Типовая задача по теме «Сети»

Типовая задача по теме «Сети»
Рассмотрите сетевое взаимодействие кондитерских компаний P, Q, R, S, T, U, V.
Известно, что между следующими компаниями подписаны соглашения о взаимовыгодном
сотрудничестве: (P, R), (P, S), (P, T), (P, V), (Q, S), (Q, U), (R, T), (R, V), (S, V), (T, V).
Вопросы:
1. Постройте граф, который описывает данное взаимодействие.
2. Найдите среднюю степень вершин и плотность такой сети. Насколько успешно
кондитерские компании реализуют потенциал партнерских отношений?
3. Рассчитайте показатели центральности для компании P.
4. Как изменится плотность графа, если:
- компания U заключит еще соглашения с компаниями V и T,
- компания P откажется от всех подписанных ранее соглашений.
5. Предположим, компании U нужно связаться с компанией R. Найдите дистанцию
(1) в первоначальном графе, (2) с учетом п. (4)?
Решение:
1. Граф, иллюстрирующий данное взаимодействие, можно изобразить следующим
образом:
В данном графе 7 вершин (g = 7) и 10 ребер (L = 10).
2. Средняя степень вершин – это показатель, определяющий среднее количество ребер,
выходящих из одной вершины. Данная величина рассчитывается по следующей формуле:
d =
∑ d (n ) = 2L , где L – количество ребер в графе, g – количество вершин. В нашем
i
g
g
случае средняя степень вершин равна d =
2 ⋅ 10 20
.
=
7
7
Плотность сети характеризуется коэффициентом плотности Δ , который показывает
отношение количества ребер в данном графе (L) к количеству ребер в полном графе с тем
же количеством вершин (g). Коэффициент плотности может быть рассчитан следующим
образом: Δ =
Δ=
L
2L
d
. В нашем случае коэффициент плотности равен
=
=
g (g − 1) g ( g − 1) g − 1
2
20 7 20 10
=
= .
7 − 1 42 21
Чем выше плотность сети, тем ближе коэффициент плотности к единице. В данном
случае коэффициент плотности примерно равен 0,5, а это значит, что компании
используют возможности для взаимной коммуникации не полностью, а лишь наполовину.
Следовательно, у рассматриваемых компаний есть возможности для увеличения
потенциала партнерских отношений.
3. Центральность актора (в нашем случае – кондитерской фирмы) описывается степенью
соответствующей вершины графа, т.е. C D (ni ) = d (ni ) . Для компании P: C D (P ) = d (P ) = 4 ,
поскольку из данной точки выходят 4 ребра.
Сам по себе такой показатель (в абсолютном выражении) мало о чем говорит,
поэтому
более
логичным
центральности: С D′ (ni ) =
является
использование
приведенного
показателя
d (ni )
d (P )
4
2
, а в нашем случае С D′ (P ) =
=
= .
g −1
g −1 7 −1 3
Компания, обладающая наибольшей центральностью, имеет наибольшее влияние в
такой системе.
4. Если компания U заключит дополнительные соглашения с компаниями V и T, то граф
будет выглядеть следующим образом:
Количество ребер в графе увеличится на 2 и станет равным 12. Плотность такой сети
также увеличится и станет равна Δ =
2L
2 ⋅ 12 4 12 10
.
= =
>
=
g ( g − 1) 7 ⋅ 6 7 21 21
Если компания P откажется от всех подписанных ранее соглашений, то такая
компания станет изолированной точкой в графе:
Количество ребер уменьшится на 4 (по сравнению с исходным графом) и станет
равно 6. Плотность такого графа будет равна: Δ =
2L
2 ⋅ 6 2 6 10
, т.е.
=
= =
<
g ( g − 1) 7 ⋅ 6 7 21 21
плотность уменьшится по сравнению с исходным вариантом.
5. В исходном графе компания U может связаться с компанией R следующим образом: U
⇒ Q ⇒ S ⇒ V ⇒ R (или U ⇒ Q ⇒ S ⇒ P ⇒ R). Если компания U заключит
дополнительные соглашения с компаниями V и T, то дистанция сократится до U ⇒ V ⇒ R
(или U ⇒ T ⇒ R). В том случае, если компания P расторгнет все ранее подписанные
договора, то компания U сможет связаться с компанией R так же, как и в начальном
варианте U ⇒ Q ⇒ S ⇒ V ⇒ R.