
отбрасываем опорные связи и заменяем их реакциями – рис 8 в).
Применяем план расчета системы А (тип 2): Σ MB = 0
VA ;
Σ MA = 0
VB;
Σ X= 0
HA Σ Y; = 0 – проверка. Рассматривая
сооружение на рис. 8 в), замечаем, что в нем можно выделить систему Б
(см. рис. 8г) с опорами в одном уровне (тип 1). Расчленяя сооружение по
шарнирам С и D, применяем план расчета системы Б (тип 1) (см. рис. 9).
Усилия в шарнире E найдем , рассматривая равновесие элемента ED.
Система Б
E
HС
C
VС
D
HD
VD
План расчета
Σ МD = 0 → VC
Σ МC = 0 → VD
Проверка:
Σ Y = 0 → VC ,VD
Σ МлE = 0 → НC
Σ МпE = 0 → НD
Проверка:
Σ X = 0 → HC ,HD
Рис. 9. Определение усилий в шарнирах C и D
2.2. Построение эпюр внутренних усилий
Эпюры внутренних усилий следует строить в следующем порядке:
первой строится эпюра изгибающих моментов (М), причем эпюра М
строится в соответствии с определением изгибающего момента1. Эпюра М
вначале строится на отдельных элементах, а затем эпюры на отдельных
элементах соединяются в общую эпюру.
Построение эпюры М. Перед началом построения эпюры М следует
убедиться, в том, что элемент, под действием всех приложенных к нему
сил, находится в равновесии. При построении эпюры М удобно
руководствоваться следующими правилами:
- на каждом из элементов необходимо выделить участки эпюры
моментов, в пределах которых закон изменения эпюры будет единым;
- в пределах каждого участка необходимо обозначить цифрами или
буквами характерные сечения, в которых необходимо подсчитать
ординаты эпюры моментов (по правилам соответствия эпюры моментов
Изгибающим моментом (M) в каком либо сечении стержня называется внутреннее
усилие, численно равное алгебраической сумме статических моментов всех сил, взятых
по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести этого сечения.
1
9
внешней нагрузке на участке стержня, свободном от нагрузки таких
сечений должно быть два – начало и конец стержня, а на участке с
распределенной нагрузкой сечений должно быть три – начало, середина и
конец участка);
- начинать построение эпюр следует со свободного конца стержня
и двигаться в узел;
- если на элементе больше одного узла, то в каждом из узлов
ординаты эпюры моментов следует подсчитывать со стороны каждого из
стержней, сходящихся в узле;
- после построения эпюры моментов на элементе необходимо
вырезать каждый из жестких узлов и проверить его равновесие по
моментам.
Ординаты эпюры моментов откладываются со стороны растянутых
волокон.
Пример построения эпюры моментов на отдельном элементе показан
на рис. 10 и 11.
a) Элемент CEB HE
E
HC =51,343
VE
VC = 5,507
q1=4 кН/м
кН
4
4
HB =43,914
q2=6 /м
HC
6п
3в
VB =49,636
HE =32,571
VE =19,143
C VC
1
6
3л
2
2
6н
3п
4
4
5
HB
б) Подсчет ординат эпюры моментов
q1=4 кН/м 6
B
B
VB
Участок С-2: МС = 0; М1 = VC ·3 – q2 ·3 ·1,5 = 5,507·3 - 6·3·1,5 =
-10,48 кН/м ;
М2 = VC ·3 – q2 ·6·3 = 5,507·6 - 6·6·3 = -74,96 кН/м ;
Участок 2-3: М2 = -74,96; М3л = VC ·10 – q2 ·6·7 = 5,507·10 - 6·6·7 = –196,93 кН/м ;
Участок Е-3: МЕ = 0; М4 = HЕ ·2 – VЕ ·1 – q2 ·2·1 = 32,571·2 – 19,143·1 – 4·2·1 = 38 кН/м ;
М3в = HЕ ·4 – VЕ ·2 – q2 ·4·2 = 32,571·4 – 19,143·2 - 4·4·2 = 60 кН/м ;
Участок 3-6: М3п = HВ ·6 - VВ ·4 – q1 ·6·3 = 43,914·6 - 49,636·4 – 4·6·3 = -136,94 кН/м ;
М6л = VC ·14 – q2 ·6·11 + HЕ ·4 – VЕ ·6 – q2 ·4·2 = 5,507·14 – 6·6·11 +
32,571·4 – 19,143·6 – 4·4·2 = –335,48 кН/м ;
Участок В-6: М5 = HВ ·3 + q2 ·3·1,5 = 43,914·3 + 4·3·1,5 = 149,74 кН/м ;
М6н = HВ ·6 + q2 ·6·3 = 43,914·6 + 4·6·3 = 335,48 кН/м .
Рис. 10. Подсчет ординат эпюры моментов для отдельного элемента
10
а) Определение растянутых волокон для построения эпюры моментов
участок С-1
участок С-2
Q
C
растягиваются
верхние волокна
участок Е-3
2
Q
C
растягиваются
верхние волокна
участок Е-3
E
HE
Q
C
1
участок 2-3
2
3
растягиваются
верхние волокна
участок В-5
E
участок В-5
6н
5
HE
4
4
5
HB
растягиваютсяыыы
левые волокна
B
3в
HB
растягиваются
правые волокна
B
б) Эпюра М (кН/м)
335,48
196,93
74,96
38
10,48
335,48
60
136,94
149,74
в) Проверка равновесия узлов
60
335,48
6
196,93
Узел 6 находится 335,48
в равновесии
136,94
3
Узел 3 находится
в равновесии
Рис.11. Построение эпюры М на отдельном элементе
11
Для определения растянутых волокон на стержне необходимо
поставить заделку в сечение, где определяются растянутые волокна, и
приложить к получившейся консольной балке любую силу, которая
создает момент того знака, который получился в результате подсчета
изгибающего момента в рассматриваемом сечении. Рекомендуется
выбирать ту силу, которая перпендикулярна к оси стержня, в этом случае
можно весьма просто построить изогнутую ось стержня. По изогнутой оси
легко определяются растянутые волокна, они находятся с выпуклой
стороны изогнутой оси. Как образуются упомянутые выше консольные
балки, а также формы изогнутых осей этих балок для сечений элемента
CBE показано на рис. 11 а).
Как проверяется равновесие узлов для построенной эпюры моментов
показано на рис. 11 в). Здесь же показано и правило нахождения
направления момента в рассматриваемом сечении: необходимо поставить
карандаш на эпюру моментов и обогнуть сечение по кратчайшему пути.
Направление движения карандаша и будет направлением изгибающего
момента в рассматриваемом сечении.
После проверки равновесия узлов на эпюрах элемента, необходимо
еще проверить соответствие построенной эпюры моментов внешней
нагрузки. Напомним правила соответствия эпюры М внешней нагрузке:
- на участках, свободных от нагрузки, эпюра М представляет собой
прямую линию;
- на участках с распределенной нагрузкой эпюра М - кривая линия,
обращенная выпуклостью в сторону действия нагрузки;
- в сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре М
наблюдается излом, направленные в сторону действия силы;
- в сечении, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре М
наблюдается скачок на величину этого момента.
Эпюра моментов, построенная на рис.11 для элемента CBE
удовлетворяет первым двум правилам соответствия внешней нагрузке.
Построив эпюру моментов для всех отдельных элементов
сооружения, можно получить общую эпюру моментов для всего
сооружения в целом. Пример эпюры моментов, построенной для заданного
сооружения, представлен на рис. 12.
Построение эпюры Q. Эпюру поперечных сил можно строить
двумя способами:
- в соответствии с определением поперечной силы2;
- по ранее построенной эпюре М.
2
Поперечной силой (Q) в каком-либо сечении стержня называется внутреннее усилие,
численно равное алгебраической сумме проекций всех сил, взятых по одну сторону от
сечения на ось, нормальную к оси стержня в рассматриваемом сечении.
12
Эпюра Q имеет знаки. Правило знаков для поперечной силы:
поперечная сила в рассматриваемом сечении имеет знак “плюс”, если
вектор Q, приложенный в сечении вращает отсеченную часть стержня по
часовой стрелке (рис. 13а) и знак “минус”, если вектор Q вращает
отсеченную часть стержня против часовой стрелке (рис. 13б).
