Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Институт экономики
полное наименование института/факультета
«УТВЕРЖДАЮ»
Заведующий кафедрой
«Высшая математика»
Виноградова П.В.
подпись, Ф.И.О.
«_____» ____________ 2012г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины Линейная алгебра
__________________________________________
полное наименование дисциплины
для направления подготовки (специальности)
080100.62 Экономика _______
код и наименование направления подготовки
______________________________________________________________________
(специальности)
Составитель (и)
преподаватель Волошина И.А. __________________________
_____________________________________________________________________
учёная степень, должность, Ф.И.О.
Обсуждена на заседании кафедры
Высшая математика __________________
_____________________________________________________________________
полное наименование кафедры-разработчика
«__» ____________ 20____ г., протокол № ___
Одобрена на заседании методической комиссии* Естественнонаучного института
_________________________
полное наименование института/факультета
«__» ____________ 20____ г., протокол № ___
.
Одобрена на заседании методической комиссии**
Института экономики _______
_________________________
полное наименование института/факультета
«__» ____________ 20____ г., протокол № ___
2012 г.
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ
в _____________________________ внесены и одобрены на заседании кафедры
наименование документа ООП
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
полное наименование кафедры
«___» _____________20____ г., протокол № ___
В
__
наименование документа ООП
______________________________________________________________________
полное наименование дисциплины (практики)
на 20___ / 20___ учебный год вносятся изменения:
1.
2.
3.
и т.д.
Заведующий кафедрой
______________________
подпись, Ф.И.О.
2
СОДЕРЖАНИЕ
1
Виды и задачи профессиональной деятельности, формируемые в
процессе обучения по дисциплине …………………………………
4
2
Место дисциплины в структуре ООП ………………………………
4
3
Компетенции, формируемые в результате обучения по дисциплине
4
4
Проектируемые результаты обучения по дисциплине ……………...
4
5
Межпредметные связи ………………………………………………...
5
6
Трудоемкость дисциплины и ее распределение по видам работ
для очной формы обучения …………………………………………...
6
для заочной формы обучения…………………………………………
6
7
Методы и формы организации обучения ……………………………
7
8
Тематическое содержание курса
9
10
для очной формы обучения……………………………………………
8
для заочной формы обучения…………………………………………
11
Виды самостоятельной работы студентов и их состав
для очной формы обучения …………………………………………...
12
для заочной формы обучения ………………………………………...
16
Формы текущего контроля знаний
для очной формы обучения…………………………………………....
19
для заочной формы обучения ………………………………………...
32
11
Вопросы к экзамену…………… ……………………………………...
33
12
Примерный календарный план
для очной формы обучения …………………………………………...
36
для заочной формы обучения ………………………………………...
40
13
Перечень обязательной литературы.. ………………………………...
42
14
Перечень дополнительной литературы ……………………………..
43
15
Перечень наглядных и других пособий ……………………………...
43
3
1. ВИДЫ И ЗАДАЧИ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ,
ФОРМИРУЕМЫЕ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ.
В процессе изучения дисциплины «Линейная алгебра» бакалавр по
направлению подготовки 080100 Экономика готовится к расчетноэкономическому виду профессиональной деятельности.
В соответствии с видом профессиональной деятельности бакалавр
должен решать следующие профессиональные задачи:
 подготовка исходных данных для проведения расчетов экономических и
социально-экономических показателей, характеризующих деятельность
хозяйствующих субъектов;
 проведение расчетов экономических и социально-экономических
показателей на основе типовых методик, с учетом действующей
нормативно-правовой базы.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП.
Дисциплина входит в базовую часть математического цикла Б2.
3. КОМПЕТЕНЦИИ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОБУЧЕНИЯ ПО
ДИСЦИПЛИНЕ.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
компетенций:
ПК – 1
способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые
для расчета экономических и социально-экономических показателей,
характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов
4. ПРОЕКТИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
В результате изучения дисциплины студент должен:
знать:
 основы линейной алгебры и аналитической геометрии, необходимые
для решения экономических задач;
уметь:
 применять методы линейной алгебры и аналитической геометрии для
решения экономических задач;
 использовать математический язык и математическую символику при
построении организационно-управленческих моделей;
владеть:
 навыками применения методов матричного исчисления, решения
систем линейных алгебраических уравнений для решения
экономических задач;
 методикой построения и анализа уравнений линий и поверхностей
первого и второго порядков, используемых в экономическом анализе.
4
5. МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ
Дисциплине предшествуют базовые знания математических дисциплин,
полученные в объеме средней образовательной школы.
Дисциплина является предшествующей для изучения следующих
дисциплин: математический анализ, теория вероятностей и математическая
статистика,
методы
оптимальных
решений,
макроэкономика,
микроэкономика, эконометрика, экономическая статистика, финансовоэкономические расчеты.
2.
5.
Теория вероятностей и
математическая
статистика
Методы оптимальных
решений
Финансовоэкономические расчеты
Эконометрика
6.
Статистика
3.
4.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Комплексные числа
Элементы
аналитической
геометрии
Математический анализ
Линейное
пространство и
линейные операторы
1.
Системы линейных
алгебраических
уравнений
№
п/
п
Наименование
последующих дисциплин
Матрицы и
определители
№ № разделов данной дисциплины, необходимых
для изучения последующих дисциплин
+
+
+
+
+
5
6. ТРУДОЕМКОСТЬ ДИСЦИПЛИНЫ И ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ВИДАМ
РАБОТ
для очной формы обучения
№ п\п
1
2
3
4
5

Разделы дисциплины
Лекции
1 семестр ( 5 з.е. =180 ч.)
Матрицы и определители
4
Системы линейных
6
алгебраических уравнений
Линейное пространство и
10
линейные операторы
Элементы аналитической
12
геометрии
Комплексные числа.
32
Практическ
ие занятия
Самостоятель
ная работа
4
17
6
22
10
32
12
31
32
14
116
Практическ
ие занятия
Самостоятель
ная работа
2
35
2
20
2
40
2
46
2
10
25
166
для заочной формы обучения
№ п\п
1
2
3
4
5

