1. îÁÊÄÉÔÅ ÛÅÓÔÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) = −

1. îÁÊÄÉÔÅ ÛÅÓÔÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) = x21+1 × ÔÏÞËÅ x = 0.
ïÔ×ÅÔ: −720.
òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÌÏÖÉÍ ÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ × ÔÏÞËÅ x =
0:
f (x) = 1 − x2 + x4 − x6 + · · ·
ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÉ x6 ÒÁ×ÅÎ −1, ÎÏ Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÎ ÒÁ×ÅÎ
f (6) (0)=6! ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔ×ÅÔ f (6) (0) = −6! .
2. çÒÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÌÏÈÉÍ, ÅÓÌÉ × Î£Í ÎÅ ÍÅÎÅÅ 10 ÞÅÒ×ÅÊ. ÷ ÌÕËÏÛËÅ
91 ÐÌÏÈÏÊ ÇÒÉÂ, É 10 ÈÏÒÏÛÉÈ. íÏÖÅÔ ÌÉ ÔÁË ÓÌÕÞÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÐÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÞÅÒ×ÑËÉ ÐÅÒÅÐÏÌÚÕÔ ÎÁ ÄÒÕÇÉÅ ÇÒÉÂÙ, ×ÓÅ
ÇÒÉÂÙ ÓÔÁÎÕÔ ÈÏÒÏÛÉÍÉ?
ïÔ×ÅÔ: ÎÅ ÍÏÖÅÔ.
òÅÛÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË ÐÌÏÈÏÊ ÇÒÉ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 10 ÞÅÒ×ÅÊ, Á
× ÌÕËÏÛËÅ ÉÍÅÅÔÓÑ 91 ÐÌÏÈÏÊ ÇÒÉÂ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÅÒ×ÅÊ ÎÅ
ÍÅÎÅÅ 910. ÷ÓÅÇÏ × ÌÕËÏÛËÅ 101 ÇÒÉÂ. åÓÌÉ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ
×ÓÅ ÇÒÉÂÙ ÓÔÁÌÉ ÈÏÒÏÛÉÍÉ, ÚÎÁÞÉÔ, × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÎÉÈ ÐÏÓÅÌÉÌÏÓØ ÎÅ
ÂÏÌÅÅ 9 ÞÅÒ×ÑËÏ×, Á ÚÎÁÞÉÔ, ×ÓÅÇÏ ÞÅÒ×ÑËÏ× ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ
909. ïÄÎÁËÏ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÅÒ×ÅÊ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÐÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅ
ÇÒÉÂÙ ÎÅ ÓÍÏÇÕÔ ÓÔÁÔØ ÈÏÒÏÛÉÍÉ.
3. îÁ ÓÔÏÒÏÎÅ AB ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÏÔÍÅÞÅÎÁ ÔÏÞËÁ M ÔÁË, ÞÔÏ
AM : MB = 2, Á ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÅ BC | ÔÏÞËÁ N ÔÁË, ÞÔÏ BN : NC = 2.
ôÏÞËÕ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÔÒÅÚËÏ× CM É AN ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ X . îÁÊÄÉÔÅ
AX : XN É CX : XM .
ïÔ×ÅÔ: AX : XN = 6, CX : XM = 34 .
−→
−−→
òÅÛÅÎÉÅ. ðÅÒ×ÙÊ−−ÓÐÏÓÏÂ.
÷×ÅÄ£Í ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ~u = BA, ~v = BC
→
É ÒÁÚÌÏÖÉÍ ×ÅËÔÏÒ BX ÐÏ ÂÁÚÉÓÕ (~u; ~v) Ä×ÕÍÑ ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ. ó ÏÄÎÏÊ
−−→
−−→
−−→
ÓÔÏÒÏÎÙ, AN = −~u + 32 ~v, ÔÏÇÄÁ AX = AN = −~u + 23 ~v ÄÌÑ
−−→
−−→
ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ , É ÏÔÓÀÄÁ BX = ~u + AX = (1 − )~u + 32 ~v. ó ÄÒÕ−−→
−−→
−−→
ÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, CM = 13 ~u − ~v, ÔÏÇÄÁ CX = CM = − 31 ~u − ~v ÄÌÑ
−−→
−−→
ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ , É ÏÔÓÀÄÁ BX = ~v + CX = 31 ~u + (1 − )~v. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÐÒÅÄÓÔ×ÌÅÎÉÊ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
1
ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ É :
(
1 − = 13 2 = 1 − 3
;
ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÕÀ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, = 76 , = 73 , ÏÔËÕÄÁ ÌÅÇËÏ ÎÁÈÏÄÉÍ
ÉÓËÏÍÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: AX : XN = 1− = 6, CX : XM = 1− = 43 .
