Квазимонохроматические сигналы в диспергирующих средах.

Министерство образования и науки Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Национальный исследовательский университет
Учебно-научный и инновационный комплекс
«Физические основы информационно-телекоммуникационных систем»
Фрайман А.А.
Квазимонохроматические сигналы в диспергирующих средах.
(Электронное методическое пособие)
Мероприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление
материально-технической базы учебного процесса
Учебная дисциплина: «Электродинамика»
Направление: «010700 Физика»
Нижний Новгород
2010
Квазимонохроматические сигналы в диспергирующих средах.
1. Распространение импульсов.
Монохроматические решения уравнений Максвелла в однородной среде
представляются в виде плоских волн:
E=E0exp(-iωt+іkr), H=H0exp(-iωt+ikr)
(1.1)
Здесь
ķ - волновой вектор распространяющейся плоской

монохроматической волны, а k=|k|=
( εμ) - волновое число этой волны,
c
определяемое ее частотой и параметрами среды.
Направим ось z декартовой системы координат вдоль волнового вектора k.
Тогда выражение для электрического поля можно переписать в виде:
E=E0exp(-iωt + ikz)
(1.2)
В случае слабых полей, когда материальные соотношения можно считать
линейными, т.е. ε и μ не зависящими от амплитуд полей, имеет место принцип
суперпозиции, т.е. сумма решений вида (1.2), отвечающих разным частотам ω
есть тоже решение уравнений Максвелла.
E(z,t) =

Ε(z,t,ω)dω
(1.3).
В качестве монохроматического решения E(z,t,ω) в (1.3) можно подставить
решение уравнений Максвелла в виде (1.2):
E(z,t) =

E0(ω)exp(-iωt+ikz)dω
(1.4).
Выражение (1.4) справедливо во всех точках z, в том числе, естественно, и в
плоскости z=0. Подставляя z=0 в формулу (1.4) получим:
Е(0,t) =

E0(ω)exp(-iωt)dω
(1.5).
Выражение (1.5) показывает, что функция E0(ω) имеет прозрачный физический
смысл: это есть спектр сигнала в плоскости z=0. Для его нахождения надо
проделать преобразование Фурье от временной развертки сигнала в плоскости
z=0.
Все предыдущие соотношения были точными. Если теперь ограничиться
распространением не произвольных, а лишь квазимонохроматических сигналов,
то задачу можно упростить. Квазимонохроматичность рассматриваемых
процессов означает, что спектральная амплитуда E0(ω) в (1.4) есть достаточно
узкая функция своего аргумента - частоты-, сосредоточенная вблизи значения
несущей частоты ω=ω0.
Если это так, то входящее в выражение (1.4) зависящее от частоты волновое
число k(ω) можно разложить в ряд Тэйлора вблизи ω=ω0 и ограничиться
несколькими первыми членами разложения.
k(ω)=k(ω0) +
dk
1 d2
(ω0)(ω-ω0) +
k ( 0)(ω-ω0)2 +……..
d
2 d 2
(1.6)
Значок ω0 в аргументах первой и второй производной у k по ω означает, что
после соответствующего дифференцирования необходимо в формулах
положить ω=ω0.
Для начала ограничимся в (1.6) первыми двумя членами разложения.
Необходимым условием для пренебрежения третим членом, очевидно, является
малость связанной с ним поправки в фазе подинтегрального выражения в (1.4)
по сравнению с 1.
d2
k ( 0 ) (ω-ω0)2 z « 1.
2
d
(1.7)
Учитывая, что временной масштаб функции Т и частотный масштаб ее Фурье
преобразования ∆ω связаны соотношением ТΔω  1, неравенство (1.7) можно
переписать в виде:
d2
z
k(ω0) 2 « 1.
2
d
T
(1.8)
Неравенство (1.8) накладывает ограничение на длину трассы распространения
d2
сигнала, при заданных параметрах среды ( 2 k(ω0) ) и сигнала ( Т ) оно не
d
позволяет далеко заходить вглубь диспергирующей среды. Пусть оно
выполняется. Тогда выражение (1.5) можно перписать в виде:
E(z,t)=exp(ik(ω0)z-iω0t)

