Метод построения стохастических моделей одношаговых

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
Факультет физико-математических и естественных наук
На правах рукописи
Демидова Анастасия Вячеславовна
Метод построения стохастических моделей
одношаговых процессов
Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные
методы и комплексы программ
Диссертация на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель
д.ф.-м.н., профессор
Л. А. Севастьянов
Москва — 2014
2
Оглавление
Глава 1.
Обзор работ по теме диссертации . . . . . . . . . . . 14
1.1. Обзор моделей популяционной динамики . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Стохастические популяционные модели . . . . . . . . . . . . 23
1.3. Стохастические дифференциальные уравнения. . . . . . . . . 26
1.4. Сведения по стохастическому исчислению . . . . . . . . . . . 32
Глава 2.
Метод моделирования одношаговых процессов . . . 39
2.1. Одношаговые процессы. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Основное кинетическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. Метод моделирования многомерных одношаговых процессов . 47
2.3. Численное моделирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Глава 3.
Применение метода моделирования одношаговых
процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1. Стохастические модели популяционной динамики . . . . . . . 60
3.2. Стохастические модели популяционных систем с различными
меж- и внутривидовыми взаимодействиями . . . . . . . . . . . . . 75
3.3. Стохастическая модель распространения сетевых червей . . . 92
3.4. Стохастические модели пиринговых протоколов . . . . . . . . 97
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3
Введение
Данная работа посвящена разработке метода построения согласованных
стохастических моделей для систем, описываемых одношаговыми процессами, а также иллюстрации применения данного метода к системам популяционной динамики и моделированию p2p-протоколов для анализа и
обоснования полученных результатов.
Актуальность работы
В проводимых ранее исследованиях, посвященных динамической модели
управляющего модуля типа Random Early Detection (RED), возникали модели, схожие с детерминистическими моделями популяционной динамики
типа «хищник-жертва» и моделями эпидемии [1–3] . Но при изучении
данных моделей выяснилось, что при их построении функции для уравнений, описывающих эти модели, подбираются из общих соображений о
процессах, происходящих в конкретных системах. Одним из недостатков
изученного в этих работах подхода авторы отмечают его частный характер.
Было описано взаимодействие модуля RED и протокола TCP Reno, но
его распространение на другие варианты протокола TCP и управляющего
модуля не представляется возможным [2].
Поэтому возникла задача, получения модели из первых принципов для
различных систем.
4
Кроме того, детерминистическое описание не всегда дает хорошее (адекватное) представление о системе. В нем не учитываются различные вероятностные факторы, влияющие на поведение системы. Самым распространенным методом введения стохастики в модель является аддитивное добавление
стохастического члена, который описывает лишь внешнее воздействие и
никак не связан со структурой самой системы. Поэтому встает вопрос, как
получить согласованную стохастическую модель.
Как решение этого вопроса возникло предположение о возможности
получения стохастического и детерминистического описания системы из
одного уравнения. Выяснилось, что для одношаговых процессов такая
возможность существует, т.е. при моделировании системы одношаговыми
процессами можно получить стохастическое дифференциальное уравнение,
описывающее стохастическое поведение, а уравнения в моментах для него
является детерминистическим описанием системы.
На основании изложенной выше научной проблемы сформулированы
следующие цель и задачи диссертации.
Цель диссертационной работы
Разработка метода построения стохастических моделей одношаговых
процессов с согласованными детерминистической и стохастической частями.
5
Задачи диссертационной работы
– разработка метода построения согласованной стохастической модели;
– исследование влияния введения стохастики на поведение модели;
– проверка адекватности и обоснование для полученной модели.
Результаты, выносимые на защиту
1. разработан метод построения согласованных стохастических моделей;
2. иллюстрация применения разработанного метода к системам популяционной динамики и моделированию p2p-протоколов;
3. проведен качественный и численный анализ полученных результатов с
помощью разработанного для вычислительного эксперимента комплекса
программ.
Научная новизна
1. Предлагается формулировка метода описания стохастического поведения
систем с помощью стохастических дифференциальных уравнений, в
которых стохастический член описывает не внешнее воздействие на
систему (как это обычно бывает [4–8] и др.), а связан со структурой
самой системы.
2. С помощью описанного метода построены и проанализированы стохастические модели для популяционной динамики и p2p-протоколов.
6
Методы исследования
В работе использовались методы методы теории случайных процессов,
теории стохастических дифференциальных уравнений, качественной теории
дифференциальных уравнений, а также численные методы.
Обоснованность и достоверность результатов
Обоснованность и достоверность результатов следует из того, что на
всех этапах аналитического и численного решения использовались строгие и
проверенные методы: методы теории случайных процессов, методы теории
стохастического исчисления, численные методы Рунге-Кутта для стохастических дифференциальных уравнений, методы качественного анализа
обыкновенный дифференциальных уравнений.
Кроме того, где это было возможно, проводилось сравнение полученных
результатов с уже хорошо известными, например для сравнения детерминистического поведения систем для полученных моделей с известными
детерминистическими моделями.
Практическая значимость
– Применение разработанного метода позволяет получать стохастические
модели для описания временной эволюции систем только из знания об
общих характеристиках происходящих процессов в исследуемых системах.
7
– Для описания поведения системы могут быть получены стохастические
дифференциальные уравнения в форме уравнения Ланжевена с разделенными стохастической и детерминистической частями, а также уравнение
Фоккера-Планка — дифференциальное уравнение в частных производных. Это расширяет количество методов для исследования полученных
моделей. В частности можно решать задачи на краевые условия для
уравнения Фоккера-Планка или применять статистический анализ и качественные методы для стохастических дифференциальных уравнений.
– Кроме того, полученные стохастические дифференциальные уравнения
можно использовать для качественного анализа не только стохастического, но и детерминистического поведения системы.
– Разработанный метод был применен для исследования модели эпидемии [9], а в работе [10] авторы использовали этот метод для модели
модуля RED и протокола TCP Reno в целях демонстрации её применимости к данному кругу задач. В результате была построена расширенная
модель управляющего модуля типа RED для трафика типа TCP Reno.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 99 наименований и одного приложения. Диссертация содержит
126 страниц текста, 19 рисунков.
Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и задачи, аргументирована научная новизна исследований,
8
показана практическая значимость полученных результатов.
В первой главе проведен обзор работ по теме диссертации.
В разделе 1.1 сделан обзор работ по существующим моделям популяционной динамики. Модели популяционной динамики взяты за основу, так
как они и подобные им модели имеют широкое применение не только в
биологии, но и почти во всех областях науки (в физике, химии, экономике,
теории массового обслуживания и др.). Развитие популяционной динамики
началось с изучения детерминистических моделей, первой из которых была модель Мальтуса [11] — модель неограниченного роста изолированной
популяции. Затем началось усложнение модели вводом дополнительных
факторов. Следующим шагом стало изучение динамики взаимодействующих
популяций, основной из которых считается модель Лотки-Вольтерра [12, 13].
Временная эволюция в этих моделях описывается с помощью обыкновенных
дифференциальных уравнений. С появлением и развитием теории случайных процессов началось развитие моделей, учитывающих вероятностные
механизмы процессов популяционной динамики. Основные направления стохастического моделирования популяционной динамики описаны в разделе
1.2.
Раздел 1.3 посвящен теории стохастических дифференциальных уравнений и теории стохастического исчисления. Первым стохастическим дифференциальным уравнением принято считать уравнение Ланжевена, описывающее броуновское движение. Кроме того, основной формой записи является
стохастическое дифференциальное уравнение в форме уравнения Ланжевена, т.е. уравнения, состоящего из стохастической и детерминистической
9
частей. Стохастическое дифференциальное уравнение часто используют
для описания стохастического поведения системы, но как правило стохастический член уравнения представляется как внешнее случайное воздействие
на систему.
Одной из задач диссертации является задача записи стохастического
дифференциального уравнения для системы так, чтобы стохастический
член был связан со структурой изучаемой системы. Одно из возможных
решений этой задачи — это получение стохастической и детерминистической
частей из одного и тоже уравнения. Для этих целей удобно использовать
основное кинетическое уравнение, которое может быть аппроксимировано
уравнением Фоккера-Планка, для которого,в свою очередь, можно записать
эквивалентное ему стохастическое дифференциальное уравнение в форме
уравнения Ланжевена.
Раздел 1.4. содержит основные сведения, необходимые для обозначения
связи между стохастическим дифференциальным уравнением и уравнением
Фоккера-Планка, а также основные понятия стохастического исчисления.
Во второй главе приводятся основные сведения из теории случайных
процессов и на основе этой теории формулируется метод моделирования
одношаговых процессов.
В разделе 2.1 приведены основные сведения из теории случайных
одношаговых процессов.
Под одношаговыми процессами понимаются марковские процессы с
непрерывным временем, принимающие значения в области целых чисел,
матрица перехода которых допускает только переходы между соседними
10
участками.
Рассматривается многомерный одношаговый процесс
}︀
{︀
X(𝑡) = (𝑋1 (𝑡), 𝑋2 (𝑡), ..., 𝑋𝑛 (𝑡)) = 𝑋𝑗 (𝑡), 𝑗 = 1, 𝑛 ,
(0.1)
изменяющийся по 𝑡 на отрезке [0, 𝑇 ], т.е. 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ], где 𝑇 – длина временного
{︀
}︀
интервала, на котором задан процесс X(𝑡). Множество Θ = x𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚 ∈
N𝑛0 × N𝑚
0 — это множество дискретных значений, которые может принимать
случайный процесс.
Для данного одношагового процесса вводятся вероятности переходов
в единицу времени s+ и s− из состояния x𝑖 в состояние x𝑖+1 и x𝑖−1 соответственно. При этом считается, что вероятность перехода из состояния x𝑖
на два или белее шагов за единицу времени очень мала. Поэтому можно
говорить, что вектор x𝑖 состояния системы изменяются шагами длины r𝑖 и
тогда вместо переходов из x𝑖 в x𝑖+1 и x𝑖−1 можно рассматривать переходы
из x в x + r𝑖 и x − r𝑖 соответственно.
При моделировании систем, в которых временная эволюция происходит
в результате взаимодействия элементов системы удобно описывать с помощью основного кинетического уравнения, (другое название управляющее
уравнение [14, 15], а в англоязычной литературе носит название Master
equation [16]).
Далее встает вопрос, как получить описание исследуемой системы, описываемой одношаговыми процессами, с помощью стохастического дифференциального уравнения в форме уравнения Ланжевена из основного кинетиче-
11
ского уравнения. Формально к стохастическим уравнениям следует отнести
лишь уравнения, содержащие стохастические функции. Таким образом,
этому определению удовлетворяют лишь уравнения Ланжевена. Однако
они связаны непосредственно с другими уравнениями, а именно с уравнением Фоккера-Планка и основным кинетическим уравнением. Поэтому
представляется логичным рассматривать все эти уравнения в совокупности.
Поэтому для решения этой задачи предлагается аппроксимировать основное
кинетическое уравнение уравнением Фоккера-Планка, для которого можно
записать эквивалентное ему стохастическое дифференциальное уравнение
в форме уравнения Ланжевена.
В разделе 2.2 формулируется метод описания и стохастического моделирования систем, описываемых многомерными одношаговыми процессами.
Кроме того, показано, что коэффициенты для уравнения ФоккераПланка можно получить сразу после записи для изучаемой системы схемы
взаимодействия, вектора изменения состояния r и выражений для вероятностей перехода s+ и s− , т.е. при практическом применении данного метода
нет необходимости записывать основное кинетическое уравнение.
В разделе 2.3. рассмотрен метод Рунге-Кутта для численного решения
стохастических дифференциальных уравнений, который используется в
третьей главе для иллюстрации полученных результатов.
В третьей главе представлена иллюстрация применения, описанного
во второй главе метода построения стохастических моделей, на примере
систем описывающих динамику роста взаимодействующих популяций, таких
как «хищник-жертва», симбиоз, конкуренция и их модификации. Целью
12
является записать их в виде стохастических дифференциальных уравнений
и исследовать влияние введения стохастики на поведение системы.
В разделе 3.1. проиллюстрировано применение описанного во второй
главе метода на примере модели «хищник-жертва».
Системы с взаимодействием двух видов популяций типа «хищник-жертва»
широко исследованы, что позволяет сравнить полученные результаты с уже
хорошо известными.
Анализ полученных уравнений показал, что для исследования детерминистического поведения системы, можно использовать вектор сносов A
полученного стохастического дифференциального уравнения, т.е. разработанный метод можно использовать для анализа как стохастического, так и
детерминистического поведения. Кроме того сделан вывод, что стохастические модели дают более реалистичное описание поведения системы. В
частности, для системы «хищник-жертва» в детерминистическом случае,
решения уравнений имеют периодический вид и фазовый объем сохраняется,
в то время как, введение стохаcтики в модель, дает монотонное возрастание фазового объема, что говорит о неизбежной гибели одной либо обеих
популяций. В целях визуализации полученных результатов было проведено
численное моделирование.
В разделе 3.2. разработанный метод применяется для получения и анализа различных стохастических моделей популяционной динамики, таких
как модель «хищник–жертва» с учётом межвидовой конкуренции среди
жертв, симбиоз, конкуренция и модель взаимодействия трех популяций.
В разделе 3.3. строиться и анализируется стохастическая модель рас-
13
пространения сетевых червей, вредоносных программ, которые способны
самостоятельно находить новые компьютеры для заражения и использовать
их для дальнейшего распространения.
В разделе 3.4. строятся стохастические модели p2p-протоколов FastTrack
и BitTorrent. Раздел посвящен иллюстрации того, что можно применять
данный метод для моделирования не только популяционной динамики, но
и к техническим задачам.
В Заключении перечислены основные выводы и результаты, полученные в диссертации.
14
Глава 1.
1.1.
Обзор работ по теме диссертации
Обзор моделей популяционной динамики
Математические модели популяционной динамики имеют широкое применение не только в биологии и экологии, но также для описания процессов,
происходящих в системах сходных по своим свойствам с биологическими,
например в химии, физике, экономике, телекоммуникациях и т.д.
Большинство моделей описывающих эволюцию популяционных систем
являются детерминистическими и имеют следующие недостатки. Во-первых,
такие модели не учитывают вероятностный характер процессов рождения
и гибели индивидуумов популяций. Во-вторых не учитываются случайные
колебания в среде обитания, которые приводят к флуктуациям параметров
системы. Этих недостатков лишены стохастические модели, которые, в отличии от детерминистических, учитывают вероятностный характер процессов
живой природы и тем самым позволяют более точно описать динамику
популяций.
1.1.1.
Модель Лотки-Вольтерра
Первой работой в которой формулировался закон роста численности
популяции принято считать книгу Т. Мальтуса «Опыт о законе народонаселения» 1798 г. [11]. В своей книге Т. Мальтус предложил модель, согласно
15
которой динамика численности популяции при условии неограниченных
ресурсов описывается уравнением экспоненциального роста:
𝑁˙ (𝑡) = 𝑎𝑁 (𝑡).
(1.1)
Следующим шагом развития математического моделирования динамики
популяций стало введение в модель фактора ограничивающего размножение.
Впервые это было сделано Ферхюльстом в 1838 г., который предложил
описывать популяции, рост которых ограничен ресурсами необходимыми
для ее размножения, с помощью логистического уравнения [17]:
𝐾 − 𝑁 (𝑡)
𝑁˙ (𝑡) = 𝑎𝑁 (𝑡)
.
𝐾
(1.2)
Здесь параметр 𝐾 носит название емкости популяции и определяется
различными факторами, такими как, например, доступность ресурсов, а
параметр 𝑎 — показатель экспоненциального роста популяции при малой
численности.
Эти модели описывают поведение изолированной популяции, и естественным развитием математического моделирования в биологии, стало
описание систем в которых популяции взаимодействуют. Первые работы в
этом направлении появились в 20-х годах XX века.
Наиболее изученными является системы взаимодействия двух популяций. Два вида могут взаимодействовать между собой различными способами и наиболее распространенная классификация взаимодействия популяций основана на результатах взаимодействия видов, которую предложил
16
Ю. Одум [18]. Данная классификация подразумевает оценивать воздействие
одного вида на другой как положительное (+) или отрицательное (–), возрастает или убывает численность популяции одного вида в присутствии другого
вида. В итоге, принято выделять три основных типа взаимодействия.
Конкуренция (– –) – присутствие каждого вида неблагоприятно сказывается на скорости размножения особей другого вида.
Симбиоз (++) – сожительство организмов двух видов, приносящее взаимную пользу.
Взаимодействие (–+) – хищник-жертва, паразит-хозяин и т.п.
В общем виде взаимодействие двух популяций можно описать системой
дифференциальных уравнений [19, 20]:
⎧
𝑑𝑢
⎪
⎨
= 𝑎1 𝑢 + 𝑎12 𝑢𝑣 + 𝑎11 𝑢2 ,
𝑑𝑡
⎪
⎩ 𝑑𝑣 = 𝑎2 𝑣 + 𝑎21 𝑢𝑣 + 𝑎22 𝑣 2 .
𝑑𝑡
(1.3)
Здесь переменные 𝑢 и 𝑣 — это численность взаимодействующих популяций. Члены типа 𝑎𝑖𝑗 𝑢𝑣, 𝑖, 𝑗 = 1, 2 соответствуют межвидовому взаимодействию. Если виды конкурируют, коэффициенты 𝑎𝑖𝑗 отрицательны, иначе
виды находятся во взаимодействии типа симбиоз. Если коэффициенты 𝑎12 и
𝑎21 имеют разный знак, происходит взаимодействие типа «хищник-жертва».
Члены типа 𝑎11 𝑢2 и 𝑎22 𝑣 2 отражают внутривидовую конкуренцию, а члены
𝑎1 𝑢 и 𝑎2 𝑣 соответствуют свободному размножению видов (если 𝑎𝑖 > 0, то
вид размножается, если 𝑎𝑖 < 0 вид вымирает).
Системы с взаимодействием двух видов популяций типа «хищник-жертва»
17
наиболее исследованы и для таких систем существует большое количество
разнообразных моделей. Самой первой моделью «хищник-жертва», принято считать модель полученную независимо друг от друга А. Лоткой и В.
Вольтерра. А. Лотка в своей работе описывал некоторую гипотетическую
химическую реакцию вида [21]:
𝑘
𝑘
𝑘
1
2
3
𝐴−
→
𝑋−
→
𝑌 −
→
𝐵,
(1.4)
где 𝑋, 𝑌 — промежуточные вещества, коэффициенты 𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 — скорости
химических реакций, 𝐴 — исходный реагент, а 𝐵 — продукт реакции. И
получил систему дифференциальных уравнений вида:
⎧
d𝑥
⎪
⎨
= 𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥𝑦,
d𝑡
⎪
⎩ d𝑦 = 𝑘2 𝑥𝑦 − 𝑘3 𝑦.
d𝑡
(1.5)
Эта система полностью совпадает с системой дифференциальных уравнений, полученной Вольтерра, который рассматривал механизм роста численности двух популяций с взаимодействием типа «хищник-жертва». Для
получения уравнений Вольтерра в своей работе [13] делает следующие идеализированные представления о характере внутривидовых и межвидовых
отношений в системе «хищник-жертва». Для того чтобы охарактеризовать
одним числом некоторую популяцию в ограниченной области, делается
допущение, что индивидуумы каждого вида однородны (не учитывается
возраст и размер). Также предполагается, что тип индивидуума не меняется
со временем.
18
Следующее допущение, которое сделал Вольтерра, состоит в том, что
численность индивидуумов каждого вида увеличивается и уменьшается
непрерывным образом, т.е. функция описывающая численность вида является непрерывно дифференцируемой функцией. Кроме того в отсутствие хищника популяция жертвы размножается экспоненциально по закону Мальтуса,
а популяция хищника при отсутствии жертвы экспоненциально вымирает.
Также предполагается, что количество жертвы, которое потребляет популяция хищника в единицу времени, линейно зависит и от численности
популяции жертвы, и от численности популяции хищника, а потребленная
хищником биомасса жертвы с постоянным коэффициентом перерабатывается в биомассу хищника. Другие факторы, которые оказывают влияние на
динамику популяций, не учитываются (такие как внутривидовая конкуренция, ограниченность ресурсов и т.д.).
Далее рассматривается случай, когда в ограниченной среде сосуществуют два вида, один из которых (хищник) питается за счет индивидуумов
второго вида (жертва). Очевидно, что численность жертв будет увеличиваться тем медленнее, чем больше существует хищников, а хищники —
тем быстрее, чем многочисленнее жертвы. При этих предположениях В.
Вольтерра получил систему дифференциальных уравнений для описания
численности видов следующего вида [13]:
⎧
𝑑𝑁1
⎪
⎨
= (𝜀1 − 𝛾1 𝑁2 ) 𝑁1 ,
𝑑𝑡
⎪
⎩ 𝑑𝑁2 = (−𝜀2 + 𝛾2 𝑁1 ) 𝑁2 .
𝑑𝑡
(1.6)
19
где 𝑁1 — численность жертв, 𝑁2 – численность хищников, 𝜀1 и 𝜀2 положительные постоянные коэффициенты, отражающие естественную рождаемость и смертность жертв и хищников соответственно, а 𝛾1 и 𝛾2 это
положительные постоянные коэффициенты, для описания межвидового
взаимодействия.
1.1.2.
Модификации модели Лотки-Вольтерра
Модель Колмогорова
Основная особенность модели Вольтерра, благодаря которой она стала
основой для многих последующих моделей математической биологии, состоит в том, что на основе очень упрощенных представлений о характере
системы, с помощью математических средств был сделан вывод о качественном характере поведения такой системы. Однако у этой системы есть
существенных недостатка. С одной стороны, данная система не учитывает
такие важные факторы взаимодействия популяций, как эффект насыщения хищника, ограниченность ресурсов жертвы и хищника и т.п. [19]. С
другой стороны, система (1.6) является негрубой и консервативной, т.е.
