Методика экспериментальной оценки момента силы трения на

Методика экспериментальной
оценкиîáðàçîâàíèå
момента силы
трения
на¹
крестообразном
маятнике
Ôèçè÷åñêîå
â âóçàõ.
Ò. 10,
4, 2004
61
Методика экспериментальной оценки момента силы
трения на крестообразном маятнике
С.Г. Каленков, В.Н. Сизякова
Московский государственный технический университет «МАМИ»
107023, Б. Семеновская 38.тел.(095) 369 91 38
e!mail: [email protected]
В работе рассмотрена методика экспериментальной оценки момента силы трения
на крестообразном маятнике. Определятся также величина момента инерции
маятника .
Введение
I
На рисунке представлена известная установка, которую называют
крестообразный маятник (иногда маятник Обербека.). На четырех спицах
крестообразного маятника закреплены 4 груза, масса каждого груза равна m .
Положения грузов можно менять и таким образом изменять момент инерции
2
маятника, именно: момент инерции маятника , очевидно, есть: I = I 0 + 4ml , где
I 0 ! момент инерции «пустого» маятника (без грузов) относительно оси вращения,
а 4ml 2 – момент инерции всех четырёх грузов, находящихся на одинаковом
расстоянии l от оси вращения. На маятнике имеются 2 шкива с различными
радиусами r1 и r2. На шкив намотана нить, на которой могут закрепляться различные
грузы массой mi .
Устройство позволяет:
• довольно легко изменять момент инерции маятника, меняя положения грузов l
на спицах;
• прикладывать различные моменты сил, подвешивая различные грузы mi , или
размещая их на шкивах различного радиуса: r1 и r2.
В силу этого на нем удобно изучать динамику «вращательного движения»
62
С.Г. Каленков, В.Н. Сизякова
(см. [1]). В работе [2] было выполнено численное моделирование движения тел
под действием случайной силы трения. В настоящей работе мы предлагаем
методику экспериментального исследования движения крестообразного маятника
с учетом трения.
Напишем уравнения движения для маятника и груза:
I
dω (t )
== f r − M òð . ,
dt
mi
(1)
dV
= mi g − f .
dt
(2)
Здесь f – сила натяжения нити, V – скорость груза,
– угловая скорость
вращения маятника,
– момент силы трения в оси маятника, r – радиус шкива,
на который намотана нить.
Между скоростью груза
и угловой скоростью вращения маятника имеется
очевидная связь:
V = ωr ,
(3)
если нить не растяжима и не проскальзывает по шкиву, что, конечно, в достаточной
мере точно выполняется в эксперименте.
Из уравнений (1), (2) и (3) после несложных преобразований получаем:
.
(4)
В этом дифференциальном уравнении неизвестной величиной является
момент силы трения. Дело в том, что сила трения в области контакта оси с втулкой
маятника имеет очень сложный характер: она, вообще говоря, зависит, и от скорости
вращения маятника и от нагрузки на ось и, кроме того, носит случайный характер.
Написать достаточно точное выражение для момента силы трения трудно и, может
быть, невозможно. Поэтому в данном опыте, экспериментально исследуя, например,
динамику вращательного движения необходимо выбирать массу груза
отношение
M òð.
mi gr
mi такой,
было достаточно мало по сравнению с единицей, и, следовательно,
моментом силы трения можно было бы пренебречь.
Но можно ли так сделать? Для этого следует экспериментально качественно
оценить порядок величины момента силы трения.
Методика экспериментальной оценки момента силы трения на крестообразном маятнике
63
Оценка величины момента трения покоя
Экспериментально оценить величину момента силы трения можно
следующим образом. Прикрепим к нити небольшой груз Δm , так чтобы он не
«страгивал» маятник. При этом, очевидно, что момент силы трения равен величине
приложенного момента, т.е.
