СИСТЕМЫ ОДУ И ТРИ-ТКАНИ W(1,N,1) 1. Введение 2

1553
УДК 514.763
СИСТЕМЫ ОДУ И ТРИ-ТКАНИ W(1,N,1)
А.А. Дуюнова
ОУП ВПО АТиСО
Россия, 119454, Москва, ул. Лобачевского, 90
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: три-ткань, система обыкновенных дифференциальных уравнений
Аннотация: Системе обыкновенных дифференциальных уравнений соответствует
три-ткань W (1, n, 1), образованная двумя n-параметрическими семействами кривых
и однопараметрическим семейством гиперповерхностей. Это дает возможность описывать свойства три-ткани в терминах дифференциальных уравнений и наоборот.
1.
Введение
Рассматривается три-ткань W (1, n, 1), образованная на гладком многообразии
размерности n + 1 двумя n-параметрическими семействами кривых и однопараметрическим семейством гиперповерхностей. Для таких тканей определено семейство
адаптированных реперов, записаны структурные уравнения, исследованы дифференциально-геометрические объекты. Всякая система ОДУ однозначно определяет
некоторую три-ткань W (1, n, 1). Компоненты основных тензоров и дифференциальные формы, входящие в структурные уравнения, выражены через функции, определяющие систему ОДУ. Показано, что к системе естественным образом присоединяется аффинная связность. В терминах ткани найдено условие автономности системы
ОДУ.
2.
Стурктурные уравнения три-ткани W (1, n, 1)
Пусть M — гладкое многообразие размерности n + 1. Рассмотрим на нем триткань W (1, n, 1), заданную семействами λ1 И λ3 кривых и семейством λ2 гиперповерхностей. Следуя [2], обозначим Tp (M ) касательное пространство к многообразию
M в точке p, а Tp (Fα ), α = 1, 2, 3, — касательные пространства к слоям Fα ткани
W в этой точке. Рассмотрим в точке p многообразие R(W ) адаптированных реперов
ea , a, b, . . . = 1, 2, . . . , n + 1, первые n векторов которых лежат в Tp (F2 ), вектор en+1
в Tp (F1 ), а вектор en − en+1 в Tp (F3 ). В [2] было показано, что в описанном репере
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1554
семейства λα ткани W (1, n, 1) задаются следующими уравнениями Пфаффа:
(1)
λ1 : ω u = 0, ω n = 0,
λ2 : ω n+1 = 0,
λ3 : ω u = 0, ω n + ω n+1 = 0,
где {ω u , ω n , ω n+1 } — двойственный корепер, а u, v, . . . = 1, 2, . . . , n − 1. Группа допустимых преобразований, сохраняющих вид этих уравнений, определяет G-структуру
на многообразии три-ткани W (1, n, 1). Введенные формы удовлетворяют следующим
структурным уравнениям:
(2)
dω u = ω v ∧ ωvu + µu ω n ∧ ω n+1 ,
dω n = ω u ∧ ωun + ω n ∧ ωnn ,
dω n+1 = ω n+1 ∧ ωnn ,
причем величины µu образуют тензор на G-структуре. Он называется первым структурным тензором три-ткани W (1, n, 1) [1]. Дифференциальное продолжение (2) приводит к уравнениям:
(3)
u
,
dωvu = ωvw ∧ ωwu + µu ωvn ∧ ω n+1 + kvu ω n ∧ ω n+1 − ω w ∧ ωvw
n
v
n
n
n
n
n+1
v
n
dωu = ωu ∧ ωv + ωu ∧ ωn + tu ω ∧ ω
− ω ∧ ωuv ,
u
n+1
n
u n+1
n
n
+ tn ω ∧ ω n+1 ,
∧ ωu + tu ω ∧ ω
dωn = µ ω
u
u n
u v
u n
u
v u
ω n+1 ,
dµ = −µ ωv + 2µ ωn + kv ω + kn ω + kn+1
(4)
n
u
u
s
u
∧ ω n+1 =
− µu ωvw
− ωws ∧ ωvs
− ωvs ∧ ωsw
+ ωsu ∧ ωvw
dωvw
n
u
n+1
u
n+1
u n
u n
∧ ωs,
− hvw ω ∧ ω n+1 + ωvws
− kv ωw ∧ ω
= −kw ωv ∧ ω
n
n
n
w
n
∧ ωvw =
∧ ωnn + ωuw
− ωuv
∧ ωwn − ωuw ∧ ωwv
− ωuv
dωuv
n
= −tv ωun ∧ ω n+1 − tu ωvn ∧ ω n+1 − muv ω n ∧ ω n+1 + ωuvw
∧ ωw ,
v
n
n
v n
v
n
dtu − tv ωu − tu ωn − tn ωu + ku ωv = muv ω + mun ω +
n
,
+ mu n+1 ω n+1 + µv ωvu
u
n
n+1
u n
n
dtn − 2tn ωn + kn ωu = mun ω + mnn ω + mn n+1 ω ,
dkvu + kvw ωwu − kwu ωvw − knu ωvn − 2kvu ωnn = huvw ω w + huvn ω n +
u
,
+ huv n+1 ω n+1 + µw ωwv
u
v u
u n
u
v
u
n
u
n+1
dkn + kn ωv − 3kn ωn = hvn ω + hnn ω + hn n+1 ω ,
u
v
u
dkn+1
+ kn+1
ωvu − 3kn+1
ωnn = 3µu µv ωvn +
+ huv n+1 − 2µu tv ω v + hun n+1 − 2µu tn ω n + hun+1 n+1 ω n+1 ,
причем выполняются соотношения:
n
ωuv
=
n
ωvu
,
huvw = huwv ,
u
u
ωvw
= ωwv
,
muv = mvu ,
n
n
ωuvw = ωuwv
,
u
u
ωvws
= ωvsw
.