Разделы дисциплины
Лекции
1 семестр ( 5 з.е. =180 ч.)
Матрицы и определители
Системы линейных
алгебраических уравнений
Линейное пространство и
2
линейные операторы
Элементы аналитической
2
геометрии
Комплексные числа.
4
6
7. МЕТОДЫ И ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ
Реализация компетентностного подхода предусматривает использование
в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий с
целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах должен
составлять не менее 20 % аудиторных занятий.
для очной формы обучения
Формы
Лекции (час)
Практические
занятия (час)
Всего
Методы
ИНТЕРАКТИВНЫЕ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Лекция-визуализация
2
«Мозговой штурм»
2
Лекция
по
технологии
«ИНСЕРТ» (с пометками на
2
полях)
Контекстное
обучение
(применение
конкретного
2
знания на практике)
Работа в малых группах
6
Итого
6
8
АКТИВНЫЕ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
«Бортовой журнал»
6
Лекция-беседа
18
Метод групповой дискуссии
26
Итого
24
26
2
2
2
2
6
14
6
18
26
50
для заочной формы обучения
Формы
Лекции (час)
Практические
занятия (час)
Всего
Методы
АКТИВНЫЕ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Лекция-беседа
4
Метод групповой дискуссии
10
Итого
4
10
4
10
14
7
8. ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
для очной формы обучения
Номер
лекции
1
2
3
4
5
6
7
8
Содержание занятия
Определители 2-го и 3-го порядка.
Свойства,
вычисление.
Определители n – порядка.
Матрицы. Основные виды матриц.
Действия
над
матрицами.
Обратная матрица. Элементарные
преобразования
матриц.
Ранг
матрицы. Теорема о базисном
миноре.
Системы
линейных
алгебраических
уравнений
(СЛАУ).
Теорема КронекераКапелли. Метод Гаусса. Метод
Крамера.
Методы
решения
СЛАУ:
матричный метод. Метод простых
итераций. Однородные системы
линейных
алгебраических
уравнений.
Фундаментальная
система решений
Модель
Леонтьева
многоотраслевой
экономики.
Модель равновесных цен.
Векторы. Линейные операции над
векторами. Проекция вектора на
ось.
Линейная
комбинация
векторов.
Понятие
базиса.
Действия
над
векторами,
заданными своими координатами.
Скалярное, векторное, смешанное
произведения векторов.
Линейные пространства. Базис и
размерность
линейного
пространства.
Линейная
зависимость
и
линейная
независимость
векторов.
Преобразование
координат
вектора при замене базиса.
Линейные
подпространства.
Евклидовы пространства.
Образовательные Кол-во
технологии
часов
Номера
разделов
основных
учебников
2
4 [1]
[3]
1 [6]
1 [8]
2
4 [1]
[3]
1 [6]
1 [8]
2
4 [1]
[3]
2 [6]
1 [8]
А
2
4 [1]
2 [6]
1 [8]
А
2
А
А
А
ИА
2
А
2
А
2
2 [6]
5 [1]
3 [6]
2 [8]
5 [1]
2 [8]
7 [1]
3 [6]
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Линейные
операторы
и
их
матрицы. Собственные векторы и
собственные значения линейных
операторов. Линейные операторы
в евклидовом пространстве.
Квадратичные
формы.
Канонический вид квадратичной
формы.
Закон
инерции
квадратичной формы. Критерий
Сильвестра.
Системы координат на плоскости
и в пространстве. Преобразование
декартовой системы координат.
Прямая линия на плоскости.
Различные
виды
уравнений
прямой линии на плоскости.
Условия
параллельности
и
перпендикулярности
прямых.
Расстояние от точки до прямой.
Кривые
второго
порядка:
окружность, эллипс, гипербола и
парабола.
Плоскость
в
пространстве.
Различные
виды
уравнений
плоскости.
Условия
перпендикулярности
и
параллельности
плоскостей.
Гиперплоскость.
Прямая в пространстве: общее,
канонические,
параметрические
уравнения
прямой.
Взаимное
расположение
прямой
и
плоскости.
Поверхности второго порядка.
Номер Содержание занятия
практического
занятия
1
Вычисление определителей
А
А
ИА
А
А
А
А
ИА
2
7 [1]
3 [6]
2
8 [1]
3 [6]
2
1 [1]
3 [8]
2
2 [1]
4[6]
3[8]
2
2 [1]
4[6]
3[8]
2
6 [1]
4 [6]
4 [8]
2
6 [1]
4 [6]
4 [8]
2
6 [1]
4 [6]
4 [8]
Образовательные Кол-во
технологии
часов
ИА
2
Номера
разделов
основных
учебников
4 [2]
[4]
[5]
1 [9]
9
2
Матрицы, действия с ними.
Обратная матрица. Нахождение
ранга матрицы.
А
2
А
2
А
2
5
Исследование систем линейных
уравнений на совместность.
Решение СЛАУ методом Гаусса,
Крамера.
Решение систем линейных
уравнений матричным способом.
Численные методы решения
СЛАУ. Решение однородных
СЛАУ.
Линейные экономические модели.
ИА
2
6
Векторы. Действия над векторами.
А
2
А
2
3
4
7
8
9
10
Скалярное произведение векторов.
Векторное и смешанное
произведение векторов.
Векторные пространства.
Размерность, базис,
преобразование координат вектора
при замене базиса.
Собственные значения и
собственные векторы. Линейная
модель обмена.
Квадратичные формы. Приведение
квадратичных форм к
каноническому виду.
4 [2]
[4]
[5]
1 [9]
4 [2]
[4]
2[9]
4 [2]
[4]
2 [9]
2 [6]
2 [2]
[5]
3 [9]
2 [2]
[5]
3 [9]
5 [2]
А
2
А
2
5 [2]
А
2
5 [2]
1 [2]
4 [9]
1 [2]
[7]
4 [9]
1 [2]
4 [9]
3 [2]
5 [9]
11
Системы координат.
А
2
12
Прямая на плоскости.
ИА
2
13
Кривые второго порядка.
ИА
2
14
Плоскость.
А
2
15
Прямая в пространстве. Взаимное
расположение прямой и
плоскости.
А
2
3 [2]
5 [9]
16
Поверхности второго порядка.
А
2
3 [2]
5 [9]
10
для заочной формы обучения
Номер
лекции
1
2
Содержание занятия
Векторы. Линейные операции над
векторами. Проекция вектора на
ось.
Линейная
комбинация
векторов.
Понятие
базиса.
Действия
над
векторами,
заданными своими координатами.
Скалярное, векторное, смешанное
произведения векторов.
Прямая линия на плоскости.
Различные
виды
уравнений
прямой линии на плоскости.
Условия
параллельности
и
перпендикулярности
прямых.
Расстояние от точки до прямой.
Номер Содержание занятия
практического
занятия
1
2
3
4
5
Вычисление определителей.
Матрицы, действия с ними.
Обратная матрица. Нахождение
ранга матрицы.
Исследование систем линейных
уравнений на совместность.
Решение СЛАУ методом Гаусса,
Крамера, матричным способом.
Линейные экономические модели.
Собственные значения и
собственные векторы.
Квадратичные формы. Приведение
квадратичных форм к
каноническому виду. Линейная
модель обмена.
Кривые второго порядка.
Плоскость. Прямая в
пространстве. Взаимное
расположение прямой и
плоскости.
Действия с комплексными
числами.
Образовательные Кол-во
технологии
часов
А
А
2
2
Образовательные Кол-во
технологии
часов
Номера
разделов
основных
учебников
5 [1]
3 [6]
2 [8]
2 [1]
4[6]
3[8]
Номера
разделов
основных
учебников
4 [2]
[4]
[5]
1 [9]
4 [2]
[4]
2[6]
2[9]
А
2
А
2
А
2
5 [2]
А
2
1 [2]
3[5]
4 [9]
5[9]
А
2
16[6]
10[9]
11
9. ВИДЫ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ И ИХ СОСТАВ
Самостоятельная работа студентов очной формы обучения включает в
себя:
1. изучение теоретического материала по лекциям, учебной и учебнометодической литературе;
2. изучение и конспектирование материала по теме «Комплексные числа»,
вынесенного на самостоятельное изучение;
3. выполнение и оформление расчетно-графических работ (РГР)
по
следующим темам:
o РГР № 1 «Матрицы, определители и СЛАУ»;
o РГР № 2 «Линейное пространство и линейные операторы»;
o РГР № 3 «Элементы аналитической геометрии».
4. подготовка к защите РГР;
5. подготовка к самостоятельным работам и тестам;
6. подготовка к экзамену.
Образцы расчетно-графических работ:
РГР № 1 «Матрицы, определители и СЛАУ»
1. Выполнить действия над матрицами:
1 4 3 
 2 3 1
2 1 0 
0 4 2 
  4

a. B  
4 2 1 
3 2 1 




 0 1 1
0 1 4 
4 1
1 4 3 0 
3 2 



b. C   1 3 4 1  
 2 1 1 2   1 1 

 0 1


4 1 2   1 
c. D   0 1 7    1
 2 1 1  12 

  
 1 2 4 


2. Дана матрица A   0 3 1 
 1 2 3 


a. Вычислить определитель матрицы A по «правилу треугольников» и
разложением по какой-нибудь строке или столбцу.
b. Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы и сделать
проверку.
12
3.
4.
5.
6.
 1 2 3 1
Найти ранг матрицы A   2 3 0 2  методом окаймляющих миноров
4 7 6 0 


(указать какой-либо базисный минор) и методом элементарных
преобразований.
2 x1  x2  3x3  7;

Решить систему линейных уравнений 2 x1  3x2  x3  1; методом Гаусса,
3x  2 x  x  6.
2
3
 1
матричным методом и методом Крамера.
2 x1  x2  3x3  0;

