Пособие для определения основных характеристик биномиального и связанных с ним распределений вероятностей

Пьявченко А.Н.,
Главный научный сотрудник
ФГУП НИИ «Восход»
Пособие
для определения основных характеристик биномиального
и связанных с ним распределений вероятностей
Москва
2011
Предисловие
Данное Пособие является в определенном смысле уникальным: в нем впервые детально
описан
широкий
класс
вероятностных
распределений,
которые
порождаются
последовательностью независимых испытаний – так называемой схемой Бернулли. Автор
показывает «генетическую связь» между ними, приводит известные аппроксимации дискретных
распределений непрерывными, что на практике оказывается очень важным, особенно при
проведении приближённых расчетов.
Основная ценность этой книги состоит именно в систематическом изложении ставших
уже классическими результатов. Большое число примеров, взятых непосредственно из
инженерной практики, дает читателю (точнее, пользователю) возможность понять «физическую
сущность» казалось бы абстрактных математических построений.
Автор Пособия, Аскольд Николаевич Пьявченко, является известным специалистом в
области надежности и статистических методов контроля качества. Пособие, написанное видным
прикладным математиком на базе многолетнего практического опыта, будет, безусловно,
полезным и инженерно-техническим работникам, и студентам технических учебных заведений.
Доктор техн. наук, профессор
Игорь Ушаков,
Сан-Диего, Калифорния.
2013.
2
Содержание
Раздел
1
2
3
Название раздела
Введение
5
Биномиальное распределение
8
1.1 Вероятности и функция распределения
8
1.2 Расчётные формулы
8
1.3 Примеры применения
9
Отрицательное биномиальное распределение
11
2.1 Вероятности и функция распределения
11
2.2 Расчётные формулы
12
2.3 Примеры применения
12
Распределение Паскаля
15
3.1 Основные сведения
15
3.1.1 Вероятности и функция распределения
15
3.1.2 Расчётные формулы
15
3.1.3 Примеры применения
16
3.2 Геометрическое распределение как частный случай распределения
Паскаля
3.2.1 Вероятности и функция распределения
4
5
6
Стр
17
18
3.2.2 Расчётные формулы
18
3.2.3 Примеры применения
18
3.2.4 Связь геометрического распределения с экспоненциальным
распределением
19
Бэта-распределение
20
4.1 Плотность вероятности и функция распределения
20
4.2 Расчётные формулы
21
4.3 Примеры применения
21
Распределение Фишера
22
5.1 Плотность вероятности и функция распределения
22
5.2 Расчётные формулы
23
5.3 Примеры применения
23
Аппроксимации биномиального распределения
24
6.1 Общие положения
24
6.1 Аппроксимация распределением Пуассона
25
6.2 Аппроксимация нормальным распределением
27
3
7
Применение Таблицы биномиального распределения
27
7.1 Общие положения
27
7.2 Интерполяция
28
Список рекомендуемой литературы
29
Приложение А. Таблица функции биномиального распределения
(в отдельном файле формата pdf)
4
Введение
В.1 Пособие предназначено для практического применения специалистами в
области информационных технологий при решении инженерных задач теории
вероятностей и прикладной статистики, содержащих в явном или не в явном виде
модель независимых испытаний Бернулли.
В тексте использованы следующие условные обозначения:
а) случайные величины помечены значком *, расположенным слева вверху от
соответствующего символа;
б) {*x ≤ x} – событие, состоящее в том, что случайная величина *x не
превысит заданное значение x;
в) P{*x ≤ x; a, b} ≡ F(х; а, b) – функция распределения вероятностей случайной
величины *x , где a и b – параметры распределения, а P - оператор суммирования
событий, заключённых в фигурные скобки (выделен жирным шрифтом в отличие от
Р(·) - числа или функции);
г) P{*x > x; a, b} = 1 − F(x) ≡ F (x) - дополнительная функция распределения;
д) q – вероятность наступления события А в одном испытании и p = 1 – q.
е) ЭМ – электронный модуль – обобщённое название любого электронного
устройства: процессора или нескольких конструктивно объединённых процессоров,
интеллектуального датчика, модема, системного блока или платы и т.п.
В.2 Исходной моделью для всех приводимых в Пособии распределений
является схема независимых испытаний Я. Бернулли (1654 – 1705). Результат таких
испытаний может быть представлен в следующем виде: A, A, A, A. …A, A, A. .., где A событие, противоположное событию A, которое происходит с вероятностью p =
= 1 – q. Если, например, проводятся испытания на надёжность, то событие А можно
связать с появлением какого-либо неблагоприятного, как правило редкого исхода
(отказа, сбоя, ошибки в решении функциональной задачи пользователя и т.п.).
Главным свойством последовательности независимых испытаний является,
как следует из названия, независимость каждого последующего испытания от исхода
предыдущего испытания, то есть безразлично, какое событие произошло в n-м
5
испытании: в (n+1)-м испытании событие A произойдёт с вероятностью q и не
произойдет с вероятностью p = 1 – q при любых n = 1, 2, 3, ….
На практике с последовательностью независимых испытаний связана
необходимость определения основных характеристик распределений следующих
случайных величин:
*rn
– число неблагоприятных исходов в последовательности из заранее
заданного числа n испытаний (биномиальное распределение – Раздел 1);
*kr
– число благоприятных исходов испытаний до появления r-ого события A
в последовательности (отрицательное биномиальное распределение – Раздел 2);
*nr
– число испытаний до появления r-ого события A в последовательности
(распределение Паскаля – Раздел 3) или, в частности, *n1 – число испытаний до
появления первого события A в последовательности (геометрическое распределение
– Подраздел 3.2).
,
В.3 При наличии у пользователя Пособия персонального компьютера с
Microsoft Office (например, 2003 или выше) значения вероятностей qn(r) и функции
FBi(r;n,q) биномиального распределения могут быть рассчитаны по формулам
Раздела 1 с помощью приложения Microsoft Office Excel.
Для пользователей, не применяющих компьютер, в отдельном Приложении А
приведена Таблица функции биномиального распределения, рассчитанная для n = 5
(I) 30 и q = 0,01 (0,01) 0,50. Сведения, необходимые для определения значений
функции или вероятностей биномиального распределения при n и q, не совпадающих
с табличными значениями, даны в разделах 1 – 6.
Таблица обладает более широкими возможностями, чем аналогичная таблица в
[I] и более проста в применении, чем таблица, приведённая в [2].