учет дополнительных факторов может качественным образом изменить
характер ее поведения. Таким образом, можно сделать заключение, что
данная модель не может служить адекватным описанием колебаний численности популяций в природе. Для решения этой проблемы было предложено
большое количество разнообразных моделей, но почти во всех предлагалось описывать вид функции в правой части системы (1.6) в зависимости
20
от конкретной ситуации [22]. Работа А.Н.Колмогорова [23] стала одной
из первых попыток выделить общий критерий для вида функции, которой могут быть описаны те или иные особенности поведения численности
взаимодействующих популяций. Впервые было предложено изучать модели взаимодействующих популяций на основе качественных представлений
о системе и не расшифровывая детально вид правых частей уравнений
динамики, Колмогоров предложил рассмотреть следующую систему
⎧
𝑑𝑁1
⎪
⎨
= 𝐾1 (𝑁1 )𝑁1 − 𝐿(𝑁1 )𝑁2 ,
𝑑𝑡
⎪
⎩ 𝑑𝑁2 = 𝐾2 (𝑁1 )𝑁2 .
𝑑𝑡
(1.7)
где 𝑁1 — численность жертв, 𝑁2 – численность хищников, а функции 𝐾1 (𝑁1 ),
𝐾2 (𝑁1 ), 𝐿(𝑁1 ) определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы.
Как и в модели Вольтерра, здесь не учитывается взаимодействие хищников
друг с другом, т.е. коэффициент размножения хищников 𝐾2 и число жертв
𝐿, истребляемых одним хищником в единицу времени, не зависят от 𝑁2 .
Также считается, что за малые промежутки времени увеличение числа
жертв при наличии хищников равно их приросту в отсутствии хищников за
исключением числа жертв, истребляемых хищником. Для исследования поведения решений системы (1.7) Колмогоров делает следующие качественные
предположения о характере функций 𝐾1 (𝑁1 ), 𝐾2 (𝑁1 ), 𝐿(𝑁1 ) [23]:
1.
𝑑𝐾1
𝑑𝑁1
< 0,
𝐾1 (0) > 0 > 𝐾1 (∞) > −∞. Т.е. коэффициент размножения
жертв в отсутствие хищников монотонно убывает с ростом численности
жертв (таким путем учитывается внутривидовая конкуренция среди
21
жертв и ограниченность пищевых и других ресурсов, необходимых для
существования жертв).
2.
𝑑𝐾2
𝑑𝑁1
< 0,
𝐾2 (0) < 0 < 𝐾2 (∞). Это неравенство указывают на тот
факт, что с ростом численности жертв коэффициент размножения хищников возрастает, переходя от отрицательных значений (когда пища для
хищников недостаточно) к положительным.
3. 𝐿(𝑁1 ) > 0 при 𝑁1 > 0, 𝐿(0) = 0.
Элементарные факторы внутри- и межпопуляционных отношений
Другое направление развития исследований динамики взаимодействующих популяций основано на учете дополнительных факторов и их различных комбинаций. Большой вклад в исследования этого направления
внес А.Д. Базыкин [19, 24]. Его работы посвящены исследованию динамических режимов в моделях двух и трех взаимодействующих популяций,
которые связаны различными биологическими взаимоотношениями, с учетом дополнительных факторов, а также их качественному анализу. Далее
перечислены некоторые из наиболее важных факторов, оказывающих принципиальное влияние на меж- и внутрипопуляционные отношения в системе
«хищник–жертва» [19]:
1. нелинейная зависимость скорости размножения и смертности жертв при
малых значениях численности;
2. конкуренция среди жертв;
22
3. насыщение хищника;
4. нелинейная зависимость скорости потребления хищниками жертв от
численности популяции жертвы;
5. конкуренция среди хищников за жертв;
6. конкуренция среди хищников за отличные от жертвы ресурсы.
Много работ посвящено именно детерминистическим моделям популяционной динамики, основанным на системах дифференциальных уравнений.
Так, например, работа Дж. Мари [25] является подробным описанием
биологической сути описываемых явлений. Особое внимание автор уделяет сравнению результатов анализа математических моделей нелинейных
популяционных систем с экспериментальными данными. Много книг посвящено обзору существующих детерминистических популяционных моделей и
методам их исследования [17, 19, 20, 22, 26–29].
Одной из наиболее актуальных проблем является устойчивость экосистем, а математическим аппаратом для анализа поведения популяционных
моделей служит качественная теория дифференциальных уравнений и
теория бифуркаций. В книге [19] излагается качественная теория дифференциальных уравнений для анализа кинетики популяционных процессов.
Также можно отметить работу Ю.М. Сверижева и Д.О. Логофета [30],
которая посвящена проблемам устойчивости и методам анализа устойчивости математических моделей популяционных систем. Эта тематика также
рассматривается в литературе [20, 22, 25, 27, 29, 31, 32]. Во многих книгах по
теории дифференциальных уравнений в качестве иллюстраций используют-
23
ся системы эволюции популяций [33, 34].
В работах О.В. Дружининой [35–37] исследуется устойчивость состояний
равновесия классической и обобщенных систем Лотки-Вольтерра в многомерном случае методом функций Ляпунова, а также изучены предельные
свойства решений этих систем. Кроме того, в монографии [36] рассмотрено приложение теории дифференциальных включений и теории нечетких
дифференциальных уравнений к исследованию устойчивости состояний
равновесия системы Лотки-Вольтерра с тремя взаимодействующими популяциями и учетом конкуренции и миграции видов. Такой подход позволяет
изучать модели, которые учитывают разные скорости миграции, уровни
рождаемости и доступность пищи в зависимости от времени года или других
факторов.
Получили также довольно широкое распространение модели, так называемого, «гибридного» типа. В моделях такого типа некоторые из функций
задаются в явном виде, а в для других делаются лишь некоторые предположения общего характера о их поведении. Примером может служить модель
Розенцвейга-Мак-Артура.
1.2.
Стохастические популяционные модели
Развитие теории случайных процессов привело к переходу в исследования природных явлений от детерминистических представлений и моделей
популяционной динамики к вероятностным и как следствие, появление
большого числа работ посвященных стохастическому моделированию в
24
математической биологии, химии, экономике и д.р.
При рассмотрении детерминистических популяционных моделей остаются не охваченными такие важные моменты, как случайные влияния
различных факторов на эволюцию системы. Описывая популяционную динамику следует учитывать случайный характер размножения и выживания
особей, а также случайные колебания, которые происходят в среде со временем и приводят к случайным флуктуациям параметров системы. Поэтому
во всякую модель динамики популяций следует вводить вероятностные
механизмы, отражающие эти моменты.
Стохастическое моделирование позволяет более полно описать изменения популяционных характеристик с учетом как всех детерминистских
факторов, так и случайных эффектов, которые могут существенно изменить выводы из детерминистских моделей. С другой стороны с их помощью
можно выявить качественно новые стороны поведения популяции.
Стохастические модели изменения состояний популяции можно описывать с помощью случайных процессов. При некоторых допущениях можно
считать, что поведение популяции при условии ее настоящего состояния
не зависит от того, каким образом это состояние было достигнуто (т.е.
при фиксированном настоящем будущее не зависит от прошлого). Т.о. для
моделирования процессов популяционной динамики удобно использовать
марковские процессы рождения-гибели и соответствующие управляющие
уравнения, которые подробно описаны во второй части работы.
Н. Н. Калинкин в своих работах [38, 39] для иллюстрации процессов
происходящих в системах с взаимодействующими элементами использует
25
схемы взаимодействия и на базе этих схем строит модели этих систем
используя аппарат ветвящихся марковских процессов. Применение такого
подхода иллюстрируется на примере моделирования процессов в химических,
популяционных, телекоммуникационных и др. системах.
В работе [22] рассматриваются вероятностные популяционные модели,
для построения которых используется аппарат процессов рождения-гибели,
а получившиеся системы дифференциально-разностных уравнений представляют собой динамические уравнения для случайных процессов. Также
в работе рассмотрены методы нахождения решений данных уравнений.
Можно найти много статей посвященных построению стохастических
моделей учитывающих различные факторы влияющие на динамику изменения численности популяций. Так,например, в статьях [5, 40] построена и
проанализирована модель динамики численности биологического сообщества, в котором особи потребляют пищевые ресурсы, содержащие вредные
вещества. А в модели эволюции популяции в статье [6] учитывается фактор расселения представителей популяций в ареалах их обитания. Модель
представляет собой систему самосогласованных уравнений Власова.
Стоит отметить работы [14, 15, 41], которые посвящены теории флуктуаций и применению стохастических методов в естественных науках, таких как
физика, химия, биология и др. В частности, математическая модель изменения численности популяций, взаимодействующих по типу «хищник-жертва»
строиться на базе многомерных марковских процессов рождения-гибели.
Можно рассматривать модель «хищник–жертва» как реализацию процессов рождения–гибели. В такой трактовке возможно их применение для моде-
26
лей во многих областях науки. В 70-е годы М. Дои предложена методика изучения таких моделей на основе операторов рождения–уничтожения [42, 43]
(по аналогии со вторичным квантованием). Здесь можно отметить работы [44, 45]. Кроме того сейчас этот метод активно развивается в группе
М. М. Гнатича [46–48].
Еще один подход к моделированию и изучению моделей популяционной динамики связан с теорией оптимального управления. Здесь можно
отметить работы [49–51].
Можно отметить, что большинство работ посвященных построению
стохастических моделей популяционных процессов использует аппарат случайных процессов для получение дифференциально-разностных уравнений
и последующей численной реализации. Кроме того широко применяется стохастические дифференциальные уравнения в форме Ланжевена, в которых
стохастический член добавляется из общих соображений о поведении системы и призван описать случайные воздействия окружающей среды [5, 6, 8].
Дальнейшим исследованием модели является их качественный анализ или
нахождение решений с помощью численных методов.
1.3.
Стохастические дифференциальные уравнения
Определение 1. Стохастическое дифференциальное уравнение —
это дифференциальное уравнение, в котором один член или более представляют собой стохастический процесс. Наиболее используемый и хорошо
известный пример стохастического дифференциального уравнения (СДУ)
27
— это уравнение с членом, который описывает белый шум и его можно
рассматривать как винеровский процесс 𝑊𝑡 , 𝑡 > 0.
Стохастические дифференциальные уравнения являются важным и
широко используемым математическим аппаратом при изучении и моделировании динамических систем, которые подвержены различным случайным
возмущениям.
Началом стохастического моделирования природных явлений принято считать описание явления броуновского движения, которое открыто
Р. Броуном в 1827 году, когда он проводил исследования движения пыльцы
растений в жидкости. Первое строгое объяснение этого явления независимо
друг от друга дали А. Эйнштейн [52] и М. Смолуховский. Стоит отметить
сборник статей [53] в котором собраны работы А. Эйнштейна и М. Смолуховского по броуновскому движению. Эти исследования внесли значительный
вклад в развитие теории броуновского движения и ее экспериментальную
проверку. А. Эйнштейном была создана молекулярно-кинетическая теория для количественного описания броуновского движения. Полученные
формулы были подтверждены опытами Ж. Перрена в 1908-1909 гг.
Эти результаты послужили основой для работы П. Ланжевена, посвященной описанию броуновского движения, в которой впервые, как принято
считать, появилось стохастическое дифференциальное уравнение. Ланжевен
в своей работе [4] показал, что результаты полученные А. Эйнштейном и
М. Смолуховским эквивалентны и предложил другой метод вывода формулы для величины средне-квадратичного значения перемещения частицы в
28
зависимости от ее радиуса, вязкости жидкости и температуры, вследствие
броуновского движения в жидкости. Для записи своего уравнения Ланжевен
предположил, что на частицу действуют две силы: сила торможения водного
трения и дополнительная сила, которая объясняется толчками со стороны
молекул жидкости, и кроме того для нее положительное и отрицательное
направления равновероятны.
В радиофизике первой работой по изучению задачи влияния малых случайных возмущений на динамические системы является статья Л.С. Понтрягина, А.А. Андронова, А.А. Витта, опубликованная в 1933 году [54].
Сам термин «стохастическое дифференциальное уравнение» принято
считать принадлежит С.Н. Бернштейну [55, 56], который не строил траекторий процесса, а рассматривал некоторые конечно-разностные схемы
для получения последовательности цепей Маркова с последующим предельным переходом, которые и называл стохастическими дифференциальными
уравнениями, и изучал условия, при которых существуют предельные одномерные распределения этих цепей.
Для подхода Ланжевена к описанию броуновского движения строгая
математическая база появилась в 40-х годах XX века, когда японский математик К. Ито заложил основы теории стохастических дифференциальных
уравнений. Он предложил свою конструкцию диффузионного процесса
связанную с описанием траекторий, для чего определил понятие стохастического интеграла и стохастического дифференциального уравнения, а также
доказал теоремы существования и единственности сильного решения СДУ
в предположении, что коэффициенты удовлетворяют условию Липшица по
29
пространственной переменной [57, 58].
Немаловажное значение для развития теории случайных процессов в
общем и теории стохастических дифференциальных уравнений в частности
имеют работы Н.Н. Боголюбова, Н.М. Крылова 1939 г, в которых впервые
рассматривалось предельное поведение динамической системы под воздействием случайной силы, сходящейся в пределе к процессу с независимыми
значениями — «белому шуму».
Примерно в одно время и независимо от К. Ито, в своих работах, посвященных систематическому изучению дифференциальных уравнений со
случайными функциями, И.И. Гихман дает общее определение стохастического дифференциального уравнения и доказывает теоремы существования
и единственности для таких уравнений [59, 60].
Дальнейшее развитие теории стохастических дифференциальных уравнений связаны с ослаблением условий, которые накладываются на коэффициенты стохастического дифференциального уравнения, для существования
решения этого уравнения, так как это актуально для различных приложений этой теории. В 1961 году А.В. Скороход ввел новое понятие — слабое
решение, допустив, что решение может быть определено на подходящем
вероятностном пространстве с подходящим броуновским движением. Это
позволило доказать существование решений при условии лишь непрерывности коэффициентов уравнения. Также получены стохастические дифференциальные уравнения для процессов с границами и найдены условия
существования и единственности решений таких уравнений.
Стоит также отметить совместные монографии И.И. Гихмана и А.В. Ско-
30
рохода [61, 62], в которых дается систематическое изложение теории стохастических дифференциальных уравнений. Особое внимание уделяется
многомерным стохастическим дифференциальным уравнениям, проблемам
существования и единственности решений, которые могут быть разрывными и не являться марковскими процессами. Исследовано асимптотическое
поведение решений различных классов стохастических дифференциальных
уравнений и их устойчивость. В качестве вспомогательного математического аппарата используется теория мартингалов. Рассматриваются задачи
применения теории к задачам анализа и математической физики.
В начале 60-х годов XX века Р.Л. Стратонович в своей работе [63] отметил то обстоятельство, что способ определения интеграла предложенный
Ито не обладает свойством симметрии во времени, т.е. стохастический интеграл, определенный для прямого времени, не совпадает с интегралом
для обратного времени, и как следствие вводит понятие симметричного
стохастического интеграла (в литературе этот интеграл чаще носит название интеграла Стратоновича) и предлагает другой способ его определения.
Определенный Стратоновичем интеграл обладает преимуществом перед
интегралом Ито, в том смысле, что его можно преобразовывать по обычным
правилам для гладких функций, а также Стратонович в виде теоремы
показал связь между симметричным интегралом и интегралом Ито.
Другим немаловажным направлением теории стохастических исчислений, является проблема поиска и применения методов численного решения
СДУ. Здесь стоит отметить монографию Д. Ф. Кузнецова [64], в которой
отражено современное состояние этого направления. В монографии [64]
31
описаны явные и неявные сильные одношаговые и двухшаговые численные
методы для решения стохастических дифференциальных уравнений, а также представлены результаты численного моделирования решений систем,
описывающих различные физические, биологические, химические и др. процессы. Другие работы посвященные применению численных методов это
[65–70] и др.
Практически все монографии посвященные тематике случайных процессов содержат разделы по теории стохастических интегралов и дифференциальных уравнений, это например [71–77].
На сегодняшний день существует много работ по теории СДУ и ее
применениям, которые описаны в ряде монографий. Отметим книги [8, 78–
81].
Особый интерес представляют работы посвященные непосредственно
приложениям теории стохастических дифференциальных уравнений. Здесь
стоит отметить монографии К.В. Гардинера [14], Н.Г. Ван Кампен [41] и
книги [15, 82] о применении стохастических методов в физике, химии и
других естественных и технических наук, в теории оптимального управления и фильтрации сигналов [83, 84]. Одним из активно развивающихся
направлений применения стохастических дифференциальных уравнений
является стохастическая финансовая математика и экономика. Здесь стоит
отметить книги [7, 85] с обширной библиографией.
32
1.4.
Сведения по стохастическому исчислению
Существует большое число математических моделей в естествознании,
приводящих к стохастическим дифференциальным уравнениям. Одной из
наиболее часто встречающихся на практике задач такого рода является
введение в динамическую модель, описываемую дифференциальными уравнениями, случайных флуктуации, обусловленных наличием шума в системе
(например, в радиотехнике, термодинамике, кинетике химических реакций
и др.). Другим источником моделей, основанных на СДУ, является предельный переход в описании системы (например, модели генной диффузии,
диффузионная аппроксимация систем массового обслуживания и др.).
1.4.1.
Стохастические дифференциальные уравнения
Традиционной записью стохастических дифференциальных уравнений
является запись в форме уравнения Ланжевена, но существуют и другие
варианты способов записи СДУ. В свою очередь, СДУ в форме уравнения
Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального
уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум и имеет
следующий вид:
dx = a(x) d𝑡 + b(x) dW.
(1.8)
В данном уравнении используется 𝑛-мерный винеровский случайный
процесс W = (𝑊1 (𝑡), 𝑊2 (𝑡), ..., 𝑊𝑛 (𝑡)), 𝑡 > 0, который является математической моделью броуновского движения. Если подходить строго, то более
33
правильно было бы использовать запись 𝛿𝑊 , однако запись d𝑊 используется исторически. Стоит отметить, что Винеровский процесс реализуется
как
√
dW = 𝜀 d𝑡,
(1.9)
где 𝜀 = (𝜀1 , 𝜀2 , ..., 𝜀𝑛 ) и 𝜀𝑖 ∼ 𝑁 (0, 1) — нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией. Данная запись полезна при замене
переменных.
Следует также заметить, что в качестве случайного процесса здесь
можно использовать любой полумартингал [76], однако практическое применение нашли пока только винеровский и пуассоновский процессы.
Кроме того можно отметить некоторые основные свойства, которым
удовлетворят винеровский процесс.
– 𝑊 (0) = 0 c вероятностью 1;
– 𝑊 (𝑡), 𝑡 > 0 — процесс с независимыми приращениями;
– 𝑊 (𝑡) − 𝑊 (𝑠) ∼ 𝑁 (0, 𝑡 − 𝑠) где 𝑠 < 𝑡;
– траектории винеровского процесса непрерывные функции времени с
вероятностью равной единице;
– винеровский процесс недефференцируемый.
1.4.2.
Определение стохастического интеграла
Принято связывать развитие теории стохастического исчисления с работами К. Ито, который ввел понятие стохастического интеграла для формального определения стохастического дифференциального уравнения, опи-
34
сывающего диффузионный процесс.
Стохастический интеграл имеет вид:
∫︁
𝑥(𝑡) = 𝑥(0) +
𝑡
∫︁
𝑓 (𝑥(𝜏 ), 𝜏 )d𝜏 +
0
𝑡
𝑔(𝑥(𝜏 ), 𝜏 )d𝑊 (𝜏 ).
(1.10)
0
Таким образом СДУ (1.8) это символическая запись и его следует понимать в смысле интегрального уравнения (1.10).
Стоит отметить, что стандартные техники интегрального исчисления
не позволяют определить интеграл по винеровскому процессу. Это связано с тем, что винеровский процесс не является дифференцируемым в
любой точке своей траектории и кроме того имеет бесконечную дисперсию. Следовательно, интеграл Ито нельзя определить в смысле интеграла
Римана–Стилтьеса [14, 84].
Второе слагаемое в уравнении (1.10) содержит интеграл по винеровскому
процессу, который требует дополнительного определения. Пусть 𝑔(𝑥(𝑡), 𝑡)
произвольная функция. Определим интеграл вида
∫︁
𝑡
𝑔(𝑥(𝜏 ), 𝜏 )d𝑊 (𝜏 ).
(1.11)
𝑡0
Разобьем интервал [𝑡0 , 𝑡] на 𝑛 интервалов 𝑡0 6 𝑡1 6 𝑡2 6 ... 6 𝑡𝑛−1 6 𝑡 и
выберем промежуточные точки, такие что 𝑡𝑖−1 6 𝜏𝑖 6 𝑡𝑖 . Стохастический
35
интеграл (1.11) определяется как предел частичных сумм
𝑡
∫︁
𝑡
𝑔(𝑥(𝜏 ), 𝜏 )d𝑊 (𝜏 ) = lim
0
ℎ→0
ℎ−1
∑︁
𝑔(𝑥(𝜏𝑘 ), 𝜏𝑘 ) [𝑊 (𝜏𝑘+1 ) − 𝑊 (𝜏𝑘 )] ,
(1.12)
𝑘=0
где ℎ = 𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑘 , 𝜏𝑘 = (1 − 𝑞)𝑡𝑘 + 𝑞𝑡𝑘+1 , 𝑞 ∈ [0, 1].
Но для стохастического интеграла существенным является выбор в
определении промежуточных точек 𝜏𝑖 . Наиболее популярны следующие два
варианта выбора этих точек.
– Если 𝑞 = 0, то есть функция вычисляется в левых точках интервала и
эта интерпретация называется интерпретацией Ито.
– Если 𝑞 = 0, 5, то есть функция вычисляется в средних точках интервалов
и эта интерпретация называется интерпретацией Стратоновича.
Следует заметить, что зачастую уравнение Ланжевена называют уравнением Ито либо уравнением Стратоновича, имея ввиду соответствующую
интерпретацию.
Выбор интерпретации влияет на конкретный вид математических формул. В частности, нас будет интересовать формула дифференциала от
сложной функции и если в интерпретации Стратоновича дифференцирование производится по стандартным формулам математического анализа,
то в случае интерпретации Ито данная формула выглядит более сложным
образом.
36
1.4.3.
Лемма Ито
В рамках интерпретации Ито дифференциал от сложной функции не
подчиняется стандартным формулам анализа. Для его вычисления используется правило или лемма Ито.
