Ëåêöèÿ XII

Ëåêöèÿ XII
1)  ýòîé è â ïðåäûäóùåé ëåêöèè ÿ îò÷àñòè èñïîëüçóþ çàïèñè ëåêöèé Ñ.Â.Ôîìè÷åâà,
à òàêæå êíèæêó È.Á.Õðèïëîâè÷à "Òåîðåòè÷åñêèé êàëåéäîñêîï".
Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè ôîðìóëû äëÿ àíàëèçà ïîòåðü ýíåðãèè
íà èçëó÷åíèå ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöåé, äâèæóùåéñÿ â îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì
⃗ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé B
⃗ . Èçëó÷åíèå ïðè âðàùåíèè â ìàãíèòíîì ïîëå
ïîëå B
íàçûâàåòñÿ ñèíõðîòðîííûì èëè ìàãíèòíîòîðìîçíûì.
⃗ , ìîùíîñòü ïîòåðü îïðåäåëÿåòñÿ ïî
Ïðè äâèæåíèè ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà, ⃗v ⊥ ⃗v˙ ⊥ B
ôîðìóëå:
[
]
2 e2 γ 6 ˙ 2 ⃗v 2 ⃗v˙ 2
2 e2 γ 4 ˙ 2
dE
=
⃗
v
−
=
⃗v .
−
dtr
3 c3
c2
3 c3
Äàëåå â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè:
]
d⃗p
m ⃗v˙
e [
˙
⃗
√
=
= m γ ⃗v =
⃗v × B .
2
dt
c
1 − vc2
Ñëåäîâàòåëüíî
⃗v˙ 2 =
e2
v2 B 2
2
2
2
m c γ
è
−
dE
2 e4 γ 2 v 2 B 2
=
.
dtr
3 m2 c 5
(0.1)
Äëÿ óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû v ≈ c è ïîýòîìó
dE
∼ γ2 ∼ E 2,
dtr
ò.å. ïîòåðè ýíåðãèè ïðîïîðöèîíàëüíû åå âòîðîé ñòåïåíè (E = m c2 γ ).
Ñèíõðîòðîííîå èçëó÷åíèå ìîæíî ñ î÷åíü õîðîøåé òî÷íîñòüþ îïèñàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì àïïàðàòà ñïåöôóíêöèé. Ýòî âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ
êà÷åñòâåííûìè îáùåôèçè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè. Äëÿ íà÷àëà âîñïðîèçâåäåì âûøåóêàçàííûå ñâîéñòâà ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ èç îáùåôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ïðîäåëàåì
ýòî, ïîëîæèâ ñêîðîñòü ñâåòà c = 1. Â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé âðàùàþùåìóñÿ ýëåêòðîíó
ÈÑÎ èíòåíñèâíîñòü (èëè ÷òî òîæå ñàìîå ìîùíîñòü ïîòåðü) ðàâíà
−
dE
e4
∼ e2 (a′ )2 ∼ 2 (E ′ )2 .
dtr
m
Êàê ìû çíàåì èç ïðåäûäóùåé ëåêöèè, ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé
ÈÑÎ ñîâïàäàåò ñ ìîùíîñòüþ ïîòåðü è ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. Çäåñü e è m çàðÿä
è ìàññà ýëåêòðîíà, a åãî óñêîðåíèå, E íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ; a è E
ñíàáæåíû øòðèõàìè, ÷òîáû óêàçàòü, ÷òî îíè îòíîñÿòñÿ ê ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ.
E ′ ïîëó÷àåòñÿ èç ìàãíèòíîãî ïîëÿ B â ËÑÎ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà
W ≡−
1
E ′ ∼ B γ.
Ïîýòîìó
e4 2 2
B γ ,
m2
÷òî, êàê âèäíî, âîñïðîèçâîäèò ïîëó÷åííûé âûøå ðåçóëüòàò. Åñëè âìåñòî ìàãíèòíîãî ïîëÿ
B ôèêñèðîâàòü ðàäèóñ R òðàåêòîðèè ýëåêòðîíà (èëè, ÷òî òîæå ñàìîå â ðåëÿòèâèñòñêîì
ïðåäåëå, ÷àñòîòó âðàùåíèÿ), ñâÿçàííûé ñ B ñîîòíîøåíèåì e B ∼ m γ/R, òî âûðàæåíèå
äëÿ ìîùíîñòè ïîòåðü âûãëÿäèò êàê:
W ∼
e2 γ 4
.