Таблицу можно использовать также для определения значений других функций
распределения, связанных с биномиальным распределением (разделы 3 – 6), таких как
отрицательное биномиальное – F−Bi (k;r,q), Паскаля – FPa (n;r,q), Бэта –
FB (x;r,k) и Фишера – FF (z;2r,2k). Ниже показана Схема связи между этими
распределениями и биномиальным распределением.
Формулы для расчёта численных значений любой из указанных в левом
столбце функций распределения определяются формальной подстановкой вместо
6
значений переменной (r) и параметров (n и q) биномиального распределения –
значений переменных и параметров, приведённых в строке справа от каждой
функции.
Схема связи между распределениями
Исходные
распределения
F−Bi (k;r,q)
F-Bi (k;r,q)
FPa (n;r,q)
F Pa (n;r,q)
FB (x;r,k)
F B (x;r,k)
FF (z;2r,2k)
F F (z;2r,2k)
FBi(r;n,q) = FBi (k – 1;n,p)
r
n
q
k
r–1
r+k
r+k
p
q
n–r
r–1
n
n
p
q
k–1
r–1
r+k–1
r+k–1
1–x
x
k–1
r–1
r+k–1
r+k–1
k/(rz + k)
(rz)/(rz + k)
Кроме того, в Разделе 7 дано два популярных приближения биномиального
распределения, особенно полезных при значениях параметров n и q, находящихся за
пределами значений, приведённых в Таблице. – это распределение Пуассона и
нормальное1 распределение.
В.4 Специалистов, инженеров, преподавателей и студентов высших и средних
учебных заведений могут также заинтересовать примеры применения приводимых в
Пособии распределений для решения практических задач из других предметных
областей. Численные значения искомых величин почти во всех примерах рассчитаны
с помощью Таблицы, что предоставляет пользователям Пособия возможность решать
их другими способами. Несмотря на некоторую архаичность публикации таблиц
подобного рода, можно надеяться, что во многих ситуациях, возникающих на
практике, приводимая здесь Таблица окажется для читателя полезным предметом,
схожим с нарочито плохо спрятанным «роялем в кустах».
Для более глубокого изучения свойств приводимых в Пособии распределений
следует ознакомиться с рекомендуемой литературой.
1
Известное как распределение Гаусса или распределение Муавра-Лапласа (открытое Муавром и Лапласом, а
впоследствии подробно изученное Гауссом)
7
1 Биномиальное распределение
1.1 Вероятности и функция распределения
1.1.1 Модель. Рассматривается схема независимых испытаний Бернулли с
вероятностью появления события А в одном испытании равной q. До начала
испытаний
устанавливается
число
вероятностей случайной величины
испытаний
*r
n.
Изучается
распределение
- числа появлений события А при проведении
n испытаний.
Вероятность ровно r появлений события А в последовательности из n
независимых испытаний определяется выражением2:
qn(r) = Cnr qr·pn – r
где Cnr =
(1)
n!
- число сочетаний из n по r, p = 1 – q, r = 0, 1, 2,...n .
r!(n - r )!
Вследствие независимости испытаний рассмотренная модель сохраняется и в
том случае, когда число испытаний n образуется априорным заданием n порядковых
номеров испытаний в последовательности, по которым будет оцениваться результат
испытаний, причем способ выбора этих номеров не имеет значения.
1.1.2 Функция распределения случайной величины
*r
определяется как
вероятность события {*r ≤ r}, где r – заданное значение из области определения
случайной величины: r = 0, 1, 2,..n.
Таким образом, функция биномиального распределения равна сумме
вероятностей вида (1) от 0 до заданного значения r:
r
FBi(r; n, q) =
å qn ( r ) =
i =0
r
å
i =0
C ni qi·pn – i
(2)
1.2 Расчётные формулы
1.2.1 Основные числовые характеристики биномиального распределения –
математическое ожидание (среднее значение) – mr и дисперсия – s r2 случайной
величины *r – рассчитываются по формулам:
mr = nq
2
(3)
Нумерация формул выполнена отдельно в пределах каждого раздела
8
s r2 = npq
(4)
1.2.2 Значения функции биномиального распределения можно рассчитать
непосредственно по формуле (2) или определить с помощью Таблицы при q ≤ 0,5.
Для применения Таблицы при q > 0,5 необходимо использовать следующее
тождество:
FBi(r; n, q) = 1 – FBi(n – r – 1; n, p) ≡ F Bi (n – r – 1; n, p)
(5)
При некоторых отсутствующих в Таблице (малых или больших) значениях
параметров биномиального распределения хорошие результаты при расчётах дают
две известные аппроксимации. При малых значениях вероятности наступления
события А в модели независимых испытаний и, в частности, при nq < 0,8 и n > 6
применяется аппроксимация распределением Пуассона. При значениях nq ≥ 0,8 и
n > 6 применяется аппроксимация нормальным распределением (см. Раздел 7).
1.2.3 Значения вероятностей биномиального распределения qn(r) можно
вычислить по формуле (I), рассчитать на персональном компьютере, например с
использованием Microsoft Office Excel, или определить с помощью Таблицы по
формулам:
qn(r) = FBi(r; n, q) − FBi(r − 1; n, q)
при q ≤ 0,5 и
qn(r) = FBi(n − r; n, p) − FBi(n − r − 1; n, p) при q > 0,5
(6a)
(6b)
1.3 Примеры применения
Пример 1. Вычислительная система производит циклически решение
определенной совокупности задач. Вероятность задержки результатов решения
сверх заданного времени (отказ, срыв задания) равна q = 0,07 на каждом цикле и не
зависит от наличия задержек на предыдущих циклах. Для последовательности,
состоящей из 23 циклов решения задач (число рабочих дней в месяце), определить:
1) ожидаемое число задержек и среднеквадратическое отклонение числа
задержек результатов решения задач за месяц работы и
2) вероятности
а) отсутствия задержек,
б) наличия не более двух задержек,
в) наличия более трех задержек.
9
Решение.
1) Подставив значения исходных данных в формулы (2) и (3), получим:
- среднее (ожидаемое) число задержек результатов решения задач за месяц
работы составит mr = nq = 23·0,07 ≈ 1,6 задержки;
- среднеквадратическое отклонение числа задержек равно
σr = npq =
23 × 0,07 × 0,93 ≈ 1,2 задержки.
