Микроэкономика (2013/2014). Домашнее задание 13. x xv = ) ( x

Микроэкономика (2013/2014). Домашнее задание 13.
Тема: Парето-оптимальные распределения и равновесия в экономике Эрроу-Дебре.
Срок сдачи: 9 июня (понедельник). Все группы, кроме 1109, сдают ДЗ лектору ПЕРЕД лекцией. Группа
1109 сдает задание К.Матросовой ПЕРЕД семинаром.
Формат: работа сдается в бумажном виде. По желанию можно также загрузить копию работы в LMS.
Так же следует поступать, если вы не успеваете сдать бумажную копию в срок.
Максимальное количество баллов: 10
Убедитесь, что на работе указана Ваша фамилия и номер группы!
Задача 1. Рассмотрите экономику обмена с двумя участниками (А и В), одним физическим благом и
двумя состояниями мира (1 и 2). Пусть в состоянии мира 1 потребителю А принадлежит 3 единицы
физического блага, а потребителю B - ни одной; и наоборот - в состоянии мира 2 потребителю B
принадлежит 3 единицы физического блага, а потребителю А - ни одной. Пусть оба потребителя являются
рискофобами (но их предпочтения различны), а субъективные вероятности наступления состояний мира
совпадают с объективными.
А) С помощью дифференциальной характеристики внутренних Парето-оптимальных распределений,
докажите, что во всех таких распределениях оба потребителя полностью застрахуют друг друга от риска.
Б) Предположим, объективные вероятности состояний мира 1 и 2 равны 1/3 и 2/3. Найдите равновесные
цены и распределение контингентных благ. Проиллюстрируйте ваш ответ в ящике Эджворта.
В) Теперь пусть в экономике присутствует т.н. "системный риск": общие запасы физического блага в
состоянии мира 1 составляют 3 единицы, а в состоянии мира 2 - только 2 единицы. Докажите, что в этих
условиях контрактная кривая в ящике Эджворта будет лежать между биссектрисами углов начала
координат потребителя А и потребителя B.
Г) Пусть элементарные функции полезности потребителей заданы как v A ( x) 
1
x и vB ( x)   . При
x
помощи математического процессора, постройте график контрактной кривой для этого случая и
убедитесь, что она удовлетворяет свойству, доказанному вами выше.1
Д) Покажите, что если состояния мира равновероятны, то в любом внутреннем равновесии цена
физического блага выше в том состоянии мира, в котором его запас меньше.
2. Рассмотрите экономику обмена с одним физическим благом, двумя потребителями (А и В) и двумя
состояниями мира (1 и 2). Пусть общий запас физического блага в каждом состоянии мира равен 4, и
изначально он делится поровну между двумя потребителями. Предпочтения каждого потребителя
представимы функцией ожидаемой полезности с одинаковыми элементарными функциями полезности
v( x)  ln x . Потребитель А считает, что вероятность состояния мира 1 в три раза превышает вероятность
состояния 2. Потребитель B, наоборот, считает, что вероятность состояния мира 2 в три раза превышает
вероятность состояния 1.
А) Найдите равновесие в этой экономике и проиллюстрируйте его в ящике Эджворта. В равновесии,
сталкиваются ли потребители с индивидуальным риском?
Б) Выведите уравнение (субъективной) контрактной кривой и изобразите ее на вашем графике из п.(А).
В) Выведите уравнение (объективной) контрактной кривой и изобразите ее на вашем графике из п.(А)2.
Является ли исходное распределение (объективно) оптимальным по Парето? Является ли равновесное
распределение (объективно) Парето-улучшением по отношению к исходному?
1
Вы можете воспользоваться любой удобной вам программой. Например, для бесплатного математического онлайнпроцессора Alpha ( http://www.wolframalpha.com ) возможный синтаксис звучит так: contour plot([уравнение
контрактной кривой относительно x1A и x2A,уравнение биссектрисы А относительно x1A и x2A, уравнение
биссектрисы B относительно x1A и x2A],x1A=0..3,x2A=0..2).
2
Подсказка: в этой экономике вид этой кривой не будет зависеть от объективных вероятностей состояний мира.