Дана однородная система линейных уравнений  x1  2 x2  6 x3  0;
19 x  5 x  15 x  0.
1
2
3

Выяснить, имеет ли эта система уравнений нетривиальное решение. В
случае утвердительного ответа найти это решение.
2 x1  x2  3x3  7;

Даны системы линейных уравнений  x1  2 x2  6 x3  5;
5 x  5 x  15 x  8.
2
3
 1
2 x1  x2  3x3  7;

 x1  2 x2  6 x3  19; Исследовать системы линейных уравнений и
19 x  5 x  15 x  8.
1
2
3

классифицировать их. В случае неопределённости системы уравнений
найти их базисные решения.
7. Рассматривается двухотраслевая модель экономики. Задана балансовая
таблица за прошедший год. Найти: 1) валовой выпуск каждой отрасли в
прошедшем году; записать вектор валового выпуска d для прошедшего
года. 2) Найти матрицу Леонтьева A . 3) Найти матрицу полных затрат
H . 4) В следующем году конечное потребление продукции отрасли I
увеличится на a % , а отрасли II—уменьшится на b% . Найти конечное
потребление продукции каждой отрасли в следующем году. Записать
вектор конечного потребления x ' для следующего года. 5) Найти
валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; записать вектор
валового выпуска d ' для прошедшего года. 6) На сколько процентов
изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году по
сравнению с прошедшим? 7) Известен вектор норм добавленной
стоимости v в прошедшем году. Найти равновесные цены продукции
каждой отрасли в прошедшем году. Записать вектор равновесных цен
p
Отрасли
Производственное потребление
Конечное
13
производства
отрасль I
I
6
II
4
 4
a  20%
v 
b  30%
6
отрасль II
7
4
потребление
2
1
РГР № 2 «Линейное пространство и линейные операторы»
5
3
1. Построить векторы a  m  2n и b  m  4n в аффинном базисе m , n ,
2
2
 
если длины векторов m  2 , n  1 и угол между векторами  m, n 

.
6
2. Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы a  4c  3d ,
b  9d  12c , построенные по векторам c   1;2;8 и d   3;7; 1 .
3. Найти длину вектора c  2a  3b , заданного в аффинном базисе a, b :
 
a  2 , b  1 ,  a, b 

.
3
4. Найти скалярное произведение a  b , a   2; 5;4  , b   1;2;8  . Найти
проекцию вектора a на вектор b .
5. Даны точки A  1;1;0  , B  2; 2;1 , C  3;1; 1 , D  1; 2; 1 .
a. Найти векторное произведение AB  AC и указать его
геометрический смысл.
b. Найти смешанное произведение ABAC AD , указать его
геометрический смысл.
c. Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости?
6. Найти площадь и длину одной из диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах a , b (см. задание 1).
7. Даны вершины пирамиды A 2;1;8 , B  6;5;2  , C  4;5;7  , D  9;4;10  . Найти:
a. угол между ребрами AB и AC ;
b. площадь грани ABC ;
c. объем пирамиды ABCD ;
d. длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D .
8. При каких значениях параметров  и  векторы a и b :
a. коллинеарны, если a   ;7; 4  , b   2;  ;2  ;
b. ортогональны, если a   1; ;8  , b   9;3; 1 .
Записать и построить полученные векторы.
9. Найти орт a  b где a   2; 5;4  , b  1;0;1 .
10.В параллелограмме ABCD : AB  a , AD  b . Через векторы a , b выразить
MA, MB, MC , MD , где M - точка пересечения диагоналей.
14
11.Исследовать на линейную зависимость систему элементов:
1
1
1
a. a   4  , b   1 , c   1 
6
1
 3
 
 
 
 2
1
 1 
1
 2
1




,f 
, f  
b. f1 
 3  2  0  3  3 
 
 
 
1
1
0
12.Проверить образуют ли вектора e1' , e2' , e3' базис. Записать матрицу
перехода от базиса e к базису e ' . Найти координаты вектора x в базисе
e1'  e1  e2  2e3
6
x   1 .
e ' , если он задан в базисе e . e2'  2e1  e2
3
e3'  e1  e2  e3
 
13.Найти собственные векторы и собственные значения матрицы
 4 2 1
A   1 3 1 .
 1 2 2 


1 2 2
14.Записать квадратичную форму с матрицей A   2 0 2  . Привести
 2 2 4


полученную квадратичную форму к каноническому виду методом
Лагранжа.
15.Привести квадратичную форму
f  x1, x2 , x3   10 x12  14 x22  7 x32  10 x1x2  2 x1x3  5 2 x2 x3 к каноническому
виду ортогональным преобразованием. Указать базис и ортогональное
преобразование.
16.Привести квадратичную форму f  x, y, z   2 x 2  z 2  4 xz  4 yz к
каноническому виду. Выяснить, является ли квадратичная форма
знакоопределенной.
РГР № 3 «Элементы аналитической геометрии»
1. На плоскости даны вершины треугольника A(5,1), B(1,4), C (2,5) .
1) составить уравнения сторон треугольника;
2) составить уравнение медианы, проведенной из вершины C ;
3) найти точку пересечения медиан;
4) составить уравнение высоты, проведенной из вершины C ;
5) составить уравнение прямой, проходящей через точку
параллельной стороне BC ;
A
и
15
6) найти угол при вершине A ;
7) сделать чертеж.
2. Привести к каноническому виду уравнения линий. Построить кривые:
1) x 2  y 2  8x  4 y  16  0 ;
2) 4 x 2  9 y 2  24 x  18 y  9  0 ;
3) 9 x 2  4 y 2  18x  16 y  43  0 ;
4) 4 x  y 2  10 y  13  0 ;
5) x 2  2 x  5 y  11  0 ;
6) 3x 2  9 y 2  6 x  36 y  33  0 ;
7) 4 x 2  y 2  40 x  2 y  105  0 ;
8) x 2  y 2  14 x  4 y  53  0 .
3. Дано:
2 x  y  z  3  0
;
x  4 y  z  2  0
1) прямая l задана уравнением: 
2) плоскость P задана уравнением: 3x  5 y  2 z  1  0 ;
3) точка A(5,6,1) .
Нужно:
a. привести уравнение прямой l к каноническому виду;
b. составить уравнение прямой, проходящей через точку A
параллельно прямой l ;
c. составить уравнение плоскости, проходящей через точку A
параллельно плоскости P ;
d. составить уравнение прямой, проходящей через точку A
перпендикулярно к плоскости P ;
e. составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно плоскости P и плоскости 4 x  y  z  5  0 ;
f. составить уравнение плоскости, проходящей через точку A
x y  3 z 1


;
2
1
3
g. найти точку пересечения плоскости P и прямой l .
и
и
и
A
и
перпендикулярно прямым l и
4. Построить тело, ограниченное поверхностями
a. x 2  y 2  z 2  81, x 2  y 2  16, z  0 ;
b. 4 z  12  x 2  y 2 , x 2  y 2  z 2 .
Самостоятельная работа студентов заочной формы обучения включает в
себя:
1) Самостоятельное изучение литературы по дисциплине.
2) Выполнение контрольных работ (КР) по следующим темам:
- КР № 1 «Элементы линейной алгебры»;
- КР № 2 «Элементы аналитической геометрии».
Образцы контрольных работ:
Контрольная работа № 1 «Элементы линейной алгебры»
16
Задание 1 Даны матрицы A, B, C и числа  и . Найти   A2    BC .
 0 1
 3 4 2 6 


