И.В. Клеев Мониторинг величины температурной динамической

ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 2
Прикладная механика, динамика жидкости и газа
107
УДК 53.088.228
И.В. Клеев
Московский физико-технический институт (Национальный исследовательский университет)
Мониторинг величины температурной динамической погрешности
тензометрических весов
В статье описана тепловая модель тензометрических весов. Рассмотрены источники температурных градиентов в конструкции весов, а также метод мониторинга величины температурной динамической погрешности.
Ключевые слова: тензометрические весы, динамическая погрешность, аэродинамика, газовый поток, сопротивление, тепловой режим.
Одной из основных задач экспериментальной
аэродинамики является изучение силовых взаимодействий газового потока с изучаемыми моделями
(летательные аппараты, наземный транспорт, космическая техника, высотные здания и др.).
В современном эксперименте чрезвычайно
важным требованием является точность измеряемых величин (подъёмная сила, сила аэродинамического сопротивления и т.д.) воздействия газового потока на исследуемый аппарат. Связано это с
необходимостью получения более точных характеристик разрабатываемых летательных аппаратов
(и их элементов) в условии жёсткой конкуренции
на авиационном рынке.
При проведении аэрофизического эксперимента в аэродинамических трубах большая часть измерений производится тензометрическими весами
(рис. 1).
Рис. 1. Тензометрические весы внутри исследуемой
модели
Тензовесы представляют собой прибор, выполненный из монолитного куска металла, реагирующий на внешнее силовое воздействие деформацией чувствительных элементов. При помощи тензорезисторов и вычислительной техники деформации преобразуются в электрические сигналы,
которые используются для определения исследуемых параметров.
Тензометрические весы в стационарном тепловом режиме обладают высокой точностью (погрешность не превышает десятых долей процента измеряемой величины). При изменении тепловых режимов, то есть при нагревании или охлаждении, резко возрастает температурная погреш-
ность тензовесов. Причём её значение в сотни раз
может превышать погрешность весов, работающих в стационарном тепловом режиме (см. [1],
[2]).
Экспериментальные исследования показывают, что весы практически никогда не работают
на стационарных тепловых режимах. Причиной
тому является большая тепловая инерция весов и
изменение по времени температуры потока и режима испытаний.
Различают две составляющие температурной
погрешности — статическую и динамическую.
Статические температурные погрешности появляются при стационарном тепловом режиме работы весов, когда температура всех элементов
изменяется одновременно, без градиентов. Снижение данной составляющей температурной погрешности до приемлемого уровня обеспечивается
схемной либо алгоритмической компенсацией.
Причиной динамических температурных погрешностей являются пространственные градиенты температуры в конструкции, обусловленные
нестационарным тепловым режимом работы весов, когда различные элементы весов обладают
разной температурой. Именно этому типу температурных погрешностей и методам борьбы с ним
посвящена данная статья.
Построение тепловой модели весов. Для
описания возникновения температурных динамических погрешностей в тензовесах необходимо
знать поля температур в их конструкции.
Один из способов решения этой задачи — создание тепловой модели тензовесов, которая позволяла бы рассчитывать температуру в любой
точки конструкции в любые моменты времени.
Для создания подобной модели предлагается
воспользоваться методом электротепловой аналогии, позволяющим создать простую и наглядную
тепловую модель тензовесов, при этом обладающим хорошей точностью моделирования тепловых процессов.
Как известно, распространение электрического тока в непрерывных резистивных цепях и тепла по телу описывается одним и тем же уравнением — дифференциальным уравнением теплопро-
108
Прикладная механика, динамика жидкости и газа
водности (или диффузии), которое записывается
в следующем виде (для одномерного потока тепла):
∂ 2T
∂T
=a 2,
∂t
∂x
где t — время, x — координата, вдоль которой
происходит распространение тепла, T (x,t) — температура тела в точке x и в момент времени t,
a[м2 /с] — коэффициент температуропроводности,
который равен
λ
a= ,
cρ
где λ — коэффициент теплопроводности
[Вт/(м · К)], c[Дж/(К · кг)] — удельная теплоёмкость, а ρ[кг/м3 ] — плотность материала (см. [4]).
В методе электротепловой аналогии температуре ставится в соответствие напряжение, тепловой энергии — заряд, мощности — ток, теплопроводности — электропроводность и т.д.