R2
Î÷åâèäíî, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ýëåêòðîí, âðàùàÿñü ñ ÷àñòîòîé Ëàðìîðà ω0 ,
áóäåò èçëó÷àòü äèñêðåòíûé ñïåêòð ÷àñòîò ωn = n ω0 , ãäå n ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ. Ïðè ýòîì õàðàêòåðíàÿ ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå
áóäåò îòâå÷àòü n ∼ 1.  íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ìîæíî ïðèìåíèòü ôîðìóëû äèïîëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ïîýòîìó èçëó÷åíèå â ýòîì ñëó÷àå ïðàêòè÷åñêè îäíîðîäíî ïî óãëàì
dI/dΩ ∼ sin2 θ, â îòëè÷èè îò ðåëÿòèâèñòñêîãî ñëó÷àÿ. Îáùèå õàðàêòåðèñòèêè óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èçëó÷åíèÿ â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ìû îáñóäèëè íà ïðîøëîé ëåêöèè.
Î÷åâèäíî, ÷òî âñå âûâîäû ñäåëàííûå òàì âåðíû è äëÿ ñëó÷àÿ ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ.
Ïðîàíàëèçèðóåì òåïåðü ÷àñòîòíûé ñïåêòð, ò.å. ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïî ÷àñòîòàì, â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå. Äëÿ íà÷àëà îöåíèì õàðàêòåðíóþ ÷àñòîòó ñèíõðîòðîííîãî
èçëó÷åíèÿ â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå. Âðàùàþùàÿñÿ ïî ðàäèóñó R ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà
èçëó÷àåò âïåðåä ñ ðàññòâîðîì óãëà 1/γ .  çàäàííîì íàïðàâëåíèè èçëó÷åíèå ìîæåò èäòè ñ
÷àñòè òðàåêòîðèè, êîòîðàÿ èìååò äëèíó l ∼ R ∆θ ∼ R/γ è íàçûâàåòñÿ äëèíîé ôîðìèðîâàíèÿ
èçëó÷åíèÿ èëè äëèíîé êîãåðåíòíîñòè. Âðåìÿ ôîðìèðîâàíèÿ èçëó÷åíèÿ â äàííîì íàïðàâëåíèè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíî ∆tr ∼ R/γ c. Òîãäà äëèòåëüíîñòü ïðèåìà ñèãíàëà ðàâíà
(
)
(
)
(⃗n, ⃗v )
1
R
2
∆t ∼ 1 −
∆tr ∼
+
θ
∆t
∼
.
r
c
γ2
c γ3
W ∼
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî õàðàêòåðíàÿ ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ â γ 3 ðàç áîëüøå, ÷åì ÷àñòîòà îáðàùåíèÿ
÷àñòèöû ïî îêðóæíîñòè:
1
γ3 c
∼
∼ γ 3 ω0 .
∆t
R
Ò.å. õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå ωc /ω0 ≡ nc ∼ γ 3 ≫ 1. Ïðè ýòîì, òàê êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó
ëèíèÿìè ñïåêòðà ïîðÿäêà ω0 , à ωc ≫ ω0 , òî â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ñïåêòð ìîæíî
ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâíûì.
Ãðàôèê ðàñïðåäåëåíèÿ ìîùíîñòè ïîòåðü Wω ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ ïî ÷àñòîòàì
èçîáðàæåí íà ðèñóíêå (1). Êàê âèäíî ïðè ÷àñòîòå ω > ωc èíòåíñèâíîñòü î÷åíü áûñòðî
ñïàäàåò. Ìíå íå èçâåñòíî, êàê ìîæíî âîññòàíîâèòü èç îáùåôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ïîâåäåíèå ãðàôèêà â ýòîé ÷àñòè ñïåêòðà, íî åãî õàðàêòåðíîå ïîâåäåíèå Wω ∼ e−const ω/ωc ëåãêî
óãàäûâàåòñÿ.
Ïðè ω < ωc íàáëþäàåòñÿ ìåäëåííûé ðîñò. Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè ìàëûõ
÷àñòîòàõ, ω . ωc , ñïåêòð èìååò ñòåïåííîå ïîâåäåíèå: Wω ∼ ω ν , ãäå ν íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà.
ωc ∼
2
Ðèñ. 1: Ïî âåðòèêàëüíîé îñè ýòîãî ãðàôèêà îòëîæåíà ìîùíîñòü ïîòåðü ïðè äàííîé ÷àñòîòå
Wω . Ïî ãîðèçîíòàëüíîé ω . Ïèê ãðàôèêà ïðèõîäèòñÿ íà ωc .
 ñèëó áûñòðîãî ñïàäà
∫ ω ïðè ω > ωc , îñíîâíîé âêëàä â ïîëíóþ ìîùíîñòü íàáèðàåòñÿ íà ìàëûõ ÷àñòîòàõ W ∼ 0 c dω Wω ∼ ωcν+1 ∼ γ 3 (ν+1) . Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûé îòâåò ñ èçâåñòíûì
íàì âûðàæåíèåì W ∼ γ 4 , ïîëó÷àåì, ÷òî ν = 1/3, ò.å. Wω ∼ ω 1/3 ∼ n1/3 ïðè ω < ωc . ×òî
äåéñòâèòåëüíî âåðíî âîñïðîèçâîäèò áîëåå òî÷íîå âû÷èëåíèå.
