Методы и средства исследований Основной образовательной
advertisement
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Амурский государственный университет»
Кафедра
Конструирования и технологии одежды
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
Методы и средства исследований
Основной образовательной программы по специальности
260902.65 «Конструирование швейных изделий»
специализация «Конструирование изделий из ткани»
Благовещенск 2012
1
2
2
3
1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
1.1 Цели и задачи освоения дисциплины
Целью дисциплины является изучение современных методов и средств исследования технологических процессов швейной промышленности.
Задача данной дисциплины состоит в том, чтобы научить студентов:
- применению математико-статистических методов для получения математических
моделей и анализа технологических процессов;
- использованию современных средств для исследования технологических процессов текстильной и легкой промышленности.
Курс "Методы и средства исследований" построен по принципу изложения методов обработки данных предварительного эксперимента, методов получения однофакторных и многофакторных регрессионных и корреляционных моделей и методов их анализа.
Затем описываются экспериментально-статистические методы оптимизации технологических процессов. Раскрываются способы исследования основных технологических процессов швейной промышленности, а также приводятся характеристики для оценки интенсивности и эффективности этих процессов. Излагаются методы теоретических и экспериментальных исследований, указываются средства, которые используются для экспериментального исследования технологических процессов и получаемых продуктов.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина "Методы и средства исследований" относится к дисциплинам федерального компонента цикла общих математических и естественнонаучных дисциплин.
Данная дисциплина базируется на знании студентами общепрофессиональных, специальных, математических и естественнонаучных дисциплин: «Математика», «Физика», «Информатика», «Материаловедение в производстве изделий легкой промышленности»,
«Технология швейных изделий», «Конструирование одежды». Знания, полученные в рамках изучения данной дисциплины, в дальнейшем углубляются и закрепляются в других
дисциплинах по технологии и конструированию швейных изделий, а также используются
при выполнении курсовых и дипломной работы по специальности.
1.3 Требования к результатам освоения дисциплины
По завершению изучения данной дисциплины студент должен:
знать:
- методы исследований, проектирования и проведения экспериментальных работ;
- аналитические и численные методы для анализа математических моделей;
- специальную научно-техническую и патентную литературу по тематике исследований и разработок;
владеть:
- методами и средствами теоретического и экспериментального исследования технологических процессов и получаемых швейных изделий;
- методами определения оптимальных и рациональных технологических режимов
работы оборудования.
1.4 Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 110 часов.
3
4
№
п/п
1
1
2
3
4
5
6
7
8
Раздел дисциплины
2
Цели и задачи курса. Научно-исследовательская
работа и подготовка к ее
проведению. Этапы НИР
Теоретические исследования. Моделирование в научном и техническом творчестве
Основные положения научного эксперимента
Математическое описание
технологических процессов
Предварительный
эксперимент
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов
(* – тема по выбору)
и трудоемкость (в часах)
лекции лаб.раб
3
4
практ.
5
сам.раб.
6
Формы текущего
контроля успеваемости
7
выполнение
курс. раб.
2
4
2
4
выполнение
курс. раб.
6
защита лаб. раб.
2
6
выполнение
курс. раб.
защита лаб. раб.,
выполнение
курс. раб.
защита лаб. раб.,
выполнение
курс. раб.
2
2
2
4
2
2
4
Активный
эксперимент.
Методы определения регрессионной однофакторной
модели.
Определение статистических регрессионных многофакторных
моделей
(РМФМ) по данным эксперимента с факторным планированием
Пассивный эксперимент
6
2
2
10
6
4
4
10
выполнение
курс. раб.
4
4
4
10
выполнение
курс. раб.
Всего: 110 часов
28
14
14
54
1.5 Содержание разделов и тем дисциплины
1.5.1 Лекции (28 час.)
1. Цели и задачи курса. Научно-исследовательская работа и подготовка к ее проведению. Этапы НИР (2 часа)
Задачи и организация научно-исследовательских работ. Задача курса. Научная работа и технический прогресс. Виды научно-исследовательских работ в текстильной и легкой промышленности. Особенности поисковых исследовательских работ, их значение.
Лабораторные и производственные эксперименты. Отчет об исследовательской работе.
Дневники исследовательской работы. Обобщение результатов обработки экспериментальных данных. Содержание отчета по исследовательской работе и сущность его разделов.
2. Теоретические исследования. Моделирование в научном и техническом творчестве (2 часа)
Задачи и методы теоретического исследования. Структура решения задачи. Стадии
теоретических исследований.
4
5
3. Основные положения научного эксперимента (2 часа)
Классификация, типы и задачи эксперимента. Средства и методы измерения. Применение измерительной техники для исследования технологических процессов. Сущность
активного и пассивного эксперимента.
4. Математическое описание технологических процессов (2 часа).
Математическая модель. Виды и способы получения математической модели. Регрессионные и корреляционные модели, статистические и динамические модели, их сущность. Применение числовых и функциональных характеристик случайных величин для
анализа технологических процессов. Точечное и интервальное оценивание параметров.
5. Предварительный эксперимент (4 часа)
Подготовка и проведение предварительного эксперимента. Задачи первичной обработки результата. Методы исключения резко выделяющихся величин (среднего, дисперсии, коэффициента вариации). Планирование объема выборки. Применение основных
статистических критериев для сравнения числовых характеристик продукта или технологического процесса.
6. Активный эксперимент. Методы определения регрессионной однофакторной
модели (6 часов)
Виды активного эксперимента с классическим и факторным планированием. Выбор вида эксперимента. Планирование и обработка активного однофакторного эксперимента: составление матрицы планирования и рандомизации повторных опытов; выбор
значений основных уровней факторов, интервалов варьирования их и числа уровней; составление рабочей матрицы эксперимента.
Однофакторная полиномиальная регрессионная модель. Условия ее определения.
Матрица планирования с натуральными и кодированными значениями уровней факторов.
Анализ данных эксперимента. Исключение резко выделяющихся величин. Определение
коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов. Проверка значимости коэффициентов регрессии и адекватности регрессионной модели. Определение доверительных
интервалов выходного параметра.
7. Определение статистических регрессионных многофакторных моделей (РМФМ)
по данным эксперимента с факторным планированием (6 часов)
Планирование эксперимента для получения линейных многофакторных моделей.
Построение матрицы планирования. Определение нелинейных полиномиальных многофакторных моделей второго порядка. Область применения этих экспериментов. Определение коэффициентов регрессии по данным эксперимента и их значимость. Оценка адекватности РМФМ второго порядка. Анализ математических моделей с использованием
аналитических и численных методов.
8. Пассивный эксперимент (4 часа)
Подготовка и проведение пассивного эксперимента его особенности. Понятие о коэффициенте корреляции. Корреляционная таблица.
1.5.2 Лабораторные работы (14 часов)
1. Определение статистических характеристик. Построение таблиц частот, полигонов частот и гистограмм частот – 4часа
2. Экспериментальные исследования в швейной промышленности и построение
математических моделей процессов по данным активного эксперимента – 6 часов
3. Экспериментальные исследования в швейной промышленности и построение
математических моделей процессов по данным пассивного эксперимента – 6 часов.
1.5.3 Практические занятия (14 часов)
1. Статистические совокупности и их признаки. Методы отбора выборок – 2 часа
2. Статистические характеристики в швейной промышленности. Способ сумм и
произведений для приближенного вычисления статистических характеристик – 2 часа
5
6
3. Расчет линейной однофакторной регрессионной модели – 2 часа
4. Расчет квадратичной полиномиальной однофакторной регрессионной модели
второго порядка – 2 часа
5. Планирование эксперимента для получения линейных многофакторных моделей
– 2 часа.
6. Определение статистических корреляционных однофакторных математических
моделей по данным пассивного эксперимента – 4 часа
1.6 Самостоятельная работа
В самостоятельную работу студентов входит:
1. Подготовка и защита лабораторных работ, обработка результатов проведенных
исследований.
2. Знакомство с научной, технической литературой и периодическими изданиями
по исследованию технологических процессов в текстильной и легкой промышленности.
3. Расчет и планирование экспериментов по исследованию параметров технологического процесса или характеристик вырабатываемого продукта.
4. Выполнение и защита курсовой работы.
В ходе выполнения курсовой работы студенты практически используют теоретические знания, полученные в результате прослушивания лекций, выполнения лабораторных
работ и практических занятий.
Задача курсовой работы – научить студентов математико-статистическим методам
для исследования различных технологических процессов. В ходе выполнения курсовой
работы студенты обрабатывают данные эксперимента и получают однофакторные и многофакторные регрессионные и корреляционные модели с помощью различных методов,
проверяют значимость коэффициентов и адекватность полученных моделей. И подтверждают свои расчеты, получая данные модели с помощью электронной таблицы Excel на
компьютере.
Примерная тематика курсовых работ:
1. Получение и исследование математических моделей технологического процесса
проектирования и изготовления швейных изделий по данным эксперимента.
2. Получение и исследование математических моделей технологических характеристик швейных изделий, тканей или полуфабрикатов (пакетов одежды и пр.) по данным
эксперимента.
Структура курсовой работы
Введение (указываются цели и задачи курсовой работы)
1. Расчет сводных выборочных характеристик способом
сумм (произведений)
2. Расчет линейной однофакторной регрессионной модели
2.1. Исключение резко выделяющихся данных
2.2. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайных величин выходного
параметра
2.3. Проверка гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы
2.4. Определение средней дисперсии выходного параметра в опытах матрицы
2.5. Определение подходящего вида регрессионной модели
2.6. Определение коэффициентов регрессии
2.7. Определение адекватности полученного уравнения
2.8. Определение значимости коэффициентов регрессии и их доверительных интервалов
2.9. Определение доверительных интервалов средних значений выходного параметра
при фиксированном значении фактора
2.10. Определение доверительных интервалов для индивидуальных значений выходного параметра при каждом уровне фактора
6
7
1.11. Расчет линейной однофакторной регрессионной модели с помощью электронной таблицы Excel
3. Определение корреляционной однофакторной математической модели по данным пассивного эксперимента
3.1 Составление корреляционной таблицы
3.2 Кодирование случайных величин
3.3 Определение средних значений кодированных случайных величин
3.4 Определение средних значений натуральных случайных величин
3.5 Определение дисперсии и среднего квадратического отклонения кодированных
случайных величин
3.6 Определение дисперсии и среднего квадратического отклонения натуральных
случайных величин
3.7 Определение коэффициента корреляции и коэффициента детерминации
3.8 Определение значимости коэффициента корреляции
3.9 Определение дисперсионного и корреляционного отношения
3.10 Определение значимости корреляционного отношения
3.11 Проверка гипотезы о линейной связи между Y и X
3.12 Определение коэффициентов в корреляционных уравнениях
3.13 Определение значимости коэффициентов в корреляционных уравнениях
3.14 Определение доверительных интервалов коэффициентов искомых уравнений
3.15 Определение условных средних выходных параметров для каждого фактора
3.16 Определение дисперсии расчетного значения выходного параметра для фиксированного значения фактора
3.17 Определение доверительных интервалов средних значений выходного параметра
при фиксированном значении фактора
3.18. Определение доверительных интервалов для индивидуальных значений выходного параметра при каждом уровне фактора
3.19 Определение корреляционной однофакторной математической модели с помощью электронной таблицы Excel
Заключение (делаются выводы по работе)
Приложения
№
п/п
1
1
2
№ раздела
(темы) дисциплины
2
3, 5, 6
3-8
3
1-8
4
1-8
Форма (вид) самостоятельной работы
Трудоёмкость
(* – тема по выбору)
в часах
3
4
Подготовка и защита лабораторных работ
4
Обработка результатов проведенных ис10
следований
Изучение научной, технической литера10
туры и периодических изданий по теме
исследования
Выполнение и защита курсовой работы
30
1.7 Образовательные технологии
Для успешной реализации курса "Методы и средства исследований" наряду с объяснительно-иллюстративной формой обучения, используемой для передачи большого массива информации на лекциях (темы 1-8), используются репродуктивные (темы 4-5), проблемные (темы
1-3), частично-поисковые или эвристические (тема 4-8), исследовательские (темы 3-6) методы
обучения.
Использование индивидуальных, коллективных и групповых форм обучения развивает культуру мышления, логику, аргументацию, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, творческому мышлению.
7
8
Индивидуальные методы обучения применяются: на лабораторных работах с выполнением индивидуальных заданий (алгоритмизированных, творческих, поисковых) на
практических занятиях при специальном обучении поисковым процедурам, при выполнении и защите курсовых работ.
Коллективные формы работы используются на лекциях в виде диалога и полилога
(темы 1-8), лабораторных работах (темы 3-6) с применением методов коллективного
взаимообучения.
Групповые формы обучения применяются: на практических занятиях с использованием
методов обучения в команде, элементов ролевых игр, разбора конкретных ситуаций.
1.8 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины
Промежуточный контроль знаний студентов осуществляется при выполнении и
защите лабораторных работ, а так же во время контрольных точек при выполнении заданий курсовой работы.
В качестве заключительного контроля знаний студентов в 6 семестре служит зачет
и защита курсовой работы.
Вопросы к зачету
1. Этапы научно-исследовательской работы.
2. Задачи и организация научно-исследовательских работ.
3. Виды научно-исследовательских работ в текстильной и легкой промышленности.
4. Особенности поисковых исследовательских работ, их значение.
5. Теоретические исследования.
6. Моделирование в научном и техническом творчестве
7. Задачи и методы теоретического исследования.
8. Структура решения задачи. Стадии теоретических исследований.
9. Основные положения научного эксперимента
10. Классификация, типы и задачи эксперимента.
11. Средства и методы измерения. Применение измерительной техники для исследования технологических процессов.
12. Сущность активного и пассивного эксперимента.
13. Математическая модель. Виды и способы получения математической модели.
14. Регрессионные и корреляционные модели, статистические и динамические модели, их сущность.
15. Применение числовых и функциональных характеристик случайных величин
для анализа технологических процессов.
16. Точечное и интервальное оценивание параметров.
17. Подготовка и проведение предварительного эксперимента. Задачи первичной
обработки результата.
18. Методы исключения резко выделяющихся величин (среднего, дисперсии, коэффициента вариации).
19. Планирование объема выборки.
20. Применение основных статистических критериев для сравнения числовых характеристик продукта или технологического процесса.
21. Виды активного эксперимента с классическим и факторным планированием.
Выбор вида эксперимента.
22. Однофакторная полиномиальная регрессионная модель.
23. Планирование эксперимента для получения линейных многофакторных моделей. Построение матрицы планирования.
24. Определение нелинейных полиномиальных многофакторных моделей второго
порядка. Область применения этих экспериментов.
25. Подготовка и проведение пассивного эксперимента его особенности.
8
9
26. Понятие о коэффициенте корреляции. Корреляционная таблица.
Нормы оценки знаний при защите курсовой работы предполагают учет индивидуальных особенностей студентов, дифференцированный подход к обучению, проверки знаний умений.
В устных ответах студентов при защите курсовой работы учитываются: глубина
знаний, полнота знаний и владение необходимыми умениями (в объеме полной программы); осознанность и самостоятельность применения знаний и способов учебной деятельности, логичность изложения материала, включая обобщения, выводы (в соответствии с
заданным вопросом), соблюдение норм литературной речи. Оценка знаний при защите
курсовой работы производится по четырех балльной системе.
Оценка "пять" – материал усвоен в полном объеме; изложен логично; основные
умения сформулированы и устойчивы; выводы и обобщения точны.
Оценка "четыре" – в усвоении материала незначительные пробелы, изложение недостаточно систематизированное; отдельные умения недостаточно устойчивы; в выводах
и обобщениях допускаются некоторые неточности.
Оценка "три" – в усвоении материала имеются пробелы: материал излагается несистематизированно; отдельные умения недостаточно сформулированы; выводы и обобщения аргументированы слабо; в них допускаются ошибки.
Оценка "два" – основное содержание материала не усвоено, выводов и обобщений
нет.
1.9 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература
1. Абакумова, И.В. Методы и средства исследования технологических процессов:
Учебное пособие: рек. ДВ РУМЦ /И.В.Абакумова.- Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2010.114с.
2. Кожухар, В.М.
Основы научных исследований [Текст] : учеб. пособие / В. М.
Кожухар. - М. : Дашков и К, 2010. - 216 с.
б) дополнительная литература.
1. Севостьянов А.Г.Оптимизация механико-технологических процессов текстильной промышленности: учебник для вузов/, А.Г.Севостьянов, П.А Севостьянов.- М.: Легпромбытиздат, 1991.-256c.
2. Севостьянов А.Г. Методы и средства исследования механико-технологических
процессов текстильной промышленности: Учебник для вузов./ А.Г.Севостьянов - М: Легкая индустрия, 1980.- 392 с.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерное приложение: Учебное пособие для вузов. Рек. МО РФ/ Е.С. Вентцель. - М.: Высшая школа, 2000.
4. Тюрин Ю.Н. Статистический анализ данных на компьютере. / Ю.Н.Тюрин, А.А.
Макаров - М.: ИНФРА, 1998.
5. Рыжиков Ю.И. Решение научно-технических задач на персональном компьютере: Для студентов и инженеров./ Ю.И.Рыжиков -СПб.: КОРОНА принт, 2000.
6. Васильев О.В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях: Учебное пособие./
О.В.Васильев, А.Аргучинцев. - М.: Физматлит, 1999.
7. Абакумова И.В. Выборочные статистические совокупности в текстильной и легкой промышленности. Учебно-методическое пособие. Амурский гос.ун-т, Благовещенск,
2001.
8. Абакумова И.В. Обработка данных средствами Excel. Учебно-методическое пособие./ И.В.Абакумова, Т.А.Тибенко, Т.Н. Сухова - Амурский гос.ун-т, Благовещенск,
2006.
9
10
9. Периодические издания РФ – журналы: «Ателье», «Текстильная промышленность», «Швейная промышленность», «Interneshnl Tekstile», «Известия вузов. Технология
легкой промышленности», «Известия вузов. Технология текстильной промышленности».
№
1
1
2
3
4
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
Наименование ресурса
Краткая характеристика
2
3
http://www.iqlib.ru
Интернет-библиотека образовательных изданий, в
которой собраны электронные учебники, справочные
и учебные пособия. Удобный поиск по ключевым
словам, отдельным темам и отраслям знания
Консультант +
Справочно-правовая
система.
Содержит
законодательную
базу,
нормативно-правовое
обеспечение, статьи.
Электронная библиотечная ЭБС по тематике охватывает всю область
система «Университетская гуманитарных знаний и предназначена для
использования в процессе обучения в высшей
библиотека- online»
www.biblioclub.ru
школе, как студентами и преподавателями, так и
специалистами-гуманитариями.
www.sovremenniy.doco.ru.
Современный словарь
1.10 Материально-техническое обеспечение дисциплины
В научно-производственных лабораториях университета, закрепленных за кафедрой
КиТО, имеются: швейные машины как бытового, так и производственного назначения, устройства и механизмы машин, образцы трикотажных полотен и тканей, нити различного
сырьевого состава и другие технические приспособления, позволяющие выполнять лабораторные работы и практические занятия в соответствии разработанной тематикой. Для проведения лабораторных работ и выполнения курсовой работы по данной дисциплине необходим компьютерный класс, оснащенный компьютерами с современным программным
обеспечением (MS Office Excel), для обработки и анализа результатов исследования.
2 КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ПРОГРАММНОГО МАТЕРИАЛА
Тема 1. Цели и задачи курса. Научно-исследовательская работа и подготовка к ее
проведению. Этапы НИР - 4 часа
Цель: дать понятие научно-исследовательской работы, последовательности ее проведения и основных этапов
План:
1.Понятие научных исследований.
2.Методы научных исследований.
3.Этапы научных исследовательских работ.
Ключевые вопросы:
Цель научных исследований – всестороннее изучение объекта, явления или его
структуры, связи, отношение на основе разработанных в науке принципов и методов познания, а также для внедрения в производство полученных результатов.
Любое научное исследование изучает объект и предмет.
Объект – это система (любая): управление швейным производством технологического пошива, или система человек – одежда и т.д.
Предмет – это элемент этой системы, свойство или качество объекта: новые виды
материалов, новые виды одежды, оборудования и т.д.
Все НИР делятся:
1) теоретические,
10
11
2) экспериментальные,
3) теоретико – экспериментальные.
В теоретических работах на основе аналитических исследований с использованием известных законов природы, устанавливаются закономерности и прогнозируется оптимальные условия осуществления действующего или вновь создаваемого процесса.
В экспериментальных работах все задачи решаются экспериментальным путем, т.е.
проводятся лабораторные или производственные исследования и на основе полученных
результатов создаются определенные теории.
Теоретико – экспериментальные работы включают в себя часть теоретических и
экспериментальных исследований, они способствуют более глубокому решению поставленных задач.
По решаемым задачам НИР делится:
1)Теорико – экспериментальные работы, которые раскрывают закономерности
технологических процессов и определяют оптимальный режим работы машин и механизмов с целью повышения эффективности производства, совершенствования конструкций
машин и автоматизации производства (внедрение САПР одежды).
2)Экспериментальные работы – по исследованию вновь разработанных видов материалов и новых видов одежды, в особенности производства специальной одежды с целью определения надежности, долговечности и удобства носки, а также работы по испытанию новых текстильных машин.
3)Поисковые исследовательские работы – направлены на разработку новых технологических процессов на основе более эффективного использования известных видов и
других ресурсов.
4)Поисковые работы, направленные на создание новых текстильных материалов и
нового ассортимента нитей, пряжи, ткани, трикотажа и других изделий, а также работы по
рациональному использованию натуральных и химических волокон, пряжи и нитей.
5)Исследовательские работы, связанные с изучением факторов, определяющих
качество и эксплуатационные свойства изделий, а также работы по улучшению методов
испытания материалов и разработке новых методов и приборов с целью создания новых
стандартов или технических нормативов.
6)Работы, направленные на разработку новых методов исследования технических
процессов и средств для измерения параметров, характеризующих процесс.
Метод научных исследований – способ теоретического исследования или практическое осуществление чего–либо.
Методика – совокупность методов исследования для практического применения
чего-либо.
Существует 4 уровня методов научного исследования:
1) эмпирический,
2) экспериментально – теоретический,
3) теоретический,
4) мето – теоретический.
Методы эмпирического уровня:
· наблюдение;
· сравнение;
· счет;
· измерения;
· анкетный опрос;
· собеседование;
· тестирование.
Методы экспериментально – теоретического уровня:
· эксперимент;
· анализ и синтез;
11
12
· индукция и дедукция;
· моделирование.
Методы этого уровня сводятся к логическому обоснованию собранных факторов и
выработке понятий, суждений и умозаключений (выводов). На теоретическом уровне решения задачи происходит согласование теоретических разработок с полученным экспериментальным материалом.
Методы мето – теоретические:
· диалектический;
· метод системного анализа.
Системный анализ получил широкое применение в различных сферы научной деятельности; в основе его лежит понятие системы. С помощью метода системного анализа
система разрабатывается на составные части, исследуется отдельно каждая из них и устанавливается взаимосвязь и влияние каждой части друг на друга, а затем на основе полученных решений выбирается наилучший вариант.
Любая НИР состоит из ряда этапов.