2) Найдём искомые вероятности с помощью Таблицы
а) Обозначим *r - случайное число задержек, возникающих при n циклах
решения задач (n независимых испытаниях). Вероятность Р{*r ≤ r} того, что число
задержек не превысит некоторое заданное значение r по условию является функцией
биномиального распределения FBi(r;n,q) с параметрами n = 23 и q = 0,07.
Используя r и q как входы в Таблицу, при r = 0 получим
FBi(0; 23, 0,07) = 0,1884 ≈ 0,19.
Таким образом, вероятность того, что в последовательности, состоящей из
23-х циклов решения задач, не произойдет ни одной задержки результатов, примерно
равна 0,19.
б) Аналогичным образом при r = 2: FBi(2; 23, 0,07) = 0,7846 ≈ 0,78.
Следовательно, если задачи решаются в рабочие дни месяца, то вероятность
получить одну, две или ни одной задержки равна примерно 0,78.
в) Вероятность того, что число задержек при решении задач превысит 3,
определяется выражением Р{*r >3} = F Bi (3; 23, 0,07).
Сначала из Таблицы находим вероятность того, что число задержек в
последовательности не превысит 3: FBi(3; 23, 0,07) = 0,9269, откуда искомая
вероятность равна: F Bi (3; 23, 0,07) = I − 0,9269 = 0,0731 ≈ 0,073.
Пример 2. Вероятность сбоя ЭМ в течение месяца работы составляет q = 0,02.
Определить вероятность того, что за год эксплуатации
а) не произойдет ни одного сбоя,
б) ровно один из месяцев года будет содержать сбои;
в) число месяцев, в течение которых произойдут сбои, превысит два.
10
Решение.
а) Из Таблицы при n = 12, q = 0,02 и r = 0 находим вероятность нуля сбоев за
год: FBi(0; 12, 0,02) = 0,7847 ≈ 0,78.
б) Вероятность того, что сбои ЭМ произойдут только в одном из месяцев года,
определяется по формуле (6а). При n = 12 и q = 0,02 из Таблицы находим:
q12(1) = FBi(I; 12, 0,02) − FBi(0; 12, 0,02) = 0,9769 − 0,7847 = 0,1922 ≈ 0,19.
в) Вероятность того, что число месяцев, в течение которых произойдут сбои,
превысит 2, равна Р{*r > 2} = F Bi (2; 12, 0,02).
Из Таблицы при n = 12, q = 0,02 и r = 2 имеем FBi(2; 12, 0,02) = 0,9985,
откуда F Bi (2; 12, 0,02) = 1 − 0,9985 = 0,0015.
2 Отрицательное биномиальное распределение
2.1 Вероятности и функция распределения
2.1.1 Модель. В схеме независимых испытаний Бернулли с вероятностью
появления события А в одном испытании, равной q, заранее фиксируется суммарное
число появлений события А в последовательности, при достижении которого
испытания прекращаются. Рассматривается случайная величина
непоявлений
события
последовательности.
В
А
до
момента
заданных
наступления
условиях
случайная
r-го
*k,
равная числу
события
величина
*k
А
в
имеет
отрицательное биномиальное распределение вероятностей:
qr(k) = Ckk+ r -1 qr·pk ,
(1)
где Ckk+ r -1 - число сочетаний из k + r – 1 по k , k = 0, 1, 2, 3, ...при фиксированном в
качестве параметра распределения значении r .
2.1.2 Функция распределения случайной величины
*k
определяется как
вероятность события {*k ≤ k}, где k – заданное значение из области определения
случайной величины: k = 0, 1, 2, 3,,...
Таким образом, функция отрицательного биномиального распределения равна
сумме вероятностей вида (1) от 0 до заданного значения k :
F−Bi (k ;r, q) =
k
å
i =0
r·
Cii+ r -1 q p
i
(2)
11
2.2 Расчётные формулы
2.2.1 Основные числовые характеристики отрицательного биномиального
распределения – математическое ожидание (среднее значение) – mk и дисперсия –
s k2 случайной величины *k - рассчитываются по формулам:
mk = rp/q
(3)
s k2 = rp/q2
(4)
2.2.2 Значения функции отрицательного биномиального распределения (2)
можно рассчитать, используя её связь с функцией биномиального распределения
(см. Схему связи распределений во Введении):
2.2.3
F−Bi (k;r,q) = FBi (r – 1; k + r, q), при q ≤ 0,50
(5a)
F−Bi (k;r,q) = FBi(k; k + r; p)
(5b)
Значения
вероятностей
при q > 0,50
qr(k)
отрицательного
биномиального
распределения можно рассчитать непосредственно по формуле (1) или с помощью
Таблицы по формулам
qn(k) = FBi(r −1; k + r – 1, q) − FBi(r − 1; k + r , q) при q ≤ 0,5 и
(6a)
qn(k) = FBi(k; k + r; p) − FBi(k − 1; k + r – 1, p)
(6b)
при q > 0,5
2.3 Примеры применения.
Пример 1. Система тестируется ежедневно циклически в одинаковых условиях
до второго «отказа». После «отказа» в тот же день работоспособность системы
полностью восстанавливается, и на следующий день тестирование возобновляется.
Вероятность «отказа» системы на одном цикле тестирования известна и равна q =
= 0,01. Найти вероятность того, что число успешно завершённых дней до второго
«отказа» будет не меньше 28.
Решение.
Обозначим *k – число успешно завершённых дней испытаний до второго
«отказа» (r = 2). Тогда в соответствии с условиями задачи и Схемой связи с
биномиальным распределением можем записать
F - Bi (27; 2; 0,01) = FBi(r – 1 = 1; r+k = 29, q = 0,01).
Если теперь воспользоваться Таблицей, то
12
F - Bi (27; 2; 0,01) = FBi(1; 29, 0,01) = 0,9976.
Таким образом, в заданных условиях с вероятностью близкой к единице число
«безотказных» дней испытаний до 2-го «отказа» окажется не меньше 4-х недель.
Примечание – В данном примере термин «отказ» намеренно взят в кавычки, так как при
различных обстоятельствах и для разных по назначению систем формулировка понятий «отказ»
или «сбой» должна быть индивидуальной, учитывающей требования заказчиков, конфигурацию,
специфику использования и особенности эксплуатации систем. Далее в тексте эти термины
применяются без кавычек в предположении, что пользователь Пособия принимает во внимание
настоящее Примечание.