÷ÔÏÒÏÊ ÓÐÏÓÏÂ. ðÏÍÅÓÔÉÍ × ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÇÒÕÚÙ ÍÁÓÓÏÊ 1 × ÔÏÞËÕ A, ÍÁÓÓÏÊ 2 × ÔÏÞËÕ B É ÍÁÓÓÏÊ 4 × ÔÏÞËÕ C . îÁÊÄ£Í ÃÅÎÔÒ ÍÁÓÓ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË Ä×ÕÍÑ
ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ. íÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ Ä×Á ÇÒÕÚÁ × ÔÏÞËÁÈ A É B ÏÄÎÉÍ Ó
ÓÕÍÍÁÒÎÏÊ ÍÁÓÓÏÊ 3, ÎÁÈÏÄÑÝÉÍÓÑ × ÉÈ ÃÅÎÔÒÅ ÍÁÓÓ | ÔÏÞËÅ M .
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÃÅÎÔÒ ÍÁÓÓ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ CM É
ÄÅÌÉÔ ÅÇÏ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 3 : 4. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÚÁÍÅÎÑÑ ÇÒÕÚÙ × ÔÏÞËÁÈ
B É C ÎÁ ÏÄÉÎ ÇÒÕÚ ÍÁÓÓÏÊ 6, ÎÁÈÏÄÑÝÉÊÓÑ × ÉÈ ÃÅÎÔÒÅ ÍÁÓÓ |
ÔÏÞËÅ N , ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÃÅÎÔÒ ÍÁÓÓ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ AN
É ÄÅÌÉÔ ÅÇÏ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 6 : 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÃÅÎÔÒ ÍÁÓÓ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÜÔÉÈ ÏÔÒÅÚËÏ× | ÔÏÞËÅ X É ÄÅÌÉÔ ÜÔÉ ÏÔÒÅÚËÉ
× ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ.
4. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) | Þ£ÔÎÁÑ, Á ÆÕÎËÃÉÑ g(x) = f (2011 −
x) | ÎÅÞÅÔÎÁÑ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ f (x) | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, É
ÎÁÊÄÉÔŠţ ÐÅÒÉÏÄ.
ïÔ×ÅÔ: 8044.
òÅÛÅÎÉÅ. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÓÌÅÄÕÅÔ f (x + 4022) = f (2011 − (−x −
2011)) = g(−x − 2011) = −g(x + 2011) = −f (2011 − (x + 2011)) =
−f (−x) = −f (x). éÔÁË, f (x + 4022) = −f (x). ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ,
ÞÔÏ f (x + 8044) = −f (x + 4022) = f (x). úÎÁÞÉÔ, 8044 | ÐÅÒÉÏÄ
ÆÕÎËÃÉÉ f (x).
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ìÀÂÏÅ ËÒÁÔÎÏÅ 8044 ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÐÅÒÉÏÄÏÍ.
5. ÷ ÏÄÎÕ ÉÚ ÇÒÁÎÅÊ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ËÕÂÁ ×ÐÉÓÁÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, Á ÏËÏÌÏ
ÓÍÅÖÎÏÊ ÇÒÁÎÉ ÏÐÉÓÁÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. îÁÊÄÉÔÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ.
√
√
ïÔ×ÅÔ: ( 3 − 2)=2.
2
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÔÒÏÉÍ Ä×Å ËÏÎÃÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÓÆÅÒÙ, Ó ÃÅÎÔÒÁÍÉ ×
ÃÅÎÔÒÅ ËÕÂÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÄÁÎÎÙÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ðÅÒ×ÁÑ ÓÆÅÒÁ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÒÅÂÅÒ ËÕÂÁ,
Á ×ÔÏÒÁÑ ÏÐÉÓÁÎÁ
√
√ ×ÏËÒÕÇ ÎÅÇÏ. òÁÄÉÕÓ ÐÅÒ×ÏÊ
ÓÆÅÒÙ ÒÁ×ÅÎ 2=2, Á ×ÔÏÒÏÊ | 3=2. íÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ
ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ
√
√
ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÓÆÅÒÙ ÒÁ×ÎÏ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÏ× ( 3 − 2)=2.