1 этап работы – выбор объекта НИ, обоснование цели и задач исследования, формирование темы, общее знакомство с проблемой, краткий обзор литературы, в нем описывается уже достигнутый уровень исследования и ранее полученные результаты, проводится патентный поиск. Литературный обзор позволяет наметить методы исследования.
2 этап работы – подготовительный этап: составляется технико - экономическое
обоснование темы исследования, составление проблемы НИР, предварительное знакомство с объектом исследования, определение круга вопросов, подлежащих изучению.
3 этап работы – изучение физической сущности исследуемого явления или процесса, разработка математической модели, анализ предварительно полученных результатов, выявление взаимосвязи факторов, влияющих на процесс, и выделение наиболее значимых из них.
4 этап работы – организация и проведение экспериментальных исследований.
Перед организацией экспериментальных исследований выбирается или разрабатывается методика и программа эксперимента.
Эффективность этого этапа зависит от правильности выбранных средств измерений.
После разработок методик исследования составляется рабочий план, в котором
указывается объем экспериментальных работ, методы, техника, трудоемкость и сроки
проведения экспериментов.
После завершения теоретических и экспериментальных исследований проводится
общий анализ полученных результатов, осуществляется сопоставление гипотез с результатами эксперимента. В случае их расхождения уточняется теоретическая модель, либо
проводятся дополнительные эксперименты, затем формируются выводы и составляется
научно – технический отчет.
5 этап работы – на этом этапе производится внедрение результатов исследования
в производство и производится расчет экономической эффективности в целом от исследования:
RЭ = ЭП/ЗН,
где RЭ – критерий экономической эффективности;
ЭП – предполагаемая экономическая эффективность от внедрения работы;
ЗН – затраты на научные исследования.
Чем больше критерий экономической эффективности, тем эффективнее тема.
Литература:
а) основная литература
1. Абакумова, И.В. Методы и средства исследования технологических процессов:
Учебное пособие: рек. ДВ РУМЦ /И.В.Абакумова.- Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2010.114с.
12
13
2. Кожухар, В.М.
Основы научных исследований [Текст] : учеб. пособие / В. М.
Кожухар. - М. : Дашков и К, 2010. - 216 с.
б) дополнительная литература.
1. Севостьянов А.Г.Оптимизация механико-технологических процессов текстильной промышленности: учебник для вузов/, А.Г.Севостьянов, П.А Севостьянов.- М.: Легпромбытиздат, 1991.-256c.
2. Севостьянов А.Г. Методы и средства исследования механико-технологических
процессов текстильной промышленности: Учебник для вузов./ А.Г.Севостьянов - М: Легкая индустрия, 1980.- 392 с.
Выводы по теме:
Выбор темы исследования является очень важной задачей и связано либо с научной проблемой, либо с направлением работы института.
При выборе темы научных исследований в начале формируется сама проблема и
определяется в общих чертах ожидаемый результат, затем разрабатывается структура и
выделяются основные вопросы темы, уточняется их актуальность.
Актуальность – важность проблемы, требующая скорейшего разрешения.
После этого уточняется научная новизна и практическая значимость работы.
Научная новизна – определяется вносимым в науку вкладом, ее наличие означает,
что настоящая постановка вопроса никем не разрабатывалась до сих пор.
Практическая значимость работы предусматривает ее важность для отрасли или
конкретного предприятия.
Тема 2. Математическое описание технологических процессов – 4 часа.
Цель:
2. 1.Математическое описание технологических процессов.
Технологические процессы и объекты текстильной и легкой промышленности могут быть отнесены к категории сложных, которые характеризуются большим числом
взаимосвязанных факторов. Научные исследования технологических процессов текстильной промышленности проводят с целью:
1)раскрытие сущности и закономерности процесса;
2)определение оптимального режима работы объекта для обеспечения заданного
качества выпускной продукции и высокой производительности;
3)определение статистических и динамических характеристик объекта и других.
Результаты обследования могут быть представлены в виде таблиц, график и уравнений, т.е. математическое описание технологического процесса.
Сущность математического описания объекта (системы) или процесса заключается в получении математической модели или соотношения, связывающего характеристики
входящего в объект материала (объекта или процесса) и выходящего продукта:
Y = F{X},
где Y – совокупность выходных параметров процесса, которые определяют
свойства выходящего продукта. Часто этот параметр называют критерием оптимизации,
параметром оптимизации, целевой функции отклика или выходным параметром;
Х – совокупность выходных параметров (факторов), определяющих характеристики процесса (объекта) и свойства входящего материала (сырья, продукта). Часто входные факторы называют аргументами, входными параметрами или внешними воздействиями на систему.
F{X} – символ, называемый оператором, которых характеризует математическую операцию преобразования входных параметров Х в выходные Y, т.е. математическая
модель объекта или системы.
13
14
Математическую модель объекта (системы, процесса) удобно представлять в виде
блок – схемы, где прямоугольник соответствует объекту или системе, стрелки х1, …, хi –
обозначают входные параметры (факторы) или воздействия на систему, а стрелки у1, …,
уi – выходные параметры. На схеме внутри прямоугольника записывают оператор или динамическую характеристику объекта.
Наличие математической модели процесса или объекта и алгоритма управления
процессом обеспечивает создание системы автоматического регулирования процессом и
управление агрегатами и поточными линиями.
Зная математическую модель процесса или объекта, можно спрогнозировать свой-
ства входного продукта, оценить степень влияния входных факторов с целью разработки
схемы контроля за процессом, а также осуществить оптимизацию процесса.
Отсутствие математической моделей и недостаточное значение динамических
свойств объектов приводит к интуитивному управлению процессом, что снижает производительность машин и качество выпускного продукта.
Математическая модель считается адекватной объекту, если с достаточной точностью отражает его поведение, т.е. изучение одного или нескольких выходных параметров
при варьировании (изменении) входных параметров в заранее заданном диапазоне.
2.2.Классификация математических моделей.
1)по числу аргументов, от которых зависят параметры переноса или оператор системы:
если входные параметры процесса Х или оператор F( ) не зависят от аргументов, то
математическая модель называется статистической. Этот вид модели обычно описывается алгебраическим уравнением:
Y = f (x1 … xn)
если входные параметры процесса или оператор зависит от аргументов, то такая
модель называется динамической. Эти модели описываются дифференциальным уравнением.
2)по природе исследуемого процесса или объекта. По этому признаку модели делятся на вероятностные и детерминированные.
В вероятностной модели учитывается случайная природа входных параметров или
оператора. Вероятностные модели могут быть нескольких видов:
а) если входной параметр Y процесса представляет случайную величину, а факторы (или входные параметры) являются не случайными (жесткими), то математическая модель называется регрессивной.
Случайные значения выходного параметра могут быть обусловлены, например,
воздействием части неучтенных факторов. Эта модель позволяет предполагать, что колебленость выходного параметра содержит в себе две части: одна, неслучайная, является
функцией факторов; другая – случайная – не связана с факторами. Например, формулы
для расчета натяжения нити на различных машинах, полученные при обработке экспериментальных данных, представляют регрессионные модели.
б) если выходной параметр процесса и факторы представляют случайные величины
с определенным законом распределения, то взаимосвязь между ними или математическая
модель процесса называется корреляционной. Формулы для расчета прочности пряжи,
14
15
ткани, трикотажа, полученные при обработке экспериментальных данных, представляют
корреляционные модели, т.к. входные и выходные параметры – случайные величины.
В детерминированной модели не учитывается случайная природа входных параметров процесса и оператора, а выходные параметры однозначно определяются факторами и операторам процесса. В этом случае не требуется математико – статистические методы анализа процесса.
3)по свойству линейности модели.
Математическая модель называется линейной, если линеен оператор системы. Оператор F{} называется линейным, если выполняется равенство:
F{X + DX} = F{X} + F{DX},
где DХ – произвольное приращение входных параметров (факторов).
Если это равенство не выполняется, то оператор и соответственно модель называется нелинейными.
2.3.Методы получения математической модели.
Методы получения математического описания процессов и объектов подразделяется на теоретические и экспериментальные.
1)Теоретический метод заключается в аналитическом исследовании физической
сущности процессов с использованием общих законов физики.
Применение чисто теоретического метода получения математической модели
представляет большую трудность, вследствие сложных явлений, происходящих в процессах, и недостаточной степени изученности их. Однако при проектировании новых процессов и в поисковых исследованиях работах теоретический метод имеет важное значение.
2)Экспериментальный метод математического описания ТП или объекта заключается в обработке экспериментальных данных, полученных непосредственно на действующих объектах производства или на лабораторной установке. Часто экспериментальный
метод используется с целью получения информации для разработки алгоритма управления производством.
Наиболее эффективным решением задачи получения модели сложного процесса
является сочетание теоретического и экспериментального методов.
При этом на долю теоретического метода приходится анализ в основном структурных свойств объекта и получение общего вида уравнений, а на долю экспериментального
– количественный анализ (определение численных значений коэффициентов уравнений
для изучаемого объекта и проверка теоретических выводов).
Экспериментальный метод играет решающую роль в получении математической
модели сложного реального процесса или объекта.
Эффективным средством экспериментального изучения объектов является статистические методы, основанные на проведении экспериментов и последующей статистической обработке их результатов с целью получения объективной информации о свойствах
объекта.
Экспериментальные методы получения математической модели могут быть пассивными и активными.
При пассивном эксперименте – информацию о параметрах процесса или объекта
получают при нормальной эксплуатации объекта без внесения каких – либо искусственных возмущений.
Однако пассивные экспериментальные методы исследования не всегда обеспечивают требуемую точность определения математической модели и адекватность ее в широкой области изучения входных параметров. Время регистрации изменения параметров
процесса в пассивном эксперименте обычно ограничено, особенно при отсутствии датчиков и приборов для непрерывного изучения. В этом случае время отбора пробы должно
быть малым, чтобы не нарушался нормальный процесс, однако это снижает точность измерений.
15
16
В данной ситуации целесообразно воспользоваться активными методами эксперимента для определения или уточнения числовых значений коэффициентов, входящих в
математическую модель, т.е. целесообразно сочетать пассивный эксперимент с активным.
При активном эксперименте информацию о параметрах процесса получают путем
искусственного внесения возмущений, т.е. изменяют входные параметры в соответствии с
заранее спланированной программой (матрицей планирования).
Активные методы в настоящее время разработаны значительно лучше, чем пассивные, и являются более универсальными, поскольку предполагают некоторую свободу в
выборе диапазона изменения уравнений факторов и получение более надежных результатов.
Недостатком обоих методов является то, что полученные с их помощью модели
применимы лишь в диапазоне варьирования параметров, в пределах которого были собраны экспериментальные данные.
Выбор метода получения математической модели определяется характеристиками
исследуемого объекта, задачами исследования и условиями или предпосылками применяемого того или иного метода.
Выполнимость предпосылок для применения данного метода получения математической модели проверяют на этапе предварительного эксперимента.
Тема 3. Предварительный эксперимент – 2 часа.
3.1.Основные сведения.
В ходе предварительного эксперимента исследователь должен проверить свойства
сырья и материалов и установить их соответствие задачам исследования. Он должен проверить состояние оборудования, стендов, приборов, уточнить методику проведения эксперимента. При этом исследователь получает необходимый навык и тренировку, проверяет
работоспособность приборов и других измерительных устройств. При использовании новых измерительных устройств проводится тарировка их и определяется точность показаний.
После проведения серии опытов для каждой изучаемой закономерности необходимо обрабатывать результаты опытов для того, чтобы в случае необходимости можно было
исправить и дополнить методику исследования или план (матрицу) эксперимента. Своевременная обработка результатов позволяет судить об их достоверности и в некоторых
случаях устранить повышенное рассеивание экспериментальных данных.
Можно привести заповеди экспериментатора, которые были выработаны в лабораториях академика А.Ф. Иоффе, и будут полезны любому исследователю: См. стр. 24 –
учебника /1/.
При исследовании свойств продуктов в отдельных пробах и паковках, характеристик партий готовых изделий получают совокупность случайных величин. Для исследования их используется аппарат теории случайных величин.
Первичная обработка экспериментальных данных включает:
исключение резко выделяющихся экспериментальных данных;
статистическую проверку случайности и независимости результатов измерений
(испытаний);
определение числовых характеристик случайных величин: средней дисперсии, или
среднего квадратичного отклонения, коэффициента вариации и вида распределения случайных величин, а также определение точности и надежности этих характеристик.
3.2.Методы исключения резко выделяющихся экспериментальных данных.
Совокупность полученных экспериментальных данных часто имеет значения, резко
выделяющихся относительно других, что приводит к постановке вопроса об исключении
их из дальнейшей обработки.
Например, у1, у2, …, уi, уj, …, уn.
16
17
уi = ymin, yj = ymax – столь отличающиеся от всех остальных, что появляются подозрения о существующем изменении условий опыта в момент его наблюдения, неправильной регистрации параметра.
Независимо от причин получения резко выделяющихся данных они могут существенно исказить числовые характеристики: среднее и дисперсию.
Рассмотрим методы выявления и исключения этих данных:
1) первый и самый надежный метод – это анализ условий, при которых эти данные
были получены. Если эти условия существенно отличаются от стандартных или установленных по плану эксперимента, то данные необходимо исключить из дальнейшей обработки, независимо от их величины;
2) статистический метод:
расчет среднего значения и дисперсии для полученных значений случайных величин:
(1)
При малом объеме выбирается m ≤ 30:
(2)
расчет значения критерия Смирнова – Грабса
для резко выделяющегося максимального значения
Уi max:
(3)
для резко выделяющегося минимального значения Уi
min:
(4)
Затем VRmax или VRmin сравнивают с табличным значением критерия VT, который определяется по приложению1
/1/ в зависимости от доверительной вероятности РД (обычно РД = 0,95) и числа измерений
m – VT [РД; m].
Если VRmax > VT [РД; m] или VRmin < VT [РД; m] – расчетное значение критерия больше, чем табличное, то резко выделяющиеся Уimax или Уimin исключают из дальнейшей
статистической обработки данных.
Если полученная выборка значений параметра имеет более одного резко выделяющегося значения У, то критерий V может быть применен поочередно к каждому из них в
отдельности.
После исключения резко выделяющегося значений приступают к определению числовых характеристик случайных величин.
3.3.Определение числовых характеристик совокупности случайных величин.
К основным числовым характеристикам случайных величин относится: среднее
значение, дисперсия, коэффициент вариации.
Среднее значение – определяет центр распределения случайных величин, около которого группируется большая их часть.
Абсолютной характеристикой рассеяния случайной величины У около центра распределения является дисперсия S2{У} или среднее квадратическое отклонение:
Коэффициент вариации является относительной характеристикой рассеяния случайной величины:
Если эта величина выражается в %, то она называется квадратической неровнотой.
17
18
3.4.Ошибки и доверительные интервалы оценок числовых характеристик.
В результате измерений параметров технологического процесса или свойства продукта возникают погрешности.
Абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения i называют разность между результатом измерения Уi и действительным значением измеряемой величины:
i = У i – У 0 .
Относительной погрешностью (ошибкой) измерения называют отношение абсолютной ошибки к результату измерения:
Погрешности появляются вследствие изменения параметров объекта во времени;
ошибок оператора, связанных с уровнем его квалификации и психофизическим состояни-
ем; инструментальных ошибок, вызываемых погрешностью прибора; методических погрешностей, связанных с методикой отбора образцов и т.д.
Все погрешности по характеру их проявления делятся на 2 независимые группы:
1)систематические погрешности;
2)случайные погрешности.
Если при измерениях, проводимых одним и тем же методом с помощью одних и
тех же приборов, погрешности остаются постоянными или изменяются по определенному
закону, то такие погрешности называются систематическими.
Систематические погрешности изучают в связи с решение вопроса о правильности
метода измерения и точности работы прибора или датчика. Если характер систематической ошибки известен, то результаты измерения можно корректировать введением поправок и компенсаций.
При случайных изменениях погрешности они называются случайными.
Случайные погрешности обусловлены действием всех неучтенных факторов, и
распределение их подчиняется нормальному закону.
Случайные ошибки при обработке данных эксперимента оцениваются средним
квадратичным отклонением S{У}, которое называют среднеквадратической ошибкой измеряемого параметра.
Оценки числовых характеристик всегда приблизительны, т.к. их получают по измерениям одной выборки. Чем больше объем выборки, тем более достоверными являются
выборочные параметры.
Важно знать точность и надежность оценки каждого определяемого параметра.
Представление о точности и надежности оценок параметров распределения дают доверительные интервалы.
Двусторонним доверительным интервалом называют интервал от Т– д до Т+д,
который показывает неизвестный параметр распределения с заданной доверительной вероятностью РД.
Доверительной вероятностью РД или надежностью, соответствующей данному
доверительному интервалу, называется вероятность того, что истинное значение многих
числовых характеристик лежит в этом интервале.
Величина равная =1– РД, называется уровнем значимости, и иногда выражается в
%. Она характеризует вероятность событий, условно принимаемых за невероятные.
Величину д – называют доверительной ошибкой, она характеризует случайную
ошибку параметра и связана со среднеквадратической ошибкой S2{У}. Чем меньше значение д, тем больше точность оценки Т (параметра распределения).
Обычно при статистической обработке экспериментальных данных в текстильной
промышленности принимают значение доверительной вероятности РД = 0,95.
В практике исследовании параметров в текстильной промышленности при надежности РД = 0,95:
18
19
точность измерения считается высокой если {T} 2%
средней – {T}=2-5%
низкой – {T}=5-10%
очень низкой – {T} >10%.
Тема 4. Активный эксперимент. Методы определения регрессионной однофакторной модели – 6 часов.
Планирование эксперимента – это постановка опытов по некоторой заранее составленной схеме, обладающей какими-то оптимальными свойствами. В задачу планирования
эксперимента входит: выбор необходимых для эксперимента опытов, т.е. построение матрицы планирования, и выбор методов математической обработки результатов эксперимента.
Матрица планирования эксперимента представляет собой таблицу, в которой указаны значения уровней факторов в различных сериях опытов. Число опытов определяется
задачами исследования и методами планирования эксперимента.
При определении регрессионной модели для объекта с одним выходным параметром Y проводят активный эксперимент в широком диапазоне изменения фактора Х. Обычно применяют число уровней фактора, т.е. число опытов в матрице планирования эксперимента, N=5…6. Для повышения точности определения выходного параметра Y каждый
опыт матрицы повторяется несколько раз (m2).
Рассмотрим операции, которые совершает исследователь при обработки данных
однофакторного эксперимента, на примере, в котором изучалось влияние Х – натяжения
нити (сН) на Y – силу трения нити в глазке ремизки (сН) ткацкого станка. В таблице 4.1
приведены значения выходного параметра Yuv в v–м опыте каждого u–го опыта матрицы,
когда число опытов N=6 и число повторов каждого опыта m=5.
Таблица 4.1
Хu
10
20
30
40
50
60
u
1
2
3
4
5
6
Матрица планирования эксперимента
v
Yuv
1
2
3
4
2,1
2,5
2,2
1,9
4,2
4,8
4,4
3,7
6,2
6,6
6,3
6,1
8
8,2
8,4
7,7
10,5
9,8
10,7
10,2
12,7
12,6
12,7
12,2
5
1,6
4,3
5,7
8,5
9,5
12,1
4.1 Исключение резко выделяющихся данных
Рассмотрим эту операцию при анализе первого опыта матрицы u=1, когда X=10, Yu=2,5,
Yuvmin=1,6. Рассчитанные по формулам (10) и (20) значения среднего арифметичеvmax
ского Y u и дисперсии S2u{Y} приведены в таблице 4.2.
Таблица 4.2
Расчет основных статистических характеристик
v
Хu
u
Yuv
m
S2u{Y}
WR
1
2
3
4
5
Yuv
Yu
v=1
10
20
1
2
2,1
4,2
2,5
4,8
2,2
4,4
1,9
3,7
19
1,6
4,3
10,3
21,4
2,06
4,28
0,0904
0,1256
4,97
4,84
20
30
40
50
60
3
4
5
6
6,2
8
10,5
12,7
6,6
8,2
9,8
12,6
6,3
8,4
10,7
12,7
6,1
7,7
10,2
12,2
5,7
8,5
9,5
12,1
30,9
40,8
50,7
62,3
6,18
8,16
10,14
12,46
0,0856
0,0824
0,1944
0,0664
4,88
4,79
4,80
4,06
Для исключения резко выделяющихся данных необходимо определить расчетные
значения критерия Смирнова-Грабса по формулам:
при подозрении резко выделяющегося максимального значения Yi max:
V R max
(Yi max Y )
S Y
m
m 1
(37)
при подозрении резко выделяющегося минимального значения Yi min:
V R min
(Y Yi min )
m
S Y
m 1
(38)
где Y – среднее значение выходного параметра для u–го опыта матрицы;
Su{Y} – среднее квадратическое отклонение для u–го опыта матрицы.
Используя формулы (37) и (38) определяем для первого опыта матрицы:
2,5 2,06
5
VR max 1
1,636
0,3
5 1
VR min 1
2,03 1,6
5
1,711
0,3
5 1
По приложению 1 [1] находим, что VT[pD=0,95; m=5]=1,869. Так как VRmax<VT и
VRmin<VT, то рассмотренные значения Yuvmax=2,5 и Yuvmin=1,6 не являются резко выделяющимися и остаются для дальнейшей статистической обработки.
Аналогично рассчитываются расчетные значения критерия Смирнова-Грабса VRmax
и VRmin для других опытов матрицы, затем они сравниваются с табличным значением критерия VT. Если расчетные значения критерия Смирнова-Грабса превышают табличное, то
соответствующие значения Yuvmax или Yuvmin исключаются из дальнейшего расчета, а среднее значение и дисперсия пересчитываются для соответствующего опыта матрицы.
4.2 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайных величин Yuv
Проверка этой гипотезы для каждого u–го опыта матрицы состоит в определении
расчетного значения критерия WR по формуле:
WR
Q2
S 2 Y
,
(39)
u
где
Q q m (Ym Y1 ) ... qm k 1 (Ym k 1 Yk ),
(40)
Ym Ym 1 ... Y2 Y1
m
- при четном числе m;
2
m-1
k
- при нечетном числе m.
2
Значения qm-i+1 для i=1…k и m =3…50 приведены в приложении 10 [1].
Для 1-го опыта матрицы при u=1 и Х=10 располагаем значения Yuv по возрастанию: 2,5 2,22,1 1,9 1,6.
k
20
21
5 1
2
2
Используя приложение 10, находим q1=0,6646 и q2=0,2413 и вычисляем значение
Q1 и WR1:
k
Q1 0,6646(2,5 1,6) 0,2413(2,2 1,9) 0,671
WR1
0,6712
4,97
0,0904
Расчетное значение WR1 сравнивают с табличным WТ, которое определяется по
приложению 11 [1]. WТ определяется для заданной доверительной вероятности pD и известного числа повторных опытов m. Для рассматриваемого примера WT[pD=0,95;
m=5]=0,762.
Так как расчетное значение WR1 превышает табличное значение WT для выбранной
доверительной вероятности, то гипотеза о нормальном распределении случайных величин
не отвергается.
