Дополнительный материал: Справочные сведения из теории групп

Дополнительный материал:
Справочные сведения из теории групп
Определения, предполагающиеся известными:
группа,
изоморфизм,
подгруппа,
прямое произведение,
фактор–множество,
фактор–группа,
линейное пространство,
базис,
скалярное произведение.
Примеры матричных групп.
• U (1) — множество комплексных чисел z: |z| = 1 (z = eiφ ).
• U (n) — группа унитарных матриц n × n, U † U = 1.
• SU (n) ⊂ U (n): det U = 1.
• O(n) — действительные ортогональные матрицы OT O = 1 ⇒ det O = ±1.
• SO(n) ⊂ O(n): det O = +1.
Матричные группы Ли соответствуют гладким многообразиям в пространстве
матриц. Касательное пространство в единице — алгебра Ли (действительное линейное
пространство той же размерности, что и групповое многообразие).
Любая кривая в группе вблизи единицы:
g(t) = 1 + At + O(t2 ),
где t – действительный параметр, A – элемент алгебры Ли.
Коммутатор [A1 , A2 ] = A1 A2 − A2 A1 принадлежит алгебре.
Алгебры основных матричных групп Ли:
• U (n): A† = −A (в других обозначениях g = 1 + iAt + . . ., тогда A† = A).
• SU (n): A† = −A, Tr A = 0.
• SO(n): AT = −A.
Алгебра Ли как линейное пространство.
Размерность равна размерности группы, например, у SU (n) это n2 − 1.
Базис – генераторы Ti .
[Ti , Tj ] = Cijk Tk , где Cijk – структурные константы.
Для группы SU (n), если генераторы эрмитовы, [Ti , Tj ] = iCijk Tk . Например, для SU (2)
эрмитовы генераторы Ti = τi /2, где τi – матрицы Паули, Cijk = ijk .
Представление группы: каждому элементу g ∈ G ставится в соответствие линейный оператор T (g), действующий в линейном пространстве представления V , причем
это соответствие согласовано с групповой операцией.
Представление алгебры Ли: каждому элементу A из алгебры Ли ставится в соответствие линейный оператор T (A), действующий в линейном пространстве представления V , причем это соответствие согласовано с операциями алгебры Ли: сложением,
умножением на число и коммутацией.
1
Если известно представление группы, то по нему можно построить представление
алгебры:
T (1 + tA + . . .) = 1 + tT (A) + . . .
(1)
Эквивалентность представлений T (g) и T 0 (g): действуют в одном пространстве, и
существует обратимый оператор
S : V → V, T 0 (g) = ST (g)S −1 ∀g ∈ G
(один оператор на все g).
Если выбрать базис {ei } в пространстве представления V , то любой вектор ψ ∈ V
разлагается ψ = ψi ei ,
T (g)ψ = ψi Tji (g)ej ,
так что
(T (g)ψ)j = Tji ψi .
Примеры простейших представлений.
• Фундаментальное: G — любая группа матриц n × n, V — n-мерное пространство
столбцов, T (g) — умножение матрицы g на столбец,
(T (g)ψ)i = gij ψj .
• Сопряженное фундаментальному:
(T (g)ψ)i = gij∗ ψj ,
или в пространстве строк φ:
†
(T (g)φ)i = φj gji
.
• Присоединенное представление группы Ли G: V — алгебра Ли группы G,
Ad(g) A = gAg −1 .
• Присоединенное представление алгебры Ли: V — сама алгебра Ли, ad(A) B =
[A, B]. Матрицы совпадают со структурными константами:
ad(ti ) tj = [ti , tj ] = Cijk tk .
• Тензорные представления SU (n): векторы с верхними индексами преобразуются
по фундаментальному представлению, с нижними – по сопряженному. Тензоры
преобразуются как прямые произведения векторов:
0 0
0
...c
∗
∗
∗
ab...c
T (U )ψia0 jb0 ...k
0 = (Uaa0 Ubb0 . . . Ucc0 ) Uii0 Ujj 0 . . . Ukk 0 ψij...k
(2)
Инвариантные тензоры не меняются при преобразовании (2). Это δji и i1 ...in (n –
то же, что в SU (n)). Симметричный и антисимметричный тензоры второго ранга
преобразуются не смешиваясь.
2
Компактные группы – групповые многообразия которых помещаются в шар конечного радиуса. Группа Ли компактна ⇔ в ее алгебре Ли существует скалярное произведение, инвариантное относительно действия присоединенного представления:
(Ad(g) A, Ad(g) B) = (A, B),
(A, A) ≥ 0,
(A, A) = 0 ⇔ A = 0.
Для матричных алгебр
(A, B) = −Tr(AB).
Генераторы можно выбрать так, чтобы они образовывали ортонормированный базис:
1
Tr(ti tj ) = − δji .
2
Литература:
Рубаков, ч.1, глава 3.
Ченг, Ли, §4.1 – 4.3.
Задачи
1001. Доказать, что коммутатор принадлежит алгебре Ли, используя определение с кривыми.
1002. Показать, что алгебры Ли SU (2) и SO(3) изоморфны. Показать, что для групп
справедливо SU (2)/Z2 = SO(3), где Z2 — центр группы SU (2). Таким образом,
хотя локально (вблизи единицы) группы SU (2) и SO(3) одинаковы, в целом (глобально) они различны.
1003. Пусть G = G1 × G2 — прямое произведение групп Ли G1 и G2 . Показать, что
алгебра Ли группы G изоморфна прямой сумме алгебр Ли групп G1 и G2 , т. е.
AG = AG1 + AG2 .
1004. Показать, что фундаментальное представление группы SU (2) эквивалентно своему сопряженному.
1005. Как уже отмечалось, алгебры SU (2) и SO(3) изоморфны. Пусть T — фундаментальное представление алгебры SU (2). Ему соответствует некоторое представление алгебры SO(3), обозначим его T̃ . Показать, что не существует представления
группы SO(3), которое генерировало бы представление T̃ алгебры SO(3) по формуле (1).
1006. Показать, что −Tr(A2 ) положителен для всех ненулевых A из алгебры SU (2).
Показать, что −Tr(A2 ) бывает как положительным, так и отрицательным для
алгебры GL(2, C).
1007. Доказать, что структурные константы в ортонормированном базисе полностью
антисимметричны.
1008. Показать, что алгебра SO(4) изоморфна алгебре SU (2) + SU (2).
1009. Показать, что группа SU (5) × U (1) – подгруппа группы SO(10).
3