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÐÁÒÙ ÔÏÞÅË ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÈ, ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÁÒÁ ÔÏÞÅË,
ÌÅÖÁÝÉÈ ÐÏ ÏÄÎÏÊ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÏÄÎÏÍÕ ÌÕÞÕ, ×ÙÈÏÄÑÝÅÍÕ ÉÚ ÃÅÎÔÒÁ ËÕÂÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÓÐÒÏÅÃÒÕÅÍ
ÉÚ ÃÅÎÔÒÁ ÍÁÌÅÎØËÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÎÁ ÂÏÌØÛÕÀ ÓÆÅÒÕ. ìÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚ ÐÒÉ ÐÒÏÅËÃÉÉ ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÂÏÌØÛÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ (ÉÚ ÞÅÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ,
ÏÂÒÁÚÙ ËÏÎÃÏ× ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÁÌÅÎØËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÐÅÒÐÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÇÏ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÂÏÌØÛÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÌÅÖÁÔ ÐÏ ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ
ÜÔÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. úÎÁÞÉÔ, ÏÂÒÁÚ ÍÁÌÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÜÔÕ
ÐÌÏÓËÏÓÔØ, Á ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ É ÂÏÌØÛÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ.
6. ðÕÓÔØ á É ÷ | Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÍÁÔÒÉÃÙ 3-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÐÒÉÞÅÍ ×ÓÅ
ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÔÒÉÃÙ ÷ | ÅÄÉÎÉÃÙ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ det A = 0, det(A +
B ) = 1. îÁÊÄÉÔÅ det(A + 2011 · B ).
ïÔ×ÅÔ: 2011.
òÅÛÅÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = det(A + x · B ). ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÜÔÏÔ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ, ×ÙÞÉÔÁÑ ÉÚ ×ÔÏÒÏÊ É ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÒÏË ÐÅÒ×ÕÀ, É ÒÁÚÌÏÖÉÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÐÏ ÐÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ f (x) | ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÔÏ ÅÓÔØ f (x) = ax + b. éÚ
ÔÏÇÏ, ÞÔÏ b = f (0) = 0, a + b = f (1) = 1, ÓÌÅÄÕÅÔ a = 1, b = 0.
ïÔÓÀÄÁ f (x) = x É det(A + 2011 · B ) = f (2011) = 2011.
7. þÁÓÔÉÃÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÐÏ ÐÒÑÍÏÊ ÌÉÎÉÉ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÍÅÎÑÔØÓÑ. ÷ ËÁÖÄÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÕÓËÏÒÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÃÙ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 1 Í=ÓÅË2 ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ. þÅÒÅÚ
1 ÓÅË ÐÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÞÁÓÔÉÃÁ ×ÅÒÎÕÌÁÓØ × ÎÁÞÁÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ.
äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Å£ ÓËÏÒÏÓÔØ ÞÅÒÅÚ 0:5 ÓÅË ÐÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÎÅ
ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 0:25 Í=ÓÅË.
òÅÛÅÎÉÅ. âÕÄÅÍ ÏÐÅÒÉÒÏ×ÁÔØ ÂÅÚÒÁÚÍÅÒÎÙÍÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ, ÐÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÑ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÉ ×ÒÅÍÅÎÉ ×ÙÒÁÖÅÎÙ × ÓÅËÕÎÄÁÈ, Á
ÐÒÏÍÅÖÕÔËÉ ÄÌÉÎÙ | × ÍÅÔÒÁÈ.
3
ðÕÓÔØ v(t) | ÓËÏÒÏÓÔØ, Á a(t) | ÕÓËÏÒÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÃÙ R× ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ |a(t)| = |v0 (t)| 6 1 É 01 v(t)dt = 0.
ôÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÃÅÎÉÔØ v(0:5). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÏÄÕÌØ ÜÔÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ:
¯
¯
Z 1
¯
¯
v(t)dt¯¯ =
|v (0:5)| = |v (0:5) − 0| = ¯¯v (0:5) −
0
¯
¯ ¯Z 1
¯
Z 1
Z 1
¯
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
= ¯v(0:5) dt − v(t)dt¯ = ¯ (v(0:5) − v(t)) dt¯¯ :
0
0
0
éÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ ìÁÇÒÁÎÖÁ: v(0:5) − v(t) = v0 (c)(0:5 − t), ÇÄÅ
c(t) ∈ [0:5; t]. ôÏÇÄÁ
¯ Z 1
¯Z 1
¯
¯
0
v (c)(0:5 − t)dt¯¯ 6
|v 0 (c)(0:5 − t)| dt =
|v (0:5)| = ¯¯
0
0
Z 1
=
|v 0 (c)| · |(0:5 − t)|dt:
0
îÏ |v0 (t) 6 1|. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
|v (0:5)| 6
Z 1
0
|0:5 − t|dt
=
Z 0:5
0
(0:5 − t)dt +
Z 1
0:5
(t − 0:5)dt =
1
:
4
8. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f (x), ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÁÑ ÎÁ ×ÓÅÊ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÓÉ, ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ f (f (x)) = −x2011 ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ R?