Пример 2. Система реализует свою функцию в виде последовательности не
зависящих друг от друга этапов. При этом функция системы считается выполненной,
если число успешно завершённых этапов (событие А) равно 20. Вероятность
успешного завершения каждого этапа постоянна и равна q = 0,95. Определить
вероятность того, что число неуспешно завершённых этапов не превысит 4. Найти
ожидаемое
среднее
и
среднеквадратическое
отклонение
числа
неуспешно
завершённых этапов.
Решение
1) По условию задачи нам необходимо найти вероятность
P{*k ≤ 4; r = 20, q = 0,95} = F-Bi(4; 20; 0,95) или
F-Bi(4; 20; 0,95) = FBi(4; 24; 0,05),
если воспользоваться Схемой связи распределений Введения.
Из Таблицы при n = 24, q = 0,05 и r = 4 получим искомую вероятность:
F-Bi(4; 20; 0,95) = 0,9940.
Таким образом, только в шести случаях из тысячи может возникнуть
ситуация, когда выполнение функции системой превысит 24 этапа. Проверку этого
результата расчётом по формуле (5b) предоставляем пользователям Пособия.
2) Подставив, значения исходных данных в формулы (3) и (4), получим для
случайной величины *k :
- ожидаемое число неуспешно завершённых этапов равно
mk = rp/q = (20·0,05)/0,95 ≈ 1,05 при
- среднеквадратическом отклонении
σk = (20·0,05)0,5 / 0,95 ≈ 1,05.
13
Пример
3.
Испытания системы обработки информации проводятся
ежедневно в повторяющихся условиях до второго по порядку появления отказа (r =
= 2, а в качестве отказа могут быть приняты такие события, как отказ программнотехнических средств обработки заявок, поступающих в систему, переполнение
памяти в очереди на обработку данных, запаздывание в обработке заявок свыше
какого-либо заданного значения времени и т.п.). Найти вероятность того, что до
момента появления второго отказа система проработает безотказно не менее 20 дней
(*k ≥ 20), если вероятность отказа в произвольно взятый день постоянна и равна q =
0,01. Рассчитать математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение
числа безотказных дней испытаний до момента появления второго по порядку
отказа.
Решение.
1) По условию задачи вероятность того, что до момента появления второго
отказа система проработает безотказно не менее 20 дней, равна
P{*k ≥ 20; r = 2, q = 0,01} = 1 – F-Bi(19; 2; 0,01),
откуда в соответствии со Схемой связи с биномиальным распределением можем
написать:
1 – F−Bi (19; 2, 0,01) = FBi (1; 21, 0,01).
Из Таблицы при r = 1, n = 21 и q = 0,01 получим окончательно:
P{*k ≥ 20; r = 2, q = 0,01} ≈ 0,9815,
Таким образом, с вероятностью примерно равной 0,98 система проработает на
испытаниях безотказно не менее 20 дней до второго по порядку отказа.
2) Подставив значения исходных данных в формулы (2) и (3), получим:
- ожидаемое число безотказных дней испытаний до второго отказа равно
mk = rp/q = (2·0,95)/0,05 ≈ 38;
- среднеквадратическое отклонение случайной величины *k равно
σk = (2·0,95)0,5 / 0,05 ≈ 27,6.
14
3 Распределение Паскаля
3.1 Основные сведения
3.1.1 Вероятности и функция распределения
3.1.1.1 Модель. В последовательности независимых испытаний Бернулли
фиксируется число наступлений события А - r. Вероятность наступления события А
в одном испытании известна и равна, как и прежде, q. Рассматривается распределение
вероятностей случайной величины *nr - числа испытаний до наступления r-го по
порядку события
А
в последовательности (само r-е событие
включается). В заданных условиях случайная величина
*nr
А
в расчёт
nr
имеет распределение
Паскаля.
3.1.1.2 Вероятность события {*nr = n; r, q} определяется выражением:
qr(n) = Cnr--11 qr·pn – r
где C nr--11 =
(n - 1)!
, p=1–q и
(r - 1)!(n - r )!
(1)
n = r, r + 1, r + 2, .. .
3.1.1.3 Функция распределения случайной величины *nr определяется как
вероятность события {*nr ≤ n}, где n – заданное значение из области определения
случайной величины: n = r, r + 1, r + 2, ... .Таким образом, функция распределения
Паскаля равна сумме вероятностей вида (1) от r до n :
FPa(n;r,q) =
n
n
å q (n) = å
i= r
r
i= r
r·
Cir--11 q p
i−r
(2)
3.1.2 Расчётные формулы
3.1.2.1 Основные числовые характеристики распределения Паскаля –
математическое ожидание (среднее, ожидаемое значение) – mn и дисперсия – s n2
случайной величины *n – рассчитываются по формулам:
Заметим,
что
формула
mn = r/q ,
(3)
s n2 = rp/q2.
(4)
(4)
совпадает
с
формулой
для
дисперсии
отрицательного биномиального распределения. Предоставим пользователю Пособия
возможность самостоятельно объяснить и доказать правомерность этого факта.
15
3.1.2.2
Значения
функции
распределения
Паскаля
можно
рассчитать
непосредственно по формуле (2) или определить с помощью Таблицы, используя
связь с биномиальным распределением:
__
FPa(n;r,q) = FBi (r −1; n, q) при q ≤ 0,5
(5а)
FPa(n;r,q) = FBi(n −r; n, q)
(5b)
при q > 0,5
3.1.2.3 Значения вероятностей распределения Паскаля могут быть рассчитаны
по формуле (1) или с помощью Таблицы по формулам:
qr(n) = FBi (r−1; n−1, q) − FBi (r−1; n, q) при q ≤ 0,5
(6а)
qr(n) = FBi (n−r; n, p) − FBi (n− r−1; n, p) при q > 0,5
(6b)
3.1.3 Примеры применения
Пример 1. Данные по каналам связи передаются сообщениями фиксированной
длины с вероятностью искажения сообщения равной 0,05. Приём производится до
третьего неискаженного сообщения. Определить вероятность того, что общее число
передач сообщений превысит 5.
Решение.
По условию необходимо найти вероятность того, что общее число передач
сообщений превысит n = 5 при окончании передачи третьим по порядку успехом
(r = 3). Таким образом, Р{*n > 5; r = 3, q = 0,95} = 1 – FPa(5; 3; 0,95). Используя связь с
биномиальным распределением, можем написать:
1 – FPa(5; 3; 0,95) = 1 – FBi (n – r = 2; n = 5, p = 0,05)
откуда из Таблицы получим:
_
FPa (5; 3, 0,95) = 1 – 0,9988 = 0,0012 ≈ 0,001, т.е.
