Условия Коши-Римана. Вычислить значение функции.

Условия Коши-Римана.
1) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w  e
z  i
.
Функция, имеющая производную в точке z , называется дифференцируемой в этой точке.
Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера):
Если z  x  iy , w  f  z   u  x , y   iv  x , y  , то в каждой точке дифференцируемости функции f  z 
выполняются равенства
u v
u
v


,
x y
y
x
Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z  x  iy :
w  e z  i  e x iy  i  e x i y    e x  e i y    e x   cos  y     i  sin  y     
 e x    cos y  i  sin y   e x cos y  i  e x sin y
Выделим действительную  u  и мнимую  v  части функции w :
u  x , y   e x cos y
v  x , y   e x sin y
Вычисляем частные производные:




u

 e x cos y  e x cos y
x
x
v

 e x sin y  e x cos y
y
y




u

 e x cos y  e x sin y
y
y
v

 e x sin y  e x sin y
x
x
- условия Коши-Римана выполняются.
Литература:
1) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 2002, стр. 59 (пример 9), стр. 20 (пример 2);
2) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2006, стр. 530, стр. 532...535 (условия Эйлера-Даламбера,
аналитичность функции).
2) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции
Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая
w  z 2  4i  z  12 .
z  x  iy :
w   x  iy   4i   x  iy   12  x 2  2 xy  i  y 2  4 x  i  4 y  12 
2
  x 2  y 2  4 y  12    2 xy  4 x   i
1 Выделим действительную  u  и мнимую  v  части функции w :
u  x , y   x 2  y 2  4 y  12
v  x , y   2 xy  4 x
Вычисляем частные производные:


u

 x 2  y 2  4 y  12  2 x
x
x
v
  2 xy  4 x  y  2 x
y


u

 x 2  y 2  4 y  12  2 y  4
y
y
v
  2 xy  4 x  x  2 y  4
x
- условия Коши-Римана выполняются.
3) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции
  sin  iz  1 .
Выразим тригонометрическую функцию sin z через показательную:
e iz  e iz
sin z 
2i
и примем во внимание, что z  x  iy :
  sin  iz  1 








e i  i x  y 1   e i  i x  y 1  e  x i y i  e x  i y  i e  x  e i  y  1   e x  e i  y  1 




2i
2i
i
2e 2




i   y 1 
i  y 1 
1
2   e x e 
2 
 e x  e 
2

 

 

1  x 




  e   cos   y  1    i  sin   y  1     e x   cos  y  1    i  sin  y  1     




2 
2
2 
2
2 


1
 e  x   sin   y  1  i  cos   y  1   e x   sin  y  1  i  cos  y  1  
2
1
 e  x    sin  y  1  i  cos  y  1   e x   sin  y  1  i  cos  y  1  
2
1
 e  x sin  y  1  i  e  x cos  y  1  e x sin  y  1  i  e x cos  y  1 
2
1
 sin  y  1   e  x  e x   i  cos  y  1   e  x  e x 
2







Действительная и мнимая части числа

  u iv:
1
sin  y  1   e  x  e x 
2
1
v  x , y   cos  y  1   e  x  e x 
2
u  x, y 
2 Вычисляем частные производные:









u
 sin  y  1   e  x  e x  x  sin  y  1   e  x  e x 
x

v
2  cos  y  1   e  x  e x  y   sin  y  1   e  x  e x   sin  y  1   e  x  e x 
y
2
и
2

u
 sin  y  1   e  x  e x  y  cos  y  1   e  x  e x 
y
2

v
 cos  y  1   e  x  e x  x  cos  y  1   e  x  e x 
x
Как видим, условия Коши-Римана
 u v
 x  y


 u   v
 y
x
для функции
  sin  iz  1
выполняются.
4) Пользуясь условиями Коши-Римана, проверить, будет ли аналитической функция w  f  z  :
w  sin 2 z  3 z .
Функция w  f  z  называется аналитической в точке z , если она дифференцируема как в самой точке z ,
так и в некоторой её окрестности.
Функция w  f  z  , дифференцируемая в каждой точке некоторой области D , называется аналитической
функцией в этой области.
Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера):
Если z  x  iy , w  f  z   u  x , y   i v  x , y  , то в каждой точке дифференцируемости функции f  z 
выполняются равенства
u v
u
v


,
.
x y
y
x
Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z  x  iy :
w  sin  2 x  i  2 y   3   x  iy  

i 2 x i 2 y 
i 2 x  i 2 y 
e
e 
 3 x  i3 y 
2i

e  2 y  i 2 x  e 2 y i 2 x
 3 x  i3 y 
2i

e  2 y  e i 2 x  e 2 y  e i 2 x
 3 x  i3 y 
2i


e 2 y   cos 2 x  i sin 2 x   e 2 y   cos  2 x   i sin  2 x  
2i
 3 x  i3 y 
e 2 y  cos 2 x  i  e 2 y  sin 2 x  e 2 y  cos 2 x  i  e 2 y  sin 2 x
 3 x  i3 y 
2i
3 e