. Потом к нему добавим еще небольшой
грузик, такой, чтобы маятник закрутился, т.е. найдем такой минимальный груз Δm0 ,
который только! только приводит в движение маятник. При этом можно считать,
что величина максимального момента трения покоя есть M òð . ≈ Δ m 0 gr . Это
означает, что мы можем пренебречь силами трения в оси блока, если будем
экспериментировать с грузами, масса которых
. При различных
положениях маятника мы определили с возможной точностью «вилку»: при массе
груза 1 грамм он «страгивает» маятник, а при массе 0.9 грамм маятник остается
неподвижным. Таким образом, максимальная величина момента трения покоя есть:
M òð . ïîê. = Δm0 gr = (1.7 ± 0.2)10−4 Íì
(5)
Момент инерции
Пренебрегая
Mi òð? . =ΔΔmmgr
m
0
в
(4)
величиной
M òð.
mi gr
,
и
учитывая,
что
mi r 2
mi r 2
mi r 2
, получаем из (4) выражение для ускорения
= 1 è ïîýòîìó
=
I
I + mi r 2
I
груза:
dV
mi r 2
a=
=g
.
dt
I
(6)
Имея в виду, что груз опускается с постоянным ускорением, мы можем
связать время спуска груза с высоты h : h = at2/2 и таким образом из (6) получаем:
2h
mi r 2
=
g
t2
I
Îáîçíà÷èì t0 =
(7)
2h
– âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåëà ñ âûñîòû , òîãäà èç (7) ïîëó÷àåì:
g
2
⎛t ⎞
I = mi r ⎜ ⎟ .
⎝ t0 ⎠
2
(8)
64
С.Г. Каленков, В.Н. Сизякова
Замечание:
Чем эта формула, на наш взгляд, методически полезна и хороша? Каковы
следствия этой формулы?
2
Здесь явно видно, что момент инерции измеряется в единицах mi r – масса,
2
умноженная на квадрат длины, при этом величина mi r – «естественная мера»,
характерная величина момента инерции в данном эксперименте.
Понятна также стратегия эксперимента, в котором можно экспериментально
убедиться в справедливость формулы (8): возьмём первый раз груз массой m1 и
·
·
замерим время его спуска t1. Затем возьмём вдвое большую массу m2 = 2m1. Понятно
качественно, что более тяжёлый груз будет раскручивать маятник быстрее и время
спуска t2 будет меньше. Как видно из (8), это время должно быть вчетверо меньше,
т.е. t2 = t1/4. Соответственно, для третьего груза массой m3 =3m наша формула
предсказывает время спуска t3 = t1/9.
Из формулы (8) следует также, что на разных шкивах (с различными
радиусами r1, r 2) время спуска груза будет различным: время спуска обратно
пропорционально радиусу шкива.
Для разных грузов мы измеряли времена спусков и вычисляли величину
момента инерции. В таблице 1 приведены значения измеренных величин момента
инерции в зависимости от массы грузов мi.
Таблица 1
·
Вклеить табл.
Оценка величины динамического момента силы трения
Оценить величину динамического момента трения можно исходя из закона
сохранения энергии. Пусть маятник имеет некоторую начальную угловую скорость
ω 0 . После нескольких оборотов N он остановится из!за трения в оси. Исходя из
закона сохранения энергии, мы можем написать:
Iω 0
= M òð. 2π N .
2
2
(9)
Методика экспериментальной оценки момента силы трения на крестообразном маятнике
65
Левая часть формулы (9) есть начальная кинетическая энергия
вращающегося маятника, а правая часть есть, очевидно, работа момента силы трения
равная M òð. ϕ = M òð. 2π N . Теперь в этой формуле фигурирует величина
динамического момента трения, и ее можно экспериментально оценить. Пусть
время одного, первого оборота τ ,
– число оборотов до остановки. (Время одного
оборота нам нужно для определения начальной угловой скорости ω 0 = 2π / τ .)
Из формулы (9) получаем
M òð. äèí.=
1 π
I .
N τ2
(10)
В результате измерений величин N è τ , а также исходя из данных,
приведенных в Таблице1 для оценки среднего момента инерции , мы вычислили
величину среднего «динамического» момента трения
M òð. äèí.= (3 ± 0.1)10 −4 Íì .
(11)
По нашему мнению при выполнении лабораторной работы студентам полезно
сравнить экспериментально полученные величины M òð. ïîêîÿ . .и M òð. äèí. . Как видно
из (5) и (11), эти величины различаются, хотя по порядку величины совпадают.
