некоторые свойства расширенной сложности трехмерных

О. Н. ШАТНЫХ
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
РАСШИРЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ1
Изучаются некоторые свойства расширенной сложности трехмерных многообразий, в частности аддитивность относительно связного и гранично связного
суммирования и свойство конечности.
Kлючевые слова: трехмерное многообразие, спайн, сложность.
Введение
Пусть M — компактное трехмерное многообразие. Напомним, что сложность многообразия M (обозначается c(M)) определяется как число истинных
вершин его минимального почти простого спайна [1, гл. 2]. Работа посвящена расширению понятия сложности трехмерных многообразий и исследованию
некоторых свойств этой характеристики. Преимущество расширенной сложности состоит в том, что она всегда уменьшается при разрезании многообразия
по любой несжимаемой гранично несжимаемой поверхности. В работе мы будем
рассматривать только ориентируемые многообразия.
1. Сложность, D-корень и I-компоненты
трехмерного многообразия
Напомним, что простой полиэдр имеет особенности только двух типов: конус над полным графом с четырьмя вершинами и конус над окружностью с
диаметром. В первом случае особая точка называется истинной вершиной, во
втором — тройной точкой. Тройные точки организуются в тройные линии, соединяющие истинные вершины, и тройные окружности. Почти простой полиэдр получается из простого добавлением графа, валентность вершин которого не
меньше двух, и приклеиванием к компонентам связности дуг по обоим концам.
Определение 1. Сложность c(M) компактного трехмерного многообразия M
равна k, если M имеет почти простой спайн с k истинными вершинами и не имеет
почти простых спайнов с меньшим числом истинных вершин [1].
Пусть P — почти простой полиэдр. Через c1 (P ) обозначим число тройных
окружностей этого полиэдра.
Определение 2. Пусть трехмерное многообразие M имеет сложность k. Тогда
через c1 (M) обозначим minP c1 (P ), где минимум берется по всем почти простым
спайнам многообразия M с k истинными вершинами [1].
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-01-00293).
Некоторые свойства расширенной сложности трехмерных многообразий
115
Замечание 1. Определим операцию разрезания трехмерного многообразия по
собственной поверхности. Пусть M — трехмерное многообразие, F — собственная
поверхность в M. Через N(F ) обозначим регулярную окрестность поверхности
F в многообразии M. Будем говорить, что многообразие MF = M\(IntN(F ) ∪
Int(∂M ∩N(F ))) получено разрезанием многообразия M по поверхности F . Таким
образом, многообразие MF лежит в M.
Напомним, что собственный диск D в многообразии M называется существенным, если его граничная окружность ∂D нетривиальна на ∂M.
Определение 3. Многообразие R(M) ⊂ M называется D-корнем [2] или сердцевиной [1] неприводимого трехмерного многообразия M, если выполняются следующие условия:
1) R(M) гранично неприводимо;
2) R(M) получено из многообразия M с помощью разрезаний по существенным дискам и отбрасываний связных компонент, гомеоморфных трехмерному
шару.
Известно [1, предложение 4.1.25], что для любого неприводимого трехмерного многообразия D-корень существует и единственен с точностью до изотопии.
Замечание 2. Пусть поверхность F — компонента края многообразия M. Если
F несжимаема, то граничные окружности существенных дисков по ней не проходят. Поэтому поверхность F сохраняется при переходе к D-корню R(M), следовательно, является компонентой ∂R(M). Обратное также верно: если F ⊂ ∂M
является компонентой края D-корня R(M), то F несжимаема. Отметим, что многообразие получается из своего D-корня добавлением нескольких трехмерных
шаров и приклеиванием ручек индекса 1.
Определение 4. Пусть поверхность F является компонентой края и многообразия M, а также его корня R(M). Тогда F называется свободной поверхностью
многообразия M.
Выбор термина связан с тем, что при переходе от D-корня к многообразию
ручки к поверхности F не приклеиваются, т. е. поверхность остается свободной.
Напомним, если поверхность свободна, то она несжимаема.
