Окончательные определения псевдослучайных генераторов и

Îïðåäåëåíèÿ ïñåâäîñëó÷àéíîãî ãåíåðàòîðà è ïñåâäîñëó÷àéíîé
ôóíêöèè
 ïîñëåäóþùåì îïðåäåëåíèè Ak - ïîëèíîìèàëüíûé âåðîÿòíîñòíûé àëãîðèòì (Ak ∈ P P T , Ak : {0, 1}k → {0, 1}), p - ïîëèíîì, x ← Uk ñòðîêà
x ∈ {0, 1}k ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì, çàäàííûì íà ìíîæåñòâå âñåõ áèòîâûõ ñòðîê äëèíû k.
Îïðåäåëåíèå Ñåìåéñòâî ôóíêöèé {Gk }k∈N , Gk : {0, 1}bk → {0, 1}k
íàçûâàåòñÿ ïñåâäîñëó÷àéíûì ãåíåðàòîðîì, åñëè
∀{Ak }k∈N ∀p ∃k0 : ∀k ≥ k0
|P {Ak (x) = 1} − P {Ak (y) = 1}| ≤
1
p(k)
x ← Gk (Ubk ), y ← Uk
Ñëîæíîñòü âû÷èñëåíèÿ Gk â êíèæíûõ îïðåäåëåíèÿõ íå óïîìèíàåòñÿ.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Gk âû÷èñëÿåòñÿ çà O(poly(k)) äåòåðìèíèðîâàííûì
àëãîðèòìîì.
F k (·)
 îïðåäåëåíèè ïñåâäîñëó÷àéíîé ôóíêöèè {Ak }k∈N - ñåìåéñòâî àëãîðèòìîâ, âõîäîì äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿ F k (x) :
{0, 1}bk → {0, 1}ck , ak , bk - âîçðàñòàþùèå íàòóðàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à ðåçóëüòàòîì èõ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ îäèí áèò {0, 1}. Â õîäå ðàáîF k (·)
òû êàæäîìó àëãîðèòìó èç {Ak }k∈N ïðåäîñòàâëåí îðàêóëüíûé äîñòóï
ê âû÷èñëåíèþ ôóíêöèè F k ,Rk - ñëó÷àéíî âûáèðàåìàÿ ôóíêöèÿ òàêîãî
æå, ÷òî è F k , âèäà, ðàñïðåäåëåíèå åå ðàâíîìåðíîå è çàäàíî íà ìíîæåñòâå
âñåõ òàêèõ ôóíêöèé, p-ïîëèíîì, s ∈ {0, 1}k - ñëó÷àéíàÿ áèòîâàÿ ñòðîêà
ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì, çàäàííûì íà ìíîæåñòâå âñåõ áèòîâûõ
ñòðîê äëèíû k.
Îïðåäåëåíèå Ñåìåéñòâî ôóíêöèé {Fsk (x)}k∈N íàçûâàåòñÿ ïñåâäîñëó÷àéíîé ôóíêöèåé, åñëè
Fsk (x) : {0, 1}k × {0, 1}bk → {0, 1}ck , k ∈ N
F k (·)
∀{Ak
}k∈N ∀p ∃k0 : ∀k ≥ k0
1
p(k)
Âåðîÿòíîñòü âû÷èñëÿåòñÿ â óìåíüøàåìîì - ïî âñåì ñëó÷àéíûì øàãàì
àëãîðèòìà Ak è âûáîðó áèòîâîé ñòðîêè s äëèíû k, à â âû÷èòàåìîì - ïî
âñåì ñëó÷àéíûì øàãàì Ak è ïî âûáîðó ôóíêöèè Rk .
F k (·)
|P {Ak s
Rk (·)
= 1} − P {Ak
1
= 1}| ≤