Радиационное охлаждение

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ ОХЛАЖДЕНИЯ ПУЧКА
В
физике
элементарных
частиц
основные
экспериментальные
исследования связаны с использование пучков заряженных частиц, при этом
важно,
чтобы
эти
пучки
были
хорошо
коллимированными
и
монохроматичными. Для этого в сопровождающей системе координат,
движущейся со скоростью пучка как целого, частицы должны иметь малые
поперечные скорости. «Охлаждение1» пучков заряженных частиц позволяет
не только сжимать и монохроматизировать их, но также вести накопление,
добавляя в освобождающиеся участки фазового пространства все новые
частицы. Кроме того, наличие охлаждения позволяет подавлять различные
«нагревающие» процессы, например, многократное рассеяние на остаточном
газе. При этом не только предотвращается расплывание пучка, но и
увеличивается время его жизни.
Добиться повышения фазовой плотности пучка, в согласии с теоремой
Лиувилля, невозможно применением любых заданных, т.е. не зависящих от
движения отдельных частиц пучка, внешних полей. Для увеличения фазовой
плотности необходимо ввести силы диссипативного характера.
Радиационное охлаждение. При движении частицы по криволинейной
траектории появляется синхротронное излучение, которому соответствует
наличие тормозящего электрического поля локализованного в области с
характерным продольным (по отношению к скорости) размером порядка
характерной длины волны излучения. Тормозящая сила может быть оценена
из равенства мощности торможения и мощности, уносимой излучением.
Мощность синхротронного излучения при движении частицы по участку
траектории с радиусом кривизны R в перпендикулярном скорости магнитном
поле H:
1
Под терминов «охлаждение» будем понимать уменьшение занимаемого пучком шестимерного фазового
объема в пространстве «обобщенные импульсы – обобщенные координаты». То есть повышение его
фазовой плотности.
2 e 2c 4 2 2 2 2 2 e 4
PSR 
  r0 c H 
E 2H 2 ,
2
4 7
3R
3
3m c
(8.12)
где r0 – классический радиус электрона. Везде, где это будет возможно,
будем считать, что скорость частицы равна скорости света, то есть. будем
рассматривать ультрарелятивистский случай. Синхротронное излучение
сосредоточено внутри конуса около мгновенного направления скорости
частицы с углом раствора порядка γ-1.
Выражение (8.12) записано для случая постоянного по траектории
магнитного поля, однако, после усреднения величины
H2
остается
справедливой и в произвольном случае, меняется лишь спектр излучения. В
большинстве практически интересных случаев на характерной области
действия тормозящего электрического поля, создаваемого одной частицы
находится множество других частиц. Если между положениями частиц нет
микрокорреляций, то тормозящая сила, усредненная по времени (или по
ансамблю
частиц),
связана
только
с
некогерентным
(собственным)
излучением частицы. Мгновенная мощность излучения ансамбля частиц
пропорциональна