а)
М=80кНм
8
Р=80кН
2
4
G
E
q1=4 кН/м
q2=6 кН/м
М=60кНм
6
3
2
D
7
2
C
q1=4 кН/м
Р=11кН
4
B
A
4
4
6
1 1
2
4
134
б)
80
80
54
М
25
196,93
106,67
335,48
74,96
82,03
40,02
22,03
10,48
38
60
335,48
136,94
149,74
Рис. 12. Расчетная схема рамы (а) и эпюра моментов (б)
13
а)
Знак «+»
б)
Q
Q
Знак «-»
Q
Q
Рис. 13. Правило знаков для поперечной силы Q
Построение эпюры Q «по определению» выполняется так же, как и
эпюра M для отдельных элементов. При этом для рассматриваемого
участка эпюры Q , проводится сечение и выбирается какая-либо часть
элемента. В рассматриваемом сечении прикладывается поперечная сила,
далее составляется уравнение равновесия для отсеченной части и из этого
уравнения находится величина и направление вектора Q и в соответствии с
правилом знаков для поперечной силы (рис. 13) определяется ее знак. На
рис. 14 показано как это делается для элемента CEB в сечении 2 участка
C-2. Этот способ более трудоемкий по сравнению со вторым «по ранее
построенной эпюре М».
б)
а)
q2=6 кН/м
Q2
ΣY=0; VC - q·6 – Q = 0
HC
Q2 = VC - q·6 = 5,507 - 6·6 = -30,493кН,
1
2
C VC
направление Q2 меняем на противо6
положное, знак поперечной силы «-»
Рис. 14. Нахождение поперечной силы Q (на рис. а) показано
истинное направление силы, определенное из решения уравнения
равновесия по б), а также установлен знак поперечной силы)
Способ построения эпюры Q по эпюре М основывается на
dM
дифференциальной зависимости Журавского: Q =
. Благодаря этой
ds
зависимости можно вычислить величину и знак поперечной силы.
Величина находится в соответствии со смыслом первой производной – это
есть тангенс угла между касательной к эпюре М и осью стержня. Если
эпюра М представляет собой прямую, то касательная к прямой линии
совпадает с самой прямой, поэтому на прямолинейных участках эпюры М
величину поперечной силы находим по тангенсу угла наклона линии
моментов к оси стержня (см. рис. 15). Причем, если концевые ординаты
прямой расположены с одной стороны стержня, то величина Q равна
частному от деления разности концевых ординат на длину участка
прямолинейной эпюры моментов. Если же концевые ординаты прямой
расположены по разные стороны стержня, то величина Q равна частному
14
от деления суммы концевых ординат на длину участка прямолинейной
эпюры моментов.
а)
M1
1
Q = tgα =
б)
α
M1
M2
l
2
M1 − M2
l
1
Q = tgα =
α
l
M2
2
M1 + M2
l
Рис. 15. Нахождение величины поперечной силы Q (на рис. а)
показан вариант, когда ординаты эпюры моментов находятся по
одну сторону от оси стержня; на рис. б) вариант, когда ординаты
эпюры моментов находятся по разные стороны от оси стержня)
Используя зависимость Журавского можно определить и знак
поперечной силы: если задаться положительным направлением оси
стержня (положительным «направлением обхода»), при этом ds > 0 и тогда
знак поперечной силы будет определяться знаком dM (если dM > 0, то Q >
0, если dM < 0, то Q < 0). Поскольку на эпюре M знаки не ставятся, то
необходимо ими задаться. Определить когда эпюра M возрастает, а когда
убывает можно с помощью правила «пунктира»: задаемся
положительным направлением обхода и, двигаясь по оси стержня в
положительном
направлении,
пунктиром
справа
отмечаем
положительные ординаты эпюры M, если при этом ординаты эпюры
возрастают, то знак поперечной силы «плюс», если ординаты
убывают, знак Q «минус». Возрастание и убывание следует определять в
алгебраическом смысле, а не по модулю значения ординаты эпюры M.
Правило «пунктира» приведено на рис. 16.
б)
а)
Ординаты эпюры М возрастают, следовательно знак поперечной силы «плюс»
Ординаты эпюры М убывают, следовательно знак поперечной силы «минус»
Рис. 16. Определение знака поперечной силы Q по эпюре моментов М
для прямолинейных участков (на рисунке стрелка на пунктирной
линии указывает положительное направление обхода)
15
На участках, где эпюра моментов – кривая линия (участок загружен
распределенной нагрузкой), тангенс угла наклона касательной к кривой в
каждом сечении стержня разный, поэтому величину поперечной силы
можно найти, если вспомнить, что в случае загружения участка
равномерно распределенной нагрузкой, эпюра Q на этом участке
представляет собой прямую линию. Чтобы построить график прямой
линии, достаточно знать две ординаты этой прямой, например, в начале и в
конце участка. Поэтому на участках, загруженных распределенной
нагрузкой, вырезают участок, прикладывают к нему все действующие на
него силы (внешнюю нагрузку и внутренние усилия в сечениях M и Q) и
составляют уравнения равновесия – сумму моментов относительно одного
и другого концов участка. Из уравнений равновесия находят значения и
направления векторов Q и по направлению вектора Q в соответствии с
правилом знака (см. рис. 13), определяют знак поперечной силы в
рассматриваемом сечении. На рис. 17 показано как это делается.
б)
а)
C
q2=6
QC
кН
6
/м
2
M2
Q2
ΣMс=0; Q2 - q·6·3 – M2 = 0
Q2 = M2 + q·6·3 = (74,96 + 6·6·3) / 6 =
=30,49кН, направление Q2 верное, знак
поперечной силы «минус»;
ΣM2=0; QС - q·6·3 +M2 = 0
Q2 = M2 - q·6·3 = (74,96 - 6·6·3) / 6 =
=-5,51кН, направление Q2 меняем на
противоположное, знак поперечной
силы «минус».
Рис. 17. Нахождение поперечной силы Q на участке с распределенной нагрузкой (а) – схема вырезанного участка, с действующими
силами; б) – нахождение величины, направления и знака Q)
Эпюру Q строят по общей эпюре M, рассматривая отдельные
участки и определяя величину и знаки поперечной силы. Пример
построения эпюры Q приведен на рис 18. После построения эпюры Q,
необходимо проверить ее соответствие внешней нагрузке.
Построение эпюры N. Эпюру поперечных сил можно строить
двумя способами:
- в соответствии с определением продольной силы3;
- по ранее построенной эпюре Q.
3
Продольной силой (N) в каком-либо сечении стержня называется внутреннее усилие,
численно равное алгебраической сумме проекций всех сил, взятых по одну сторону от
сечения на ось, касательную к оси стержня в рассматриваемом сечении.
16
Эпюра N имеет знаки. Правило знаков для продольной силы:
продольная сила в рассматриваемом сечении имеет знак “плюс”, если
вектор N, приложенный в сечении растягивает отсеченную часть стержня
(рис. 19а) и знак “минус”, если вектор N сжимает отсеченную часть
стержня (рис. 19б).
a)
19,14
27,73
44,37
22,19
·
Q
5,51
6,26
67,91
17,48
30,49
49,64
8,33
43,91
б)
Участок А-7: Q = 30,93/4,807=6,43 кН (эпюра моментов убывает, знак Q «минус»);
участок 7-D: Q = 82,03-30,93/2,404= 21,26 кН (эпюра
моментов убывает, знак Q «минус»);
30,93
7
82,03
D
30,93
A
8
7
M8
Q8
q1=4 кН/м
6,708
Q3
3
участок 3-8: ΣM3=0;
Q8 · 6,708 - q · 6 · 3 – M8 – M3 = 0;
Q8 = (4·6·3 + 54 + 60) / 6,708 = 27,73 кН
знак поперечной силы «плюс»;
ΣM8=0;
Q3 · 6,708 - q · 6 · 3 + M8 + M3 = 0;
Q3 = (4·6·3 - 54 - 60) / 6,708 = - 6,26 кН
направление поперечной силы меняем на
противоположное, знак поперечной силы
«плюс».
