Лекция № 6. Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша. При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочно-постоянных знакопеременных функций, задаваемых на отрезке 0, 1 либо 1 2, 1 2 и принимающих значения 1 . Для представления реальных, ограниченных во времени сигналов с началом отсчета в нулевой точке, удобно пользоваться функциями Уолша с интервалом определения 0, 1 . Интервал определения функций Уолша можно представить как совокупность N 2m (m 1, 2,...) равных подынтервалов, на каждом из которых функции Уолша принимают значения +1 или -1, а на концах подынтервалов имеют разрывы первого рода, причем в этих точках функции Уолша непрерывны справа. Совместно записанные и пронумерованные функции Уолша образуют базисную систему, в которой можно разложить произвольный сигнал в ряд Уолша. Поскольку нумерация (упорядочение) функций Уолша может быть выполнена различными способами, то возможны три варианта упорядочения: по Пэли, Хармуту и Адамару. Каждая из систем может быть построена и аналитически описана с помощью кусочнопостоянных функций Радемахера r ( k , t ) . Эти функции на интервале 0, 1 заданы следующим образом: r (0,1) 1; r (k , t ) sign(sin 2k t ), k 1, 2,... 1, x 0 Выражение sign ( x) является функцией знака x : sign( x) 0, x 0 (6.1) (6.2) Функции Радемахера, имеющие вид совокупности меандров, представлены на рис. 6.1 (приведены первые три функции): 1 r (0, t ) t -1 0 1 1 r (1, t ) t -1 0 1 1 2 1 r (2, t ) -1 0 t 1 2 1 1 Функции Радемахера ортонормированны на интервале 0, 1 , но не образуют полной системы функций, т.к. являются нечетными функциями относительно середины интервала. В частности, можно подобрать функцию sign(cos 2k t ) , которая будет ортогональна всем функциям Радемахера. Поэтому, дополнив систему Радемахера функциями, образованными посредством всевозможных произведений функций Радемахера, построим полную систему функций Уолша с различными способами упорядочения. Диадно-упорядоченная система функций Уолша (упорядочение по Пэли). Функции Пэли pal (k , t ) с номером k ( k 0, 1, 2, ... ) формируются из произведений таких функций Радемахера, номера которых определяются по номерам позиций двоичного представления числа k , содержащих 1. Если номер функции k имеет следующее двоичное n разрядное представление n 1 k k p 2 p ; k p 0,1 , (6.3) p 0 то функции системы Пэли в общем виде представляются в виде: n 1 pal (k , t ) r ( p 1, t ) kp (6.4) p 0 В случае, если k есть степень числа 2 и, следовательно, его двоичное представление содержит одну 1, функция Пэли совпадает с одной из функций Радемахера. Пример. Построить систем у функций Пэли для случая N 8, t 0,1 : pal (0, t ) r (0, t ); pal (1, t ) pal (001, t ) r (1, t ); pal (2, t ) pal (010, t ) r (2, t ); pal (3, t ) pal (011, t ) r (1, t )r (2, t ); pal (4, t ) pal (100, t ) r (3, t ); pal (5, t ) pal (101, t ) r (1, t )r (3, t ); pal (6, t ) pal (110, t ) r (2, t )r (3, t ); pal (7, t ) pal (111, t ) r (1, t )r (2, t )r (3, t ). Таким образом, первые три функции, упорядоченные по Пэли, совпадают с тремя первыми функциями Радемахера. На рис.6.2 изображены функции с номерами 3, 4, 5, упорядоченные по Пэли: 2 pal (3, t ) 1 t 1 _ pal (4, t ) pal (5, t ) 1 1 1 _ 1 1 1 _ 0 1 t 1 0 t 0 1 Упорядочение по Адамару 1 может быть получено из системы Пэли двоичной инверсией номеров функций Пэли, т.е. путем записи разрядов двоичного представления номера функции в обратном порядке. Например, третья функция в системе Адамара ( n 011 3 ) совпадает с шестой функцией в системе Пэли ( k 110 6 ). Систему упорядочения по Хармуту называют системой, функции которой упорядочены по частоте следования или по числу переходов через нулевой уровень (числу смены знаков) на интервале 0,1 . Запишем функции системы Хармута в форме: n 1 wal (k , t ) sign(cos k p 2 p t ) (6.5) p 0 Анализ (6.5) показывает, что система Хармута представляет собой систему, в которой чередуются четные и нечетные функции относительно середины временного интервала. То есть: wal (2, t ) pal (3, t ); wal (3, t ) pal (2, t ); wal (4, t ) pal (6, t ) и т.д. Свойство четной и нечетной симметрии уподобляет систему Хармута тригонометрической системе функций cos 2 mt , sin 2 mt . Поэтому спектр сигнала в базисе функций Хармута удобнее сопоставлять со спектром в базисе Фурье из-за аналогии в упорядочении функций. Поскольку все рассмотренные системы используют одни и те же функции Уолша, но в различной последовательности, они равноправны для представления сигналов. Перечислим основные свойства непрерывных функций Уолша wal (k , t ) . 1. Ортогональность функций на интервале 0, 1 : 1 1, k l . k l wal (k , t )wal (l , t ) 0, 0 (6.6) 2. Модуль функций Уолша равен 1, т.к. функции принимают только значения 1 : wal (k , t ) 1 . (6.7) 3 3. Среднее значение функций Уолша для всех k 0 равно нулю в силу ортогональности с функцией wal (0, t ) : 1 wal (k , t )dt 0; k 0. (6.8) 0 4. Функции Уолша являются ортонормированными в силу (6.6): 1 wal (k , t ) 2 dt 1 при любом k . (6.9) 0 5. Мультипликативность: произведение двух функций Уолша всегда дает новую функцию Уолша из этой же системы: wal (k , t ) wal (l , t ) wal (k l , t ), (6.10) где означает поразрядное суммирование двоичных представлений чисел k и l. Разложение непрерывных сигналов по функциям Уолша. Функции Уолша используют для разложения сигналов с интегрируемым квадратом на интервале определения 0, 1 : 1 x t dt . 2 (6.11) 0 Ряд Уолша записывается в виде: x(t ) Ck wal (k , t ). (6.12) k 0 Коэффициенты разложения (спектр Уолша) определяются по формуле: 1 Ck x (t ) wal (k , t )dt. (6.13) 0 В силу полноты и ортонормированности системы функций Уолша и свойства (6.11) справедливо равенство Парсеваля: 1 Ck2 x(t ) dt. 2 k 0 (6.14) 0 Реальные сигналы в большинстве случаев имеют интервал определения 0, T . Для разложения таких сигналов по функциям Уолша необходимо выполнить операцию приведения интервалов определения базисных функций и сигналов. Обычно вводят безразмерный аргумент t T . Кроме того, на практике ряд Уолша ограничивают первыми N членами, исходя из точности представления сигналов: N 1 x(t ) Ck wal (k , ). (6.15) k 0 4