В табл. 4.2 приведены значения WR и для других опытов матрицы. Эти значения
также превышают табличное, и поэтому первое условие о возможности применения регрессионного анализа удовлетворяется.
4.3 Проверка гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы
Так как число повторных опытов (m=5) одинаково для всех опытов матрицы, то
для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кочрена, расчетное значение которого равно:
S2
GR
u maxY
(41)
N
S u2 Y
u 1
GR
0,1944
0,301
0,6448
Расчетное значение GR сравнивается с табличным значением GТ, которое определяют по приложению 7 [1] в зависимости от числа опытов в матрице N и числа степеней
свободы дисперсии f{S2u}=m-1 для заданной доверительной вероятности pD. В рассматриваемом примере GТ[pD=0,95; N=6; f=5-1=4]=0,4803. Так как GR < GТ, то гипотеза об однородности дисперсий, т.е. равноточности и воспроизводимости опытов, не отвергается.
Если GR > GТ, то дисперсии в N рядах измерений неоднородны. После отбрасыва2
ния S u max{Y} описанную выше процедуру следует повторить для N-1 рядов измерений.
Если число повторных опытов неодинаково при различных уровнях факторов, то
для проверки однородности дисперсий используется критерий Бартлера, расчетное значение которого равно:
21
22
BR
2,303
f lg S 2 Y
(1)
C
где
N
f lg S 2 Y ,
u
u
u 1
(42)
1 N 1 1
C 1
3(N-1 )
f
f
u 1 u
(43)
S (21) - средняя дисперсия выходного параметра в опытах матрицы.
1 N
f S 2 Y
f u 1 u u
S (21) Y
(44)
Число степеней свободы этой дисперсии равно :
N
f fu
(45)
u 1
f u mu 1
Если fu>2, следовательно, величина BR распределена как 2-критерий с числом степеней свободы N-1, который определяют по приложению 2 [1]. Если ВR < ВТ= 2[pD; f=N1], то это свидетельствует об отсутствии значимого различия между дисперсиями S2u{Y},
т.е. об их однородности.
4.4 Определение средней дисперсии выходного параметра в опытах матрицы
Если в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково , то средняя дисперсия определяется по формуле:
Число степеней свободы этой дисперсии равно:
Средняя дисперсия характеризует средний разброс значений выходного параметра
S (21)
1
N
N
S u2 Y
(46)
u 1
f S (21) N (m 1)
(47)
относительно его средних значений при каждом уровне факторов, т.е. ошибку опытов в
эксперименте. В рассматриваемом примере эта дисперсия, или, как ее называют дисперсия воспроизводимости, равна:
S(21)
0,6448
0,107
6
f S 2 6(5 1) 24.
(1)
4.5 Определение подходящего вида регрессионной модели
Для определения подходящего вида регрессионной модели используют следующую информацию:
1) графическую взаимосвязь =f(X) между средними значениями выходного параметра для каждого уровня факторов и значением фактора по данным эксперимента. При сопоставлении этого графика с графиками известных функций устанавливают вид уравнения;
2) характер изменения разделенных и неразделенных разностей первого порядка,
определяемых по данным эксперимента.
22
23
Если
в
результате эксперимента получены следующие пары значений
X Y 1 ,..., X Y и ,...X Y N , то разделенными разностями первого порядка называются
u
1
N
величины:
R1
Y 2 Y1
Yu 1 Yu
YN YN 1
, ..., Ru
, ..., R( N 1)
X X
X
Xu
X X
N
N 1
2
1
u 1
(48)
и неразделенными разностями первого порядка величины:
Неразделенные разности первого порядка используют, когда интервал варьирова-
Н 1 Y 2 Y1, ... , Нu Y u 1 Y u , ..., Н ( N 1) Y N Y N 1
(49)
ния факторов постоянный, т.е. IX=X2-X1=Xu+1-Xu=XN-XN-1=const.
В рассматриваемом примере графическая взаимосвязь Y =f(X) между средними
значениями выходного параметра Y для каждого уровня факторов и значением фактора X
приведена на рис.4.1. При сопоставлении этого графика с графиками известных функций
можно сделать вывод, что для описания экспериментальных данных наиболее подходит
линейная модель.
В рассматриваемом примере интервал варьирования факторов постоянный и равен
IX=20-10=30-20=40-30=50-40=60-50=10. Поэтому определяем неразделенные разности
первого порядка по формуле (49):
Н 1 4,28 2,06 2,22
Н 2 6,18 4,28 1,90
Н 3 8,16 6,18 1,98
Н 4 10,14 8,16 1,98
Н 5 12,46 10,14 2,32
Ввиду
ка
Н max
малого
Н min
различия
неразделенных
разностей
первого
поряд 2,32 1,9 0,42 , не превышающего удвоенной величины средне-
квадратической ошибки эксперимента 2S(1){Y}=0,656, можно считать что они тождественны и поэтому для описания экспериментальных данных можно принять уравнение
прямой линии:
14
12
10
8
6
4
2
0
Y
X
0
10
20
30
40
50
60
Рис.7 Зависимость силы трения нити в глазке
ремизки от ее натяжения
23
70
YR a0 a1 X
(50)
или
YR d 0 d1(X - X),
(51)
где
X
1
N
24
N
Xu
(52)
u 1
Использование уравнения (51) позволяет упростить статистические расчеты при
обработке экспериментальных данных, так как коэффициенты регрессии d0 и d1 не коррелированны.
4.6 Определение коэффициентов регрессии
Если дисперсии выходного параметра для каждого уровня фактора однородны, то
для определения коэффициентов регрессии в уравнении (51) можно применять метод
N
(Yu YRu )2 min ,
наименьших квадратов. Используя условие
устанавливают сле-
u 1
дующие нормальные уравнения:
0
1
u
u 1
u 1
N
N
N
2
d0 ( X X ) d ( X X ) ( X X )Y u
u
1
u
u
u 1
u 1
u 1
N
d N d
(X X )
N
Y u
(53)
N
( X u X ) 0 , то решая эти уравнения, получаем :
Так как
u 1
Определим по формулам (54) и (55) коэффициенты регрессии для рассматриваемого примера. Расчеты необходимых сумм сводим в табл.4.3.
d0
1
N
N
Y u Y
(54)
u 1
N
( X u X )Y u
d1 u 1
(55)
N
(Xu X )
2
u 1
Таблица 4.3
Расчет сумм для определения коэффициентов регрессии
u
Xu
Xu X
1
2
3
4
5
6
N
10
20
30
40
50
60
-25
-15
-5
5
15
25
u 1
210
0
( X u X )2
Yu
( X u X )Y u
625
225
25
25
225
625
2,06
4,28
6,18
8,16
10,14
12,46
-51,5
-64,2
-30,9
40,8
152,1
311,5
1750
43,28
357,8
24
25
По формуле (52) находим:
X
210
35.
6
По формулам (54) и (55) определяем:
43,28
7,21
6
357,8
d1
0,2.
1750
d0 Y
Поэтому искомое уравнение имеет вид:
YR 7,21 0,2( X 35)
или
YR 0,21 0,2 X .
График этой функции изображен на рис.4.2.
4.7 Определение адекватности полученного уравнения
Для определения адекватности полученного уравнения используют критерий Фишера, расчетное значение которого определяют по формуле:
S 2 {Y }
FR (22)
(56)
S (1){Y }
ãäå
S (21){Y} - ñðåäíÿÿ äèñïåðñèÿ, èëè äèñïåðñèÿ âîñïðîèçâî
äèìîñòè,
îïðåäåëÿåì àÿ ïî ôîðìóëå (46);
õàðàêòåðèçóþùàÿ ðàññåèâàíè å ñðåäíèõ
S (22){Y } - äèñïåðñèÿ,
ýêñïåðèìåí òàëüíûõ çíà÷åíèé Y u îòíîñèòåëü íî ïðÿìîé ëèíèè,
îïðåäåëÿåì îé óðàâíåíèåì ðåãðåññèè YR.
Дисперсия S2(2){Y} характеризует точность аппроксимации
зависимости
Y f (X ) прямой линией и определяется по формуле:
S(22){Y }
m N
(Y u YRu )2
N 2
u 1
(57)
Число степеней свободы этой дисперсии равно:
f {S (22) } N 2
(58)
Расчетное значение FR сравнивают с табличным значением критерия Фишера FT,
которое определяют по приложению 4 [1] в зависимости от доверительной вероятности
pD=0,95 и числа степеней свободы дисперсий f {S(21)} и f {S(22)}. Если FR<FT , то гипотеза
об адекватности линейного уравнения опытным данным не отвергается.
Расчет суммы в формуле (57) сведен в табл.4.4.
Используя данные табл.4.4 находим:
5
0,0982 0,123
62
f {S(22)} 6 2 4
2
S(2)
{Y }
Подставляя найденные значения дисперсий в формулу (56), получаем:
F
R
0,123
1,14.
0,107
25
26
Таблица 4.4
Расчет суммы для определения дисперсии S(22){Y }
u
Xu
d1 X u
YRu
Yu
Y u YRu
(Y u YRu ) 2
1
2
3
4
5
6
N
10
20
30
40
50
60
2
4
6
8
10
12
2,21
4,21
6,21
8,21
10,21
12,21
2,06
4,28
6,18
8,16
10,14
12,46
-0,15
0,07
-0,03
-0,05
-0,07
0,25
0,0225
0,0049
0,0009
0,0025
0,0049
0,0625
u 1
210
43,28
0,02
Если FR<1, то определяем обратное значение отношения дисперсий:
FR
0,0982
S (21) {Y }
S (22) {Y }
Сравниваем полученное значение критерия Фишера FR с табличным значением,
которое равно FT[pD=0,95; f {S(21)} 24; f {S(22)} 4] 2,78 . В рассматриваемом примере FR=1,14<FT=2,78, поэтому гипотеза об адекватности линейной модели не отвергается.
4.8 Определение значимости коэффициентов регрессии и их доверительных интервалов
Для оценки значимости коэффициентов регрессии используется критерий Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле:
где S{di} – оценка среднего квадратического отклонения коэффициента регрессии
t R{di}
di
S di
(59)
di.
Для оценки дисперсий коэффициентов регрессии d0 и d1 в уравнении (51) используют формулы:
В формулы (60) и (61) входит дисперсия S2{Y}, которая является сводной оценкой
дисперсии случайной величины Yu выходного параметра при условии линейной связи (51).
S 2{d0}
S 2{d1}
S 2{Y } S 2{Y }
mN
N
2
S {Y }
N
m ( X u X )
2
u 1
(60)
S 2{Y }
N
(Xu X )
u 1
(61)
2
Эта дисперсия определяется по формуле:
Число степеней этой дисперсии определяется :
Подставив в формулу (62) ранее определенные значения S(21){Y} и S(22){Y } , най-
(m 1) NS(21){Y } ( N 2)S(22){Y }
S {Y }
mN 2
f {S 2} mN 2
2
26
(62)
(63)
27
дем сводную дисперсию случайной величины. Для рассматриваемого примера:
(5 1) 6 0,107 (6 2) 0,123
0,11
5 6 2
f {S 2} 5 6 2 28.
S 2{Y }
По формулам (60) и (61) определяем дисперсии коэффициентов регрессии:
0,11
0,09,
56
0,11
S 2{d1}
0,000013,
5 1750
S 2{d 0}
S{d 0} 0,3
S{d1} 0,0035.
Расчетные значения критерия Стьюдента определяем по формуле (59):
t R{d0}
7,21
23,85
0,3
0,2
t R{d1}
56,5.
0,0035
По приложению 3 [1] находим табличное значение критерия Стьюдента при условии, что доверительная вероятность pD=0,95 и число степеней свободы, определяемое по
формуле (63) f{S2}=28. Следовательно, tT[pD=0,95;f=28]=2,048.
Так как tR{d0}=23,85>>tT=2,048 и tR{d1}=56,5>> tT=2,048, полученные коэффициенты значимы и, следовательно, связь между Y и X значима.
Доверительные абсолютные ошибки коэффициентов регрессии вычисляем по формуле:
di S di tT [ pD ; f {S 2}]
(64)
Для данного примера эти ошибки равны:
{d0} 0,3 2,048 0,61
{d1} 0,0035 2,048 0,007
Доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов регрессии d0, d1
в линейном уравнении (51) определяются неравенством:
di {di } di di {di}
(65)
Для рассматриваемого примера доверительные интервалы коэффициентов регрессии при pD=0,95следующие:
7,21 0,61 d0 7,21 0,61
6,6 d 0 7,82
0,2 0,007 d1 0,2 0,007
0,193 d1 0,0207
4.9 Определение доверительных интервалов средних значений выходного параметра при фиксированном значении фактора
Чтобы определить степень отклонения расчетных значений выходного параметра
YRu от истинного его значения при каждом уровне фактора Xu, определяем доверительные
ошибки {YRu} расчетного значения выходного параметра и доверительные интервалы
среднего значения выходного параметра.
Доверительные ошибки расчетных значений выходного параметра для каждого
уровня фактора рассчитываются по формуле:
27
28
{YRu } S m{YRu } tT [ pd ; f {S 2 }],
(66)
где S m{YRu } - оценка среднего квадратического отклонения расчетного
значения выходного параметра YRu для каждого значения X u , определяемая
по формуле :
S m{YRu } S 2 {d 0 } S 2{d1} ( X u X ) 2
(67)
Для данного примера:
S m{YRu } 0,09 0,000013 ( X u X )2 .
Расчеты значений Sm{YRu}для каждого u–го уровня фактора сведены в табл.4.5.
Таблица 4.5
Расчет доверительных интервалов средних значений
выходного параметра
u
Xu
( X u X )2
S2m{YRu}
Sm{YRu}
{YRu}
YRu
YmR(u)(X)
YmR(0)(X)
1
2
3
4
5
6
10
20
30
40
50
60
625
225
25
25
225
625
0,099
0,094
0,092
0,092
0,094
0,099
0,315
0,307
0,303
0,303
0,307
0,315
0,65
0,63
0,62
0,62
0,63
0,65
2,21
4,21
6,21
8,21
10,21
12,21
1,56
3,58
5,59
7,59
9,58
11,56
2,86
4,84
6,83
8,83
10,84
12,86
В рассматриваемом примере табличное значение критерия Стьюдента (см. пункт
4.8) равно tT[pD=0,95;f=28]=2,048. Подставляя это значение в формулу (66), получаем:
m{YRu } 2,048 Sm{YRu }.
В таблице 4.5 приведены полученные значения S2m{YRu}, Sm{YRu} и {YRu} для каждого уровня фактора. Зная доверительные ошибки расчетных значений, можно найти доверительные интервалы для истинных средних значений выходного параметра, используя
следующее неравенство:
(u )
( 0)
YmR
( X ) YRu {YRu } YRu YRu {YRu } YmR
(X )
(68)
На основе приведенных в табл.4.5 значений границ доверительного интервала
строим график функций YmR(u)(X) и YmR(0)(X) (см. рис.4.2). Графики этих двух функций образуют своеобразный “коридор”. Любое сечение его прямой, параллельной вертикальной
оси, соответствует доверительному интервалу, в котором с заданной вероятностью будет
находиться истинное среднее значение выходного параметра. Легко заметить, что в этот
коридор попадают средние экспериментальные значения Y u . Однако некоторые индивидуальные экспериментальные значения выходного параметра в него не попадают, так как
интервалы построены для средних значений.
4.10 Определение доверительных интервалов для индивидуальных значений выходного параметра при каждом уровне фактора
Границы доверительного интервала для индивидуальных значений выходного параметра Yuv при каждом уровне фактора Xu определяются по формулам:
28
29
(u )
YeR
( X ) YR ( X ) e {YR }
( 0)
YeR
(X )
(69)
YR ( X ) e{YR }
(70)
2
e {YR } S e{YRu } tT [ pD ; f {S }]
(72)
S e {YRu } S m2 {YRu } S 2 {Y }
(73)
2
Используя значения S m{YRu} из табл.4.5 и ранее определенные по формуле (62)
S2{Y}=0,11 и tT[pD=0,95;f=28]=2,048, все расчеты верхней границы и нижней границы доверительного интервала по формулам (69) и (70) сводим в табл.4.6.
Используя данные табл.4.6, строим графики функций YeR(u)(X) и YeR(0)(X), которые
являются доверительными границами зоны индивидуальных значений Yuv выходного параметра (см. рис.4.2). Вероятность попадания точек, соответствующих индивидуальным
значениям выходного параметра, равна 0,95, т.е. из ста измерений выходного параметра
при любом уровне варьирования фактора 95 измерений попадают в эту зону и только 5 не
попадают.
Таблица 4.6
Расчет доверительных интервалов для индивидуальных
значений выходного параметра
u
Xu
S2m{YRu}
S2e{YRu}
Se{YRu}
e{YRu}
YRu
YeR(u)(X)
YeR(0)(X)
1
2
3
4
5
6
10
20
30
40
50
60
0,099
0,094
0,092
0,092
0,094
0,099
0,209
0,204
0,201
0,201
0,204
0,209
0,457
0,452
0,449
0,449
0,452
0,457
0,936
0,925
0,919
0,919
0,925
0,936
2,21
4,21
6,21
8,21
10,21
12,21
1,274
3,285
5,291
7,291
9,285
11,274
3,146
5,135
7,129
9,129
11,135
13,146
Рассматривая индивидуальные значения Yuv (см. табл.4.1) и границы зоны для каждого Xu (табл.4.6) замечаем, что все индивидуальные измерения попали в доверительную
зону, т.е. располагаются между YeR(u)(X) и YeR(0)(X). На этом заканчивается статистическая
обработка данных рассматриваемого однофакторного эксперимента.
14
Y
Y m R (O )
12
Y m R (U )
Y eR
(O )
10
Y eR
8
(U )
6
4
YR
2
X
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Р и с .4 .2 . Л и н е й н а я р е г р е с с и о н н а я о д н о ф а к то р н а я м о д е л ь и е е д о в е р и те л ь н ы е
и нтервалы
29
30
Тема 5. Квадратическая параболическая однофакторная регрессионная модель (модель второго порядка) – 6 часов
При определении параболической модели матрица планирования однофакторного
эксперимента и условия проведения его одинаковы, как и при получении линейной регрессионной модели. Число уровней фактора, или число опытов в матрице планирования,
обычно принимают N=5…12.
Рассмотрим операции, которые совершает исследователь при обработке данных
этого эксперимента, на примере, в котором определялось влияние коэффициента крутки Х
(число кручений на 1 м) на разрывную нагрузку Y (дан) для льняной пряжи 333 текс. В
табл.5.1 приведены значения Хu, Y и дисперсии S2u{Y}, полученные по данным пяти поu
вторных опытов (m=5) при каждом уровне фактора Хu.
Таблица 5.1
Расчет основных статистических характеристик
v
Yuv
_
m
Хu
u
Y
S2u{Y}
WR
1
2
3
4
5
Yuv
u
v=1
60
80
100
120
140
1
2
3
4
5
4,4
6,7
7,2
6,7
6,1
4,6
6,4
6,5
6,5
6,3
4,8
6,6
7,1
6,2
5,5
5,4
6,1
7
6,1
5,7
4,7
6
6,8
6,8
6,1
23,9
31,8
34,6
32,3
29,7
4,78
6,36
6,92
6,46
5,94
0,142
0,093
0,077
0,093
0,108
3,579
3,691
3,754
3,691
3,654
5.1 Исключение резко выделяющихся данных
Данная операции осуществляется аналогично как и для определения линейной однофакторной регрессионной модели. Для этого определяются расчетные значения критерия Смирнова-Грабса по формулам (37-38). Рассмотрим эту операцию при анализе первого опыта матрицы u=1, когда X=60, Yuvmax=5,4, Yuvmin=4,4:
5,4 4,78
5
VR max 1
1,839
0,142 5 1
VR min 1
4,78 4,4
5
1,127
0,142 5 1
По приложению 1 [1] находим, что VT[pD=0,95; m=5]=1,869. Так как VRmax<VT и
VRmin<VT, то рассмотренные значения Yuvmax=5,4 и Yuvmin=4,4 не являются резко выделяющимися и остаются для дальнейшей статистической обработки.
Аналогично рассчитываются расчетные значения критерия Смирнова-Грабса VRmax
и VRmin для других опытов матрицы, затем они сравниваются с табличным значением критерия VT. Если расчетные значения критерия Смирнова-Грабса превышают табличное, то
соответствующие значения Yuvmax или Yuvmin исключаются из дальнейшего расчета, а среднее значение и дисперсия пересчитываются для соответствующего опыта матрицы.
5.2 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайных величин Yuv
Проверка этой гипотезы для каждого u–го опыта матрицы состоит в определении
расчетного значения критерия WR по формулам (39-40).
Для 1-го опыта матрицы при u=1 и Х=60 располагаем значения Yuv по возрастанию: 5,4 4,84,7 4,6 4,4.
30
31
k
m 1 5 1
2
2
2
Используя приложение 10, находим q1=0,6646 и q2=0,2413 и вычисляем значение
Q1 и WR1:
Q1 0,6646(5,4 4,4) 0,2413(4,8 4,6) 0,713
WR1
0,713 2
3,579
0,142
Расчетное значение WR1 сравнивают с табличным WТ, которое определяется по
приложению 11 [1]. WТ определяется для заданной доверительной вероятности pD и известного числа повторных опытов m. Для рассматриваемого примера WT[pD=0,95;
m=5]=0,762.
Так как расчетное значение WR1 превышает табличное значение WT для выбранной
доверительной вероятности, то гипотеза о нормальном распределении случайных величин
не отвергается.
В табл. 5.1 приведены значения WR и для других опытов матрицы. Эти значения
также превышают табличное, и поэтому первое условие о возможности применения регрессионного анализа удовлетворяется.
5.3 Проверка гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы
Так как число повторных опытов (m=5) одинаково для всех опытов матрицы, то
для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кочрена, расчетное значение которого определяется по формуле (41):
Расчетное значение GR сравнивается с табличным значением GТ, которое определяют по приложению 7 [1] в зависимости от числа опытов в матрице N и числа степеней
0,142
GR
0,277
0,513
свободы дисперсии f{S2u}=m-1 для заданной доверительной вероятности pD. В рассматриваемом примере GТ[pD=0,95; N=5; f=5-1=4]=0,5441. Так как GR < GТ, то гипотеза об однородности дисперсий, т.е. равноточности и воспроизводимости опытов, не отвергается.
Если GR > GТ, то дисперсии в N рядах измерений неоднородны. После отбрасыва2
ния S u max{Y} описанную выше процедуру следует повторить для N-1 рядов измерений.
Если число повторных опытов неодинаково при различных уровнях факторов, то
для проверки однородности дисперсий используется критерий Бартлера, расчетное значение которого определяется по формулам (42-45).
5.4 Определение средней дисперсии выходного параметра в опытах матрицы
Если в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково , то средняя дисперсия определяется по формуле (46), а число степеней свободы этой
дисперсии по формуле (47).
Средняя дисперсия характеризует средний разброс значений выходного параметра
относительно его средних значений при каждом уровне факторов, т.е. ошибку опытов в
эксперименте. В рассматриваемом примере эта дисперсия, или, как ее называют дисперсия воспроизводимости, равна:
31
32
S(21)
0,513
0,1026
5
f S 2 5 (5 1) 20.