M3
Рис. 18. Эпюра поперечных сил (а) и примеры определения ординат
эпюры Q на отдельных участках (б)
17
а)
б)
N
N
Знак «+»
Знак «-»
N
N
Рис. 19. Правило знаков для продольной силы N
Построение эпюры N «по определению» выполняется так же, как и
эпюра M для отдельных элементов. При этом для рассматриваемого
участка эпюры N , проводится сечение и выбирается какая-либо часть
элемента. В рассматриваемом сечении прикладывается продольная сила,
далее составляется уравнение равновесия для отсеченной части и из этого
уравнения находится величина и направление вектора N и в соответствии с
правилом знаков для продольной силы (рис. 20) определяется ее знак. На
рис. 20 показано как это делается для элемента CEB на участке 3-6 (см.
рис. 12). Этот способ более трудоемкий по сравнению со вторым «по ранее
построенной эпюре Q».
а) N
б)
3-6
6
6
Q3-6
q1=4 кН/м
B
HB=43,91
ΣX = 0;
N3-6 – HB – q · 6 = 0;
N3-6 = HB + q · 6 = 43,91 + 4 · 6 = 67,91 кН,
продольная сила N3-6 сжимает стержень,
следовательно знак N3-6 - «минус»
VB=49,64
Рис. 20. Нахождение продольной силы N на участке 3-6 (а) – схема
вырезанной части элемента CBE, с действующими на нее силами;
б) – нахождение величины, направления и знака N)
По эпюре поперечных сил можно построить эпюру продольных сил,
используя способ «вырезания узлов». Порядок построения эпюры N
следующий: вначале вырезается тот узел (те узлы), где сходятся два
стержня. Затем последовательно вырезаются узлы, в которых сходятся не
более двух стержней, в которых продольные силы неизвестны. Пример
построения эпюры продольных сил представлен на рис. 21. Если стержни в
узле соединяются под прямым углом, значение и направление продольной
силы определяется просто (см. рис. 21, узел 6). Если же стержни
соединяются не под прямым углом, то необходимо составлять уравнения
проекций на оси, перпендикулярные осям стержней в которых продольные
силы неизвестны (см. рис. 21, узел 3).
18
40,56
35,26
6,58
37,80
N
5,51
24,54
4,74
49,64
10,84
51,34
67,91
43,91
Рис. 21. Эпюра продольных сил
Узел 6
Q6л=49,64
N6л=67,91
знак продольных сил
N6л и N6н - «минус» –
сжатие
Узел G
Узел 3
N3в
6
н
Q6 =67,91
Q3в=6,26
N3
N6н=49,64
Y1
л
α
л
Q3 =30,49
Q3п=49,64
N3п=67,91
ΣY = 0;
Q3п - Q3л –N3в·sinα + Q3в·cosα = 0;
N3в=(Q3п - Q3л + Q3в·cosα)/ sinα=
п
Y2
NG
=(49,64 - 30,49 + 6,26·0,4472)/0,8944=
β
н
=24,54; знак продольной силы QG =44,37
NGн
«минус»;
ΣY1 = 0;
ΣY = 0;
Q3в-N3п·sinα+(Q3п- Q3л)·cosα+N3л·sinα= 0;
п
н
н
QG - QG · sinβ + NG ·cosβ = 0
N3л=(N3п·sinα -Q3в-(Q3п - Q3л)·cosα)/sinα=
н
п
н
NG = (-QG +QG · sinβ / cosβ = (-19,14 + 44,37· =(67,91·0,8944-6,26-(49,64-30,49)·0,4472)
· 0,5547) / 0,8321 = 6,58 кН, знак NGн «минус» ; /0,8944 = 51,34; знак продольной силы ΣY2 = 0;
«минус»
-QGн + QGп · sinβ + NGп · cosβ = 0;
NGп = (QGн - QGп ·sinβ) / cosβ = (44,37 - 19,14·
0,5547) / 0,8321 = 40,56 , знак NGп «минус»
QGп=19,14
Рис. 22. Примеры определения ординат эпюры N на отдельных участках
(б) (индексы н,в,л,п означают ориентацию сечения относительно узла –
нижнее, верхнее, левое, правое)
19
После построения всех эпюр и проверки их по соответствию
внешней нагрузке, необходимо еще выполнить статическую проверку
правильности построения всех эпюр. Для этого необходимо вырезать
двумя сечениями часть сооружения (желательно без опор), приложить в
сечениях внутренние усилия, взяв их с построенных эпюр и составить для
рассматриваемой части три уравнения равновесия: два уравнения
проекций сил на координатные оси и уравнение моментов сил
относительно какой-либо точки. Пример такой проверки приведен на рис.
23.
а)
G
8
М=80кНм
Р=80кН
2
Qk=22,19
2
Nk=37,8
k
8/3
Mk=53,34
б)
q1=4 кН/м
E
7
n
2
Qn=13,42
Mn=38
Nn=28,11
ΣY=0;
-Nk·cosβ + Nn·sinα - Qn·cosα + Qk·sinβ = - 37,8·0,8321 + 28,11·0,8944 - 13,42·0,4472+
+ 22,19·0,5547 = 0;
ΣX=0;
-Nk·sinβ - Nn·cosα - Qn·sinα + Qk·cosβ – q·4 + P = - 37,8·0,5547 - 28,11·0,4472 - 13,42·
·0,8944 - 22,19·0,8321 – 16 + 80 = 0;
ΣMn=0;
- Nn·sinα·11,667 + Qn·cosα ·11,667 - Mn + Mk – q·4·2 + P·2 +M = - 28,11·0,8944 ·11,667
+ 13,42·0,4472 ·11,667 - 38 +53,34 - 4·4·2 + 80·2 + 80 = 0;
Рис. 23. Отсеченная часть с рамы действующими на нее силами (а) и
уравнения равновесия для нее (б)
2.3. Расчет шарнирно-консольных балок
Сформулируем
определение
шарнирно-консольной
балки:
шарнирно-консольной балкой называется статически определимое
стержневое сооружение, составленное из прямолинейных стержней,
расположенных на одной линии, соединенных между собой шарнирами
и прикрепленных к земле или другому сооружению с помощью
шарнирных и защемляющих опор. Примеры шарнирно-консольных балок
приведены на рис. 24.
Прежде, чем приступать к расчету шарнирно-консольных балок,
необходимо проверить, являются ли они статически определимыми и
20
геометрически неизменяемыми. Степень статической неопределимости
можно подсчитать по формуле:
C н = 2 ⋅ Ш + Соп − 3 ⋅ Д ,
(1)
где: Сн – степень статической неопределимости;
Ш – количество шарниров (с учетом их кратности);
Соп – количество опорных стержней (связей);
Д – количество дисков (стержней) системы.
a)
B
A
D
C
l1
E
G
H
aп
l3
l2
б)
l2
l1
l3
l4
в)
ал
l1
l2
l3
l4
l5
aп
Рис. 24. Примеры шарнирно-консольных балок
Степень свободы системы подсчитывается по похожей формуле:
W = 3 ⋅ Д − 2 ⋅ Ш − Соп ,
(2)
где: W– степень свободы системы; остальные составляющие такие же, как
и в формуле (1) для подсчета степени статической неопределимости. Если
W=0, то еще необходимо доказать, что система геометрически
неизменяема. Это можно сделать, например, с помощью правил
образования жестких дисков (см. п. 9.3.1 [1], §1.2 [2]).
Покажем, как пользоваться формулами на примере балки, изображенной на рис. 24 а). Здесь шарниров Ш=3, опорных связей Соп=6, дисков
Д=4, подсчет по формуле (1): Сн = 2 · 3 + 6 – 3 · 4 = 0 – система статически
определима. Подсчет по формуле (2) дает такой же результат, поскольку
W= - Сн = 0. Проанализируем геометрическую структуру балки: Диск AB
является геометрически неизменяемым, поскольку он присоединен к земле
с помощью трех стержней (опорных связей) оси которых не пересекаются
в одной точке и не параллельны. Диск BCD присоединен к неизменяемой
системе AB с помощью шарнира B и стержня (опорного) C, ось которого
не проходит через шарнир B, следовательно, система ABCD является
геометрически неизменяемой. К неизменяемой системе ABCD аналогично
21
присоединяется диск DEG. К полученной неизменяемой системе ABCDEG
аналогично присоединяется диск GH, следовательно, вся балка
геометрически неизменяема.
Расчет шарнирно-консольных балок весьма прост, если выбрать
хороший план расчета. Для этого необходимо построить поэтажную (или
этажную) схему. Поэтажная схема строится снизу вверх, начиная с
главных (основных) элементов. Главными элементами называются
такие элементы, которые имеют две опоры на земле или
защемляющую
опору.