 C  2 5
B   0 1 1 3  ,
 4 4
 2 5 2 1 



1 6
  2,   3 .
 5 1 2 


A   3 1 4  ,
 1 0 1 


3

1
,
7

5
Задание 2 Решить матричные уравнения:
а) AX  B;
б) XA  B ;
в) AXC  B.
 4 1 
A
,
 2 3
0 1 
B
,
 2 3 
 3 1 
C 
.
 1 2 
Задание 3 Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя
способами: 1) методом Крамера; 2) с помощью обратной матрицы; 3)
 3x1  2 x2  x3  5
методом Гаусса  2 x 1 3x2  x 3  1
2 x  x  3x  11
3
 1 2
Задание 4. Построить фундаментальную систему решений и общее решение
однородной системы алгебраических уравнений.
 2 x1  3x2  x3  5 x4  0;

 x1  x2  6 x3  11x4  0;
 3x  3x  2 x  0.
1
3
4

Задание 5. Рассматривается двухотраслевая модель экономики. Задана
балансовая таблица за прошедший год. Найти: 1) валовой выпуск каждой
отрасли в прошедшем году; записать вектор валового выпуска d для
прошедшего года. 2) Найти матрицу Леонтьева A . 3) Найти матрицу
полных затрат H . 4) В следующем году конечное потребление продукции
отрасли I увеличится на a % , а отрасли II—уменьшится на b% . Найти
конечное потребление продукции каждой отрасли в следующем году.
Записать вектор конечного потребления x ' для следующего года. 5) Найти
валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; записать вектор
валового выпуска d ' для прошедшего года. 6) На сколько процентов
изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году по
сравнению с прошедшим? 7) Известен вектор норм добавленной
стоимости v в прошедшем году. Найти равновесные цены продукции
каждой отрасли в прошедшем году. Записать вектор равновесных цен p
Отрасли
Производственное потребление
Конечное
производства
потребление
отрасль I
отрасль II
I
6
7
2
17
II
4
4
1
 4
a  20%, b  30%, v   
6
Задание 6. Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 . Требуется найти:
1) длину ребра A1 A2 ; 2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; 3) угол между
ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 ; 4) площадь грани A1 A2 A3 ; 5) объем пирамиды;
6) уравнения прямой A1 A2 ; 7) уравнение плоскости A1 A2 A3 ; 8) уравнения
высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 . Сделать чертеж.
A1 1, 1,1 , A2  2,0,3 , A3  2,1, 1 , A4  2, 2, 4 
Задание 7. Выяснить, образуют ли векторы p, q, r базис. Если образуют, то
разложить вектор x по этому базису.
p  0;1;2 , q 1;0;1 , r  1;2;4 , x  2;4;7 
Задание 8. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы A .
Составить квадратичную форму матрицы, определить ее тип.
 4 2 1


A   1 3 1
 1 2 2 


Контрольная работа № 2 «Элементы аналитической геометрии»
Задание 1. Даны вершины треугольника. Составить уравнения:
1. стороны BC ;
2. высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ;
3. медианы, проведенной из вершины C.
A  3;3 , B  5;1 , C  6; 2 
Задание 2. Кривая в полярной системе координат задана уравнением
     . Требуется:
а) изобразить кривую по точкам, придавая  значения из промежутка
0; 2  с шагом /8;
б) записать уравнение этой кривой в декартовой прямоугольной системе
координат, согласованной с полярной, и определить тип этой кривой.

2
.
1  cos 
Задание 3. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому
виду
1. с помощью преобразования координат;
2. с помощью теории квадратичных форм.
9 x 2  12 xy  4 y 2  24 x  16 y  7  0
18
Задание 4. Дано комплексное число z 0 . Требуется: 1) записать число z 0 в
алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения
z 3  z0  0 . z0 
4
1 i 3
10. ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ
Для очной формы обучения:
Формы контроля:
1.Оперативный – еженедельная проверка заданий из РГР, опрос по
лекционному материалу, проверка ведения конспекта лекций.
2.Рубежный контроль представлен в виде:
 тестов и самостоятельной работы по темам:
 «Матрицы и определители» - тест,
 «Системы линейных алгебраических уравнений» - самостоятельная
работа,
 «Векторная алгебра» - тест,
 «Линейное пространство» - тест,
 «Элементы аналитической геометрии» - тест
 индивидуальной защиты РГР
 индивидуальной защиты конспекта лекций по материалу, вынесенного
на самостоятельное изучение.
3. Итоговый контроль- экзамен.
Рейтинговая система оценки работы студента по отдельным видам
деятельности
Вид деятельности
Срок
№
Баллы
выполнения
Подготовка к практическим занятиям и
в течение
1.
0-8
работа на них
семестра
в течение
2. Подготовка к лекционным занятиям
0–8
семестра
Выполнение РГР № 1 «Матрицы,
3.
0–4
1 – 5 неделя
определители и СЛАУ»
Выполнение РГР № 2 «Линейное
4.
0–5
6 – 10 неделя
пространство и линейные операторы»
Выполнение РГР № 3 «Элементы
11 – 16
5.
0–5
аналитической геометрии»
неделя
Выполнение самостоятельной работы
6.
0–5
5 неделя
«СЛАУ»
Выполнение теста по теме «Матрицы и
7.
0–5
3 неделя
определители»
Выполнение теста по теме «Векторная
8.
0–5
9 неделя
алгебра»
19
9.
10.
11.
12.
Выполнение теста по теме «Линейная
алгебра»
Выполнение теста по теме «Элементы
аналитической геометрии»
Самостоятельное изучение темы
«Комплексные числа»
Экзамен
0–5
12 неделя
0–5
16 неделя
0-5
в течение
семестра
сессия
40
Образцы материалов для рубежного контроля:
Тест «Матрицы и определители»
2 6 3
1. Определитель 3 2 3 равен:
4 3 4
a. 1;
b. -1;
c. 2;
d. -2;
e. 0.
2. Соответствие
между
минорами,
алгебраическими
дополнениями
3 2 2
элементов определителя 4 0 1 и их значениями
2 1 3
1.
2.
3.
4.
M 31
A22
M 33
A12
а.
b.
c.
d.
12
8
5
2
2 0
3
3. Корень уравнения 1 7 x  3  0 равен________
5 3
6
 2 4
 1 3 5 
T
4. Заданы матрицы A   1 3  , B  
 . Результат действия 2 A  3B
 4 1 2 
 0 2


с матрицами:
 7
a.  11
 15

 7
b.  11
 15

4 

9 ;
2 
4

9  ;
2 
20
11 15 
;
9
2 
 7 11 15 
d. 
.
 4 9 2 
7
c. 
 4
3 1 
1 2 3  5 
5. Сумма элементов третьего столбца матрицы В.  2  2  
  B:
4
0

1
1


 4 0


a.
b.
c.
d.
34;
-18;
28;
-26.
1 3
1 2 0
6. Даны матрицы A  
 и B
 . Выяснить, какие из следующих
5 7
3 1 0
операций можно выполнить:
f. ABT .
a. A  B;
b. AT  B;
c. AB;
d. BA;
e. AT B;
7. В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица
2

1

4

2
7

2
Amn
задает объемы продукции на каждом заводе в первом
5

3
 3 0 2


2 4 1

квартале, матрица Bmn 
- соответственно во втором. Найти
 4 3 2


5 2 4
3
2
1
1
объемы продукции за полугодие:
 1 3 5 


1 2 1 

;
a. C 
 0 2 3 


 3 1 1
 1 3 5 
5 3 9
 6 0 14 






1 2 1 
3 6 3
2 8 2



; c. C 
;
.
b. C 
d. C 
 0 2 3 
8 4 7
16 3 10 






3 1 1 
7 3 7
10 2 12 
8. Предприятие производит n  3 типа продукции, объемы выпуска заданы
матрицей A1n A  100 200 100 . Цена реализации единицы i -го типа
2 3 1 5
продукции в j -ом регионе задана матрицей Bnk   1 3 2 2  , где k  2 4 2 4


число регионов, в которых реализуется продукция. Найти C - матрицу
выручки по регионам:
a. C   600 1300 700 1300  ;
b. C  1000 1600 1200 ;
c. C   600 1600 500 0  ;
21
d. C   700 900 1200 0  .
9. Продуктивными матрицами являются:
 0, 2 0, 4 
a. 
;
 0, 6 0,3 
 1, 2
0,5 
b. 
;
 0,3 0, 2 
 0,8 0, 7 
c. 
;
 0, 2 0,3 
 0,1 0,3 
d. 
.
 0,9 0, 2 
 2 4
10.Для данной матрицы A  
обратная матрица A1 имеет вид

 5 0 
 0,1 0, 2 
a. 