2 y






 e 2 y  cos 2 x  i  e 2 y  e 2 y  sin 2 x
2i

i  e 2 y  e 2 y  cos 2 x  e 2 y  e 2 y  sin 2 x

2


 3 x  i3 y 
 3 x  i3 y 

1
1
 e 2 y  e 2 y  sin 2 x  i   e 2 y  e 2 y  cos 2 x  3 x  i 3 y 
2
2
1

1

   e 2 y  e 2 y  sin 2 x  3 x   i    e 2 y  e 2 y  cos 2 x  3 y  
2

2






  ch  2 y   sin  2 x   3 x   i   sh  2 y   cos 2 x  3 y 
Формулы, использованные в преобразованиях:
e iz  e iz
,
2i
z C
sh  x  
e x  e x
,
2
xR
ch  x  
e x  e x
,
2
xR
sin z 
Выделим действительную и мнимую части w  z   u  x , y   i  v  x , y  :
u  x , y   ch  2 y   sin  2 x   3 x
v  x , y   sh  2 y   cos 2 x  3 y
Вычисляем частные производные:
u
  ch  2 y   sin  2 x   3 x   2  ch  2 y   cos  2 x   3
x
x
v
  sh  2 y   cos  2 x   3 y   2  ch  2 y   cos  2 x   3
y
y
u
  ch  2 y   sin  2 x   3 x   2  sh  2 y   sin  2 x 
y
y
v
  sh  2 y   cos  2 x   3 y   2  sh  2 y   sin  2 x 
x
x
Итак, условия Коши-Римана
u v
u
v
,


x y
y
x
выполнены; следовательно, функция w  f  z   sin 2 z  3 z является аналитической.
4 5) Доказать аналитичность функции и найти производную:
e z  e z
w
2
Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая
w
e
x iy
e
2
 x iy

z  x  iy :


1
 e x   cos y  i  sin y   e  x   cos   y   i  sin   y   
2


1
 e x   cos y  i  sin y   e  x   cos y  i  sin y  
2
1
   e x cos y  i  e x sin y  e  x cos y  i  e  x sin y  
2
1
   e x  e  x  cos y  i   e x  e  x  sin y 
2




e x  e x 
e x  e x 
 cos y  i 
2
2
 ch x  cos y  i  sh x  sin y
 sin y 
Выделим действительную и мнимую части w  z   u  x , y   i  v  x , y  :
u  x , y   ch x  cos y
v  x , y   sh x  sin y
Вычисляем частные производные:
u
  ch x  cos y  x  sh x  cos y
x
v
  sh x  sin y  y  sh x  cos y
y
u
  ch x  cos y  y   ch x  sin y
y
v
  sh x  sin y  x  ch x  sin y
x
Условия Коши-Римана
u v
u
v


,
x y
y
x
e z  e z
выполнены; следовательно, функция w  f  z  
является аналитической.
2
Для всякой аналитической функции f  z   u  x , y   i  v  x , y  производная f  z  выражается через
u  u  x, y и v  v  x , y :
u v
v u
u u
v v
i

i

i

i
f  z 
x x
y y
x
y
y x
частные производные функций
Вычисляем производную функции f  z  , используя выражение производной функции
производные функций
w  z  через частные
u  x, y и v  x , y :
 e z  e z
w  z   

2

u v
i
 sh x  cos y  i  ch x  sin y
 
 z x x
5 или непосредственно:
 e z  e  z 
1
1
z
z 
z
z
w  
   e  e  z   e  e  
2
2

z 2
1
1
   e x  i y  e  x i y     e x  e i y  e  x  e i y  
2
2
1
  e x   cos y  i sin y   e  x   cos   y   i sin   y   
2
1
  e x   cos y  i sin y   e  x   cos y  i sin y  
2
1
  cos y   e x  e  x   i sin y   e x  e  x  
2






e x  e x
e x  e x

 cos y  i 
 sin y 
2
2
 sh x  cos y  i  ch x  sin y
6) Представить
w  e 12i z , где z  x  iy , в виде w  u  x , y   i  v  x , y  .
Проверить, будет ли она аналитической, если да, то найти производную в точке z0 

