Представление сигнала в базисе функций Уолша Лабораторная работа №1.1 Краткие теоретические сведения

Лабораторная работа №1.1
Представление сигнала в базисе функций Уолша
Краткие теоретические сведения
Функциями Уолша назвывается семейство функций, образующих ортогональную
систему, принимающих значения только 1 и −1 на всей области определения.
В принципе функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но
чаще их определяют как дискретные последовательности из 2n элементов. Группа из 2n
функций Уолша образует матрицу Адамара.
Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их
помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких
стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.
Система функций Уолша является ортонормированным базисом и как следствие
позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.
Обозначение
Пусть функция Уолша определена на интервале [0, T]; за пределами этого
интервала функция периодически повторяется. Введём безразмерное время
.
Тогда функция Уолша под номером k обозначается как wal(k,θ). Нумерация функций
зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу, в этом
случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены
упорядочения по Пэли (pal(p,θ)) и по Адамару (had(h,θ)).
Относительно момента θ = 0 функции Уолша можно разделить на чётные и
нечётные. Они обозначаются как
и
соответственно. Эти функции
аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями
выражается следующим образом:
Свойства
Ортогональность
Скалярное произведение двух разных функций Уолша равно нулю:
Пример. Допустим, что n = 1, k = 3 (см. выше). Тогда,
Мультипликативность
Произведение двух функций Уолша даёт функцию Уолша.
где
— сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.
Пример. Допустим, что n = 1, k = 3. Тогда,
В результате умножения получим:
Порядок выполнения работы
1. Задать сигнал, согласно варианту
1.
5.
6.
2.
3.
7.
4.
8.
9.
12.
13.
10.
11.
2.Задать первые 16 функций Уолша — от 0-го до 15-го порядка.
Так, например, для функции четвёртого порядка на промежутке от 0 до 1 формула будет
иметь вид:
1
3
5
7
Wal4    1 if 0    
  
 1
8
8
8
8
1 if
1
8
 
3
8

5
8
 
7
8
Графики этих функций приведены ниже.
1
Wal0(  )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.6
0.7
0.8
0.9
1

1
Wal1(  )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1

1
Wal1(  )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1

1
Wal2(  )
0
0.13
0.25
0.38
0.5
0.63
0.75
0.88
1
1

1
Wal3(  )
0
0.13
0.25
0.38
0.5
0.63
0.75
0.88
1
0.63
0.75
0.88
1
1

1
Wal4(  )
0
0.13
0.25
0.38
0.5
1

Wal5(  )
0
0.13
0.25
0.38
0.5
0.63
0.75
0.88
1

1
Wal6(  )
0
0.13
0.25
0.38
0.5
0.63
0.75
0.88
1
1

1
Wal7(  )
0
0.13
0.25
0.38
0.5
1

0.63
0.75
0.88
1
1
Wal8(  )
0
0.063 0.13
0.19
0.25
0.31
0.38
0.44
0.5
0.56
0.63
0.69
0.56
0.63 0.69
0.75
0.81
0.88
0.94
1
1

1
Wal9(  )
0
0.063 0.13 0.19 0.25
0.31 0.38
0.44
0.5
0.75 0.81
0.88 0.94
1
1

1
Wal10(  )
0
0.063 0.13
0.19
0.25
0.31 0.38
0.44
0.5
0.56
0.63
0.69
0.75
0.81 0.88
0.94
1
0.56
0.63
0.69
0.75
0.81 0.88
0.94
1
1

1
Wal11(  )
0
0.063 0.13
0.19
0.25
0.31 0.38
0.44
0.5
1

1
Wal12(  )
0
0.063 0.13
0.19 0.25 0.31 0.38
0.44
0.5
0.56
0.63 0.69 0.75 0.81
0.88 0.94
1
1

1
Wal13(  )
0
0.063 0.13
0.19
0.25
0.31 0.38
0.44
0.5
0.56
0.63
0.69
0.75
0.81 0.88
0.94
1
0.56
0.63
0.69
0.75
0.81 0.88
0.94
1
1

1
Wal14(  )
0
0.063 0.13
0.19
0.25
0.31 0.38
0.44
0.5
1

1
Wal15(  )
0
0.063 0.13
0.19 0.25 0.31 0.38
0.44
0.5
1

0.56
0.63 0.69 0.75 0.81
0.88 0.94
1
3. Перемножить заданный сигнал с каждой из 16 функций Уолша.
Построить графики S   Wal0  , S   Wal1  и т.д.
4. Построить «спектральную диаграмму», вида:
0.5
.
Bn
So
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.5
n
где Bn находится по формуле
1

B   S    Wal   n d 
n 
, а Wal   n, в свою очередь, находится как
0
 Wal0   


 Wal1   
 Wal2   
 Wal3   


 Wal4   
 Wal5   


 Wal6   
 Wal7   
Wal    

 Wal8   
 Wal9   

 
 Wal10  
 Wal11   
 Wal12   


 Wal13   
 Wal14   


 Wal15   
5. Аппроксимировать сигнал по формуле
Sa   
15
 Bn  Wal n
n 0
Построить на одном графике исходный и синтезированный сигналы:
12
13
14
15
2
.
S(  )
Sa(  )
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2

6. Определить энергию сигнала и ошибку аппроксимации:
1

2
Ec   S   d 

Ec  0.477
 Bn
Ea  0.46
0
Ea 
2
n
  Ec  Ea
 

Ec
  0.017
  0.035