 0, 25 0 
0,2 
 0
b. 

 0,25 0,1 
0,25 
 0
c. 

 0,2 0,1 
0,2 
 0
d. 

 0,25 1 
 0 0,25 
e. 
0,1 
 0,2
1 2 0
11.Для матрицы A   1 3 0  обратная матрица равна
5 4 1


 3 2 0 
a.  1 1 0 
 11 6 1 


 3 1 11

6 
b.  2 1
 0 0
1 

1 1 5
c.  2 3 4 
0 0 1


22
2 0
 3
1 0 
d.  1
 11 6 1 


 4 1 
12.Матрица A   2 5 1 не имеет обратной при  равном:
0  1 


a. 1  8; 2  1;
b. 1  8; 2  1;
c. 1  8; 2  1;
d. 1  8; 2  1.
 2 3
 1 2 
B

13.Даны матрицы A  
и

 1 5  . Тогда решение матричного
 4 1


уравнения AX  B имеет вид
 0,2 1,7 
a. 

 0,2 1,8 
 0,4 1,3 
b. 

 0,6 0,2 
 0, 4 1,3 
c. 

 0,6 0, 2 
 0,2 1,7 
d. 

 0,2 1,8 
1 2 1
 0 1 4


14.Даны матрицы A   3 1 4  и B   1 2 0  . След матрицы C  A  B
1 5 1
3 5 6




равен
a. 11
b. 85
c. 12
d. 41
 2 1 5 6 
15.Ранг матрицы A   1 1 3 5  равен:
 1 5 1 3 


a. 1;
b. 2;
c. 3.
Самостоятельная работа «Системы линейных алгебраических
уравнений»
23
1. Решить систему методом Крамера и матричным способом
 x1  2 x2  x3  1;

3x1  4 x2  2 x3  1;
5 x  x  1.
 1 3
 x1  x2  3x3  2 x4  3x5  4;
2 x  2 x  4 x  x  3x  6;
 1
2
3
4
5
2. Решить систему методом Гаусса

3x1  3x2  5 x3  2 x4  3x5  6,
2 x1  2 x2  8 x3  3x4  9 x5  14.
3. Найти фундаментальную систему решений системы линейных
3 x1  x2  3 x3  2 x4  5 x5  0;
5 x  3 x  2 x  3 x  4 x  0,
 1
2
3
4
5
уравнений 
 x1  3 x2  5 x3  7 x5  0,
7 x1  5 x2  x3  4 x4  x5  0.
Тест «Векторная алгебра»
1. Если два вектора коллинеарны, одинаково направлены и имеют
одинаковые длины, то такие векторы называются …
2. Соответствие между векторными равенствами и линейными операциями
над векторами на плоскости
b
1. a  b  c
а.
c
a
c
b
2. a  b  c
б.
a
b
3. b  a  c
в.
c
a
b
4. a  b  c  0
c
г.
a
24
3. Даны координаты точек A 1;0;3 , B  3;2; 3 , C  1;3; 3 , D  4; 2;0  .
Расположите по возрастанию длины векторов AB , AC , BC и AD .
a. AB , AC , BC , AD ;
b. AD , AC , AB , BC ;
c. AC , AB , AD , BC ;
d. BC , AD , AB , AC .
4. Норма вектора a равна 13 . Координаты вектора a могут быть (выбрать
несколько вариантов):
a.  3; 4;11 ;
b.  3;4;12 ;
c.  5;0;12 ;
d.  5;0;11 .
5. Соответствие между заданным вектором и соответствующим ему
нормированным вектором
 2;4 
2 
 3
;


 13 13 
 6;4 
1 
 3
;


 10 10 
 3;1
 0; 1
 0; 2
1;2 
 1 2 
;


5
5

6. Векторы a  2i  3 j  k и b   i  6 j  2k ортогональны при значении 
a.   8 ;
b.   4 ;
c.   8 ;
d.   4 .

7. Угол между векторами a   5;3;1; 1 и b равен
. Тогда проекция
3
вектора a на вектор b равна
a. 3
b. -2
c. 6
d. -3
8. Даны точки A(5;6) , B (1;3) , C (7; 4) , тогда скалярное произведение
векторов AB и AC равно:
a. 66;
b. 78;
c. -66;
25
d. -78.
9. Даны векторы a  3; 1; 2  и b 1; 2; 1 . Векторное произведение a  b равно
a. a  b  3i  2 j  2k ;
b. a  b  4i  j  3k ;
c. a  b  5i  j  7k ;
d. a  b  2i  3 j  k .
10.Даны векторы a  1;0; 2  , b  2;3;1 , c  2; 1;4  . Установить соответствие
между произведениями векторов и их значениями:
1.  ab 
а. 29
2.  bc 
b. 13i  6 j  8k
3. a  b
c. 5
4. abc
d. 6i  5 j  3k
5. c  b
e. 0
11.Даны векторы a  1;0; 2  , b  2;3;1 , c  2; 1;4  . Смешанное произведение abc
равно_______
12.Даны вершины треугольника A  1; 2;4 , B  4; 2;0  и C  3; 2;1 .
Внутренний угол при вершине B равен:

;
6

b. ;
4

c.
;
3

d.
2
a.
Тест «Линейное пространство»
1. Операции сложения и умножения на действительное число линейного
пространства обладают свойством
a.   0  0
b. x  y  y  x
c. 0  x  x
d.  x  x
2. Векторы a1 , a2 , . . , an называются линейно зависимыми, если
1 a1  2 a2  ...  n an  0 при условии что:
a. 1 , 2 , …, n  0 ;
b. 1 , 2 , …, n  0 ;
c. 1 , 2 , …, n  f  x  ;
d. 1 , 2 , …, n  const.
26
3. Среди векторов a  1;2;1 , b  1;0;1 , c   3;1;2  , d  1;1;1 число линейно
независимых равно _______
4. Векторы a1  1; 4;6  , a2  1; 1;1 , a3  1;1;3 являются
a. линейно независимыми;
b. линейно зависимыми;
c. невозможно определить.
5. Значение параметра  при котором система векторов
 3 

 2 




a   2  , b   1  , c   1  является линейно зависимой
5
 3 
 3
 
 
 
a.   2
b.   4
c.   3
d.   0
1
1
 4 
1
, u2   , то матрица перехода от базиса
6. Если e1   , e2   , u1 

 3 
 4
 19 
18 
 e1, e2 
к базису  u1 , u2  имеет вид
1 3 2


13  1 5 
1  3 1
b.


13  2 5 
a.
 5 2 
c. 

 1 3 
 5 1 
d. 