2
   E 
i
dS , где интеграл берется по поверхности,
i
охватывающей излучающую систему в дальней зоне. Средняя по времени
напряженность в волновой зоне равна нулю, а при полностью случайных
относительных положениях двух частиц: Ei Ek  Ei Ek  0 для i  k . Т.е.
каждая частица испытывает в среднем торможение, связанное только с
собственным излучением.
Если частицы сгруппированы в сгустки с характерной длиной Lb, то
излучение в области   Lb становится когерентным, а связанное с этой
частью излучения электрическое поле, действующее на каждую частицу,
возрастает в число раз, равное количеству частиц. Однако, в первом
приближении это поле не сказывается на относительном движении частиц и
не дает вклада в охлаждение.
Тормозящая сила реакции излучения, направленная против мгновенной
скорости излучения, выражается через мощность синхротронного излучения
следующим образом:
FR  PSR c .
(8.13)
Если потери у равновесной частицы скомпенсированы (хотя бы в среднем),
то на отклоненные по направлению скорости частицы будет действовать
только разностная сила, направленная против локального отклонения
частицы и пропорциональная этому отклонению. Интересующая нас сила
будет проекцией полной силы FR , на соответствующую ось, например для
вертикального направления
FRz   FR z c   PSR z c .
2
(8.14)
Эта сила носит характер вязкого трения и если пучок движется в
фокусирующей системе, то это трение должно приводить к постепенному
затуханию поперечных колебаний.
Рассмотрим циклический накопитель, равновесная орбита которого при
движении в чисто магнитных полях является плоской. Замкнутая орбита,
частота обращения по которой кратна частоте ускоряющей системы будет
равновесной орбитой, а энергия частицы, движущейся по такой орбите –
равновесной энергией. Отклонения от равновесного движения в первом
приближении можно представить в виде суперпозиции трех независимых
движений. Одно движение, связанное с изменением энергии частицы,
состоит в отклонении замкнутой орбиты от равновесной и происходит
медленно, по сравнению с периодом колебаний (без внешних возмущений).
Два
других
представляют
собой
поперечные
колебания
частицы
относительно равновесной орбиты с сохранением полного импульса.
Единственным фактором, дополнительным к фокусирующим силам со
стороны магнитных полей накопителя, обеспечивающих устойчивость
вертикального движения, является z-проекция силы реакции излучения,
которая, с учетом выражения (8.14) принимает вид
z
PSR
z  z2 z  0 ,
E
(8.15)
где ωz – частота вертикальных колебаний. Из выражения (8.15) видно, что
наличие синхротронного излучения приводит к затуханию амплитуды zколебаний с декрементом
 z  PSR E ,
(8.16)
а, следовательно, время охлаждения есть
z 
3m4c 7 1
.
2e4 EH 2
(8.17)
Будем считать, что потери энергии на излучение компенсируются
высокочастотной ускоряющей системой, а энергетические отклонения
испытывают колебания (режим автофазировки). Также будем полагать, что
набор энергии при прохождении ускоряющего зазора зависит только от фазы
поля и не зависит от радиального положения частицы. Очевидно, что
энергетические колебания будут затухать, если потери энергии на излучение
за один оборот при увеличении энергии частицы будут возрастать по
сравнению с потерями равновесной частицы и соответственно убывать при
ее уменьшении. Т.е. знак декремента определяется знаком производной
потерь на излучение за один оборот по энергии:
 E  f0
d E
,
dE
(8.18)
где E  PSR 2 R c - потери энергии за один оборот, f 0 - частота обращения
равновесной частицы, а полная производная берется по отклонению энергии
частицы от равновесной с учетом зависимости радиального положения
орбиты от энергии. Декремент затухания с учетом выражения (8.18) может
быть записан в виде
E 
1 d  PSR R  PSR  E dPSR E dR 



.
R dE
E  PSR dE R dE 
(8.19)
Если кривизна вдоль равновесной орбиты не постоянна, то необходимо
дифференцировать произведение усредненных величин.
При затухании энергетических колебаний одновременно затухают и
фазовые колебания, уменьшается длина сгустков. Радиационное воздействие
на радиальные колебания, происходящие в плоскости равновесной орбиты,
складываются из двух частей. Первая часть полностью соответствует силе
трения для вертикальных колебаний (8.15), а вторая часть связана с тем, что
при радиальных колебаниях частица попадает в поля, отличные от полей на
равновесной орбите, и энергия частицы оказывается промодулированной с
частотой поперечных колебаний. Эта модуляция энергии  вызывает
модуляцию мгновенного положения орбиты r  
dR
, к которой идет
d
фокусировка радиальных отклонений частицы, с частотой этих колебаний.
Аналогичный вклад в декремент вертикальных колебаний отсутствует, т.к.
модуляция
энергии
не
вызывает
смещения
мгновенной
орбиты
в
вертикальном направлении.
Отклонение по энергии равно разности между энергией, полученной от
ускоряющей системы (будем считать, что ускоряющая система равномерно
распределена вдоль периметра накопителя) и энергией, потерянной в виде
синхротронного излучения


