Применение теории вероятности для решения реальных

Применение теории
жизненных проблем.
вероятности
для
решения
реальных
Бернард Бозами,
Société de Calcul Mathématique, Paris, France
Лекция на данную тему была проведена в Донецком Национальном Университете в
ноябре 2007.
Лекция была нотирована и переведена на русский язык Еленой Бухтияровой.
Мы должны понимать, что все математические исследования прежде всего должны быть
предназначены для решения реальных жизненных проблем.
Общие комментарии:
В любой стране, будь то Франция, США или Украина, молодые математики сетуют на то,
что трудно найти работу по специальности. Я хотела бы добавить следующие комментарии
по данному вопросу :
Замечание 1: Наши представления о математике слишком академические, связанные с
формулами.
Замечание 2: Студенты не могут применять полученные знания в реальной жизни из-за
отсутствия практики и стажировок по специальности.
Замечание 3: Математики не уделяют большого внимание жизненным деталям, они
рассматривают, в основном, только идеи. Но как говорит французская пословица : «черт –
в деталях».
Если вы еще не столкнулись с этими проблемами – не удивляйтесь и осуждайте только
себя!
***
В реальной жизни очень много неточностей : в данных, законах, задачах. Неточности
повсюду! Вы должны принимать их во внимание, если хотите создать полезные
математические инструменты или модели. Я приведу следуюший пример :
Пример: Космический мусор
В 2004-2005гг наша фирма заключила контракт с организацией French Centre National
d’Etudes Spatiales (CNES) на тему исследования опасности космического мусора.
Космические мусор здесь – это обломки разрушенных спутников Земли.
1
Например, имел место Колумбийский инцидент (несчастный случай):
На территории 4-х штатов США площадью 200км×2500 км, были обнаружены обломки
разрушенного спутника. Но никто не пострадал! Ни один человек не был задет обломком!
Но в связи с этим организация CNES задалась вопросом: опасен ли в принципе
космический мусор?
CNES располагало большим программным обеспечением, которое могло вычислить
траекторию любого объекта в возвращении на любую планету. Но данная программа
требовала большого количества входящих параметров : магнитного поля Земли, формы и
веса обломков, плотности атмосферы и так далее.
Программное обеспечение в итоге оказалось бесполезным: форма обломков и их вес –
неизвестны; плотность воздуха известна только приблизительно. Высота – 100 км,
скорость ~7 км/с. Исходная позиция – известна неточно.
Вывод: очень трудно предсказать пункт приземления.
Наш подход:
Мы решили, что бесполезно делать точные расчеты с искусственными данными. В
результате мы получили бы точные, но абсолютно неправильные результаты. Мы решили
данную задачу используя вероятносный метод.
Рассмотрим обломок, летящий на Землю. На него действуют две силы:
-
вес P
сопротивление воздуха R.
Мы воспользовались формулой:
R=
1
ρC x SV 2 ,
2
где :
-
ρ : плотность воздуха
C x : коэффициент, в зависимости от формы.
S : площадь поверхности
V : скорость (с учетом сопротивления воздуха)
Вспомним так же, что:
P = mg и F = P + R
Проблема решена с помощью дискретизации : Vn = (x n − x n −1 ) τ , где τ - это интервал
времени.
2
Все данные, которые известны неточно, будем представлять случайными величинами :
-
-
плотность воздуха ρ зависит от высоты d (по таблице НАСА), где для данной
высоты плотность бралась как случайная величина, равномерно распределенная в
интервале между d ± 10% .
C x - это случайная величина, равномерно распределенная в интервале 1 2, 1 .


S : площадь поверхности.
Вместо обычной скорости V , мы берем V α где α - это случайная величина,
равномерно распределенная в интервале [1,5; 2,5].
Также для исходного положения мы имеем координаты (x, y, z), которые тоже
представлены как случайные величины.
Затем делалось 10 000 испытаний с помощью выборки (метод Монте-Карло). На основании
полученных результатов, строилась вероятностная карта, на которой более темным цветом
обозначались места, наиболее подверженны падению мусора (обломка).
Страховые выплаты устанавливались следующим образом :
-
если обломок заденет человека- 1 миллион евро,
если обломок упадет на ядерный завод - 10 миллионов евро.
После несложных математических подсчетов с учетом вероятностной карты получилось,
что ожидаемый ущерб от падения обломка оказался меньше 100 евро.
Вывод: космический мусор не опасен.
3