Çàðÿä ïîìåñòèëè â ìàëåíüêóþ ñôåðè÷åñêóþ êîðîáî÷êó, ñòåíêè êîòîðîé æåñòêî ê
íåìó ïðèâÿçàíû è ñîñòîÿò èç ôîòîïëåíêè. Ýòó êîðîáî÷êó ñ çàðÿäîì íà÷àëè áûñòðî
âðàùàòü ïî îêðóæíîñòè. Çàñâåòèòñÿ ëè ôîòîïëåíêà? Ìîòèâèðóéòå îòâåò.
2) Òåïåðü ìû îáðàòèìñÿ ê èçó÷åíèþ âîïðîñà î ðåàêöèè çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íà ñîçäàí-
íîå åþ èçëó÷åíèå. Äëÿ ïîëíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è áåçóñëîâíî ìû äîëæíû ðåøàòü ñèñòåìó
óðàâíåíèé:
{
∫
∂µ F µν (x) = 4 π e dτ uν (τ ) δ (4) [x − z(τ )]
m c wµ = ec F µν uν + F0µ ,
(0.2)
ãäå F0µ âíåøíÿÿ 4ñèëà (êîòîðàÿ ñàìà íåðåäêî áûâàåò ÝÌ ïðîèñõîæäåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîðîæäàåòñÿ êàêèìèòî âíåøíèìè çàðÿäàìè), çàñòàâëÿþùàÿ íàøó ÷àñòèöó äâèãàòüñÿ
óñêîðåííî. Íî âñþäó â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ ìû ðåøàëè ëèáî âòîðîå óðàâíåíèå ïðè çàäàííîì âíåøíåì ïîëå, ïðåíåáðåãàÿ ïðè ýòîì ïîëåì, ñîçäàâàåìûì ÷àñòèöåé, ëèáî æå ïåðâîå
óðàâíåíèå ïðè çàäàííîì äâèæåíèè ÷àñòèöû, ïðåíåáðåãàÿ ïðè ýòîì îòêëèêîì èçëó÷åíèÿ
íà äâèæåíèå ÷àñòèöû. Åäèíñòâåííîå òî÷íîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, êîòîðîå èçâåñòíî ìíå ýòî ñèòóàöèÿ, êîãäà F0µ = 0 è åäèíñòâåííàÿ ÷àñòèöà, ïîêîèòñÿ ñîçäàâàÿ ïîëå
Êóëîíà. Åñëè íå îøèáàþñü, âñå îñòàëüíûå òî÷íî ðåøàåìûå çàäà÷è â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ïîëó÷àþòñÿ èç ýòîé ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà1 . Íàïðèìåð, óæå äàæå ñèòóàöèÿ ñ
äâóìÿ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè èìååò òîëüêî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå, ò.ê. ÷àñòèöû, âçàèìîäåéñòâóÿ äðóã ñ äðóãîì, äâèãàþòñÿ óñêîðåííî, à ñëåäîâàòåëüíî, ñîçäàþò ÝÌ èçëó÷åíèå
1 Ìîæíî,
êîíå÷íî, åùå äîáàâèòü íåñêîëüêî áàíàëüíûõ ïðèìåðîâ âðîäå ñèòóàöèè ñ ãðóïïîé ñòàòè÷åñêèõ
çàðÿäîâ, êîòîðûå äåðæàò âíåøíèè ñèëû.
3
è ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ ñëîæíåå äàæå çàäà÷è ìíîãèõ òåë, ò.ê. âêëþ÷àåò â
ñåáÿ åùå è ïîëå (ñâåðõ äâóõ ÷àñòèö).
Îäíàêî íåðåäêî ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ïîçâîëÿåò ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñ äîñòàòî÷íî õîðîøåé òî÷íîñòüþ. Íàïðèìåð, äâèæåíèå èçëó÷àþùåé ÷àñòèöû ìîæíî ñ÷èòàòü çàäàííûì â òîì ñëó÷àå, êîãäà âëèÿíèå èçëó÷åíèÿ íà äâèæåíèå ìàëî. Êîëè÷åñòâåííûé êðèòåðèé
ìàëîñòè ðåàêöèè èçëó÷åíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü, ñðàâíèâàÿ ïîòåðþ ýíåðãèè íà èçëó÷åíèå çà
íåêîòîðîå âðåìÿ ∆t ñ èçìåíåíèåì êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ
ñèë çà òî æå âðåìÿ.
Îöåíèì îáå ýíåðãèè â ÑÎ, â êîòîðîé, ñêîðîñòü ÷àñòèöû ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà:
2 e2 v̇ 2 ∆t
2 e2 v̇ ∆v
=
,
3 c3
3 c3
ãäå ∆v èçìåíåíèå ñêîðîñòè çà âðåìÿ ∆t. Ïðè ýòîì ∆Ekin = m v ∆v . Íåðàâåíñòâî ∆Erad ≪
∆Ekin äàåò
∆Erad =
2 e2 v̇
≪ m v.