Остальные
элементы
можно
назвать
второстепенными, они могут иметь одну опору на земле или вовсе не
иметь опор на земле. Процесс полстроения следующий: находим основные
элементы и располагаем их внизу, затем опираем на них и на землю
второстепенные элементы и выстраиваем «этаж» выше нижнего. Главное –
необходимо следить, чтобы очередной элемент имел бы две опоры. Если
встречается элемент, который имеет одну опору на этаже ниже, а вторую
опору нельзя опереть ни на что надежное, то необходимо начать
построение с другого конца (или участка) балки, это всегда возможно.
Построение поэтажной схемы покажем на примере рассмотренной
выше балки (рис. 25 а). Здесь имеем один главный элемент – AB,
располагаем его внизу, далее элемент BCD имеет одну опору на главном
элементе, а другую – на земле. На элемент BCD и на землю опирается
элемент DEG. И наконец, на элемент DEG и землю опирается элемент GH.
Расчет производится в порядке, обратном построению поэтажной схемы, а
именно, сверху вниз. Вначале рассчитываются верхние элементы, затем
элементы, расположенные ниже этажом и так далее до самых нижних
(основных) элементов. Последовательность расчета указывается на
поэтажной схеме римскими цифрами. Поэтажная схема и соответственно
последовательность расчета показана на рис. 25б.
a)
B
A
C
l1
D
E
G
II
B
III
C
D
H
E
A
Рис. 25. Пример построения поэтажной схемы
22
aп
l3
l2
б)
IV
G
I
H
Покажем расчет шарнирно-консольной балки на примере балки,
изображенной на рис. 26а. На балку действует постоянная нагрузка,
показанная на рисунке и временная линейная равномерно-распределенная
нагрузка интенсивностью r = 5 кН/м. Наметим сразу сечения, в которых
необходимо подсчитать ординаты эпюры М (не менее пяти сечений в
пролете однопролетных балок, включая опорные и одно-два сечения на
консоли). Промежуточные сечения указаны на рис 26а.
а) Расчетная схема
q2=4
2
A
1
6
кН
C
3 B 4 5
4
6
/м
8
D
2
7
6
q1=6 кН/м
P1=30кН
P2=10кН
кН
q1=6 кН/м q2=4 /м
M
G
E
10
3
11
8
12 H
314 K 4 17 18 6
б) Поэтажная схема
A
II
B
I
I
C
D
III
G
K
II
H
20
M
II
N
N
E
Рис. 25.
26. Загружение постоянной нагрузкой и поэтажная схема балки
В соответствии с порядком расчета, указанном на рис. 26б, начинаем
расчет с элементов BC и KM. Нахождение усилий в шарнирах и
построение эпюры М для этих элементов показано на рис. 27а и 27б.
Следует отменить, что поскольку горизонтальная нагрузка на балку не
действует, то горизонтальная составляющая реакции опоры А равна нулю,
а отсюда и все горизонтальные усилия в шарнирах также равны нулю,
поэтому находим только вертикальные усилия в шарнирах. Построив
эпюры М в элементах BC и KM рассчитываем элементы AB, GHK и MN.
Определение вертикального усилия в шарнире G и опорной реакции
H показано на рис. 27в, там же построена эпюра моментов для элемента
GHK. Построение эпюр моментов на элементах AB и MN, а также расчет и
построение эпюры моментов для элемента CDEG показано на рис 28.
Отметим, что опорные реакции в элементах AB и MN можно не находить
потому, что эпюру М в консольных балках можно построить направляясь с
конца балки к заделке.
Общую эпюру моментов можно построить, если отложить от общей оси
все ранее построенные эпюры М на отдельных элементах. Общая эпюра М
представлена на рис. 29а). По общей эпюре моментов строится эпюра Q
(см. рис. 29б и рис. 30).
Рассмотренный выше расчет шарнирно-консольной балка является
расчетом на постоянную нагрузку, то есть такую нагрузку, которая не
23
меняет своего места положения за весь период эксплуатации балки. Но на
балку может действовать и нагрузка, которая может находиться в любом
месте балки и на любом ее участке, такую нагрузку называют временной.
a)
б)
кН
q2=4 /м
q2=4 кН/м
B
4
VB
4
5
K
C
6
VC
11
VK
4
12
13
M
VM
ΣMC = 0;
ΣMK = 0;
VB · 4 – q2 · 2 · 3 = 0 ; VB = 4·2·3 / 4 = 6 кН; VK · 4 – q2 · 4 ·2 = 0 ; VK = 4·4·2 / 4 = 8 кН;
ΣMB = 0;
ΣMM = 0;
VC · 4 – q2 · 2 · 1 = 0 ; VC = 4·2·1 / 4 = 2 кН; VM · 4 – q2 · 4 · 2 = 0 ; VM = 4·4·2 / 4 = 8 кН;
Проверка : ΣY = 0;
Проверка : ΣY = 0;
VC + VB - q2 ·2 = 6 + 2 – 8 = 0.
VM + VK - q2 ·4 = 8 + 8 – 16 = 0.
Подсчет ординат эпюры M
M4= VB ·1 – q ·1 ·0,5 = 6·1 - 4·1· 0,5= 4 кНм
M5 = VС ·2 = 2·1 = 4 кНм ; M6 = 0,5 · M5 =
2 кНм ; во всех рассмотренных сечениях
растягиваются нижние волокна
Подсчет ординат эпюры M
M11= VK ·1 – q2 ·1 ·0,5 = 8·1- 4·1·0,5= 6 кНм
M12 = VK ·2–q2 ·2 ·1 = 8·2 - 4·2· 1= 8 кНм ;
M13 = M11= 6 кНм; во всех рассмотренных
сечениях растягиваются нижние волокна
M
4
2
4
в)
P1=30кН
G
7
q1=6 кН/м
8
9
8
VG
H
10
VH 3
K
VK
ΣMG = 0; VH ·8 – q1 ·3 ·9,5 – P1· 4 - VK ·11 = 0 ; VH = (6·3·9,5+ 30·4+8·11)/ 8 = 47,38 кН;
ΣMH = 0; VG ·8 + q1 ·3 ·1,5 - P1· 4 + VK ·3 = 0 ; VG = (30·4 - 6·3·1,5 + 8·3)/ 8 = 8,62 кН;
Проверка : ΣY = 0; VH + VB - q1 ·3 - P1 – VK = 47,38 + 8,62 - 6·3 – 30 – 8 = 0.
Подсчет ординат эпюры M: M8 =VG ·4= 8,62·4=34,48 кНм; M7 =0,5·M8=17,24 кНм;
M9=VG ·6 –P1·2= 8,62·6-30·2= -8,28 кНм. MH=-VK ·3 -q1 ·3 ·1,5= -8·3-6·3·1,5 =-51, кНм;
M10= -VK ·1,5 - q1 ·1,5 ·0,75 = -8·1,5 - 6·1,5·0,75 = -18,75 кНм. В сечениях 7-8 растягиваются нижние волокна, в сечениях 9,10 и Н растягиваются верхние волокна.
51
M
17,24
18,75
34,48
8,28
Рис. 27. Расчет и построение эпюры моментов
для элементов BC (а), KM (б) и GHK (в)
24
q2=4кН
a)
VB=6кН
A
1
2
6
б)
VM=8кН
M
B
3
P2=10кН
19
18
M
C
q1=6кН
7
6
8
51
78
VG =8,62кН
G
D
2
N
24
12
VC =2кН
20
Подсчет ординат эпюры M
M18 = VM ·1,5 = 8·1,5= 12 кНм; M19 = VM ·3
= 8·3 = 24 кНм;
M20 = VM ·4,5 + P2 ·1,5 = 8·4,5+10·1,5 = 51
кНм;
M20 = VM ·6 + P2 ·3 = 8·6 + 10·3 = 78 кНм;
во всех рассмотренных сечениях растягиваются верхние волокна
Подсчет ординат эпюры M
M3= VB ·1,5 + q ·1,5 ·0,75 = 6·1,5 + 4·1,5·
0,75 = 13,5 кНм;
M2 =VB ·3 + q ·3 ·1,5 = 6·3+4·3·1,5=36 кНм;
M1=VB ·4,5 + q ·3 ·3 = 6·4,5+4·3·3=63 кНм;
MА=VB ·6 + q ·3 ·4,5 = 6·6+4·3·4,5=90 кНм;
во всех рассмотренных сечениях растягиваются верхние волокна
в)
6
9E
3
10
VD
VE
ΣMD = 0; VE ·6 – q1 ·6 ·6 – VG · 9 + VC ·2 = 0 ; VE = (6·6·6+ 8,62·9-2·2)/ 6 = 48,26 кН;
ΣME = 0; VD ·6 + VG · 3 - VC ·8 = 0 ; VD = (2·8 – 8,62·3)/ 8 = - 1,64 кН;
Проверка : ΣY = 0; VE - VD - q1 ·6 - VC – VG = 48,26 - 8,62 - 6·6 – 1,64 – 2 = 0.