Лемма 1. Пусть 𝑓 := 𝑓 (x, 𝑡) — функция от 𝑛-мерного случайного процесса x(𝑡), 𝑓 ∈ C2 . Тогда формула дифференциала будет выглядеть следующим
образом:
[︃
d𝑓 = 𝜕𝑡 𝑓 +
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖 𝜕 𝑥 𝑖 𝑓 +
𝑛
𝑛
1 ∑︁ ∑︁
2
]︃
𝑇
[𝑏𝑏 ]𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝑓 d𝑡 +
𝑖=1 𝑗=1
𝑛
∑︁
𝑏𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝑓 dW,
𝑗=1
(1.13)
где 𝑎𝑖 := 𝑎𝑖 (x, 𝑡) — 𝑖 элемент вектора сносов, 𝑏𝑖𝑗 := 𝑏𝑖𝑗 (x, 𝑡) — 𝑖𝑗 элемент
матрицы диффузии и dW := dW(𝑡) — 𝑛-мерный винеровский процесс.
1.4.4.
Уравнение Фоккера–Планка
Формально к стохастическим уравнениям следует отнести лишь уравнения, содержащие стохастические функции. Таким образом, этому определению удовлетворяют лишь уравнения Ланжевена. Однако они связаны
непосредственно с другими уравнениями, а именно с уравнением ФоккераПланка и основным кинетическим уравнением. Поэтому представляется
логичным рассматривать все эти уравнения в совокупности.
В теории стохастических дифференциальных уравнений вводится также
уравнение Фоккера–Планка, являющееся уравнением в частных производ-
37
ных:
𝜕𝑡 p = −
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝑁
𝑁
1 ∑︁ ∑︁
𝜕𝑖 𝜕𝑗 [𝐵𝑖𝑗 p],
𝜕𝑖 [𝐴𝑖 p] +
2 𝑖=1 𝑗=1
(1.14)
где p := p(x, 𝑡), 𝐴𝑖 := 𝐴𝑖 (x, 𝑡), 𝐵𝑖𝑗 := 𝐵𝑖𝑗 (x, 𝑡), p имеет смысл плотности
распределения случайной величины x(𝑡), 𝐴 — вектор сноса, 𝐵 — матрица
диффузии.
1.4.5.
Связь между стохастическим дифференциаль-
ным уравнением и уравнением Фоккера–Планка
Для этого стохастического дифференциального уравнения (1.8) можно
записать эквивалентное ему уравнение Фоккера–Планка. Таким образом
уравнение Ланжевена и Фоккера–Планка математически эквивалентны.
Данная эквивалентность задается следующим соотношением:
A = a, B = bb𝑇 .
(1.15)
Данная эквивалентность расширяет спектр методов исследования задачи. Например, в моделях зачастую возникают ограничения на значения
переменных (ограничиваются их максимальные и минимальные значения).
При записи задачи в виде обыкновенных дифференциальных уравнений
вводятся так называемые индикаторные функции (схожие с функцией
Хевисайда), приводящие к разрывности правых частей. В случае же дифференциальных уравнений в частных производных данные ограничения
органически записываются в виде краевых условий.
38
Таким образом, стохастические дифференциальные уравнения являются
удобным математическим аппаратом при моделировании и исследовании
различных динамических систем, и в следующей главе будет представлен
метод получения стохастических дифференциальных уравнений и уравнений Фоккера-Планка для систем, описываемых одношаговыми процессами,
примером которых могут служить популяционная динамика, телекоммуникационные системы и т.д.
39
Глава 2.
Метод моделирования одношаговых
процессов
2.1.
Одношаговые процессы. Уравнение Колмогорова-
Чепмена. Основное кинетическое уравнение
Одномерный прототип всех систем типа рождения - гибели представляет
собой систему особей вида 𝑋, количество которых 𝑥 может принимать
неотрицательные целочисленные значения. Обычно принимается, что в ходе
одного события может возникать (рождаться) или исчезать (погибать) лишь
конечное число особей.
Но биологические системы не единственные системы, которые можно
моделировать с помощью одношаговых процессов. Также хорошо описываются системы молекул в химических реакциях, процессы связанные с
поглощением или испусканием фотонов, с переходами электронов, а также
в теории массового обслуживания и др.
Эволюция во времени многомерных систем рождения-гибели может
быть рассмотрена как результат индивидуальных взаимодействий между
элементами этой системы. К таким системам можно отнести химические
реакции (реакции взаимодействия молекул), экологические системы, где
особи гибнут, дают потомство и уничтожают друг друга, системы описыва-
40
ющие эпидемии, в которых заболевание передается от одного индивидуума
другому при контакте и т.д.
Достаточно часто поведение системы, которая содержит взаимодействующие элементы, частицы или индивидуальные объекты, весьма правдоподобно описывается с помощью одношаговых процессов. Все рассматриваемые
в работе системы описываются с помощью необратимых процессов, для
описания которых используются уравнения тесно связаны с основным кинетическим уравнением, уравнением Фоккера — Планка или уравнением
Ланжевена.
Но прежде чем перейти к методу описания систем с взаимодействующими элементами введем некоторые необходимые в дальнейшем понятия
теории случайных процессов.
2.1.1.
Одношаговые процессы
Широкий круг явлений можно моделировать специальным классом
процессов, называемых процессами рождения-гибели. Название происходит
из рассмотрения популяций людей или животных, в которых отдельные
индивидуумы рождаются и умирают.
Под одношаговыми процессами понимают марковские процессы с непрерывным временем, принимающие значения в области целых чисел, матрица
перехода которых допускает только переходы между соседними участками.
Также эти процессы известны под названиями процессов рождения–гибели.
41
Рассмотрим многомерный одношаговый процесс
}︀
{︀
X(𝑡) = (𝑋1 (𝑡), 𝑋2 (𝑡), . . . , 𝑋𝑛 (𝑡)) = 𝑋𝑖 (𝑡), 𝑖 = 1, 𝑛 ,
изменяющийся по 𝑡 на отрезке [0, 𝑇 ], т.е. 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] и 𝑇 – длина временного
{︀
}︀
интервала, на котором задан процесс X(𝑡). Множество Θ = x𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚 ∈
Z𝑛 × Z𝑚 — это множество дискретных значений, которые может принимать
случайный процесс.
Обозначим через s+ и s− вероятности переходов в единицу времени из
состояния x𝑖 в состояние x𝑖+1 и x𝑖−1 соответственно. При этом считается,
что вероятность перехода из состояния x𝑖 на два или белее шагов за единицу времени очень мала. Так как рассматриваются только одношаговые
процессы, значит можно говорить, что вектор x𝑖 состояния системы изменяются шагами длины r𝑖 и тогда вместо переходов из x𝑖 в x𝑖+1 и x𝑖−1 можно
рассматривать переходы из x в x + r𝑖 и x − r𝑖 соответственно.
Таким образом одношаговые процессы подчиняются следующим условиям.
1. Если в момент времени 𝑡 система находится в состоянии x ∈ Z>0 , то
вероятность перехода в состояние x + r𝑖 в интервале времени [𝑡, 𝑡 + Δ𝑡]
равна s+ Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡).
2. Если в момент времени 𝑡 система находится в состоянии x ∈ Z+ , то
вероятность перехода в состояние x − r𝑖 в интервале времени [𝑡, 𝑡 + Δ𝑡]
равна s− Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡).
3. Вероятность перехода в состояние, отличное от соседних равна 𝑜(Δ𝑡).
42
4. Вероятность сохранения прежнего состояния равна 1−(s+ +s− )Δ𝑡+𝑜(Δ𝑡).
5. Состояние x = 0 есть поглощающая граница.
2.1.2.
Уравнение Колмогорова–Чепмена
Любой марковский процесс должен удовлетворять уравнению Колмогорова–
Чепмена, известному также как уравнение Смолуховского.
Рассмотрим некоторый стохастический процесс 𝑋(𝑡) . Предполагаем, что
существует последовательность совместных вероятностей 𝑃 (x1 , 𝑡1 ; x2 , 𝑡2 ; ...),
которая полностью определяет систему. Через совместные вероятности
можно определить условные вероятности для 𝑡1 > 𝑡2 > ... > 𝜏1 > 𝜏2 > ...:
𝑃 (x1 , 𝑡1 ; x2 , 𝑡2 ; . . . | y1 , 𝜏1 ; y2 , 𝜏2 ; . . .) =
𝑃 (x1 , 𝑡1 ; x2 , 𝑡2 ; . . . ; y1 , 𝜏1 ; y2 , 𝜏2 ; . . .)
.
𝑃 (y1 𝜏1 ; y2 , 𝜏2 ; . . .)
Определение 2. Марковский процесс — случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временного параметра 𝑡 не
зависит от эволюции, предшествовавшей 𝑡, при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано (короче: «будущее» процесса не зависит
от «прошлого» при известном «настоящем»), т.е.
𝑃 (x1 , 𝑡1 ; x2 , 𝑡2 ; . . . | y1 , 𝜏1 ; y2 , 𝜏2 ; . . .) = 𝑃 (x1 , 𝑡1 ; x2 , 𝑡2 ; . . . | y1 , 𝜏1 ).
(2.1)
Важное значение имеет вероятность вида
𝑃 (x, 𝑡|y, 𝑡0 ) = 𝑃 {X(𝑡) = x, 𝑡 | X(𝑡0 ) = y, 𝑡0 } ,
(2.2)
43
выражающая вероятность перехода системы в момент времени 𝑡 в состояние
x при условии, что в момент времени 𝑡0 > 𝑡 система находилась в состоянии
y. Такую вероятность принято называть вероятностью перехода и она
должна удовлетворять следующим условиям:
∑︀
1.
𝑃 (x, 𝑡 | y, 𝑡0 ) = 1,
y∈Θ
2. 𝑃 (x, 𝑡 | y, 𝑡0 ) > 0,
3. 𝑃 (x, 𝑡0 | y, 𝑡0 ) = 𝛿xy ,
где
𝛿𝑥𝑦 =
⎧
⎪
⎨ 1, 𝑥 = 𝑦,
(2.3)
⎪
⎩ 0, 𝑥 ̸= 𝑦.
Далее рассмотрим последовательные моменты времени 𝑡1 < 𝑡2 < 𝑡3 и
марковский процесс X(𝑡), тогда пользуясь определением условной вероятности и марковского процесса можно получить
𝑃 (x1 , 𝑡1 ; x2 , 𝑡2 ; x3 , 𝑡3 ) = 𝑃 (x1 , 𝑡1 ; x2 , 𝑡2 )𝑃 (x3 , 𝑡3 |x1 , 𝑡1 ; x2 , 𝑡2 ) =
= 𝑃 (x1 , 𝑡1 )𝑃 (x2 , 𝑡2 | x1 , 𝑡1 )𝑃 (x3 , 𝑡3 | x2 , 𝑡2 )
Суммируя по x2 найдем
∑︁
𝑃 (x1 , 𝑡1 ; x2 , 𝑡2 ; x3 , 𝑡3 ) = 𝑃 (x1 , 𝑡1 ; x3 , 𝑡3 ) =
x2 ∈Θ
= 𝑃 (x1 , 𝑡1 )
∑︁
x2 ∈Θ
𝑃 (x3 , 𝑡3 | x2 , 𝑡2 )𝑃 (x2 , 𝑡2 | x1 , 𝑡1 ).
44
Разделим предыдущее выражение на 𝑃 (x1 , 𝑡1 )
𝑃 (x1 , 𝑡1 |x3 , 𝑡3 ) =
∑︁
𝑃 (x3 , 𝑡3 |x2 , 𝑡2 )𝑃 (x2 , 𝑡2 |x1 , 𝑡1 ).
(2.4)
x2 ∈Θ
Уравнение (2.4) есть уравнение Колмогорова-Чепмена, которое гласит,
что вероятность перехода из одного состояния в другое равна произведению
вероятности перехода из начального состояния в некоторое промежуточное
и вероятности перехода из этого промежуточного состояния в конечное, а
по всем промежуточным возможным состояниям производиться суммирование. Это предположение основано на независимости скачка от какой-либо
предыстории движения: необходимо знать начальное положение частицы
только в начальный момент времени, а не в какие-либо предшествующие
моменты. Это и есть постулат Маркова, и уравнение Колмогорова-Чепмена
является основным динамическим уравнением всех Марковских процессов.
2.1.3.
Основное кинетическое уравнение
При моделировании систем, в которых временная эволюция происходит в результате взаимодействия элементов системы, их удобно описывать
с помощью основного кинетического уравнения, другое название управляющее уравнение [14, 15], а в англоязычной литературе носит название
Master equation [16]. В книге [86] это уравнение получается из уравнения
Колмогорова-Феллера переобозначением переменных. Основное кинетическое уравнение описывает эволюцию распределения вероятностей в цепи
45
Маркова с непрерывным временем и представляет собой разновидность
уравнения Колмогорова-Чепмена для марковских процессов, совпадает, по
существу, с прямым уравнением Колмогорова.
Для получения основного кинетического уравнения введем вероятность
скачка 𝑊 (x|y, 𝑡) определяющую вероятность, что в момент времени 𝑡 произошел скачок в состояние y при условии, что непосредственно перед
скачком система находилась в состоянии x.
Кроме того запишем выражение для вероятности перехода за малое
время Δ𝑡 [72, 86, 87]:
⎛
⎞
𝑃 (x1 , 𝑡1 |x2 , 𝑡1 + Δ𝑡) = ⎝1 −
∑︁
𝑊 (x2 |x1 , 𝑡1 )Δ𝑡⎠ 𝛿x1 ,x2 +
x2 ̸=x1 ,x2 ∈Θ
+ 𝑊 (x2 |x1 , 𝑡1 )Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡). (2.5)
Далее записав уравнение Колмогорова-Чепмена и подставив в него
выражение (2.5), а также воспользовавшись условием (3) для вероятности
перехода 𝑃 (x2 , 𝑡2 |x3 , 𝑡2 ) = 𝛿x2 ,x3 можно записать цепочку преобразований:
𝑃 (x1 , 𝑡1 |x2 , 𝑡2 + Δ𝑡) =
∑︁
𝑃 (x1 , 𝑡1 |x3 , 𝑡2 )𝑃 (x3 , 𝑡2 |x2 , 𝑡2 + Δ𝑡) =
x3 ∈Θ
⎧⎛
⎨
∑︁
𝑃 (x1 , 𝑡1 |x3 , 𝑡2 ) ⎝1 −
⎩
x3 ∈Θ
⎞
∑︁
𝑊 (x2 |x1 , 𝑡1 )Δ𝑡⎠ 𝛿x1 ,x2 +
x2 ̸=x1 ,x2 ∈Θ
+ 𝑊 (x2 |x1 , 𝑡1 )Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)} =
46
∑︁
= 𝑃 (x1 , 𝑡1 |x2 , 𝑡2 ) +
𝑊 (x2 |x3 , 𝑡2 )𝑃 (x1 , 𝑡1 |x3 , 𝑡2 )Δ𝑡 −
x3 ̸=x2 ,x3 ∈Θ
−
∑︁
𝑊 (x3 |x2 , 𝑡2 )𝑃 (x1 , 𝑡1 |x2 , 𝑡2 )Δ𝑡. (2.6)
x3 ̸=x2 ,x3 ∈Θ
Далее перенеся 𝑃 (x1 , 𝑡1 |x2 , 𝑡2 ) в правую часть и поделив на Δ𝑡 можно
получить:
𝑃 (x1 , 𝑡1 |x2 , 𝑡2 + Δ𝑡) − 𝑃 (x1 , 𝑡1 |x2 , 𝑡2 )
=
Δ𝑡
∑︁
(𝑊 (x2 |x3 , 𝑡2 )×
x3 ̸=x2 ,x3 ∈Θ
×𝑃 (x1 , 𝑡1 |x3 , 𝑡2 ) − 𝑊 (x3 |x2 , 𝑡2 )𝑃 (x1 , 𝑡1 |x2 , 𝑡2 )) . (2.7)
Таким образом получаем основное кинетическое уравнение вида:
𝜕𝑃 (x1 , 𝑡1 |x2 , 𝑡2 )
=
𝜕𝑡2
∑︁
(𝑊 (x2 |x3 , 𝑡2 )𝑃 (x1 , 𝑡1 |x3 , 𝑡2 ) −
x3 ̸=x2 ,x3 ∈Θ
−𝑊 (x3 |x2 , 𝑡2 )𝑃 (x1 , 𝑡1 |x2 , 𝑡2 )) . (2.8)
Т.е. основное кинетическое уравнение представляет собой балансовое
уравнение для вероятности каждого состояния x1 . Первый член соответствует возрастанию вероятности из-за переходов из других состояний x2 , а
второй — уменьшению вероятности из-за переходов в другие состояния.
47
2.2.
Метод моделирования многомерных одношаговых
процессов
Для описания эволюции систем с взаимодействующими элементами
существует два подхода — это построение детерминистической или стохастической моделей. В отличии от детерминистических, стохастические
модели позволяют учесть вероятностный характер процессов происходящих в изучаемых системах, а также воздействия внешней среды, которые
вызывают случайные флуктуации параметров модели.
Предметом изучения являются системы, процессы происходящие в которых могут быть описаны с помощью одношаговых процессов и таких, в
которых переход их одного состояния в другое связан с взаимодействием элементов системы. Примером могут служить модели описывающие динамику
роста взаимодействующих популяций, такие как «хищник-жертва», симбиоз,
конкуренция и их модификации. Целью является записать для таких систем
СДУ и исследовать влияние введения стохастической части на поведение
решения уравнения, описывающего детерминистическое поведение.
2.2.1.
Химическая кинетика
Системы уравнений, возникающие при описании систем с взаимодействующими элементами, во многом близки системам дифференциальных
уравнений, описывающих кинетику химических реакций. Так, например,
система Лотки-Вольтерра была первоначально выведена Лоткой как систе-
48
ма, описывающая некоторую гипотетическую химическую реакцию, и лишь
позже Вольтерра вывел ее как систему, описывающую модель «хищникжертва».
Химическая кинетика описывает химические реакции с помощью, так
называемых стехиометрических уравнений — уравнений отражающих
количественные соотношения реагентов и продуктов химической реакции и
имеющих следующий общий вид [88]:
𝑝
∑︁
𝑖=1
𝑘+
𝑚𝑖 𝑋𝑖 𝑞
∑︁
𝑘 − 𝑖=1
𝑛𝑖 𝑌𝑖
(2.9)
где натуральные числа 𝑚𝑖 и 𝑛𝑖 называются стехиометрическими коэффициентами. Это символическая запись химической реакции, в которой 𝑚1
молекул реагента 𝑋1 , 𝑚2 молекул реагента 𝑋2 , ..., 𝑚𝑝 молекул реагента 𝑋𝑝 ,
вступив в реакцию образуют 𝑛1 молекул вещества 𝑌1 , 𝑛2 молекул вещества
𝑌2 , ..., 𝑛𝑞 молекул вещества 𝑌𝑞 соответственно.
В химической кинетике полагается, что химическая реакция может
происходить только при непосредственном взаимодействии реагентов, а скорость химической реакции определяется как число частиц образовавшихся
в единицу времени в еденице объема.
Основным постулатом химической кинетики является закон действующих масс, который говорит о том, что скорость химической реакции прямо
пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ в степенях их стехиометрических коэффициентов. Поэтому, если обозначить
через 𝑥𝑖 и 𝑦𝑖 концентрации соответствующих веществ, то имеем уравнение
49
для скорости изменения концентрации какого-либо вещества во времени в
результате химической реакции [88]:
𝑝
𝑞
∏︁
∏︁
d𝑥𝑖
𝑚𝑖
+
−
= −𝑘
𝑥𝑖 + 𝑘
𝑦𝑖𝑛𝑖
d𝑡
𝑖=1
𝑖=1
𝑝
∏︁
𝑞
∏︁
(2.10)
d𝑦𝑖
−
𝑖
= 𝑘+
𝑥𝑚
𝑦𝑖𝑛𝑖 ,
𝑖 −𝑘
d𝑡
𝑖=1
𝑖=1
здесь 𝑘 + и 𝑘 − — константы скорости протекания реакции в прямом и
обратном направлениях соответственно. Уравнение (2.10) называется кинетическим уравнением.
2.2.2.
Расширение методики химической кинетики для
систем с взаимодействующими элементами
Далее предлагается использовать основные идеи химической кинетики
для описания систем, эволюция во времени которых происходит в результате
взаимодействия друг с другом элементов данной системы, внеся следующие
основные изменения:
1. рассматриваются не скорости реакций, а вероятности переходов;
2. предлагается, что вероятность перехода из одного состояния в другое,
являющегося следствием взаимодействия, пропорциональна числу возможных взаимодействий данного типа;
3. для описания системы в данном методе используется основное кинетическое уравнение;
4. детерминистические уравнения заменяются стохастическими.
50
Подобный подход к описанию таких систем можно найти в работах [14,
38, 39, 89]. Для описания процессов происходящих в моделируемой системе предполагается использовать, как уже отмечалось выше, марковские
одношаговые процессы.
Рассмотрим систему состоящую из 𝑛 типов различных элементов, которые могут взаимодействовать между собой 𝑠 различными способами.
Обозначим через 𝑋𝑖 элемент 𝑖-того типа, где 𝑖 = 1, 𝑛, а через 𝑥𝑖 — количество элементов 𝑖-того типа.
Пусть 𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ [0, ∞) — одношаговый марковский процесс, описывающий количество элементов в системе в любой момент времени. Таким
образом дискретное множество состояний этого процесса задается вектором
x ∈ N𝑛 . Кроме того считается, что в случайный момент времени в результате
взаимодействия одной из возможных комбинаций элементов 𝑋𝑖 происходит
переход системы в другое состояние, кроме того результат взаимодействия
комбинации элементов не зависит от других элементов системы.
Схемы взаимодействия
Так как рассматриваются системы состоящие из элементов, которые
взаимодействуют между собой и предполагается, что переход системы из
одного состояния в другое происходит лишь в результате этого взаимодействия, поэтому удобно описывать процессы происходящие в таких системах
с помощью схем подобных стехиометрическим уравнениям, которые будем называть схемами взаимодействия, общий вид которых представлен
51
следующим выражением:
𝑁11 𝑋1
+
𝑁21 𝑋2 +
···
𝑁𝑛1 𝑋𝑛
𝑘1+
𝑀11 𝑋1 + 𝑀21 𝑋2 + · · · 𝑀𝑛1 𝑋𝑛 ,
𝑘1−
𝑘2+
𝑁12 𝑋1 + 𝑁22 𝑋2 + · · · 𝑁𝑛2 𝑋𝑛 𝑀12 𝑋1 + 𝑀22 𝑋2 + · · · 𝑀𝑛2 𝑋𝑛 ,
𝑘2−
···
𝑁1𝑠 𝑋1
+
𝑁2𝑠 𝑋2 +
···
···
···
𝑁𝑛𝑠 𝑋𝑛
(2.11)
···
𝑘𝑠+
𝑀1𝑠 𝑋1 + 𝑀2𝑠 𝑋2 + · · · 𝑀𝑛𝑠 𝑋𝑛 .
