Вычисляем векторное произведение векторов







1) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах p  41a  3b и q  81a  b , где

 
b  2 и угол между векторами a и b равен 150 .

a  3,


Площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q , можно вычислить как модуль их векторного
произведения:
 
S  pq
Вычисляем векторное произведение векторов:

 
 
 

 
 
 
p  q  41a  3b  81a  b  3321a  a  41a  b  243b  a  3b  b 
 
 
 
 
 
 
 3321   a  a   41  a  b  243  a  b  3  b  b  3321  0  202  a  b  3  0  202  a  b
 
 
 
 
- т.к. a  a  0 , b  b  0 , a  b  b  a .






Следовательно, площадь параллелограмма
 





 
 
1
S  202  a  b  202  a  b  sin 150  202  3  2   606 (кв. ед.)
2




Ответ: S пар.  606 кв. ед.
Свойства векторного произведения векторов:
1) При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.
 
 
a  b  a  b
2) Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т.е.

 





 
  a  b    a   b  a  b
3) Векторное произведение обладает распределительным свойством:


 a  b   c  a  c  b  c


4) Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно
нулевому вектору, т.е.
 
  
a b  a b  0
1 





2) Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2m  n и 4m  5 n , где m и n 
единичные векторы, образующие угол 45 .
1-й способ решения.
   


 
 
Найдём векторы a и b :



 
 
 a  b  2m  n
 a  3m  3n

 





 a  b  4m  5 n
 b  m  2n
 
S  a b
 




 
 
 
 
 
a  b   3m  3n    m  2n   3m  m  3n  m  6 m  n  6 n  n  3m  n
 
 
 
 
- т.к. m  m  0 , n  n  0 , n  m   m  n .


Имеем a  b  2 m  n и a  b  4m  5 n , где a и b - векторы-стороны параллелограмма.
 
 
 
2 3 2
S  a  b  3m  n  3  m  n  sin 45  3  1  1 

(кв. ед.)
2
2
2-й способ решения.
Используем тот факт, что площадь S 2 параллелограмма, построенного на диагоналях исходного
параллелограмма, в 2 раза больше площади S 1 исходного параллелограмма.
 


S 2   2m  n    4m  5 n 
 


 
 
 
 
 
 2m  n    4m  5n   8 m  m  4n  m  10m  n  5n  n  6 m  n
 
 
2
S 2   6 m  n  6  m  n  sin 45  6  1  1 
3 2
2
S2 3 2
(кв. ед.)
S1 

2
2
Литература:
1) Минорский В.П. "Сборник задач по высшей математике”, 2005, стр. 59 (задача 432).






3) Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a  2i  j и b   j  2k .


Если сторонами параллелограмма являются векторы a и b , то его диагонали соответствуют векторам
   
a b и a b :
2 



Угол  между векторами a  b и a  b найдём посредством формулы скалярного произведения векторов, в
которую входит косинус угла между ними.
Итак,

a   2 ; 1; 0 

b   0 ;  1; 2 
 
a  b   2  0 ; 1  1 ; 0  2   2 ; 0 ; 2
 
a  b   2  0 ; 1   1  ; 0  2    2 ; 2 ;  2 
Косинус угла
:




a  b  a  b 

cos  

 


a b  a b
Ответ:


2
2  2  0  2  2   2 
22  0 2  22  2 2  22   2 
2
0



2
.



4) Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a  3 p  q ,
 



b  p  2q , где p  1 , q  2 ,
  

p,q  .
3
Если сторонами параллелограмма являются векторы
   
a b и a b :
Угол
и

 
a и b , то его диагонали соответствуют векторам
между векторами
 
  

 
a  b  3 p  q  p  2q  4 p  q
 
  



a  b  3 p  q  p  2q  2 p  3q
найдём посредством формулы скалярного произведения векторов, в которую входит косинус угла между ними.
Косинус угла
:




a  b a  b 

cos  




a b  a b
Скалярное произведение


 a  b    a  b    4 p  q    2 p  3q   8 p

 8 p
2

 3 q
2
2
 
 

 2q  p  12 p  q  3q 2 
 

 10 p  q  8  1 2  3  2 2  10  1  2  cos  8  12  10  6
3
3 Модули
 
 

a  b  4 p  q  4 2  1 2  2  4  1  cos  13
3
и
 




a  b  2 p  3q  2 2  6 2  2  2  3  cos      46
3

находим из треугольников, образованных векторами, применив формулу косинусов:
Следовательно,




a  b  a  b 

cos  

 


a b  a b
6
3 598

 0 (острый угол)
299
13  46
 3 598 

  1, 323  рад   75 48
 299 
  arccos 

5) Известно, что a  13 ,

b  19 ,

 
 
a  b  24 . Найти a  b .

Сумма и разность векторов a и b соответствуют диагоналям параллелограмма, стороны которого
образованы этими векторами.


Обозначим стороны такого параллелограмма как a и b , а искомую величину a  b обозначим x .
Используя теорему косинусов, запишем систему:





 
a b
 
a b
2
 a 2  b 2  2ab  cos    
2
 a 2  b 2  2ab  cos 
4 Подставим известные величины:
 24 2  13 2  19 2  2  3  19  cos 
 2
2
2
 x  13  19  2  3  19  cos 
Сложим уравнения:
24 2  x 2  2   13 2  19 2 
x 2  2   13 2  19 2   24 2  484
x  22


Ответ: a  b  22 .
5