Теория потребительского выбора в условиях определенности

Факультет мировой экономики
и мировой политики НИУ ВШЭ,
2011-2012
Ю.В. Автономов
Теория потребительского выбора
в условиях определенности - 4:
методы решения задачи потребителя
¾Переход к безусловной максимизации
¾ Условие касания и его интерпретация
¾ Случаи, когда условие касания не
работает/ненадежно
¾ Метод Лагранжа
¾Решение задачи потребителя для Леонтьевских
предпочтений
Общие принципы проверки письменных работ и
использования математических методов в нашем курсе
В любой письменной работе студент должен убедить экзаменатора
в своей способности понимать задачу, анализировать ее и
доказывать свою точку зрения с помощью инструментов
микроэкономической теории.
«я написал А, а хотел написать Б…»
«очевидно, что…»
Студент имеет право сам решать, какие математические методы
применять для решения задачи – до тех пор, пока схема решения
логически последовательна, внятно объяснена, и полученный ответ:
а) верен
б) не является результатом случайного везения.
Плюсы: умным студентам не нужно догадываться, какой именно
способ решения задачи хочет увидеть экзаменатор.
Минусы: ошибки, свидетельствующие о непонимании вами сути
поставленной задачи или используемого метода стоят дорого
U(x)
Если доход и цены
всех товаров положительны
(I > 0, p>>0) бюджетное
множество B является непустым,
ограниченным и непрерывным, и…
x
… любая непрерывная функция полезности
достигает на нем своего максимума –
решение задачи потребителя существует.
(т. Вейерштрасса)
Максимизация дифференцируемой
функции на отрезке
f(x)
a
b
x
f(x)
f(x)
f(x)
a
b
x
a
b
x
a
b
1) Проверяем стационарные точки: f ’(x) = 0
2) Проверяем значения f(x) в точках разрыва.
3) Проверяем f(a) и f(b).
Слава Богу, наши функции полезности обычно устроены гораздо проще,
чем изображенные выше f(x) - но они зависят минимум от двух
переменных - как максимизировать их?
Не имея возможности вдаваться в теорию оптимизации, мы опишем лишь
три метода, которые будем применять для решения задачи потребителя Æ
x
На подходе к острову Сциапод мы несколько раз производили рекогносцировку, и еще
кое-какие действия
Ю.Коваль, «Сэр Суер-Выер: пергамент»
В качестве сквозного примера для
иллюстрации методов решения задачи
максимизации полезности мы возьмем
«удобную» функцию двух переменных:
U(x1,x2) = x1x2
1. Переход к безусловной максимизации
Если ’ монотонны (а функция полезности Кобба-Дугласа
определенно монотонна), бюджетное ограничение будет
выполняться как равенство Æ можно подставить его в функцию
полезности и максимизировать ее уже без всяких ограничений.
ПРИМЕР:
⎧⎪ max x1 x2
I − p1 x1
x1 , x2 ≥0
→ max x1 (
)
⎨
x1 ≥0
p2
⎪⎩ p1 x1 + p2 x2 = I
Полученная функция строго вогнута по x1. Необходимым и достаточным
условием ее максимума будет равенство производной по x1 нулю:
I − 2 p1 x1
I
I
= 0 → x1* =
, x2 * =
p2
2 p1
2 p2
Проверять ее значения на границах интервала (x1 = 0, x1= I/p1) очевидно
нет нужды – там она равна нулю.
2. Условие касания
x2
В оптимальном наборе x* тангенс
угла наклона кривой безразличия Ū1
(MRS12) равен тангенсу угла наклона
бюджетной линии (p1/p2)
U1
x2*
0
x*
x1*
MRS12
x1
p1
⎧
⎪ MRS12 =
p2
⎨
⎪
⎩ p 1 x1 + p2 x2 = I
MU1 p1
MU1 MU 2
=
=
↔
=
MU 2 p2
p1
p2
Это позволяет найти
решение задачи
потребителя, решив
следующую систему:
Применим этот метод к нашему примеру:
p1
⎧
⎧ MU1 p1
=
⎪ MRS12 =
⎪
p2 → ⎨ MU 2 p2
⎨
⎪p x + p x = I
⎪p x + p x = I
⎩ 1 1
⎩ 1 1
2 2
2 2
⎧ x2 p1
=
I
I
⎪
, x2 * =
→ ⎨ x1 p2
→ x1* =
2 p1
2 p2
⎪p x + p x = I
⎩ 1 1
2 2
Как видим, мы получили точно такой же ответ.
Ограничения условия касания
Условие касания не является необходимым
критерием решения задачи потребителя!
(1)
x2
x2
(2)
(3)
x2
A
A
A
0
x1
0
x1x
0
x1
1
В примерах (1) и (3) оно не работает, т.к. предпочтения не являются строго
вогнутыми.
В примере (2) оно не работает, т.к. предпочтения не являются монотонными.
Хуже того – некоторые типы предпочтений являются и
монотонными, и строго выпуклыми – но условие касания
не всегда характеризует решение задачи потребителя!
Таковы, например, квазилинейные предпочтения
x2
U(x1, x2) = v(x1) + x2
A
U2
БО
U1
0
x1
Рассмотрим потребителя с функцией полезности
U(x1,x2) = ln(x1) + x2
Пусть p1 = 1, p2 = 10, I = 5.
Попробуйте найти решение задачи потребителя,
используя условие касания.