(1)
5.5 Определение подходящего вида регрессионной модели
Для определения подходящего вида регрессионной модели используют следующую информацию:
1. графическую взаимосвязь Y =f(X) между средними значениями выходного параметра для каждого уровня факторов и значением фактора по данным эксперимента. При
сопоставлении этого графика с графиками известных функций устанавливают вид уравнения;
2. характер изменения разделенных и неразделенных разностей первого порядка,
определяемых по данным эксперимента по формулам (48-49).
Y8
7
6
5
4
3
2
1
0
50
60
70
80
90
100 110 120 130 140 150
X
Рис.5.1 Зависимость разрывной нагрузки от крутки льняной
пряжи
В рассматриваемом примере графическая взаимосвязь Y =f(X) между средними
значениями выходного параметра Y для каждого уровня факторов и значением фактора X
приведена на рис.5.1. При сопоставлении этого графика с графиками известных функций
можно сделать вывод, что для описания экспериментальных данных наиболее подходит
параболическая модель.
В рассматриваемом примере интервал варьирования факторов постоянный и равен
IX=80-60=100-80=120-100=140-120=20. Поэтому определяем неразделенные разности первого порядка по формуле (49):
Н 1 6,36 4,78 1,58
Н 2 6,92 6,36 0,56
Н 3 6,46 6,92 0,46
Н 4 5,94 6,46 0,52
Так
Н max Н min
как
неразделенные
разности
первого
порядка
1,58 0,46 1,12 , превышают удвоенную величину среднеквадрати-
ческой ошибки эксперимента 2S(1){Y}=0,641, поэтому они являются нетождественными, и
экспериментальные данные не могут быть описаны линейным уравнением.
32
33
Таким образом, для описания экспериментальных данных условно можно принять
полином второй степени или квадратичную параболическую однофакторную модель:
5.6 Определение коэффициентов регрессии
Если дисперсии выходного параметра для каждого уровня фактора однородны, то
YR a0 a1 X 1 a11 X 12
(74)
для определения коэффициентов регрессии в уравнении (74) можно применять метод
N
наименьших квадратов. Используя условие
(Yu YRu )2 min ,
устанавливают сле-
u 1
дующие нормальные уравнения:
N
N
N
2
a
N
a
X
a
X
Yu
1 u
11 u
0
u1
u1
u1
N
N
N
N
2
3
a0 Xu a1Xu a11Xu Xu Yu
u1
u1
u1
u1
N
N
N
N
2
3
4
2
a0 Xu a1Xu a11Xu Xu Yu
u1
u1
u1
u1
(75)
где N – общее число опытов в матрице планирования эксперимента.
Величины X u , X u2 и т.д., входящие в нормальные уравнения (75), могут быть
определены по данным эксперимента и для рассматриваемого примера сведены в табл.5.2.
Таблица 5.2
Расчет сумм для определения коэффициентов регрессии
Yu
Xu Y
Xu Y 2
u
Xu
Xu2
Xu3
Xu4
u
u
1
60
3600
216000
12960000
4,78
286,8
17208
2
80
6400
512000
40960000
6,36
508,8
40704
3
100
10000 1000000
100000000
6,92
692
69200
4
120
14400 1728000
207360000
6,46
775,2
93024
5
140
19600 2744000
384160000
5,94
831,6
116424
500
54000
6200000
745440000
30,46
3094,4
336560
Подставляя эти значения в уравнения (75) получаем систему уравнений:
Данную систему уравнений можно решить относительно а0, а1, а11 методом последовательного исключения неизвестных или с помощью матричного метода.
5а0 500а1 54000а11 30,46
500а0 54000а1 6200000а11 3094,4
54000а 6200000а 745440000а 336560
0
1
11
Определение коэффициентов регрессии в уравнении и статистических характеристик параметров уравнения упрощается, если в матрице планирования эксперимента используются кодированные значения факторов и опыты располагаются симметрично относительно основного уровня фактора. Эти условия удовлетворяются в рассматриваемом
примере.
Значение основного уровня фактора определяется по формуле:
Х0 Х
X min X max
2 33
(76)
34
B 5 34 10 2 70
Интервал варьирования фактора рассчитывается:
1
1
Кодированные
уровней
по формуле:
b0 значения
34 30, 46
10фактора
55,7 определяют
6,838
70
70 эти значения равны:
Для рассматриваемого
примера
2,42
b1 60 140 0,242
X max X min
Х 0 10 I 100
(77)
x
2
5
1N 1
b11140
60
55,7X 1 X 010 30,46 0,373
(78)
70x1 20 70
Ix
Ix
5 1
60 100 X 2 X 0
x2 2
x1
Ix
20
80 100
и т.д
x2
1
20
100 100
x3
0
20
120 100
x4
1
20
140 100
x5
2
20
Матрица планирования эксперимента для кодированных значений фактора Х приведена в табл.5.3.
Матрица планирования эксперимента (см. табл.5.3) обладает свойством ортогональности:
N
x x
0 u
0
u 1
Таблица 5.3
Матрица планирования эксперимента для кодированных
значений фактора
Xu
xu
x0
xu2
Yu
xu Y
xu2 Y
u
u
60
-2
1
4,78
4
-9,56
19,12
80
-1
1
6,36
1
-6,36
6,36
100
0
1
6,92
0
0
0
120
1
1
6,46
1
6,46
6,46
140
2
1
5,94
4
11,88
23,76
500
0
5
30,46
10
2,42
55,7
u
1
2
3
4
5
xu4
16
1
0
1
16
34
Поэтому решение системы уравнений (75) исключается, и расчет коэффициентов
регрессии полинома второго порядка
YR b0 b1 x b11 x 2
(79)
ведется
поN следующим
формулам:
N
N
N
b0
1
1
1
xu4
x0 Yu
xu2
xu2 Yu
B u 1
B
B
u 1
u 1
u 1
(80)
Подставляя в эти формулы соответствующие значения сумм из табл.5.3, получаем:
N
x Y
u u
b1
u 1
N
(81)
xu2
u 1
N
b11
B
N
N
xu2Yu
u 1
N
BN
u 1
xu4
N
1
xu2
x0Yu
B u 1
u 1
N 2
xu
u 1
(82)
2
34
(83)
35
Уравнение (79) в кодированных значения фактора х имеет вид:
YR 6,838 0,242 x 0,373x 2
(84)
Переход от коэффициентов bi при кодированных значениях фактора к коэффициентам ai при натуральных значениях фактора для параболического уравнения осуществляется по формулам:
b 2b
a1 1 211 X
(85)
Ix
Ix
a11
b11
I x2
(86)
b1
b
X 112 X 2
(87)
Ix
Ix
Для рассматриваемого примера коэффициенты регрессии при натуральных значениях фактора рассчитываются:
a0 b 0
0,242 2 (0,373)
100 0,199
20
20 2
0,373
а11
0,0009
20 2
0,242
(0,373)
а 0 6,838
100
1002 3,694
2
20
20
а1
Уравнение в натуральных значениях фактора Х имеет вид:
YR 3,694 0,199 X 0,0009 X 2
(88)
5.7 Определение адекватности полученного уравнения
Для определения адекватности полученного уравнения используют критерий Фишера, расчетное значение которого определяют по формуле:
где S2над{Y} – дисперсия, характеризующая неадекватность, которая определяется
2
S над
{Y }
FR 2
S {Y }
(89)
по формуле (90);
S 2{Y } – дисперсия среднего значения выходного параметра, определяемая по
формуле (92).
где Nk – число коэффициентов в уравнении (87);
YRu – значение выходного параметра для u-го опыта, определяемое по формуле
(84).
Y
u
YRu
2
2
S над
N Nk
Число степеней свободы для этой дисперсии определяется:
f S 5 3 2
2
f Sнад
N Nk
(90)
(91)
2
над
35
36
Для определения дисперсии, характеризующей неадекватность, составляем таблицу 5.4.
Таблица 5.4
2
Расчет суммы для определения дисперсии S над
{Y }
u
xu
Yu
YR
Yu -YR
1
2
3
4
5
-2
-1
0
1
2
0
4,78
6,36
6,92
6,46
5,94
30,46
4,862
6,223
6,838
6,707
5,830
30,46
-0,082
0,137
0,082
-0,247
0,11
( Y -YR)2
u
0,0067
0,0188
0,0067
0,061
0,0121
0,1053
Пользуясь данными табл.5.4, находим:
По данным табл.5.1 определяем дисперсию среднего значения выходного параметра:
0,1053
0,0527
53
Расчетное значение критерия Фишера определяем по формуле:
2
S ад
Y
0,0527
2,566
0,0205 N
S u2 Y
2
S
Y
(
1
)
S2 Y
u 1
(92)
m
mN
Табличное значение критерия Фишера находим по приложению 4[1] FT[pD=0,95;
FR
0,1026
0,0205
5
2
f {S(21)} 20; f {S над
} 2] 3,49 . В рассматриваемом примере FR=2,566<FT=3,49, по-
S2 Y
этому гипотеза об адекватности линейной модели не отвергается.
5.8 Определение значимости коэффициентов регрессии и их доверительных интервалов
Для оценки значимости коэффициентов регрессии используется критерий Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле (59).
Для оценки дисперсий коэффициентов регрессии b0, b1 и b11 в уравнении (84) используют формулы:
S 2 {Y } N 4
S {b0 }
xu
B
u 1
S 2 {Y }
S 2 {b1} N
xu2
2
(93)
(94)
u 1
N S 2 {Y }
S {b11}
B
2
(95)
36
0,0205
34 0,00997
70
S{b0} 0,0998
0,0205
S 2{b1}
0,00205
10
S{b1} 0,0453
5 0,0205
S 2{b11}
0,0015
70
S{b11} 0,0383
S 2{b0}
37
Определим дисперсии коэффициентов регрессии для рассматриваемого примера:
Расчетные значения критерия Стьюдента определяем по формуле (59):
6,838
68,49
0,0998
0,242
t R {b1}
5,34
0,0453
0,373
t R {b11}
9,74
0,0383
t R {b0 }
По приложению 3 [1] находим табличное значение критерия Стьюдента при условии, что доверительная вероятность pD=0,95 и число степеней свободы, определяемое по
формуле (47) f{S2(1)}=20. Следовательно, tT[pD=0,95;f=20]=2,086.
Так как tR{bi}>tT, то полученные коэффициенты значимы и, следовательно, связь
между Y и X значима.
Доверительные абсолютные ошибки коэффициентов регрессии вычисляем по формуле (64):
{b0} 0,0998 2,086 0,208
{b1} 0,0453 2,086 0,094
{b11} 0,0383 2,086 0,08
Доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов регрессии b0, b1,
b11 в параболическом уравнении (84) определяются неравенством (65):
6,838 0,208 b0 6,838 0,208
6,63 b0 7,046
0,242 0,094 b1 0,242 0,094
0,148 b1 0,336
0,373 0,08 b11 0,373 0,08
0,453 b11 0,293
5.9 Определение доверительных интервалов средних значений выходного параметра при фиксированном значении фактора
Чтобы определить степень отклонения расчетных значений выходного параметра
YRu от истинного его значения при каждом уровне фактора Xu, определяем доверительные
ошибки {YRu} расчетного значения выходного параметра и доверительные интервалы
среднего значения выходного параметра.
Доверительные ошибки расчетных значений выходного параметра для каждого
уровня фактора рассчитываются по формуле:
37
38
{YRu } S{YRu } tT [ pd ; f {S (21) }],
(96)
где S 2 {YRu } - дисперсия расчетного значения выходного параметра YRu
для каждого значения X u , определяемая по формуле :
N
N
1
2
2 x 2 N x 4 S2 Y
S 2 {YRu } x 4 1
x
(97)
u
u
B u
B
B u 1 u N 2
1
xu
u 1
Для данного примера:
34 1
2
5
S 2{YRu } 10 x 2 x 4 0,0205
70
70 10 70
0,4857 0,1857 x 2 0,0714 x 2 0,0205
Расчеты значений S2{YRu}для каждого u–го уровня фактора сведены в табл.5.5.
Таблица 5.5
Расчет доверительных интервалов средних значений
выходного параметра
u
Xu
S2{YRu}
S{YRu}
YRu
{YRu}
YmR(u)(X)
YmR(0)(X)
1
2
3
4
5
-2
-1
0
1
2
0,0182
0,0076
0,01
0,0076
0,0182
0,1349
0,0872
0,1
0,0872
0,1349
4,862
6,223
6,838
6,707
5,830
0,2814
0,1819
0,2086
0,1819
0,2814
4,581
6,041
6,629
6,525
5,549
5,143
6,405
7,047
6,889
6,111
В рассматриваемом примере табличное значение критерия Стьюдента (см. пункт
5.8) равно tT[pD=0,95;f=20]=2,086. Подставляя это значение в формулу (96), получаем:
m{YRu } 2,086 S m{YRu }.
В таблице 5.5 приведены полученные значения S2{YRu}, S{YRu} и {YRu} для каждого уровня фактора. Зная доверительные ошибки расчетных значений, можно найти доверительные интервалы для истинных средних значений выходного параметра, используя
формулу (68):
(u )
(0 )
YmR
( X ) YRu {YRu} YRu YRu {YRu } YmR
(X )
На основе приведенных в табл.17 значений границ доверительного интервала
строим график функций YR(X), YmR(u)(X) и YmR(0)(X) (см. рис.5.2). Графики этих функций
образуют своеобразный “коридор”. Любое сечение его прямой, параллельной вертикальной оси, соответствует доверительному интервалу, в котором с заданной вероятностью
будет находиться истинное среднее значение выходного параметра. Легко заметить, что в
этот коридор попадают средние экспериментальные значения Y u . Однако некоторые индивидуальные экспериментальные значения выходного параметра в него не попадают, так
как интервалы построены для средних значений.
38
Y
39
8
7
6
5
4
YR
YmR(u)(х)
YmR(0)(х)
3
2
1
0
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Рис.5.2 Параболическая однофакторная регрессионная модель и ее
доверительные интервалы
Тема 6. Пассивный эксперимент 6 часа.
При исследовании технологических процессов и объектов часто оказывается, что
выходной параметр и фактор (входной параметр) является случайными величинами.
Например, в результате измерения фактора Х (массы 500 мм. отрезка пряжи) и выходного параметра У (разрывной нагрузки пряжи) получают 2 последовательности сопряженных случайных чисел.
Х1, Х2, …, Хj, …, Хm
У1, У2, …, Уj, …, Уm.
Данные пары случайных чисел исследователь получает при проведении эксперимента без изменения режима работы технологического объекта, т.е. при проведении пассивного эксперимента.
Каждой паре измерений XjYj соответствует определенная точка в корреляционном
поле точек. В результате деления случайных величин Х на ряд интервалов Iх можно найти
среднее значение для каждого интервала Y x Y j , которое называется условной средней.
39
40
Если соединить точки, соответствующим условным средним Y R получим ломаную
линию, называемую эмпирической линией корреляционной зависимости.
При увеличении числа измерений Y с одновременным уменьшением интервала Ix
эмпирическая линия Y стремится к теоретической YR. Уравнение YR(Х), которое определяет эту теоретическую линию называется корреляционным уравнением.
Если на корреляционном поле нанести сетку, размеры клеток которой соответствуют величине интервалов Ix и Iy и подсчитать число точек, попавших в каждую клетку,
т.е. частоту mji, получим так называемую корреляционную таблицу.
Для оценки степени линейной связи 2-х случайных величин рассчитывают коэффициент корреляции ryx (КК).
Чем меньше разброс точек в корреляционном поле, тем больше теснота связи между случайными величинами Х и Y.
-1 ryx 1
0,3 |ryx| 0,4 – слабая связь,
0,43 |ryx| 0,7 – средняя связь,
0,73 |ryx| 0,9 – сильная связь,
|ryx| 0,9 – очень сильная связь.
При малом числе измерений m < 30 КК определяют по формуле:
m
X
j
X Ó
j
Ó
j 1
r yx
m
1 S X S Ó
При большом числе измерений m > 30 КК определяют по данным корреляционной
таблицы:
q
p
m X
ji
r yx
j
X Ó i Ó
i 1 j 1
m S X S Ó
или
q
p
m
r yx
ji
Ó i X i m Ó X
i 1 j 1
m S X S Ó
Если случайные величины У и Х заменяют на кодированные у и х, то КК определяют:
40
41
q
p
m
r yx
ji
yi xi m y x
i 1 j 1
m S x S y
Оценкой тесноты связи любого вида корреляционной зависимости между случайными величинами является корреляционное отношение (КО) h или дисперсионные отношения (ДО) h2:
Y x
S2
Y
h yx2 2
S Y
X y
S2
X
2
hxy
S 2 X
где
Ó x 1 p
1 p
2
S m xj Ó xj Ó m xj Ó xj2 Ó 2
m j 1
Ó m j 1
2
X 1 q
1 q
2
S 2 x m yj X xj X m yj X xj2 X 2
m i 1
X m i 1
Корреляционные отношения могут быть:
0 hyx 1
0 hxy 1
Cопоставление h2yx и r2yx используют для оценки линейной связи. Если ДО значительно превышает r2yx, взаимосвязь между У и Х можно считать нелинейной.
Рассмотрим операции, которые совершает исследователь при обработки данных
однофакторного пассивного эксперимента, на примере, в котором изучалось влияние Х –
обхвата груди (см) на Y – рост (см) у мужчин некоторого города. В результате эксперимента получено m = 26 парных значений, приведенных в табл.18
Таблица 6.1
Результаты пассивного эксперимента
Х
94
96
99
87
100 101
96
102
96
101
90
98
99
У
171 173 167 161 183 171 169 176 173 173 170 165 175
Х
96
93
96
100 102
93
92
95
95
93
96
100
95
У
171 169 167 175 169 172 165 168 173 172 165 178 164
6.1 Составление корреляционной таблицы
Для построения корреляционной таблицы рассчитывают число интервалов Кy и Кx,
используя эмпирическую формулу:
K y K x 1 3,32 lg m
(98)
K y K x 1 3,32 lg 26 5,68
В рассматриваемом примере принимаем Кy = Кx, =5
Для определения величины интервалов для распределения совокупности случайных величин по ячейкам корреляционной таблицы используют формулы:
В корреляционной таблице (см. табл.6.2) показаны границы интервалов Xj –Xj+1, Yi
X max X min 102 87
3
Kx
5
41
Y Ymin 183 161
I y max
4,4
Ky
5
Ix
42
– Yi+1 и средние значения этих интервалов X j и Y ш .
В соответствии с принятыми интервалами все 26 пар значений распределяют по
ячейкам корреляционной таблицы, отмечая в правом верхнем углу ячейки частоту mji.
6.2 Кодирование случайных величин
С целью упрощения расчетов проводят кодирование исходных случайных величин
Х и Y. Кодированные значения средних интервалов случайных величин определяют по
формулам:
где Х0, Y0 – координаты условного центра таблицы, который чаще всего соответствует ячейке с максимальным значением частоты.
xj
X j X0
Ix
(99)
Y i Y0
Iy
Для рассматриваемого примера ячейка с максимальным значением частоты mji=4,
ее координаты Y0 = 172 и X0 = 94,5.
Для первого интервала, у которого X 1 =88,5 кодированное значение середины интервала определяется:
yi
88,5 94,5
2
3
Для первого интервала, у которого Y 1 =163,2 кодированное значение середины интервала определяется:
x1
163,2 172
2
4,4
Для следующих интервалов кодированные значения равны:
y1
91,5 94,5
167,6 172
1
y2
1
3
4,4
94,5 94,5
172 172
x3
0
y3
0
3
4,4
97,5 94,5
176,4 172
x4
1
y4
1
3
4,4
100,5 94,5
180,8 172
x5
2
y5
2
3
4,4
Рассчитанные значения x y проставлены в соответствующие ячейки табл.6.2.
В левом верхнем углу ячейки с частотой mji – записывают значение mjiyi, а в левом нижнем углу – mjixj.
x2
6.3 Определение средних значений кодированных случайных величин
Определяют общие средние значения кодированных величин:
42
43
x
1 h
mxj x j
m j 1
(100)
1 q
y m yi y i
m i 1
где m xj x j , m yi yi – определяют по следующим формулам в соответствующих ячейках корреляционной таблицы:
43
Таблица 6.2
Корреляционная таблица
-2
1
-2
165,4 – 169,8
167,6
-2
1
-1
-1
0
-4
2
0
-2
2
-2
2
2
1
2
-2
( mjixj)2
myi
-2
100,5
( mjixj)2
-1
97,5
5
-10
20
-10
2
1
0,2
2
6
-6
6
6
-6
36
6
myiyi2
-2
99– 102
myiyi
91,5
96 – 99
yi mjixj
163,2
88,5
yi
93 – 96
Xj
94,5
xj
0
-2
1
mjixj
161,0 – 165,4
Yi
90 – 93
myi
Yi –Yi+1
87 – 90
0
1 0
2
4 0
4
3 0
2
10
0
0
6
0
36
3,6
0
3
169,8 – 174,2
172,0
0
174,2 – 178,6
176,4
1
4
4
4
4
4
4
8
8
64
16
2
8
2
1
1
2
4
2
4
4
4
26
21
49
-10
8
76
15,21
-10
34
21
8
140
29,8
-1
178,6 – 183,0
180,8
2
mxj
mxjxj
mxjxj2
mjiyi
xj mjiyi
( mjiyi)2
( mjiyi)2
mxj
1
-2
4
-2
4
4
4
2
-2
2
-2
2
4
2
7
0
0
-4
0
16
2,29
7
7
7
-6
-6
36
5,14
44
9
18
36
4
8
16
1,78
где p, q – число интервалов для Х и Y.
q
m xj m ji
(101)
i 1
p
m yi m ji
(102)
j 1
q
p
m m yi m xj
i 1
(103)
j 1
Для рассматриваемого примера:
6.4 Определение средних значений натуральных случайных величин
21
x
0,81
X26 I x x X 0
(104)
10
y Y I y y0,38
Y0
(105)
26
Определяют общие средние значения натуральных случайных величин:
Для данного примера:
6.5 Определение дисперсии и среднего квадратического отклонения кодированных
случайных величин
Определяем дисперсии кодированных случайных величин по формулам:
X 3 0,81 94,5 96,93
Y 4,4 (0,38) 172 170,33
2
1 p
S 2 x m xj x 2j m x
m j 1
q
2
1
S 2 y m yi y i2 m y
m i 1
(106)
(107)
1
2
49 26 0,81 1, 23
26
1
2
S 2 y
34 26 0,38 1,16
26
S 2 x
S 2 X I x2 S 2 x
(108)
S Y I S y
(109)
2
2
y
2
S x 1,11
S y 1,08
Среднее квадратическое отклонение кодированных случайных величин:
6.6 Определение дисперсии и среднего квадратического отклонения натуральных
случайных величин
Дисперсия натуральных случайных величин определяется по формулам:
Определяем дисперсии натуральных случайных величин Х и Y:
S 2 X 3 2 1,23 11,07
S 2 Y 4, 4 2 1,16 22, 46
Среднее квадратичное отклонение натуральных случайных величин:
S{X} = 3,33
S{Y} = 4,74
6.7 Определение коэффициента корреляции и коэффициента детерминации
Коэффициент корреляции определяют по формуле:
q
p
m
ryx
ji
yi x j m y x
i 1 j 1
(110)
m S y S x
Коэффициент корреляции для данного примера:
Коэффициент детерминации равен КDr=r2yx=0,26. Этот коэффициент показывает,
что только 26% изменений выходного параметра обусловлено изменениями входного па8 26 0,81 0,38
ryx
0,51
26 1,11 1,08
раметра и 74% – другими факторами и случайными воздействиями.