Замечание 3. Характеристики c(R(M)) и c1 (R(M)) D-корня трехмерного многообразия M совпадают с соответствующими характеристиками самого трехмерного многообразия (так как разрезание по дискам не меняет этих характеристик
[1, лемма 4.2.10]).
Пусть M — ориентируемое трехмерное многообразие, R(M) — его D-корень.
Определение 5. I-компонентой D-корня R(M) будем называть его компоненту связности вида G × I (прямое произведение поверхности на отрезок), где
e (ориентируемое коG — замкнутая ориентируемая поверхность, либо вида G×I
сое произведение поверхности на отрезок), где G — замкнутая неориентируемая
поверхность. Поверхность G в обоих случаях называется базой I-компоненты.
116
О. Н. Шатных
Замечание 4. Пусть GI — I-компонента D-корня R(M) многообразия M и
F ⊂ ∂GI — одна из поверхностей ее края. Так как GI ⊂ R(M) и R(M) ⊂ M, то
F ⊂ M. Возможны два случая: F ⊂ ∂M (такая поверхность является свободной)
и F 6⊂ ∂M.
Определение 6. I-числом многообразия M будем называть число I(M) =
3I0+ (M) + I1+ (M) + I2+ (M) + 4I0− (M) + 2I1− (M), где Ikǫ (M) есть число I-компонент
D-корня многообразия M, имеющих ориентируемую (при ǫ = +) или неориентируемую (при ǫ = −) базу и k свободных поверхностей края.
Заметим, что общее число I-компонент I0+ (M) + I1+ (M) + I2+ (M) + I0− (M) +
I1− (M) корня R(M) при разрезании многообразия по замкнутой существенной
поверхности может увеличиться. Например, пусть GI — I-компонента с ориентируемой базой G и без свободных поверхностей края и пусть поверхность F ⊂ GI
(отметим, что тогда F изотопна G, см. [3]). Разрежем многообразие M по поверхности F . Компонента GI разрушится, и вместо нее в D-корне R(MF ) появятся две
новые I-компоненты с ориентируемой базой G и одной свободной поверхностью
края. Это мешает использованию общего числа I-компонент в качестве одного из
параметров расширенной сложности. Вместо него мы берем I-число многообразия M. Коэффициенты в его определении подобраны так, чтобы при разрезании
I-компоненты по замкнутой существенной поверхности оно всегда уменьшалось.
2. Расширенная сложность трехмерного
многообразия и ее свойства
2.1. Определение
Пусть M — компактное ориентируемое трехмерное многообразие.
Определение 7. Расширенной сложностью неприводимого многообразия M
называется c(M) = (c(M), c1 (M), −∂I (M), I(M), g (2) (∂M)), где
c(M) — обычная сложность M,
c1 (M) — минимальное число тройных окружностей, взятое по всем почти
простым спайнам M с c(M) вершинами,
∂I (M) — число свободных поверхностей в ∂M, которые не лежат в
I-компонентах D-корня многообразия M,
I(M) — I-число многообразия M,
g (2) (∂M) = Σi g 2(Fi ), где g(Fi ) — род компоненты Fi ⊂ ∂M, и суммирование
ведется по всем компонентам края ∂M.
Наборы рассматриваются в лексикографическом порядке.
Определение 8. Пусть M = #ni=1 Mi #k(S 2 × S 1 ) — разложение компактного
ориентируемого приводимого трехмерного многообразия M на примарные слагаемые, где слагаемые Mi неприводимы. Тогда расширенной сложностью многообразия M будем называть сумму расширенных сложностей неприводимых слаn
P
гаемых его разложения c(M) =
c(Mi ).
i=1
Расширенные сложности складываются покомпонентно.
Некоторые свойства расширенной сложности трехмерных многообразий
117
Замечание 5. Пусть M1 , M2 — произвольные компактные ориентируемые трехмерные многообразия. Тогда из определения расширенной сложности приводимого трехмерного многообразия следует, что c(M1 #M2 ) = c(M1 ) + c(M2 ).
2.2. Свойства аддитивности и конечности
Теорема 1. Для любых компактных ориентируемых трехмерных многообразий
M1 , M2 верно неравенство c(M1 ⊥
⊥ M2 ) ≥ c(M1 ) + c(M2 ).
