ТЕХНОСФЕРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ...

ТЕХНОСФЕРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ
2014 № 2 (3)
УДК 531.355
mail@kii.gov.by
РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНОЙ СКОРОСТИ ВЕТРА ДЛЯ ОДИНОЧНО СТОЯЩЕГО ДЕРЕВА
НА ПРИМЕРЕ СОСНЫ
CALCULATION OF SPEED LIMIT OF THE WIND FOR SINGLE STANDING TREE ON
THE EXAMPLE OF PINE
Камлюк А.Н., кандидат физико-математических наук, Ребко Д.В.,
Командно-инженерный институт МЧС Республики Беларусь, Минск
Kamluk A., PhD, Rebko D., Institute for Command Engineers of the MES of the Republic of Belarus,
Minsk
Проведен натурный эксперимент, из которого получены время падения и формы упругой
линии ствола дерева во время движения. Выполнено численное моделирование движения
ствола дерева. На основании сопоставления данных натурного и численного
экспериментов получено значение коэффициента сопротивления кроны дерева, в
предположении, что сопротивление линейно по скорости движения. Разработана
методика расчета предельной скорости ветра для одиночно стоящего дерева по условию
прочности на изгиб.
Ключевые слова: математическая модель; гибкий ствол; упругая линия; коэффициент
сопротивления; предельная скорость.
Field experiment determining time of falling and forms of elastic line of a tree trunk during
movement was carried out. The numerical simulation of movement of the tree trunk was made.
Based on the comparison of field data with numerical experiment the value of coefficient of
resistance of tree crown was obtained supposing that the resistance is linearly related to speed.
The method of calculation of speed limit of wind for single standing tree is developed related to
durability condition at bending.
Keywords: mathematical model; flexible trunk; elastic line; coefficient of resistance; speed limit.
пятого
порядка
по
скорости
со
Введение. Исследования по влиянию
знакопеременными слагаемыми. Однако,
ветра на крону дерева имеют важное
если
перейти
к
коэффициенту
практическое значение. Результаты таких
сопротивления
при
первой
степени
исследований позволят прогнозировать
скорости (то есть умножить квадратичный
движение дерева как объекта труда при
коэффициент сопротивления элемента
валке
деревьев,
оценивать
характер
кроны на скорость его движения, при
повреждений
лесных
массивов
при
которой коэффициент найден), получим
ураганах
и
решать
задачи
по
результат, отличающийся от константы на
предупреждению чрезвычайных ситуаций,
величину
порядка
погрешности
связанных с воздействием ветровых
эксперимента. Это говорит о том, что
нагрузок на насаждения. Моделирование
зависимость силы сопротивления от
протекания
воздуха
сквозь
крону
скорости можно принимать линейной.
одиночного дерева или лесного массива
Сопоставить
численные
результаты,
требует
задания
коэффициента
полученные в данной работе, и работе [1],
сопротивления. В связи с отсутствием
не представляется возможным, поскольку
данных об этом коэффициенте возникла
результаты, полученные для элемента
необходимость
в
проведении
кроны, не будут верными для кроны как
экспериментальных работ и численного
целого в связи с тем, что в этом случае
моделирования.
сильно изменяются числа Рейнольдса.
В ряде работ находился коэффициент
В
данной
работе
находится
сопротивления отдельных элементов кроны
коэффициент сопротивления кроны как
дерева (сучьев или веток) (см., например
целого. Для этого был проведен натурный
[1]).
В
работе
[1]
исследовались
эксперимент, на основании которого
коэффициенты сопротивления элемента
получены упругие линии ствола дерева в
кроны кедровой сосны при квадрате
различные моменты времени. Затем на базе
скорости обтекания средой. Была получена
математической
модели
путем
сложная зависимость в виде полинома
динамического моделирования получены
URL: uigps.ru/content/nauchnyy-zhurnal
20
ТЕХНОСФЕРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ
2014 № 2 (3)
теоретические упругие линии ствола
дерева.