6.8 Определение значимости коэффициента корреляции
Определяем значимость коэффициента корреляции, используя критерий Стьюдента, расчетное значение которого равно:
Для рассматриваемого примера:
t R ryx
ryx m 2
(111)
1 ryx2
Табличное значение критерия определяем по приложению 3 [1]: tT [рD = 0,95; f = m
– 2 = 24] = 2,064. Так как tR = 2,9 > tT = 2,064, то коэффициент корреляции значим, и гипотеза о наличии корреляционной зависимости Y и Х не отвергается.
t R ryx
0,51 26 2
2,9
1 0,512
6.9 Определение дисперсионного и корреляционного отношения
Определяем дисперсионное и корреляционное отношение по данным табл.6.2:
p
h yx2
1
m
j 1 m xj
q
q
m m yi y i2 m yi y i
i 1
i 1
q
hxy2
2
q
p q
m ji y i m ji y i
i 1
j 1 i 1
2
2
2
p
p q
m ji x j m ji x j
j 1
j 1 i 1
2
p
p
m m xj x 2j m xj x j
j 1
j 1
1
m
i 1 m yi
(112)
2
46
(113)
h
2
yx
h yx
h
2
xy
26 15,21 10 2
0,377
26 34 10 2
0,61
d Y
26 29,8 0 x 212
r S0Y,4
26 49d1x212 yx
S X
0,63
(119)
(120)
h yx
d 0 y примера:
X
(121)
Для рассматриваемого
6.10 Определение значимости
корреляционного
отношения
ryx S X
Определяем значимость
d1x корреляционного отношения, используя критерий
(122) СтьюS Y равно:
дента, расчетное значение которого
Для рассматриваемого примера:
t R h yx
t R h yx
hxy m 2
t R hxy
h yx m 2
(114)
1 h yx2
(115)
1 hxy2
0,61 26 2
3,84
1 0,377
0,63 26 2
4,0
1 0,4
Табличное значение критерия определяем по приложению 3 [1]: tT [рD = = 0,95; f =
m – 2 = 24] = 2,064.
Так как tR > tT, то корреляционные отношения значимы и гипотеза о наличии
корреляционной связи между Х и Y не отвергается.
t R hxy
6.11 Проверка гипотезы о линейной связи между Y и X
Гипотезу о линейной связи между Х и Y проверяют с помощью критерия Фишера,
расчетное значение которого определяется по формуле:
Для рассматриваемого примера:
Табличное значение критерия Фишера определяем по приложению 4 [1]: FT [рD =
FR
h r / p 2
1 h /m p
2
yx
2
yx
2
yx
(116)
(0,377 0,26) /(5 2)
1,3
(1 0,377) /(26 5)
0,95; fчисл = p – 2=5 – 2 = 3; fзнам = m – p =26 – 5 = 21] = 8,66.
Так как FR = 1,3 < FT = 8,66, то гипотеза о линейной взаимосвязи между случайными величинами Y и Х не отвергается.
FR
6.12 Определение коэффициентов в корреляционных уравнениях
Определяют коэффициенты в корреляционных уравнениях 2-х сопряженных прямых:
Коэффициенты линейной корреляционной однофакторной модели определяют по
Y Y
YR X d 0 x d1 x X X
(117)
X R Y d 0 y d1 y
(118)
47
формулам:
Для рассматриваемого примера:
Сопряженные корреляционные уравнения имеют вид:
Расчетные значения YR ( X j ) приведены в табл.6.3. На рис.6.1 приведен график линейной корреляционной однофакторной модели YR ( X j ) .
d 0 x 170,33
0,51 4,74
0,73
3,33
96,93
d1 x
d0y
0,51 3,33
0,36
4,74
YR 170,33 0,73 X 96,33 170,33 0,73 X 70,32 100,01 0,73 X
d1 y
X R 96,93 0,36 Y 170,33 96,93 0,36 X 61,32 35,61 0,36Y
Таблица 6.3
Расчет линейной корреляционной однофакторной модели
и ее доверительных интервалов
88,5
91,5
94,5
97,5
100,5
164,615
166,805
168,995
171,185
173,375
-2
-2
-4
-6
4
-8,8
-4,4
-2,51429
-3,77143
1,955556
Y x Y(X j )
163,2
167,6
169,486
168,229
173,956
Xj X
-8,43
-5,43
-2,43
0,57
3,57
X X
S Y ( X )
S Y ( X )
71,065
29,485
5,905
0,325
12,745
m YRi
X
j
Y R ( X ) YR ( X j )
m
Iy
m xj
ji
yi
m
ji
yi
2
j
2
m
R
j
5,12
2,528
1,058
0,71
1,484
m
R
j
2,263
1,59
1,029
0,843
1,218
4,67
3,282
2,123
1,739
2,515
23,06
20,468
18,998
18,65
19,424
4,802
4,524
4,359
4,319
4,407
9,911
9,338
8,996
8,914
9,097
S Y
)
S e2 YR ( X j )
e
R
(X
j
e YRi
6.13 Определение значимости коэффициентов в корреляционных уравнениях
Определяют значимость коэффициентов в сопряженных корреляционных уравнениях, используя критерий Стьюдента:
Табличное значение критерия Стьюдента определяем по приложению 3 [1]: tT [рD =
0,95; f = m – 2 = 26 – 2 =24]
= d2,064.
d
S X m 2
t R d1 1 1
(123)
S d1
S Y 1 ryx2
t R d1x
0,73 3,33 26 2
2,92
4,74 1 0,26
t R d1 y
0,36 4,743 26 2
2,92
3,33 1 0,26
48
Так как tR{d1x} > tT и tR{d1y} > tT, то оба коэффициента значимы.
6.14 Определение доверительных интервалов коэффициентов искомых уравнений
S m2 YR X j S 2 d 0 x S 2 d1x X j X
где
S d 0 x S
2
2
S
X m 2
S Y 1 ryx2
t T p D 0,95; f m 2
S X m 2
S X 1 dr1yxx2 d1x x d 1x d 1x
d 1 y
; f m 2
d tTdp1Dy 0,95
y d 1 y d yx
S Y m 12y
d1x
d1x
d 1 y
(127)
2
yx
m2
S Y 1 ryx2
2
2
1 r
Y
2
S 2 d1x
4,74 1 0,512
3,33 26 2
(125)
(124)
0,25
3,33 1 0,512
0,12
4,74 26 2
0,73 0,25 0,48 x 0,73 0, 25 0,98
0,36 0,12 0, 24 y 0,36 0,12 0,48
Доверительные интервалы коэффициентов искомых уравнений определяют из неравенств:
где d1x , d1 y – абсолютные доверительные ошибки коэффициентов, которые
определяются по формулам:
Для рассматриваемого примера:
6.15 Определение условных средних выходных параметров для каждого фактора
Определяют условные средние выходные параметры для каждого значения X j по
формуле:
Подставляя в формулу (126) значения Iy и Y0, получают:
Расчет значений Y X Y X j приведен в табл.6.3. По полученным значениям
строят эмпирические ломанные линии Y X , характеризующие изменения условных средних выходного параметра (см. рис. 6.1).
6.16 Определение дисперсии расчетного значения выходного параметра для фиксированного значения фактора
4,4 q
Y X
m ji yi 172
m xj i 1
Определяют дисперсии расчетного значения выходного параметра для фиксированного значения фактора X j по формуле:
Подставляя в формулу (127) значения S2{d0x} и S2{d1x}, получают:
Iy q
1 q
Y X Y X j
m
Y
(126)
i
ji
m ji yi Y0
m xj i 1
m xj i 1
49
где Y i I y y i Y0
Расчет дисперсий и средних квадратических отклонений выходного параметра
приведен в табл.6.3.
6.17 Определение доверительных интервалов средних значений выходного параметра при фиксированном значении фактора
Доверительные интервалы истинного среднего значения выходного параметра для
фиксированного значения фактора определяют следующим неравенством:
где абсолютная доверительная ошибка расчетного значения выходного параметра
определяется:
Расчет доверительных интервалов средних значений выходного параметра приве-
Y X Y
(u )
X YmR(u ) X
YmR
j
j
R
m
Rj
j
Y Y X Y
YR X
j
m
Rj
(0)
mR
( 0)
mR
j
m YRj S m YR X j t Т p D 0,95; f m 2
X
(128)
1 0,51 0,69
2
S 2 d 0 x 22,46
26 2
22,46 1 0,512
0,69
2
S d 0 x
11,07 (26 2)
11,07
2
Xj X
S YR X j 0,691
11,07
u
ден в табл.6.3. На рис.6.11 изображены графики YmR
X и YmR0 X , между которыми с вероятностью 0,95 должны располагаться точки, соответствующие условным средним Y X j .
2
m
6.18. Определение доверительных интервалов для индивидуальных значений выходного параметра при каждом уровне фактора
Доверительные интервалы для индивидуальных значений выходного параметра
при фиксированном значении фактора X j определяют следующим неравенством:
где абсолютная доверительная ошибка единичного значения выходного параметра
по отдельным экспериментальным значениям определяется:
Подставляя в формулу (130) значения S2{d0x}, X и S2{X}, получают:
Y X Y Y X Y Y X Y
Y S Y X t p 0,95; f m 2
X X
S Y X S d 1 m
YeR(u ) X YeR(u ) X
e
j
R
Rj
e
j
e
j
R
Rj
Т
j
R
j
D
e
Rj
(0 )
eR
j
( 0)
eR
X
(129)
2
2
e
2
e
S YR X
j
R
j
j
2
0x
S 2 X
(130)
2
X j 96,93
0,69 1 26
11,07
Расчет доверительных интервалов для индивидуальных значений выходного параметра приведен в табл.6.3. На рис.6.1 изображены графики YeRu X и YeR0 X , между которыми с вероятностью 0,95 должны располагаться точки, соответствующие отдельным
значениям выходного параметра Y j .
50
185
180
175
YR(X)
Yx
YmR(u)(X)
YmR(0)(X)
YeR(u)(X)
YeR(0)(X)
170
165
160
155
150
85
90
95
100
105
Рис.6.1 Графики линейной корреляционной однофакторной модели и ее доверительных интервалов
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ (РЕКОМЕНДАЦИИ)
3.1 Методические указания к лабораторным работам
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1
ПРИМЕНЕНИЕ СТАНДАРТНЫХ ФУНКЦИЙ
Основным достоинством редактора электронных таблиц Excel является наличие
мощного аппарата формул и функций. Любая обработка данных в Excel осуществляется
при помощи этого аппарата. Можно складывать, умножать, делить числа, извлекать квадратные корни, вычислять синусы и косинусы, логарифмы и экспоненты. Помимо чисто
вычислительных действий с отдельными числами можно обрабатывать отдельные строки
или столбцы таблицы, а также целые блоки ячеек. В частности, можно находить среднее
арифметическое, максимальное и минимальное значения, среднеквадратичное отклонение, наиболее вероятное значение, доверительный интервал и многое другое.
1.1
Понятие формулы
Формулой в Excel называется последовательность символов, начинающаяся со знака равенства «=». В эту последовательность символов могут входить постоянные значения, ссылки на ячейки, имена, функции или операторы. Результатом работы формулы является новое значение, которое выводится как результат вычисления формулы по уже
имеющимся данным. Если значения в ячейках, на которые есть ссылки в формулах, меняются, то результат изменится автоматически.
51
1.2
Понятие функции в Ехсеl
Функция – это специально созданная формула, которая выполняет операции над заданным значением или значениями. Функции в Excel используются для выполнения стандартных вычислений в рабочих книгах. Значения, которые употребляются для вычисления
функций, называются аргументами. С другой стороны, значения, возвращаемые функциями в качестве ответа, называются результатами.
Для удобства работы функции в Excel разбиты по категориям: функции управления
базами данных и списками, функции даты и времени, инженерные функции, финансовые,
информационные, логические, функции просмотра и ссылок. Кроме того, присутствуют
такие категории функций как: статистические, текстовые, математические. Помимо встроенных функций, в вычислениях могут применяться пользовательские функции, которые
создаются при помощи средств Excel. Чтобы использовать какую-либо функцию, следует
ввести ее как часть формулы в ячейку рабочего листа.
Последовательность, в которой должны располагаться применяемые в формуле
символы, называется синтаксисом функции. Все функции используют одинаковые основные правила синтаксиса. Если нарушить правила синтаксиса, то в этом случае Excel выдаст сообщение о том, что в формуле имеется ошибка.
1.3
Правила синтаксиса при записи функций
Аргументы функции записываются в круглых скобках сразу за названием функции
и отделяются друг от друга символом точка с запятой «;». Скобки позволяют Excel определить, где начинается и где заканчивается список аргументов. Необходимо помнить о
том, что в записи функции должны присутствовать открывающая и закрывающая скобки,
при этом не следует вставлять пробелы между названием функции и скобками. В противном случае Ехсеl выдаст следующее сообщение об ошибке: «#ИМЯ?».
В качестве аргументов можно использовать числа, текст, логические значения,
массивы, значения ошибок или ссылки. Аргументы могут быть как константами, так и
формулами. В свою очередь, используемые формулы могут содержать другие функции.
Вложенными называются такие функции, которые являются аргументами другой
функции. В формулах Excel можно использовать до семи уровней вложенности функций.
Задаваемые исходные параметры должны иметь допустимые для данного аргумента значения. С другой стороны, некоторые функции могут иметь необязательные аргументы, которые могут отсутствовать при вычислении значения функции.
Примерами функций с необязательными параметрами являются ПИ (возвращает
значение трансцендентного числа , округленное до 15 знаков), или СЕГОДНЯ (возвращает текущую дату). При использовании подобных функций следует в строке формул
сразу после названия функции ставить круглые скобки.
Excel содержит более 400 встроенных функций, поэтому вводить в формулу названия функций и значения входных параметров непосредственно с клавиатуры не всегда
удобно. В Excel есть специальное средство для работы с функциями – Мастер функций.
Мастер функций вызывается командой ВставкаФункция либо нажатием на кнопку
Вставка Функции
на панели инструментов Стандартная (рис. 1).
При работе с этим средством пользователю сначала предлагается выбрать нужную
функцию из списка категорий, а затем в диалоговом окне ввести исходные значения. После выбора требуемой функции следует нажать кнопку ОК, что приведет к появлению
52
диалогового окна Мастер Функций шаг 2 из 2. (рис. 2).
Рисунок 1– Диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2
Рисунок 2– Диалоговое окно Мастер функций шаг 2 из 2
Задание 1
Работа с математическими функциями
1. Вычислите:
1
1
1
...
sin 1 sin 1sin 2
sin 1...sin 10
cos1 cos1 cos 2
cos1...cos12
...
sin 1 sin 1sin 2
sin 1...sin 12
53
2. Решите задачу:
Y
3cos x 1sin 2 x
ln x 6
2 cos 2 x cos(13x)
Y
2 x sin 3x
3,1 11
sin
4
13x
Для значений х:=1,2; 2,1; 5
Для удобства, уравнение представить в
виде Y=a+b+с
Для решения уравнения использовать
функции SIN, COS, КОРЕНЬ, LN
Для значений х:=1; 2; 5
Для удобства, уравнение представить в
виде Y=a+b
Для решения уравнения использовать
функции SIN, КОРЕНЬ,
3. Определите остаток от деления на 7, следующих значений:
10, 13, 16, 48, 144, 111, 91, 88, 59, 49, 103, 2564, 768, 222, 105, 116, 199, 218
(функция ОСТАТОК).
Задание 2
Работа с логическими функциями
Определите истинно ли выражение:
1. Х>70 (функция ЕСЛИ).
3. Х<70 (функция ЕСЛИ).
2. 0<Х<100 (функция И).
Х: см. задание 1.3
Задание 3
Работа со статистическими функциями
Найдите:
1. Подсчитайте количество чисел в списке аргументов (функция СЧЕТ).
2. Подсчитайте количество чисел в списке аргументов удовлетворяющих условию Х>70 (функция СЧЕТЕСЛИ).
3. Максимальное значение из данной выборки (функция МАКС).
4. Минимальное значение из данной выборки (функция МИН).
5. Среднее значение из данной выборки (функция СРЗНАЧ).
6. Оценить стандартное отклонение (функция СТАНДОТКЛОН).
7. Медиану (функция МЕДИАНА).
8. Дисперсию (функция ДИСП).
Выборка: см. задание 1.3.
1.4
Значения ошибок в формулах
Excel выводит в ячейку значение ошибки, когда формула для этой ячейки не может
быть правильно вычислена. Если формула содержит ссылку на ячейку, в которой находится значение ошибки, то данная формула также будет выводить значение ошибки (за
исключением тех случаев, когда используются специальные функции рабочих листов
ЕОШ, ЕОШИБКА, или ЕНД, которые проверяют наличие значений ошибок) При работе с
электронной таблицей может возникнуть необходимость проследить зависимости для ряда ячеек со ссылками с целью определения источника ошибки, для чего могут быть полезны названия кодов ошибок, а также возможные причины их возникновения (табл. 5).
54
Таблица 1
Коды ошибок и их возможные причины
Код ошибки
Возможные причины
#ДЕЛ/0
В формуле делается попытка деления на ноль
#ИМЯ?
Excel не смог распознать имя, использованное в формуле
#ПУСТО!
Было задано пересечение двух областей, которые не имеют
общих ячеек
#Н/Д
Нет доступного значения. Обычно такое значение ошибки непосредственно вводится в те ячейки рабочего листа, которые
впоследствии будут содержать данные, отсутствующие в настоящий момент. Формулы, ссылающиеся на такие ячейки,
также возвращают #Н/Д вместо вычисленного значения
#ЧИСЛО!
При операциях с числами неверно указан аргумент либо невозможно посчитать результат
#ССЫЛКА!
Формула неправильно ссылается на ячейку
#ЗНАЧ!
Аргумент или операнд имеют недопустимый тип
Самостоятельная работа
1. Рассчитать выборочные статистические характеристики, используя способ
сумм или способ произведений.
2. Рассчитать выборочные статистические характеристики с помощью электронной таблицы Excel, используя статистические функции: СЧЕТ, МАКС, МИН,
СРЗНАЧ, СРГАРМ, СРГЕОМ, МОДА, МЕДИАНА, ДИСП, СКОС, ЭКСЦЕСС.
Для следующих вариантов задания:
Вариант 1
Ширина плеча девушек некоторого города (в см)
12,1
11,7
12,4
12,7
13,8
12,9
13,5
12,7
12,9
11,8
12,1
12,8
12,4
13,3
13,5
13,5
12,9
12,8
12,6
12,5
13,5
13,2
13,1
12,7
13,4
12,8
13,0
13,2
11,8
12,5
12,9
12,8
12,0
11,9
13,2
12,2
13,4
12,6
13,0
13,4
13,5
12,4
12,6
13,3
13,1
12,1
12,9
13,5
13,0
13,4
12,7
12,8
12,2
12,6
13,8
13,6
13,1
12,9
12,8
12,6
12,5
13,8
12,1
12,9
13,3
11,9
12,5
12,1
12,3
12,2
12,9
12,8
12,8
12,7
12,6
12,2
11,7
11,9
12,0
12,6
14,3
13,0
12,7
12,3
13,7
11,5
13,3
11,5
12,7
13,2
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 2
ДИАГРАММЫ И ГРАФИКИ
Процедура построения графиков и диаграмм в Excel отличается как широкими
возможностями, так и необычайной легкостью. Любые данные в таблице всегда можно
представить в графическом виде.
55
Задание 1
Для построения диаграммы создайте таблицу 2.
Таблица 2
Население Москвы (тыс.чел.)
12 век
13 век
14 век
15 век
16 век
17 век
18 век
11
20
30
100
130
180
220
2.1
Создание диаграммы с помощью Мастера диаграмм
Создать диаграмму или график легче всего с помощью Мастера диаграмм
, который вызывается нажатием на кнопку с таким же названием, расположенную на Стандартной панели инструментов. Мастер диаграмм представляет собой процедуру построения диаграммы, состоящую из четырех шагов. На любом шаге вы можете нажать кнопку
Готово, в результате чего построение диаграммы завершится. С помощью кнопок Далее>
и <Назад, вы можете управлять процессом построения диаграммы
Шаг 1. На данном этапе возможен выбор Типа и Вида диаграммы. После того как
тип и вид диаграммы определен следует нажать кнопку Далее> в диалоговом окне Мастера диаграмм (рис. 3).
Шаг 2. На втором этапе выбирается источник данных для диаграммы. Для этого в
диалоговом окне Мастера диаграмм в строке Диапазон необходимо указать ячейки, содержимое которых будет представлено в графическом виде (рис. 4).
Рисунок 3 – Диалоговое окно Мастер диаграмм шаг 1 из 4
56
Рисунок 4 – Диалоговое окно Мастер диаграмм шаг 2 из 4
Если на листе находится несколько таблиц или в диаграмме отображается только
часть таблицы, то заполнить строку Диапазон можно двумя способами:
– набрав интервал вручную в строке Диапазон;
– выделив интервал с помощью мыши (при этом если окно Мастера диаграмм закрывает нужный интервал, то окно можно отодвинуть, уцепившись мышью за
заголовок).
Если диаграмма включает в себя несколько рядов данных, то можно осуществить
группировку рядов двумя способами: в строках таблицы или в ее столбцах. Для этих целей на вкладке Диапазон данных имеется переключатель Ряды в.
В процессе построения диаграммы возможно добавление, удаление или редактирование рядов данных, используемых в качестве исходных данных. Для этой цели используется вкладка Ряд диалогового окна Мастера диаграмм, на этой вкладке можно выполнить
детальную настройку рядов: задать имя каждого ряда в поле Имя и единицы измерения
для оси Х в поле Подписи оси Х. В поле Значения находятся численные значения рядов
данных участвующих в построении диаграммы.
Шаг 3. На этом этапе устанавливают параметры диаграммы. Последовательно выбирая вкладки Подписи данных, Таблица данных, Заголовки, Оси, Линии сетки, Легенда,
дополняем диаграмму нужными параметрами: названием диаграммы, осей, легендой и т.д.
Термин легенда обозначает прямоугольник, в котором указывается, каким цветом или типом линий отображаются на графике или диаграмме данные из той или иной строки. Если
первый столбец не содержит текст, Excel выводит собственные подписи: «Ряд 1», «Ряд 2»
и т.д. (рис. 5).
57
Рисунок 5 – Диалоговое окно Мастер диаграмм шаг 1 из 4
Шаг 4. На четвертом шаге Мастера диаграмм следует указать место размещения
диаграмму. Существует несколько вариантов размещения диаграммы:
на отдельном листе. В этом случае диаграмма будет помещена на отдельном специально созданном листе;
на имеющемся. В этом случае возможны варианты. Нажав на кнопку свитка можно
выбрать лист из уже имеющихся в данной рабочей книге (рис.6).