Доказательство. Пусть
c(M1 ) = (c(M1 ), c1 (M1 ), −∂I (M1 ), I(M1 ), g (2) (∂M1 )),
c(M2 ) = (c(M2 ), c1 (M2 ), −∂I (M2 ), I(M2 ), g (2) (∂M2 ))
— расширенные сложности многообразий M1 и M2 соответственно. Переход
от граничной связной суммы к слагаемым реализуется разрезанием многообразия M1 ⊥
⊥ M2 вдоль диска. Тогда c(M1 ⊥
⊥ M2 )
=
c(M1 ) + c(M2 ) и
c1 (M1 ⊥
⊥ M2 ) = c1 (M1 ) + c1 (M2 ) (см. [1, лемма 4.2.10]). Покажем, что не увеличиваются остальные компоненты расширенной сложности.
1. Покажем, что −∂I (M1 ⊥
⊥ M2 ) ≥ −∂I (M1 ) − ∂I (M2 ). При переходе от граничной связной суммы к слагаемым свободные компоненты ∂(M1 ⊥
⊥ M2 ) остаются
такими и в многообразиях M1 и M2 . При этом если изначально свободная поверхность не лежала в I-компоненте, то и после разрезания она там не окажется. Поэтому ∂I (M1 ⊥
⊥ M2 ) ≤ ∂I (M1 ) + ∂I (M2 ). Следовательно, −∂I (M1 ⊥
⊥ M2 ) ≥
−∂I (M1 ) − ∂I (M2 ), и c(M1 ⊥
⊥ M2 ) ≥ c(M1 ) + c(M2 ).
2. Покажем, что I(M1 ⊥
⊥ M2 ) ≥ I(M1 )+I(M2 ). Разрезание по диску не меняет
общего числа I-компонент, однако за счет выбора коэффициентов в определении
I-числа многообразия получаем I(M1 ⊥
⊥ M2 ) ≥ I(M1 ) + I(M2 ). Следовательно,
c(M1 ⊥
⊥ M2 ) ≥ c(M1 ) + c(M2 ).
3. Пусть характеристики −∂I (M1 ⊥
⊥ M2 ) = −∂I (M1 )−∂I (M2 ) и I(M1 ⊥
⊥ M2 ) =
I(M1 ) + I(M2 ). Покажем, что при переходе от граничной суммы к слагаемым не
увеличивается последняя компонента расширенной сложности. Поверхность F ⊂
∂(M1 ⊥
⊥ M2 ) граничной кривой диска разбивается на две поверхности: F1 ⊂ M1 и
F2 ⊂ ∂M2 . Пусть g1 и g2 — род поверхностей F1 и F2 соответственно, тогда g1 +g2 —
род компоненты F края граничной связной суммы. Так как (g1 +g2 )2 ≥ g12 +g22, то
⊥ M2 ) ≥ c(M1 ) +
g (2) (∂(M1 ⊥
⊥ M2 )) ≥ g (2) (∂M1 ) + g (2) (∂M2 ). Следовательно, c(M1 ⊥
c(M2 ).
Следствие 1.1. Если многообразие M ′ получено из многообразия M разрезанием ручки индекса 1, то c(M) > c(M ′ ).
Так же, как и обычная сложность многообразий, расширенная сложность
обладает свойством конечности, т. е. существует только конечное число различных компактных ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий данной расширенной сложности.
Лемма 1. Для каждого целого набора (k1 , k2 , k3 , k4 , k5 ) существует только конечное число различных компактных ориентируемых неприводимых гранично
118
О. Н. Шатных
неприводимых трехмерных многообразий, которые имеют расширенную сложность (k1 , k2 , k3 , k4 , k5).
Доказательство. Пусть задан набор (k1 , k2 , k3 , k4 , k5 ). Заметим, что для недопустимого набора число многообразий равно 0. Пусть набор (k1 , k2 , k3 , k4, k5 ) допустим.