  t    E0 f  rb  t    PSR  E0 , rb  t   dt 


P
f
    E0 f 0  PSR  0   E0
rb  SR rb  dt
rb
rb 

Здесь E0 - энергия, набираемая за оборот в равновесной фазе;
(8.20)
f  rb  t   -
мгновенная частота обращения, которая зависит от мгновенного радиального
положения, возникающего вследствие колебаний. Выражение в квадратных
скобках обращается в нуль, для частицы, движущейся по равновесной орбите
в равновесной фазе ускоряющего напряжения. Следовательно, с учетом
выражения
rb f
r
  b , получаем
f 0 rb
R0
 P  E  PSR 
  t      SR

 rb  t  dt .
R

r
0
b 

(8.21)
С учетом модуляции энергии, а, следовательно, радиального положения
частицы, уравнение радиальных колебаний примет вид x  x2  x  r   0 ,
заменив x-Δr=r, получим r  x  d 2r dt 2 , а уравнение колебаний с учетом
r   dR dE преобразуется к виду
r  x2 r  
dR d 2 
.
dE dt 2
(8.22)
Подставляя (8.21) окончательно имеем
 dR PSR  E0  PSR dR 
2
r 

  x r  0 .
R
rb dE 
 dE
(8.23)
Откуда, для декремента затуханий получаем следующее выражение
x 
 

PSR  E0  
R PSR  dR E 
1  1 
.

R 
P

r
dE
R
 

SR
b 

(8.24)
Если магнитная система не имеет азимутальной симметрии, то
входящие в выражения величины нужно усреднить вдоль равновесной
орбиты. Поскольку для суммы декрементов δE и δx справедливо соотношение
E  x 
PSR 
E PSR 
1 
,
E  PSR E 
(8.25)
то сумма декрементов не зависит от частного вида магнитной структуры
накопителя. Если равновесная орбита не плоская или существуют
динамические связи вертикальных колебаний с другими степеням свободы,
то универсальной остается сумма трех декрементов
E  x  z 
PSR 
E PSR 
2
.
E 
PSR E 
(8.26)
Выражение (8.26) в релятивистском случае справедливо для любого вида
энергетических потерь. Для синхротронного излучения, согласно (8.12)
E PSR
 2 и (8.26) принимает вид
PSR E
E  x  z 
4 PSR
.
E
(8.27)
Для азимутально-симметричного накопителя (с мягкой фокусировкой)
достаточно
одной
структурной
характеристики
магнитного
поля.
Поперечные
колебания
–
показателя
устойчивы
при
спада
0  n  1.
Коэффициент пространственного уплотнения орбит в этом случае

E dR
1
,

R dE 1  n
(8.28)
а
R PSR H PSR R H

 2n .
PSR rb
PSR H H R
(8.29)
И окончательно имеем
PSR n
,
E 1 n
P 3  4n
 E  SR
.
E 1 n
x 
(8.30)
Откуда видно, что радиальные колебания в азимутально-симметричном
накопителе затухают во всем диапазоне устойчивости этих колебаний, а
фазово-энергетические колебания только при n<3/4.
Для накопителей с жесткой фокусировкой распределение декрементов
может быть разным, в зависимости от соотношения магнитных полей на
равновесной орбите в фокусирующих и дефокусирующих по радиусу
участках и отклоняющих магнитах.
Простейшей
структурой,
совмещающей
высокую
жесткость
фокусировки и радиационное затухание всех типов отклонений, является
система с разделенными функциями – поворотные участки сделаны
однородными и слабо сказываются на фокусировке поперечных отклонений,
а
жесткость обеспечивается
квадруполями
равновесной орбите равным нулю.
с магнитным полем
на