Рисунок 6 – Диалоговое окно Мастер диаграмм шаг 4 из 4
После выполнения всех этапов построения диаграммы следует нажать кнопку Готово для завершения создания диаграммы. Если что-то не устраивает в построенной диаграмме, ее можно отредактировать. Также завершить построение диаграммы можно на
любом из этапов нажать кнопку Готово.
2.2
Перемещение и изменение размеров диаграммы
Для перемещения и изменения размеров диаграммы ее предварительно необходимо
выделить. Чтобы выделить диаграмму, поместите на ней указатель мыши и щелкните левой кнопкой мыши. Вокруг диаграммы появится тонкая рамка с размерными маркерами –
маленькими черными квадратиками в углах и на середине каждой из сторон рамки.
Для изменения размеров диаграммы необходимо буксировать размерные маркеры.
Буксировка маркера, расположенного на середине стороны, позволяет изменять горизонтальные или вертикальные размеры диаграммы. Буксировка углового маркера позволяет
пропорционально изменять размеры диаграммы. Указатель мыши изменяет при этом свою
форму на двунаправленную стрелку.
Для перемещения диаграммы необходимо установить указатель мыши на выделенной диаграмме и отбуксировать ее на новое место. Указатель мыши при этом не изменяет
свою форму.
58
Задание 2
Постройте диаграмму по данным таблицы 3. Указав тип диаграммы Гистограмма.
Переместите полученную диаграмму на новое место и измените ее размер.
2.3
Редактирование диаграммы
Для редактирования диаграммы необходимо ее выделить щелчком мыши. Затем с
помощью панели инструментов Диаграмма можно изменить тип диаграммы. Если на экране нет данной панели, выведите ее с помощью меню Вид, Панели инструментов, Диаграмма. Щелкните по кнопке Тип диаграммы на панели инструментов, которая содержит
список различных видов диаграмм.
Рисунок 12 – Панель инструментов Диаграммы
Задание 2
Попробуйте различные типы диаграмм и подберите наиболее наглядный из них.
Замечание. Если в результате экспериментов вы испортите диаграмму, то удалите
ее и начните построение сначала. Для удаления следует один раз щелкнуть на диаграмме
мышью, а затем нажать клавишу [Delete].
Задание 3
Постройте самостоятельно объемную круговую диаграмму по данным таблицы 3.
Таблица 3
Использование домашнего компьютера
Вид работы
%
Игры
8,2
Обработка текстов
24,5
Ведение финансов
15,4
Работа, выполняемая дома
26,5
Образование
8,8
Домашний бизнес
16,6
Для редактирования данной диаграммы ее необходимо выделить щелчком мыши.
Диаграмма состоит из нескольких частей, называемых элементами. К ним относятся:
–
область построения диаграммы;
–
область диаграммы (чертеж);
–
легенда;
–
оси;
–
название;
–
метки данных;
–
ряды данных и т.д.
59
Для редактирования элемента диаграммы его необходимо выделить. Это можно
сделать нажатием стрелок перемещения курсора или установить на нем указатель мыши и сделать одиночный щелчок левой кнопкой мыши. При выделении в поле имени появляется название элемента. Выделенный элемент отмечается маленькими черненькими
квадратиками.
После выделения элемента при нажатии правой кнопки мыши появляется контекстно-зависимое меню – индивидуальное для каждого элемента. С его помощью можно
производить редактирование.
Задание 4
Отредактируйте полученную диаграмму:
1. Ознакомьтесь с элементами диаграммы, выделяя их с помощью мыши или клавиш перемещения курсора.
2. Ознакомьтесь с контекстно-зависимым меню элементов.
3. Пометьте область построения диаграммы: добавьте название к диаграмме; измените размер области диаграммы и подберите оптимальный размер.
4. Пометьте область диаграммы (чертеж), пометьте сектор диаграммы: вырежьте
кусочки секторов из диаграммы; измените цвет и узор секторов на диаграмме).
5. Вставьте легенду.
6. Попробуйте другие возможности редактирования диаграммы.
Для построения обыкновенных графиков функций y=f(x) используется тип диаграммы График или XY-точечная. Этот тип диаграммы требует два ряда значений: Xзначения должны быть расположены в левом столбце, а Y-значения – в правом. На одной
диаграмме можно построить несколько графиков функций.
Задание 5
1. Для построения графиков функций заполните таблицу 5, введя соответствующие
формулы в ячейки таблицы.
Таблица 4
Построение графиков функций
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
y=x^2/8
y=sin(x)
y=ln(x+1)
2. На одной диаграмме постройте три совмещенных графика функций: y=x^2/8;
y=sin(x); y=ln(x+1).
3. Отредактируйте полученные графики: добавьте (измените) название диаграммы;
укажите название осей, переместите названия осей; измените размеры и расположение
полученного графика; установите различные виды маркеров на линиях графиков (выделите линию графика и вызовите контекстно-зависимое меню: Формат рядов данных; введите
новые значения Х в табл.5 (измените пределы варьирования Х и шаг), обратите внимание
на изменения графиков.
60
Задание 6
Составьте уравнение линейной регрессии и постройте график, исследуя зависимость натяжения нити от угла охвата нитью иглы (в градусах), если в результате эксперимента были получены следующие данные.
Таблица 5
Зависимость натяжения нити от угла охвата
Угол обхвата, град.
30
Выходное натяжение, сН 12,5
40
50
60
70
80
90
100
110
120
16,0
14,5
15,2
18,0
17,9
21,0
20,5
21,3
21,5
Обозначим угол обхвата через Х, а натяжение нити – через Y. Если коэффициент
корреляции r близок к единице, то зависимость между X и Y является линейной, и уравнение регрессии будет иметь вид:
Y a b* X
2
m* X i2 X i
r b*
2
m * Yi2 Yi
m* X i *Yi X i * Y i
b
2
m* X i2 X i
a
где
Yi b * X i
m
r
– коэффициент корреляции
a, b
– коэффициенты линейной регрессии
m
– количество наблюдений
1.
Для расчета данных коэффициентов составьте таблицу 6.
Таблица 6
Расчет коэффициентов регрессии
N
X
Y
X2
X*Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Суммы:
61
Y2
X+Y
2.
Рассчитайте значения коэффициентов r, a и b.
3.
Постройте график зависимости Y=f(X), выбрав тип диаграммы XY-точечная.
Для аппроксимации полученной кривой выделите линию графика и выполните команду меню ДиаграммаДобавить линию тренда или аналогичную команду контекстнозависимого меню. Выберите линейный тип регрессии. В диалоге Линия тренда выберите
вкладку Параметры. Установите флажок [x] Показывать уравнение на диаграмме и нажмите кнопку ОК. В результате на графике появится линия тренда и уравнение с подобранными коэффициентами a и b. Сравните их с полученными значениями.
Самостоятельная работа
1. Составить таблицу распределения частот. Для дискретных признаков построить
полигоны, а для непрерывных – гистограммы частот.
Для следующих вариантов задания:
Вариант 1
Ширина плеча девушек некоторого города (в см)
12,1
11,7
12,4
12,7
13,8
12,9
13,5
12,7
12,9
11,8
12,1
12,8
12,4
13,3
13,5
13,5
12,9
12,8
12,6
12,5
13,5
13,2
13,1
12,7
13,4
12,8
13,0
13,2
11,8
12,5
12,9
12,8
12,0
11,9
13,2
12,2
13,4
12,6
13,0
13,4
13,5
12,4
12,6
13,3
13,1
12,1
12,9
13,5
13,0
13,4
12,7
12,8
12,2
12,6
2. Найти математическую зависимость
фициентов r, a и b.
13,8
13,6
13,1
12,9
12,8
12,6
12,5
13,8
12,1
12,9
13,3
11,9
12,5
12,1
12,3
12,2
12,9
12,8
12,8
12,7
12,6
12,2
11,7
11,9
12,0
12,6
14,3
13,0
12,7
12,3
13,7
11,5
13,3
11,5
12,7
13,2
Y a b X . Рассчитать значения коэф-
3. Построить график зависимости Y=f(X), выбрав тип диаграммы XY-точечная.
4. Построить на графике линию тренда и уравнение линии тренда. Сравнить полученные результаты.
Для следующих вариантов задания:
Вариант 1
Зависимость прочности Р скрученного льняного волокна (в % по отношению к
прочности нескрученного) от крутки К (число кручений на 10 мм)
К
Р
2
76
75
75
73
76
74
76
4
67
69
64
63
67
65
64
6
62
60
62
61
59
60
63
8
56
58
55
60
56
58
57
10
52
54
52
53
50
52
53
5. Найти математическую зависимость Y a b X . Рассчитать значения коэффициентов r, a и b.
6. Построить график зависимости Y=f(X), выбрав тип диаграммы XY-точечная.
Построить на графике линию тренда и уравнение линии тренда. Сравнить полученные результаты.
62
7. Найти математическую зависимость
фициентов r, a и b.
X a b Y . Рассчитать значения коэф-
8. Построить график зависимости X=f(Y), выбрав тип диаграммы XY-точечная.
Построить на графике линию тренда и уравнение линии тренда. Сравнить полученные результаты.
Для следующих вариантов задания:
Вариант 1
Результаты замера обхвата груди Х (в см) и роста Y (в см) у 44 мужчин некоторой
области
96
98
101
89
102 103
98
104
98
103
92
X
173 175 169 163 185 173 171 178 175 175 172
Y
100 101
98
95
104
95
94
97
97
95
98
X
167 177 173 171 171 173 167 170 175 174 167
Y
102
97
102
99
90
95
100
93
98
99
102
X
180 166 180 176 163 176 177 168 174 172 170
Y
97
101
93
98
106
99
93
98
97
100
97
X
177 175 171 171 175 173 167 179 177 180 172
Y
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОДНОФАКТОРНОЙ
РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ (МОДЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА)
Параболические однофакторные регрессионные модели имеют вид:
Y a 0 a1 x a11 x 2
Они описывают многие явления и процессы в текстильной и легкой промышленности.
Для рассматриваемой модели коэффициенты регрессии можно определить по методу наименьших квадратов, решив систему уравнений:
N
N
N
2
a
N
a
x
a
x
y
1
11
0
i 1
i 1
i 1
N
N
N
N
2
3
a 0 x a1 x a11 x xy
i 1
i 1
i 1
i 1
N
N
N
N 2
3
4
a
x
a
x
a
x
x2 y
0
1
11
i 1
i 1
i 1
i 1
где N - общее число опытов.
N
N
Величины и N
т.д. , входящие в уравнения, определяются по данным
2
x
,
x
,
x
y
эксперимента
и
для удобства расчета сводятся в таблицу:
i 1
i 1
i 1
N
x
y
x2
1
2
3
…
Сумма:
Для решения системы уравнений:
x3
x4
63
xy
x2 y
a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 c1
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 c 2
a x a x a x c
32 2
33 3
3
31 1
В Excel необходимо ввести условия в следующей форме:
х1
x2
х3
Значение переменных
Левая часть
a11
a12
a13
Первое уравнение
a21
a22
a23
Второе уравнение
a31
a32
a33
Третье уравнение
Правая часть
с1
с2
с3
В строке Значение переменных будут рассчитаны значения переменных х1, х2, х3.
Для этого в столбце Левая часть ввести зависимости для левых частей данных
уравнений. Поместить курсор в нужную ячейку, вызвать Мастер функций, в окне Категория выбрать Математические, в окне Функции выбрать СУММПРОИЗВ. В массив 1
ввести номера ячеек, где будут находиться значения переменных х1, х2, х3, в массив 2 - номера ячеек, где находятся коэффициенты для этих переменных. Аналогично ввести зависимости для всех уравнений системы.
Для нахождения значений переменных в меню Сервис выбрать опцию Поиск решения. В диалоговом окне Поиск решения установить нужные параметры:
*
в окне Установить целевую ячейку - стереть адрес целевой ячейки, в данном
случае он нам не понадобится;
*
в поле Изменяя ячейки - вести адреса ячеек, где будут рассчитаны значения переменных х1, х2, х3;
*
в окно Ограничения ввести следующие ограничения, выбрав параметр Добавить...:
*
адрес ячейки, где находится
адрес ячейки, где находится
левая часть уравнения
=
правая часть уравнения
Ввести ограничения для всех уравнений системы. Если при вводе задачи возникает
необходимость в изменении или удалении внесенных ограничений, то это делается с помощью команд Изменить..., Удалить.
После ввода последнего ограничения вместо Добавить... ввести ОК.
После нажатия кнопки Выполнить найденные значения переменных х1, х2, х3 будут находиться в искомых ячейках.
Задание.
1.
Найти зависимость между коэффициентом крутки льняной пряжи и средней разрывной нагрузкой Р (в дан) по данным эксперимента:
2.
Определить уравнение регрессии и оценить его достоверность для исходных
данных, приведенных в таблице, используя функцию ЛИНЕЙН( ) и функцию
ЛГРФПРИБЛ( ).
3. Определить коэффициенты уравнения регрессии в форме пользователя. Сделать
выводы.
4. Построить график по данным эксперимента, построить на графике линию тренда
и вывести уравнение регрессии и коэффициент детерминации.
5. Найти коэффициент крутки , при котором льняная пряжа имеет наибольшую
прочность.
64
Таблица 7
Зависимость прочности от крутки пряжи
Р
0,5
3,5
0,6
4,8
0,8
6,5
1,0
7,1
1,2
6,6
1,3
5,8
1,5
4,1
Самостоятельная работа
Найти математическую зависимость Y a a X a X 2 . Рассчитать
0
1
11
значения коэффициентов a0, a1 и a11.
1.
2.
Построить график зависимости Y=f(X), выбрав тип диаграммы XY-точечная.
3. Построить на графике линию тренда и уравнение линии тренда. Сравнить полученные результаты.
Для следующих вариантов задания:
Вариант 1
Зависимость между изменением удлинения (в %) льняной пряжи
и круткой Х (число кручений на 1 см)
Х
0,5
0,3
0,2
0,4
0,2
0,3
0,5
0,3
0,7
0,4
0,5
0,6
0,5
0,4
0,3
0,4
1,0
1,2
1,1
0,9
1,1
0,8
0,7
1,0
1,2
1,3
1,6
1,4
1,5
1,7
1,4
1,5
1,4
1,8
2,0
2,2
1,8
1,9
2,0
2,1
1,8
2,6
2,7
2,8
3,0
2,6
2,8
3,1
3.2. Методические указания для выполнения практических занятий.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОВОКУПНОСТИ И ИХ ПРИЗНАКИ
Совокупность, охватывающая все массовое явление, называется генеральной совокупностью. Генеральная совокупность состоит из множества однородных элементов,
имеющих общие свойства, оцениваемые статистическими характеристиками (например,
вся продукция, все сырье некоторой фабрики, все население, которое обеспечивается одеждой и т.п.).
Признаком статистической совокупности объектов называется то или иное свойство, характеризующее все элементы этой совокупности. Например, признаками волокон
хлопка данной кипы являются: длина волокна, прочность, зрелость, цвет и т.д.; признаками образцов пряжи являются: прочность, линейная плотность, сорт и т.д.; признаками совокупности людей некоторой области являются рост, обхват груди, длина стопы, возраст,
пол и т.д.
Признаки могут быть:
1)
количественными, т.е. поддающимися измерению (например, прочность
пряжи, рост человека);
65
2)
качественными, когда можно фиксировать лишь наличие или отсутствие
некоторого признака (например, сортность продукции, пол человека).
Количественные признаки могут изменяться или непрерывно, или дискретно в зависимости от того, могут ли они принимать любые значения в некотором интервале или
лишь только какие-то отдельные значения. В частности, длина волокна и рост человека
являются непрерывно изменяющимися признаками, а число обрывов нити в час или количество выпускаемых в день изделий – признаки дискретные.
Задание
В задачах приведены различные статистические совокупности объектов и признаки, по которым их можно изучать. Определить какие из этих признаков являются количественными, качественными, непрерывными и дискретными.
1) Початки с пряжей. Признаки: вес, суровая или крашеная пряжа, длина пряжи, средняя
толщина, средняя плотность, сорт.
2) Куски трикотажного полотна, выпускаемые фабрикой за сутки. Признаки: метраж,
сортность, наличие или отсутствие брака в куске, гладкое полотно или с рисунком, суровое или крашеное, ширина, стоимость.
3) Трикотажные машины на фабрике. Признаки: отечественные или импортные, скорость, ширина игольницы, диаметр цилиндра, кругловязальные или плосковязальные,
вид вырабатываемого переплетения, класс, стоимость.
4) Партия изделий. Признаки: размер, мужское или женское, цена, рост, сорт, модель.
5) Студенты вуза. Признаки: пол, возраст, рост, количество отличных отметок, стипендиаты или не стипендиаты, материальное положение, семейное положение, курс,
группа, факультет.
Ответы на задачи оформите в виде таблицы (образец – табл.1).
Таблица 1
Признаки статистических совокупностей
Статистическая
совокупность
Признаки
Количественные
непрерывные дискретные
Качественные
Основным методом математической статистики является выборочный метод, состоящий в том, что все массовое явление, т.е. всю генеральную совокупность, изучают с
помощью выборки не очень большого объема, называемой выборочной совокупностью.
Выборочная совокупность состоит из части объектов генеральной совокупности, отобранной определенным образом.
В частности, из такой выборочной совокупности определяют выборочные характеристики с тем, чтобы по ним судить о генеральных характеристиках.
Так для определения различных признаков от партии материала (генеральной совокупности) отбирают небольшую выборку (пробу), в которой должны правильно отражаться свойства всей партии (рис.1).
Контрольные вопросы
1)
2)
3)
4)
5)
Что называется генеральной совокупностью?
Что называется выборкой или выборочной совокупностью?
Что является признаком статистической совокупности?
Какие бывают признаки статистической совокупности? Привести примеры.
Как осуществляется оценка свойств текстильных материалов?
66
ПРОИЗВОДСТВО
Партия материала
(генеральная
совокупность)
ЛАБОРАТОРИЯ
отбор пробы
Проба
(выборка)
Испытание
объектов
выборки
Распространение
сводных
характеристик
на всю партию
Вычисление
ошибок
выборки
Вычисление
сводных
характеристик
Рис.1. Общая схема лабораторного анализа и оценки свойств
текстильных материалов
МЕТОДЫ ОТБОРА ВЫБОРОК
Выборка должна возможно более походить на генеральную совокупность для того,
чтобы по ней можно было судить о последней. Поэтому если в генеральной совокупности
некоторые признаки встречаются в определенных пропорциях, то выборка будет тем лучше, чем ближе в ней пропорции тех же признаков будут к соответственным пропорциям в
генеральной совокупности.
Выборка, достаточно точно воспроизводящая пропорции генеральной совокупности, называется репрезентативной, т.е. представляющей генеральную совокупность.
Методы отбора
выборки
случайный
механический
одностепенные
механический
двухстепенные
серийный
комбинированный
многостепенные
трехстепенный
Рис.2. Схема классификации методов отбора выборок
67
Требования к выборочной совокупности:
1) должна быть репрезентативной;
2) должна иметь достаточный объем, чтобы по результатам испытания выборочной совокупности можно было судить о генеральной совокупности;
3) должна быть отобрана по определенным правилам.
1. Одностепенные методы отбора
Эти методы отбора предусматривают выборку из всей генеральной совокупности,
без предварительного деления ее на части.
Случайный метод отбора
В действительных условиях мы обычно не знаем численности и пропорции различных классов генеральной совокупности, поэтому не можем сделать репрезентативную
выборку, учитывая эти пропорции.
Чтобы тем не менее, получить такую выборку, мы делаем ее случайной и отбираем
ее таким способом, который обеспечивает каждому отдельному члену генеральной совокупности одинаковую возможность попасть в выборочную совокупность. Тогда, как показывает опыт, пропорции исследуемых признаков в выборочной совокупности будут воспроизводить более или менее точно те же пропорции в генеральной совокупности и выборочная совокупность будет репрезентативной.
Ошибочно полагать, что выполнение только одного из этих условий позволяет получить репрезентативную выборку. Например, при отборе наугад нескольких паковок
пряжи из вскрытого ящика соблюдается первое условие случайного отбора, но не осуществляется одинаковая возможность попадания каждой паковки ящика в выборку. Очевидно, что имеется значительно большая вероятность того, что паковки будут отобраны с поверхности открытого ящика, и очень малая вероятность их извлечения со дна.
Образование случайных выборок при помощи карточек и таблиц
случайных чисел
Наиболее простой способ получения случайной выборочной совокупности заключается в следующем. Члены генеральной совокупности нумеруются один за другим, и затем из полученных номеров наудачу берется столько, сколько членов должно войти в выборочную совокупность. Члены генеральной совокупности, имеющие отобранные таким
образом номера, и образуют случайную выборку.
Чтобы выбирать наудачу номера, можно применять два способа:
1. способ карточек;
2. таблица случайных чисел.
1. При способе карточек каждый номер записывается на карточку. Карточки делаются одинаковыми и тщательно перемешиваются, после чего из них вынимается одна какая-нибудь карточка, и номер ее записывается. Затем она возвращается в пачку, которая
снова тщательно перемешивается, и вновь вынимают одну карточку.
С помощью карточек можно получить как повторную выборку, или выборку с повторением, так и выборку без повторения (в последнем случае каждый вынутый номер
откладывается в сторону, и дальнейшие номера вынимаются уже без него).
Однако практический опыт показывает, что невозможно перемешать карточки так,
чтобы при каждом извлечении равновозможность появления любой из них была гарантирована. Основываясь на практике статистических опытов с карточками, шарами и т.д., во
многих случаях можно сказать, что они дают не те результаты, которые должны наблюдаться согласно законам случая.
2. Таблица случайных чисел используется для составления случайных выборок.
Этот способ лишен недостатков, присущих способу карточек, шаров и т.д. Таблицы случайных чисел впервые были составлены в Англии в 1927г. Типпетом (учеником Пирсона).
В СССР подобные таблицы, но только небольшого объема были составлены в 1931 г.
68
А.К.Митропольским, а затем в 1936г. были составлены таблицы очень большого объема
М.Кадыровым (часть таблиц М.Кадырова приведена в литературе [1, 2]).
Таблицы случайных чисел М.Кадырова состоят из четырехзначных чисел, составленных случайно из чисел 0,1...9. Случайность расположения чисел 0,1...9 в таблицах заключается в том, что нет никакого закона в их расположении, но вместе с тем каждое из
этих десяти чисел на странице встречается приблизительно одинаковое число раз.
Покажем на примерах, как пользоваться таблицами случайных чисел.
Пример 1. Пусть имеется 1000 бобин пряжи из них 30% (300 штук) бракованные
(иной толщины), причем эти дефектные бобины более или менее равномерно распределены среди 1000 бобин.
В этом примере нам известен объем генеральной совокупности и процент бракованных бобин. Покажем теперь, что выборка, составленная с помощью таблиц случайных
чисел, является репрезентативной.
Составим случайную выборку из 100 бобин и посмотрим, какой процент дефектных бобин будет в выборке.