Коэффициент
сопротивления
подбирался из условия совпадения упругих
линий ствола дерева в любой момент
времени в натурном и численном
эксперименте.
Натурный
эксперимент.
Эксперимент проводился в Минском
государственном
производственном
лесохозяйственном объединении ГЛХУ
«Стародорожзкий лесхоз». После срезания
и сталкивания дерева вальщиком оно
свободно падает. После падения была
измерена длина и диаметр у основания
каждого дерева. По измеренным длине
ствола и диаметру у основания при
известной плотности древесины получена
масса ствола дерева (форма ствола дерева
принята конусовидная). Падение каждого
дерева было снято на видеокамеру. По
результатам видеосъемки были получены
фотографии падающих деревьев через
каждую секунду после начала падения. На
рис. 1 представлены осевые линии ствола
дерева через каждую секунду от момента
падения
дерева
для
одного
из
экспериментов.
Рис. 1. Фотографии падающего дерева через каждую секунду после начала движения
Для исследования сопротивления
кроны дерева необходим численный
эксперимент, используя который, можно
получить упругие линии ствола дерева в
различные моменты времени. Сопоставляя
формы упругой линии в численном и
натурном эксперименте можно решить
задачу по определению коэффициента
сопротивления.
Численный эксперимент. В данной
работе используется модель ствола дерева в
виде
цепочки
жестких
звеньев,
соединенных упругими шарнирами (рис. 2).
URL: uigps.ru/content/nauchnyy-zhurnal
Звенья представляют собой цилиндры,
диаметры которых меняются от основания
ствола к вершине. Данная модель,
составление уравнений движения для нее и
алгоритм интегрирования полученных
уравнений
движения
подробно
рассмотрены в работах [2, 3]. Следует
отметить,
что
численная
модель,
представленная на рис. 2, называемая «rodchain model», давно известна, и широко
используются для изучения динамики
длинных гибких нитей в потоке жидкости
(см. [4] и цитируемую там литературу).
21
ТЕХНОСФЕРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ
2014 № 2 (3)
Рис. 2. Модель дерева
Силу сопротивления воздуха, действующую на крону дерева, полагали линейной по
скорости
Fk  k vCk ,
где k – коэффициент сопротивления, действующий на k-й стержень,
скорости центра масс k-ого стержня.
vCk –
вектор
При линейной зависимости силы сопротивления от скорости для вычисления
обобщенной силы сопротивления удобно ввести диссипативную функцию Релея  :
2
vCk
  βk
2
i 1
n
.
Тогда обобщенная сила сопротивления
Qk  
Qk
может быть записана в виде

.
φ k
где φ k – обобщенные координаты (углы поворота цилиндров). Точкой обозначена
производная по времени.
Дифференциальные уравнения движения модели следуют из уравнений Лагранжа:
d  T

dt   k
 T
П 







 k
k
k

 k  1, 2, .., n  ,
где Т – кинетическая энергия системы, П – потенциальная энергия системы.
В результате получили систему дифференциальных уравнений второго порядка,
линейную по угловым ускорениям элементов, но сильно нелинейную по самим обобщенным
координатам, которую ввиду ее чрезвычайной громоздкости не выписываем. Полученная
система дифференциальных уравнений движения будет иметь вид
n
 bik  ,  k  Bi  ,   ,
 k  1, 2, .., n  ,
k 1
URL: uigps.ru/content/nauchnyy-zhurnal
22
(1)
ТЕХНОСФЕРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ
2014 № 2 (3)
Решением системы уравнений (1) будет являться транспонированная матрица-столбец
обобщенных координат
   φ1, φ2 , ...φn 
T
.
Полученные для модели уравнения
движения содержат неизвестный коэффициент
сопротивления   . Его невозможно получить
аналитически и довольно трудно измерить
экспериментально.
Коэффициент
сопротивления зависит от многих факторов,
меняется в зависимости от породы деревьев и
даже времени года.