примерно в одном случае из тысячи число передач сообщений может превысить 5.
Пример 2. Невосстанавливаемая система, работающая циклически, состоит из
трех одинаковых по надежности ЭМ: двух основных и одного резервного,
автоматически замещающего любой из отказавших основных ЭМ. Вероятность отказа
ЭМ на цикле равна q = 0,03. Определить вероятность того, что система проработает
16
безотказно не менее 30-ти циклов, если резервное устройство не нагружено (не
включено) и в этом состоянии не отказывает.
Решение.
Как следует из условия задачи, число циклов до отказа системы, равное числу
циклов до второго по порядку отказа ЭМ в системе (r = 2) есть случайная величина
*n, распределенная по закону Паскаля. Вероятность безотказной работы системы за
30 циклов равна
Р{*n >30; r = 2, q = 0,03 } = F Pa (30; 2; 0,03) = FBi(I; 30; 0,03),
если воспользоваться уравнением связи с Биномиальным распределением.
Окончательно из Таблицы при n = 30, q = 0,03 и r = 1, получим
F Pa (30; 2; 0,03) = FBi(I; 30; 0,03) = 0,77308 ≈ 0,773.
Таким образом, примерно в 77 случаях из 100 такая система проработает
безотказно не менее 30 циклов.
Пример 3. Спутник сканирует заданную акваторию океана за 4 оборота вокруг
Земли. Если на каком-либо витке из-за различных помех происходит искажение
текущего результата, то оно обнаруживается, и сканирование, выполненное на этом
витке, повторяется заново. Найти вероятность того, что всё сканирование будет
завершено не более чем за 10 витков, если вероятность искажения результата на
одном витке составляет 0,2.
Решение.
Для решения задачи удобно поменять местами события А – искажение
результата сканирования на витке – на противоположное, тогда числу r будет
соответствовать число успешно завершенных витков с вероятностью неискажения
q = 0,8. С учетом этого замечания и связи с биномиальным распределением искомая
вероятность решения задачи не более чем за n = 10 витков запишется в виде:
FPa(n;r,q) = FBi(n – r; n, 1 – q) = FBi(6; 10; 0,2),
откуда из Таблицы при r = 6, n = 10 и q = 0,2 получим
FPa (10; 4; 0,8) = 0,99914,
то есть примерно в одном случае из тысячи в заданных условиях сканирование не
завершится за 10 оборотов спутника вокруг Земли.
17
3.2 Геометрическое распределение как частный случай распределения
Паскаля
3.2.1 Вероятности и функция распределения
3.2.1.1 Модель. В последовательности независимых испытаний Бернулли
фиксируется число наступлений события А: r = 1. Вероятность наступления события
А в одном испытании известна и равна, как и прежде, q. Рассматривается
распределение вероятностей случайной величины *n1 - числа испытаний до
наступления первого по порядку события А в последовательности, а само событие А
в расчёт n включается. Из описания модели следует, что геометрическое
распределение является частным случаем распределения Паскаля3 при r = 1.
В сформулированных условиях геометрическое распределение вероятностей
определяется формулой:
q1(n) = qpn – 1
при n = 1, 2, ...
(7)
3.2.2 Расчётные формулы
3.2.2.1 Основные числовые характеристики геометрического распределения –
математическое ожидание (среднее значение) – mn и дисперсия – σn2 случайной
величины *n рассчитываются по формулам:
mn = 1/q ,
(8)
σn2 = p/q2.
(9)
3.2.2.2 Функция геометрического распределения имеет следующий вид:
FG (n; q) = q
å
n
i=1
pi – 1 = 1 – p n
(10)
при n = 1, 2, ...
3.2.3 Примеры применения
Пример 1. Автоматическая измерительная система состоит конструктивно из
одного ЭМ и производит измерения раз в сутки непрерывно в течение года.
Вероятность получения недостоверного результата в одном измерении («отказ»)
равна q = 0,005. Определить вероятность того, что первый отказ системы наступит за
пределами года эксплуатации. Определить ожидаемое число и среднеквадратическое
3
Практически такие же результаты можно получить, если за исходное распределение взять отрицательное
биномиальное распределение.
18
отклонение числа безотказных дней до момента наступления первого по порядку
отказа измерительной системы.
Решение.
1) Как следует из условия задачи, число дней до первого отказа системы есть
случайная величина *n, распределенная по геометрическому закону (частный случай
распределения Паскаля при r = 1). Вероятность безотказной работы системы на
интервале 365 дней равна с учётом (10):
Р{*n >365; r = 1, q = 0,005} = F Pa (365; 1; 0,005) = 1 – FG (365; 0,005) = 0,995365 ≈
≈ 0,16. Тот же самый результат можно получить, воспользовавшись очевидной для
данного примера связью с биномиальным распределением:
F Pa (365; 1, 0,005) = FBi (0; 365, 0,005).
2) Подставив значения исходных данных в формулы (8) и (9), получим:
- ожидаемое число безотказных дней до момента наступления первого по
порядку отказа измерительной системы равно
mk = rp/q = (1·0,995)/0,005 = 199;
- среднеквадратическое отклонение случайной величины *k равно
σk = (1·0,995)0,5 / 0,005 ≈ 199,5.
Примечание – Если в требованиях заказчика задана вероятность безотказной работы
измерительной системы в течение года – Р(365) = ртр , то отсюда вытекает требование к
безотказности ЭМ при одном измерении: р ≥ (ртр)1/365. Например, если задано ртр ≥ 0,9, то р ≥
(0,9)1/365 ≈ 0,0025, то есть вероятность отказа ЭМ должна быть уменьшена вдвое. Таким образом,
необходимо предпринять меры по повышению надёжности ЭМ, например за счёт введения
резервных элементов в его конфигурацию.
3.2.4 Связь
геометрического
распределения
с
экспоненциальным
распределением
Воспользовавшись
формулой
(10),
для
дополнительной
функции
геометрического распределения можем написать:
_
FG(k;q) = pk = (1 – q)k
(11)
Преобразуем (11), связав каждое испытание с некоторым интервалом времени Δt
(1 – qkΔt/kΔt)k = [1 – (q/Δt)·(t/k)]k , где t ≡ k Δt .