ïÔ×ÅÔ: ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ ÐÒÏÔÉ×ÎÏÅ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ðÕÓÔØ s = f (0). ôÏÇÄÁ f (s) = f (f (0)) = −02011 = 0. ëÒÏÍÅ
ÔÏÇÏ s = f (0) = f (f (s)) = −s2011 . ðÏÜÔÏÍÕ s = 0. éÔÁË, s(0) = 0.
ðÕÓÔØ u = f (1). ôÏÇÄÁ f (u) = f (f (1)) = −12011 = −1. ðÕÓÔØ
v = f (−1). ôÏÇÄÁ f (v) = f (f (−1)) = 12011 = 1. ïÔÓÀÄÁ f (f (u)) = v,
f (f (v)) = u. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f (f (f (f (u)))) = u, ÔÏ ÅÓÔØ u20112 = u.
ïÔÓÀÄÁ u = 0, 1 ÉÌÉ −1. òÁÚÂÅÒ£Í ÜÔÉ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ ÐÏ ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ.
òÁ×ÅÎÓÔ×Ï u = 0 ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ f (u) = −1 É f (0) =
0. åÓÌÉ u = 1, ÔÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ u = f (1), ÐÏÌÕÞÁÅÍ f (1) = 1
É f (f (1)) = 1. ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. åÓÌÉ u = −1, ÔÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ
f (u) = −1, ÐÏÌÕÞÁÅÍ f (−1) = −1 É f (f (−1)) = −1. é × ÜÔÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ ÐÒÉÛÌÉ Ë ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ.
4
9. òÅÛÉÔÅ × ÃÅÌÙÈ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ |2x − 3y | = 1.
ïÔ×ÅÔ: x = 1, y = 1; x = 2, y = 1; x = 3, y = 2.
òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ x = 1 ÉÌÉ 2, ×ÓÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÅÇËÏ ÎÁÊÔÉ ÐÅÒÅÂÏÒÏÍ.
äÁÌÅÅ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ x > 3. òÁÚÂÅÒ£Í ÏÔÄÅÌØÎÏ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ ÚÎÁËÁ
ÐÒÉ ÒÁÓËÒÙ×ÁÎÉÉ ÍÏÄÕÌÑ.
ðÅÒ×ÙÊ ÓÌÕÞÁÊ 2x − 3y = 1. ôÏÇÄÁ 3y ≡ −1 mod 8, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ.
÷ÔÏÒÏÊ ÓÌÕÞÁÊ 2x − 3y = −1. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ 3y ≡ 1 mod 8, ÞÔÏ
ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ Þ£ÔÎÙÈ y. ôÏÇÄÁ 2x = (3y=2 + 1)(3y=2 − 1). ëÁÖÄÙÊ
ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ × ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÏÌÖÅÎ
ÂÙÔØ ÓÔÅÐÅÎØÀ Ä×ÏÊËÉ. üÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÐÒÉ y = 2.
10. ÷ ÓÔÒÁÎÅ áÎÞÕÒÉÉ ÐÏÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÐÁÒÔÉÑ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÉÚ
ÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ, ÍÏÖÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÄÅÎØ. îÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÄÅÎØ ÐÏÓÌÅ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÏÎÁ ÒÁÓËÁÌÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ Ä×Å ÆÒÁËÃÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÂßÑ×ÌÑÀÔ ÓÅÂÑ ÎÏ×ÙÍÉ ÐÁÒÔÉÑÍÉ. ðÒÉ ÓÏÚÄÁÎÉÉ ÌÀÂÏÊ
ÐÁÒÔÉÉ ËÁÖÄÙÊ Å£ ÞÌÅÎ ÐÏÌÕÞÁÅÔ ÐÁÒÔÉÊÎÙÊ ÂÉÌÅÔ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ
ÄÅÎØ 2011 ÖÉÔÅÌÅÊ ÓÔÒÁÎÙ ÓÏÚÄÁÌÉ ÐÁÒÔÉÀ. þÅÒÅÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ
ÐÏÓÌÅ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÒÁÓËÏÌÏ× ÏÂÒÁÚÏ×ÁÌÉÓØ 2011 ÐÁÒÔÉÊ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ ËÁÖÄÁÑ. ëÁËÏÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ É ËÁËÏÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÐÁÒÔÂÉÌÅÔÏ× ÍÏÇÌÏ ÂÙÔØ ×ÙÄÁÎÏ × ÔÅÞÅÎÉÅ
×ÓÅÇÏ ÐÒÏÃÅÓÓÁ?