u
e
e
Совокупность величины {tu , tn , kvu , knu , kn+1
} образует тензор на G-структуре,
где G
— подгруппа продолженной группы G. Он называется вторым структурным тензором три-ткани W (1, n, 1) [1].
Теорема 1. Структурные уравнения ткани W (1, n, 1) (2) и (3) определяют
на многообразии M аффинную связность без кручения в том и только том случае,
n
u
если формы ωun , ωuv
и ωvw
являются главными, то есть выражаются через базисные
u
n
n+1
формы ω , ω и ω .
Связности, удовлетворяющие условиям последней теоремы, названы совместимыми с три-тканью W (1, n, 1).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1555
3.
Некоторые специальные классы три-тканей
W (1, n, 1)
В аффинном пространстве An+1 два семейства параллельных прямых и одно семейство параллельных n-мерных плоскостей, находящихся в общем положении, образуют три-ткань W0 (1, n, 1), которая называется параллельной тканью. Три-ткани, эквивалентные параллельной, называются параллелизуемыми или регулярными. В [2]
доказана
Теорема 2. Три-ткань W (1, n, 1) является параллелизуемой тогда и только
тогда, когда ее первый и второй структурные тензоры равны нулю.
Через точку p многообразия, несущего три-ткань W (1, n, 1), проходят две линии
ткани из семейств λ1 и λ3 соответственно. Касательные векторы к этим линиям (en+1
и en − en+1 ) определяют двумерное подпространство Tp2 в Tp , которое пересекает
касательное пространство ко второму слою ткани, проходящему через точку p, по
одномерному векторному подпространству, определяемому вектором en .
Обозначим λ̃2 семейство интегральных кривых, определяемых векторным полем
en . Три семейства кривых λ1 , λ̃2 и λ3 образуют неголономную три-ткань в смысле
определения из [4], так как касательные векторы к линиям этих семейств, проходящих через точку p, лежат в одном двумерном подпространстве. Обозначим эту ткань
f.
NW
Распределение двумерных подпространств Tp2 , вообще говоря, не инволютивно.
Оно инволютивно тогда и только тогда, когда
(5)
µu = 0.
Таким образом, первый структурный тензор три-ткани W (1, n, 1) является тенf . В случае µu = 0 многообразие ткани M расслазором неголономности ткани N W
ивается на ∞n−1 двумерных подмногообразий V . Верна
Теорема 3. Двумерные поверхности V , определяемые уравнениями ω u = 0, являются вполне геодезическими поверхностями во всех совместимых с три-тканью
W (1, n, 1) аффинных связностях.
Поверхности V называются трансверсально-геодезическими поверхностями.