E0(ω)exp(i(ω-ω0)(
dk
z -t) d(ω-ω0)
d
(1.9)
Интеграл в (1.9) представляет собой Фурье-преобразование спектра E0(ω), т.е.
dk
это временное распределение сигнала на входе, но от аргумента (t-z
(ω0)).
d
Таким образом мы окончательно можем записать, что при выполнении условия
(1.8) выражение для напряженности электрического поля на расстоянии z от
начала трассы сигнала в диспергирующей среде имеет вид:
E(z,t)=exp(ik(ω0)z - iω0t) E((t-z
dk
(ω0))
d
(1.10)
Мы получили очень важный результат: в диспергирующей среде поверхности
постоянной фазы перемещаются вдоль оси z со скоростью Vф=ω0/k(ω0) ( это
обычная хорошо нам знакомая фазовая скорость волны), а огибающая сигнала
d
перемещается с другой скоростью Vгр=
(ω0), называемой групповой!.
dk
Выражение для групповой скорости можно переписать в виде
d
dk
1
c
=1/
=
=
.
dn ( 0 )
dk
d d 
( n ()) n ( 0 )   0
d c
d
Перенос энергии электромагнитным импульсом осуществляется с групповой
скоростью, поэтому она всегда меньше скорости света в вакууме с.
Vгр=
Различают 3 случая:
а). В отсутствии зависимости показателя преломления от частоты, т.е. в
dn
c
отсутствии дисперсии,
=0 и Vф=Vгр=
.
d
n ( 0 )
dn
б).
>0. При этом Vгр<Vф - среда с нормальной дисперсией.
d
dn
в).
<0. При этом Vгр>Vф - среда с аномальной дисперсией.
d
Одна и та же среда в зависимости от частоты заполнения
квазимонохроматического сигнала ω0 может иметь разные виды дисперсии.
dn ( 0 )
Условие n(ω0)+ω0
>1 есть условие физической реализуемости сред,
d
обеспечивающее распространение энергии со скоростью, не превышающей
скорость света в вакууме c.
Учтем теперь третий член в разложении k(ω) в (1.6), которым мы раньше
пренебрегали. При этом вместо интеграла (1.9) будем иметь:
Е(z,t)=exp(ik(ω0)z-iω0t)

E0(ω)exp(-iωτ+i
1
k''(ω0)ω2z)dω
2
(1.11)
d2k
z
Здесь k''(ω0)= 2 (ω0); τ = t- время, отсчитываемое от момента прихода
Vгр.
d
сигнала в точку наблюдения с групповой скоростью.
Интеграл в (1.11) представляет собой огибающую квазимонохроматического
( импульсного ) сигнала. Прямо из структуры этого интеграла видно, что эта
огибающая ( обозначим ее буквой Θ(z,τ) ) удовлетворяет дифференциальному
уравнению:
2

1
Θ(z,τ) = - ik''(ω0) 2 Θ(z,τ)
z
2

(1.12)
Уравнение (1.12) есть уравнение теплопроводности, правда с мнимым
коэффициентом теплопроводности. В качестве "начального" условия к нему
надо задать Θ(0,τ), т.е. форму огибающей на входе в диспергирующую среду.
Поэтому основной эффект, к которому сводится влияние учитываемого нами
члена в разложении k(ω), можно предсказать еще до решения уравнения.
Очевидно, что это расплывание импульса.
Решение уравнения (1.12) можно записать, зная функцию Грина уравнения
теплопроводности. Однако, чтобы не обсуждать проблемы, связанные с
мнимым коэффициентом теплопроводности, мы поступим по-другому.
Вспомним, что Е0(ω) в (1.11) есть спектр огибающей сигнала на входе в
диспергирующую среду. Это значит, что
1
Е(t)exp(iωt)dt .
2 
Подставим это выражение в интеграл (1.11). Тогда можно записать, что
Е0(ω)=
Е(z,t)=
1
1
exp(ik(ω0)z-iω0t)  E(t')exp(iωt'-iωτ + i k''ω2z)dωdt'
2
2
(1.13).
Интеграл по частоте ω в (1.13) можно вычислить:

1
exp(iω(t'-τ) + i k''zω2)dω =
2

1
 i k' ' z
2
exp(-i
1 ( t ') 2
)
2 k' ' z
После чего выражение (1.13) переписывается в виде:
Е(z,t) =
exp(ik 0 z  i 0 t )
 2ik ' ' z

E(0,t')exp(-i
( t ') 2
)dt'
2k ' ' z
(1.14)
Заметим, что формула (1.14) представляет собой как раз решение уравнения
теплопроводности, записанное с функцией Грина, в которой просто формально
вместо коэффициента теплопроводности подставлена соответствующая мнимая
величина из уравнения (1.12).
Выражение (1.14) получено при пренебрежением членом с третьей
производной в разложении (1.6). Условие малости соответствующего ему
фазового набега есть
1 d 3k
(ω-ω0)3z «1
3
6 d
(1.15)
d 3k d 2 k 1
Если для оценки положить