 2 3 
7. Размерность линейной оболочки, порожденной векторами
 2
 1 
1
 2
1
 3
 4
8






a1 
, a2 
, a3 
, a4  
 2
1
 1 
 2
 
 
 
 
1
 5 
 4 
 9 
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
8. Квадратичная форма, не являющаяся знакоопределенной, может иметь
вид
a.  x12  4 x1 x2  3x22
b. x12  4 x1x2  6 x22
27
c.  x12  4 x1 x2  5 x22
d.  x12  4 x1 x2  5 x22
9. Канонический вид квадратичной формы f  x1; x2   x12  4 x1 x2  x22 может
иметь вид
a. y12  3 y22
b. y12  3 y22
c. y12  y22
d. y12  y22
 1 2 
10.Матрице 
 соответствует квадратичная форма
 2 3
a.  x12  4 x1 x2  3x22
b. x12  2 x1 x2  3x22
c.  x12  2 x1 x2  3x22
d. 2 x12  4 x1x2  6 x22
11.Собственные значения линейного преобразования, заданного в некотором
1 2
базисе матрицей A  
 , могут быть найдены по формуле
3 4
a.
1 
3
2
0
4
b.
1 
3
2
0
4
c.
1
3
2
0
4
d.
1
3
2
0
4
 0,2 0,3 0,2 
12.Структурная матрица торговли трех стран имеет вид A   0,6 0,4 0,6  ,
 0,2 0,3 0,2 


тогда соотношение национальных доходов этих стран для
сбалансированной торговли имеет вид
a. 2 :1:1
b. 2 :1: 2
c. 1: 2 :1
d. 1: 2 : 2
1 0
13.Собственные значения матрицы A  
 равны:
3 2
28
a.
b.
c.
d.
1  1 и 2  2 ;
1  1 и 2  2 ;
1  1 и 2  2 ;
1  1 и 2  2 .
Тест «Элементы аналитической геометрии»
1. Соответствие между декартовыми и полярными координатами точек:
1. 1; 1
а. 1;  
2.  1;0 
б.  5 
3.

4.
1; 3 

3;1
в.
 2;

 6 
 
 2; 
 3

г. 
 2;  

4

2. Координаты точки B , симметричной точке A  2;  относительно
 4
полярной оси:

a.  2;  ;
4

3
b.  2;  ;
 4 
5
c.  2;  ;
 4 

d.  2;   .
4

3. Полярное уравнение окружности x 2  y 2  2 x имеет вид:
a. r  2sin 2 ;
b. r  2sin  ;
c. r  2 cos 2 ;
d. r  2 cos 
3
4. Полярное уравнение линии  x 2  y 2   4a 2 x 2 y 2 имеет вид
a. r  a cos  ;
b. r  a cos 2 ;
c. r  a sin  ;
d. r  a sin 2 .
5. Прямая проходящая через начало координат имеет вид: (выбрать
несколько вариантов ответа)
a. y  kx  b ;
b. Ax  By  0 ;
29
c. Ax  C  0 ;
d. y  kx ;
e. By  C  0 ;
f. Ax  By  C  0 .
6. Прямые, параллельные оси ординат:
a. y  3  0
b. x  3  0
x 1 y 1
c.

1
1
x 1 y 1
d.

0
1
x 1 y 1
e.

1
0
7. Прямые 2 x  3 y  4  0 и  x  6 y  7  0 перпендикулярны при  равном
a.   1 ;
b.   1;
c.   9 ;
d.   9 .
8. Прямая 2 x  y  3  0 отсекает на осях координат отрезки:
2
b  3
3
2
b. a   b  3
3
3
c. a  
b  3
2
3
d. a   b  3
2
a. a 
9. Угол между двумя прямыми y  5 x  3 и 5 x  y  8  0 равен:
a.   0

b.  
4

c.  
2
d.   
10.Уравнение 9 x2  16 y 2  90 x  32 y  97  0 определяет:
a. окружность;
b. эллипс;
c. гиперболу;
d. параболу.
11.Уравнение x2  2 y 2  2 x  8 y  7  0 определяет
a. гиперболу с центром в точке 1; 2 ;
b. параболу с вершиной в точке 1; 2 ;
c. эллипс с центром в точке  1; 2  ;
30
d. гиперболу с центром в точке  1; 2  ;
e. эллипс с центром в точке 1; 2 .
12.Расстояние между фокусами эллипса
x2 y 2

 1 равно
40 24
a. 4;
b. 6;
c. 8;
d. 10.
13.Соответствие между уравнениями плоскостей и их особенностями
расположения относительно осей координат:
1. Ax  By  Cz  0
а. плоскость параллельна оси Oz
2. Ax  By  D  0
б. плоскость параллельна плоскости Oyz
3. Ax  Cz  0
в. плоскость проходит через начало
координат
4. Ax  D  0
г. плоскость проходит через ось Oy
14.Уравнение
плоскости,
проходящей
через
точку
M 1; 2;3
перпендикулярной вектору OM имеет вид
a.  x  2 y  3z  14  0 ;
b. x  2 y  3z  14  0 ;
c. x  2 y  3z  14  0 ;
d. x  2 y  3z  14  0 .
15.Установить соответствие между утверждениями относительно двух
плоскостей A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 (1), A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 (2), прямой
x  x0 y  y0 z  z0
и их взаимным расположением:


m
n
p
1. плоскости параллельны
2. плоскости перпендикулярны
а. A1 A2  B1B2  C1C2  0
б. A1  B1  C1
A2
3. плоскость (1) и прямая параллельны
4. плоскость (1) и прямая перпендикулярны
B2
C2
в. A1m  B1n  C1 p  0
г. A1  B1  C1
m
n
p
16.Среди пар плоскостей найти параллельные:
2x  5 y  7z  3  0
;
4 x  10 y  5 z  9  0
x  2 y  5z  0
b.
;
2 x  4 y  10 z  9  0
x  y  z 1  0
c.
;
2x  2 y  2z  5  0
a.
31
x  y  3z  2  0
;
2x  4 y  9z 1  0
2x  2 y  2z  0
e.
.
x yz40
d.
17.Угол между двумя прямыми
x  2 y z 1
x  2 y 1 z
 

 равен
и
4
3
2
8
6
4
a. 00 ;