Устремим теперь Δt к нулю, а k к бесконечности, для корректности сохранив
постоянным отношение q/Δt = const ≡ λ . Тогда, как известно из математического
19
анализа,
_
FG(k;q) = lim(1 – λt/k)k = e – λt ,
(12)
k →∞
то есть в пределе геометрическое распределение переходит в экспоненциальное
распределение.
Проверим численно полученный результат при малых значениях параметра q
геометрического распределения. Пусть Δt = 1, тогда значение времени t будет равно
значению k. Объединив (11) и (12), получим приближённое выражение для функции
геометрического распределения:
FG(k;q) = 1 – (1 – q)k ≈ 1 – e – kq
(13)
Пример. Найти точное значение дополнительной функции геометрического
распределения и его приближения экспоненциальным распределением при k = 100 и
q = 10- 4 .
Решение.
Подставив заданные значения k и q в формулу (11), получим точное значение
дополнительной функции геометрического распределения:
_
FG(k;q) = (1 – 10 - 4)100 = 0,9900493.
С другой стороны, по формуле (13) рассчитаем приближённое значение
дополнительной функции распределения:
_
FG(k;q) ≈ e – kq = е – 100·0,0001 = 0,9900498.
Сопоставив оба результата, приходим к заключению, что приближённая
формула в данном случае обеспечивает получение практически точного результата.
4 Бэта - распределение
4.1 Плотность вероятности и функция распределения
4.1.1 Модель. Если случайные величины *tr и *tk имеют распределение
Эрланга с плотностью вероятности
fEr(t; ν, λ) =
l (lt )n -1 -lt
e , t ≥ 0,
(n - 1)!
(1)
20
где ν = r (или ν = k) – параметр формы распределения (целое число), а λ > 0
– параметр масштаба, то случайная величина
*xr,k
= *tr /(*tr + *tk ) имеет Бэта-
распределение с плотностью вероятности
fB(x; r, k) =
(r + k - 1)! r – 1
x (1 – x)k–1 , x Î [0, 1]
(r - 1)!(k - 1)!
(2)
Примечание – Случайные величины *tr и *tk являются моментами наступления r-го и k-го
события в пуассоновском потоке, то есть случайные величины *tr и *tk равны сумме r и k
случайных величин, одинаково распределённых по экспоненциальному закону с параметром λ.
Выражение для функции Бэта-распределения получается интегрированием
выражения (2) в пределах от 0 до х и позволяет установить, что функция Бэтараспределения при целых значениях параметров формы r и k совпадает с функцией
биномиального распределения (см. Схему связи распределений):
FB (x; r, k) = FBi(k – 1; r + k – 1, 1 – x)
(3)
4.2 Расчётные формулы
4.2.1 Математическое ожидание (среднее значение) – mn и дисперсия – s x2
случайной величины *xr,k равны соответственно:
mx = r/(r + k)
s x2 =
rk
(r + k ) (r + k + 1)
2
(3)
(4)
4.2.2 Для определения значений функции Бэта-распределения применяются
формулы:
FB(x; r, k) = F Bi (r −1; r + k , n = 5, x) при x ≤ 0,50
(5а)
FB(x; r, k) = F Bi (k −1; r + k − 1, n = 5, 1 − x) при x > 0,50
(5b)
4.3 Примеры применения
Пример 1. Электронный модуль, имеющий экспоненциальную наработку
между отказами, испытывался до третьего отказа (r = 3), после чего в его
конструкцию были внесены изменения. В последующем ЭМ испытывался до пятого
отказа (k = 5). Отношение наработки до третьего отказа (t3) к суммарной наработке (t3
+ t5) составило 0,2. Определить вероятность получения отношения не большего, чем
21
0,2, при условии, что наработка между отказами ЭМ после внесения изменений в
конструкцию осталась прежней.
Решение.
По условию задачи случайная величина
*
x3,5 =
*
t3/(*t3 +
*
t5) имеет Бэта-
распределение с параметрами формы r = 3 и k = 5.
Искомая вероятность определяется по формуле (5а):
FB(x = 0,2; r = 3, k = 5) = 1 – FBi (2; 7 , 0,2), откуда из Таблицы имеем:
FB( 0,2; 3, 5) = 1 – 0,8520 = 0,1480 ≈ 0,15.
Так как практически в одном случае из семи можно получить отношение x3,5
меньшее или равное 0,2 при отсутствии изменений в средней наработке на отказ
ЭМ, то для уверенного заключения о влиянии изменения в конструкции на
надёжность ЭМ испытания следует продолжить.
Пример 2. Пусть в условиях предыдущего примера статистика по r и k
составила 6 и 10 отказов соответственно (объём испытаний удвоен). Определить
вероятность получения отношения соответствующих наработок х6,10 ≤ 0,2.
Решение.
По формуле (15а) для новых данных из Таблицы получим:
FB(x = 0,2; r = 6, k =10) = 1 – FBi (5; 1 5 , 0,2) ≈ 1 – 0,9389 ≈ 0,06.
В этом случае уже сомнительно считать случайным полученное отношение
наработок. Вероятнее всего, его малость обусловлена увеличением надёжности ЭМ.
Только в шести случаях из ста это заключение может оказаться неверным.
5 Распределение Фишера
5.1 Плотность вероятности и функция распределения
5.1.1 Модель. Если случайные величины *tr и *tk имеют распределение Эрланга
с плотностью вероятности (13), то случайная величина
*
z2r,2k =
(1 / r ) * tr
(1 / k ) * tk
имеет распределение Фишера-Снедекора с плотностью вероятности
22
fF(z; 2r, 2k) =
(r + k - 1)! r r
z r -1
,
( ) ×
(r - 1)!×(k - 1)! k (1 + r × z ) r + k
k
(1)
где 2r и 2k - параметры формы распределения, а z ≥ 0.
Примечания:
1) Формула (1) является частным случаем распределения Фишера-Снедекора, поскольку в
нашем случае параметры r и k предполагаются целочисленными, в то время как в исходной
формуле параметры 2r и 2k могут принимать любые вещественные значения.
2) В надёжности случайная величина *z2r,2k характеризует отношение оценок средних
наработок на отказ, полученных по двум статистикам объёмом r и k отказов соответственно.
5.1.2 Интегрируя выражение (1) в пределах от 0 до z, устанавливают связь
между
функциями
распределения
Фишера-Снедекора
и
биномиального
распределения.