3 c3
Ñëåäîâàòåëüíî
∆t ≈
v
2 e2
re
≫
∼ ,
3
v̇
3mc
c
(0.3)
ãäå re = e2 /m c2 êëàññè÷åñêèé ðàäèóñ ÷àñòèöû (ýëåêòðîíà, íàïðèìåð). Îáúÿñíèì ïðîèñõîæäåíèå ýòîé âåëè÷èíû. Ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûé øàð ðàäèóñà r è çàðÿäà e èìååò
ýëåêòðîñòàòè÷åñêóþ ýíåðãèþ e2 /r. Ñëåäîâàòåëüíî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òî÷å÷íîé
÷àñòèöû ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè, ò.ê. r → 0. Ïðåäïîëàãàÿ æå, ÷òî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû è îïðåäåëÿåò åå ýíåðãèþ ïîêîÿ e2 /re = m c2 , íàõîäèì, ÷òî åå ðàäèóñ ðàâåí
re = e2 /m c2 . Áåçóñëîâíî ýòî î÷åíü ãðóáîå ðàññóæäåíèå.  ÷àñòíîñòè ýëåêòðîí íåñåò çàðÿä
íå òîëüêî ïî ÝÌ ïîëþ, íå ãîâîðÿ óæå î òîì, ÷òî â ñìûñëå êâàíòîâîé òåîðèè åãî íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê òî÷å÷íóþ ÷àñòèöó. Ïîýòîìó âûøåïðèâåäåííîå ðàññóæäåíèå ñëåäóåò
ðàññìàòðèâàòü ëèøü êàê ïðîñòî îïðåäåëåíèå òàêîé âåëè÷èíû êàê êëàññè÷åñêèé ðàäèóñ
÷àñòèöû (ýëåêòðîíà).
Ïîëó÷åííîå æå íàìè óñëîâèå (0.3) ïîêàçûâàåò, ÷òî õàðàêòåðíûé ìàñøòàá âðåìåíè äëÿ
èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ÷àñòèöû äîëæåí ïðåâûøàòü âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû íà
ðàññòîÿíèå ïîðÿäêà êëàññè÷åñêîãî ðàäèóñà ÷àñòèöû. Äëÿ ýëåêòðîíà ýòî âðåìÿ te ≈ 0, 63 ·
10−23 ñ. Ïðè ïåðèîäè÷åñêîì èëè êâàçèïåðèîäè÷åñêîì äâèæåíèè êðèòåðèé èìååò âèä: T ≫
te èëè ω te ≪ 1, ãäå T = 2 π/ω ïåðèîä äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðåàêöèþ ÷àñòèöû íà
èçëó÷åíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàëûé ýôôåêò, åñëè äâèæåíèå ÷àñòèöû äîñòàòî÷íî
ïëàâíîå: åå ñîñòîÿíèå ñëàáî ìåíÿåòñÿ çà âðåìÿ te èëè íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà re = c te .
Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ó÷åñòü âëèÿíèå ðåàêöèè èçëó÷åíèÿ íà äâèæåíèå
÷àñòèöû â ðàìêàõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, ñ÷èòàÿ åå ìàëîé ïîïðàâêîé.
Ðàññìîòðèì äâèæåíèå íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû F⃗0 . Äëÿ
ó÷åòà ðåàêöèè íà èçëó÷åíèå äîáàâèì â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ýôôåêòèâíóþ
ñèëó F⃗rad :
m ⃗v˙ = F⃗0 + F⃗rad
4
Ñêîíñòðóèðóåì ýòó ñèëó òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû åå ðàáîòà çà åäèíèöó âðåìåíè (ò.å. ìîùíîñòü) áûëà áû ðàâíà ýíåðãèè èçëó÷àåìîé ÷àñòèöåé çà åäèíèöó âðåìåíè:
)
dE
2 e2
2 e2 d ( ˙ ) 2 e2 ( ¨)
F⃗rad , ⃗v = −
= − 3 ⃗v˙ 2 = − 3
⃗v , ⃗v + 3 ⃗v , ⃗v .
dt
3c
3 c dt
3c
Ñòðîãî ýòî ðàâåíñòâî, êàê âèäíî, óäîâëåòâîðèòü íå âîçìîæíî. Íî, åñëè äâèæåíèå ÷àñòèöû
ôèíèòíîå, òî ïðè óñðåäíåíèè ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè çàíóëÿåòñÿ, è ìû ìîæåì
çàïèñàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ñðåäíåì:
(
(
) 2 e2 ( )
⃗
Frad , ⃗v = 3 ⃗v , ⃗v¨ .
3c
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî âûáðàòü
2 e2
F⃗rad = 3 ⃗v¨
3c
(0.4)
Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâîé ñèëîé ðàäèàöèîííîãî òîðìîæåíèÿ. Ïðè ýòîì èíòåãðàëüíî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñîáëþäåí.  èòîãå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû èìååò
âèä:
2 e2 ¨
˙
⃗
m ⃗v = F0 + 3 ⃗v .