На поверхностях V линии семейств λ1 , λ̃2 и λ3 образуют обычную (голономную)
f . Структурные уравнения ткани W
f имеют
криволинейную три-ткань, обозначим ее W
вид:
(6)
dω n = ω n ∧ ωnn ,
dω n+1 = ω n+1 ∧ ωnn ,
dωnn = tn ω n ∧ ω n+1 ,
dtn − 2tn ωnn = mnn ω n + mn n+1 ω n+1 ,
f и соответствующей ей канонической
Форма ωnn есть форма кривизны три-ткани W
связности Черна, tn — кривизна этой ткани (а также ее связности Черна), а величины
mnn и mn n+1 являются ковариантными производными кривизны tn относительно
связности Черна.
f , определенная на V , состоит из геодезических линий
Двумерная три-ткань W
многообразия M . Три-ткань W (1, n, 1), для которой выполнено условие (5) называется трансверсально-геодезической тканью.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1556
f на каждой трансТеорема 4. Для того, чтобы криволинейная три-ткань W
версально-геодезической поверхности V трансверсально-геодезической ткани W (1, n, 1)
была шестиугольной, необходимо и достаточно, чтобы относительный инвариант
tn равнялся нулю:
tn = 0.
(7)
Трансверсально-геодезические ткани W (1, n, 1), для которых выполняется условие (7), будем называть шестиугольными.
Теорема 5. Для того, чтобы ткань W (1, n, 1) была шестиугольной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (5) и (7).
4.
Три-ткани, определяемые системами ОДУ
Согласно [2], с системой дифференциальных уравнений
(8)
dxi
= f i t, x1 , . . . , xn
dt
(i, j, . . . = 1, . . . , n)
связана три-ткань W (1, n, 1), заданная на многообразии переменных xi , t, и состоящая из семейств λα , где
λ1 : xi = const,
λ3 : F i (t, xj ) = ci = const,
λ2 : t = const,
причем последнее семейство состоит из интегральных кривых системы (8).
Обозначим:
(9)
ω u = f n dxu − f u dxn ,
ω n = dxn /f n ,
ω n+1 = −dt.
Тогда слоения ткани W (1, n, 1) задаются следующими уравнениями:
(10)
λ1 : dxi = 0 или ω i = 0,
λ2 : dt = 0 или ω n+1 = 0,
λ3 : dF i (t, xj ) = 0 или ω u = 0, ω n + ω n+1 = 0.
Эти уравнения совпадают с уравнениями (1), следовательно формы (9) должны удовлетворять структурным уравнениям (2).
Используя (9), находим компоненты тензоров ткани и дифференциальных форм,
входящих в структурные уравнения:
(11)
µu = f u
ωvu
(12)
∂f n
∂f u
− fn
,
∂t
∂t
1 ∂f n
1 ∂f u
1
= n v dxu − n v dxn − n δvu
f ∂x
f ∂x
f
ωun = −
∂f n n
dx ,
(f n )3 ∂xu
1
ωnn =
f w ∂f n n ∂f n
∂f n n
dx +
dt + n dx ,
f n ∂xw
∂t
∂x
1 ∂f n
dt.
f n ∂t
Из этих соотношений следует
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1557
Теорема 6. Система обыкновенных дифференциальных уравнений автономна
в том и только том случае, если µu и ωnn равны нулю.
Далее находим выражение форм и тензоров ткани следующей дифференциальной окрестности через производные от функций f i :
tu =
(13)
∂f n ∂f n
1 ∂ 2f n
−
,
(f n )3 ∂xu ∂t
(f n )2 ∂xu ∂t
1
2 n
∂f n ∂f n ∂f n ∂f u
∂ 2f n
u ∂ f
+
−
f
−
.
∂xn ∂t
∂xu ∂t
∂xu ∂t
∂xn ∂t
2 n
1 ∂f u ∂f n
∂f n ∂f u
u
u ∂ f
kv = n
+
f
−
−
f
∂xv ∂t
∂xv ∂t ∂xv ∂t
2 u
f w ∂f n ∂f n u ∂f w ∂f n u
n ∂ f
−f
+
δ −
δ ,
∂xv ∂t f n ∂t ∂xw v
∂t ∂xw v
∂ 2f u
∂ 2f n
∂ 2f u
∂ 2f n
knu = f u f v v −f v f n v +f u f n n −(f n )2 n +
∂x ∂t
∂x ∂t
∂x ∂t
∂x ∂t
u
n
v
u
n
n
v
n
∂f
∂f
∂f
∂f
u ∂f ∂f
u ∂f ∂f
+ fn n
+ fn
−
f
−
f
,
∂x ∂t
∂t ∂xv
∂t ∂xn
∂t ∂xv
2
2 u
2 n
f u ∂f n
∂f u ∂f n
u
n∂ f
u∂ f
kn+1 = f
−f
+3
.
−3
∂t2
∂t2
f n ∂t
∂t ∂t
1
tn = n
f
(14)
5.
Системы ОДУ, определяемые некоторыми
специальными классами три-тканей W (1, n, 1)
Пусть три-ткань W (1, n, 1), соответствующая системе (8), является трансверсальногеодезической, то есть для нее выполняются соотношения (5):
µu = 0.