Подсчет ординат эпюры M
MD = VС ·2 = 2·2 = 4 кНм; M7 = VС ·3,5 + VD ·1,5 = 2·3,5 + 1,64·1,5 = 9,46 кНм;
M8 = VС ·5 + VD ·3 = 2·5 + 1,64·3 = 14,92 кНм; M9 = VС ·6,5 + VD ·4,5 + q1 ·1,5 ·0,75 =
2·6,5 + 1,64·4,5 + 6·1,5·0,75 = 27,13 кНм; ME = VG ·3 + q ·3 ·1,5 = 8,62·3 + 6·3·1,5 =
= 52,86 кНм; во всех рассмотренных сечениях растягиваются верхние волокна
M
4
9,46
27,13
14,92
52,86
19,68
Рис. 28. Расчет и построение эпюры моментов
для элементов AB (а), MN (б) и CDEG (в)
Расчет на временную нагрузку имеет своей целью найти наихудшее
положение такой нагрузки в сочетании с постоянной нагрузкой, которое
вызывает наибольшие усилия в рассматриваемых сечениях балки. Для
определения наибольших усилий (расчетных усилий) строятся
специальные эпюры, называемые объемлющими. Объемлющей эпюрой
25
моментов называются две экстремальные эпюры, ограничивающие
область значений изгибающих моментов для всех сечений шарнирноконсольной балки, при всевозможных положениях временной нагрузки
на балке. Расчет на наихудшее положение временной нагрузки на балке и
построение объемлющей эпюры моментов выполняется различными
способами. Самым простым из этих способов является расчет на
последовательное загружение временной нагрузкой всех пролетов и
крайних консолей шарнирно-консольной балки по отдельности.
При расчете на временную нагрузку мы рассчитываем шарнирную
балку столько раз, сколько есть пролетов у балки и крайних консолей.
Порядок расчета балки на новое загружение ничем не отличается от
расчета на постоянную нагрузку, поскольку этот порядок определяется
поэтажной схемой балки. Полезно при каждом расчете на новое положение
временной нагрузки строить поэтажную схему балки и показывать на этой
схеме загружение временной нагрузкой. Поэтажная схема балки помогает
сразу увидеть в каких пределах балки будет эпюра моментов от
временного загружения.
На рис. 31 приведено загружение шарнирно-консольной балки (см.
рис. 26), временной равномерно-распределенной нагрузкой r = 5 кН/м в
первом пролете, порядок расчета и эпюра моментов от этого загружения.
Загружения других пролетов и эпюры моментов от этих загружений
приведены на рис. 32. Эпюры моментов от постоянной и временной
нагрузки являются исходными для построения объемлющей эпюры
моментов. Подсчет ординат объемлющей эпюры моментов приведен в
таблице 2. Ординаты объемлющей эпюры подсчитываются по формулам:
M max = M пост + ∑ M +i,врем ;
(3)
M min = M пост + ∑ M −i,врем
По объемлющей эпюре моментов (рис. 33) можно определить
расчетные моменты в каждом из рассмотренных сечений и подобрать
параметры поперечных сечений балки. Обычно для элемента балки
подбирают размеры поперечного сечения по наибольшему из расчетных
моментов этого элемента.
Определим расчетные моменты для каждого элемента балки:
элемент A – B : Mрасч = 240 кНм; элемент B – C : Mрасч = 14 кНм;
элемент C – G : Mрасч = 135,36 кНм; элемент G – K : Mрасч = 103,5 кНм;
элемент K – M : Mрасч = 18 кНм; элемент M – N : Mрасч = 228 кНм.
26
a)
M
52,86
90
78
51
63
36
13,5
4
4
4
9,46
27,13
14,92
19,68
51
18,75
8,28
17,24 34,48
12
2
6
24
8 6
б)
18
26,62
Q
18
26
8,62
2
8
3,64
8
21,64
21,38
Рис. 29. Эпюры моментов (М) и поперечных сил (Q) в шарнирно-консольной балке
от постоянной нагрузки
27
18
Подсчет ординат эпюры Q (см рис. 27).
Участок А-2: Q = (90-36)/3=18 кН, знак +; участок 5-9: Q = (4+4)
/4=2 кН, знак -; участок D-6: Q = (14,92-4)/3=3,64 кН, знак -; участок G-8:
Q = 34,48 /4= 8,62 кН, знак +; участок 8-H: Q = (34,48+51)/4= 21,38 кН,
знак -; участок 17-19: Q = 24/3= 8 кН, знак+ ; участок 19-N: Q = (78-24)/3=
18 кН, знак+;
Участок 2-5:
∑M5=0; Q2·5 – q2·5·2,5 – M2 – M5 = 0;
M5
Q2 = (36 + 4 + 4·5·2,5) / 5 =18 кН знак «плюс»;
∑M2=0; – Q5·5 + q2·5·2,5 – M2 – M5 = 0;
Q5 = (4·5·2,5 – 36 – 4) / 5 = 2 кН знак «минус».
q2
M2 2
Q2
B
5
Q5
Участок 8-E:
q1
M8
Q8
8
3
ME
QE
E
Участок E-G:
q1
ME E
G
3
QE
QG
Участок K-M:
q1
MH
H
QH
3
K
QK
∑M8 = 0; QE·3 – q1·3·1,5 + M8 – ME = 0;
QE = (6·3·1,5 – 14,92 + 52,86)/3 = 21,64 кН;
∑ME = 0; Q8·3 + q2·3·1,5 + M8 – ME = 0;
Q8 = (52,86 – 6·3·1,5 – 14,92) / 3 = 3,64 кН;
знак поперечных сил «минус».
∑MG = 0; QE·3 – q1·3·1,5 – ME = 0;
QE = (6·3·1,5 + 52,86)/3 = 26,62 кН;
∑ME = 0; QG·3 + q2·3·1,5 – ME = 0;
QG = (52,86 – 6·3·1,5) / 3 = 8,62 кН;
знак поперечных сил «плюс».
∑MK = 0; QH·3 – q1·3·1,5 – MH = 0;
QH = (6·3·1,5 + 51)/3 = 26 кН;
∑MH = 0; QG·3 + q1·3·1,5 – ME = 0;
QG = (51 – 6·3·1,5) / 3 = 8 кН;
знак поперечных сил «плюс».
Участок K-M:
q2
K
QK
4
M
QM
∑MK=0; QM·4 – q2·4·2 = 0;
QM = 4·4·2 / 4 = 8 кН, знак «минус»;
∑MM=0; – QK·5 + q2·4·2 = 0;
Q5 = 4·4·2 / 4 = 8 кН, знак «плюс».
Рис. 30. Подсчет ординат эпюры поперечных сил
28
a)
r =5 кН/м
D
B
A
r =5
кН
/м
4 5 6
VB
M
E
H
G
C
K
∑MB=0; VC·4 - r·4·2 = 0; VC =5·4·2/4=10 кН;
∑MC=0; VB·4 - r·4·2 = 0; VB =5·4·2/4=10 кН;
VC M5 = r·42/8 = 5·42/8 =10 кНм;
M4 = M6 = 0,75· Mmax = 0,75·10 = 7,5 кНм.
M
VK
N
VM
VK = VM = 0
7,5 10 7,5
1
150
2
M3 = r·1,5·0,75 +VB·1,5 = 5·1,5·0,75+10·1,5 =20,63 кНм;
M2 = r·3·1,5 + VB·3 = 5·3·1,5+10·3 = 52,5 кНм;
M1 = r·4,5·2,25 +VB·4,5 = 5·4,5·2,25+10·4,5 =95,63 кНм;
MA = r·6·3 + VB·6 = 5·6·3+10·6 = 150 кНм.