𝑘𝑠−
Или в более компактной форме:
𝑛
∑︁
𝑎=1
𝑁𝑎𝐴 𝑋𝑎
+
𝑘𝐴
−
𝑘𝐴
∑︁
𝑀𝑎𝐴 𝑋𝑎 ,
𝐴 = 1, 𝑠,
(2.12)
𝑎
где 𝑋𝑎 обозначает тип элемента системы, матрицы N ∈ Z𝑛>0 × Z𝑛>0 и
M ∈ Z𝑛>0 × Z𝑛>0 будем называть матрицами состояния системы, а коэффициенты k+ ∈ Z𝑠>0 , k− ∈ Z𝑠>0 — это коэффициенты взаимодействия в прямом
и обратном направлениях соответственно. Коэффициент 𝑁𝑎𝐴 есть число
компонентов типа 𝑋𝑎 в левой части уравнения, а 𝑀𝑎𝐴 – соответственно в
правой. Т.е. во взаимодействии вида 𝐴 вступает 𝑁𝑎𝐴 компонентов типа 𝑋𝑎
и в результате этого взаимодействия в прямом направлении образуется 𝑀𝑎𝐴
элементов типа 𝑋𝑎 . Аналогично описывается взаимодействие в обратном
направлении.
Т.о. схема взаимодействия это символическая запись всех возможных
взаимодействий в системе между ее элементами. Т.е. такая схема показывает
сколько и каких элементов вступило во взаимодействие и что получилось в
52
результате, а также характеризует тип взаимодействия.
Также введем вектор x = (𝑥1 , 𝑥2 , ..., 𝑥𝑛 ) ∈ Z𝑛>0 , который описысает
состояние системы, т.е. количество элементов соответствующего типа присутствующих в изучаемой системе. Т.о. временную эволюцию системы будем
рассматривать как изменение вектора x во времени.
Также определим для взаимодействия типа 𝐴 вектор изменения состояния системы r𝐴 ∈ Z𝑛>0 :
r𝐴 = M𝐴 − N𝐴 .
(2.13)
Вероятности перехода
Как уже отмечалось выше, в системе, описываемой одношаговыми процессами возможны два вида перехода системы из одного состояния в другое,
происходящие в результате взаимодействия элементов, в прямом направлении
x → x + r𝐴
с вероятностью s+ и в обратном направлении
x → x − r𝐴
с вероятностью s− .
53
А матрица вероятностей переходов может быть записана в виде:
𝑊 (x|x′ , 𝑡) = s+ 𝛿x,x′ +1 + s− 𝛿x,x′ −1 .
(2.14)
где 𝛿𝑖,𝑗 — символ Кронекера.
Далее предполагается, что при взаимодействии 𝐴 вероятности перехода
в единицу времени из состояния x в состояние x ± r пропорциональны
соответственно числу способов выбора комбинации количества 𝑁 𝐴 или 𝑀 𝐴
участвующих во взаимодействии элементов системы из общего количества
𝑥 элементов системы и определяются выражениями:
𝑠+
𝐴 (x)
𝑠−
𝐴 (x)
=
𝑘𝐴+
=
𝑘𝐴−
𝑛
∏︁
𝑥𝑎 !
,
𝐴 )!
(𝑥
−
𝑁
𝑎
𝑎
𝑎=1
𝑛
∏︁
𝑥𝑎 !
,
𝐴 )!
(𝑥
−
𝑀
𝑎
𝑎
𝑎=1
(2.15)
(2.16)
Таким образом, общий вид основного кинетического уравнения для
целочисленной переменной x, изменяющейся шагами длины r𝐴 , принимает
вид:
𝑠
∑︁
{︀[︀ −
]︀
𝜕𝑃 (x, 𝑡)
=
𝑠𝐴 (x + r𝐴 , 𝑡)𝑃 (x + r𝐴 , 𝑡) − 𝑠+
(x)𝑃
(x,
𝑡)
+
𝐴
𝜕𝑡
𝐴=1
[︀
]︀}︀
𝐴
𝐴
−
+ 𝑠+
.
𝐴 (x − r , 𝑡)𝑃 (x − r , 𝑡) − 𝑠𝐴 (x)𝑃 (x, 𝑡)
(2.17)
54
2.2.3.
Приведение основного кинетического уравнения
к уравнению Фоккера-Планка
Далее встает вопрос, как получить описание исследуемой системы, описываемой одношаговыми процессами, с помощью стохастического дифференциального уравнения в форме уравнения Ланжевена из основного
кинетического уравнения. Для решения этой задачи предлагается аппроксимировать основное кинетическое уравнение уравнением Фоккера-Планка,
для которого можно записать эквивалентное ему стохастическое дифференциальное уравнение в форме уравнения Ланжевена.
Существует несколько способов аппроксимации основного кинетического
уравнения уравнением Фоккера-Планка [14, 41]:
1. разложение Крамерса-Мойала;
2. разложение Ван Кампена по обратному размеру;
3. разложение через малый параметр.
Так как второе и третье довольно сложны, а результат в первом приближении для одношаговых процессов все три дают одинаковый, предлагается
использовать разложение Крамерса-Мойала.
Полученное уравнение Фоккера-Планка можно переписать в виде стохастического дифференциального уравнения.
55
Разложение Крамерса-Мойала
Разложение Крамерса-Мойала используется для перехода от основного
кинетического уравнения к уравнению Фоккера-Планка [14,41]. Преобразуем
основное кинетическое уравнение (2.17) к уравнению Фоккера-Планка. Для
этого делается несколько предположений. Во-первых предполагается, что
имеют место только малые скачки, т.е. 𝑠𝐴 (x) является функцией медленно
изменяющейся с изменением x. Второе предположение говорит о том, что
𝑃 (x, 𝑡) также медленно изменяется с изменением x. Тогда можно выполнить
сдвиг из точки (x ± r𝐴 ) в точку x, разложив правую часть в ряд Тейлора:
{︃ ∞ [︂
]︂ ∑︁
]︂}︃
∞ [︂
𝐴
𝑛
𝐴
𝑛
∑︁
∑︁
𝜕𝑃 (x, 𝑡)
(r ∇) −
(−r ∇) +
=
𝑡𝐴 (x)𝑃 (x, 𝑡) +
𝑡𝐴 (x)𝑃 (x, 𝑡)
𝜕𝑡
𝑛!
𝑛!
𝑛=1
𝑛=1
𝐴
(2.18)
и отбросив члены порядка выше второго получим уравнение ФоккераПланка:
∑︁
𝜕𝑃 (x, 𝑡)
1 ∑︁
=−
𝜕𝑎 [𝐴𝑎 (x)𝑃 (x, 𝑡)] +
[𝐵𝑎𝑏 (x)𝑃 (x, 𝑡)] ,
𝜕𝑡
2
𝑎
(2.19)
𝑎,𝑏
где
𝐴𝑎 (x) =
∑︁
𝐵𝑎𝑏 (x) =
∑︁
[︀ +
]︀
−
r𝐴
𝑠
(x)
−
𝑠
(x)
,
𝑎
𝐴
𝐴
𝐴
(2.20)
𝐴
r𝐴
𝑎 r𝑏
[︀ +
]︀
𝑠𝐴 (x) − 𝑠−
(x)
.
𝐴
𝐴
Таким образом видно, что коэффициенты для уравнения ФоккераПланка можно получить сразу после записи для изучаемой системы схемы
56
взаимодействия, векторов изменения состояния системы r𝐴 , 𝐴 = 1, 𝑠 и
выражений для вероятностей перехода s+ и s− , т.е. при практическом применении данного метода нет необходимости записывать основное кинетическое
уравнение.
2.3.
Численное моделирование
В целях визуализации полученных результатов было проведено численное моделирование. Дается краткое описание подходов к численной
реализации стохастических дифференциальных уравнений и дается обоснование конкретного метода для модели типа «хищник-жертва».
2.3.1.
Стохастические методы Рунге-Кутты с сильным
порядком точности, равным единице
Для численного решения стохастических дифференциальных уравнений
существует множество подходов. Рассмотрим один из них, заключающийся
в распространении методов Рунге–Кутты на случай СДУ. При этом следует различать два вида решений: сильное и слабое [65]. Сильное решение
означает, что решение СДУ полностью определяется в момент времени
𝑡 заданной траекторией винеровского процесса W на отрезке [0, 𝑡] и начальным условием x0 . Слабое решение означает качественное построение
вероятностной модели, где определены некоторый винеровский процесс W
и процесс x(𝑡), удовлетворяющий стохастическому уравнению.
57
Иначе говоря, в случае сильного решения интересуются собственно траекториями пары процессов, а в случае слабого решения — распределением
этой пары.
Еще одной важной особенностью, о которой следует помнить при работе с численными методами для СДУ, является то, что используя лишь
приращение ΔW винеровского процесса, нельзя получить схемы сильного
порядка точности выше первого [65, 70, 90].
Перейдем теперь к изложению основных сведений о стохастических
методах Рунге–Кутты для СДУ вида:
dx = a(x)d𝑡 + b(x)dW.
(2.21)
Классический метод Рунге-Кутты можно распространить на случай
СДУ следующим образом [91, 92]:
⎧
𝑠
𝑠
∑︁
∑︁
⎪
⎪
^ 𝑖𝑗 b(g𝑗 ),
⎪
g𝑖 = x 𝑛 + ℎ
𝑅𝑖𝑗 a(g𝑗 ) + 𝐽1
𝑅
⎪
⎪
⎪
𝑗=1
𝑗=1
⎪
⎪
⎨
𝑠
𝑠
∑︁
∑︁
x𝑛+1 = x𝑛 + ℎ
𝑟𝑗 a(g𝑗 ) + 𝐽1
𝑟^𝑗 b(g𝑗 ),
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑗=1
𝑗=1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑠.
где 𝐽1 ∼ 𝑁 (0, ℎ) или 𝐽1 ∼
√
(2.22)
ℎ𝜀, 𝜀 ∼ 𝑁 (0, 1). Коэффициенты метода можно
сгруппировать в таблицу, называемую таблицей Батчера [90]:
^ 𝑖𝑗
𝑅𝑖𝑗 𝑅
.
𝑟𝑗
𝑟^𝑗
58
Конкретный метод полностью определяется своей таблицей Батчера.
Теория помеченных деревьев, используемая для определения уравнений
порядка для коэффициентов классических методов Рунге–Кутты, была распространена на случай стохастических методов. Приведем здесь несколько
конкретных стохастических методов Рунге-Кутты [91]:
EM2:
0
0
0
0
0
0
2/3
0
0
2/3
0
0
−1
1
0
−1
1
0
0
3/4 1/4
0
3/4 1/4
0
0
0
0
1/4 1/4
0
0
1/4 1/4
,
0
0
.
IM:
0
1
0
0
1
0
1/6 2/3 1/6 1/6 2/3 1/6
Согласно численному эксперименту, проведенному в статье [91], наименьшую глобальную погрешность вычисления обеспечивает метод IM, однако
это неявный метод, что затрудняет реализацию его на компьютере. Из
явных методов наилучшую точность дает метод EM2.
2.3.2.
Численное решение уравнений стохастической
модели хищник-жертва
Следует отметить, что для детерминированной модели «хищник–жертва»
метод Эйлера даёт слишком большую погрешность даже вблизи стационарных точек. Из этого следует неприменимость метода Эйлера–Маруямы к
59
стохастической модели «хищник–жертва», так как он является распространением метода Эйлера на случай СДУ.
Для численного решения СДУ модели «хищник–жертва», были использованы вышеизложенные методы Рунге–Кутты, которые были реализованы
на языке Фортран.
В дальнейшем предполагается реализовать и использовать стохастические методы Рунге–Кутты сильного порядка точности больше 1. В таких
методах используется винеровские приращения большей кратности. Однако количество коэффициентов резко возрастает, а следовательно резко
возрастает сложность их вычисления [67, 69, 70].
2.3.3.
Генерация псевдослучайных, нормально распре-
деленных чисел
Для генерации нормально распределенных псевдослучайных чисел использовалась функция random_normal(), написанная на языке Фортран.
Функция входит в состав модуля random, доступного по адресу http://www.
netlib.org/random/index.html (автор Alan Miller). Алгоритм, используемый в этой функции, описан в статье [93].
60
Глава 3.
Применение метода моделирования
одношаговых процессов
3.1.
3.1.1.
Стохастические модели популяционной динамики
Экспоненциальный рост
Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален
числу особей популяции. Также предполагается, что рост популяции происходит при неограниченных ресурсах и отсутствии гибели от болезней,
хищников и т.п. Таким образом, в модели неограниченного роста возможны
два процесса: рождение и гибель особи. Запишем схему для данной модели:
𝑘
1
𝑋 −
→
2𝑋,
𝑘
2
𝑋 −
→
0.
Первая строка описывает рождение новой особи с коэффициентом рождаемости 𝑘1 , а вторая — гибель особи с коэффициентом смертности 𝑘2 .
Вероятность перехода из состояния 𝑥 в 𝑥′ имеет вид:
𝑊 (𝑥|𝑥′ , 𝑡) = 𝑠+ (𝑥)′ 𝛿𝑥,𝑥′ +1 + 𝑠− (𝑥)′ 𝛿𝑥,𝑥′ −1 ,
(3.1)
61
где
𝑥!
= 𝑘1 𝑥,
(𝑥 − 1)!
𝑥!
𝑠+
= 𝑘2 𝑥.
2 (𝑥) = 𝑘2
(𝑥 − 1)!
𝑠+
1 (𝑥) = 𝑘1
(3.2)
Все процессы необратимы, поэтому 𝑠− (𝑥) = 0.
Далее, пользуясь формулой (2.19), получим уравнение Фоккера–Планка
для модели неограниченного роста популяций:
𝜕𝑃 (𝑥, 𝑡)
𝜕
1 𝜕2
= − (𝑎1 𝑃 (𝑥, 𝑡)) +
(𝑎2 𝑃 (𝑥, 𝑡)) ,
𝜕𝑡
𝜕𝑥
2 𝜕𝑥2
(3.3)
где коэффициенты 𝑎𝑖 соответственно равны:
𝑎1 =
∑︁
(𝑥 − 𝑥′ )𝑊 (𝑥′ |𝑥) = 𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥,
𝑥′
𝑎2 =
∑︁
(3.4)
′ 2
′
(𝑥 − 𝑥 ) 𝑊 (𝑥 |𝑥) = 𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑥.
𝑥′
Уравнение Фоккера—Планка эквивалентно СДУ в форме Ланжевена:
d𝑥(𝑡) = (𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥)d𝑡 +
3.1.2.
√︀
(𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑥)d𝑊 (𝑡).
(3.5)
Ограниченный рост
Для большинства популяций существуют ограничивающие факторы, и
по тем или иным причинам рост популяции замедляется, ни одна из популяций в природе не растет до бесконечности. Следовательно, существуют
причины, препятствующие такому росту. Базовой моделью, описывающей
62
ограниченный рост, является модель Ферхюльста [19]:
𝐾 −𝑥
𝜕𝑥
=𝑎
𝑥.
𝜕𝑡
𝐾
(3.6)
Здесь параметр 𝐾 определяет факторы, ограничивающие рост популяции.
Далее построим стохастическую модель для данной системы с использованием описанного во второй главе метода. Для начала запишем схему для
данной модели:
𝑘
1
𝑋 −
→
2𝑋,
𝑘
2
𝑋 +𝑋 −
→
𝑋.
Первое соотношение означает, что индивидуум, который съедает единицу пищи, немедленно репродуцируется. Второе соотношение описывает
соперничество между индивидами.
Вероятность перехода из состояния 𝑥 в 𝑥′ имеет вид:
𝑊 (𝑥|𝑥′ , 𝑡) = 𝑠+ (𝑥)′ 𝛿𝑥,𝑥′ +1 + 𝑠− (𝑥)′ 𝛿𝑥,𝑥′ −1 .
(3.7)
где
𝑠+
1 (𝑥) = 𝑘1 𝑥,
𝑠+
2 (𝑥)
(3.8)
2
= 𝑘2 𝑥 .
Все процессы необратимы, поэтому 𝑠− (𝑥) = 0.
Далее, пользуясь формулой (2.19), получим уравнение Фоккера–Планка
63
для модели ограниченного роста популяций:
𝜕
1 𝜕2
𝜕𝑃 (𝑥, 𝑡)
= − (𝑎1 𝑃 (𝑥, 𝑡)) +
(𝑎2 𝑃 (𝑥, 𝑡)) ,
𝜕𝑡
𝜕𝑥
2 𝜕𝑥2
(3.9)
Коэффициенты 𝑎𝑖 соответственно равны:
𝑎1 =
∑︁
(𝑥 − 𝑥′ )𝑊 (𝑥′ |𝑥) = 𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥2 ,
𝑥′
𝑎2 =
∑︁
(3.10)
′ 2
′
2
(𝑥 − 𝑥 ) 𝑊 (𝑥 |𝑥) = 𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑥 .
𝑥′
Далее можно получить из уравнения Фоккера–Планка эквивалентное
ему СДУ в форме Ланжевена:
d𝑥(𝑡) = (𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥2 )d𝑡 +
3.1.3.
√︀
(𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑥2 )d𝑊 (𝑡).
(3.11)
Модели взаимодействия популяций
Как уже отмечалось в общем виде взаимодействие двух популяций
можно описать системой дифференциальных уравнений:
⎧
d𝑁1
⎪
⎨
= 𝑎1 𝑁1 + 𝑎12 𝑁1 𝑁2 + 𝑎11 𝑁12 ,
d𝑡
⎪
⎩ d𝑁2 = 𝑎2 𝑁2 + 𝑎21 𝑁1 𝑁2 + 𝑎22 𝑁 2 .
2
d𝑡
(3.12)
где знак коэффициентов перед каждым из слагаемых в правой части системы отвечает за определенный тип меж- и внутривидового взаимодействия.
64
Приведение уравнений популяционных моделей к безразмерному
виду
Путем замены переменных можно привести уравнения рассматриваемых
популяционных уравнений к безразмерному виду и существенно уменьшить
число параметров. Для уравнений модели хищник-жертва:
⎧
⎪
⎨ 𝑥˙ =𝑎𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥𝑦,
(3.13)
⎪
⎩ 𝑦˙ =𝑘2 𝑥𝑦 − 𝑘3 𝑦,
сделаем следующую замену 𝑥 =
𝑘1
𝑘3
𝑥1 , 𝑦 = 𝑎 𝑥2 , 𝜏 = 𝑎𝑘1 𝑡:
𝑘2
𝑘2
⎧
⎪
⎨ 𝑥˙ 1 =𝑥1 (1 − 𝑥2 ),
(3.14)
⎪
⎩ 𝑥˙ 2 =𝑟𝑥2 (𝑥1 − 1).
𝑘3
.
𝑎𝑘1
Уравнения модели хищник-жертва с учетом межвидовой конкуренции
где 𝑟 =
среди жертв
⎧
⎪
⎨ 𝑥˙ =𝑎𝑥 − 𝑘1 𝑥2 − 𝑘2 𝑥𝑦,
(3.15)
⎪
⎩ 𝑦˙ =𝑘2 𝑥𝑦 − 𝑘3 𝑦,
приводится к безразмерному виду следующей заменой: 𝑥 =
𝜏 = 𝑎𝑡:
⎧
⎪
⎨ 𝑥˙ 1 =𝑥1 (1 − 𝑟1 𝑥1 − 𝑥2 ),
⎪
⎩ 𝑥˙ 2 =𝑥2 (𝑥1 − 𝑟2 ),
𝑎
𝑎
𝑥1 , 𝑦 = 𝑥2 ,
𝑘2
𝑘2
(3.16)
65
𝑘3
𝑘1
и 𝑟2 = .
𝑘2
𝑎
Уравнения модели конкуренции
где 𝑟1 =
⎧
⎪
⎨ 𝑥˙ =𝑎1 𝑥 − 𝑘11 𝑥2 − 𝑘12 𝑥𝑦,
(3.17)
⎪
⎩ 𝑦˙ =𝑎2 𝑦 − 𝑘22 𝑦 2 − 𝑘21 𝑥𝑦,
приводится к безразмерному виду следующей заменой 𝑥1 =
𝜏 = 𝑎1 𝑡:
⎧
⎪
⎨ 𝑥˙ 1 =𝑥1 (1 − 𝑥1 − 𝑎12 𝑥2 ),
𝑘11
𝑘22
𝑥, 𝑥2 =
𝑦,
𝑎1
𝑎2
(3.18)
⎪
⎩ 𝑥˙ 2 =𝑟𝑥2 (1 − 𝑥2 − 𝑎21 𝑥1 ),
𝑎2
𝑎2 𝑘12
𝑎1 𝑘21
, 𝑎12 =
и 𝑎21 =
.
𝑎1
𝑎1 𝑘22
𝑎2 𝑘11
Более подробно механизм репараметризации рассматривается далее на
где 𝑟 =
примере модели «хищник-жертва».
3.1.4.
Модель «хищник-жертва»
Детерминистическая модель «хищник-жертва»
Рассматривается случай, когда в ограниченной среде сосуществуют два
вида, один из которых (хищник) питается за счёт второго вида (жертва).
Очевидно, что численность жертв будет увеличиваться тем медленнее, чем
больше существует хищников, а хищников тем быстрее, чем многочисленнее жертвы. Вольтерра получил следующую систему дифференциальных
66
уравнений для описания численности видов:
⎧
⎪
⎪
⎨𝑁˙ 1 = (𝜀1 − 𝛾1 𝑁2 ) 𝑁1 ,
(3.19)
⎪
⎪
⎩𝑁˙ 2 = (−𝜀2 + 𝛾2 𝑁1 ) 𝑁2 .
где 𝑁1 — численность жертв, 𝑁2 – численность хищников, 𝜀1 и 𝜀2 положительные постоянные коэффициенты, отражающие естественную рождаемость и смертность жертв и хищников соответственно, а 𝛾1 и 𝛾2 это
положительные постоянные коэффициенты, для описания межвидового
взаимодействия.