;
2

c.
;
b.
4
d.  .
18.Прямая
x y z2
 
параллельна плоскости 3a 2 x  ay  z  4a  0 при a
1 a
1
равном
1
2
b. a  2 ;
1
c. a   и a  2 ;
2
1
1
d. a   и a  .
2
2
2
19.Центр сферы x  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  30  0 расположен в точке:
a. a  ;
a. 1; 2; 1 ;
b.  1;2; 1 ;
c. 1; 2;1 ;
d. 1; 2;1
20.Соответствие между названиями поверхностей второго порядка и их
уравнениями:
1. конус
a. x 2  y 2  z 2  R 2
2. эллиптический параболоид
b. x 2  y 2  R 2
3. цилиндр
c. z  x 2  y 2
4. сфера
d. z 2  x 2  y 2
Формы контроля для студентов заочной формы обучения
1. Рубежный контроль - защита контрольных работ по темам:
 «Элементы линейной алгебры»;
 «Элементы аналитической геометрии».
2. Итоговый контроль – экзамен.
32
11. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1. Определители второго и третьего порядка, их свойства. Алгебраические
дополнения и миноры. Вычисление определителя разложением по
элементам строки (столбца). Определители n-го порядка.
2. Матрицы, основные определения. Виды матриц.
3. Алгебра матриц: сложение, умножение на скаляр, произведение матриц.
4. Обратная, ортогональная матрицы.
5. Ранг матрицы. След матрицы. Элементарные преобразования матриц.
Теорема о базисном миноре.
6. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема КронекераКапелли.
7. Формулы Крамера.
8. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений.
9. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
10.Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система
решений.
11.Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простых
итераций.
12.Материальные балансы. Статическая модель межотраслевого баланса
(модель Леонтьева). Модель равновесных цен.
13.Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось.
Свойства проекций. Линейная комбинация векторов. Понятие базиса.
Действия над векторами, заданными своими координатами.
14.Скалярное произведение векторов, основные свойства. Вычисление
скалярного произведении векторов, заданных в координатной форме.
Экономический смысл скалярного произведения векторов. Угол между
двумя векторами. Условие ортогональности двух векторов.
15.Векторное произведение двух векторов, основные свойства. Вычисление
векторного произведения двух векторов, заданных в координатной форме.
16.Смешанное произведение трех векторов, его основные свойства и
вычисление. Геометрический смысл.
17.Линейное пространство. Основные аксиомы линейного пространства и их
следствия. Линейная зависимость и линейная независимость системы
векторов. Свойства линейной зависимости векторов.
18.Базис и размерность линейного пространства. Связь между базисами
линейного пространства. Разложение вектора по базису. Преобразование
координат вектора при переходе от базиса к базису.
19.Линейные подпространства. Линейная оболочка векторов.
20.Евклидовы пространства. Нормированные пространства. Ортогональная
система векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Нормы
матриц.
21.Линейные отображения. Образ, ранг, ядро, дефект отображения.
Отображение базиса.
33
22.Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование
матрицы линейного оператора при замене базиса.
23.Собственные векторы и собственные значения матрицы линейного
оператора.
24.Линейные преобразования в евклидовом пространстве. Сопряженные
операторы. Самосопряженные операторы, их собственные векторы и
собственные значения, ортонормированный базис из собственных
векторов самосопряженного оператора.
25.Неотрицательные матрицы, положительные матрицы. Разложимые и
неразложимые матрицы. Теорема Перрона-Фробениуса о наибольшем
действительном положительном собственном значении.
26.Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому
виду. Закон инерции квадратичной формы. Критерий Сильвестра
положительной определенности квадратичной формы.
27.Линейная модель обмена.
28.Системы координат. Связь между декартовыми и полярными
координатами.
29.Приложение метода координат на плоскости: расстояние между двумя
точками, деление отрезка в данном отношении, площадь треугольника.
30.Преобразование декартовой системы координат.
31.Линии на плоскости.
32.Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми,
условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние
от точки до прямой.
33.Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
34.Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение
плоскости в отрезках на осях. Нормальное уравнение плоскости.
35.Уравнение плоскости, проходящей через три точки, через прямую и точку,
через точку перпендикулярно данному вектору, через точку, параллельно
двум неколлинеарным векторам, через две точки параллельно данному
вектору. Уравнение пучка плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
Гиперплоскость.
36.Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности
плоскостей.
37.Прямая в пространстве. Различные уравнения прямой линии: векторное
уравнение, общие уравнения, канонические уравнения, уравнения прямой,
проходящей через две точки, параметрические уравнения.
38.Угол
между
двумя
прямыми.
Условие
параллельности
и
перпендикулярности прямых.
39.Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
40.Угол между прямой и плоскостью. Точка пересечения прямой и
плоскости. Условие принадлежности прямой плоскости.
41.Поверхности второго порядка.
42.Комплексные числа, геометрическое истолкование комплексного числа.
Модуль
и
аргумент
комплексного
числа.
Алгебраическая,
34
тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел.
Формулы Эйлера.
43.Алгебраические действия с комплексными числами. Корни из
комплексных чисел.
Примерные задания:
1. Найти произведение матрицы
A
на матрицу
B.
 0 2 1


A   2 1 2  ,
 3 2 1


 4 3 2


B  3 2 1 .
1 3 5


 2 1 4 3 7 
2. Найти ранг матрицы A   4 15 8 7 1 
 2 17 4 13 9 


1 2
3. Найти для данной матрицы обратную 

 2 3
4. Решить
систему
линейных
уравнений
одним
из
методов
 x  4 y  3z  3;

4 x  3 y  2 z  10;
2 x  3 y  4 z  20.

 0,1 0,5 
5. Дана матрица прямых затрат A  
 . Найти вектор валовой
 0,3 0, 2 
 400 
продукции X для обеспечения выпуска конечной продукции Y  
.
 500 
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора
2 4
A
.

1

3


7. Найти скалярное или векторное произведение векторов а (1; 2;3) и
b (6; 4; 2) .
8. Найти базис системы векторов
a  1;3;0;5 , b  1;2;0;4  , c  1;1;1;3 , d  1;0; 1;2  , e  1; 3;3; 1
9. Составить матрицу квадратичной формы
F  2 x12  5 x22  8 x32  4 x1x2  2 x1x3  6 x2 x3
10.Составить уравнение прямой, проходящей по двум точкам A(4;3; 2) и
B(3; 2;5)
11.Составить уравнение прямой, проходящей через
параллельной прямой 5 x  4 y  1  0 .
12.Перейти к полярным координатам ( y 2  x 2 )2  4( x 2  y 2 ) .
точку
M (1; 3)
35
13.Через точку
M 0 (2; 3; 4)
провести прямую, параллельную прямой
 x  y  z  2  0;