3
VB
M
95,63
30
52,5
22,5
20,63
150
M
15
7,5
VB
б)
VG VG = VH = 0
C
D
VC
7
VD
8
9
VH
E
VE
MC = r·2·1+ VC ·2= 5·2·1+10·2 =30 кНм;
M9 = 30/4 = 7,5 кНм; M8 = 30/2 = 15 кНм;
M7 = 30·3/4 = 22,5 кНм;
M
95,63
M1вр
52,5
20,63
30
22,5
15
7,5
7,5 10 7,5
Рис. 31. Загружение первого пролета шарнирно-консольной балки временной нагрузкой r: а) поэтажная схема и расчет отдельных элементов; б) эпюра моментов (М1вр).
29
a)
r =5 кН/м
A
B
C
E
D
G
H
K
M
G
H
K
M
N
M2вр
16,88 22,5 16,88
б)
A
B
C
r =5 кН/м
E
D
61,88
41,25
20,63
82,5
35,63
A
M3вр
30
в)
B
C
D
N
40
r =5 кН/м
30
H
E
K
N
150
95,63
15,47 20,63 10,31
5,16 10,31
10,31
20,63
39,38
M4вр
52,5
20,63
52,5
20,63
7,5 10 7,5
Рис. 32. Эпюры моментов в шарнирно-консольной балке от загружения временной
нагрузой r: а) второго пролета; б) в третьего пролета; в) четвертого пролета
30
0
M3вр
0
0
0
0
0
0
M4вр
0
0
0
0
0
0
Mmax
90
63
36
-13, 5
0
Mmin
-155,63
-88,5
-34,43
0
31
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
4
2
0
-135,36
0
5,22
0
-96,51
0
10,31
-20,63
0
0
9,68
-52,5
M2вр
0
-79,38
-95,63
0
2
-20,63
M1вр
4
5,16
4
7,12
-13, 5
0
-58,05
36
-9,46
63
-39,46
90
6
7,5
Mпост
5
9,5
В 4
10
3
14
2
7,5
1
11,5
А
-150
№ сечений
Эпюры М
-240
-78
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-35,63
0
30
40
30
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10,31
0
-10,31
-20,63
-39,38
-52,5
-20,63
0
7,5
10
-9,37
0
47,24
74,48
21,72
-51
-18,25
0
13,5
18
-55,31
0
6,93
13,85
-31,1
-103,5
-38,88
0
6
8
0
0
6
0
-150
6
-95,63
8
-52,5
6
-20,63
0
-78
-51
0
-228
-24
0
-51
-12
0
-146,63
-18,25
0
-24
-51
0
-76,5
-8.28
0
-12
34,48
0
-32,63
17,24
0
7,5
-19,68
0
13,5
-52,86
0
-82,5
-23,13
-15
22,5
-41,25
0
20,63
-14,92
-22,5
16,88
0
-32,23
14 K 15 16 17 M 18 19 20 N
-27,13
10 G 11 12 13 H
-7,5
E
16,88
9
-61,88
8
15,47
7
-9,46
C D
-30
Таблица 2
Подсчет ординат объемлющей эпюры моментов щарнирно-консольной балки
240
228
135,36
Mmin
96,51
146,63
103,5
79,38
90
58,05
Mпост
63
39,46
27,13
36
13,5
4
11,5
4
14
2
9,5
4
51
6,93
9,68
5,22
13,85
51
38,88
31,1
19,68
9,46
7,12
78
76,5
52,86
8,28
18,25
32,63
12
6
8
24
6
32,33 9,37
13,5
17,24
21,72
18
13,5
34,48
47,24
Mmax
74,48
Рис. 33. Объемлющая эпюра моментов в шарнирно-консольной балке
32
Подберем сечения элементов в форме прокатного двутавра из стали
с расчетным сопротивлением Ry = 240 МПа:
элемент A – B : требуемый момент сопротивления
Mр 240 ⋅ 100
=
= 1000 см2, подбираем двутавр № 45, у которого
W xтр =
24
Ry
фактический момент сопротивления W xф = 1220 см2;
элемент B – C : требуемый момент сопротивления
Mр 14 ⋅ 100
W xтр =
=
= 58 ,33 см2, подбираем двутавр № 12, W xф = 58,4 см2;
Ry
24
элемент C – G : требуемый момент сопротивления
Mр 135 ,36 ⋅ 100
W xтр =
=
= 564 см2, подбираем двутавр №33, W xф = 597 см2;
Ry
24
элемент G – K : требуемый момент сопротивления
Mр 103,5 ⋅ 100
W xтр =
=
= 431,3 см2, подбираем двутавр №30, W xф = 472 см2;
Ry
24
элемент K – M : требуемый момент сопротивления
Mр 18 ⋅ 100
W xтр =
=
= 75 см2, подбираем двутавр № 14, W xф = 81,7 см2;
Ry
24
элемент M – N : требуемый момент сопротивления
Mр 228 ⋅ 100
W xтр =
=
= 950 см2, подбираем двутавр №45, W xф = 1220 см2.
Ry
24
2.4. Расчет неразрезных балок
Неразрезной балкой называется статически неопределимая
балка, имеющая более двух опор. Если в любой статически определимой
шарнирно-консольной балке заменить шарнирные соединения жесткими
связями («убрать» шарниры), то она превратится в неразрезную балку.
Таким образом, для любой шарнирно-консольной балки можно получить
соответствующую ей неразрезную балку.
Рассчитать неразрезную балку можно «вручную», применяя методы
расчета статически неопределимых систем (метод сил или метод
перемещений) или табличный метод расчета с помощью специальных
таблиц (этот метод применим только для балок с равными пролетами и
несложной регулярной нагрузкой). Можно также рассчитать неразрезную
балку применяя специальные программы для расчета стержневых систем.
В курсовом проекте неразрезную балку необходимо рассчитать с помощью
33
программы FastFrame, навыки работы с которой студенты получили в
курсе «Информатики».
Последовательность расчета неразрезной балки такая же как и
шарнирно-консольной балки, то есть балка рассчитывается на действие
постоянной нагрузки и временной нагрузки, прикладываемой
последовательно в каждом пролете и крайних консолях. На рис. 32
приведены эпюры моментов от загружения неразрезной балки постоянной
и временной нагрузками, распечатанными в редакторе программы
FastFrame. В таблице 3 приведены результаты расчета балки выполненной
программой FastFrame. Если задаться знаком эпюры моментов, считать,
например, что «плюс» соответствует растяжению нижних волокон, то в
распечатке результатов верный знак будет у второго столбца,
показывающего знак концевого сечения рассматриваемого участка.
В таблице 4 приведен подсчет ординат объемлющей эпюры
моментов для неразрезной балки. Объемлющая эпюра моментов
неразрезной балки приведена на рис. 33.
Определим расчетные моменты для каждого элемента неразрезной
балки, соответствующего элементу шарнирно-консольной балки:
элемент A – B : Mрасч = 105,89 кНм; элемент B – C : Mрасч = 55,56 кНм;
элемент C – G : Mрасч = 80,19 кНм; элемент G – K : Mрасч = 124 кНм;
элемент K – M : Mрасч = 66,66 кНм; элемент M – N : Mрасч = 121,8 кНм.
Подберем сечения элементов также в форме прокатного двутавра из
стали с расчетным сопротивлением Ry = 240 МПа:
элемент A – B : требуемый момент сопротивления
Mр 111,42 ⋅ 100
W xтр =
=
= 465 см2, подбираем двутавр № 30, у которого
Ry
24
фактический момент сопротивления W xф = 472 см2;
элемент B – C : требуемый момент сопротивления
Mр 59 ,61 ⋅ 100
W xтр =
=
= 249 см2, подбираем двутавр № 24, W xф = 289 см2;
Ry
24
элемент C – G : требуемый момент сопротивления
Mр 79 ,35 ⋅ 100
W xтр =
=
= 331 см2, подбираем двутавр №27, W xф = 371см2;
Ry
24
элемент G – K : требуемый момент сопротивления
Mр 124 ,23 ⋅ 100
W xтр =
=
= 518 см2, подбираем двутавр №30а, W xф = 518
Ry
24
см2;
элемент
34
K
–
M
:
требуемый
момент
сопротивления
W xтр =
Mр 66 ,59 ⋅ 100
=
= 278 см2, подбираем двутавр № 24, W xф = 289 см2;
Ry
24
элемент M – N : требуемый момент сопротивления
Mр 121,74 ⋅ 100
W xтр =
=
= 508 см2, подбираем двутавр №30а, W xф = 518 см2.