1) Для набора (0, 0, 0, 0, 0) существует три компактных ориентируемых
неприводимых гранично неприводимых связных трехмерных многообразия — S 3 ,
RP 3 , D 3 .
2) (k1 , k2 , k3 , k4 , k5 ) 6= (0, 0, 0, 0, 0). Пусть дано многообразие M с расширенной сложностью c(M) = (k1 , k2 , k3 , k4 , k5). Пусть P — минимальный неколлапсируемый спайн многообразия M.
Покажем, что P прост. Действительно, пусть в P имеется одномерное ребро,
тогда при утолщении этого ребра в многообразии M получим сжимающий диск.
Так как многообразие гранично неприводимо, то граничная окружность этого
диска на краю многообразия также ограничивает диск. Объединение этих дисков
является сферой, ограничивающей шар, так как многообразие M неприводимо.
Минимальным спайном шара является точка, поэтому одномерное ребро спайна
соединяет простую часть спайна P и точку, т. е. его можно сколлапсировать, что
противоречит условию о неколлапсируемости спайна P . Следовательно, спайн P
прост. Покажем, что по данному набору можно построить только конечное число простых спайнов. Числа k1 , k2 задают соответственно число вершин и число
окружностей особого графа минимального простого спайна многообразия. Число
графов с заданными параметрами k1 , k2 конечно. Простой спайн связного многообразия получается из особого графа приклеиванием к нему набора поверхностей
с краем и добавлением замкнутых поверхностей.
1. Так как к каждой истинной вершине спайна подходит четыре
2-компоненты, а к каждой его тройной линии три, то число незамкнутых поверхностей, приклеиваемых к особому графу, не превышает числа 4k1 + 3k2 .
2. Замкнутая поверхность при утолщении дает I-компоненту. Так как суммарное число I-компонент не превышает I-числа многообразия, то число замкнутых 2-компонент, добавляемых к особому графу, не превышает числа k4 .
3. Покажем, что род поверхностей ограничен. Ориентируемую поверхность
можно рассматривать как дырявую сферу, к которой приклеены торы с дыркой,
число этих торов равно роду поверхности. Неориентируемую поверхность можно
рассматривать как дырявую сферу с одним или двумя листами Мебиуса и приклеенными торами с дыркой. При утолщении спайна каждый тор с дырой два
раза вкладывается в край многообразия, следовательно, число торов в поверхности√не превышает рода компоненты края многообразия, которая не больше,
чем k5 . Поэтому род ориентируемой поверхности и число листов Мебиуса в
неориентируемой ограничен.
Из пунктов 1 — 3 следует, что число 2-компонент спайна P конечно. Кроме
того, поверхности к особому графу приклеиваются конечным числом способов.
Поэтому число получаемых простых спайнов конечно.
Покажем, что простой спайн утолщается до ориентируемого многообразия конечным числом способов. Многообразие можно получить, приклеивая к
Некоторые свойства расширенной сложности трехмерных многообразий
119
утолщенному особому графу утолщенные 2-компоненты. Особый граф можно
утолстить единственным способом. Для получения ориентируемого многообразия
2-компоненты утолщаются также только одним способом (для ориентируемой
поверхности нужно взять ее прямое произведение на отрезок, для неориентируемой — ориентируемое косое произведение на отрезок). Полученные утолщенные
компоненты приклеиваются по кольцам к утолщенному особому графу. Осевые
окружности колец склеиваются единственным образом, тогда сами кольца можно
склеить двумя способами, поэтому число различных вариантов склейки утолщенных компонент конечно. Следовательно, простой спайн утолщается конечным
числом способов и существует только конечное число различных компактных
ориентируемых неприводимых гранично неприводимых трехмерных многообразий, которые имеют расширенную сложность (k1 , k2 , k3 , k4, k5 ).
Теорема 2. Для каждого целого набора (k1 , k2 , k3 , k4 , k5 ) существует только
конечное число различных компактных ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий, которые имеют расширенную сложность (k1 , k2, k3 , k4 , k5 ).