Стохастическая модель «хищник-жертва»
Рассмотрим модель системы «хищник-жертва», состоящую из животных
двух видов, при чем один из них охотится за другими, которые обеспечены
неисчерпаемыми пищевыми ресурсами. Введя обозначения 𝑋 — жертва,
𝑌 — хищник, можно записать возможные процесс для вектора состояния
x = (𝑋, 𝑌 )𝑇 [94, 95]:
𝑘
𝑟1 = (1, 0),
𝑘
𝑟2 = (−1, 1),
𝑘
𝑟3 = (0, −1),
1
𝑋 +𝐴 −
→
2𝑋,
2
𝑋 +𝑌 −
→
2𝑌,
3
𝑌 −
→
𝐵,
которые имеют следующую интерпретацию. Первое соотношение означает,
что жертва, которая съедает единицу пищи, немедленно репродуцируется.
67
Второе соотношение описывает поглощение жертвы хищником и мгновенное
репродуцирование хищника. Это единственная рассматриваемая возможность гибели жертвы. Последнее соотношение — это естественная смерть
хищника.
Все процессы необратимы, поэтому 𝑠−
𝐴 = 0, а
𝑥! 𝑦!
= 𝑘1 𝑥,
(𝑥 − 1)! 𝑦!
𝑥!
𝑦!
𝑠+
= 𝑘2 𝑥𝑦,
2 (𝑥, 𝑦) = 𝑘2
(𝑥 − 1)! (𝑦 − 1)!
𝑥! 𝑦!
= 𝑘3 𝑦.
𝑠+
3 (𝑥, 𝑦) = 𝑘3
𝑥! (𝑦 − 1)!
𝑠+
1 (𝑥, 𝑦) = 𝑘1
(3.20)
Воспользовавшись формулой (2.19) имеем уравнение Фоккера-Планка:
∑︁
𝜕𝑃 (𝑥, 𝑦)
1 ∑︁
=−
𝜕𝑎 (𝐴𝑎 (𝑥, 𝑦)𝑃 (𝑥, 𝑦))+
𝜕𝑎 𝜕𝑏 (𝐵𝑎𝑏 (𝑥, 𝑦)𝑃 (𝑥, 𝑦)) , (3.21)
𝜕𝑡
2
𝑎
𝑎,𝑏
где
𝐴𝑎 (𝑥, 𝑦) =
∑︁
A
𝑠+
𝐴 (x)ra ,
𝐴=1,2,3
𝐵𝑎𝑏 (𝑥, 𝑦) =
∑︁
𝐴=1,2,3
A A
𝑠+
𝐴 (x)ra rb .
(3.22)
68
Таким образом мы получили:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎜1⎟
⎜−1⎟
⎜0⎟
⎜𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥𝑦 ⎟
𝐴(𝑥, 𝑦) = ⎝ ⎠ 𝑘1 𝑥 + ⎝ ⎠ 𝑘2 𝑥𝑦 + ⎝ ⎠ 𝑘3 𝑦 = ⎝
⎠,
0
1
−1
𝑘2 𝑥𝑦 − 𝑘3 𝑦
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜1 ⎟
⎜−1⎟
⎜0⎟
𝐵(𝑥, 𝑦) = ⎝ ⎠ (1, 0)𝑘1 𝑥 + ⎝ ⎠ (−1, 1)𝑘2 𝑥𝑦 + ⎝ ⎠ (0, −1)𝑘3 𝑦 =
0
1
−1
⎛
⎞
−𝑘2 𝑥𝑦 ⎟
⎜𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑥𝑦
=⎝
⎠.
−𝑘2 𝑥𝑦
𝑘2 𝑥𝑦 + 𝑘3 𝑦
(3.23)
Для того чтобы записать стохастическое дифференциальное уравнение
в форме Ланжевена для модели «хищник-жертва», достаточно извлечь
квадратный корень из полученной матрицы 𝐵(𝑥, 𝑦) в уравнении Фоккера–
Планка.
⎛ ⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
1
⎜𝑥⎟ ⎜𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥𝑦 ⎟
⎜d𝑊 ⎟
d⎝ ⎠ = ⎝
⎠ d𝑡 + 𝑏(𝑥, 𝑦) ⎝
⎠,
2
𝑦
𝑘2 𝑥𝑦 − 𝑘3 𝑦
d𝑊
⎛
(3.24)
⎞
−𝑘2 𝑥𝑦 ⎟
⎜𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑥𝑦
(𝑏(𝑥, 𝑦)𝑏(𝑥, 𝑦)𝑇 )𝑖𝑗 = 𝐵𝑖𝑗 (𝑥, 𝑦) = ⎝
⎠.
−𝑘2 𝑥𝑦
𝑘2 𝑥𝑦 + 𝑘3 𝑦
(3.25)
Следует заметить, что конкретный вид матрицы 𝑏(𝑥, 𝑦) не выписан из-за
крайней громоздкости выражения. Впрочем, при дальнейших исследованиях
нам понадобится не собственно матрица 𝑏(𝑥, 𝑦), а её квадрат, то есть матрица
𝐵(𝑥, 𝑦).
69
Исследование влияния стохастического члена
Качественное исследование детерминистической модели «хищник-жертва»
описано в многочисленной литературе [25, 30, 33] и др. Приведем основные
результаты.
Репараметризация уравнений
Для уменьшения количества свободных параметров сделаем репараметризацию изучаемых уравнений.
Пусть 𝑥(𝑡) = 𝑃 𝑢(𝜏 ), 𝑦(𝑡) = 𝑄𝑣(𝜏 ), 𝑡 = 𝑇 𝜏 , 𝑃 , 𝑄 и 𝑇 — калибровочные
константы.
Зададим вид репараметризованной системы:
⎧
⎪
⎪
⎨𝑢˙ = 𝑢(1 − 𝑣),
⎪
⎪
⎩𝑣˙
(3.26)
= 𝛼𝑣(𝑢 − 1),
где точкой обозначена производная по 𝜏 (как и везде в этом пункте).
Получим:
⎧
⎪
⎪
⎨𝑢˙ = 𝑢 (𝑘1 𝑇 − 𝑘2 𝑄𝑇 𝑣) ,
⎪
⎪
⎩𝑣˙
(3.27)
= 𝑣 (𝑘2 𝑇 𝑃 𝑢 − 𝑘3 𝑇 ) .
Сравнивая (3.26) и (3.27), получаем явный вид для замены переменных:
70
𝑘2
𝑥(𝑡),
𝑘3
𝑘2
𝑣(𝜏 ) = 𝑦(𝑡),
𝑘1
𝑘3
𝜏 = 𝑘1 𝑡, 𝛼 = .
𝑘1
𝑢(𝜏 ) =
(3.28)
Стационарные точки
Найдем стационарные состояния системы (3.26), которые являются
решением системы уравнений:
⎧
⎪
⎪
⎨𝑢˙ = 0 = 𝑢(1 − 𝑣),
⎪
⎪
⎩𝑣˙ = 0
(3.29)
= 𝛼𝑣(𝑢 − 1),
Система (3.26) имеет два стационарных состояния: (0, 0) и (1, 1). Точка (0, 0) определяет положение равновесия, которое характеризуется полным истреблением жертв и вымиранием хищников. Точка (1, 1) отражает
стационарный режим сосуществования хищников и жертв с некоторыми
ненулевыми численностями.
71
Исследование линеаризованной устойчивости
Линеаризуем систему (3.26). Пусть 𝑢 = 𝑢¯ + 𝜉, 𝑣 = 𝑣¯ + 𝜂, где 𝑢¯ и 𝑣¯ —
координаты точки равновесия, а 𝜉 и 𝜂 — малые возмущения:
⎧
⎪
⎪
⎨𝜉˙ = 𝜉 (1 − 𝑣¯) − 𝜂¯
𝑢,
(3.30)
⎪
⎪
⎩𝜂˙ = 𝛼𝜂 (¯
𝑢 − 1) + 𝛼𝜉¯
𝑣.
Запишем линеаризованную систему в окрестности каждой из точек
равновесия. Рассмотрим точку (0, 0), тогда система (3.30) примет вид:
⎧
⎪
⎪
⎨𝜉˙ = 𝜉,
(3.31)
⎪
⎪
⎩𝜂˙ = −𝛼𝜂.
Найдем собственные значения характеристического уравнения
(1 − 𝜆)(−𝛼 − 𝜆) = 0,
(3.32)
которое соответствует системе (3.31). Таким образом имеем 𝜆1 = 1, 𝜆2 = −𝛼,
собственные значения действительные и имеют разные знаки, значит точка
(0, 0) — седло.
Для точки (1, 1) линеаризованная система будет иметь вид:
⎧
⎪
⎪
⎨𝜉˙ = −𝜂,
⎪
⎪
⎩𝜂˙ = 𝛼𝜉.
(3.33)
72
Характеристическое уравнение
𝜆2 + 𝛼 = 0,
(3.34)
√
√
имеет корни 𝜆1 = i 𝛼 и 𝜆2 = −i 𝛼. Так как собственные значения мнимые, следовательно, точка (1, 1) является центром, т.е. по крайней мере, в
окрестности этой точки существуют замкнутые траектории.
Первый интеграл
Система (3.26) — консервативная. Чтобы показать это, составим первый
интеграл системы и построим её фазовый портрет.
Фазовые кривые системы (3.26) являются интегральными кривыми
уравнения
𝑢(1 − 𝑣)
d𝑢
=
.
d𝑣
𝛼𝑣(𝑢 − 1)
(3.35)
После решения получим первый интеграл системы:
𝐼(𝑢, 𝑣) = 𝛼𝑢 + 𝑣 − ln 𝑣𝑢𝛼 .
(3.36)
Фазовый портрет системы в окрестности стационарной точки (1, 1) представляет собой замкнутые эллиптические орбиты (рис. 3.1).
Таким образом изменение численности обоих видов происходит по периодическому закону с амплитудой колебаний, определяемой начальными
значениями 𝑢 и 𝑣.
Решения имеют осциллирующие зависимости, показанные на рис. 3.3.
73
Циклы повторяются неограниченно долго и качественно отражают свойства
многих реальных систем «хищник-жертва» [18, 25].
Стохастическая модель
Рассмотрим изменение качественного поведения системы (3.19) при
введении стохастического члена (система (3.24)).
Первый интеграл
Запишем первый интеграл для детерминистической части стохастического дифференциального уравнения (3.24):
𝐼(𝑥, 𝑦) = 𝑘2 (𝑥 + 𝑦) − 𝑘3 ln 𝑥 − 𝑘1 ln 𝑦.
(3.37)
Далее, воспользуемся формулой Ито для функции d𝐼(𝑥, 𝑦):
(︃
d𝐼 =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑛
1 ∑︁ [︀ 𝑇 ]︀
bb 𝑗𝑖 𝜕𝑖 𝜕𝑗 𝐼
𝑎𝑖 𝜕𝑖 𝐼 +
2 𝑖,𝑗=1
)︃
d𝑡 +
𝑛
∑︁
𝑏𝑖𝑗 𝜕𝑖 𝐼d𝑊𝑗 (𝑡).
(3.38)
𝑖,𝑗=1
Учитывая, что первый член в (3.38) равен нулю [96], а также то, что
среднее от винеровского процесса равно нулю (⟨d𝑊 ⟩ = 0), запишем формулу
для среднего изменения фазового объёма:
⟨
⟩
⟨
⟩
1
𝑘
𝑘
1
𝑘
𝑘
𝑘
𝑘
𝑦
𝑘
𝑘
𝑥
𝑘
𝑘
3
1
1
3
2
3
1
2
1
3
⟨d𝐼(𝑥, 𝑦)⟩ =
𝐵 11
+ 𝐵 22
=
+
+
+
.
2
2
2(𝑥)
2(𝑦)2
2
𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
(3.39)
Поскольку 𝑥, 𝑦 ∈ R>0 , то видно, что в стохастической модели фазовый
74
объём в среднем монотонно возрастает. В конце концов задевается одна из
осей, что приводит к гибели одной или обеих популяций.
Данное поведение проиллюстрировано на рис. 3.2. При этом временная
зависимость имеет вид, как на рис. 3.4.
Стохастическая модель Лотки-Вольтерры
Детерминированная модель Лотки-Вольтерры (фазовый портрет)
4.8
Хищник-Жертва
4.6
4.25
y(t) — численность хищников
y(t) — численность хищников
4.2
4.15
4.1
4.05
4
3.95
3.9
4.4
4.2
4
3.8
3.6
3.4
3.85
3.8
3.75
Хищник-Жертва
3.2
16
17
18
19
20
21
22
23
10
15
24
20
25
30
35
x(t) — численность жертв
x(t) — численность жертв
Рис. 3.2. Фазовый портрет для
стохастической модели
«хищник-жертва» в окрестности
точки (1, 1)
Детерминированная модель Лотки-Вольтерры (графики решений)
24
Жертвы x(t)
Хищники y(t)
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
5
10
15
20
25
t — время
x(t) — численность жертв, y(t) — численность хищников
x(t) — численность жертв, y(t) — численность хищников
Рис. 3.1. Фазовый портрет для
системы «хищник-жертва» в
окрестности точки (1, 1)
Стохастическая модель Лотки-Вольтерры
35
Жертвы x(t)
Хищники y(t)
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
t — время
Рис. 3.3. Изменение численности
хищников 𝑁1 и жертв 𝑁2 во
времени
Рис. 3.4. Стохастическая модель
«хищник-жертва»
75
3.2.
Стохастические модели популяционных систем с
различными меж- и внутривидовыми взаимодействиями
3.2.1.
Модель «хищник–жертва» с учетом межвидо-
вой конкуренции среди жертв
Запишем схему этой модели:
𝑎
𝑟1 = (1, 0),
𝑘
𝑟2 = (−1, 0),
𝑘
𝑟3 = (−1, 1),
𝑘
𝑟4 = (0, −1).
𝑋 +𝐴 →
− 2𝑋,
1
𝑋 +𝑋 −
→
𝑋,
2
𝑋 +𝑌 −
→
2𝑌,
3
𝑌 −
→
𝐵,
Соотношения аналогичны соотношениям предыдущей модели, кроме
второго, которое описывает межвидовую конкуренцию. Все процессы необратимы, поэтому 𝑠−
𝐴 (𝑥) = 0, при 𝐴 = 1, 2, 3, 4, а
𝑠+
1 (𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥,
2
𝑠+
2 (𝑥, 𝑦) = 𝑘1 𝑥 ,
𝑠+
3 (𝑥, 𝑦)
= 𝑘2 𝑥𝑦,
𝑠+
4 (𝑥, 𝑦) = 𝑘3 𝑦.
(3.40)
76
Воспользуемся формулой (2.19) и получим уравнение Фоккера–Планка:
∑︁
1 ∑︁
𝜕𝑃 (𝑥, 𝑦)
𝜕𝑎 (𝐴𝑎 (𝑥, 𝑦)𝑃 (𝑥, 𝑦)) +
=−
𝜕𝑎 𝜕𝑏 (𝐵𝑎𝑏 (𝑥, 𝑦)𝑃 (𝑥, 𝑦)) ,
𝜕𝑡
2
𝑎
𝑎,𝑏
(3.41)
где
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ 1⎟
⎜ − 1⎟ 2 ⎜ − 1⎟
⎜ 0 ⎟
𝐴(𝑥, 𝑦) = ⎝ ⎠ 𝑎𝑥 + ⎝
⎠𝑥 + ⎝
⎠ 𝑘2 𝑥𝑦 + ⎝
⎠ 𝑘3 𝑦 =
0
0
1
−1
⎛
⎞
2
⎜ 𝑎𝑥 − 𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥𝑦 ⎟
=⎝
⎠,
𝑘2 𝑥𝑦 − 𝑘3 𝑦
(3.42)
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ 1⎟
⎜ − 1⎟
⎜ − 1⎟
2
𝐵(𝑥, 𝑦) = ⎝ ⎠ (1, 0)𝑎𝑥 + ⎝
(−1,
0)𝑘
𝑥
+
⎠
⎝
⎠ (−1, 1)𝑘2 𝑥𝑦+
1
0
0
1
⎛
⎞
⎛
⎞
2
−𝑘2 𝑥𝑦 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 𝑘1 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑘2 𝑥𝑦
+⎝
⎠ (0, −1)𝑘3 𝑦 = ⎝
⎠ . (3.43)
−1
−𝑘2 𝑥𝑦
𝑘2 𝑥𝑦 + 𝑘3 𝑦
77
Стационарные точки модели хищник-жертва с учетом конкуренции среди жертв.
Стационарные точки находятся из системы
⎧
⎪
⎨ 𝑥1 (1 − 𝑟1 𝑥1 − 𝑥2 ) = 0,
(3.44)
⎪
⎩ 𝑥2 (𝑥1 − 𝑟2 ) = 0,
откуда получаем три стационарные точки: 𝑀1 (𝑥1 , 𝑥2 ) = (0, 0), 𝑀2 (𝑥1 , 𝑥2 ) =
(1/𝑟1 , 0), 𝑀3 (𝑥1 , 𝑥2 ) = (𝑟2 , 1 − 𝑟1 𝑟2 ). Матрица Якоби для данной системы
имеет вид:
⎡
⎤
⎢ 1 − 𝑥2 − 2𝑟1 𝑥1 −𝑥1 ⎥
𝐽(𝑥1 , 𝑥2 ) = ⎣
⎦.
𝑥2
𝑥 1 − 𝑟2
Рассмотрим точку 𝑀1 = (0, 0) . Определитель и след матрицы Якоби
равны соответственно:
⃒
⃒
⃒1 0
⃒
det 𝐽 = ⃒
⃒
⃒ 0 −𝑟2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ = −𝑟2 = Δ, Tr 𝐽 = 1 − 𝑟2 = 𝜎.
⃒
⃒
Учитывая физический (биологический) смысл модели будем предполагать
𝑟1 и 𝑟2 больше нуля. Тогда det 𝐽 < 0. Дискриминант характеристического
уравнения:
𝜎 2 − 4Δ = (1 + 𝑟2 )2 + 4𝑟2 = (1 + 𝑟2 )2 > 0,
78
корни характеристического уравнения:
⎡
1
⎢ + 1 > 0,
𝜆1,2 = [1 − 𝑟2 ± (1 + 𝑟2 )] = ⎣
2
− 𝑟2 < 0.
Таким образом, для любых положительных значений параметров точка 𝑀1
является седловой точкой, так как Δ < 0, 𝜆1 > 0 и 𝜆2 < 0 (см. рисунок 3.5).
Точка: x1 =0, x2 =0
1.5
1.0
x2
0.5
0.0
−0.5
−1.0
−1.5
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
x1
0.5
1.0
1.5
Рис. 3.5. Семейство фазовых портретов в окрестности точки 𝑀1
Рассмотрим точку 𝑀2 = (1/𝑟1 , 0) . Определитель и след матрицы
Якоби равны соответственно:
⃒
1
⃒
⃒ −1
⃒
𝑟1
det 𝐽 = ⃒
1
⃒ 0
− 𝑟2
⃒
𝑟1
⃒
⃒
⃒
1 − 𝑟1 𝑟2
1 − 𝑟1 𝑟2
⃒
, Tr 𝐽 =
− 1.
⃒=−
⃒
𝑟1
𝑟1
⃒
79
⎡
1 − 𝑟1 𝑟2 ⎢ > 0, 𝑟1 𝑟2 > 1,
=⎣
Δ=−
𝑟1
< 0, 𝑟1 𝑟2 < 1.
Дискриминант характеристического уравнения равен:
𝜎 2 − 4Δ =
(︂
1 − 𝑟1 𝑟2
+1
𝑟1
)︂2
> 0,
а корни
1 − 𝑟1 𝑟2
,
⎢
𝑟
1
=⎣
− 1.
⎡
[︂
𝜆1,2 =
1 1 − 𝑟1 𝑟2
−1±
2
𝑟1
(︂
1 − 𝑟1 𝑟2
+1
𝑟1
)︂]︂
– Если 𝑟1 𝑟2 > 1, то Δ > 0, 𝜆1 < 0, 𝜆2 < 0 и точка 𝑀2 — устойчивый узел
(см. верхний график на рисунке 3.6).
– Если 𝑟1 𝑟2 < 1, то Δ < 0, 𝜆1 > 0, 𝜆2 < 0 и точка 𝑀2 — седловая точка
(см. нижний график на рисунке 3.6).
Рассмотрим точку 𝑀3 = (𝑟2 , 1 − 𝑟1 𝑟2 ) . Определитель и след матрицы Якоби равны соответственно:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −𝑟1 𝑟2 −𝑟2 ⃒
⃒
⃒
det 𝐽 = ⃒
⃒ = 𝑟2 (1 − 𝑟1 𝑟2 ), Tr 𝐽 = −𝑟1 𝑟2 < 0.
⃒
⃒
⃒ 1 − 𝑟1 𝑟2 0 ⃒
Якобиан представляет собой произведение координат точки 𝑀3 , а поэтому
в области определения решаемой задачи Δ > 0. Однако дискриминант
80
Точка: x1 =0:667, x2 =0:000, r1 =1:5, r2 =1:5
1.0
x2
0.5
0.0
−0.5
−1.0
0.0
0.5
1.0
x1
1.5
2.0
Точка: x1 =2:000, x2 =0:000, r1 =0:5, r2 =0:01
2.0
1.5
1.0
x2
0.5
0.0
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x1
2.5
3.0
3.5
4.0
Рис. 3.6. Семейство фазовых портретов в окрестности точки 𝑀2 для разных значений
параметров.
характеристического уравнения равен:
𝜎 2 − 4Δ = (𝑟1 𝑟2 )2 − 4𝑟2 (1 − 𝑟1 𝑟2 ),
и знак его однозначно не определен.
– Если 𝜎 2 − 4Δ > 0, то существуют два действительных корня. Так как
√
𝜎 2 − 4Δ < |𝜎|, то учитывая неравенство 𝜎 < 0, ∀𝑟1 , 𝑟2 > 0 можно
показать, что оба корня отрицательны:
√︀
1
1
𝜆1 = (−|𝜎| + 𝜎 2 − 4Δ) < (−|𝜎| + |𝜎|) = 0,
2
2
√︀
1
𝜆1 = (−|𝜎| − 𝜎 2 − 4Δ) < 0.
2
– Если 𝜎 2 − 4Δ < 0, то существуют два комплексно-сопряженных корня с
81
отрицательными действительными частями:
Re(𝜆1 ) = Re(𝜆2 ) = 𝜎 < 0.