3c
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
äîâîëüíî íå îáû÷íî è ïðèâîäèò ê ðÿäó ïðîòèâîðå÷èé. Ïðåæäå âñå...
ãî, îíî ñîäåðæèò ⃗r . Òàêàÿ ñòðóêòóðà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, êàê âû äîëæíû áûëè óñâîèòü
íà ïåðâîé ëåêöèè, íàõîäèòñÿ â ïðîòèâîðå÷èè ñ îñíîâíûìè ïîëîæåíèÿìè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, âñÿ ñõåìà êîòîðîé ïðåäïîëàãàåò, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äîëæíû èìåòü âòîðîé
ïîðÿäîê ïî ïðîèçâîäíûì ïî âðåìåíè. Ïîýòîìó íåêîòîðûå åãî ðåøåíèÿ îêàçûâàþòñÿ ôè2
çè÷åñêèìè áåññìûñëåííûìè. Íàïðèìåð, ïðè F⃗0 = 0 óðàâíåíèå ⃗v˙ = 32me c3 ⃗v¨ èìååò ðåøåíèå
âèäà ⃗v (t) = ⃗v0 + ⃗v1 et/τ , ãäå τ = 2 e2 /3 m c3 , à ⃗v0 è ⃗v1 íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå âåêòîðà. Ïîëó÷åííîå íàìè ðåøåíèå îïèñûâàåò íåîãðàíè÷åííîå ñàìîóñêîðåíèå ÷àñòèöû â îòñóòñòâèè
âíåøíèõ ñèë. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ðàññìîòðåííîå íàìè ýôôåêòèâíîå óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ îïèñûâàåò íåçàìêíóòóþ ñèñòåìó, èç êîòîðîé èñêëþ÷åíû ÝÌ ïîëÿ.
Èçëó÷àåò ëè ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî óñêîðÿþùèéñÿ çàðÿä? Ìîòèâèðóéòå ñâîé
îòâåò.
3) Ïîÿñíèì ñèòóàöèþ íà ïðèìåðå ïðîñòîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì äâà
øàðèêà îäèíàêîâîé ìàññû m, ñîåäèíåííûõ ïðóæèíàìè æåñòêîñòè k äðóã ñ äðóãîì è ñî
ñòåíêàìè, êàê èçîáðàæåíî íà ðèñ. (2). Ïóñòü x1 è x2 ñìåùåíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî øàðèêîâ
èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ øàðèêîâ èìåþò âèä:
{
m ẍ1 = −k x1 − k (x1 − x2 ) = −2 k x1 + k x2
m ẍ2 = −k x2 − k (x2 − x1 ) = −2 k x2 + k x1
(0.5)
ß õî÷ó ðåøèòü ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî x2 è íàéòè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òîëüêî äëÿ ïåðâîãî èç øàðèêîâ äëÿ x1 . Äâàæäû ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïåðâîå óðàâíåíèå,
5
Ðèñ. 2:
....
ïîëó÷èì m x 1 = −2 k ẍ1 + k ẍ2 . Ïîäñòàâèì â ïîëó÷åííîå óðàâíåíè ẍ2 èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ:
k
....
m x 1 = −2 k ẍ1 +
(−2 k x2 + k x1 ) .
m
Ïîäñòàâèì â ýòî óðàâíåíèå x2 , âûðàçèâ åãî ÷åðåç x1 è ẍ1 èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òîëüêî íà x1 :
....
m x 1 = −4 k ẍ1 − 3 k x1 .
Ò.å., ÿâíî èñêëþ÷èâ èç ðàññìîòðåíèÿ îäíó èç ÷àñòèö, äëÿ äðóãîé ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå,
ñîäåðæàùåå áîëåå âûñîêèå ñòåïåíè ïî ïðîèçâîäíûì, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ïðèâîäèò ê
ñàìîóñêîðÿþùèìñÿ ðåøåíèÿì.
Àíàëîãè÷íî ïðè ïîèñêå ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, ìû ðåøèëè ñèñòåìó óðàâíåíèé
(0.2) îòíîñèòåëüíî ÝÌ ïîëÿ Aµ è ïîäñòàâèëè ýòî ðåøåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå äëÿ ìèðîâîé
ëèíèè ÷àñòèöû. Ïîýòîìó ìû ïîëó÷èëè áîëåå âûñîêóþ, ÷åì âòîðàÿ ñòåïåíü ïî ïðîèçâîäíûì
ïî âðåìåíè. Áîëåå òîãî, â îòëè÷èè îò ðàññìîòðåííîé òîëüêî ÷òî ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû,
äëÿ ñèñòåìû ÷àñòèöàïîëå ìû ýòî ñäåëàëè òîëüêî ïðèáëèæåííî.