Составлять выборку будем в такой последовательности:
1) пронумеруем все наши 1000 бобин цифрами от 0 до 999, при этом нумеровать бобины будем так, чтобы номера 0,1...299 имели бы бобины бракованные, а номера
300,301...999 хорошие бобины;
2) открываем таблицу случайных чисел и с любого ее места выписываем 100 трехзначных чисел (т.к. нумерация наших бобин трехзначная), опуская одинаковые номера, если
они встречаются.
Пусть этими номерами будут следующие (1-я стр. таблиц М.Кадырова):
857
457
499
762
431
698
038
558
653
573
609
179
974
011
098
805
516
296
149
815
070
692
696
203
350
900
451
318
798
111
933
199
183
421
338
104
190
150
449
320
165
617
369
069
248
960
652
367
168
261
549
627
832
609
577
805
999
218
878
535
097
389
524
134
388
970
030
033
712
775
814
301
167
551
566
585
781
822
903
417
253
537
100
994
830
516
029
223
644
249
085
732
673
851
146
830
265
973
317
016
Из 100 выписанных чисел 33 приходятся на номера от 0 до 299 (эти числа подчеркнуты в таблице), т.е. в выборке оказалось 33% бракованных бобин, что достаточно близко
к проценту бракованных бобин в генеральной совокупности. Если мы возьмем 100 трехзначных чисел в любом другом месте таблицы, то увидим, что процент бракованных бобин тоже будет близки к 30%.
Во взятом примере мы заранее знали, что в генеральной совокупности 30% бракованных бобин, т.е. выборка оказалась репрезентативной.
Этот пример показывает, что можно судить достаточно точно о проценте бракованных бобин в генеральной совокупности, состоящей из 1000 бобин, по их проценту в
выборке, состоящей из 100 бобин, выбранных при помощи таблицы случайных чисел, и в
том случае, когда этот процент нам не был известен заранее до опыта.
В таком случае (при неизвестном заранее проценте бракованных бобин в генеральной совокупности) обратная задача была бы такова: найти процент бракованных бобин в
генеральной совокупности по проценту их в выборке, состоящей из 100 бобин.
Для решения этой задачи нам надо было бы отобрать с помощью таблиц случайных чисел для испытания те 100 бобин, номера которых попали в выборку. При этом мы
бы получили процент бракованных бобин, близкий к 30%. А так как мы ранее на примере
убедились, что выборка, составленная с помощью таблиц случайных чисел, является ре69
презентативной, то, следовательно, мы можем утверждать, что и в генеральной совокупности процент бракованных бобин близок к 30%.
Пример 2. Отобрать из 100 некоторых предметов (например, изделий) случайным
образом 20.
Для этого необходимо выполнить следующее:
1) пронумеруем наши предметы от 0 до 99;
2) из любого места таблицы случайных чисел выписываем 20 различных двухзначных чисел, опуская одинаковые, если они встречаются, числа 01, 02 и т.п.
считаются двухзначными.
Выпишем эти числа, опуская одинаковые, если они встречаются, с первой строки
таблицы случайных чисел, приведенной в приложении:
89
83
56
35
88
12
38
60
69
20
22
77
65
55
79
24
78
44
50
87
Эти числа и дадут нам номера тех предметов из 100, которые нужно считать отобранными наудачу. Отобранные таким образом предметы составят случайную выборку
без повторения объема 20 из нашей генеральной совокупности объема 100.
Изучив эти 20 предметов, мы изучим свойства выборки, по которым можно судить
с некоторым приближением о свойствах генеральной совокупности.
Задание
Составить случайную выборку из 100 бобин, используя таблицу случайных чисел,
приведенную в приложении. Определить процент бракованных бобин в выборке, аналогично примеру 1. Сделать выводы.
Одностепенный механический метод
Этот метод основан на нумерации всех объектов генеральной совокупности и отборе
их части через определенный интервал. Например, в выборку берут 5, 10, 15, 20-й и т.д.
объекты. Этот метод практически неприменим при очень большом числе объектов в генеральной совокупности.
2. Двухстепенные методы отбора
Двухстепенные методы отбора применяют при разделении генеральной совокупности
на отдельные, примерно равные части и фиксации этого разделения в выборке, а также
при записи и обработке результатов испытаний.
Партии большинства материалов состоят из отдельных частей (например, партия пряжи из коробок и отдельных бобин).
Однако если партия материала разделена на части, а отобранные из разных ее частей
объекты объединены в одну выборку, такая выборка называется одностепенной.
Механический двухстепенный метод отбора
Предусматривает деление генеральной совокупности на равные серии (группы)
объектов. От каждой серии отбирают случайным методом по одному объекту или проводят по одному испытанию.
Серийный метод отбора
Такой метод отбора начинают с предварительного разделения генеральной совокупности на равные серии (группы) объектов; затем случайным методом отбирают несколько
серий, которые испытывают полностью. Подобный отбор на практике используют очень
редко, поскольку серии обычно достаточно большие, а полное испытание даже одной серии требует значительного времени.
Комбинированный метод отбора
Особенно часто используется при оценке качества нитей, когда каждая паковка является серией с большим числом возможных испытаний. В выборку случайно отбирают
70
несколько серий (паковок), которые испытывают не полностью, а частично. При этом методе наименьшую ошибку выборки среднего получают при проведении одного испытания
на паковку и при возможно большем числе паковок в выборке.
3. Трехстепенный метод отбора
Этот метод отбора предусматривает разделение генеральной совокупности на равные
группы, которые, в свою очередь, подразделяются на серии, состоящие из одинакового
числа объектов. Из нескольких групп отбирают по одинаковому числу серий, а из каждой
серии испытывают по одинаковому числу объектов.
Например, при испытании нитей из партии отбирают несколько ящиков (групп), из
каждого ящика берут одинаковое количество паковок (серий), а из каждой паковки испытывают одно и то же число отрезков нити.
Контрольные вопросы
1) Что такое репрезентативная выборка?
2) Назовите основные требования, предъявляемые к выборочной совокупности.
3) Назовите основные методы отбора выборок.
4) Каким образом можно получить случайную выборку? Приведите примеры.
5) Каким образом можно получить выборку, используя одностепенный механический метод отбора?
6) Какие виды одностепенного метода отбора выборки вы знаете? Приведите примеры.
7) Каким образом можно получить выборку, используя двухстепенный механический метод отбора?
8) Какие виды двухстепенного метода отбора выборки вы знаете? Приведите примеры.
9) Каким образом можно получить выборку, используя двухстепенный серийный
метод отбора?
10) Каким образом можно получить выборку, используя двухстепенный комбинированный метод отбора?
11) Каким образом можно получить выборку, используя трехстепенный метод отбора?
ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Всякое статистическое исследование состоит из:
1) отбора (выборки) какого-то количества членов генеральной совокупности;
2) испытания их по какому-нибудь признаку;
3) записи результатов измерения.
В итоге получается выборочная совокупность в виде первоначальной таблицы вариантов.
Вторым этапом статистического исследования является упорядочение первоначальной таблицы. Достигают этого двумя способами:
1) путем составления вариационного ряда, т.е. переписи всех членов первоначальной таблицы в порядке возрастания (убывания) вариантов;
2) путем составления таблицы распределения частот или частостей.
Частотой m при дискретном изменении признака называется число одинаковых
вариантов в выборочной совокупности, а при непрерывном изменении признака – число
вариантов, попадающих на тот или иной из частных интервалов x, на которые разбивается общий интервал изменения признака в данной выборке.
Сумма всех частот равна объему выборки n:
k
m
i 1
i
n 71
(1)
где k – число частных интервалов.
Относительной частотой (частостью) w называется отношение частоты m к объему n.
m
n
Сумма относительных частот равна единице или 100%:
w
(2)
k
w
i
1
(3)
i 1
Таблицей распределения частот при дискретном изменении признака называется
таблица, состоящая из отличных один от другого вариантов, записанных в порядке возрастания или убывания, с указанием их частот (относительных частот); в случае непрерывного изменения признака таблица, состоящая из частных интервалов xi или их середин xi с указанием частот (относительных частот) вариантов, приходящихся на каждый
из этих интервалов.
Пример
В табл.2 приведены результаты измерения линейной плотности (текс) крученой
нити.
Таблица 2
Результаты измерения линейной плотности (текс) крученой нити
112
127
111
112
118
109
101
112
105
120
104
110
123
108
104
115
99
105
105
112
109
102
120
115
116
98
112
112
98
120
113
109
101
98
114
111
111
125
105
109
110
105
111
112
96
113
108
111
123
139
108
95
115
107
121
103
113
116
121
109
113
136
109
111
116
110
114
106
104
96
111
129
112
112
114
111
112
115
101
113
102
110
120
101
108
117
121
103
111
112
99
126
119
120
95
97
95
90
98
98
Для составления таблицы распределения частот необходимо:
1. Выявить по первоначальной таблице (табл.2) наибольший xmax и наименьший xmin
варианты и определить общий интервал изменения признака в данной выборке.
xmax=139,
xmin=90.
R x max x min
R
x
m ax
x
R
(4)
R xm a x xm i n3( 4)9 9 0 4 9
m i n
139
92
47
R 139 - 90 49.
2. Разделить общий интервал на k частных интервалов или классов x. Число классов k зависит от объема выборки n и определяется по формулам:
k 3,332 lg n 1
k 45 0,75(n - 1) 2
или по табл.3.
при 50 n 200
(5)
при
(6)
n 200
Таблица 3
Зависимость числа классов k от объема выборки n
Объем выборки, n
40-60
Число
5-7
классов, k
60-100
7-10
100-200
10-14
72
200-300
14-15
300-500
15-18
500
18-25
Классовый интервал x, или разницу между нижними (верхними) пределами
смежных классов, определяют по формуле:
где k – число классов.
R
x ,
(7)
k
Желательно, чтобы величина классового интервала была кратной 10 или 5, так как
тогда значительно облегчается разноска первичных данных в таблице распределения частот.
Для данных табл.2, при объеме выборки n=100 и числе классов k=10, определяют
классовый интервал:
49
4,9 5
10
3. Определить границы каждого классового интервала, начиная с наименьшего
(или наибольшего) варианта. Полученные классовые интервалы и их середины внести в
составляемую таблицу распределения частот.
Для данных табл.2 границы каждого классового интервала записывают в первую
графу таблицы распределения (табл.4). В первой строке слева записывают наименьший
результат из табл.2 xmin=90. Каждое число, записываемое слева в первой графе других
строк, определяют последовательным прибавлением интервала x до получения наибольшего результата xmax=139 или числа меньшего его. В итоге находят все нижние границы
классов.
Верхние границы классов определяют, прибавляя к нижним границам интервал x
и вычитая величину низшего разряда r первичных результатов. В рассматриваемом случае
x=5 и r=1; поэтому верхние границы классов больше нижних на x–r=4. Верхние границы записывают в первой графе справа, отделяя их от нижних чертой.
Далее определяют среднее значение для каждого классового интервала и записывают его во вторую графу таблицы распределения.
4. Определить принадлежность каждого значения первоначальной таблицы к тому
или иному классовому интервалу.
Для упрощения подсчетов числа результатов в графе 3 табл.4 можно первые четыре результата отмечать вертикальными черточками, а пятый – поперек их горизонтальной
черточкой. По черточкам подсчитать частоту m, приходящуюся на каждый класс. При необходимости определить относительную частоту w по формуле (2) для каждого классового промежутка.
Таблица 4
Таблица распределения частот
x
Границы
классов,
x
1
90-94
95-99
100-104
105-109
110-114
Среднее
значение
класса,
Х
2
92
97
102
107
112
115-119
117
Отметки числа
результатов в
границах
класса
3
Частота,
m
4
1
13
11
17
32
10
73
Относительная
частота,
w
5
0,01
0,13
0,11
0,17
0,32
0,10
Плотность
Накопотноситель- ленная
ной часто- частота,
ты, y
S(m)
6
7
0,002
1
0,026
14
0,022
25
0,034
42
0,064
74
0,02
84
120-124
125-129
130-134
135-139
Сумма
122
127
132
137
10
4
0
2
100
0,10
0,04
0
0,02
1
0,02
0,008
0
0,004
94
98
98
100
Таблицы распределения частот (табл.4) представляют собой таблично-заданные
функции, связывающие частоты m или относительные частоты w с частными интервалами
x изменения признака X или с их серединами x. Указанные функции, характеризующие
распределение признака Х в выборочных совокупностях, называются эмпирическими законами распределения признака.
Эмпирические законы распределения признака могут быть изображены графически
в виде полигонов или гистограмм. Полигоном частот, или относительных частот называется ломаная линия, получаемая путем откладывания по оси абцисс значений признака
Х (например, границ частных интервалов х), построения над серединами частных интервалов соответствующих частот m или относительных частот w и соединения получаемых точек (рис.4).
Частота, m
35
30
25
20
15
10
5
0
80
90
100
1 10
120
130
140
Л и н ей ная пл отн ость ,x
Рис.3. Полигон частот
Гистограммой называется ступенчатый график, состоящий из прямоугольников,
основаниями которых служат частные интервалы хi, а площади равны частотам mi или
относительным частотам wi.
Из того, что mi=yiхi или wi=yiхi,
где yi – высоты прямоугольников, следует что
mi
w
или
yi i
(8)
x i
x i
Такие выражения называются плотностями частоты или относительной частоyi
ты.
На рис.4 изображена гистограмма, соответствующая таблице распределения
(табл.4), в таблице в столбце 5 подсчитаны плотности относительных частот yi по формуле(8).
74
35
30
Частота, m
25
20
15
10
5
0
90-94 95-99
100104
105109
110114
115119
120124
125129
130134
135139
Границы классов, x
Рис.4 Гистограмма относительных частот
Свойства гистограмм относительных частот следующие:
1) Площадь части гистограммы относительных частот, соответствующая интервалу от x=a до x=b равна относительной частоте вариантов на этом интервале:
Sab=w (a<X<b)
2)Площадь всей диаграммы относительных частот равна единице: Sобщ=1.
В некоторых случаях применяют гистограммы, на которых по оси абцисс откладывают значения частоты (относительной частоты). На рис.5 приведена такая гистограмма
частот, построенная по данным табл.4.
Кроме законов распределения в виде таблиц распределения частот m (относительных частот w), существует также суммарный закон распределения накопленных частот
S(m).
y 0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
80
85
90
95
100 105 1 10 115 120 1 25 13 0 135 140 14 5
Линейная пло тно сть, x
Рис.5. Гистограмма частот
75
Накопленной частотой (или кумулятивной частотой) для варианта хр называется
сумма частот S(mр).вариантов, не превышающих хр, т.е.
S ( m p ) m1 m 2 ... m p
(9)
График суммарного распределения накопленных частот называется кумулятой. На
рис.6 изображена кумулята, построеная по данным табл.4, в таблице в столбце 7 подсчитаны накопленные частоты S(m)по формуле (9).
110
Накопленная частота, S(m)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
Л и н ей н а я п л о тн о сть , Х
Рис.6. Кумулята
Задание:
По первоначальным таблицам индивидуального задания составить таблицы распределения частот, рассчитать относительные частоты, накопленные частоты, построить
полигоны и гистограммы частот и относительных частот, кумуляту.
Контрольные вопросы
1) Что называется частотой?
2) Что такое относительная частота?
3) Как составляется таблица распределения частот?
4) Что такое полигон частот?
5) Как строится гистограмма частот (относительных частот)?
6) Что такое плотность частоты (относительной частоты)?
7) Как определяется накопленная частота?
8) Что такое кумулята?
СВОДНЫЕ ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Для уплотнения первичной информации рекомендуется применять сводные характеристики, заменяющие совокупность первичных результатов отдельных измерений.
1.Средняя величина признака в выборке
Статистическую совокупность можно охарактеризовать различными средними величинами. Среднее значение определяет центр распределения случайных величин, около
которого группируется большая их часть. Этот центр распределения характеризуется
средней арифметической, средней квадратической, средней гармонической и средней геометрической.
76
Среднюю арифметическую определяют, складывая все результаты и деля сумму на
число испытаний:
где n численность выборочной совокупности.
Если среднюю арифметическую Х используют для расчета других характеристик,
n
Xi
Х 1 Х 2 ... Х n
i 1
Х
,
(10)
n
n
то ее записывают на один разряд ниже низшего разряда в отдельных измерениях. Если Х
характеризует итоговый результат испытаний, ее округляют до низшего разряда, одинакового с первичными данными.
Средней квадратической называют квадратный корень из частного от деления
суммы квадратов отдельных значений Хi совокупности на их число.
Выборочная средняя гармоническая определяется по формуле:
Среднюю гармоническую применяют при вычислении среднего номера и при опn
X
i 1
Хk
Хh
2
i
(11)
n
n
.
1
i 1 X i
ределении зависимости между номером и линейной плотностью (текс).
Выборочная средняя геометрическая определяется по формуле:
n
(12)
Х г n Х 1 Х 2 ... Х n .
(13)
Средняя геометрическая применяется в комплексных оценках.
Между рассмотренными средними существует следующее соотношение:
XhXгXXk.
В практике обработки результатов эксперимента при исследовании свойств продуктов или параметров технологических процессов текстильной промышленности чаще
всего используется средняя арифметическая.
В практике текстильной промышленности применяют еще один вид средней величины моду (напрмер, модальную длину волокна).
В случае дискретного изменения признака модой хмод называется наиболее часто
встречающийся вариант. При непрерывном изменении признака мода это значение признака с наибольшей плотностью.
Если статистическая совокупность дана в виде таблицы распределения частот (или
относительных частот), то приближенно за моду хмод можно принять середину интервала с
наибольшей частотой (относительной частотой), т.е. абсциссу середины наиболее высокой
ступеньки гистограммы. Более точно мода хмод это абсцисса максимума кривой, сглаживающей гистограмму в области ее вершины.
2. Мера рассеяния признака в выборке
Существует несколько видов меры рассеяния.
Размах варьирования определяют как разность между наибольшим показателем
хmax и наименьшим хmin по формуле (4).
77
Неравномерность материала оценивают по среднему размаху варьирования из m
выборок:
где Rn1, Rn2,…, Rnm значение размахов для m выборок по n испытаний в каждой.
1 m
(14)
Rni ,
m i 1
При небольшом числе измерений (n10) размахом пользуются, когда нужно быстро и не очень точно определить рассеяние отдельных значений случайных величин. Чем
больше число измерений, тем менее надежным критерием рассеяния становится размах.
Рассеяние значений статистической величины может быть также охарактеризовано
средним абсолютным отклонением:
Если статистическая совокупность задана таблицей распределения частот mi (отноRnв
n
X
i
X
i 1
.
(15)
n
сительных частот wi), то среднее абсолютное отклонение рассчитывается:
Величина обладает существенным недостатком: она плохо выявляет рассеяние
при небольшом количестве больших отклонений Xi от X на фоне большого количества малых отклонений.
k
m
i
Xi X
i 1
r
wi X i X .
(16)
n
i 1
Отношение среднего абсолютного отклонение к средней арифметической, выраженное в процентах, называется коэффициентом неровноты:
100, %.
(17)
X
Сумма всех положительных отклонений от средней по абсолютной величине равна
сумме всех отрицательных отклонений. При определении общей суммы абсолютных отклонений достаточно подсчитать только суммы одних положительных или отрицательных
отклонений, а затем ее удвоить. На основании отмеченного свойства коэффициент неровноты можно более просто определить по формуле проф. В.П.Добычина:
или по формуле Зоммера
где
n1 число результатов, меньших общей средней Х;
n общее число испытаний;
S1 сумма результатов, меньших Х;
S сумма всех n результатов;
H
n1 X S)1 n
(X
(18)
HH n 1S 1 200
200,
(19)
nX
X1 средняя из вариантов, меньших Х.
Численное значение коэффициента неровноты, определенное по формулам (17),
(18), (19) одно и то же. Наиболее простой из них является формула проф. В.П.Добычина.
Коэффициент неровноты обладает тем же недостатком, что и среднее абсолютное отклонение.
Абсолютной характеристикой рассеяния случайной величины Хi около центра распределения Х является дисперсия S2{X}. При малом объеме выборки (n30) дисперсия определяется по формуле:
S 2 X
1 n
( X i X )2 .
78
n 1 i 1
(20)
Выражается дисперсия S2{X} в квадратных единицах признака Х.
Величина, равная положительному значению корня квадратного из дисперсии, называется средним квадратическим отклонением величины Х:
S X
1 n
( X i X )2 .
n 1 i 1
(21)
S X
100, %.
(22)
X
Среднее квадратическое отклонение, выраженное в процентах к средней арифметической, называется коэффициентом вариации:
Коэффициент вариации является относительной характеристикой рассеяния случайной величины.
Величина среднего квадратического отклонения S{X}, а следовательно, и величины
S2{X} и C{X}, с ней связанные лучше выявляют большие отклонения на фоне малых, так
как все отклонения возводятся в квадрат и тем самым влияние больших отклонений усиливается.
СX
3. Меры асимметрии и крутовершинности кривой распределения
Эмпирические кривые распределения (рис.3) не всегда следуют нормальному закону распределения. Для многих распределений характерен сдвиг кривой влево или вправо.
Асимметрия характеризует степень несимметричности распределения относительно его среднего. Для вычисления показателя асимметрии используют сумму кубов отклонений от средней:
n
( X i X )3
3
A 3
i 1
,
(23)
S X
n S 3 X
где 3 эмпирический (выборочный) момент третьего порядка.
Чем больше абсолютная величина показателя асимметрии, тем больше скошена
кривая, тем больше ее асимметричность. Если величина показателя асимметрии положительна (А>0), а значит преобладает влияние положительных отклонений, то кривая распределения более полога справа (xмод<X). При отрицательной асимметрии (А<0) кривая
распределения более полога слева (xмод >X).
Эксцесс характеризует “крутость”, т.е. больший или меньший подъем кривой распределения по сравнению с нормальной. Для вычисления эксцесса используют сумму отклонений от средней в четвертой степени:
n
(X i X )4
4
E 4
3 i 1
3,
(24)
S X
n S 4 X
где 4 эмпирический (выборочный) момент четвертого порядка.
Крутовершинность оценивается по сравнению с нормальной кривой распределе
ния, для которой 4 4 3 и, следовательно, Е=0. Если эксцесс положительный (Е>0), то
S X
кривая имеет более высокую и “острую” вершину. Распределение с отрицательным эксцессом (Е<0) имеют более “плосковершинные” и низкие кривые распределения.
79
4. Способ произведений для приближенного расчета характеристик
В тех случаях, когда выборка имеет большой объем (n>30) для упрощенного расчета сводных выборочных характеристик применяют способ произведений (моментов) и
способ сумм.
Способ произведений (моментов) назван так потому, что в вычислительные формулы входят моменты разных степеней, а также при вычислениях преимущественно пользуются произведением различных чисел.
Рассмотрим на примере обработку методом произведений приведенных в табл.2
результатов измерения линейной плотности (текс) крученой нити. Для этого все результаты распределяют по k классам (интервалам) аналогично примеру, рассмотренному в предыдущем разделе (см. табл.4).