Системы ОДУ, соответствующие таким тканям, будем называть почти автономными (автономные — µu = 0 и ωnn = 0). Используя (5), находим
(15)
f u (t, xi ) = f n (t, xj )g u (xk ),
то есть почти автономная система имеет вид:
dxu
=f n (t, xi )g u (xj ),
dt
(16)
dxn
=f n (t, xi ).
dt
Напомним, что три-ткани W (1, n, 1) (и соответствующие системы ОДУ) мы рассматриваем с точностью до замены переменных — параметров на базах слоений ткани.
Поэтому допустимы замены вида xi = xi (x̃j ) где xi (x̃j ) — локальные диффеоморфизмы. Последнюю систему, допустимой заменой переменных xu = xu (x̃u , xn ) можно
привести к виду:
(17)
dx̃u = 0,
dxn
=f n (t, x̃u , xn ).
dt
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1558
Теорема 7. Почти автономная система ОДУ (µu = 0) локально эквивалентна
системе вида (17), в которой только одно уравнение содержит переменную t. При
этом многообразие соответствующей три-ткани W (1, n, 1) локально эквивалентно прямому произведению Rn−1 × R2 , двумерные слои которого несут криволинейf (cu ), cu ∈ Rn−1 , образованные координатными линиями t = const,
ные три-ткани W
xn = const и интегральными кривыми почти автономной системы.
f (cu ), о которых сказано в теореме, являются реПусть криволинейные ткани W
гулярными. Тогда их кривизна равна нулю tn = 0. Из (14) находим
(18)
f n = β(xu , xn )γ(t, xu ),
то есть соответствующая система ОДУ запишется следующим образом:
dx̃u = 0,
(19)
dxn
=β(x̃u , xn )γ(t, x̃u ).
dt
Интегрируя, придем к уравнениям
(20)
x̃u = cu ,
A(x̃u , xn ) + B(x̃u , t) = cn .
f (cu ) на двуПоследнее уравнение является уравнением криволинейной три-ткани W
u
u
u
n
n
мерном слое x̃ = c . Допустимой заменой вида A(x̃ , x ) = x̃ это уравнение сведется
к более простому:
(21)
x̃n + B(x̃u , t) = cn .
Второе слагаемое (21) при фиксированных x̃u зависит только от t, и его можно допустимой заменой B(cu , t) = t̃ привести к виду
(22)
x̃n + t̃ = cn .
Это соответствует тому известному факту, что уравнение любой регулярной ткани
путем допустимой замены переменных можно привести к каноническому виду
z = x + y.
f (cu )
Но поскольку функции B(x̃u , t) зависят от переменных x̃u , то уравнение ткани W
нельзя привести допустимым преобразованием к каноническому виду одновременно
на всем многообразии M , а можно только в каждом слое x̃u = cu по-своему. Если
теперь вернуться к старым переменным xu , то получится
Теорема 8. Почти автономная система ОДУ, соответствующая шестиугольной три-ткани W (1, n, 1), имеет общие интегралы вида
(23)
x̃u (xi ) = cu ,
A(x̃u (xi ), xn ) + B(x̃u (xi ), t) = cn .
Рассмотрим почти автономные системы ОДУ, которым соответствует шестиf (cu )
угольная три-ткань W (1, n, 1), причем такая, что уравнение регулярной ткани W
приводится к каноническому виду одновременно на всем многообразии ткани W (1, n, 1).
Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие tu = 0. Это условие
характеризует параллелизуемые три-ткани.
Теорема 9. Почти автономная система ОДУ, соответствующая параллелизуемой три-ткани W (1, n, 1), имеет общие интегралы вида
(24)
x̃u (xi ) = cu ,
A(x̃u (xi ), xn ) + B(t̃(t)) = cn .
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1559
Список литературы
1.
2.
3.
4.
Акивис М.А., Гольдберг В.В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей // Докл. АН СССР. 1972. Т. 203, № 2. C. 263-266.
Дуюнова А.А. Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных
уравнений // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, Вып. 2. С. 13-31.
Дуюнова А. А. Шелехов А. М. О три-тканях W(1,n,1) с нулевым первым структурным
тензором // Известия Пензенского государственного педагогического университета имени
В.Г. Белинского. 2011. С. 82-88.
Верба Е.И. Неголономные три-ткани // Сборник трудов «Геометрия погруженных многообразий». М.: МГПИ, 1978. С. 18-25.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г