ïÔ×ÅÔ: 24095 É 2025076.
òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ h(n) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÙÄÁÎÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ×,
ÅÓÌÉ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÂÙÌÁ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ ÐÁÒÔÉÑ ÉÚ n ÞÌÅÎÏ×, É × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÓËÏÌ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÌ ÎÁ Ä×Å ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÎÅÒÁ×ÎÙÅ ÐÏ
ÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ ÆÒÁËÃÉÉ (ÔÏ ÅÓÔØ, ËÏÇÄÁ ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÓÔÏÑÌÁ ×ÓÅÇÏ
ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÞÅÒÅÚ l(n) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÙÄÁÎÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ×, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÓËÏÌ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÌ ÎÁ Ä×Å
ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÒÁ×ÎÙÅ ÆÒÁËÃÉÉ (ÔÏ ÅÓÔØ, ÌÉÂÏ ÎÁ ÒÁ×ÎÙÅ, ÌÉÂÏ ÎÁ
ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÐÏ ÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ ÎÁ ÅÄÉÎÉÃÕ, × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ Þ£ÔÎÏÓÔÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÞÌÅÎÏ× ÒÁÓÐÁÄÁÀÝÅÊÓÑ ÐÁÒÔÉÉ). éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ h(n) É l(n) ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ:
h(1) = 1; h(n) = h(1) + h(n − 1) + n ÐÒÉ n > 2;
l(1) = 1; l(n) = l(bn=2c) + l(dn=2e) + n ÐÒÉ n > 2;
5
ÇÄÅ bxc | ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÅ x, dxe | ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÂÏÌØÛÅÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏÅ x. íÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÙÅ
ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ h(n) É l(n):
n2 + 3n − 2
; l(n) = (r + 1)n + 2s;
h(n) =
2
(ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ r É s | ÔÁËÉÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ ÃÅÌÙÅ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÞÔÏ n = 2r + s É 0 6 s < 2r ). ïÎÉ ÌÅÇËÏ
ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕËÃÉÉ. ÷×ÅÄ£Í ÔÁËÖÅ
Ä×Å ÆÕÎËÃÉÉ
h0 (n) = h(n + 1) − h(n) = n + 2;
l0 (n) = l(n + 1) − l(n) = r + 3:
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÅ ÆÕÎËÃÉÉ l0 (n) É h0 (n) ÎÅÕÂÙ×ÁÀÝÉÅ.
äÏËÁÖÅÍ ÐÏ ÉÎÄÕËÃÉÉ, ÞÔÏ l(n) É h(n) | ÜÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ É ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÙÄÁÎÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ×,
ÅÓÌÉ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÐÁÒÔÉÑ ÓÏÓÔÏÑÌÁ ÉÚ n ÞÌÅÎÏ×. âÁÚÁ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ûÁÇ ÉÎÄÕËÃÉÉ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×
h(n1 ) + h(n2 ) 6 h(1) + h(n − 1);
l(n1 ) + l(n2 ) > l(bn=2c) + l(dn=2e)
ÐÒÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ n1 + n2 = n. âÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÂÏÌÅÅ
ÏÂÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ n1 + n2 = const, ÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ h(n1 ) + h(n2 ) É l(n1 ) + l(n2 ) ÔÅÍ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÂÏÌØÛÅ ÒÁÚÎÏÓÔØ
|n2 − n1 |. þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ × ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÉ n1 6 n2 ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
h(n1 ) + h(n2 ) 6 h(n1 − 1) + h(n2 + 1);
l(n1 ) + l(n2 ) 6 l(n1 − 1) + l(n2 + 1)
ôÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÏÎÉ Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ
h0 (n1 − 1) 6 h0 (n2 );
l0 (n1 − 1) 6 l0 (n2 );
ËÏÔÏÒÙÅ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù × ÓÉÌÕ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÒÁÎÅÅ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÊ h0 (n) É l0 (n).
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÙÄÁÎÎÙÈ ÐÁÒÔÉÊÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ× ÒÁ×ÎÏ l(2011) = 24095, Á ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ | h(2011) = 2025076.
6