Учитывая положительный знак якобиана получим окончательно два случая:
– При Δ > 0 и 𝜎 2 − 4Δ > 0 корни 𝜆1 , 𝜆2 < 0 и точка 𝑀3 = (𝑟2 , 1 − 𝑟1 𝑟2 ) —
устойчивый узел.
– При Δ > 0 и 𝜎 2 − 4Δ < 0 действительные части корней Re𝜆1 , Re𝜆2 < 0
и точка 𝑀3 = (𝑟2 , 1 − 𝑟1 𝑟2 ) — устойчивый фокус (см. рисунок 3.7).
Точка: x1 =7:000, x2 =0:930, ¾2 ¡4¢ =¡26:035
3.5
3.0
2.5
x2
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x1
Рис. 3.7. Семейство фазовых портретов в окрестности точки 𝑀3 в случае устойчевого
фокуса.
82
3.2.2.
Модель конкуренции
Запишем схему этой модели:
𝑎
𝑟1 = (1, 0),
𝑘
𝑟2 = (−1, 0),
𝑎
𝑟3 = (0, 1),
𝑘
𝑟4 = (0, −1),
𝑘
𝑟5 = (−1, 0),
𝑘
𝑟6 = (0, −1),
1
𝑋 +𝐴 −
→
2𝑋,
11
𝑋 + 𝑋 −→
𝑋,
2
𝑌 +𝐴 −
→
2𝑌,
22
𝑌 + 𝑌 −→
𝑌,
12
𝑌,
𝑋 + 𝑌 −→
21
𝑋 + 𝑌 −→
𝑋,
где 𝑎1 , 𝑎2 — коэффициенты экспоненциального роста популяций, в отсутствии меж- и внутривидовой конкуренции, 𝑘𝑖𝑗 — коэффициенты меж- и
внутривидовой конкуренции.
Все процессы необратимы, поэтому 𝑠−
𝐴 (𝑥, 𝑦) = 0, а также
𝑠+
1 (𝑥, 𝑦) = 𝑎1 𝑥,
𝑠+
2 (𝑥, 𝑦) = 𝑘11 𝑥(𝑥 − 1),
𝑠+
3 (𝑥, 𝑦) = 𝑎2 𝑦,
𝑠+
4 (𝑥, 𝑦)
= 𝑘22 𝑦(𝑦 − 1),
𝑠+
5 (𝑥, 𝑦) = 𝑘12 𝑥𝑦,
𝑠+
6 (𝑥, 𝑦) = 𝑘21 𝑥𝑦.
(3.45)
83
Таким образом, уравнение Фоккера–Планка примет вид
∑︁
1 ∑︁
𝜕𝑃 (𝑥, 𝑦)
𝜕𝑎 (𝐴𝑎 (𝑥, 𝑦)𝑃 (𝑥, 𝑦))+
=−
𝜕𝑎 𝜕𝑏 (𝐵𝑎𝑏 (𝑥, 𝑦)𝑃 (𝑥, 𝑦)) , (3.46)
𝜕𝑡
2
𝑎
𝑎,𝑏
где
⎛
2
⎞
⎜ 𝑎1 𝑥 − 𝑘11 𝑥 − 𝑘12 𝑥𝑦 ⎟
𝐴(𝑥, 𝑦) = ⎝
⎠,
2
𝑎2 𝑦 − 𝑘22 𝑦 − 𝑘21 𝑥𝑦
⎛
2
(3.47)
⎞
0
⎜ 𝑎1 𝑥 + 𝑘11 𝑥 + 𝑘12 𝑥𝑦
⎟
𝐵(𝑥, 𝑦) = ⎝
⎠.
2
0
𝑎2 𝑦 + 𝑘22 𝑦 + 𝑘21 𝑥𝑦
3.2.3.
(3.48)
Стационарные точки модели конкуренции.
Стационарные точки находятся из системы
⎧
⎪
⎨ 𝑥1 (1 − 𝑥1 − 𝑎12 𝑥2 ) = 0,
⎪
⎩ 𝑥2 (1 − 𝑥2 − 𝑎21 𝑥1 ) = 0,
откуда получаем четыре стационарные точки:
𝑀1 (𝑥1 , 𝑥2 ) = (0, 0), 𝑀2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = (0, 1), 𝑀3 (𝑥1 , 𝑥2 ) = (1, 2),
)︂
(︂
1 − 𝑎21
1 − 𝑎12
𝑀4 (𝑥1 , 𝑥2 ) =
,
.
1 − 𝑎12 𝑎21 1 − 𝑎12 𝑎21
(3.49)
84
Матрица Якоби имеет вид:
⎡
⎤
−𝑎12 𝑥1
⎢ 1 − 2𝑥1 − 𝑎12 𝑥2
⎥
𝐽(𝑥1 , 𝑥2 ) = ⎣
⎦
−𝑟𝑎21 𝑥2
𝑟(1 − 2𝑥2 − 𝑎21 𝑥1 ).
Будем учитывать, что исходя из физического (биологического) смысла
задачи 𝑟, 𝑎12 и 𝑎21 больше нуля.
Рассмотрим точку 𝑀1 = (0, 0) . Определитель и след матрицы Якоби
равны соответственно:
⃒
⃒
⃒1 0
⃒
det 𝐽(0, 0) = ⃒
⃒
⃒0 𝑟
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ = 𝑟 = Δ, Tr 𝐽(0, 0) = 1 + 𝑟 = 𝜎.
⃒
⃒
Дискриминант характеристического уравнения:
𝜎 2 − 4Δ = (1 + 𝑟)2 − 4𝑟 = (1 − 𝑟)2 > 0,
корни характеристического уравнения:
⎡
1
⎢ 1 > 0,
𝜆1,2 = [(1 + 𝑟) ± (1 − 𝑟)] = ⎣
2
𝑟 > 0.
Точка 𝑀1 = (0, 0) — неустойчивый узел, так как Δ > 0 и 𝜆1 , 𝜆2 > 0.
Рассмотрим точку 𝑀2 = (0, 1) . Определитель и след матрицы Якоби
85
равны соответственно:
⃒
⃒
⃒ 1 − 𝑎12 0
⃒
det 𝐽(0, 1) = ⃒
⃒
⃒ −𝑟𝑎21 −𝑟
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ = 𝑟(𝑎21 − 1) = Δ, Tr 𝐽(0, 1) = 1 − 𝑟 − 𝑎12 = 𝜎.
⃒
⃒
Дискриминант характеристического уравнения:
𝜎 2 − 4Δ = (𝑎12 − 1 − 𝑟)2 > 0, если только 𝑎12 ̸= 1 + 𝑟,
корни характеристического уравнения:
⎡
𝜆1,2
1
⎢ 𝑎12 − 1,
= [(1 − 𝑟 − 𝑎12 ) ± (𝑎12 − 1 − 𝑟)] = ⎣
2
𝑟 > 0.
Возможны два случая:
– если 𝑎12 > 1, то точка 𝑀2 = (0, 1) — неустойчивый узел так как Δ > 0
и 𝜆1 , 𝜆2 > 0,
– если 0 < 𝑎12 < 1, то точка 𝑀2 = (0, 1) — седловая точка так как Δ < 0
и 𝜆1 < 0, 𝜆2 > 0.
Рассмотрим точку 𝑀3 = (1, 0) . Определитель и след матрицы Якоби
равны соответственно:
⃒
⃒
⃒ −1
−𝑎12
⃒
det 𝐽(1, 0) = ⃒
⃒
⃒ 0 𝑟(1 − 𝑎21 )
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ = 𝑟(𝑎21 − 1) = Δ,
⃒
⃒
Tr 𝐽(0, 1) = (1 − 𝑎12 )𝑟 − 1 = 𝜎.
86
Дискриминант характеристического уравнения:
𝜎 2 − 4Δ = (𝑟(𝑎21 − 1) − 1)2 > 0, если только 𝑎12 ̸= 1 + 1/𝑟,
корни характеристического уравнения:
⎡
𝜆1,2 =
1
⎢ 𝑟(𝑎21 − 1),
[(1 + (𝑎21 − 1)𝑟) ± (𝑟(𝑎21 − 1) − 1)] = ⎣
2
1 > 0.
Возможны два случая:
– если 𝑎12 > 1, то точка 𝑀3 = (1, 0) — неустойчивый узел так как Δ > 0
и 𝜆1 , 𝜆2 > 0,
– если 0 < 𝑎12 < 1, то точка 𝑀3 = (1, 0) — седловая точка так как Δ < 0
и 𝜆1 < 0, 𝜆2 > 0.
(︂
1 − 𝑎12
1 − 𝑎21
,
Рассмотрим точку 𝑀4 (𝑥1 , 𝑥2 ) =
1 − 𝑎12 𝑎21 1 − 𝑎12 𝑎21
тель и след матрицы Якоби равны соответственно:
⃒
𝑎12 (1 − 𝑎12 )
𝑎12 − 1
⃒
⃒
−
⃒ 1 − 𝑎12 𝑎21
1 − 𝑎12 𝑎21
Δ = det 𝐽(𝑀4 ) = ⃒ 𝑟𝑎
(1
−
𝑎
)
𝑟(1 − 𝑎21 )
⃒
21
21
−
⃒−
1 − 𝑎12 𝑎21
1 − 𝑎12 𝑎21
(︂
Tr 𝐽(𝑀4 ) =
)︂
. Определи-
⃒
⃒
⃒ 𝑟(𝑎 − 1)(𝑎 − 1)
⃒
12
21
,
⃒=
⃒
1 − 𝑎12 𝑎21
⃒
(𝑎21 − 1)𝑟 + (𝑎12 − 1)
1 − 𝑎12 𝑎21
)︂2
= 𝜎.
Дискриминант характеристического уравнения:
2
𝜎 − 4Δ =
(︂
(𝑎21 − 1)𝑟 − (𝑎12 − 1)
1 − 𝑎21 𝑎12
)︂2
> 0 при 𝑟 =
1 − 𝑎12
,
1 − 𝑎21
87
корни характеристического уравнения:
1 − 𝑎12
⎢ 1 − 𝑎12 𝑎21 ,
=⎢
⎣ 𝑟(1 − 𝑎21 )
.
1 − 𝑎12 𝑎21
⎡
𝜆1,2
Все значения параметров 𝑎12 и 𝑎21 разбиваются на шесть групп, которые
обозначены на рисунке 3.8.
C
a21 =1=a12
Параметр a21
B
D
a21 =1
E
A
F
a12 =1
Параметр a12
Рис. 3.8. Область определения параметров
A
B
C
D
E
F
𝑎12 𝑎21 < 1
𝑎12 𝑎21 < 1
𝑎12 𝑎21 > 1
𝑎12 𝑎21 > 1
𝑎12 𝑎21 > 1
𝑎12 𝑎21 < 1
𝑎12 < 1
𝑎12 < 1
𝑎12 < 1
𝑎12 > 1
𝑎12 > 1
𝑎12 > 1
𝑎21 < 1
𝑎21 > 1
𝑎21 > 1
𝑎21 > 1
𝑎21 < 1
𝑎21 < 1
Δ>0
Δ<0
Δ>0
Δ<0
Δ>0
Δ<0
𝜆1 > 0
𝜆1 > 0
𝜆1 < 0
𝜆1 > 0
𝜆1 > 0
𝜆1 < 0
𝜆2 > 0
𝜆2 < 0
𝜆2 > 0
𝜆2 > 0
𝜆2 < 0
𝜆2 > 0
88
В зависимости от знаков параметров 𝑎12 , 𝑎21 и корней характеристического
уравнения 𝜆1 , 𝜆2 точка 𝑀4 может быть двух типов:
– 𝑀4 — неустойчивый узел при
⎧
⎪
⎨ 𝑎12 > 1
или
⎪
⎩ 𝑎21 > 1
⎧
⎪
⎨ 𝑎12 < 1
⎪
⎩ 𝑎21 < 1
так как в этом случае Δ > 0 и 𝜆1 , 𝜆2 > 0
– 𝑀4 — седловая точка при
⎧
⎪
⎨ 𝑎12 < 1
⎪
⎩ 𝑎21 > 1
или
⎧
⎪
⎨ 𝑎12 < 1
⎪
⎩ 𝑎21 < 1
так как в этом случае Δ < 0 и 𝜆1 , 𝜆2 — разных знаков.
На рисунке 3.9 изображены фазовые траектории вблизи точки 𝑀4 для
всех возможных значений параметров 𝑎12 и 𝑎21 . Следует отметить, что
одна из координат седловой точки всегда отрицательна, а значит лишена
физического смысла.
89
a12 >1, a21 >1, x0 =0:31, y0 =0:07
0.20
a12 <1, a21 <1, x0 =0:89, y0 =0:38
0.50
0.18
0.45
0.16
0.40
0.14
0.35
0.12
0.30
0.10
0.25
0.08
0.20
0.06
0.15
0.04
0.05
14
0.10
0.15 0.20 0.25
Неустойчивый узел
0.30
0.35
0.10
0.8
a12 >1, a21 <1, x0 =¡1:09, y0 =1:04
1.8
3
10
2
8
1
6
0
4
−1
2
0
−2
1.2
1.4
1.6
Неустойчивый узел
a12 <1, a21 >1, x0 =1:01, y0 =¡1:02
4
12
1.0
−1
0
1
2
Седло
3
4
5
−2
0
5
10
15
20
25
Седло
Рис. 3.9. Семейство фазовых портретов вблизи точки 𝑀4 = (𝑥0 , 𝑦0 ) для разных значений
параметров
3.2.4.
Симбиоз
Запишем схему этой модели:
𝑘
𝑟1 = (1, 0),
𝑘
𝑟2 = (0, 1),
1
𝑋 −
→
0,
𝑏
𝑟3 = (−1, 0),
𝑏
𝑟4 = (0, −1).
1
𝑋 +𝑌 −
→
2𝑋 + 𝑌,
2
𝑋 +𝑌 −
→
2𝑌 + 𝑋,
2
𝑌 −
→
0,
Первые два соотношения описывают симбиоз двух популяций, т.е. размножение индивидуума одной популяции возможно только при взаимодействии
90
с индивидуумом другой. Третье и четвёртое соотношения описывают естественную смертность в популяциях.
Все процессы необратимы, поэтому 𝑠−
𝐴 (𝑥, 𝑦) = 0, а
𝑠+
1 (𝑥, 𝑦) = 𝑘1 𝑥𝑦,
𝑠+
2 (𝑥, 𝑦) = 𝑘2 𝑥𝑦,
𝑠+
3 (𝑥, 𝑦)
(3.50)
= 𝑏1 𝑥,
𝑠+
4 (𝑥, 𝑦) = 𝑏2 𝑦.
Таким образом, уравнение Фоккера–Планка примет вид
∑︁
𝜕𝑃 (𝑥, 𝑦)
1 ∑︁
=−
𝜕𝑎 (𝐴𝑎 (𝑥, 𝑦)𝑃 (𝑥, 𝑦))+
𝜕𝑎 𝜕𝑏 (𝐵𝑎𝑏 (𝑥, 𝑦)𝑃 (𝑥, 𝑦)) , (3.51)
𝜕𝑡
2
𝑎
𝑎,𝑏
где
⎛
⎞
⎜ 𝑘1 𝑥𝑦 − 𝑏1 𝑥⎟
𝐴(𝑥, 𝑦) = ⎝
⎠,
𝑘2 𝑥𝑦 − 𝑏2 𝑦
⎛
(3.52)
⎞
0
⎜ 𝑘1 𝑥𝑦 + 𝑏1 𝑥
⎟
𝐵(𝑥, 𝑦) = ⎝
⎠.
0
𝑘2 𝑥𝑦 + 𝑏2 𝑦
3.2.5.
(3.53)
Модель взаимодействия трёх популяций
Модель состоит из трёх популяций, одна из которых — хищники, а две
другие — жертвы.
91
Запишем схему этой модели:
𝑎
𝑟1 = (1, 0, 0),
𝑎
𝑟2 = (0, 1, 0),
𝑘
𝑟3 = (−1, 0, 1),
𝑘
𝑟4 = (0, −1, 1),
𝑏
𝑟5 = (0, 0, −1),
1
𝑋1 −
→
2𝑋1 ,
2
𝑋2 −
→
2𝑋2 ,
1
𝑌 + 𝑋1 −
→
2𝑌,
2
𝑌 + 𝑋2 −
→
2𝑌,
𝑌 →
− 0,
где 𝑎1 , 𝑎2 — коэффициенты экспоненциального роста популяций в отсутствии меж- и внутривидовой конкуренции, 𝑘𝑖𝑗 – коэффициенты меж- и
внутривидовой конкуренции.
Все процессы необратимы, поэтому 𝑠−
𝐴 (𝑥, 𝑦) = 0, а
𝑠+
1 (𝑥, 𝑦) = 𝑎1 𝑥1 ,
𝑠+
2 (𝑥, 𝑦) = 𝑎2 𝑥2 ,
𝑠+
3 (𝑥, 𝑦) = 𝑘1 𝑥1 𝑦,
(3.54)
𝑠+
4 (𝑥, 𝑦) = 𝑘2 𝑥2 𝑦,
𝑠+
5 (𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑦.
Таким образом, из формулы (2.19) уравнение Фоккера–Планка имеет вид
∑︁
𝜕𝑃 (𝑥, 𝑦)
1 ∑︁
=−
𝜕𝑎 (𝐴𝑎 (𝑥, 𝑦)𝑃 (𝑥, 𝑦))+
𝜕𝑎 𝜕𝑏 (𝐵𝑎𝑏 (𝑥, 𝑦)𝑃 (𝑥, 𝑦)) , (3.55)
𝜕𝑡
2
𝑎
𝑎,𝑏
92
где
⎛
⎞
⎜ 𝑎1 𝑥1 − 𝑘1 𝑥1 𝑦 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
𝐴(𝑥, 𝑦) = ⎜ 𝑎2 𝑥2 − 𝑘2 𝑥2 𝑦 ⎟ ,
⎟
⎜
⎠
⎝
− 𝑐𝑦
⎛
0
−𝑘1 𝑥1 𝑦
⎜ 𝑎1 𝑥1 + 𝑘1 𝑥1 𝑦
⎜
⎜
𝐵(𝑥, 𝑦) = ⎜
0
𝑎2 𝑥2 + 𝑘2 𝑥2 𝑦
−𝑘2 𝑥2 𝑦
⎜
⎝
−𝑘1 𝑥1 𝑦
−𝑘2 𝑥2 𝑦
𝑘1 𝑥1 𝑦 + 𝑘2 𝑥2 𝑦 + 𝑐𝑦
3.3.
(3.56)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟.
⎟
⎠
(3.57)
Стохастическая модель распространения сетевых
червей
Сетевой червь — разновидность вредоносной программы, способной
самостоятельно находить новые узлы для заражения и использовать их
для распространения через локальные и глобальные компьютерные сети.
Существуют различные стратегии заражения и поиска вредоносным кодом
новых компьютеров для инфицирования, такие как: случайное сканирование, локальное сканирование, сканирование по топологии (использование
информации о связях с другими компьютерами: адресные книги, контактлисты) и др.
93
3.3.1.
Описание модели
Для моделирования рассматривается система, представляющая собой
компьютерную сеть из N узлов, которое могут находиться в одном из трех
состояний: уязвимом, зараженном и невосприимчивом. Введем обозначения
для каждого из состояний: 𝑆, 𝐼 и 𝑅 соответственно, а через малые буквы
𝑠, 𝑖 и 𝑟 обозначим число узлов каждого типа в сети(или доля узлов каждого
типа). Таким образом состояние сети в каждый момент времени описывается
вектором n = (𝑠, 𝑖, 𝑟).
Предполагается, что узел для инфицирования выбирается сетевым червем случайным образом в доступном адресном пространстве и скорость
поиска и заражения одного узла определяется средней скорость сканирования червем сети (𝑉𝑠 ) и размером ее адресного пространства, которое
согласно спецификации протокола IP4 равна 𝑁𝑖𝑝 = 232 [97], т.е
𝜆 = 𝑉𝑠
𝑁
.
𝑁𝑖 𝑝
(3.58)
Также предполагается, что в сети появляются новые узлы со скоростью
𝛼 и новые узлы по определению считаются уязвимыми.
В модели также учитывается фактор, обеспечивающий замедление распространения сетевого червя, такой как «иммунизация», т.е. излечение
зараженного узла при помощи так называемых «заплат» (сетевые черви
для заражения узла чаще всего используют уязвимости ПО и т.п.) и других средств. Введем среднюю скорость иммунизации в единицу времени 𝜇,
94
которая определяется человеческой реакцией и необходимостью загрузки
«заплат», поэтому можно считать, что скорость заражения узлов на много
порядков превосходит скорость «иммунизации». Кроме того, в реальных сетях иммунизации подвергаются не только зараженные узлы, но и уязвимые,
становясь невосприимчивыми к заражению.
Далее записаны все возможные переходы системы из одного состояния
в другое в виде схемы взаимодействия:
𝛼
0 →
− 𝑆,
𝜆
𝑆+𝐼 →
− 2𝐼,
𝜇
𝐴+𝐼 →
− 𝑅,
𝜇
𝐴+𝑆 →
− 𝑅.
Первая строка схемы, представляет собой описание процесса появление
нового уязвимого узла в сети в единицу времени с коэффициентом 𝛼. Вторая
строка описывает процесс взаимодействия зараженного узла с уязвимым,
следствии которого второй становиться зараженным с коэффициентом 𝜆.
Третья и четвертая строки — это процесс иммунизации зараженных и уязвимых узлов соответственно. Т.е. узел после взаимодействия с «лекарством»
𝐴 с коэффициентом 𝜇 становиться невосприимчивым.
Далее для написания уравнения Фоккера-Планка используем описанный
95
выше метод. Для этого запишем соответствующие вектора 𝑁, 𝑀 и 𝑟.
𝑁 1 = (0, 0, 0), 𝑀 1 = (1, 0, 0),
𝑟1 = (1, 0, 0),
𝑁 2 = (1, 1, 0), 𝑀 2 = (0, 2, 0),
𝑟2 = (−1, 1, 0),
(3.59)
3
3
3
𝑁 = (0, 1, 0), 𝑀 = (0, 0, 1),
𝑟 = (0, −1, 1),
𝑁 4 = (1, 0, 0), 𝑀 4 = (0, 0, 1),
𝑟4 = (−1, 0, 1).