Ry
24
2.5. Сравнение результатов расчета шарнирно-консольной и
соответствующей ей неразрезной балок
Составим таблицу сравнения результатов расчета двух балок, в
которую занесем параметры подобранных из условия прочности
соответствующих элементов двух балок. Таблица 4 представлена на стр.
30.
Анализируя полученные результаты и сравнивая объемлющие
эпюры для двух балок можно сделать следующие выводы:
1. В неразрезной балке изгибающие моменты, растягивающие
верхние и нижние волокна по длине балки распределяются
более равномерно, чем в шарнирно-консольной балке, что
приводит к снижению расчетных моментов для большинства
элементов.
2. Общий вес у неразрезной балки меньше, чем у шарнирноконсольной балки, следовательно, она является более
экономичной.
2.5.
Оформление курсовой работы
Пояснительная записка к курсовой работе должна быть оформлена в
соответствии с правилами оформления курсовой работы на листах
формата А4 и содержать титульный лист с указанием вуза, института,
кафедры, названия работы, автора, проверяющего преподавателя, города и
года выполнения работы; задания на курсовую работу; содержания с
указанием разделов и страниц. Записка может быть написана на каждой
странице или на одной странице каждого листа. Уравнения статики
записываются вначале в общем виде, затем в них подставляются значения
сил, плеч, функций углов наклона. Вычисления усилий производятся с
точностью до третьего знака, окончательный результат округляется до
второго знака после запятой.
38
Эпюра Mпост
36,06
56,96
38,21
31,17
14,1
20,58
21,15
38,6
71,27
Эпюра M1вр
37,44
1,92
7,23
0,96
35,96
Эпюра M2вр
7,55
7,27
0,96
3,78
1,92
15,11
Эпюра M3вр
40,91
29,24
4,09
8,18
14,62
39,39
82,57
Эпюра M4вр
55,04
2,42
1,21
12,11
44,85
Рис. 30. Эпюры моментов от постоянной нагрузки и временной
66,59 нагрузки
в каждом пролете для неразрезной балки построенных в программе
FastFrame
35
Mmax
-31,07
-13,94
7,85
42,72
59,61
59,61
50,62
34,62
8,64
-5,93
-1,0
10,12
4,65
-11,83
9,76
41,36
68,84
76,52
4,7
-55,04
-16,85
32,72
53,01
64,3
66,59
59,88
37,44
10,02
-6,3
-22,63
Mmin
-111,42
-47,29
0,91
15,81
19,42
16,84
10,26
1,68
-6,91
-61,51
-42,48
-41,28
-45,98
-79,35
-11,43
8,79
13,5
18,61
-46,77
-124,23
-45,19
-15,77
-2,66
6,26
11,56
12,67
-11,35
3,76
-76,18
-121,74
M4вр
36
-82,57
-59,06
-1,18
14,62
9,56
4,5
-0,56
-5,63
-9,0
-12,57
-0,96
-0,63
-0,29
0,04
0,37
0,59
0,81
1,03
1,25
0,96
0,63
0,29
-0,04
-0,37
-0,59
-0,81
-1,03
-1,25
-1,58
-1,92
-0,25
1,41
-38,21
-16,49
5,23
11,95
18,67
21,15
19,64
14,12
4,6
-19,43
-56,96
-9,18
38,6
26,38
14,16
15 16 17 M
-25,45
40,84
44,85
43,85
-15,75
-19,12
1,58
1,92
0,25
-1,41
3,07
4,33
-1,75
14 K
37,86
26,87
-24,18
-29,24
13,63
36,51
-3,07
-4,33
5,98
-31,17
11 12 13 H
1,0
-36,11
-27,34
-18,58
39,39
22,27
-5,98
7,23
-13,4
10 G
-9,81
-1,04
-3,7
-7,27
-3,94
-9,13
E
5,53
-40,91
9,57
-15,78
-11,61
9
12,11
-28,64
15,11
-26,78
-14,1
8
8,48
-16,37
9,4
-37,44
0,58
7
4,24
-4,09
-7,55
1,92
7,91
D
1,21
8,18
-5,67
21,6
15,25
C
-2,42
6,14
-4,72
31,28
20,58
6
-1,82
5,11
-3,78
35,96
21,92
5
-1,51
4,09
-2,83
35,64
16,43
4
-1,21
3,07
-1,89
-25,78
1,93
-17,06
В
-0,91
2,05
-0,47
4,68
-27,67
3
-0,61
0,51
0,94
2,36
2
-0,15
-1,02
-2,56
-36,06
1
0,30
M3вр
-71,27
№ сечений А
Эпюры М
0,76
M2вр
3,78
M1вр
-4,09
Mпост
1,21
Таблица 3
Подсчет ординат объемлющей эпюры моментов неразрезной балки
18 19 20 N
124,23
Mmin
111,42
121,74
96,51
79,35
61,51
47,29
Mпост
56,96
46,77
31,17
36,06
17,06 0,91
1,68 6,91
19,42
1,93 15,81 16,81 10,26
31,07 13,94
76,18
45,98
42,48 41,28
14,1 11,61 9,13 13, 4
7,85 16,43 21,92 15,25 7,91 0,58 5,93 1,0
10,92
8,64
20,58
34,62
42,72
50,62
59,61 59,61
4,65
11,43
1,75
11,83
9,76
45,19
55,04
19,43
8,79 13,50 18,61
14,16
9,18
4,7
26,38
38,6
16,85
38,32
16,49
15,77
11,56
2,66 6,26
12,67 11,35 3,76
22,63
5,23 6,3
11,95 10,02
14,12
18,67
19,64 21,15
32,72
37,44
4,6
40,21
53,01
68,48
Mmax
76,36
64,30 66,59 59,88
Рис. 35. Объемлющая эпюра моментов в неразрезной балке
37
Таблица 4
Таблица сравнения результатов расчета шарнирно-консольной и соответствующей ей неразрезной балок
Элемент
Длина
l(м)
Шарнирно-консольная балка
Mрасч
(кНм)
Wxтреб
(см3)
Wxфакт
сечение
(см3)
Неразрезная балка
m
(кг/м)
Q
(кг)
Mрасч
(кНм)
Wxтреб
(см3)
Wxфакт
сечение
(см3)
m
(кг/м)
Q
(кг)
A-B
6
240
1000
1220
двутавр
№ 45
65,2
391,2
111,42
465
472
двутавр
№ 30
36,5
219
B-C
4
14
58,33
58,4
двутавр
№ 12
11,5
46
59,61
249
232
двутавр
№ 24
27,3
109,2
C-G
11
135,36
564
597
двутавр
№ 33
42,2
464,2
79,35
331
371
двутавр
№ 27
31,5
346,5
G-K
11
103,5
432
472
двутавр
№ 30
36,5
401,5
124,23
518
518
двутавр
№ 30а
39,2
431,2
K-M
4
18
75
81,7
двутавр
№ 14
13,7
54,8
66,59
278
289
двутавр
№ 24
27,3
109,2
M-N
6
228
950
1220
двутавр
№ 45
65,2
391,2
121,74
508
518
двутавр
№ 30а
39,2
235,2
Общий вес балки
1749
Общий вес балки
1451
39
Список литературы
1. Курс теории сооружений. Строительная механика. Ч.1. Теория
сооружений в инженерном деле. Р.2. Классификация, рабочее
состояние и оценка прочности сооружений / Под общ. ред. проф.
А.А.Стоценко. Учебник. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ. – 216 с.
2. Строительная механика. Учебник. А.В.Дарков, Н.Н. Шапошников. –
М.: Изд-во “Лань”, 2004 г. 656 с.
40
Приложение
Выдержки из сортамента металлопроката по ГОСТ 8239-89
41
у
Двутавры стальные
горячекатаные.
СОРТАМЕНТ
ГОСТ 8239-89
R
s
h
Номер
профиля
x
Площадь Масса Момент инерции
Момент
сечения одного
сечения
сопротивления
метра относительно оси, относительно
Размеры в мм
3
оси, см
см4
(обозначения на рисунке)
(b-s)/4
r
b
t
Статический
момент
полусечения
относительно оси
х
кг
х
у
х
у
х
у
см3
12,0
14,7
17,4
20,2
23,4
25.4
9,46
11,5
13,7
15,9
18,4
19.9
198
350
572
673
1290
1430
17,9
27,9
41,9
58,6
82,6
114
39,7
58,4
81,7
109
143
159
6,49
8,72
11,5
14,5
18,4
22.