Доказательство. Для неприводимых гранично неприводимых многообразий
утверждение доказано (см. лемму 1). Докажем утверждение для гранично приводимых многообразий. Пусть задан допустимый набор (k1 , k2 , k3 , k4 , k5 ) (если
набор не является допустимым, то многообразий с данной расширенной сложностью не существует). Гранично приводимые многообразия получаются из гранично неприводимых приклеиванием к краю этих многообразий ручек индекса 1.
Пусть (k1i , k2i , k3i , k4i , k5i ) — расширенные сложностиP
гранично неприводимых
слаPn i
n
i
гаемых, n — число этих слагаемых. Тогда k1 =
i=1 k2 , но так
i=1 k1 , k2 =
как приклеивание ручки не уменьшает число несвободных поверхностей в крае
и I-число многообразия,
квадратов
компонент края
Pnувеличивает
Pсумму
Pn родов
n
i
i
i
многообразия, то k3 ≥ i=1 k3 , k4 ≥ i=1 k4 и k5 > i=1 k5 . Для каждого набора (k1 , k2 , k3 , k4 , k5 ) существует конечное число разбиений на допустимые пятерки (k1i , k2i , k3i , k4i , k5i ), удовлетворяющие указанным неравенствам. По лемме 1 для
каждого набора (k1i , k2i , k3i , k4i , k5i ) существует только конечное число компактных
ориентируемых неприводимых гранично неприводимых трехмерных многообразий, следовательно, существует конечное число наборов неприводимых гранично
неприводимых многообразий, из которых можно построить неприводимое многообразие со сложностью (k1 , k2, k3 , k4 , k5 ). Так как приклеивание ручки увеличивает сумму квадратов родов компонент края многообразия, которая равна k5 ,
то ручек приклеивается конечное число. При приклеивании ручки важна только
компонента края, к которой приклеивается ручка, число компонент края конечно, поэтому число вариантов приклейки ручек конечно. Следовательно, число
гранично приводимых многообразий, полученных приклеиванием ручек, конечно.
Итак, существует только конечное число компактных ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий с расширенной сложностью
(k1 , k2 , k3 , k4 , k5 ).
120
О. Н. Шатных
2.3. Многообразия малой расширенной сложности
В этом разделе мы опишем многообразия сложности (0, 0, k3, k4 , k5 ), где k3 ∈
Z, k4 , k5 ∈ N.
1) Многообразиями сложности (0, 0, 0, 0, 0) являются многообразия S 3 , RP 3,
e
D 3 и S 2 × I (как связная сумма двух шаров) и RP 2 ×I.
2
2) Многообразиями сложности (0, 0, 0, 0, g ) являются полные крендели рода
g.
3) Многообразиями сложности (0, 0, 0, 1, 2g 2) являются I-расслоения над замкнутой ориентируемой поверхностью рода g, где g ≥ 1.
4) Многообразиями сложности (0, 0, 0, 2, (n−1)2) являются I-расслоения над
замкнутой поверхностью, являющейся связной суммой n проективных плоскостей, n ≥ 1.
5) Многообразия, имеющие расширенную сложность (0, 0, 0, k4, k5 ) и не принадлежащие семействам 1 − 4, являются связными или граничными связными
суммами многообразий семейств 1 − 4.
Так как семейства 1 − 5 перечисляют все многообразия, спайны которых
не имеют истинных вершин и тройных окружностей (т. е. первые две компоненты расширенной сложности равны 0), то других многообразий сложности
(0, 0, k3, k4 , k5 ), где k3 ∈ Z, k4 , k5 ∈ N, нет.
Список литературы
1. Matveev, S. Algorithmic Topology and Classification of 3-Manifolds / S. Matveev.—
Berlin ; Heidelberg : Springer-Verlag, 2003.
2. Hog-Angeloni, C. Roots of 3-manifolds and cobordisms / C. Hog-Angeloni,
S. Matveev // Geometry&Topology.— 2007 (accepted for publication).
3. Шатных, О. Н. Расширение сложности трехмерных многообразий / О. Н. Шатных // Проблемы теоретической и прикладной математики : тр. 38-й регион. молодеж. конф.— Екатеринбург : Изд-во УрО РАН, 2007.— C. 80—84.