Ïîïðîáóéòå â ñèñòåìå óðàâíåíèé (0.2) èçáàâèòüñÿ îò ÝÌ ïîëÿ òî÷íî. Èñïîëüçóéòå
äëÿ ýòîãî ôóíêöèþ Ãðèíà äëÿ ïîëÿ. Ïîïðîáóéòå âûâåñòè ñèëó ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ èç
ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ. Íàéäèòå ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîëó÷àþùèõñÿ ðàñõîäèìîñòåé.
 ëþáîì ñëó÷àå, êîãäà ñèëà ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ âõîäèò â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êàê
ìàëàÿ äîáàâêà ê âíåøíèì ñèëàì, îïèñûâàåìàÿ ïî ìåòîäó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé,
òîãäà îíà äàåò ôèçè÷åñêè îñìûñëåííûå ðåçóëüòàòû. Ýòó ñèëó èñïîëüçóþò, ò.ê. â íåêîòîðûõ
ïðèëîæåíèÿõ îíà î÷åíü óäîáíà, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì.
4) Ó÷åò ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïðèâîäèò ê íåêîòîðûì êà÷åñòâåííûì ýôôåêòàì
ïðè ðàññìîòðåíèè èçëó÷åíèÿ è ðàññåÿíèÿ ÝÌ âîëí àòîìíûìè ñèñòåìàìè. Êîíå÷íî èçëó÷åíèå, ïîãëîùåíèå è ðàññåÿíèå ÝÌ âîëí àòîìíûìè ñèñòåìàìè ýòî ñóãóáî êâàíòîâûå
ïðîöåññû, ïîñëåäîâàòåëüíîå îïèñàíèå êîòîðûõ âîçìîæíî òîëüêî íà îñíîâå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Íî ìíîãèå êà÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ýòèõ ÿâëåíèé õîðîøî ïåðåäàþòñÿ
6
ìîäåëüþ âçàèìîäåéñòâèÿ ÝÌ âîëí ñ ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì çàðÿäîì, êîëåáëþùèìñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû Ãóêà, êîòîðàÿ ìîäåëèðóåò ðåàëüíóþ ñèëó â àòîìíîé ñèñòåìå.
Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ýëåêòðîíà ïîä äåéñòâèåì óïðóãîé ñèëû ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì:
m ⃗r¨ + m ω02 ⃗r = 0
Åñëè áû íå áûëî èçëó÷åíèÿ, ýòî óðàâíåíèå òî÷íî îïèñûâàëî áû ïîâåäåíèå ÷àñòèöû, è ìû
èìåëè áû äåëî ñ íåçàòóõàþùèìè ãàðìîíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè ñ ÷àñòîòîé ω0 . Íî ðåàêöèÿ íà èçëó÷åíèå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, êîòîðóþ ñëåäóåò
äîáàâèòü â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ:
2 e2 ...
⃗r .
⃗r¨ + ω02 ⃗r =
3 m c3
 ïðèíöèïå ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ðåøèòü òî÷íî, íî ò.ê. ìû â ëþáîì ñëó÷àå ðåøàåì ýòó çàäà÷ó ïðèáëèæåííî, òî áóäåì èñêàòü åå ðåøåíèå ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé,
ñ÷èòàÿ
ñèëó ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ìàëîé. Â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ⃗r¨ = −ω02 ⃗r, ïîýòîìó
...
⃗r = −ω02⃗r˙ . Òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå óïðîùàåòñÿ äî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îñöèëëÿòîðà ñ òðåíèåì:
⃗r¨ + Γ ⃗r˙ + ω02 ⃗r = 0,
2 e2 ω 2
ãäå Γ = 3 m c30 ≪ ω0 , åñëè õàðàêòåðíàÿ äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ λ0 ≫ re . Ðåøåíèå ýòîãî
óðàâíåíèÿ èìååò âèä
⃗r(t) = Re ⃗r0 e−i ω t ,
ãäå |⃗r0 | íà÷àëüíàÿ àìïëèòóäà îñöèëëÿöèé, à
i
ω 2 − i ω Γ + ω02 = 0 ⇒ ω ≈ − Γ + ω0 ,
2
åñëè Γ ≪ ω0 . Òàêèì îáðàçîì, ⃗r = Re ⃗r0 e− 2 t−i ω0 t .
Γ
¨
⃗
Ïîñêîëüêó ïîëå èçëó÷åíèÿ â âîëíîâîé çîíå ïðîïîðöèîíàëüíî d⃗ ∼ ⃗r¨ = −ω02 ⃗r, òî E(t)
=
Γ
t−i
ω
t
−
0
⃗0 e 2
. Ôóðüå êîìïîíåíòû òàêîãî ïîëÿ ðàâíû
E
∫
+∞
⃗ω =
E
⃗ ei ω t =
dt E(t)
0
⃗0
E
.
i (ω − ω0 ) − Γ2
Ò.å. èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ñ äàííîé ÷àñòîòîé èìååò âèä:
2
1
⃗ Iω ∼ E
ω ∼
2
(ω − ω0 )2 + Γ4
Èç òîãî, ÷òî ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü ðàâíà I0 , íàõîäèì êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè:
∫ ∞
dω
2π
I0 = C
=C
Γ2
2
Γ
−∞ (ω − ω0 ) + 4
Ñëåäîâàòåëüíî:
7
Iω =
Γ
I0
2 π (ω − ω0 )2 +
Γ2
4
.