8
4,06
4,88
5,73
6,57
7,42
7.51
1,22
1,38
1,55
1,70
1,88
2.12
23,0
33,7
46,8
62,3
81,4
89.8
26,8
28.9
30,6
32.8
34,8
37.5
40,2
43.2
21,0
22.7
24,0
25.8
27,3
29.4
31,5
33.9
1840
2030
2550
2790
3460
3800
5010
5500
115
155
157
206
198
260
260
337
184
203
232
254
289
317
371
407
23,1
28.2
28,6
34.3
34,2
41.6
41,5
50.0
8,28
8.37
9,13
9.22
9,97
10.1
11,2
11.3
2,07
2.32
2,27
2.50
2,37
2.63
2,54
2.80
104
114
131
143
163
178
210
229
h
b
s
t
R
r
см
10
12
14
16
18
18а
100
120
140
160
180
180
55
64
73
81
90
100
4,5
4,8
4,9
5,0
5,1
5.1
7,2
7,3
7,5
7,8
8,1
8.3
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9.0
2,5
3,0
3,0
3,5
3,5
3.5
20
20а
22
22а
24
24а
27
27а
200
200
220
220
240
240
270
270
100
110
110
120
115
125
125
135
5,2
5.2
5,4
5.4
5,6
5.6
6,0
6.0
8,4
8.6
8,7
8.9
9,5
9.8
9,8
10.2
9,5
9.5
10,0
10.0
10,5
10.5
11,0
11.0
4,0
4.0
4,0
4.0
4,0
4.0
4,5
4.5
2
Радиус
инерции
относительно
оси, см
40
у
Двутавры стальные
горячекатаные.
СОРТАМЕНТ
ГОСТ 8239-89
R
s
h
Номер
профиля
x
Площадь Масса Момент инерции
Момент
сечения одного
сечения
сопротивления
метра относительно оси, относительно
Размеры в мм
3
оси, см
см4
(обозначения на рисунке)
(b-s)/4
r
b
t
х
х
у
х
у
х
у
см3
46,5
49.9
53,8
61, 9
36,5
39.2
42,2
48,6
7080
7780
9840
13380
337
436
419
516
472
518
597
743
49,9
60.1
59,9
71,1
12,3
12.5
13,5
14,7
2,69
2.95
2,79
2,89
260
292
339
423
6,0
7,0
71.4
83.0
56.1
65,2
18930
27450
666
807
947
1220
85.9
101
16,3
18,2
3,05
3,12
540
699
17,0
18,0
7,0
7,0
97.8
114,0
76.8
89.8
39290
55150
1040
1350
1570
2000
122
150
20.0
22.0
3,26
3,44
905
1150
17,8
19.2
20,0
22
8,0
9
132,0
153
104,0
120
1720
2170
2510
3120
181
217
23,9
25.8
3,60
3.77
1450
1800
20.8
24.0
28.2
24
24
24
10
10
10
176
202
234
138
158
184
75450
10140
0
134600
152700
175370
2730
3240
3910
3940
4360
5010
260
309
373
27.7
27.5
27.4
3.94
4.01
4.09
2230
2550
2940
b
s
t
R
r
см
30
30а
33
36
300
300
330
360
135
145
140
145
6,5
6.5
7,0
7,5
10,2
10.7
11,2
12,3
12,0
12.0
13,0
14,0
5,0
5.0
5,0
6,0
40
45
400
450
155
160
8,0
8.6
13,0
14,2
15,0
16, 0
50
55
500
550
170
180
9.5
10.3
15,2
16,5
60
65
600
650
190
200
11.1
12.0
70
70а
70б
700
700
700
210
210
210
13.0
15.0
17.5
41
Статический
момент
полусечения
относительно оси
кг
h
2
Радиус
инерции
относительно
оси, см
у
r
Швеллеры стальные
горячекатаные.
СОРТАМЕНТ
ГОСТ 8240-89
R
s
Номер
профиля
h
ц.т. x
za
(b-s)/2
Размеры в мм
(обозначение на рисунке)
b t
Момент
Момент
Статический
Площадь Масса Момент инерции
сечения
сопротивления сопротивления
момент
сечения одног
о
относительно оси, относительно относительно оси,
полусечения
метра
оси
относительно оси х
см4
см
см3
см2
h
b
s
t
R
r
za
5
6.5
8
50
65
80
32
36
40
4.4
4.4
4.5
7.0
7.2
7.4
6
6
6.5
2.5
2.5
2.5
11.6
12.4
13.1
6.16
7.51
8.98
10
12
14
14а
16
16а
18
18а
100
120
140
140
160
160
180
180
46
52
58
62
64
68
70
74
4.5
4.8
4.9
4.9
5.0
5.0
5.1
5.1
7.6
7.8
8.1
8.7
8.4
9.0
8.7
9.3
7
7.5
8
8.5
8.5
8.5
9
9
3.0
3.0
3.0
3.5
3.5
3.5
3.5
3.5
14.4
15.4
16.7
18.7
18.0
20.0
19.4
21.3
10.9
13.3
15.6
17.0
18.1
19.5
20.7
22.2
27
х
у
х
у
х
у
см 3
4.84
5.90
7.05
22.8
48.6
89.4
5.61
8.70
12.8
9.1
15.0
22.4
2.75
3.68
4.75
1.92
2.54
3.16
0.95
1.08
1.19
5.59
9.00
23.3
8.59
10.4
12.3
13.3
14.2
15.3
16.3
17.4
174
304
491
545
747
823
1090
1190
20.4
31.2
45.4
57.5
63.3
78.8
86.0
105
34.8
50.6
70.2
77.8
93.4
103
121
132
6.46
8.52
11.0
13.3
13.8
16.4
17.0
20.0
3.99
4.78
5.60
5.66
6.42
6.49
7.24
7.32
1.37
1.53
1.70
1.84
1.87
2.01
2.04
2.18
20.4
29.6
40.8
45.1
54.1
59.4
69.8
76.1
кг
у
r
Швеллеры стальные
горячекатаные.
СОРТАМЕНТ
ГОСТ 8240-89
R
s
Номер
профиля
h
ц.т. x
za
(b-s)/2
Размеры в мм
(обозначение на рисунке)
b t
Площадь Масса Момент инерции
Момент
Статический
Момент
сечения одног
сечения
сопротивления сопротивления
момент
о
относительно оси, относительно относительно оси,
полусечения
метра
оси
относительно оси х
см4
см
см3
см2
h
b
s
t
R
r
za
20
20а
22
22а
24
24а
27
200
200
220
220
240
240
270
76
80
82
87
90
95
95
5.2
5.2
5.4
5.4
5.6
5.6
6.0
9.0
9.7
9.5
10.2
10.0
10.7
10.5
9.5
9.5
10
10
10.5
10.5
11
4.0
4.0
4.0
4.0
4.0
4.0
4.5
20.7
22.8
22.1
24.6
24.2
26.7
24.7
23.4
25.2
26.7
28.8
30.6
32.6
35.2
30
33
36
40
300
330
360
400
100
105
110
115
6.5
7.0
7.5
8.0
11.0
11.7
12.6
13.5
12
13
14
15
5.0
5.0
6.0
6.0
25.2
25.9
26.8
2.75
40.5
46.5
53.4
61.5
41
х
у
х
у
х
у
см 3
18.4
19.8
21.0
22.6
24.0
25.8
27.7
1520
1670
2110
2330
2900
3180
4160
113
139
151
187
208
254
262
152
167
192
212
242
265
308
20.5
24.2
25.1
30.0
31.6
37.2
37.3
8.07
8.15
8.89
8.99
9.73
9.84
10.9
2.20
2.35
2.37
2.55
2.60
2.78
2.73
87.8
95.9
110
121
139
151
178
31.8
36.5
41.9
48.3
5810
7980
10820
15220
327
410
513
642
387
484
601
761
43.6
51.8
61.7
73.4
12.0
13.1
14.2
15.7
2.84
2.97
3.10
3.23
224
281
350
444
кг