FF(z; 2r, 2k) = FBi(k – 1; n = r + k – 1, q = k/(rz + k))
(2)
5.2 Расчётные формулы
5.2.1 Математическое ожидание (среднее значение) – mz и дисперсия – s z2
случайной величины *z2r,2k равны соответственно:
mz = k/(k – 1)
s x2 =
(3)
rk
(r + k ) (r + k + 1)
(4)
2
Для нахождения значений функции распределения Фишера-Снедекора с
помощью Таблицы удобно использовать соотношение (2) при k/(rz + k) ≤ 0,5 и (см.
Схему связи распределений):
FF(z; 2r, 2k) = FBi(k – 1; r + k – 1, k/(rz + k)) при
k/(rz + k) > 0,5.
(5)
5.3 Примеры применения
Пример 1. Воспользуемся условием Примера 1 из 4.3 при t3 = 2500 ч и t5 =
= 10000 ч. Тогда отношения оценок средних наработок между отказами ЭМ по двум
статистикам составит
z6,10 = (2500·3)/(10000·5) = 0,4167. Определить вероятность
отношения не большего 0, 4167 при условии, что изменения в конструкции не
повлияли на надёжность.
Решение.
В соответствии со связью распределения Фишера с биномиальным
распределением можем сразу написать:
23
FF(z = 0,4167; 2r = 6, 2k = 10) = F Bi (r −1 = 2; r + k – 1 = 7 , rz/(rz + k) = 0,2) =
= 1 – FBi (2; 7, 0,2)= 1 – 0,8520 ≈ 0,15,
что соответствует результату, полученному в примере 4.3.1. Совпадение результатов
является естественным, в силу связи Бэта-распределения с распределением Фишера:
FF(z; 2r, 2k) = FB(rz /(rz + k)).
Таким образом, для проверки значимости различия между двумя статистиками
tr..и tk практически безразлично, какую случайную величину составить из этих двух
статистик – отношение средних (tr /r) /(·tk /k) или отношение наработок tr /( tr + tk).
Пример 2. Система эксплуатировалась в течение 25000 ч. За первые 18000 ч
было зафиксировано 20 нарушений её функционирования, а за последние 7000 ч – 10
нарушений. Оценить, является ли снижение средней наработки между нарушениями
функционирования системы следствием действия неслучайных факторов.
Решение.
Составим отношение (tr /r) /(tk /k) = (18000/20)·(10/7000) = 1,2857.
В соответствии с формулой связи с биномиальным распределением запишем
выражение для вероятности того, что можно получить отношение большее, чем
1,2857 при тех же объёмах статистики (r =20, k = 10) и при условии, что средняя
наработка между нарушениями функционирования системы остаётся неизменной:
F F (z= 1,2857; 2r = 40, 2k = 20) = 1 – FBi (k – 1 = 9; r + k – 1 = 29, k/(rz + k) = 0,28)=
= 1 – 0,7225 = 0,2775 ≈ 0,28.
Таким образом, при имеющемся объёме статистических данных более чем в
четверти случаев может наблюдаться ещё большее отношение, чем 1,2857, за счёт
действия только случайных факторов. Вывод о снижении средней наработки между
нарушениями функционирования системы делать рискованно.
6 Аппроксимации биномиального распределения
6.1 Общие положения
При q < 0,01 и (или) n > 30 значения функции биномиального распределения
не могут быть найдены из Таблицы. В таких случаях расчёты можно выполнить либо
непосредственно по формулам для биномиального распределения, либо используя
24
различные аппроксимации. В первом случае можно использовать те же рекуррентные
формулы, по которым рассчитывалась сама Таблица:
qn(i) = [(n + 1 – i)/i]·(q/p)·qn(i – 1), i ≥ 1, qn(0) = pn , и FBi(r;n,q) =
r
å q (i)
i=0
n
(1)
Для второго случая из множества существующих аппроксимаций приведём две,
обеспечивающие высокую точность результатов при сравнительно небольшом объёме
вычислений.
6.2 Аппроксимация распределением Пуассона
6.2.1 При nq < 0,8 и n > 6 хорошие результаты даёт аппроксимация
биномиального распределения распределением Пуассона:
r
FBi(r;n,q) ≈ FPs(r;a) = e -a å
i=0
где
a=
ai
i!
(2)
( 2n - r ) q
.
1+ p
6.2.2 Пример. Технологический процесс настроен таким образом, что доля
брака при изготовлении ЭМ составляет q ≤ 0,005. Оказалось, что среди
изготовленных последних ста ЭМ (n = 100) два (r = 2) являются дефектными
(статистическое значение доли дефектных ЭМ, таким образом, равно 0,02). Оценить,
не является ли увеличение доли дефектных ЭМ свидетельством разрегулирования
технологического процесса.
Решение.
1) По условию задачи необходимо найти вероятность того, что при сохранении
параметров технологического процесса среди ста изготовленных ЭМ может
встретиться два и более дефектных, то есть найти значение дополнительной функции
биномиального распределения F Bi (r = 1; n = 100, q = 0,005) = P{*r > 1; n, q}.
Так как nq = 0,5 < 0,8 и n > 6, то можно применить аппроксимацию законом
Пуассона. Вначале найдём значение a = (198·0,005)/1,995 = 0,49624. По формуле (21)
рассчитаем вероятность события {*r ≤ 1}:
FPs(r=1;a = 0,49624) = e- 0,49624(1 + 0,49624) = 0.91093 ≈ 0,911, откуда искомая
вероятность равна P{*r > 1; 100, 0,005} = 1 – 0,911 = 0,089.
25
Из полученного результата можно сделать вывод, что надёжного основания для
заключения о разрегулировании процесса пока нет. Почти в одном случае из десяти
результат – два дефекта из ста – может быть обусловлен действием чисто случайных
факторов. Наблюдение за процессом следует продолжить.
2) Строго говоря, в нашем примере нет необходимости пользоваться
аппроксимацией распределением Пуассона, так как проще сразу получить результат
по формуле (1) для функции биномиального распределения:
100
99
F Bi (r = 1;n = 100, q = 0,005) = 1 – 0,995 – 100·0,005·0,995 = 0,910178 ≈ 0,910.
Погрешность аппроксимации распределением Пуассона для нашего примера
составляет (0,09 – 0,089)/0,09 ≈ 0,011, то есть чуть более 1 %.
Пример, хотя и для одного частного случая, даёт представление о точности
аппроксимации
биномиального распределения
распределением
Пуассона при
nq < 0,8 и n > 6.
