Р.С. Калашников ПОСТРОЕНИЕ ДЕРЕВА ШТЕЙНЕРА

Тезисы докладов
Конференция «Интеллектуальные САПР»
УДК 628.3
Р.С. Калашников
ПОСТРОЕНИЕ ДЕРЕВА ШТЕЙНЕРА МОДИФИЦИРОВАННЫМ
МЕТОДОМ *
Задача Штейнера имеет очевидную инженерную интерпретацию: вершинам
сопоставляются эквипотенциальные полюса сети, например полюса, на которые
должно быть подано питание. Ребрам соответствуют допустимые способы связи
между полюсами. Тогда решению будет соответствовать электрическая цепь минимальной длины, объединяющая все эти вершины. Задача Штейнера находит свое
применение в строительстве автомобильных дорог, сетей водоканалов и т.д.
В основу модифицированного метода положен известный метод горизонтальных столбов рассмотренный в [1]. Алгоритм представлен в виде трех процедур.
1. Через точку с координатами (xi,yi), где yi=max(y1...n), проводим
горизонтальный столб Штейнера.
2. Из двух ближайших к столбу Штейнера точек проводятся перпендикулярные отрезки на этот столб. Таким образом получим дерево Штейнера,
состоящее из трех точек. Процедуру повторяем 3 раза, проводя через каждую из
трех точек горизонтальный столб. Из трех полученных деревьев Штейнера выберем оптимальный вариант, при котором сумма соединений минимальна.
3. Через точку, принадлежащую полученному дереву Штейнера и
имеющую координаты (xi,yi), где yi=min(y1...k), из всех присоединенных к дереву
Штейнера точек проводим новый горизонтальный столб Штейнера. Затем из двух
ближайших к этому столбу Штейнера точек проводятся перпендикулярные отрезки
на этот столб. Процедуру повторяем 3 раза аналогично предыдущему случаю, выбирая наилучший вариант соединения трех точек.
Из сказанного выше видно, что временная сложность алгоритма аналогична
сложности метода горизонтальных столбов. Кроме того, в модифицированном алгоритме к столбу присоединяются не все точки, как в указанном ранее методе, а
только две, и при этом находятся наилучшие вариант соединений каждой тройки
точек. При этом происходит разбиение множества вершин графа на триады. Как
указано в [1] и [2], наилучшего результата при построении дерева Штейнера можно достичь при соединении триад точек. Следовательно, суммарная длина всех
ребер дерева Штейнера, построенного модифицированным алгоритмом, будет
меньше, чем в методе горизонтальных столбов. В этом состоит преимущество
предлагаемого алгоритма.
Процедура
Процедура
Процедура
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Курейчик В.М. Генетические алгоритмы и их применение. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002.
2.
Кристофидес Н. Теория графов. М.: Мир, 1978. 432с.
*
242с.
Работа выполнена при поддержке Мин. образования, грант № Е02-2.0-44
311