, то неравенство (1.15) можно
d3 d 2 
1
z 1
переписать как k''(ω0) 2
« 1, что для квазимонохроматических
6
T 0 
процессов ( ω0Т»1) дает возможность пользоваться выражением (1.14) даже при
выполнения неравенства, обратного (1.8) : k''z/T2 » 1, т.е. позволяет уйти на
существенно большие расстояния вглубь диспергирующей среды.
Проанализируем свойства интегрального преобразования (1.14). При
достаточно малых z, т.е.формально при z→0, а физически при k''z/T2 « 1
функция
1
( t ') 2
exp(-i
) ведет себя следующим образом.
2k ' ' z
 2ik ' ' z
При t'=τ предел при z→0 есть ∞. Интеграл по t' в бесконечных пределах есть 1.
При t'≠τ предел при z→0 не обращается в 0, но сама функция бесконечно часто
осциллирует, так что интеграл от нее по конечному интервалу времени не
включающему точку t'=τ стремится к 0. Таким образом это фактически есть
одно из представлений дельта-функции, т.е. при z→0
1
( t ') 2
exp(-i
) →δ(t'-τ). При этом интеграл (1.14) вычисляется и
2k ' ' z
 2ik ' ' z
E(z,t) = exp(ik(ω0)z - iω0t)E(0,t-z/Vгр).
(1.16)
Таким образом вблизи границы диспергирующей среды ( при выполнении
неравенства (1.8)) импульс распространяется без искажений огибающей с
групповой скорастью, как и должно быть в соответствии с формулой (1.10).
При выполнении неравенства обратного (1.8) в показателе экспоненты под
интегралом в (1.14) можно пренебречь квадратичным по t' членом и переписать
(1.14) в виде:
Е(z,t) =
exp(ik ( 0 )z  i 0 t )
 2ik ' ' z
exp(-iτ2/2k''z)

E(0,t')exp(it'τ/k''z)dt'
(1.17)
Стоящий в (1.17) интеграл есть обычное преобразование Фурье. Таким образом
можно заключить, что на достаточно большом удалении от границы среды
огибающая сигнала ( на огибающей стоящие перед интегралом фазовые
множители не сказываются ) представляет собой спектр огибающей сигнала на
входе в среду. Аргумент у этой функции есть Ω=τ/k''z.
Итак мы получили, что на достаточно большом расстоянии z огибающая
импульса переходит в спектр начального распределения. Например форма
начального гауссова сигнала Е(0,t) = exp(-t2/T2) пропорциональна функции
2T 2
exp(). Поэтому можно заключить, что в этом случае длительность
4(k ' ' z) 2
импульса есть 2k''z/T, и при больших расстояниях z эта величина существенно
превышает начальную длительность Т. Таким образом импульс сильно
расплылся! Поставим теперь такой вопрос: а всегда ли это так? Всегда ли
импульс в диспергирующей среде расплывается? Ведь из исходных уравнений
Максвелла следует, что при замене Е→Н, Н→-Е, ε↔μ, t→-t решения
сохраняются, т.е.процесс должен пойти в обратную сторону, и импульс должен
сжиматься! Это значит, что можно "приготовить" такое начальное
распределение поля, чтобы на конечном участке трассы сигнал не расплывался,
а сжимался во времени. И это действительно так! Обратимся еще раз к формуле
(1.17). Перед интегралом стоит фазовый множитель, который на огибающей
импульса не сказывается. Поэтому, хотя синфазное временное распределение в
плоскости z=0 в дальнейшем и всегда расплываетя, можно специально
приготовить нужную фазовую модуляцию, чтобы на определенном участке
трассы импульс сжимался. Возьмем, к примеру, начальное распределение поля
в виде:
Е(0,t) = Eдейств.(0,t) exp(it2/2k''L). Здесь Едейств.(0,t) - действительная функция.
Подставив это выражение в формулу (1.14) мы получим, что в плоскости z=L,
т.е на кончном расстоянии от границы среды, огибающая будет определяться
спектром функции Едейств.(0,t), т.е. как в задаче с синфазным распределением на
очень больших расстояниях z. Если в плоскости z=0 длительность импульса
есть Тнач, то в плоскости z =L его длительность есть Тконечн/k''L. Поскольку это
временной и частотный масштаб двух Фурье-трансформант одной и той же
функции, то их произведение должно удовлетворять условию
Тнач Тконечн/k''L ≥ 1. Откуда Тконечн≈ k''L/Tнач. Поэтому условие сильного сжатия
импульса есть Тконечн « Тнач или Т2 » k''L.
Этот результат легко понять из следующих соображений. Использованная
нами фазовая модуляция дает для мгновенной частоты сигнала выражение
ω = ω0 -t/k''L. Учитывая, что производная от групповой скорости по частоте и
величина k''(ω0) имеют разные знаки, можно сказать, что в таком импульсе цуги,
излученные в более поздние моменты времени, двигаются с большими
скоростями и догоняют излученные ранее. Импульс при этом, естественно,
сжимается, и все это происходит до тех пор, пока появляющийся набег фаз не
скомпенсирует первоначально созданный. Далее импульс будет расплываться.
2.Плотность энергии электромагнитного поля в
диспергирующей среде.
При изучении электромагнитных явлений в диэлектриках было получено
выражение для плотности электромагнитной энергии
1
1
w=
ε Е2 +
μ Н2. Для квазмонохроматических процессов это же
8
8
выражение работает и для средних по периоду высокочастотного поля
значений, если в правой части этого выражения провести усреднение по
высокой частоте. Однако в случае диспергирующих сред диэлектрическая и
магнитная проницаемости могут на некоторых частотах обращаться в ноль и
2
p
даже менять знак. Так например для плазмы ε = 1- 2 , где ωр так называемая

