Свободные и вынужденные колебания балки на поверхности
advertisement
УДК 621.3 Свободные и вынужденные колебания балки на поверхности жидкости в ограниченном объеме Мунин Е. Н.,студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра «Космические аппараты и ракеты-носители» Гончаров Д.А., аспирант Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра «Теоретическая механика» Научный руководитель: Пожалостин А.А., д.т.н, профессор Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана Bauman@bmstu.ru В данной работе решена краевая задача о колебаниях, находящейся на свободной поверхности жидкости в жестком ограниченном прямоугольном баке. Рассмотрено два случая: в первом случае балка жесткая и совершает малые вертикальные поступательные колебания под действием гидростатического давления жидкости. Во втором – балка считается упругой, однородной с погонной массой ߤ на некотором упругом основании. Рассмотренная модель может быть проcтейшей для анализа динамики плавающих объектов, в частности подводной лодки в надводном положении. Основные допущения: 1) Движения малые и происходят под действием гидростатического давления жидкости. 2) Волновые движения последней не рассматриваются. 3) Жидкость идеальная В случае изгибных колебаний балки принимаются следующие допущения: 1) Справедлив закон Гука, гипотеза сплошности и гипотеза плоских нормалей. Дифференциальное уравнение вертикального движения абсолютно жесткой балки под действием гидростатического давления жидкости имеет вид : ݉ݕሷ ߩ݃ܵ ݕൌ Ͳ ൌ ߩ݃ݕ ଶ ݕሷ ߱ ݕൌ ͲǢ߱ଶ ൌ , ଶ http://sntbul.bmstu.ru/doc/728183.html где ݃ - ускорение свободного падения, ݈ - длина балки, ݉ - масса однородной балки, ߩ - плотность жидкости, ݕ- вертикальное поступательное перемещение балки, - гидростатическое давление, ܵ – площадь поверхности балки, ߱ - частота свободных вертикальных колебаний жесткой балки. Координата ݕотсчитывается от равновесного состояния балки (см. рис. 1). Рис. 1. Система отсчета для вертикальных колебаний балки и восстанавливающей силы от гидростатического давления жидкости Отсюда величина жесткости основания (жидкости): ܥൌ ߱ଶ ݉ ൌ ଶ В дальнейшем будем считать приближенно модель жидкости в виде некоторого упругого основания жесткостью ܥ , где ܥ ൌ ଶ ൌ ସ మ Далее приведено решение краевой задачи о колебаниях упругой балки на упруом основании с распределенной жесткостью ܥ . Молодежный научно-технический вестник ФС77-51038, ISSN 2307-0609 Задача 1 Дифференциальное уравнение свободных колебаний упругой балки на упругом основании (см. рис. 2). Рис. 2. Балка на упругом основании ݕூ െ ߤସ ݕൌ Ͳǡ ˆˇˈ ߤ ሺ߱ଶ െ ߱ଶ ሻǡ ߤସ ൌ ܫܧ где ܫܧ - жесткость балки на изгиб ߱ - частота изгибных колебаний балки без жидкости ߤ ൌ ଶ - погонная масса однородной балки ߤ - собственное значение краевой задачи По методу Фурье: ݕൌ ݂ܵǡ ˆˇˈ݂ሺݔሻ െ ˗ˑ˓ˏ˃ˍˑˎˈ˄˃ːˋˌǡ ܵሺݔሻ െ ˅˓ˈˏˢːːˑˌˏːˑˉˋ˕ˈˎ˟ Уравнение для ݂ሺݔሻ имеет вид: ݂ ூ െ ߤସ ݂ ൌ Ͳǡ Решение этого уравнения ݂ሺݔሻ ൌ ܥଵ ሺߤݔሻ ܥଶ ሺߤݔሻ ܥଷ ሺߤݔሻ ܥସ ሺߤݔሻ http://sntbul.bmstu.ru/doc/728183.html Константы интегрирования ܥ определяются из граничных условий закрепления, которые для балки со свободными концами имеют вид: ݂ ூூ ሺͲሻ ൌ ݂ ூூ ሺ݈ሻ ൌ ͲǢ݂ ூூூ ሺͲሻ ൌ ݂ ூூூ ሺ݈ሻ ൌ Ͳǡ ˆˇˈ݂ ூ ൌ ௗሺ௫ሻ ௗ௫ Удовлетворяя последнему, получим трансцендентное уравнение для определения ߤ ݄ܿሺߤ݈ሻ ሺߤ݈ሻ ൌ ͳ Решая это уравнение численно подбором (методом половинного деления), получим, например собственное значение ߤଵ ݈ [1], и выражение для частоты изгибных колебаний упругой балки ாூ ߱ଵ ൌ ට బ ߤଵସ ߱ ଶ ǡ ˆˇˈߤଵ ൌ ఓ బ Задача 2 ସǤଷ Вынужденные колебания балки от действия силы ܨሺݐሻ ൌ ܨ ሺݐሻ . Точное решение. Рис. 3. Действие на балку внешней силы ܨሺݐሻ Разбиваем балку на 2 участка (см. рис. 3) и ищем решение для вынужденных колебаний системы в виде: ݕଵ ሺݔଵ ǡ ݐሻǡ ݕଶ ሺݔଶ ǡ ݐሻː˃˒ˈ˓˅ˑˏˋ˅˕ˑ˓ˑˏ˖˚˃˔˕ˍˈ˔ˑˑ˕˅ˈ˕˔˅ˈːːˑ ݕଵ ሺݔଵ ǡ ݐሻ ൌ ݂ଵ ሺݔଵ ሻ ሺݐሻ Ǣݕଶ ሺݔଶ ǡ ݐሻ ൌ ݂ଶ ሺݔଶ ሻ ሺݐሻ Граничные условия для форм вынужденных колебаний ݂ ሺݔሻǡ ሺ݅ ൌ ͳǡʹሻ: Молодежный научно-технический вестник ФС77-51038, ISSN 2307-0609 ݂ଵூூ ሺͲሻ ൌ ݂ଶூூ ሺ݈ሻ ൌ ͲǢ ݂ଵூூூ ሺͲሻ ൌ ݂ଶூூூ ሺ݈ሻ ൌ ͲǢ ݂ଵ ሺ݈ሻ ൌ ݂ଶ ሺͲሻǢ (1) ݂ଵூ ሺ݈ሻ ൌ ݂ଵூ ሺͲሻǢ ݂ଵூூ ሺ݈ሻ ൌ ݂ଶூூ ሺͲሻǢ ݂ଵூூூ ሺ݈ሻ ൌ ݂ଶூூூ ሺͲሻ ܨ Ǥ Удовлетворяя граничным условиям (1) получим выражение для констант ܥ ሾሺ݅ ൌ ͳǡ ʹሻǡ ሺ݆ ൌ ͳǤ ǤͶሻሿ и форму вынужденных колебаний системы: ݂ ሺݔ ሻ ൌ ܥଵ ሺߣ ݔ ሻ ܥଶ ሺߣ ݔ ሻ ܥଷ ሺߣ ݔ ሻ ܥସ ሺߣ ݔ ሻ ݕ ሺݔ ǡ ݐሻ ൌ ݂ ሺݔ ሻ ሺݐሻ Функции форм вынужденных колебаний ݂ ሺ݅ ൌ ͳǡ ʹሻ в силу громоздкости в явном виде не приводятся Задача 3 Определение прогиба балки ݕሺݔǡ ݐሻ в случае неупругого удара груза массы ݉ о балку (см. рис. 4). Рис. 4. Удар о балку груза массы ݉ Считаем массу груза после удара равномерно распределенной по длине балки, то есть ߤ ൌ ାெ ଶ ǡ а форму колебаний балки ݂ ሺݔሻ полагаем неизменной и равной форме колебаний как в случае 1. http://sntbul.bmstu.ru/doc/728183.html Из теоремы об изменении количества движения при ударе находится вертикальная скорость балки полсе удара ܷ ൌ ெା ඥʹ݄݃ Движение системы считается поступательным. Начальные условия для определения ܥଵ୧ ˋܥଶ୧ : ݕ ሺݔǡ ݐሻ ൌ Ͳǡ Прогиб ݕሺݔǡ ݐሻ ищем в виде డ௬బ ሺ௫ǡ௧ሻ డ௫ ൌ ܷ ൌ ܿݐݏ݊ (2) ݕሺݔǡ ݐሻ ൌ σୀଵ ݂ ሺ ܥଵ୧ ሺ߱ ݐሻ ܥଶ ሺ߱ ݐሻሻ ǡ ˆˇˈ ݂ െ ˗ˑ˓ˏ˞ˍˑˎˈ˄˃ːˋˌ˄˃ˎˍˋː˃˖˒˓˖ˆˑˏˑ˔ːˑ˅˃ːˋˋː˃ˌˇˈːː˃ˢ˅ˊ˃ˇ˃˚ˈͳ Константы ܥଵ୧ и ܥଶ определяются из начальных условий (2) с учетом условий ортогональности ݂ ܥଵ୧ ൌ Ͳǡ ܥଶ ൌ బ ሺ୶ሻୢ୶ ԡ ԡ В результате уравнение прогиба балки имеет вид: ݕሺݔǡ ݐሻ ൌ ሺమሻ σୀଵ ԡ ԡఠ ሺ߱ ݐሻ, где ଶ ԡ݂ ԡ ൌ ߤ ݂ଶ ሺ ݔሻ݀ݔ, ߱ െ частота свободных колебаний системы. Список литературы 1. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с. 2. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964. 438 с. 3. Моисеев Н.Н., Петров А.А. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости М.: вычислительный центр АН СССР, 1966. 269 с. Молодежный научно-технический вестник ФС77-51038, ISSN 2307-0609