−
mgl
sin ϕ Гармонические колебания маятника
M
IN2òð
.
Видоизменим нашу установку, как показано на Рис 2.
Снимем с одной спицы груз и закрепим его на одну из спиц так, что на одной
спице закреплены 2 груза. Теперь наша установка действительно стала физическим
маятником. Уравнение движения маятника имеет вид:
I
d 2ϕ
= −2mgl sin ϕ + M òð. ,
dt 2
(12)
где ϕ – угол отклонения маятника от положения равновесия,
величина
есть момент силы тяжести грузов относительно оси
вращения,
– момент силы трения в оси маятника. (С хорошей точностью
можем считать, что оба груза находятся на одинаковом расстоянии l от оси
вращения.)
Будем рассматривать малые колебания маятника, когда sin ϕ = ϕ . Это
66
С.Г. Каленков, В.Н. Сизякова
условие выполняется с хорошей точностью для углов
колебаний получаем из (12)
I
d 2ϕ
+ 2mglϕ = M òð.
dt 2
. Для малых
(13)
Вновь та же проблема: в уравнение входит неизвестная функция – момент
силы трения. Необходимо найти такие условия эксперимента, при которых этой
величиной можно пренебречь. Как это сделать экспериментально – мы обсудим
несколько позже, а пока же просто предположим, что момент трения пренебрежимо
мал, тогда уравнение (13) описывает незатухающие гармонические колебания с
периодом
I
,
2mgl
T = 2π
(14)
откуда для момента инерции получаем:
I=
1
2π
2
T 2 mgl .
(15)
Мы выполнили измерения периода колебаний в соответствии с (15) и
определили величину момента инерции маятника: I = (3.86 ± 0.19)10 − 2 , что
находится в хорошем согласии с предыдущими результатами.
Отметим, что в данном случае точность измерений составляет 5%, поскольку
период колебаний измеряется с достаточно большой точностью. ( Измерялось
время, например, 10 колебаний, оно равнялось 15 секунд, соответственно период
одного колебания равен 1.5 сек).
Момент силы трения можно также оценить по величине зоны застоя. Для
этого на хорошо сбалансированный маятник прикрепили груз массой m0 =1 грамм,
как показано на рис.3.
Методика экспериментальной оценки момента силы трения на крестообразном маятнике
67
Маятник выводился из положения равновесия и после нескольких колебаний
останавливался в некотором положении ϕ . Мы провели серию из 10 измерений
угла остановки
. В этой серии выбрали максимальный и минимальный углы
ϕ max è ϕ min . Разница Δϕ = ϕ max − ϕ max и определяет зону застоя маятника.
Величина момента силы трения связана с величиной Δϕ очевидным соотношением:
,
(16)
где Δx – размер зоны застоя по оси , как показано на рис. 3.
Отсюда ясно, что в нашем эксперименте моментом трения можно пренебречь,
если амплитуда колебаний маятника много больше угла застоя
.Получается
довольно хитрое условие: с одной стороны колебания должны быть малыми
т.е.
, а с другой стороны амплитуда должна быть достаточно большой,
чтобы маятник «проводил мало времени» в области застоя, где роль трения
существенна. Таким образом, для амплитуды малых колебаний маятника
получаем следующие неравенства:
,
(17)
которые совместимы только при условии «очень малых» углов застоя:
xϕ
ϕ
ϕ
ϕ≤ /π.≤
2=/π
≤10
≤ π≈/ 10
ϕΔ
M
mϕ/100
2/ 20 = m0 g Δx / 2
i òð
0 gl Δϕ
0
.
0
(Экспериментально мы оценили угол застоя, он оказался много меньше 2 .)
Величина момента трения, определенная по зоне застоя в соответствии с (16)
оказалась: M òð . = (1.96 ± 0.10)10 −4 Íì .
Авторы признательны студенту Марьину А.Е. за помощь в проведении
экспериментов.
Литература
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том I. Механика. Изд. «Наука», М. 1974., стр.101!103.
2. Каленков К.С., Каленков С.Г. О движении тел под действием случайной силы трения. Физическое
образование в вузах, Том 8, №4, серия «Б» .2002г