Далее рассматриваемая конструкция разбивается на некоторое количество элементов (ячеек),
каждый из которых обладает теплоёмкостью и сопротивлением теплопередаче. Теплоёмкость заменяется конденсатором, обладающим ёмкостью, а
сопротивление теплопередаче — резистором. Эти
элементы и составляют электрическую цепь, распределение напряжения по которой соответствует
распределению температуры по исследуемой конструкции тензовесов. То есть процесс распространения тепла по телу моделируется распространением заряда по RC-цепочке.
Далее на основе законов Кирхгофа строится
система дифференциальных уравнений для этой
RC-цепи, которая решается численно. Стоит отметить, что эта система дифференциальных уравнений первого порядка и количество их в системе
равно количеству элементов (ячеек), на которые
мы разбиваем конструкцию.
В отличие от разностных схем, приемлемая
точность которых в основном достигается за счёт
уменьшения шага сетки, предлагаемый в настоящей работе метод основан на схожести аналитического решения уравнения теплопроводности и
решения задачи распространения заряда по RCцепочке.
Отметим, что при контакте весов с окружающей средой реализуется граничное условие третьего рода, которое характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела
и окружающей средой. Если Tпов — температура
поверхности, а Tс — температура среды, то количество тепла, передаваемого в единице времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду в процессе нагревания или охлаждения, прямо пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей
средой:
qп = α(Tпов − Tс ),
где α[Вт/(м2 · К)] — коэффициент теплообмена.
ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 2
Важную роль при конвективном теплообмене
играет критерий Био Bi — отношение термического сопротивления тела λl к термическому сопротивлению передачи тепла на поверхности α1 , где
l — толщина тела:
Bi =
lα
.
λ
При α → ∞ критерий Био Bi → ∞ и граничные условия третьего рода переходят в граничные
условия первого рода.
При моделировании сложной конструкции цепочкой элементов не учитывается динамика распределения тепла поперёк тела, которая определяется критерием Био. В [5] на странице 205 показано, что для того, чтобы скорость нагревания
определялась скоростью переноса тепла из окружающей среды к телу и, следовательно, распространение тепла вдоль трёхмерного тела можно
было моделировать одномерной цепочкой, критерий Био должен быть меньше 0,1, то есть
Bi < 0,1.
Это условие ограничивает применение одномерной модели к реальным трёхмерным телам при
граничном условии третьего рода. При несоблюдении данного условия необходимо разбивать конструкцию на ячейки не только вдоль, но и поперёк.
Рассмотрим конструкцию половины центральной части внутримодельных тензометрических весов (рис. 2), измеряющую силу по оси X. Она состоит из двух цилиндрических частей, клиновидного элемента, четырёх пакетов стоек и двух стоек
чувствительного элемента. Клиновидный элемент
необходим для обеспечения жёсткости конструкции тензовесов, пакеты стоек связывают между
собой две половины весов, на стойках чувствительного элемента устанавливаются тензорезисторы для измерения деформации, вызываемой силой по оси X.
Рис. 2. Центральная часть тензометрических весов
ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 2
Прикладная механика, динамика жидкости и газа
Наибольшие температурные градиенты в тензовесах возникают в их центральной части по причине сложности её конструкции, а также в связи
с тем, что теплообмен между двумя её симметричными частями осуществляется только через стойки и чувствительный элемент.
Для создания тепловой модели тензовесов
необходимо разбить центральную часть их кон-
109
струкции на ячейки. Из множества возможных
вариантов была выбрана схема разбиения, изображённая на рис. 3.
Далее, рассчитав параметры ячеек, можно собрать эквивалентную электрическую схему, распределение напряжения к которой соответствует
распределению температуры по конструкции тензовесов. Фрагменты схемы изображены на рис. 4.
Рис. 3. Разбиение центральной части тензовесов на ячейки
Рис. 4. Фрагменты эквивалентной электрической схемы
На схеме введены обозначения: ϕn — потенциал (температура) ячейки n; Tc — потенциал (температура) окружающей среды; Cn — ёмкость (теплоёмкость) ячейки n; RTn — сопротивление (теплообмену) между ячейкой n и окружающей средой; Rn — сопротивление (внутреннему тепловому потоку) половины ячейки n.
Для моделирования распространения тепла по
тензовесам можно задавать начальное распределение напряжения по схеме (то есть температуры
по весам) или температуру окружающей среды
(как постоянную, так и переменную по времени),
то есть менять значение напряжения Tc.
Для моделирования прогрева тензовесов при
наличии потока тепла от тензорезисторов, уста-
110
Прикладная механика, динамика жидкости и газа
новленных на чувствительном элементе, необходимо задать дополнительный ток в ячейку № 64.
