Продольно-поперечная динамика импульсов обобщённого

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА 4, 144335 (2014)
Продольно-поперечная динамика импульсов обобщённого нелинейного
уравнения Шрёдингера
В.А. Халяпин1,2∗
1
Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта,
физический факультет, кафедра телекоммуникаций
Россия, 236041, Калининград, улица А. Невского, д. 14
2
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Калининградский государственный технический университет», кафедра физики
Россия, 236000, Калининград, Советский проспект, д. 1
На основе метода моментов получена система уравнений, описывающая динамику параметров
электромагнитного импульса. Рассмотрена поперечная динамика импульсов, имеющих супергауссовый профиль.
PACS: 42.81.
УДК: 621.372.
Ключевые слова: солитон, супергауссовый импульс, дифракция.
В настоящей работе рассматривается динамика импульсов, распространяющихся в области прозрачности
диэлектрика. Анализ динамики параметров импульса
проводится на основе метода моментов.
Обобщённое нелинейное уравнение Шрёдингера для
огибающей электромагнитного импульса ψимеет вид
∂ψ iβ2 ∂ 2 ψ β3 ∂ 3 ψ
2
+
−
− iγψ |ψ| +
∂z
2 ∂τ 2
6 ∂τ 3
) iµ
γ ∂ (
2
ψ |ψ| − ∆⊥ ψ = 0.
+
ω0 ∂τ
2
T =
Ω=
�= i
C
2E
i
2E
∫
∫
∞
−∞
1
E
∞
−∞
∫
∫
∞
0
∫
∞
−∞
∞
0
0
∫
(
∞
0
ψ∗
2
∂ψ
∂ψ ∗
−ψ
∂τ
∂τ
(
(3)
|ψ| τ rdτ dr,
)
rdτ dr,
∂ψ ∗
−ψ
(τ − T ) ψ
∂τ
∂τ
∗ ∂ψ
)
1
E
ε� =
∞
−∞
i
2E
∫
∞
−∞
∫
∫
∫
0
∞
−∞
∞
0
∞
(
2
∫
∞
0
ψ∗
2
∂ψ
∂ψ ∗
−ψ
∂τ
∂τ
[
1 ( r )2n
ψ = B exp −
+
2 R
(
)
(7)
r2 dτ dr,
2
(τ − T )
εr2
+i φ + Ω (τ − T ) + C
−
2
2τp
2R2
(8)
)]
.
(9)
Здесь B — амплитуда сигнал, n — положительное
целое числа. Из (2)–(8) с учётом (1) и (9) получаем
систему уравнений на параметры импульса
E = B 2 R 2 τp
∂T
β3
= β2 Ω +
∂z
2
(5)
[email protected]
2014 УЗФФ
(6)
|ψ| r3 dτ dr,
(
Γ (1/n)
= const,
n
)
)
(
γB 2
1
π2 2
Ω2 + 1 +
C
+
,
2
4
3τp
ω0 21/n
∂Ω
2γB 2 C
=
,
∂z
3ω0 τp2 21/n
∗ E-mail:
2
(t − T ) |ψ| rdτ dr,
где E — энергия импульса, T — величина, пропорциональная добавке к групповой скорости, Ω — смещение центрально частоты сигнала, σ — его длитель� — определяет модуляцию частоты, R
� — паность, C
раметр, пропорциональный поперечному радиусу, ε� —
параметр, характеризующий кривизну импульса.
Огибающую поля запишем следующим образом
(4)
rdτ dr,
∫
�2 = 1
R
E
(1)
Здесь β2 — коэффициент групповой дисперсии,
β3 определяет дисперсию третьего порядка, γ — коэффициент при кубической нелинейности, ω0 — центральная частота спектра импульса, µ = −n/2cΩ, n —
показатель преломления среды, τ = t − z/vg −время
в сопутствующей системе координат, vg — групповая
скорость импульса, z — ось, вдоль которой распространяется сигнал.
Определим моменты импульса с помощью следующих выражений [1]
∫ ∞∫ ∞
2
E=
|ψ| rdτ dr,
(2)
−∞
σ2 =
144335-1
УЗФФ 4, 144335
РАДИОФИЗИКА, ЭЛЕКТРОНИКА, АКУСТИКА
радиуса импульса
∂τp
CΩ
β2 C
=
+ β3
,
∂z
τp
τp
∂C
=
∂z
(
[ 2
∂2R
µn
µ
2γB 2 Γ (1/n)
+
=
−
2
2
∂z
Γ (2/n) R R
21/n 3
]
2γB 2 Ω
(2n − Γ (1/n)) .
+ 1/n
2 3ω
)
4
β2
12
2
+
C
+ 2 β2 Ω2 +
π2
τp2
π
(
)
6
β3 Ω 4
2
+ 3C + 2 β3 Ω3 +
+
2τp2 π 2
π
+
Как видно из (10), импульс начинает расходиться благодаря дифракции, если R′′ (0) > 0. Если же
нелинейность велика, то дифракционная расходимость
начинает подавляться и начинается самофокусировка
R′′ (0) < 0. Граничная ситуация R′′ (0) = 0 определяет
пороговое условие самофокусировки. Из этого условия
и (10) находим «критическую мощность» импульса [2]
16γΩB 2
4γB 2
+
,
π 2 21/2
ω0 π 2 21/2
µε
∂R
=− ,
∂z
R
B 2 R2 =
[
∂ε
n
µn Γ (2/n) R2 R′2
=
− 2−
+
∂z
Γ (2/n)
R
µ
2γB 2 Γ ((1 + n) /n)
−
+
21/n 3
]
2γB 2 Ω
[Γ ((1 + n) /n) − 2Ω] .
− 1/n
2 3ω0
2
(
2
)
2(1−n)/n 3n2 µ
)
).
( ( )(
Ω
2nΩ
1
1+
−
γ Γ
n
ω
ω
(11)
В случае гауссовых импульсов (n = 1) из (11) находим
3µ
B R =
γ
2
�
= Kσ
= 12/π σ , C = K C,
2
�
R = DR = R Γ (1/n) /Γ (2/n), ε = D�
ε, Γ(x) — гамма
функция. Из двух последних уравнений системы находим уравнение, определяющее динамику поперечного
Здесь τp2
2
�2
(10)
2
[1] Santhanam J. Opt.Commun. A. 222. P. 413. (2003).
[2] Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, струк-
2
(
Ω
1−
ω0
)−1
.
(12)
Из (12) следует, что критическая мощность импульса увеличивается, если его частота сдвигается в красную область спектра
туры. (М.: Физматлит, 2003).
Longitudinal–Transverse Dynamics of Pulses of Generalized Nonlinear
Schrodinger Equation
V.A. Khalyapin1,2
1
Immanuel Kant Baltic Federal University, Department of Physic, Faculty of Telecommunications. Kaliningrad, 236041, Russia
2
Kaliningrad State Technical University, Faculty of Physic. .Kaliningrad 236000 Russia
E-mail: [email protected]
Using the moment method the system of equations describing the dynamics of electromagnetic pulse parameters was obtained.
The transversal dynamics of super-Gaussian shape pulses are considered.
PACS: 42.81
Keywords: soliton, super-Gaussian shape pulse, diffraction.
Сведения об авторах
Халяпин Вячеслав Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, доцент; тел.: 8(906)2165558, e-mail: [email protected].
2014 УЗФФ
144335-2