В данной работе коэффициенты k
принимали отличными от нуля для
нескольких последних стержней модели в
соответствии с расположением кроны
дерева (что соответствует натурному
эксперименту) и считали, что их значения
распределены по треугольному закону со
значением max у основания треугольника
и нулевым значением на верхнем конце
ствола, а ось вращения первого от
основания стержня проходит через кромку
среза, то есть сбрасывание дерева с пня, при
его движении, не происходит.
Помимо неизвестного коэффициента
сопротивления max при моделировании
процесса падения дерева неизвестной
является начальная угловая скорость
падения дерева 0 , которую ему придают
вальщики. Начальную угловую скорость
получим из экспериментальных данных.
Очевидно, что в первые несколько секунд
движения дерева его угловая скорость
незначительна.
Следовательно,
незначительно влияние сил сопротивления,
действующих на крону, о чем говорит
прямолинейная форма ствола дерева.
Подберем значение начальной угловой
скорости так, чтобы в течение первой
секунды положение осевой линии модели
совпадало с осевой линией ствола дерева в
натурном эксперименте.
Уравнения движения модели (1)
решались численно, с помощью пакета
Maple. Угловые ускорения из системы
находились при помощи метода Ньютона –
URL: uigps.ru/content/nauchnyy-zhurnal
Рафсона по итерационной формуле [5].
Численное
интегрирование
уравнений
движения производилось с помощью
модификации базовой схемы Верле, так
называемой полушаговой «leap-frog» схемы
[6]. Шаг по времени принимался равным
Δt = 0,001с, ствол дерева разбивался на 20
частей. Геометрические параметры ствола
дерева для расчетов принимались из
экспериментальных
данных,
модуль
упругости древесины –
E  1,2 1010 Па ,
плотность древесины –   780 кг м .
В
результате
интегрирования
уравнений движения получили формы
осевой линии ствола дерева в процессе его
движения и время падения. Далее
коэффициент
сопротивления
max
подбирали таким образом, чтобы осевая
линия
в
численном
и
натурном
экспериментах совпадали в любой момент
времени. Таким образом, в данной работе,
сопоставляя экспериментальные данные о
времени падения и форме упругой линии
ствола
дерева
с
результатами
моделирования данного процесса, удалось
определить
границы
изменения
коэффициента сопротивления.
Коэффициент
сопротивления.
Выполняя для видеосъемки
каждого
эксперимента посекундную раскадровку,
получили фотографии падающего дерева
через каждую секунду от момента начала
падения.
Из
фотографий
нашли
экспериментальную упругую линию ствола
дерева при его падении. Затем выполняли для
того же дерева численный эксперимент,
изменяя коэффициент сопротивления до тех
пор, пока упругая линия ствола дерева в
натурном и численном эксперименте не
совпадали в любой момент времени (рис. 3).
3
23
ТЕХНОСФЕРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ
2014 № 2 (3)
a
б
Рис. 3. Результаты натурного (а) и численного (б) экспериментов
Результаты измерений и вычислений для всех экспериментов представлены в табл. 1.
Таблица 1. Сопоставление натурного и численного экспериментов
Порода
дерева
Сосна
Высота
дерева, м
Диаметр
ствола у
основания,
см
Начальная
угловая
скорость
Коэффициент
сопротивления β
Время
падения,
эксперимент,
с
Время
падения,
теория,
с
25
30
40
40
30
45
0.04
0.03
0.07
0.001
0.04
0.022
50
140
100
170
55
130
4
10.5
5
7.5
3.5
7.5
4.11
10.77
5.06
7.52
3.59
7.53
23
23
25
25
25
26
0
Расчет предельной скорости ветра для отдельно стоящего дерева. Для определения
предельной скорости ветра для дерева необходимо знать максимальную силу давления ветра,
которую может выдержать ствол дерева. Расчет силы давления ветра на крону дерева провели
из условия прочности на изгиб.