Следует
отметить
ещё
одну
возможность,
предоставляемую
связью
биномиального распределения с распределением Пуассона. Эта возможность
вытекает из равенства функции распределения Пуассона и функции распределения
случайной величины χ2 (произносится как «хи-квадрат»):
FPs(r; a) = F c (2a;2r + 2) ,
2
(3)
Примечания:
1) Случайная величина χ2 возникла в связи интенсивным изучением свойств нормального
распределения. Связь между соответствующими случайными величинами χ2 и *у определяется
следующим соотношением:
c n2 = * y 12 + * y22 + ... + * yn2 , где каждая из случайных величин * yi ,
i = 1, n принадлежит нормированному нормальному распределению FNN(y; 0, 1). В общем случае
у нормального распределения FN(х; mx, σч) математическое ожидание (mx) не равно нулю, а
среднеквадратическое отклонение (σч) не равно единице. Переход от аргумента функции
нормального распределения (x) к аргументу функции нормированного нормального распределения (y)
осуществляется по формуле y = (x – mx)/σч (условие нормировки). Очевидно, когда говорят о
таблицах нормального распределения, то всегда подразумеваются таблицы нормированного
нормального распределения.
2) Таблицы распределения χ2 весьма широко распространены вследствие частого применения
этого распределения при решении теоретических и практических задач теории вероятностей и
статистики (см., например [1]). Отсюда вытекает, что для определения численного значения
функции биномиального распределения и распределения Пуассона в соответствии с (1) и (2) можно
использовать таблицы χ2-распределения. По этим причинам таблицы распределения Пуассона
встречаются сравнительно редко.
26
6.3 Аппроксимация нормальным распределением
6.3.1 При nq ≥ 0,8 и n > 6 функция биномиального распределения хорошо
аппроксимируется нормальным распределением:
FBi(r;n,q) ≈ FNN(y; 0, 1),
где
y=3 (
(4)
1
1
v2
w2 - 1
)] ,
+ ) 2 [v (1 - w(1 9(r + 1)
1 - 9k
r +1 k
v = [(r + 1)p]1/3 , w = (kq)1/3 , k = n – r .
6.3.2 Пример. Партия из ста ЭМ (n = 100) сортируется по заданному признаку,
вероятность наличия которого в каждом модуле равна q = 0,1. В результате
сортировки отобрано четыре ЭМ с этим признаком. Найти вероятность того, что в
партии из ста ЭМ заданный признак встретится не более четырёх раз (r ≤ 4).
Решение.
Так как произведение nq = 10 > 0,8 и число испытаний n > 6, то можно
применить аппроксимацию нормальным распределением. В результате расчёта
получим v = 1,65096, w = 2,12532 и y = −1,98271 , откуда по таблицам функции
нормального распределения из [1] получим FNN (−1,98271) = 0,02370 при точном
значении, равном 0.02371.
7 Применение Таблицы биномиального распределения
7.1 Общие положения
Для удобства пользования Таблица вынесена в отдельное Приложение.
Примечание – В электронной форме Таблица существует в виде файла, сохранённого
в формате pdf.
Значения функции биномиального распределения при n < 5 рассчитываются
без труда непосредственно по формулам Раздела 1, поэтому в Таблицу они не
включены. Шаг параметра q составляет одну сотую, что может оказаться
достаточным для многих задач, возникающих на практике.
С другой стороны, теоретические расчёты при пользовании Таблицей могут
потребовать получения большей точности. Для удовлетворения этого условия ниже
приводятся сведения, позволяющие вычислять характеристики распределений с
точностью до четвёртого знака после запятой.
27
7.2 Интерполяция
При использовании Таблицы часто возникает необходимость определения
значений функции FBi( r; n, q) при вероятностях q , не совпадающих с табличными
значениями. В этом случае для решения большинства инженерных задач достаточна
обычная линейная интерполяция вида:
y ≈ y1 + ∆y1(q – q1)·102
(1)
где y ≡ FBi( r; n, q) и ∆y ≡ y2 – y1 = FBi( r; n, q2) – FBi( r; n, q1).
Если необходима высокая точность определения значения функции FBi( r; n, q),
то можно воспользоваться интерполяционной формулой Ньютона, например по 4-м
узлам q1 < q2 < q < q3 < q4 :
y ≈ y1 + ∆y1(q – q1)·102 + (∆2y1/2)(q – q1)(q – q2)·104 +
+ (∆3y1/6)(q – q1)(q – q2)(q – q3) 106 ,
где ∆2y1 = y3 – 2y2 + y1 и
(2)
∆3y1 = y4 –3y3 + 3y2 – y1.
Пример. Определить по формуле (2) значение функции FBi( r; n, q) для
n = 7, q = 0,512, r = 0.
Решение.
Из Таблицы при q1 = 0,04 q2 = 0,05 q3 = 0,06 q4 = 0,07 найдём значения
y1 = 0,7505
y2 = 0,6983
y3 = 0,6485
y4 = 0,6017.
Подставив значения yi и qi , i = 1,4 в формулу (19), получим:
y ≈ 0,75145 – 0,05311·1,12 + (0,00325/2)·1,12·0,12 + (0,00007/6)·1,12·0,12·0,88 =
= 0,69219 , что с точностью до пятого знака после запятой совпадает со значением,
которое вычисляется непосредственно по формуле:
FBi(r = 0; n = 7, q = 0,0512) = (1 – 0,0512)7 = 0,69219.
При использовании линейной интерполяции FBi(r = 0; n = 7, q = 0,0512) ≈
≈ 0,69245. Даже в этом случае относительная погрешность определения FBi(·) не
превышает 0,04 %, что вполне достаточно для большинства практических задач.
28
Список рекомендуемой литературы
1 Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов. Таблицы математической статистики. –
М.: Наука, 1983. – 416 с.
2 Р.С. Судаков, Н.А. Северцев, В.Н. Титулов, Ю.М. Чесноков. Статистические
задачи отработки систем и таблицы для числовых расчётов показателей надёжности
Под редакцией проф. Р.С. Судакова. – М.: Высшая школа, 1975. – 606 с.
3 В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и её приложения (том 1). –
М.: Мир, 1964. – 498 с.
4 Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988. – 446 с.
5 Надёжность технических систем. Справочник. Под редакцией
проф. И.А. Ушакова. М.: Радио и связь, 1985. – 608 с.
6 К. Мардиа, П. Земроч. Таблицы F - распределений и распределений,
связанных с ними. – М.: Наука, 1984. – 254 с.
29