А вероятности переходов равны:
𝑠+
1 (n) = 𝛼,
𝑠+
2 (n) = 𝜆𝑖𝑠,
𝑠+
3 (n)
(3.60)
= 𝜇𝑖,
𝑠+
4 (n) = 𝜇𝑠.
Воспользовавшись формулой (2.19), имеем уравнение Фоккера–Планка:
∑︁
𝜕𝑃 (n)
1 ∑︁
𝜕𝑎 (𝐴𝑎 (n)𝑃 (n)) +
=−
𝜕𝑎 𝜕𝑏 (𝐵𝑎𝑏 (n)𝑃 (n)) ,
𝜕𝑡
2
𝑎
(3.61)
𝑎,𝑏
где
⎛
⎞
⎜ 𝛼 − 𝜆𝑖𝑠 − 𝜇𝑠⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
𝐴(n) = ⎜ 𝜆𝑖𝑠 − 𝜇𝑖
⎟,
⎜
⎟
⎝
⎠
𝜇𝑖 + 𝜇𝑠
(3.62)
96
Детерминированная модель распространение сетевых червей.
(s0 , i0 , r0 ) = (100, 4, 0), (α,λ,μ) = (2.0, 0.02, 0.1)
120
Число узлов s(t), i(t) и r(t)
Уязвимые узлы
Зараженные узлы
Иммунизированные узлы
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
Время t
Рис. 3.10. Детерминированная модель распространения сетевых червей.
⎛
−𝜇𝑠
⎜ 𝛼 + 𝜇𝑠 + 𝜆𝑖𝑠 −𝜆𝑖𝑠
⎜
⎜
𝐵(n) = ⎜
−𝜆𝑖𝑠
𝜇𝑖 + 𝜆𝑖𝑠 −𝜇𝑖
⎜
⎝
−𝜇𝑠
−𝜇𝑖
𝜇𝑠 + 𝜇𝑖
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟.
⎟
⎠
(3.63)
Как показал численный анализ полученной модели, введение стохастики существенно не влияет на поведение системы, что наглядно видно
на графиках (3.10) и (3.11). Однако стоит отметить, что в отличие от детерминированной модели, число уязвимых узлов в стохастической модели
по прошествии некоторого времени становится равно нулю, и эволюция
системы прекращается.
97
120
Стохастическая модель распространение сетевых червей.
(s0 , i0 , r0 ) = (100, 4, 0), (α,λ,μ) = (2.0, 0.02, 0.1)
Число узлов s(t), i(t) и r(t)
Уязвимые узлы
Зараженные узлы
Иммунизированные узлы
100
80
60
40
20
0
0
2
4
6
8
10
Время t
Рис. 3.11. Стохастическая модель распространения сетевых червей.
3.4.
3.4.1.
Стохастические модели пиринговых протоколов
Протокол Fast Track
Fast Track — одноранговый (P2P) сетевой протокол для кооперативного
обмена файлами через Интернет. Закачка данных осуществляется только из источников, содержащих полные файлы. FastTrack первоначально
был реализован в программе KaZaA. Сеть, основанная на работе прокола FastTrack, имеет децентрализованную топологию, что делает ее работу
очень надежной. В сети пользователи разделены на два класса: суперузлы и
простые узлы (supernodes и ordinary nodes). Выделение суперузлов является
одной из функций протокола и на эту роль выбираются узлы с быстрым
подключением к сети, высокой пропускной способностью и возможностью
быстрой обработки данных. При этом владельцы компьютеров не знают,
что их компьютер был назначен в качестве суперузла.
Для того, чтобы загрузить файл, узел посылает запрос суперузлу, кото-
98
рый в свою очередь взаимодействует с другими узлами и т.д. Таким образом
запрос распространяется до определенного протоколом уровня сети и называется временем жизни запроса (Time to live). После того, как нужный
файл будет найден, он передается непосредственно узлу, его запросившему,
от узла, который имеет этот файл, минуя суперузел [98, 99].
Сделаем предположение, что файл состоит из одной части. Таким образом за один шаг взаимодействия нового узла, желающего скачать файл,
и узла, раздающего файл, новый узел скачивает весь файл и становится
раздающим узлом.
Пусть 𝑁 — это обозначение нового узла, 𝐿 — это раздающий узел, а 𝛽 —
коэффициент взаимодействия. Новые узлы могут приходить в систему с
интенсивностью 𝜆, а раздающие узлы уходить из нее с интенсивностью 𝜇.
Тогда схема взаимодействия и вектор r будет иметь вид:
𝜆
𝑟1 = (1, 0),
0→
− 𝑁,
𝛽
𝑁 +𝐿→
− 2𝐿,
𝜇
𝐿→
− 0,
𝑟2 = (−1, 1),
𝑟3 = (0, −1).
Первая строка в схеме описывает появление нового клиента в системе.
Вторая строка отражает взаимодействие нового клиента и сида, в результате
которого появляется новый сид. А третья – это уход сида из системы.
99
Запишем вероятности переходов:
𝑠+
1 (𝑛, 𝑙) = 𝜆,
𝑠+
2 (𝑛, 𝑙) = 𝛽𝑛𝑙,
(3.64)
𝑠+
3 (𝑛, 𝑙) = 𝜇𝑙.
Далее зможно записать уравнение Фоккера-Планка для данной модели:
𝜕
1 𝜕2
𝜕𝑝(𝑛, 𝑙)
= (𝐴𝑖 (𝑛, 𝑙)𝑝(𝑛, 𝑙)) +
(𝐵𝑖𝑗 (𝑛, 𝑙)𝑝(𝑛, 𝑙)),
𝜕𝑡
𝜕𝑖
2 𝜕𝑖𝜕𝑗
(3.65)
где вектор сносов и матрица диффузии имеют следующий вид:
A = s+ (𝑛, 𝑙)r,
(3.66)
+
𝑇
B = s (𝑛, 𝑙)rr .
Таким образом получаем:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎜1 ⎟
⎜−1⎟
⎜0⎟
⎜ 𝜆 − 𝛽𝑛𝑙 ⎟
A = ⎝ ⎠ 𝜆 + ⎝ ⎠ 𝛽𝑛𝑙 + ⎝ ⎠ 𝜇𝑙 = ⎝
⎠,
0
1
−1
𝛽𝑛𝑙 − 𝜇𝑙
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜1⎟
⎜−1⎟
⎜0⎟
B = ⎝ ⎠ (1, 0)𝜆 + ⎝ ⎠ (−1, 1)𝛽𝑛𝑙 + ⎝ ⎠ (0, −1)𝜇𝑙 =
0
1
−1
⎛
⎞
⎜𝜆 + 𝛽𝑛𝑙 −𝛽𝑛𝑙 ⎟
=⎝
⎠.
−𝛽𝑛𝑙 𝛽𝑛𝑙 + 𝜇𝑙
(3.67)
Стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ланжевена мож-
100
но получить воспользовавшись соответствующей формулой (1.15).
Т.к. вектор сносов A полностью описывает детермистическое поведеие системы можно получить систему обыкновеных дифференциальных
уравнений, описывающих динамику численности новых клиентов и сидов:
⎧
𝑑𝑛
⎪
⎨
= 𝜆 − 𝛽𝑛𝑙,
𝑑𝑡
⎪
⎩ 𝑑𝑙 = 𝛽𝑛𝑙 − 𝜇𝑙.
𝑑𝑡
(3.68)
Стационарные состояния
Найдем стационарные состояния системы (3.68), которые являются
решением системы уравнений:
⎧
⎪
⎨ 𝜆 − 𝛽𝑛𝑙 = 0,
⎪
⎩ 𝛽𝑛𝑙 − 𝜇𝑙 = 0.
Система (3.68) имеет одностационарное состояние:
(¯
𝑛, ¯𝑙) =
(︂
)︂
𝜇 𝜆
,
.
𝛽 𝜇
(3.69)
101
Исследование линеаризованной устойчивости
Линеаризуем систему (3.68). Пусть 𝑛 = 𝑛
¯ + 𝜉, 𝑙 = ¯𝑙 + 𝑙𝜂, где 𝑛
¯ и ¯𝑙 —
координаты точки равновесия, а 𝜉 и 𝜂 — малые возмущения:
⎧
𝑑𝜉
⎪
⎨
= −𝛽 𝑛
¯ 𝜂 − 𝛽 ¯𝑙𝜉,
𝑑𝑡
⎪
⎩ 𝑑𝜂 = 𝛽 𝑛
¯ 𝜂 + 𝛽 ¯𝑙𝜉 − 𝜇𝜂.
𝑑𝑡
(3.70)
Запишем линеаризованную систему в окрестности точки равновесия:
⎧
𝑑𝜉
𝛽𝜆
⎪
⎪
= −𝜇𝜂 𝜉,
⎨
𝑑𝑡
𝜇
𝑑𝜂
𝛽𝜆
⎪
⎪
⎩
=
𝜉.
𝑑𝑡
𝜇
(3.71)
Найдём собственные значения характеристического уравнения, которое
имеет вид:
𝑠2 +
𝛽𝜆
𝑠 + 𝛽𝜆 = 0.
𝜇
(3.72)
Далее запишем корни этого характеристического уравнения:
⎛
𝑠1,2 =
1 ⎝ 𝛽𝜆
−
±
2
𝜇
√︃(︂
𝛽𝜆
𝜇
)︂2
⎞
− 4𝛽𝜆⎠ .
(3.73)
Таким образом, в зависимости от выбора параметров особая точка
может иметь разный характер. Так при 𝛽𝜆 < 4𝜇2 особая точка является
устойчивым фокусом, а при обратном соотношении — устойчивый узел. В
обоих случаях особая точка является устойчивой, так как действительная
часть корней уравнения отрицательная. Таким образом, в зависимости от
102
выбора значений коэффициентов, изменения переменных системы может
происходить по одной из двух траекторий. Если особая точка является
фокусом, то в системе происходят затухающие колебания численностей
новых и раздающих узлов (см. рис. 3.12). А в узловом случае приближение
численностей к стационарным значениям происходит в бесколебательном
режиме (см. рис. 3.13). Фазовые портреты системы для каждого из двух
случаев изображены, соответственно, на графиках( 3.14) и ( 3.15).
Рис. 3.12. Зависимость числа
новых и раздающих узлов от
времени в сети Fast Track для
детерминистического случая при
𝛽𝜆 < 4𝜇2 .
Рис. 3.13. Зависимость числа
новых и раздающих узлов от
времени в сети Fast Track для
детерминистического случая при
𝛽𝜆 > 4𝜇2 .
103
Рис. 3.14. Фазовые портреты
детерминистической системы Fast
Track с различными
отклонениями (Δ𝑥, Δ𝑦) от
стационарной точки при 𝛽𝜆 < 4𝜇2 .
Рис. 3.15. Фазовые портреты
детерминистической системы Fast
Track с различными
отклонениями (Δ𝑥, Δ𝑦) от
стационарной точки при 𝛽𝜆 > 4𝜇2 .
Численное моделирование стохастической модели
Для иллюстрации полученных результатов было проведено численное
моделирование стохастического дифференциального уравнения в форме
Ланжевена. Для численного решения стохастических дифференциальных
уравнений использован метод, заключающийся в распространении методов Рунге-Кутты на случай стохастических дифференциальных уравнений
[67, 70], реализованный на языке Фортран. Результаты численного моделирования приведены на графике (3.16) и (3.17).
На графиках (3.16) и (3.17) наглядно видно, что введение малых стохастических членов существенно не влияет на поведение системы в близи
узловой точки при большом числе раздающих узлов. Последствия введения
стохастики ощущаются лишь в начале эволюции системы. По прошествии
сравнительно небольшого отрезка времени система входит в стационарный
104
режим и мало отличается от детерминированного случая.
Рис. 3.16. Фазовые портреты
стохастической системы Fast
Track с различными
отклонениями (Δ𝑥, Δ𝑦) от
стационарной точки при 𝛽𝜆 > 4𝜇2 .
Рис. 3.17. Фазовые портреты
стохастической системы Fast
Track с различными
отклонениями (Δ𝑥, Δ𝑦) от
стационарной точки при 𝛽𝜆 > 4𝜇2 .
Однако, стоит сделать замечание, что приведенные выше результаты получены при отбрасывании в матрице диффузии B (3.67) слагаемых второго
порядка, т.е. остаются только линейные слагаемые. Также был проведен
анализ для случая 𝛽𝜆 > 4𝜇2 с учетом всех слагаемых матрицы диффузии
B, который показал, что введение стохастики существенно сказывается на
эволюции системы. По прошествии сравнительно небольшого отрезка один
из графиков решения (число раздающих узлов) касается оси координат, и
эволюция системы прекращается(см. рис. 3.18 и рис. 3.19). В детерминированном же случае система входит в стационарный режим и прибывает в нем
бесконечно долго. Таким образом, учет стохастики в окрестности узловой
точки отражает тот факт, что в реальной системе FastTrack раздающие
узлы не будут находится в сети бесконечно долго и скорее всего уйдут через
какое-то время при отсутствии скачивающих узлов.
105
Стохастическая и детерминированная модели FastTrack.
¸ =25.5, β = 0.15, ¹ =5.0, n0 =5.30, l0 =39.83
40
40
Детерминированная модель
Число раздающих узлов
Стохастическая модель
35
35
30
30
25
25
20
20
15
15
10
10
5
0
5
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Число новых узлов
Число новых узлов
Новые узлы n(t)
50
40
30
20
10
0
Раздающие узлы l(t)
Рис. 3.18. Сравнение фазовых портретов для сети Fast Track в
детерминистическом и стохастическом случаях.
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Cтохастическая и детерминированая модели FastTrack.
¸ =25.5, β = 0.15, ¹ =5.0, n0 =5.30, l0 =39.83
Стох.
Дет.
0
1
2
3
4
5
6
7
Стох.
Дет.
0
1
2
3
4
5
6
7
Время t
Рис. 3.19. Сравнение зависимости числа узлов от времени в сети Fast Track
в детерминистическом и стохастическом случаях.
106
3.4.2.
Протокол BitTorrent
BitTorrent — пиринговый (P2P) сетевой протокол для кооперативного обмена файлами через Интернет. Файлы передаются частями, каждый
torrent-клиент, получая (скачивая) эти части, в тоже время отдает (закачивает) их другим клиентам, что снижает нагрузку и зависимость от каждого
клиента-источника и обеспечивает избыточность данных.
Сначала рассмотрим упрощенную модель закрытой системы, т.е. такую,
в которой не приходят новые клиенты и не уходят раздающие. Кроме того,
сделаем предположение, что файл состоит из одной части. Таким образом
за один шаг взаимодействия нового клиента (личера), желающего скачать
файл, и клиента, раздающего файл (сида), новый клиент скачивает весь
файл и становиться сидом.
Пусть 𝑁 — это обозначение нового клиента (личера), 𝐶 — это раздающий клиент (сид), а 𝛽 — коэффициент взаимодействия. Тогда схема
взаимодействия будет иметь вид:
𝛽
𝑁 +𝐶 →
− 2𝐶, 𝑟 = (−1, 1).
Схема отражает, что после взаимодействия личера и сида, в системе пропадает личер и появляется еще один сид.
Далее, пусть 𝑛 — это численность новых клиентов, а 𝑐 — количество
сидов в системе.
107
Запишем вероятности переходов:
𝑠+ (𝑛, 𝑐) = 𝛽𝑛𝑐.
(3.74)
Далее можно записать уравнение Фоккера-Планка для данной модели:
1
𝜕𝑝(𝑛, 𝑐)
= 𝜕𝑖 (𝐴𝑖 (𝑛, 𝑐)𝑝(𝑛, 𝑐)) + 𝜕𝑖 𝜕𝑗 (𝐵 𝑖𝑗 (𝑛, 𝑐)𝑝(𝑛, 𝑐)),
𝜕𝑡
2
(3.75)
где вектор сносов и матрица диффузии имеют следующий вид:
𝐴(𝑛, 𝑐) = 𝑟𝐴 𝑠+
𝐴 (𝑛, 𝑐),
𝐵(𝑛, 𝑐) =
(3.76)
𝑟𝐴 𝑟𝐴 𝑠+
𝐴 (𝑛, 𝑐).
Таким образом получаем:
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜−1⎟
⎜−𝛽𝑛𝑐⎟
A = ⎝ ⎠ 𝛽𝑛𝑐 = ⎝
⎠,
1
𝛽𝑛𝑐
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎜−1⎟
⎜ 𝛽𝑛𝑐 −𝛽𝑛𝑐⎟
B = ⎝ ⎠ (−1, 1)𝛽𝑛𝑐 = ⎝
⎠.
1
−𝛽𝑛𝑐 𝛽𝑛𝑐
(3.77)
Стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ланжевена можно получить воспользовавшись соответствующей формулой.
Также можно записать систему дифференциальных уравнений, описы-
108
вающую детерминистическое поведение системы:
⎧
𝑑𝑛
⎪
⎨
= −𝛽𝑛𝑐,
𝑑𝑡
⎪
⎩ 𝑑𝑐 = 𝛽𝑛𝑐.
𝑑𝑡
(3.78)
Далее рассмотрим открытую систему, в которой новые клиенты могут приходить в систему с интенсивностью 𝜆, а сиды уходить из нее с
интенсивностью 𝜇. Схема взаимодействия имеет вид:
𝜆
𝑟1 = (1, 0),
𝛽
𝑟2 = (−1, 1),
𝜇
𝑟3 = (0, −1).
0 →
− 𝑁,
𝑁 +𝐶 →
− 2𝐶,
𝐶 →
− 0,
Первая строка в схеме описывает появление нового клиента в системе, вторая строка — взаимодействие нового клиента и сида, в результате
которого появляется новый сид. А третья — это уход сида из системы.
Далее, пусть 𝑛 — это численность новых клиентов, а 𝑐 — количество
сидов в системе.
Эта система с точностью до обозначений совпадает с моделью Fasttrack.
Теперь рассмотрим систему, в которой передаются файлы, состоящие из
𝑚 частей. В системе присутствуют следующие участники:
– Новые клиенты (𝑁 ) — это клиенты, у которых нет ни одной части файла.
– Личеры (𝐿) — это клиенты, которые уже скачали какое-то количество
частей файла и могут их раздавать новым клиентам или другим личерам.
– Сиды (𝐶) — это клиенты, у которых есть весь файл, т.е. они только
109
раздают.
Кроме того 𝑛 — это численность новых клиентов, а 𝑐 — количество сидов
в системе, 𝑙𝑖 — количество личеров, у которых есть ровно 𝑖 частей файла,
¯ 𝑖 — это личеры , у которых есть какие - либо
где 𝑖 = 𝑖, 𝑛 − 1. Также пусть 𝐿
части файла интересующие личера 𝐿𝑖 и соответственно ¯𝑙𝑖 i их количество.
Для данной системы в схеме взаимодействия будут иметь место следующие типы соотношений:
𝜆
0 →
− 𝑁,
𝛽
𝑁 +𝐶 →
− 𝐿1 + 𝐶,
𝛽𝑖
𝑁 + 𝐿𝑖 −
→ 𝐿1 + 𝐿𝑖 ,
𝛿𝑖
¯𝑖 −
¯ 𝑖,
𝐿𝑖 + 𝐿
→
𝐿𝑖+1 + 𝐿
𝛾𝑖
(3.79)
𝐿𝑖 + 𝐶 −
→ 𝐿𝑖+1 + 𝐶,
𝛾𝑚−1
¯ 𝑚−1 ,
¯ 𝑚−1 −
𝐿𝑚−1 + 𝐿
−−→ 𝐶 + 𝐿
𝛾
𝐿𝑚−1 + 𝐶 →
− 2𝐶,
𝜇
𝐶 →
− 0,
Один шаг взаимодействия — это передача одной части файла от одного
клиента другому. Первое соотношение описывает появление нового клиента
в системе с интенсивностью 𝜆. Второе и третье соотношения описывают
взаимодействие нового клиента с сидом или личером с коэффициентами 𝛽 и
𝛽𝑖 , (𝑖 = 𝑖, 𝑚 − 1), в результате которого новый клиент становиться личером
из класса 𝐿1 . Четвертое и пятое соотношения — это взаимодействие личера
𝐿𝑖 с сидом или другим личером с коэффициентами 𝛿𝑖 и 𝛾𝑖 (𝑖 = 𝑖, 𝑚 − 2),
110
что приводит к получению личером одной части файла и переходу его в
класс 𝐿𝑖+1 . Шестое и седьмое описывает процесс перехода личера в класс
сидов с коэффициентами 𝛾𝑚−1 и 𝛾, т.е. личер скачивает последнюю часть
файл. Последнее соотношение – это уход сида из системы с интенсивность
𝜇.
Запишем векторы 𝑟𝐴 = (𝑛, 𝑙1 , 𝑙2 , ..., 𝑙𝑚−1 , 𝑐) и вероятности перехода 𝑠+
𝐴:
𝑟1 = (1, 0, 0, ..., 0),
𝑟2 = 𝑟𝑖3 = (−1, 1, 0, ..., 0), 𝑖 = 𝑖, 𝑚 − 1,
𝑟𝑖4 = 𝑟𝑖5 = (0, ..., −1, 1, ..., 0), 𝑖 = 𝑖, 𝑚 − 2,
(3.80)
𝑟6 = 𝑟7 = (0, 0, ..., −1, 1),
𝑟8 = (0, 0, ..., −1)
и вероятности перехода 𝑠+
𝐴:
𝑠+
1 = 𝜆,
𝑠+
2 = 𝛽𝑛𝑐,
𝑠+
3𝑖 = 𝛽𝑖 𝑛𝑙𝑖 ,
¯
𝑠+
4𝑖 = 𝛿𝑖 𝑙𝑖 𝑙𝑖 , 𝑖 = 𝑖, 𝑚 − 1,
𝑠+
5𝑖
= 𝛾𝑖 𝑙𝑖 𝑐, 𝑖 = 𝑖, 𝑚 − 2,
¯
𝑠+
6 = 𝛾𝑚−1 𝑙𝑚−1 𝑙𝑚−1 ,
𝑠+
7 = 𝛾𝑙𝑚−1 𝑐,
𝑠+
8 = 𝜇𝑐.
(3.81)
111
Для данной модели, аналогично предыдущей, можно записать уравнение
Фоккера-Планка. Но так как детерминистическое поведение полностью
описывается матрицей 𝐴, запишем только ее.