 x  y  2 z  1  0.
14.Найти модуль и аргумент комплексного числа z  3  4i .
15.Перевести комплексное число в тригонометрическую форму z  1  3i .
12. ПРИМЕРНЫЙ КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ
Примерный календарный план для очной формы обучения
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Институт/факультет
направление подготовки/
специальность
Курс
Институт экономики
Экономика 080100.62
1
Группа (ы)
51311, 51321, 51331
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
занятий по дисциплине
линейная алгебра
полное наименование дисциплины
в первом семестре 20__/ 20__ учебного года
Форма обучения _________________очная________________
Трудоемкость в зачетных
единицах
5
Число часов лекций
32
Число часов практических
32
занятий
Число часов лабораторных
занятий
Всего аудиторных занятий
64
Число часов самостоятельной
80
работы
Форма отчетности
экзамен
36
Лектор
должность, Ф.И.О.
Руководители групповых
занятий
должность, Ф.И.О.
1. План лекций, практических и лабораторных занятий
36
2
3
4
Определители 2-го и
3-го порядка.
Свойства,
2 вычисление.
Матрицы. Действия
над матрицами.
Обратная матрица.
Элементарные
2
преобразования
матриц. Ранг
матрицы. Теорема о
базисном миноре.
Системы линейных
алгебраических
уравнений (СЛАУ).
2 Теорема КронекераКапелли. Метод
Гаусса. Метод
Камера.
Методы решения
СЛАУ: матричный
метод. метод простых
итераций.
Однородные системы
2
линейных
алгебраических
уравнений.
Фундаментальная
система решений.
5
Модель Леонтьева
многоотраслевой
2
экономики. Модель
равновесных цен.
6
Векторы. Линейные
операции над
векторами. Проекция
вектора на ось.
Линейная
2
комбинация векторов.
Понятие базиса.
Действия над
векторами,
заданными своими
4
5
6
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
Тема и содержание
практических и
лабораторных занятий
Контроль
качества
усвоения
материала
7
8
ИА
Опрос
2
Матрицы, действия с
ними. Обратная матрица.
Нахождение ранга
матрицы.
А
Опрос
2
Исследование систем
линейных уравнений на
совместность. Решение
СЛАУ методом Гаусса,
Крамера.
А
Тест "Матрицы и
определители"
1
3
Количество часов
Количество часов
2
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
Недели
1
Тема и структура
лекций
А
2
Решение систем
линейных уравнений
матричным способом.
Численные методы
решения СЛАУ. Решение
однородных СЛАУ.
А
Опрос
А
2
Линейные экономические
модели.
ИА
С.Р. "СЛАУ"
ИА
2
Векторы. Действия над
векторами.
А
Опрос
Вычисление
определителей
А
2
А
А
37
7
Скалярное,
векторное,
2 смешанное
произведения
векторов.
8
Линейные
пространства. Базис
и размерность
линейного
пространства.
Линейная
зависимость и
линейная
2 независимость
векторов.
Преобразование
координат вектора
при замене базиса.
Линейные
подпространства.
Евклидовы
пространства.
9
Линейные операторы
и их матрицы.
Собственные векторы
и собственные
2 значения линейных
операторов.
Линейные операторы
в евклидовом
пространстве.
10
2
11
2
12
2
13
2
Квадратичные
формы.
Канонический вид
квадратичной формы.
Закон инерции
квадратичной формы.
Критерий
Сильвестра.
Системы координат
на плоскости и в
пространстве.
Преобразование
декартовой системы
координат.
Прямая линия на
плоскости.
Кривые второго
порядка: окружность,
эллипс, гипербола и
парабола.
2
Скалярное
произведение
векторов. Векторное и
смешанное
произведение
векторов.
А
2
Векторные пространства.
Размерность, базис,
преобразование
координат вектора при
замене базиса.
А
Тест "Векторная алгебра"
координатами.
2
Собственные значения и
собственные векторы.
Линейная модель
обмена.
А
Опрос
А
2
Квадратичные формы.
Приведение
квадратичных форм к
каноническому виду.
А
Опрос
ИА
2
Системы координат.
А
Тест
"Линейная
алгебра"
А
2
Прямая на плоскости.
ИА
Опрос
А
2
Кривые второго порядка.
ИА
Опрос
А
А
А
Опрос
38
15
16
2
Поверхности второго
порядка.
А
2
Плоскость.
А
Опрос
А
2
Прямая в пространстве.
Взаимное расположение
прямой и плоскости.
А
Опрос
2
Поверхности второго
порядка.
А
ИА
ММ
Тест "Элементы
аналитической
геометрии"
14
Плоскость в
2 пространстве.
Гиперплоскость.
Прямая в
пространстве.
2 Взаимное
расположение
прямой и плоскости.
Срок выдачи
Срок сдачи
РГР № 1
"Матрицы,
определители и
СЛАУ"
РГР № 2
"Линейное
пространство и
линейные
операторы"
РГР № 3
"Элементы
аналитической
геометрии"
Тесты,
самостоятельная
работа
Самостоятельное
изучение темы
"Комплексные
числа"
Подготовка к
лекциям
Подготовка к
практическим
занятиям и работа
на них
Подготовка к
тестам и
самостоятельной
работе
Подготовка к
экзамену
Экзамен
ИТОГО часов
самостоятельной
работы
Рейтинг за неделю
Рейтинг с
нарастанием
Рейтинговые баллы по неделям и видам работ
Часы самост.
работы
Наименование
вида работы
(подготовка к
аудиторным
занятиям, РГР, КП,
КР и т.д.)
1
10
1
6
1
10
6
11
9
11
16
2
3
4
5
1
1
1
1
8
9
10
11
1
1
1
12
13
14
15
16
1
5
1
5
1
7
4
1
3
6
6
Рейтинг по виду
работ
2. Выполнение графика самостоятельной работы.
5
5
1
1
1
1
5
16
1
5
5
25
5
5
16
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
16
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
10
0
36
0
40
116
0
2
2
7
2
2
7
2
2
7
2
2
7
2
2
2
12
100
2
3
10
12
14
21
23
25
32
34
36
43
45
47
48
60
100
39
Примерный календарный план для заочной формы обучения
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Институт/факультет
направление подготовки/
специальность
Курс
Институт экономики
Экономика 080100.62
1
Группа (ы)
53311, 53321,
53331
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
занятий по дисциплине
линейная алгебра
полное наименование
дисциплины
в первом семестре 20__/ 20__ учебного года
Форма обучения _____________заочная____________________
Трудоемкость в зачетных единицах
5
Число часов лекций
4
Число часов практических занятий
10
Число часов лабораторных
занятий
Всего аудиторных занятий
14
Число часов самостоятельной
130
работы
Форма отчетности
экзамен
36
Лектор
должность, Ф.И.О.
Руководители групповых
занятий
должность, Ф.И.О.
1. План лекций, практических и лабораторных занятий
40
2
А
А
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
5
6
7
А
2
Вычисление
определителей.
Матрицы, действия с
ними. Обратная матрица.
Нахождение ранга
матрицы.
2
Исследование систем
линейных уравнений на
совместность. Решение
СЛАУ методом Гаусса,
Крамера, матричным
способом. Линейные
экономические модели.
А
2
Собственные значения и
собственные векторы.
Линейная модель
обмена. Квадратичные
формы. Приведение
квадратичных форм к
каноническому виду.
А
2
Кривые второго порядка.
Плоскость. Прямая в
пространстве. Взаимное
расположение прямой и
плоскости.
А
2
Действия с
комплексными числами.
А
8
Контрольная работа № 1 "Элементы линейной алгебры"
Векторы. Линейные
операции над
векторами. Проекция
вектора на ось.
Линейная комбинация
векторов. Понятие
базиса. Действия над
векторами, заданными
своими координатами.
Скалярное, векторное,
смешанное
произведения векторов.
Прямая линия на
плоскости. Различные
виды уравнений прямой
линии на плоскости.
Условия
параллельности и
перпендикулярности
прямых. Расстояние от
точки до прямой.
4
Контроль
качества
усвоения
материала
Контрольная работа № 2
"Элементы аналитической
геометрии"
2
3
Количество часов
Количество часов
2
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
Недели
1
Тема и структура лекций
Тема и содержание
практических и
лабораторных занятий
2. Выполнение графика самостоятельной работы.
41
КР № 1 "Элементы
линейной алгебры"
45
КР № 2 "Элементы
аналитической
геометрии"
35
Самостоятельное
изучение
литературы по
дисциплине
Подготовка к
экзамену
Экзамен
ИТОГО часов
самостоятельной
работы
Рейтинг за неделю
Рейтинг с
нарастанием
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Рейтинг по виду
работ
Срок сдачи
Срок выдачи
Рейтинговые баллы по неделям и видам работ
На установочной
сессии
На экзаменационной
сессии
Часы самост.
работы
Наименование вида
работы (подготовка
к аудиторным
занятиям, РГР, КП,
КР и т.д.)
0
0
50
0
36
0
0
166
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
13. ПЕРЕЧЕНЬ ОБЯЗАТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1: Учеб. пособие для вузов /
А.А. Гусак. – Мн.: ТетраСистемс, 2007 – 544 с.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1:
Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. –
М.: «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Изд-во «Мир и
образование», 2008. – 368 с.
3. Ереклинцев, А.Г. Алгебра: учеб. пособие / А.Г. Ераклинцев. – Хабаровск:
Изд-во ДВГУПС, 2009. – 91 с.
4. Ереклинцев, А.Г. Задачник практикум по линейной алгебре: учеб. пособие
/ А.Г. Ераклинцев. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2009. – 99 с.
5. Звягина, А.В. Линейная алгебра: сборник задач / А.В. Звягина, С.В.
Коровина. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2010. – 115 с.
6. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов /
Кремер, Б.А. Прутко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. – М.: Банки и биржи,
ЮНИТИ, 2004. – 471 с.
7. Марченко,
Л.В. Прямая на плоскости: Методические указания к
проведению практических занятий / Сост.: Л.В. Марченко. – Хабаровск:
Изд-во ДВГУПС, 2007. – 39 с.
8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Айриспресс, 2009. – 608 с.: ил.
42
9. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие Ч.1 / К.Н. Лунгу,
Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – М.: Айрис-пресс, 2003.
– 576 с.
14. ПЕРЕЧЕНЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильин В. А. Аналитическая геометрия: учебник для вузов / В. А. Ильин,
Э. Г. Позняк.  М.: Физматлит, 2007.  222 с.
2. Ильин В. А. Линейная алгебра: учебник для вузов / В. А. Ильин,
Э. Г. Позняк.  М.: Физматлит, 2007.  295 с.
3. Канатников, А.Н. Линейная алгебра: учебник для вузов / А.Н. Канатников,
А.П. Кищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 336 с.
4. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: учеб. пособие
/ Д.В. Клетеник.  СПб.: Изд-во «Профессия», 2009.  200 с.
5. Красс, М.С. Математика для экономистов: учеб. пособие / М.С. Красс,
Б.П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.
6. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Изд-во «Дело»,
2003. – 688 с.
7. Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра: учеб.
пособие / В.А. Малугин. – М.: Эксмо, 2006. – 224 с.
8. Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для
вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002. – 423 с.
9. Сборник задач по курсу вышей математики для экономистов: учеб.
пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 575 с.
15. ПЕРЕЧЕНЬ НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЙ
o Макеты поверхностей второго порядка.
o www.eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics.htm - учебнообразовательная физико-математическая библиотека;
o www.intuit.ru - видеокурсы «Алгебра матриц и линейные
пространства», «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра».
43