;)
К счастью, наш следующий метод легко справляется с
подобными (и многими другими) предпочтениями Æ
3. Метод Лагранжа
Вначале вспомним о понятии градиента:
Градиент функции полезности - это вектор ее частных
производных (предельных полезностей)
показывающий направление наискорейшего
возрастания полезности:
∂
U
(.)
∂
U
(.)
⎛
⎞ = ( MU , MU )
∇U ( x1 , x2 ) = ⎜
,
⎟
1
2
x
x
∂
∂
1
2⎠
⎝
Í Кривые безразличия для
U(x1,x2)=x1x2
Градиенты для U(x1,x2)=x1x2 Î
Уравнение бюджетного ограничения
p1x1 + p2x2 = I
тоже можно представить себе как линию уровня
некоторой функции!
B(x1,x2) = p1x1 + p2x2 – I = 0
x2
Ее градиент был бы
равен ∇B(x1,x2) = (p1, p2)
Теперь давайте еще раз
посмотрим на решение
задачи потребителя Î
0
x1
Метод Лагранжа: геометрическая интерпретация
Обратите внимание: в точке
(x1*, x2*), соответствующей
оптимальному набору, градиент
функции полезности по
направлению совпадает с
градиентом бюджетного
ограничения:
x2
x2*
0
x1*
x1
∇U(x1,x2) = λ∇B(x1,x2)
где λ – некий множитель.
Уравнение ∇U(x1,x2) = λ∇B(x1,x2) и уравнение бюджетного
ограничения позволяют нам вычислить оптимальный
набор так же, как мы сделали чуть раньше, используя
условие касания.
Теперь применим метод Лагранжа формально Î
⎧⎪ max x1 x2
x1 , x2 ≥0
⎨
⎪⎩ p1 x1 + p2 x2 ≤ I
Наша исходная задача представляет
собой задачу условной максимизации
при ограничениях неотрицательности.
Запишем т.н. функцию Лагранжа:
L = x1 x2 − λ ( p1 x1 + p2 x2 − I )
Приравняем к нулю ее производные по x1, x2 и λ:
⎧ ∂L
⎪ ∂x = x2 − λ p1 = 0
I
⎧
1
x1* =
⎪
⎧ x2 p1
⎪
2 p1
⎪ ∂L
⎪ =
⎪
= x1 − λ p2 = 0
→ ⎨ x1 p2
→⎨
⎨
⎪ ∂x2
⎪p x + p x = I
⎪ x2 * = I
⎩ 1 1
2 2
⎪ ∂L
⎪⎩
2 p2
= p1 x1 + p2 x2 − I = 0
⎪
⎩ ∂λ
Метод Лагранжа: обобщение
Метод Лагранжа – громоздкий, но мощный инструмент.
Его, например, можно обобщить для случая нескольких
ограничений; при этом ограничения могут иметь форму неравенств.
Классическая задача нелинейного программирования с условиями
неотрицательности:
max f ( x ) при
x
⎧ g1 ( x ) ≤ b1
⎪
условиях ⎨...
, x≥0
⎪ g ( x) ≤ b
m
⎩ m
Вектор x является допустимым, если он
удовлетворяет всем m ограничениям.
Предположим, что функции f(.) и g1(.), …, gm(.)
имеют непрерывные частные производные по
каждому аргументу до 1 порядка включительно.
Тогда вышеописанная задача может быть
решена следующим образом Æ
1. Ввести функцию Лагранжа:
m
L( x , λ ) = f ( x ) − ∑ λ j ( g j ( x ) − b j )
j =1
(предполагается, что
λ1 ,..., λm ≥ 0 )
2. Записать следующую систему условий:
Для всех i = 1..n:
∂L
∂L
= 0, xi > 0 или
≤ 0, xi = 0
∂xi
∂xi
Для всех j = 1..m:
∂L
∂L
= 0, λ j > 0 или
≥ 0, λ j = 0
∂λ j
∂λi
3) Найти все x и λ, являющиеся решениями
этой системы (т.н. «точки Куна-Таккера»).
Если у нашей исходной задачи были
решения, они обязательно будут
содержаться среди точек К.-Т..
Если же f(.) вогнута*, а g(.) квазивогнуты** по x –
любая найденная точка К.-Т. будет решением.
* Мы не будем требовать от вас проверки
вогнутости целевой функции
** Квазивогнутость = надграфики функции
являются выпуклыми множествами
(см. рисунок).
x2
x1
Решение задачи потребителя для
Леонтьевских предпочтений
Для функций вида min{αx1, βx2} никакие
методы, основанные на
дифференцировании, не подходят.
Однако задачу такого потребителя очень
легко решить, если доказать, что в любом
наборе x*, являющемся решением задачи
потребителя, αx1* = βx2* Î
От противного: пусть (x1*, x2*) – решение задачи такого
потребителя, и αx1* > βx2*.
Полезность этого набора равна βx2*. Так как ’ потребителя
монотонны, (x1*, x2*) должен удовлетворять бюджетному
ограничению как равенству: p1x1* + p2x2* = I.
Уменьшим количество x1 на ε, и увеличим количество x2 на
p1ε/p2. Подберем ε так, чтобы неравенство αx1* > βx2* попрежнему выполнялось.
Полученный набор (x1* – ε, x2* + p1ε/p2) принадлежит
бюджетному множеству:
p1(x1* – ε)+p2(x2* + p1ε/p2) = p1x1* + p2x2* = I, и при этом
приносит потребителю полезность β(x2* + p1ε/p2), большую,
чем набор (x1*, x2*). Мы пришли к противоречию.
Аналогичное рассуждение можно повторить для случая αx1* < βx2*, .