Максимальный изгибающий момент силы ветра можно рассчитывать по формуле:
M xmax =smaxWx ,
(2)
M xmax - максимальный изгибающий момент; σmax – предельное напряжение для
древесины; Wx – момент сопротивления ствола.
где
Для расчета максимального момента силы, создаваемой ветровой нагрузкой учли, что
M xmax =Fxmaxlпл
,
(3)
где lпл – плечо силы, создаваемой ветровой нагрузкой.
Принимая, что крона дерева занимает две трети его длины, длина плеча силы
определялась по следующей формуле:
5
lпл = l
6
,
(4)
где l – длина ствола дерева.
Предельное напряжение на изгиб для древесины σmax =15 МПа [7].
При расчете допускаем, что ствол имеет цилиндрическую форму. Тогда момент
сопротивления рассчитываем, используя следующую зависимость:
URL: uigps.ru/content/nauchnyy-zhurnal
24
ТЕХНОСФЕРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ
Wx =
πd 3
32
2014 № 2 (3)
,
(5)
где d – диаметр ствола дерева у основания.
Для определения предельной силы, создаваемой ветровой нагрузкой, воспользуемся
зависимостью:
Fmax =β max
,
(6)
где  max – предельная скорость ветра, при превышении которой дерево будет сломано;
β
– коэффициент сопротивления кроны дерева.
Анализируя (2) – (7), получаем выражение для оценки предельной скорости ветра:
 max =
3σmax πd
80lβ
(7)
После подстановки в формулу (7)
усредненных
значений
геометрических
параметров дерева из табл. 1, а также σmax ,
м/c. Разбежку в значениях предельных
скоростей можно объяснить особенностями
объекта исследования. Кроны деревьев одной
и той же породы произрастающих в одних и
тех же условиях сильно отличаются. В данной
работе методика описана на примере сосны.
Для расчетов предельной скорости для других
видов деревьев необходимо проведение
экспериментальных
исследований.
Полученные значения предельных скоростей
ветра для различных пород деревьев позволят
оценивать характер повреждений лесных
массивов при ураганах и решать задачи по
предупреждению чрезвычайных ситуаций,
связанных с воздействием ветровых нагрузок
на насаждения.
β
может быть получена предельная скорость
ветра, при превышении которой происходят
разрушения ствола сосны.
Заключение. Таким образом, в статье
разработана методика расчета предельной
скорости ветра для одиночно стоящего дерева
по условию прочности на изгиб, включающая
способ
определения
коэффициента
сопротивления кроны. На основании данной
методики можно получить предельные
скорости ветра для деревьев различных пород.
Расчет показал, что предельная скорость ветра
для сосны находится в диапазоне от 19 до 38
Литература
1. Орлов С.А., Шрагер Л.А. Исследование коэффициента сопротивления элементов кроны
кедровой сосны // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. –
2011. – №2(14). – C. 103–110.
2. Борисевич С.А., Камлюк А.Н. Модель гибкого стержня в трехмерном пространстве и ее
применение для описания динамики падения ствола дерева // Весцi АН РБ. Сер. фiз.-мат. навук. –
2012. – №2. – С. 69–74.
3. Борисевич С.А. Конечно-разностная схема для исследования падения ствола дерева // Труды
БГТУ. Сер. II, Лесная и деревообрабатывающая промышленность. – 2008. – Вып. XVI. – C. 104–
107.
4. Gang Wang. Optimization of the rod chain model to simulate the motions of a long flexible fiber in
simple shear flows // European Journal of Mechanics B. – 2006. – Vol. 25, №3. – P. 337–347.
5. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных
уравнений. – М.: Мир, 1988. – 440 с.
6. Allen M.P., Tildesley D. J. Computer Simulation of Liquids // Oxford: Clarendon press, – 1999. –
385 p.
7. Самохвалов Я.А., Левицкий М.Я., Григораш В.Д. Справочник техника-конструктора. –
Киев: Техника, 1978. – 127 с.
URL: uigps.ru/content/nauchnyy-zhurnal
25