6
.
Выделим в данном числе в явном виде действительную u  x , y  и мнимую части v  x , y  :
w  exp  1  2iz   exp  1  2i   x  iy    exp  1  i 2 x  2 y   exp  1  2 y  i 2 x   e 1 2 y  e i 2 x 
 e 1 2 y   cos  2 x   i  sin  2 x    e 1 2 y  cos  2 x   i   e 1 2 y  sin  2 x  
- получено комплексное число в алгебраической форме записи.
Re  w   u  x , y   e 1 2 y  cos  2 x 
Im  w   v  x , y   e 1 2 y  sin  2 x 
Для всякой аналитической функции f  z   u  x , y   i  v  x , y  производная f  z  выражается через
частные производные функций u  u  x , y  и v  v  x , y  :
f  z 
u v
v u
u u
v v
i

i

i

i
x x
y y
x
y
y x
Вычислим частные производные
u  x , y   e 1 2 y  cos  2 x 
v  x , y   e 1 2 y  sin  2 x 
u

  e 1 2 y  cos  2 x   x  2e 1 2 y  sin  2 x 
x
u

  e 1 2 y  cos  2 x   y  2e 1 2 y  cos  2 x 
y
v

  e 1 2 y  sin  2 x   y  2e 1 2 y  sin  2 x 
y
v

  e 1 2 y  sin  2 x   x  2e 1 2 y  cos  2 x 
x
Поскольку условия Коши-Римана выполняются ( u x  vy , u y  vx ) для всех точек плоскости xOy ,
исследуемая функция является аналитической на всей плоскости, и её производная
6 w  z  



 i 0 :
6 6




w  z    2e  sin   i   2e  cos   e 3  i  e
3
3


В точке
z0 
u v 
i
 2e 1 2 y  sin 2 x   i   2e 1 2 y  cos 2 x 
x x
Литература:
1) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 2002, стр. 59 (пример 9), стр. 20 (пример 2).
Вычислить значение функции.
7) Вычислить значение функции комплексного переменного w  cos z в точке z 0  2  i .
Для любого z  C :
Тогда
cos z 
e i z  e i z
2
i 2 i
i 2  i
e    e   e 1 2i  e 12i e 1  e 2i  e 1  e 2i
w  2  i   cos  2  i  



2
2
2
e 1   cos 2  i  sin 2   e 1   cos 2  i  sin 2  cos 2   e 1  e 1   i  sin 2   e 1  e 1 



2
2
e 1  e 1
e 1  e 1

 cos 2  i 
 sin 2  ch 1  cos 2  i  sh 1  sin 2
2
2
Ответ: cos  2  i   ch 1  cos 2  i  sh 1  sin 2
Литература:
1) Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 2009, том 10, изд. МГТУ, стр. 106;
2) Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 2002, стр. 40.
8) Вычислить значение функции комплексного переменного w  th z в точке
в алгебраической форме.
Для любого z  C :
th z 
z 0  ln 3 
i
4
, ответ записать
e z  e z
e z  e z
Значит

i

w  z 0   th  ln 3   
4 

ln 3  i
4
e

ln 3  i
4
e

ln 3  i
4
e

ln 3 i
4
e


1  i
3e  e 4
  3  
i 1  i
3e 4  e 4
3
4
i
7 

9e
4

9e

9



9

4

i
 i
e 4
i
 i
e 4


   

  
9  cos  i  sin    cos     i  sin    
4
4 

 4
 4 



   

  
9  cos  i  sin    cos     i  sin    
4
4 

 4
 4 

2
2  2
2 
i
 i  


2
2   2
 2  9 2  i  2    2  i  2 



2
2  2
2  9 2  i  2    2  i  2 
i
 i  


2
2   2
 2 
9 2  i  9 2  2  i  2 8 2  i  10 2 4  5i



9 2  i  9 2  2  i  2 10 2  i  8 2 5  4i
 4  5i  5  4i  20  25i  16i  20 40  9i 40
9




i
 5  4i  5  4i 
25  16
41
41
41

- результат вычисления в алгебраической форме.
9) Вычислить значение функции комплексного переменного
  Ln z
в точке z 0  1 . Указать главное
значение функции.
Логарифмическая функция
  Ln z  ln z  i   arg z  2 k 
k Z
Главным значением логарифма числа z называют значение, соответствующее главному значению
аргумента числа z ; т.е. главное значение логарифма получим при k  0 :
ln z  ln z  i  arg z
► Модуль и аргумент числа z 0  1  1  0 i :
z0  1
arg z 0  
Следовательно
  1  Ln  1  ln 1  i    2 k   0   2k  1  i
k Z
- значения функции комплексного переменного в точке z 0  1 , записанные в алгебраической форме.
(логарифмическая функция
  Ln z
является многозначной)
► Главное значение логарифма числа
ln  1  0   i
z
8 10) Вычислить значение функции комплексного переменного
При любых
w, z C :
  1  i 
z
в точке z 0  i .
w z  e z  Ln w .
i
 
i  ln 1i
   1  i   e i  Ln 1i  e 
Модуль и аргумент числа
i  arg 1i  2 k i 
, k Z
w  1i :
1 i  12  12  2
1 
arg  1  i   arctg 
1 4
i
i  ln 1i
 i   1  i   e 