(0.6)
Òàêàÿ ôîðìà ñïåêòðà íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâîé ëèíèåé.
Åñëè Γ → 0, ò.å. ðåàêöèÿ íà èçëó÷åíèå îòñóòñòâóåò, òî Iω = I0 δ(ω −ω0 ), ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü îäíèì èç îïðåäåëåíèé δ ôóíêöèè, ïðèâåäåííîì íà îäíîé èç ïðîøëûõ ëåêöèé.
Êàê âèäíî, â ýòîì ñëó÷àå îñöèëëÿòîð èçëó÷àåò òîëüêî ñ îäíîé ÷àñòîòîé. À ó÷åò ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííî íîâîìó ýôôåêòó êîíå÷íîé øèðèíå ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ïðè ýòîì Γ íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîé øèðèíîé ëèíèè.
Íà ñàìîì äåëå â åñòåñòâåííóþ øèðèíó ëèíèè åñòü åùå è äðóãèå âêëàäû, ïîìèìî òîãî,
÷òî ìû ó÷ëè. Íàïðèìåð, çà ñ÷åò ñòîëêíîâåíèé è òåïëîâîãî äâèæåíèÿ. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
áîëåå òî÷íûé êâàíòîâî òåîðåòèêî ïîëåâîé ðàñ÷åò ëèíèè ñïåêòðà äëÿ àòîìíûõ ñèñòåì äàåò
òàêóþ æå ôîðìó ëèíèè ñïåêòðà, íî ñ äðóãèì çíà÷åíèåì Γ. Ò.å. íàøè âûêëàäêè êà÷åñòâåííî
âåðíî îòðàæàþò ðåàëüíóþ êàðòèíó.
5) Òåïåðü ðàññìîòðèì òó æå çàäà÷ó î ãàðìîíè÷åñêîì îñöèëëÿòîðå, íî óæå â äðóãîé
ïîñòàíîâêå, êîãäà íà ýòîò îñöèëëÿòîð äåéñòâóåò âíåøíåå ÝÌ ïîëå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Òîãäà ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû ÷àñòèöà ñòàíåò ñîâåðøàòü âûíóæäåííûå
êîëåáàíèÿ, äâèãàÿñü óñêîðåííî, è òåì ñàìûì, èçëó÷àÿ ÝÌ âîëíû. Ýòè âîëíû íàçûâàþòñÿ
ðàññåÿííûìè âîëíàìè, à ñàì ýòîò ïðîöåññ ïðîöåññîì ðàññåÿíèÿ ïàäàþùåé ÝÌ âîëíû
îñöèëëÿòîðîì (èëè êàêîé ëèáî äðóãîé àòîìíîé ñèñòåìîé).
Ðàññìàòðèâàÿ ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ÝÌ âîëí, â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íóæíî äîáàâèòü ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ ïîëåì
âîëíû:
(
])
1 [
e
2 e2 ...
⃗
2
¨
⃗
⃗
E0 +
⃗r + ω0 ⃗r =
⃗v × B0
⃗r .
e−i ω t+i k ⃗r +
m
c
3 m c3
 òàêîì âèäå óðàâíåíèå ñëèøêîì ñëîæíî. Âîïåðâûõ ó÷òåì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå âõîäèò ñ
ôàêòîðîì v/c ≪ 1, ò.ê. ìû ðàññìàòðèâàåì íåðåëàòèâèñòñêèé ñëó÷àé, è ÷ëåí ñ ìàãíèòíûì
ïîëåì ìîæíî îòáðîñèòü â ãðóáîì ïðèáëèæåíèè. Äàëåå, áóäåì ñ÷èòàòü àìïëèòóäó êîëåáàíèé ”a” ýëåêòðîíà ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé ïàäàþùåé ÝÌ âîëíû, ò.å. a ≪ λ, ÷òîáû â
ôàçå âîëíû ìîæíî áûëî áû ïðåíåáðå÷ü (⃗k, ⃗r) ∼ a/λ ≪ 1 ïî ñðàâíåíèþ ñ ω t. Òîãäà èìååì:
e ⃗ −i ω t
2 e2 ...
2
¨
⃗r + ω0 ⃗r =
E0 e
+
⃗r .
m
3 m c3
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïðèáëèæåíèÿìè è â
âèäå ⃗r = ⃗r0 e−i ω t , îòâå÷àþùåì âûíóæäåííûì êîëåáàíèÿì. Ïîëó÷èì:
(
)
e ⃗
E0 ,
⃗r0 −ω 2 + ω02 − i Γ ω =
m
çäåñü Γ =
2 e2 ω 2
3 m c3
è â ïðèíöèïå çàâèñèò îò ÷àñòîòû âíåøíåãî ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì,
⃗r(t) = Re
⃗ 0 e−i ω t
eE
.
m (ω02 − ω 2 − i Γ ω)
¨
Äàëåå, âû÷èñëÿÿ âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ äèïîëüíîãî ìîìåíòà êîëåáëþùåéñÿ ÷àñòèöû d⃗ = e ⃗r¨
8
¨
d⃗ = −
ïîëó÷àåì
dI
1
=
dΩ
8 π c3
⃗ 0 e−i ω t
e2 ω 2 E
,
m (ω02 − ω 2 − i Γ ω)
[
]2
⃗¨
d × ⃗n =
2
⃗ 2
e4 ω 4 E
0 sin θ
[
]
2
8 π c3 m2 (ω02 − ω 2 ) + Γ2 ω 2
ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ âîëí îñöèëëÿòîðîì ïî óãëàì.
Ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ îáû÷íî õàðàêòåðèçóåòñÿ ýôôåêòèâíûì äèôôåðåíöèàëüíûì ñå÷åíèåì ðàññåÿíèÿ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå ïîòîêà ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ â
äàííûé ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà ê ïîëíîìó ïîòîêó ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ:
1 dI
dσ
= .
dΩ
⃗ dΩ
S
(0.7)
2
⃗
⃗ Çäåñü S
= c E
0 /8 π ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè â ïàäàþùåé âîëíå. Ó÷èòûâàÿ ýòè
ôîðìóëû, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå
dσ
=
dΩ
(
e2
m c2
)2
ω 4 sin2 θ
2
(ω02 − ω 2 ) + Γ2 ω 2
(0.8)
,
êîòîðûì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðè èçó÷åíèè ðàññåÿíèÿ âîëíû ñ ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèåé.
Ðàññìîòðèì òåïåðü îäèí ÷àñòíûé âàæíûé ñëó÷àé ñâîáîäíîãî çàðÿäà. Ò.å. êîãäà ω0 = 0 è
ê òîìó æå Γ ≪ ω , ò.å. ìîæíî ïîëîæèòü Γ = 0. Äëÿ ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ äèôôåðåíöèàëüíîå
ñå÷åíèå èìååò âèä:
dσ
= re2 sin2 θ,
dΩ
à ïîëíîå ñå÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Òîìñîíà:
∫
σ≡
dσ
dΩ =
dΩ
∫
re2
2
sin θ dΩ = 2 π
4
re2
8π
=
3
3
(
e2
m c2
)2
(0.9)
6) Îïðåäåëèì òåïåðü ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Íåòðóäíî ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèå ìàëîñòè ðàäèàöèîííîé ñèëû ïî ñðàâíåíèþ ñ âíåøíåé ñèëîé
F⃗0 , êîòîðàÿ òî æå èìååò ÝÌ ïðèðîäó. Çàïèñûâàÿ
]
[
⃗ 0 + e ⃗v × B
⃗0 ,
F⃗0 = e E
c
íàõîäèì â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ïî F⃗rad :
˙
]
F⃗
e ⃗˙
e [˙ ⃗ ]
e [
⃗˙ 0 .
⃗v¨ =
=
E0 +
⃗v × B0 +
⃗v × B
m
m
mc
mc
9
⃗ 0 /m. Ñëåäîâàòåëüíî,
 ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ ⃗v = 0, à ⃗v˙ = e E
]
2 e2 ¨
2 e3 ⃗˙
2 e4 [ ⃗
⃗
⃗
⃗ 0.
Frad ≡ 3 ⃗v =
E0 +
E0 × B0 ≪ e E
3c
3 m c3
3 m2 c 4
(
)
⃗ −iω t ⃗˙
⃗0 .
 ïåðèîäè÷åñêîì âíåøíåì ïîëå ñ ÷àñòîòîé ω èìååì, ÷òî E
, E0 = Re −i ω E
0 ∼ Re e
Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷àåì äâà óñëîâèÿ:
1. e3 ω/m c3 ≪ e ⇒ e2 /m c2 ≪ c/ω ∼ λ0 ⇒ re ≪ λ0 äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ ãîðàçäî
áîëüøå êëàññè÷åñêîãî ðàäèóñà ÷àñòèöû.
2. e3 B0 /m2 c4 ≪ 1 ⇒ B0 ≪ m2 c4 /e3 îãðàíè÷åíèå íà âåëè÷èíó ïîëÿ.
Îäíàêî êâàíòîâûå ýôôåêòû îãðàíè÷èâàþò îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé
ýëåêòðîäèíàìèêè çíà÷èòåëüíî ìåíüøèìè ïîëÿìè è çíà÷èòåëüíî áîëüøèìè ðàññòîÿíèÿìè.
10