Таким образом получаем:
⎛
∑︀𝑚−1
⎞
𝜆 − 𝛽𝑛𝑐 − 𝑖=1 𝛽𝑖 𝑛𝑙𝑖
⎜
⎟
⎟
⎜
∑︀𝑚−1
⎜
⎟
¯
⎜
⎟
𝛽𝑛𝑐 + 𝑖=1 𝛽𝑖 𝑛𝑙𝑖 − 𝛿1 𝑙1 𝑙1 − 𝛾1 𝑙1 𝑐
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
¯
¯
𝛿1 𝑙1 𝑙1 + 𝛾1 𝑙1 𝑐 − 𝛿2 𝑙2 𝑙2 − 𝛾2 𝑙2 𝑐
⎜
⎟
⎟,
A=⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜𝛿𝑚−2 𝑙𝑚−2¯𝑙𝑚−2 + 𝛾𝑚−2 𝑙𝑚−2 𝑐 − 𝛿𝑚−1 𝑙𝑚−1¯𝑙𝑚−1 − 𝛾𝑚−1 𝑙𝑚−1 𝑐⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
¯
𝛿𝑚−1 𝑙𝑚−1 𝑙𝑚−1 + 𝛾𝑚−1 𝑙𝑚−1 𝑐 − 𝜇𝑐
(3.82)
Как следствие можно получить систему дифференциальных уравнений
описывающих динамику численности новых клиентов, личеров и сидов :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑚−1
∑︁
𝑑𝑛
= 𝜆 − 𝛽𝑛𝑐 −
𝛽𝑖 𝑛𝑙𝑖 ,
𝑑𝑡
𝑖=1
𝑚−1
∑︁
𝑑𝑙1
= 𝛽𝑛𝑐 +
𝛽𝑖 𝑛𝑙𝑖 − 𝛿1 𝑙1¯𝑙1 − 𝛾1 𝑙1 𝑐,
𝑑𝑡
𝑖=1
𝑑𝑙2
= 𝛿1 𝑙1¯𝑙1 + 𝛾1 𝑙1 𝑐 − 𝛿2 𝑙2¯𝑙2 − 𝛾2 𝑙2 𝑐,
𝑑𝑡
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
...
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑑𝑙𝑚−1
⎪
⎪
⎪
= 𝛿𝑚−2 𝑙𝑚−2¯𝑙𝑚−2 + 𝛾𝑚−2 𝑙𝑚−2 𝑐 − 𝛿𝑚−1 𝑙𝑚−1¯𝑙𝑚−1 − 𝛾𝑚−1 𝑙𝑚−1 𝑐,
⎪
⎪
𝑑𝑡
⎪
⎪
⎪
𝑑𝑐
⎪
⎩
= 𝛿𝑚−1 𝑙𝑚−1¯𝑙𝑚−1 + 𝛾𝑚−1 𝑙𝑚−1 𝑐 − 𝜇𝑐.
𝑑𝑡
(3.83)
112
Сделаем предположение, что 𝛿 = 𝛿1 = 𝛿2 = ... = 𝛿𝑚−1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Сложим
в системе уравнения со второго по 𝑚 + 1 и при обозначении всех личеров
и сидов через 𝑙 = 𝑙1 + 𝑙2 + ... + 𝑙𝑚−1 + 𝑐 получим упрощённую систему
следующего вида:
𝑑𝑛
= 𝜆 − 𝛽𝑛(𝑙 + 𝑐),
𝑑𝑡
⎪
⎩ 𝑑(𝑙 + 𝑐) = 𝛽𝑛(𝑙 + 𝑐) − 𝜇𝑐.
𝑑𝑡
⎧
⎪
⎨
(3.84)
Полученные результаты показывают, что предложенный метод позволяет расширить аппарат инструментов, используемых для анализа модели,
так как одновременно при применении данного подхода для описания системы можно получить обыкновенное стохастическое дифференциальное
уравнение и уравнение в частных производных в форме уравнения ФоккераПланка. Кроме того, изучение влияния введения стохастики в детерминистические модели, на примере модели протокола FastTrack и Bittorrent,
показало, что в некоторых случаях введение стохастики в стационарном
режиме слабо влияет на поведение системы, поэтому для изучения системы можно рассматривать ее детерминистическое приближение, которое
определяется матрицей сносов.
113
Заключение
Основные выводы и результаты диссертационной работы:
1. В диссертационной работе разработан метод построения согласованных
стохастических моделей для систем, которые могут быть описаны с
помощью одношаговых процессов. Под согласованность понимается возможность получить описание стохастического поведения системы так,
чтобы стохастика была связана со структурой изучаемой системы, а
не с внешним воздействием на нее. Кроме того, данный метод позволяет получить описание как стохастического, так и детерминистического
поведения системы.
2. Проиллюстрировано применение разработанного метода к системам популяционной динамики и моделированию р2р-протоколов. Анализ показал,
что для некоторых систем (например модель «хищник-жертва», модели
протоколов BitTorrent и FastTrack) введение стохастики качественным
образом меняет поведение модели, а для других моделей этого не происходит (модель распространения сетевого червя). Т.е. иногда при изучении
динамики поведения системы можно ограничиться детерминистическим
описанием.
3. Качественный и численный анализ полученных результатов был проведен
с помощью разработанного для вычислительного эксперимента комплекса
программ.
114
Приложение 1
Описание комплекса программ
Для проведения численного эксперимента и сравнения стохастических
моделей с их детерминистическими аналогами, был написан комплекс программ. Репозиторий с актуальной версией исходных текстов и makefile’ом
для сборки исполняемых файлов доступен по адресу http://www.bitbucket.
org/ndemidova/sde-models.
Вычислительная часть программ написана на языке Fortran (компилятор gfortran-4.8.3). Реализованы следующие численные методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений (каталоге src):
– RKs.f90 — классические методы Рунге-Кутта до 6-ого порядка точности
включительно;
– ERKs.f90 — вложенные методы Рунге–Кутта (в том числе Рунге-КуттыФельберга и Дорманда–Принца);
– sde_num_methods.f90 — стохастические методы Рунге-Кутта до третьего порядка точности включительно.
В модулях deterministic_prepre_models.f90 и stochastic_prepre_
models.f90 запрограммированы различные популяционные модели, а именно: классическая модель «хищник–жертва» (модель Лотки–Вольтерры),
модель «хищник–жертва» с конкуренцией среди жертв, модель конкурен-
115
ции, модель симбиоза, модель «хищник–жертва» в случае трех популяций.
Для детерминированного случая используются безразмерный вид уравнений
(кроме модели трех популяций) и стандартный вид для стохастического.
В модулях FastTrack_models.f90 и BitTorrent_models.f90 реализованы детерминированные и стохастические модели сетевых p2p–протоколов
FastTrack и BitTorrent.
Для генерации нормально распределенных случайных чисел использовалась сторонний модуль random.f90. Автор модуля Alan Miller и сведения
о нем можно найти непосредственно в комментариях к исходным текстам в
файле random.f90.
Программы deterministic_prepre.f90, stochastic_prepre.f90, Fast_
Track.f90 и BitTorrent.f90 используют выше перечисленные модули для
запуска вычислений для различных моделей. Возможна передача параметров модели через командную строку. Так, например
./FastTrack␣deterministic␣xo␣yo␣r
запустит вычисление детерминированной модели FastTrack с начальными
значениями 𝑥0 , 𝑦0 и параметром 𝑟, где 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑟 — конкретные действительные
числа. Более подробная справка доступна в комментариях к исходным
текстам.
Результаты вычислений будут распечатаны в стандартный поток вывода.
Для обработки этих данных использовался скриптовый язык Python третей
версии с библиотеками numpy и matplotlib, а также оболочка iPython
Notebook.
116
Литература
1. Королькова А. В. Определение области возникновения автоколебаний в
системах типа red // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2010. — № 1. — С. 110–112.
2. Королькова А. В., Кулябов Д. С. Математическая модель динамики
поведения параметров систем типа red // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2010. — № 2. — С. 54–64.
3. Королькова А. В., Черноиванов А. И. Моделирование при помощи
стохастических дифференциальных уравнений поведения TCP-трафика
при взаимодействии с узлом, работающим по алгоритму RED. — М. :
МФТИ, 2009. — Т. 1. — С. 130–133.
4. Ланжевен П. Избранные труды. О теории броуновского движения. —
М. : Изд. АН СССР, 1960. — 729 с.
5. Перцев Н. В., Логинов К. К. Стохастическая модель динамики биологического сообщества в условиях потребления особями вредных пищевых
ресурсов // Математическая биология и биоинформатика. — 2011. — Т. 6,
№ 1. — С. 1–13. — URL: http://www.matbio.org/2011/Pertsev2011(6_
1).pdf.
6. Павловский И. П., Суслин В. М. Стохастическая модель эволюции
популяции в пространстве // Математическое моделирование. — 1994. —
Т. 6, № 3. — С. 9–24.
117
7. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой метематики. —
Москва : Фазис, 1998. — 512 с.
8. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение
в теорию и приложения. — Москва : Мир, 2003. — 408 с.
9. Еферина Е. Г. Согласованное введение стохастики в эпидемиологическую модель // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и
математическое моделирование высокотехнологичных систем»: Тезисы
докладов. — М. : РУДН, 2014. — С. 233–235.
10. Велиева Т. Р., Королькова А. В., Кулябов Д. С., Сантуш Б. А. Модель
управления очередями на маршрутизаторах // Вестник РУДН. Серия
«Математика. Информатика. Физика». — 2014. — № 2. — С. 81–92.
11. Мальтус Т. Р. Опыт закона о народонаселении. — Москва, 1895.
12. Lotka A. J. Elements of Physical Biology. –– BiblioBazaar, 2011. –– 492 p. ––
ISBN: 9781178508116. –– URL: http://books.google.ru/books?id=
tFN9pwAACAAJ.
13. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование // Успехи физических наук. — 1928. — Т. 8, № 1. — С. 13–34.
14. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. —
Москва : Мир, 1986. — 528 с.
15. Рёпке Г. Неравновесная стохастическая механика. — Москва : Мир,
1990. — 320 с.
16. Risken H. The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications. –– Springer Series in Synergetics, 1984. –– 425 p.
118
17. Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии.
Часть 1. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. —
232 с.
18. Одум Ю. Основы экологии. — Москва : Мир, 1975. — 740 с.
19. Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. —
Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 368 с.
20. Рубин А. Б., Пытьева Н. Ф., Ризниченко Г. Ю. Кинетика биологических
процессов. — Изд-во Моск. ун-та, 1977. — 330 с.
21. Lotka A. J. Elements of Physical Biology. –– Baltimore : Williams & Wilkins
Company, 1925. –– 460 p.
22. Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б. Математические модели биологических
продукционных процессов. — Изд-во МГУ, 1993.
23. Колмогоров А. Н. Качественное изучение математических моделей
популяций // Проблемы кибернетики. — 1972. — № 25. — С. 101–106.
24. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. — Москва : Наука, 1985. — 182 с.
25. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. — М. : Мир, 1983. — 397 с.
26. Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биофизике и экологии. —
Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 183 с.
27. Разжевайкин В. Н. Модели динамики популяций. — М. : ВЦ РАН им.
А.А.Дородницына, 2006. — 87 с.
28. Зарипов Ш. Х. Дискретные модели популяций. Часть 1. Разностные
уравнения. — Казань : Изд-во Казанского государственного университе-
119
та, 2008. — 36 с.
29. Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. Динамические системы
и модели биологии. — М. : Физматлит, 2010. — 400 с.
30. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. — М. : Наука, 1978. — 352 с.
31. Бейли Н. Т. Д. Математика в биологии и медицине. — Москва : Мир,
1970. — 326 с.
32. Недорезов Л. В., Утюпин Ю. В., Утюпина C. П. Эффект насыщения в
модели системы «хищник-жертва» // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2001. — Т. 4, № 1(7). — С. 150–164.
33. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Качественная теория с приложениями. — М. : Мир, 1986. — 243 с.
34. Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний. — М. : Высшая школа,
2001. — 395 с.
35. Масина О. Н., Дружинина О. В. Существование устойчивых состояний
равновесия и предельные свойства решений обобщенных систем лотки–
вольтерра // Вестник Воронежского государственного университетата.
Серия «Физика. Математика». — 2007. — № 1. — С. 55–57.
36. Дружинина О. В., Масина О. Н. Методы исследования устойчивости
и управляемости нечетких и стохастических динамических систем. —
Москва : ВЦ РАН, 2009. — 180 с.
37. Дружинина О. В. Индекс, дивергенция и функции Ляпунова в качественной теории динамических систем. — Москва : ЛЕНАНД, 2013. —
280 с.
120
38. Калиткин Н. Н., Карпенко Н. В., Михайлов А. П. и др. Математические
модели природы и общества. — Москва : Физматлит, 2005. — 360 с.
39. Калиткин Н. Н. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием //
Успехи математических наук. — 2002. — Т. 57, № 2(344). — С. 23–84.
40. Перцев Н. В., Пичугин Б. Ю., Логинов К. К. Статистическое моделирование динамики популяций, развивающихся в условиях воздействия
токсичных веществ // Сиб. журн. индустр. матем. — 2011. — № 14:2. —
С. 84–94.
41. Кампен Н. Г. В. Стохастические процессы в физике и химии. — Москва :
Высшая школа, 1990. — 376 с.
42. Doi M. Second quantization representation for classical many-particle system // Journal of Physics A: Mathematical and General. –– 1976. –– Vol. 9,
no. 9. –– P. 1465–1477. –– URL: http://iopscience.iop.org/0305-4470/
9/9/008.
43. Doi M. Stochastic theory of diffusion-controlled reaction // Journal of
Physics A: Mathematical and General. –– 1976. –– Vol. 9, no. 9. –– P. 1479–
1495. –– URL: http://iopscience.iop.org/0305-4470/9/9/009.
44. Moreau M., Oshanin G., Bénichou O., Coppey M. Stochastic theory of
diffusion-controlled reactions // Physica A: Statistical Mechanics and its
Applications. –– 2003. –– Vol. 327, no. 1-2. –– P. 99–104. –– URL: http:
//linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0378437103004588.
45. Dodd P. J., Ferguson N. M. A many-body field theory approach to stochastic
models in population biology. // PloS one. –– 2009. –– Vol. 4, no. 9. ––
P. e6855. –– URL: http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.
121
fcgi?artid=2734401&tool=pmcentrez&rendertype=abstract.
46. Hnatich M., Honkonen J. Velocity-fluctuation-induced anomalous kinetics
of the A+A–> reaction // Physical review. E, Statistical physics, plasmas, fluids, and related interdisciplinary topics. –– 2000. –– Vol. 61, no. 4
Pt A. –– P. 3904–3911. –– URL: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/
11088171.
47. Hnatich M., Honkonen J., Lučivjanský T. Field Theory Approach In Kinetic
Reaction: Role Of Random Sources And Sinks. –– 2011. –– P. 1–14. –– arXiv :
1109.6435.
48. Hnatič M., Honkonen J., Lučivjanský T. Field-theoretic technique for irreversible reaction processes // Physics of Particles and Nuclei. –– 2013. ––
Vol. 44, no. 2. –– P. 316–348. –– URL: http://link.springer.com/10.
1134/S1063779613020160.
49. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая
теория конструирования систем управления. — Москва : Высшая школа,
1989. — 448 с.
50. Афанасьев В. Н. Динамические системы управления с неполной информацией: алгоритмическое конструирование. — Москва : УРСС, 2007. —
216 с.
51. Кушнер Г. Д. Стохастическая устойчивость и управление. — Москва :
Мир, 1969. — 198 с.
52. Einstein A. Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme
geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten
Teilchen // Annalen der Physik. –– 1905. –– no. 322 (8). –– P. 549–560.
122
53. Эйнштейн А., Смолуховский M. Броуновское движение. Сборник статей. — М.-Л. : Главн. ред. общетехн. лит., 1936. — 608 с.
54. Понтрягин Л. С., Андронов А. А., Витт Д. А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ. — 1933. — Т. 3, № 3. —
С. 165–180.
55. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. Теория вероятностей. Математическая статистика. Том 4. — М. : Наука, 1964.
56. Bernstein S. Principes de la théorie des équations différentielles stochastiques.
i // Тр. Физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1934. — Т. 5. — С. 95–
124.
57. Ito K. Stochastic Integral. –– Tokyo : Proc. Imperial Acad., 1944.
58. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. — Москва :
Мир, 1986. — 329 с.
59. Гихман И. И. Дифференциальные уравнения со случайными функциями. — Киев : Ин-т математики АН УССР, 1964.
60. Гихман И. И. О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями // Укр.мат.журн. — 1950. — Т. 2, № 3. — С. 45–69.
61. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные
уравнения. — Киев : Наукова думка, 1982. — 612 с.
62. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные
уравнения и их приложения. — Киев : Наукова думка, 1968. — 356 с.
63. Стратонович P. Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. — Москва : Сов. радио, 1961. — 560 с.
64. Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференци-
123
альных уравнений и стохастических интегралов. — С.Петербург : Наука,
1999. — 463 с.
65. Лукшин А. В., Смирнов С. Н. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2, № 11. — С. 108–121.
66. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. — С.Петербург : Изд. Политех.
Университета, 2009. — 800 с.
67. Debrabant K., Röbler A. Classification of stochastic runge–kutta methods for
the weak approximation of stochastic differential equations // Mathematics
and Computers in Simulation. –– 2008. –– Vol. 77, no. 4. –– P. 408–420.
68. Napoli A. Economical runge–kutta methods with weak second order for
stochastic differential equations // Int. J. Contemp. Math. Sciences. ––
2010. –– Vol. 5, no. 24. –– P. 1151–1160.
69. Logmani G. B. High strong order implicit runge–kutta methods for stochastic
ordinary differential equations // System Dynamics Society. Proceedings of
the 22nd International Conference. –– Oxford, England, UK, 2004. –– Jule 25–
29. –– URL: http://www.systemdynamics.org/conferences/2004/SDS_
2004/PAPERS/109LOGHM.pdf.
70. Tocino A., Ardanuy R. Runge–kutta methods for numerical solution of
stochastic differential equations // Journal of Computational and Applied
Mathematics. –– 2002. –– Vol. 138, no. 2. –– P. 219–241. –– URL: http://
www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042701003806.
71. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — Москва : Едиториал УРСС,
124
2005. — 488 с.
72. Волков И. К., Зуев С. М., Цветкова Т. М. Случайные процессы. —
Москва : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. — 448 с.
73. Булинский A. B., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — Москва :
Физматлит, 2005. — 408 с.
74. Бартлетт М. С. Введение в теорию случайных процессов. — Москва :
Иностранная литература, 1958. — 384 с.
75. Дуб Д. Вероятностные процессы. — Москва : Физматгиз, 1963. — 608 с.
76. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. — Москва : Наука,
1996. — 400 с.
77. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. — Москва : Сов.
радио, 1977. — 488 с.
78. Степанов С. С. Стохастический мир. Электронный ресурс. — 2009. —
376 с. — URL: http://synset.com/pdf/ito.pdf.
79. Леваков А. Стохастические дифференциальные уравнения. — Минск :
БГУ, 2009. — 231 с.
80. Ватанабе С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и
диффузионные процессы. — Москва : Наука, 1986. — 448 с.
81. Чжун К., Уильямс Р. Введение в стохастическое интегрирование. —
Москва : Мир, 1987. — 150 с.
82. Зубарев Н. Д., Морозов Г. В., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. — Москва : Физматлит, 2002. — 432 с.
83. Пугачев B. C., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные
системы. — Москва : Наука, 1985. — 560 с.
125
84. Øksendal B. K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with
Applications. –– Berlin : Springer, 2003. –– 360 p.
85. Артемьев C. С., Якунин М. А. Математическое и статистическое моделирование в финансах. — Новосибирск : Изд. ИВМиМГ СО РАН,
2008. — 174 с.
86. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. — Москва : Наука, 1976. — 494 с.
87. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. — Москва : Наука, 1969. — 512 с.
88. Кнорре Д. Г., Эмануэль Н. М. Курс химической кинетики. — М. :
Высшая школа, 1984. — 463 с.
89. Калинкин А. В. Схемы взаимодействий: детерминированные и стохастические модели: Метод. указания к выполнению типового расчета по
курсу «Дополнительные главы теории случайных процессо». — Москва :
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. — 44 с.
90. Геворкян М. Н. Конкретные реализации симплектических численных
методов // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2013. — № 1. — С. 77–89.
91. Soheili A. R., Namjoo M. Strong approximation of stochastic differential
equations with runge-kutta methods // World Journal of Modelling and
Simulation. –– 2008. –– Vol. 4, no. 2. –– P. 83–93.
92. Lu F., Wang Z. Two implicit runge–kutta methods for stochastic differential
equation // Applied Mathematics. –– 2012. –– no. 3. –– P. 1103–1108.
93. Kinderman A. J., Monahan J. F. Computer generation of random
126
variables using the ratio of uniform deviates // ACM Transactions on
Mathematical Software. –– 1977. –– Vol. 3, no. 3. –– P. 257–260. –– URL:
http://stevereads.com/papers_to_read/computer_generation_of_
random_variables_using_the_ratio_of_uniform_deviates.pdf.
94. Кулябов Д. С., Демидова А. В. Введение согласованного стохастического
члена в уравнение модели роста популяций // Вестник РУДН. Серия
«Математика. Информатика. Физика». — 2012. — № 3. — С. 69–78.
95. Демидова А. В. Уравнения динамики популяций в форме стохастических
дифференциальных уравнений // Вестник РУДН. Серия «Математика.
Информатика. Физика». — 2013. — № 1. — С. 67–76.
96. Геворкян М. Н., Демидова А. В., Егоров А. Д. и др. Влияние стохастизации на одношаговые модели // Вестник РУДН. Серия «Математика.
Информатика. Физика». — 2014. — № 1. — С. 71–85.
97. Захарченко А. Черводинамика — причины и следствия. — 2004. — URL:
http://citforum.ru/security/virus/ch_dinamic/.
98. Liang J., Kumar R., Ross K. W. The FastTrack overlay: a measurement
study // Computer Networks. –– 2006. –– no. 50(6). –– P. 842–858.
99. Ding C. H., Nutanong S., Buyya R. Peer-to-peer networks for content
sharing // Journal of Systems Architecture. –– 2006. –– no. 52. –– P. 737–772.