 2 k
e 4
ln 2
2
i  arg 1i  2 k i 



i   ln 2 i   2 k i 

4

e

i  ln 2   2 k
4
e
e
i
ln 2 
  2 k
2 4


  2 k
e 4

 ln 2 
 ln 2  
  cos 
  i  sin 
, k  Z
 2 
 2 

- значения функции комплексного переменного   z  в точке z 0  i , записанные в тригонометрической
e
i
форме (функция многозначная).
11) Вычислить значение функции комплексного переменного
  arcctg z
в точке z 0  1  2i , ответ
записать в алгебраической форме.
i
z i
 Ln
2
zi
Ln z  ln z  i   arg z  2 k  , k  Z
Arcctg z 
(при k  0 получаем главное значение логарифма ln z  ln
z0 i
z0 i

z  i  arg z )
 1  i  1  3i  1  i  3i  3 4  2i 2 1
1  2i  i 1  i




  i
1  2i  i 1  3i  1  3i  1  3i 
1 9
10
5 5
2
2
 z0 i 
1
2 1 
2  1


 Ln   i   ln        i    arctg  2 k  
Ln 

 z0 i 
2


5 5 
5  5


1
1
1


 1 


 ln 
  i    arctg 2  2 k    2  ln 5  i    arctg 2  2 k  ,
 5
k Z
и
 z0 i 
1
1
   ln 5  i  arctg
ln 

 z0 i 
2
2


i  1
1 1
1
1
  arcctg z 0      ln 5  i  arctg   arctg  i  ln 5  0, 232  i  0, 402
2  2
2 2
2
4
(главное значение Arcctg  1  2i  )
9 12) Вычислить значение функции комплексного переменного
  arccos z
в точке z 0  1  i , ответ записать
в алгебраической форме.

Arccos z  i  Ln z  z 2  1

Ln z  ln z  i   arg z  2 k  , k  Z
При k  0 получаем главное значение логарифма
ln z  ln z  i  arg z
и главное значение арккосинуса


arccos z  arg z  z 2  1  i  ln z  z 2  1
Квадратный корень из комплексного числа даёт два значения; для главного значения функции выбираем
одно, аргумент которого попадает в промежуток  0 ;   .
В данном случае:


2
arccos  1  i   i  ln 1  i   1  i   1  i  ln  1  i  1  2i  1  1  
 i  ln  1  i  2i  1 
Корень из числа
1  2i принимает два значения. Найдём их:
2
1  2i   1  2 2   cos   arctg 2   i  sin   arctg 2  
1  2i 

  arctg 2  2 k 
  arctg 2  2 k  
5   cos 
  i  sin 

2
2





4 
  arctg 2 
  arctg 2  
  i  sin 
, k  0
 5   cos 
2
2





1  2i  
4 
 arctg 2 
 arctg 2  


 5   cos   
  i  sin   
, k  1
2
2






Используя формулы cos
cos  arctg 2  
2
x
1  cos 2 x
1  cos 2 x
2
и sin x 
, и принимая во внимание, что
2
2
1
, получим:
5
5 5
 arctg 2 
cos 

10
 2 
5 5
 arctg 2 
sin 

10
 2 
и тогда

 5 5
5 5 
 4 5  
 , k  0
i
10
10 


1  2i  
5 5 
 4  5 5

 , k  1
i
5






10
10 



5 1
5 1 

, k  0
i
2
2 


5 1
5 1 


, k  1
i




2
2 

10  
 1
  
1  i  1  2i  
 
   1 
 

5 1 
  i 1
2 

5  1  
 , k 0
2  

5 1 
  i 1
2 

5  1  
 , k 1
2  
Из двух значений выбираем второе, т.к. его аргумент попадает в промежуток  0 ;   . Итак,

1  i  1  2i   1 

и

5 1 
  i 1
2 




5 1 

2 

arccos z 0  arg z 0  z 02  1  i  ln z 0  z 02  1 



1


    arctg


1






1

    arctg 


1




    arctg




2
2
5  1  

2 
  i  ln
5 1 

2  
5  1  

2 
  i  ln
5 1 

2  



1


1


5 1 
  i 1
2 

2

5 1 
  1
2 

5  1 
 i  ln 2  5  2 

5 1 

5 1 
5 1 
 
2 
2
5 1 
 
2 

5  1  1, 722  i  0, 592
(главное значение Arccos  1  i  )
Литература:
1) Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 2009, том 10, изд. МГТУ, стр. 106;
2) Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 2002, стр. 40.
11