Величина тока должна быть равна мощности источника тепла. При моделировании прогрева тензовесов с дополнительными потоками тепла от посторонних источников можно подводить ток подобным образом к любой ячейки эквивалентной
схемы.
Далее, рассчитав для каждой ячейки её объём, площадь поверхности и площадь поперечного
сечения, записывается дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее тепловой баланс ячейки. В итоге получается система дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида:
ϕ•1 = −
ϕ•2 =
+
ϕ•106 =
Tc − ϕ2
,
RT 2 C2
ϕ2 − ϕ3
ϕ3 − ϕ2
Tc − ϕ3
−
+
,
(R2 + R3 )C22
(R3 + R4 )C3
RT 3 C3
...
ϕ105 − ϕ106
ϕ106 − ϕ107
−
−
(R105 + R106 )C106
(R106 + R107 )C106
−
ϕ•117 =
С помощью описанной модели были изучены три
основные причины возникновения подобной погрешности и методы борьбы с ними.
Прогрев тензовесов от окружающей среды. При прогреве конструкции весов от окружающей среды первая прогревается неравномерно
из-за наличия клиновидных элементов и стоек
(рис. 5). «Острые» концы клиньев прогреваются
быстрее «тупых». В результате в конструкции весов появляются температурные градиенты, которые являются причиной температурной деформации тензовесов.
ϕ1 − ϕ2
Tc − ϕ1
+
,
(R1 + R2 )C1
RT 1 C1
ϕ1 − ϕ2
ϕ2 − ϕ3
ϕ2 − ϕ63
−
−
+
(R1 + R2 )C2
(R2 + R3 )C2
C2 R63
ϕ3 • =
ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 2
ϕ106 − ϕ63
Tc − ϕ106
+
,
C106 R63
RT 106 C106
...
Рис. 5. Прогрев весов от окружающей среды. Более
темные области соответствуют более нагретым частям конструкции
Прогрев весов от модели. При проведении
аэрофизического эксперимента слева к весам присоединяется исследуемая модель, а справа весы
прикреплены к державке.
Если температуры этих трёх тел не равны,
то между ними начинает течь тепловой поток
(рис. 6). Рассмотрим случай, когда температура
модели больше температуры весов, а теплообмена между весами и державкой нет.
ϕ116 − ϕ117
Tc − ϕ117
+
.
(R117 + R116 )C117
RT 117 C117
Для получения распределения температуры по
тензовесам необходимо решить описанную систему дифференциальных уравнений. Поскольку её
аналитическое решение будет довольно громоздким, задача решалась численным методом в программном комплексе Mathcad.
Для получения величины температурной динамической погрешности необходимо с помощью
эквивалентной упругой схемы весов пересчитать
значения температурных градиентов в значение
температурной динамической погрешности. Методика пересчёта описана в отдельной работе.
Работа описанной тепловой модели весов проверялась на простых телах (в сравнении с аналитическим решением уравнения теплопроводности), а также сравнивалась с экспериментальными данными прогрева тензовесов (см. [2]). Сравнение показало удовлетворительное совпадение, позволяющее говорить о том, что картины прогрева тензовесов, полученные с помощью тепловой
модели, хорошо совпадают с реальными кривыми
прогрева тензовесов.
Причины возникновения динамических
температурных погрешностей в тензовесах.
Рис. 6. Прогрев весов от модели. Более темные области соответствуют более нагретым частям
конструкции
Тепло от модели перетекает вдоль конструкции весов, прогревая их несимметрично относительно оси симметрии весов. В силу большого термического сопротивления стоек одна из симметричных половинок тензовесов (ячейки с № 1 по
№ 53) будет иметь бо́льшую температуру, чем вторая. Из-за появившихся температурных градиентов в весах появляются температурные деформации. Случай, когда температура державки превышает температуру весов, идентичен рассмотренному, только температура будет больше у ячеек с 65
по 177.
В отличие от случая прогрева от окружающей
среды при прогреве от модели картина распределения температуры по весам не будет симметричной относительно оси симметрии весов.
Как показали расчёты с тепловой моделью
весов, значение температурной динамической погрешности при измерении силы по оси X при про-
ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 2
Прикладная механика, динамика жидкости и газа
111
греве от модели на порядок превышает аналогичдеформирующие её между пакетами стоек, то уканое значение при прогреве от окружающей среды.