плазменная частота, определяемая концентрацией электронов. Таким образом в
диспергирующих средах при использовании прежнего выражения для
плотности энергии может возникнуть ситуация, когда на какой-то частоте в
среде есть электрическое поле с отличной от нуля амплитудой, а энергия его
равна нулю, или даже отрицательна! Все эти соображения заставляют в случае
диспергирующих сред рассмотреть вопрос о плотности энергии заново.
Итак, будем исходить из ситемы уравнений Максвелла, первые 2 из которых
имеют вид:
1 
B
c t
4
1 
rotH =
j+
D
c
c t
rotE = -
(2.1)
(2.2)
В этих уравнениях токи проводимости отнесены в вектор j, а токи поляризации
в вектор D. Домножим первое уравнени скалярно на вектор Н, второе на вектор
Е и вычтем из второго первое. После очевидных преобразований получим:
1

1

Е D+
H B = jE - divS
4 t
4 t
(2.3)
Будем считать поглощение в среде отсутствующим, т.е. jE = 0. Случай наличия
слабого поглощения обсудим позже. В среде без поглощения из закона
сохранения энергии следует, что левая часть выражения (2.3) и представляет
собой приращение энергии единицы объема в единицу времени, т.е.

1

1

w=
Е D+
H B
t
4 t
4 t
(2.4)
Отсюда, считая что в отсутствии полей плотность энергии равна нулю, можно
записать:
w=
1
4
t

(E
0


D + H B)dt
t
t
(2.5)
Рассмотрим первый член этой формулы
wЕ=
1
4
t

0
E

Ddt
t
(2.6)
Представим Е(t) в виде интеграла Фурье

Е(t) =

g(ω)exp(-iωt)dω
(2.7)

Учитывая, что Е(t) - действительная величина, g(-ω)=g*(ω).
Тогда для D(t) будем иметь

D(t) =

ε(ω)g(ω)exp(-iωt)dω
(2.8)

Поскольку поглощение волн отсутствует, то диэлектрическая проницаемость
действительна, т.е ε(ω) =ε(-ω).
Подставляя (2.7) и (2.8) в (2.6) получим

t

1
-iω1ε(ω1)g(ω1)g(ω2)exp(-i(ω1+ω2))dω1dω2dt
(2.9)
4 0  
Прежде чем проводить усреднение выражения (2.9) по периоду
высокочастотного поля заметим следующее.
Интеграл в (2.9) по частотам ω1 и ω2 вычисляется по четырем квадрантам:
wE =
I - ω1> 0 ;
II - ω1< 0 ;
III - ω1<0 ;
IY - ω1>0 ;
ω2 > 0
ω2> 0
ω2< 0
ω2< 0.
Учтем, что мы рассматриваем квазимонохроматические процессы, т.е. g(ω) есть
острая функция частоты, локализованная вблизи значения ω=ω0.
Тогда при вычислении интегралов (2.9) по I и III квадрантам плоскости ω1,ω2 в
подинтегральном выражении будут быстороосциллирующие члены вида
exp(±2iω0t), которые при усреднении по высокой частоте дадут ноль.
В результате для средней плотности энергии  w Е  будем иметь
w E  =
0
t
1
4