Для удобства расчетов все результаты сводят в табл.5, в которой графы 1, 2, 3 рассчитываются аналогично табл.4. Условный центр х0 намечают против одной из наибольших частот. Центру соответствует условное отклонение =0, которое фиксируется в графе
4. В этой графе записывают постепенно изменяющиеся на единицу отклонения : вверх от
нуля отрицательные, вниз положительные. После этого для всех интервалов вычисляют m, m2, m3, m4, которые записывыют соответственно в графах 5, 6, 7, 8. В этих
графах подсчитывают соответствующие суммы m, m2, m3, m4.
Таблица 5
Расчет выборочных характеристик способом произведений
Границы
Среднее
Условное
классов,
значение
Частота,
отклонение,
m
m2
m3
m4
класса, Х
m
x
1
2
3
4
5
6
7
8
90-94
92
1
16
256
4
4
64
95-99
97
13
117
1053
3
39
351
100-104
102
11
44
176
2
22
88
105-109
107
17
17
17
1
17
17
110-114
112
32
0
0
0
0
0
115-119
117
10
+1
10
10
10
10
120-124
122
10
+2
20
40
80
160
125-129
127
4
+3
12
36
108
324
130-134
132
0
+4
0
0
0
0
135-139
137
2
+5
10
50
250
1250
Сумма
100
330
3246
30
72
Условные
82,5
20287,5
1,5
90
моменты
Далее вычисляют условные моменты по формулам:
k
m
m1
i
i
i 1
n
mi i2
k
m2
i 1
n
x
(25)
x 2
(26)
x 3
(27)
x 4 ,
80
(28)
k
m
m3
i
i3
i 1
n
k
m
m4
i
i 1
n
i4
где х классовый интервал.
Условные моменты записывают в соответствующих графах табл.5.
Определив значение х0 как среднее границ класса с=0, вычисляют выборочное
среднее Х по формуле:
k
x mi i
i 1
X x0
x 0 m1 ,
n
(29)
Для данных табл.5 получаем:
110 114
х0
112
S 2 X 2 (m 2 m12 ),
(30)
Х 112 1,5 110,5.
Дисперсия рассчитывается по формуле:
где m1, m2 соответствующие условные моменты.
Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации определяется по
формулам (21) и (22).
Для данных табл.5 получаем:
2
S 2 X 82,5 1,5 80,25
S X 80,25 8,96
8,96 100
8,1%
110,5
Показателей асимметрии и эксцесса рассчитываются по следующим формулам:
m 3 3m1m 2 2m13
A
(31)
S 3 X
CX
4m 3 m1 6m 2 m12 3m14
3.
(32)
S 4 X
Для распределения, приведенного в табл.5 , показатели асимметрии и эксцесса
имеют следующие значения:
Таким образом, распределение имеет положительную асимметрию и положительный эксцесс, т.е. кривая распределения более полога справа и имеет более высокую и
E
m
4
3
A
90 3 1,5 82,5 2 1,5
0,38
8,96 3
20287,5 4 90 1,5 6 82,5 1,5 3 1,5
3 0,23.
8,96 4
«острую» вершину по сравнению с нормальным распределением. Это подтверждает график кривой распределения, который приведен для данной таблицы распределения на
рис.3.
Сводные выборочные характеристики можно приближенно определить по способу
сумм путем кратного сложения частот по схеме, приведенной в табл.6.
В качестве условного среднего выбирают обычно интервал или класс, имеющий
наибольшую частоту и расположенный в средней части колонки классов. Против класса с
наибольшей частотой в графе 4 ставят прочерк (см. табл.6). В графе 4 проставляют накопленные частоты сверху вниз и снизу вверх до прочерка. Далее подсчитывают суммы нижней части а1 и верхней части b1 графы 4:
а1 сумма чисел графы 4 снизу до прочерка;
b1 сумма чисел графы 4 сверху до прочерка.
2
E
81
4
Таблица 6
Расчет выборочных характеристик способом сумм
Границы
классов,
x
1
90-94
95-99
100-104
105-109
110-114
115-119
120-124
125-129
130-134
135-139
Сумма
Среднее
значение
класса, Х
2
92
97
102
107
112
117
122
127
132
137
Частота,
m
3
1
13
11
17
32
10
10
4
0
2
100
b1=82
b2=56
b3=17
b4=1
4
5
6
7
1
14
25
42
26
16
6
2
2
a1=52
1
15
40
26
10
4
2
a2=42
1
16
16
6
2
a3=24
1
8
2
a4=10
В графе 5 ставят три прочерка: средний из них против класса с наибольшей частотой, один строчкой выше и один строчкой ниже, далее подсчитывают накопленные частоты сверху и снизу до прочерков. В графе 6 ставят пять прочерков, в графе 7 соответственно семь прочерков, аналогично подсчитывая накопленные частоты, определяют
суммы нижней части а2, а3, а4 и верхней части b2, b3, b4 граф:
а2 сумма чисел графы 5 снизу до прочерка;
b2 сумма чисел графы 5 сверху до прочерка.
а3 сумма чисел графы 6 снизу до прочерка;
b3 сумма чисел графы 6 сверху до прочерка.
а4 сумма чисел графы 7 снизу до прочерка;
b4 сумма чисел графы 7 сверху до прочерка.
Суммы а1 и b1 контролируют крайними значениями расположенными около черточек (эти цифры в табл.6 подчеркнуты):
Условные моменты определяют по формулам:
m1 (a1 b1 )
x
n
a1 26 26 52,
b1 40 42 82.
m2 [a1 b1 2(a 2 b2 )]
x 2
n
m3 (a1 b1 ) 6(a 2 b2 ) 6(a3 b3 )
(33)
(34)
x 3
n
(35)
x 4
m4 (a1 b1 ) 14(a 2 b2 ) 36(a3 b3 ) 24(a 4 b4 )
.
(36)
n
Для приведенного примера (табл.6) условные моменты, рассчитанные способом
сумм, полностью совпадают с условными моментами, определенными способом произведений:
m1 52 82
5
1,5
100
52
m2 52 82 2 42 56 82 82,5
100
m3 52 82 6 42 56 6 (24 17)
53
90
100
54
20287,5
100
Далее аналогично рассчитываются сводные выборочные характеристики по формулам (29)(32).
Задание:
По первоначальным таблицам индивидуального задания составить таблицы распределения частот и рассчитать сводные выборочные характеристики, используя способ
сумм и способ произведений.
Контрольные вопросы
1) Что такое среднее значение? Как оно определяется?
2) Как определяется средняя арифметическая?
3) Что такое мода?
4) Как определяется размах? Что он характеризует?
5) Что такое среднее абсолютное отклонение? Каковы его недостатки?
6) Что такое коэффициент неровноты? Как он определяется?
7) Что такое дисперсия?
8) Как определяется среднее квадратическое отклонение? Что оно характеризует?
9) Что такое коэффициент вариаций? Что он характеризует?
10) Что такое асимметрия? Как она определяется?
11) Что такое эксцесс? Что он показывает?
12) Какие вы знаете приближенные методы расчета сводных выборочных характеристик?
13) Как осуществляется расчет сводных выборочных характеристик способом произведений? Почему он так называется?
14) Как осуществляется расчет сводных выборочных характеристик способом
сумм? Почему он так называется?
m4 52 82 14 42 56 36 (24 17) 24 10 1
3.3 Методические указания по выполнению курсовой работы
В ходе выполнения курсовой работы студенты практически используют теоретические знания, полученные в результате прослушивания лекций, выполнения лабораторных
работ и практических занятий.
Задача курсовой работы научить студентов математико-статистическим методам
для исследования различных технологических процессов. В ходе выполнения курсовой
работы студенты обрабатывают данные эксперимента и получают однофакторные и многофакторные регрессионные и корреляционные модели с помощью различных методов,
проверяют значимость их коэффициентов и адекватность полученных моделей. И подтверждают свои расчеты, получая данные модели с помощью электронной таблицы Excel
на ЭВМ.
СТРУКТУРА КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Титульный лист
РЕФЕРАТ
ЗАДАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. РАСЧЕТ СВОДНЫХ ВЫБОРОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СПОСОБОМ
СУММ (ПРОИЗВЕДЕНИЙ)
2. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОФАКТОРНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ
2.1 Исключение резко выделяющихся данных
83
2.2 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайных величин выходного параметра
2.3 Проверка гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы
2.4 Определение средней дисперсии выходного параметра в опытах матрицы
2.5 Определение подходящего вида регрессионной модели
2.6 Определение коэффициентов регрессии
2.7 Определение адекватности полученного уравнения
2.8 Определение значимости коэффициентов регрессии и их доверительных интервалов
2.9 Определение доверительных интервалов средних значений выходного параметра при фиксированном значении фактора
2.10Определение доверительных интервалов для индивидуальных значений выходного параметра при каждом уровне фактора
2.11Расчет линейной однофакторной регрессионной модели с помощью электронной таблицы Excel
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ОДНОФАКТОРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПО ДАННЫМ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
3.1 Составление корреляционной таблицы
3.2 Кодирование случайных величин
3.3 Определение средних значений кодированных случайных величин
3.4 Определение средних значений натуральных случайных величин
3.5 Определение дисперсии и среднего квадратического отклонения кодированных
случайных величин
3.6 Определение дисперсии и среднего квадратического отклонения натуральных
случайных величин
3.7 Определение коэффициента корреляции и коэффициента детерминации
3.8 Определение значимости коэффициента корреляции
3.9 Определение дисперсионного и корреляционного отношения
3.10Определение значимости корреляционного отношения
3.11Проверка гипотезы о линейной связи между Y и X
3.12Определение коэффициентов в корреляционных уравнениях
3.13Определение значимости коэффициентов в корреляционных уравнениях
3.14Определение корреляционной однофакторной математической модели с помощью электронной таблицы Excel
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЯ
Примерное задание к курсовой работе
1) Вычислить выборочные статистические характеристики способом сумм. Для
дискретных признаков построить полигоны, а для непрерывных - гистограммы частот.
Ширина плеча девушек некоторого города (в см):
12.1 11.8 12.6 13.2 13.4 12.1 13.8 12.9 12.5
13.0 11.7 12.1 11.8 12.6 12.9 13.6 13.3 12.7
12.7 12.4 12.8 13.5 12.5 13.0 13.5 13.1 11.9
12.6 12.3 12.7 12.4 13.2 12.9 13.4 13.0 12.9
12.5 12.2 13.7 13.8 13.3 13.1 12.8 13.5 13.4
12.8 12.1 11.7 11.5 12.9 12.7 12.0 12.4 12.7
12.6 12.3 11.9 13.3 13.5 13.5 13.4 11.9 12.6
12.8 12.5 12.2 12.0 11.5 12.9 12.8 13.0 12.2
13.1 12.6 12.1 12.8 14.3 13.2 12.7 12.9 12.8
13.2 13.2 12.2 13.8 12.9 12.6 12.6 13.5 11.6
84
2) Определить однофакторную регрессионную модель зависимости между изменением удлинения (в %) льняной пряжи и круткой К (число кручений на 1 см) по результатам испытаний, сведенным в таблицу:
К
0,5
0,7
1,0
1,2
1,4
1,8
1
0,3
0,4
1,3
1,4
2,2
2,8
2
0,2
0,5
1,1
1,6
2,3
2,7
3
0,4
0,6
0,9
1,5
2,2
2,8
4
0,2
0,4
0,8
1,3
1,8
2,9
5
0,3
0,7
1,1
1,4
1,9
3,0
3) Определить корреляционную однофакторную математическую модель по данным пассивного эксперимента.
По замерам обхвата груди Х (в см) и роста Y (в см) у 44 мужчин некоторой области
(результаты замеров сведены в прилагаемую таблицу). Найти приближенную зависимость
между Y и X и между X и Y, а также оценить тесноту корреляционной связи между ними.
X
96
98
101
89
102 103
98
104
98
103
92
Y
173 175 169 163 185 173 171 178 175 175 172
X
100 101
98
95
104
95
94
97
97
95
98
Y
167 177 173 171 171 173 167 170 175 174 167
X
102
97
102
99
90
95
100
93
98
99
102
Y
180 166 180 176 163 176 177 168 174 172 170
X
97
101
93
98
106
99
93
98
97
100
97
Y
177 175 171 171 175 173 167 179 177 180 172
ГРАФИК ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
№ недели
Раздел курсовой работы
1,2
Выдача задания к курсовой работе
3,4
1. Расчет сводных выборочных характеристик
4
Контрольная точка №1
5,6,7,8
2. Расчет линейной (параболической) однофакторной регрессионной модели
8
Контрольная точка №2
9,10,11
3. Расчет корреляционной однофакторной модели по данным пассивного эксперимента
11
Контрольная точка №3
12
Оформление пояснительной записки
13,14
Проверка и защита курсовой работы
4. КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ
4.1. Перечень форм контроля
Промежуточный контроль знаний студентов осуществляется при подготовке к работе, выполнении и сдаче каждого задания лабораторной работы, а так же во время контрольных точек при выполнении курсовой работы.
В качестве заключительного контроля знаний студентов в 6 семестре служат курсовая работа и зачет. К зачету допускаются студенты при выполнении и защите всех лабораторных работ. К защите курсовой работы допускаются все студенты, выполнившие
график курсовой работы.
85
4.2. Оценка знаний студентов
Нормы оценки знаний предполагают учет индивидуальных особенностей студентов, дифференцированный подход к обучению, проверке знаний, умений.
В устных ответах студентов на зачете и при защите курсовой работы учитываются:
глубина знаний, полнота знаний и владение необходимыми умениями (в объеме полной
программы); осознанность и самостоятельность применения знаний и способов учебной
деятельности, логичность изложения материала, включая обобщения, выводы (в соответствии с заданным вопросом), соблюдение норм литературной речи.
4.3. Критерии оценки
Оценка знаний при защите курсовой работы производится по четырех балльной
системе.
Оценка "пять" – материал усвоен в полном объеме; изложен логично; основные
умения сформулированы и устойчивы; выводы и обобщения точны.
Оценка "четыре" – в усвоении материала незначительные пробелы, изложение недостаточно систематизированное; отдельные умения недостаточно устойчивы; в выводах
и обобщениях допускаются некоторые неточности.
Оценка "три" – в усвоении материала имеются пробелы: материал излагается несистематизированно; отдельные умения недостаточно сформулированы; выводы и обобщения аргументированы слабо; в них допускаются ошибки.
Оценка "два" – основное содержание материала не усвоено, выводов и обобщений
нет.
Оценка знаний при зачете осуществляется в следующей форме.
Ставится «зачет» – материал усвоен в полном объеме; изложен логично; основные
умения сформированы и устойчивы; выводы и обобщения точны или в усвоении материала имеются незначительные пробелы; изложение недостаточно систематизировано; отдельные умения недостаточно устойчивы; в выводах и обобщениях допускаются некоторые неточности.
Ставится «незачет» – в усвоении материала имеются пробелы; материал излагается
не систематизировано; отдельные умения недостаточно сформированы; выводы и обобщения аргументированы слабо; в них допускаются ошибки; основное содержание материала не усвоено.
4.4. Итоговый контроль знаний
1. Научно-исследовательская работа и подготовка к ее проведению.
2. Этапы научно-исследовательской работы.
3. Задачи и организация научно-исследовательских работ
4. Научная работа и технический прогресс.
5. Виды научно-исследовательских работ в текстильной и легкой промышленности.
6. Особенности поисковых исследовательских работ, их значение. Лабораторные
и производственные эксперименты.
7. Отчет об исследовательской работе. Дневники исследовательской работы.
8. Обобщение результатов обработки экспериментальных данных. Содержание
отчета по исследовательской работе и сущность его разделов.
9. Математическая модель. Виды и способы получения математической модели.
10. Регрессионные и корреляционные модели, статистические и динамические модели, их сущность.
11. Сущность активного и пассивного эксперимента.
12. Классический и факторный математический методы планирования активного
эксперимента. Область применения этих методов.
86
13. Кодирование уровней факторов. Матрицы классического и полного факторного планирования эксперимента.
14. Подготовка и проведение предварительного эксперимента.
15. Задачи первичной обработки результата.
16. Методы исключения резко выделяющихся величин (среднего, дисперсии, коэффициента вариации).
17. Виды активного эксперимента с классическим и факторным планированием.
Выбор вида эксперимента.
18. Планирование эксперимента: составление матрицы планирования и рандомизации повторных опытов.
19. Выбор значений основных уровней факторов, интервалов варьирования их и
числа уровней. Составление рабочей матрицы эксперимента.
20. Однофакторная полиномиальная регрессионная модель. Условия ее определения. Матрица планирования с натуральными и кодированными значениями уровней факторов.
21. Анализ данных эксперимента. Исключение резко выделяющихся величин.
22. Определение коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов.
23. Проверка значимости коэффициентов регрессии и адекватности регрессионной
модели.
24. Определение доверительных интервалов выходного параметра.
25. Построение матрицы планирования. Определение полиномиальной многофакторной модели (РМФМ) второго порядка. Область применения этих экспериментов.
26. Определение коэффициентов регрессии по данным эксперимента и их значимость. Оценка адекватности РМФМ второго порядка.
27. Подготовка и проведение пассивного эксперимента его особенности.
28. Понятие о коэффициенте корреляции.
29. Корреляционная таблица.
30. Дисперсионное и корреляционное отношение.
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ.
а) основная литература
1. Абакумова, И.В. Методы и средства исследования технологических процессов:
Учебное пособие: рек. ДВ РУМЦ /И.В.Абакумова.- Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2010.114с.
2. Кожухар, В.М.
Основы научных исследований [Текст] : учеб. пособие / В. М.
Кожухар. - М. : Дашков и К, 2010. - 216 с.
б) дополнительная литература.
1. Севостьянов А.Г.Оптимизация механико-технологических процессов текстильной промышленности: учебник для вузов/, А.Г.Севостьянов, П.А Севостьянов.- М.: Легпромбытиздат, 1991.-256c.
2. Севостьянов А.Г. Методы и средства исследования механико-технологических
процессов текстильной промышленности: Учебник для вузов./ А.Г.Севостьянов - М: Легкая индустрия, 1980.- 392 с.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерное приложение: Учебное пособие для вузов. Рек. МО РФ/ Е.С. Вентцель. - М.: Высшая школа, 2000.
4. Тюрин Ю.Н. Статистический анализ данных на компьютере. / Ю.Н.Тюрин, А.А.
Макаров - М.: ИНФРА, 1998.
5. Рыжиков Ю.И. Решение научно-технических задач на персональном компьютере: Для студентов и инженеров./ Ю.И.Рыжиков -СПб.: КОРОНА принт, 2000.
87
6. Васильев О.В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях: Учебное пособие./
О.В.Васильев, А.Аргучинцев. - М.: Физматлит, 1999.
7. Абакумова И.В. Выборочные статистические совокупности в текстильной и легкой промышленности. Учебно-методическое пособие. Амурский гос.ун-т, Благовещенск,
2001.
8. Абакумова И.В. Обработка данных средствами Excel. Учебно-методическое пособие./ И.В.Абакумова, Т.А.Тибенко, Т.Н. Сухова - Амурский гос.ун-т, Благовещенск,
2006.
9. Периодические издания РФ – журналы: «Ателье», «Текстильная промышленность», «Швейная промышленность», «Interneshnl Tekstile», «Известия вузов. Технология
легкой промышленности», «Известия вузов. Технология текстильной промышленности».
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
Наименование ресурса
Краткая характеристика
2
3
http://www.iqlib.ru
Интернет-библиотека образовательных изданий, в
которой собраны электронные учебники, справочные
и учебные пособия. Удобный поиск по ключевым
словам, отдельным темам и отраслям знания
2
Консультант +
Справочно-правовая
система.
Содержит
законодательную
базу,
нормативно-правовое
обеспечение, статьи.
3
Электронная библиотечная ЭБС по тематике охватывает всю область
система «Университетская гуманитарных знаний и предназначена для
использования в процессе обучения в высшей
библиотека- online»
www.biblioclub.ru
школе, как студентами и преподавателями, так и
специалистами-гуманитариями.
4
www.sovremenniy.doco.ru.
Современный словарь
№
1
1
88
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 260704, 260901, 260902
6 семестр
№
недели
№ темы
лекции
Вопросы,
рассматриваемые
в лекции
3
Цели и задачи курса.
Научноисследовательская работа и подготовка к ее
проведению.
Этапы
НИР.
Математическое
описание технологических
процессов
1
1, 2
2
1
3, 4,
2
5
3
Предварительный
перимент
6, 7, 8
4
Активный эксперимент.
Методы
определения
регрессионной
однофакторной модели
экс-
№ практического
занятия
4
1
№ лабораторной
работы
5
1
2
1
3
2
3, 4
2
89
Самостоятельная работа студентов
содержание
часы
форма контроля
6
1. Расчет сводных выборочных характеристик.
2. Оформление отчета в тетради
3. Выполнение индивидуального
практического задания
7
8 (6)
8
Защита лабораторной
работы с предоставлением отчета и индивидуального задания.
1. Расчет сводных выборочных характеристик.
2. Оформление отчета в тетради
3. Выполнение индивидуального
практического задания
1. Построение математической модели и ее графика по индивидуальному заданию.
2. Оформление отчета в тетради
3. Выполнение индивидуального
практического задания
1. Построение математической модели и ее графика по индивидуальному заданию.
2. Оформление отчета в тетради
3. Выполнение индивидуального
практического задания
8 (6)
Защита лабораторной
работы с предоставлением отчета и индивидуального задания.
8 (6)
Защита лабораторной
работы с предоставлением отчета и индивидуального задания.
10 (8)
Защита лабораторной
работы с предоставлением отчета и индивидуального задания.
9, 10,
11
5
Квадратическая параболическая однофакторная регрессионная модель (модель второго
порядка)
5
3
1. Построение математической мо- 10 (9) Защита лабораторной
дели и ее графика по индивидуальработы с предоставному заданию.
лением отчета и инди2. Оформление отчета в тетради
видуального задания.
3. Выполнение индивидуального
практического задания
12, 13,
6
Пассивный эксперимент
6
3
1. Построение математической мо- 10 (8) Защита лабораторной
14
дели и ее графика по индивидуальработы с предоставному заданию.
лением отчета и инди2. Оформление отчета в тетради
видуального задания.
3. Выполнение индивидуального
практического задания
Примечание. В скобках указано количество часов на самостоятельную работу для студентов специальности 260704 – «Технология
текстильных изделий».
90
СОДЕРЖАНИЕ
1 Рабочая программа
1.1 Цели и задачи освоения дисциплины
1.2 Место дисциплины в структуре ОПП
1.3 Требования к результатам освоения дисциплины
1.4 Структура и содержание дисциплины
1.5 Содержание разделов и тем дисциплины
1.6 Самостоятельная работа
1.7 Образовательные технологии
1.8 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины
1.9 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
1.10 Материально-техническое обеспечение дисциплины
2 Краткое изложение программного материала
3 Методические указания по изучению дисциплины
3.1 Методические указания к лабораторным работам
3.2 Методические указания для выполнения практических занятий
3.1 Методические указания по выполнению курсовой работы
4 Контроль знаний
4.1 Перечень форм контроля
4.2 Оценки знаний студентов
4.3 Критерии оценки
4.4 Итоговый контроль знаний
5 Учебно-методические материалы по дисциплине
6 Учебно-методическая карта дисциплины
91
3
3
3
3
3
4
6
7
8
9
10
10
51
51
65
83
85
85
86
86
86
87
89