занная погрешность должна быть пропорциональТепло от тензорезисторов, установленна двум разностям: (T 1 − T 3) и (T 4 − T 2). Эти два
ных на чувствительном элементе. Для измеградиента описывают деформацию весов между
рения силы по оси X на чувствительном элеменпакетами стоек и чувствительным элементом, коте тензовесов установлены тензорезисторы, нахоторая является причиной возникновения темперадящиеся под напряжением. На них выделяется
турной динамической погрешности в направлении
тепло, которое растекается по весам симметричоси X.
но относительно чувствительного элемента. Изза несовпадения оси симметрии весов и положения чувствительного элемента тепло неравномерно прогревает конструкцию весов, что ведёт к появлению температурных градиентов в конструкции (рис. 7).
Рис. 8. Схема установки термодатчиков на конструкции весов
Таким образом, рассматриваемая погрешность
будет равна
k
(T 1 − T 2 − T 3 + T 4),
(1)
X
где k — размерная константа, X — измеряемая сила, Π д — температурная динамическая погрешность тензовесов при измерении силы X (в процентах от силы X).
Была произведена проверка данного метода
при различных источниках температурной погрешности (прогрев от окружающей среды, прогрев от исследуемой модели, прогрев от тензорезисторов, установленных на чувствительном элементе).
Для примера на рис. 9 приведена погрешность
тензовесов Πм(n), полученная с помощью моделирования, и погрешность весов Π д (n), полученная
с помощью формулы (1). По оси абсцисс отложено время с начала прогрева в секундах, по оси ординат — погрешность тензовесов в процентах от
измеряемой ими величины.
Πд ≈
Рис. 7. Прогрев весов от тензорезисторов
Моделирование показало, что значение температурной динамической погрешности при прогреве от тензорезисторов сравнимо с аналогичным
показателем при прогреве тензовесов от окружающей среды при перепаде между температурами
весов и среды в 1 К.
То есть, если весы не защищены от прогрева от
окружающей среды и от модели / державки, величина температурной динамической погрешности,
вызванная прогревом от тензорезисторов, мала по
сравнению с погрешностью, вызванной прогревом
от модели и окружающей среды.
При установке защиты от указанных прогревов величина температурной динамической погрешности, вызванная прогревом от тензорезисторов, может сравняться с погрешностями от других
источников.
Метод мониторинга величины температурной
динамической погрешности тензовесов. Несмотря
на возможность применения различных видов защиты, в аэродинамических тензометрических весах все равно будут возникать существенные температурные нестационарные погрешности.
Тепловая модель позволила обосновать метод
мониторинга величины температурной погрешности тензовесов в направлении оси X во время проведения эксперимента (см. [2]).
Метод предусматривает установку четырёх
термодатчиков на конструкции весов по схеме,
изображённой на рис. 8. На схеме за T 1, T 2, T 3,
T 4 обозначены термодатчики, установленные соответственно на 38-й, 70-й, 6-й и 102-й ячейках
тензовесов.
Поскольку причиной возникновения температурной динамической погрешности являются температурные градиенты в конструкции тензовесов,
Рис. 9. Кривая погрешности тензовесов Пм, полученная с помощью модели, и аналогичная кривая Пд, полученная с помощью термодатчиков
Как видно из графиков, функции обладают
одинаковой геометрией, что подтверждает возможность оценивать температурную погрешность
112
Прикладная механика, динамика жидкости и газа
тензовесов при прогреве от окружающей среды
путём измерения температуры 4-х точек на весах.
Аналогичные результаты были получены для
случаев прогрева тензовесов от окружающей среды и от тензорезисторов.
Литература
1. Богданов В.В., Волобуев В.С. Многокомпонентные тензометрические весы // Датчики и системы. — 2004. — № 3. — С. 3--8.
2. Богданов В.В., Волобуев В.С., Горбушин А.Р. Исследование тепловой динамики тензометрических весов и разработка методов снижения их температурных погрешностей // Четвер-
ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 2
тый международный симпозиум по тензометрическим весам. — Сан–Диего, Калифорния, США. —
10--13 мая 2004 года.
3. Клеев И.В. Температурные динамические
погрешности в тензометрических аэродинамических шестикомпонентных весах // Датчики и системы. — 2007. — № 2. — С. 6--10.
4. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление: справочное пособие. — М.: Энергоатомиздат, 1990.
5. Лыков А.В. Теория теплопроводности. —
М.: Высшая школа, 1967.
Поступила в редакцию 08.01.2008.