0

 

0

0
 
-iω1ε(ω1)g(ω1)g(ω2)exp(i(ω1+ω2)t)dω1dω2 +
-iω1ε(ω1)g(ω1)g(ω2)exp(i(ω1+ω2)t)dω1dω2 dt
(2.10)

0
В первом интеграле сделаем замену ω1→ -ω1, во втором ω2→ -ω2. В результате
получим
t
1
w E  =
4 0


 
0
iω1ε(ω1)g*(ω1)g(ω2)exp(i(ω2-ω1)t)dω1dω2dt
+ К.С.
(2.11)
0
В (2.11) слагаемое К.С. означает, что надо добавить комплексно-соряженное
выражение. Учитывая, что g(ω) - острая функция частоты, локализованная
вблизи ω=ω0 произведение ωε(ω) в (2.11) можно разложить в ряд Тэйлора и
ограничиться первыми двумя членами:
ωε(ω)=ω0ε(ω0) +
d
(ωε)(ω-ω0)
d
(2.12)
Подставим (2.12) в (2.11). При этом первый член в (2.12) не зависит от частоты
и может быть вынесен из под интеграла. Сумма стоящих с ним множителей
равна нулю, т.к. прибавляемая К.С. величина имеет обратный знак. В
результате из (2.12) получим:
w E  =
1 d ( )
4  d
t


  
0
0
i(ω1-ω0)g*(ω1)g(ω2)exp(i(ω1-ω2)t dω1dω2dt + К.С.
0
(2.13)
Для последующего вычисления интеграла (2.13) заметим, что если проводить
аналогичные вычисления в вакууме, то ответ мы знаем
t
 w E  вакуум = 
1
d
1
Е Еdt  =
 E2 

4 0
dt
8
Входящие в (2.13) "свойства среды" стоят перед вакуумным интегралом
множителем. Поэтому (2.13) окончательно можно переписать в виде
w E  =
1 d
(ω0ε(ω0))  E 2 
8 d
(2.14)
Значок "0" у частоты и диэлектрической проницаемости означает, что после
дифференцирования надо в формуле положить ω=ω0. Если под полем Е
подразумевать комплексную амплитуду распространяющейся в среде волны, то
1
учитывая, что для квазимонохроматических процессов  E 2  =
E0 2,
2
выражение (2.14) можно перписать в виде
w E  =
1 d
((ω0ε(ω0)) E 2 0
16 d
(2.15)
Аналогичный вид будет иметь и член с плотностью энергии магнитного поля. В
результате для плотности электромагнитной энергии квазимонохроматического
сигнала в диспергирующей среде получим:
w  =
d
1 d
2
2 
() H 0 
 () E 0 
16  d
d

(2.16)
Подставим в (2.15) выражение для диэлектрической проницаемости плазмы.
 2p
d
()  1+ 2 , т.е существенно положительная величина.
d

Таким образом выражение (2.16) свободно от упомянутых в начале недостатков,
обращающих в ноль или меняющих знак плотности энергии.
Все предыдущие рассуждения базировались на предположении об
отсутствии диссипации в среде. А что если это не так? Строго говоря при
наличии потерь нет оснований использовать выражение (2.5) для определения
плотности электромагнитной энергии. Дело в том, что член jE в (2.3)
описывает не только перешедшую в тепло долю электромагнитной энергии, но
и часть запасенной тоже. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим
такую систему с сосредоточенными параметрами:
R
R
L
C
Эквивалентная схема. Сопротивление R, емкость С и индуктивность L.
Если подобрать параметры так, что R2=L/C, то импеданс такого двухполюсника
есть Z(ω)=R на всех частотах. Это означает, что отбираемая от источника
мощность равна I2R, но она вся не переходит в тепло; часть запасается в виде
магнитной энергии в соленоиде и электрической в конденсаторе. Следовательно
при наличии потерь величина I2R ( аналог члена jE ) не позволяет однозначно
разделить запасенную и перешедшую в тепло доли энергии.
Поэтому при наличии потерь в рамках феноменологической
электродинамики нельзя не используя микромодель среды определить, что есть
плотность запасенной энергии.