ТЕОРЕМА О СОХРАНЕНИИ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА ДЛЯ

ТЕОРЕМА О СОХРАНЕНИИ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА ДЛЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ С МАГНИТНЫМИ ЗАРЯДАМИ.
С.Ю. Шишков
Российский Научный Центр «Курчатовский Институт», Москва, 123182
( e-mail address [email protected])
Приводится подробное доказательство расширенного варианта известной из
классической теории поля теоремы о сохранении тензора энергии-импульса
системы заряженных точечных частиц и электромагнитного поля, где
принимаются во внимание также и магнитные монополи Хевисайда, которые
отличаются от магнитных монополей Дирака отсутствием предполагаемых
сингулярных нитей.
PACS:
При наличии магнитно-заряженных точечных частиц тензор плотности
энергии-импульса Tij всей системы представляет собой сумму отдельных
тензоров плотности энергии-импульса электромагнитного поля и частиц, как
элекрически, так и магнитно заряженных. Для электрически-заряженных
частиц соответсвующая теорема о сохранении энергии-импульса была
подробно рассмотрена в Курсе Теоретической Физики [1]. Поэтому для
учета магнитно-заряженных частиц в этой теореме требуется проследить шаг
за шагом соответстующие изменения в ходе известного доказательства из [1].
Цель данной статьи состоит в том, чтобы внести соответсвующие
дополнения в ход доказательства с учетом возможности существования
гипотетических магнитных зарядов, впервые предложенных ещё Хевисайдом
[2], а затем Дираком [3], и таким образом, убедиться в том, что и в этом
случае известные классические законы сохранения энергии-импульса не
нарушаются. По необходимости рассуждение существенно повторяет
соответствующий раздел Курса Теоретической Физики [1], и поэтому
обозначения и термины для удобства оставлены здесь без изменений.
Для определения вида тензора энергии-импульса частиц необходимо
описывать, как и в [1], распределение масс в пространстве с помощью
«плотности массы», аналогично тому, как мы описываем распределение
точечных зарядов с помощью их плотности. Согласно [1], плотность масс
можно написать в виде
µ=∑mbδ( r-rb)
,(1)
где rb – это радиус-векторы частиц, mb – их массы, а суммирование
производится по всем частицам системы. «Плотность 4-импульса» частиц
напишется в виде µcui, где c- это скорость света, а ui – соответствующая 4-
скорость. Как известно,( см. [1]), эта плотность представляет собой
компоненты T0α/c тензора плотности энергии-импульса, т.е., T0α=µc2uα
(α=1,2,3). Но плотность массы является временной компонентой 4-вектора
(µ/c)(dxk/dt) (аналогично плотности зарядов), см. [1]. Поэтому тензор
энергии-импульса системы невзаимодействующих частиц есть
.(2)
T (particles) ik=∑µac (dxi/ds)(dxk/dt)=∑aµacuiauka(ds/dt)
Этот тензор симметричен, как ему и полагается. Убедимся прямым
вычислением в том, что энергия и импульс системы, определённые как
суммы энергий и импульсов поля и частиц, действительно сохраняются.
Другими словами, мы должны проверить уравнение
(∂/∂ xk)(T(field)ki+T(el.ch)ki+T(mag.ch.)ki)=0
,(3)
где
T(field)ik=(1/4π)(-FilFkl+(1/4)gikFlmFlm)
,(4)
gik
-метрический тензор, который не следует путать с магнитным
зарядом монополя g(magn), а
Fil- антисимметричный тензор электро-магнитного поля (см. [1]), т,е.,
 0 − Ex − Ey − Ez 


0
− Hz Hy 
il  Ex
F =
Ey Hz
0
− Hx 


 Ez − Hy Hx
0 

.(5)
Дифференцируя выражение (4), получим
(∂ T(field)ki /∂ xk)=(1/4π)((1/2)Flm(∂ Flm/∂ xi)-Fkl(∂ Fil/∂xk)-Fil(∂Fki/∂xk)) .(6)
Подставив сюда согласно уравнениям Максвелла с учетом магнитных
зарядов
,(7)
(∂ Fkl/∂ xk)=(4π/c)j(elect)l
(∂ Flm /∂ xi)=- (∂ Fmi /∂ xl)- (∂ Fil /∂ xm)+(4π/c) j(magn) k εklmi , (8)
где j(elect)l и j(magn) k
-это 4-векторы плотности электрического и
магнитного тока соответственно, εklmi- это полностью антисимметричный
единичный 4-тезор, а обычные уравнения Максвелла получаются из (7) и (8)
при и j(magn) k ≡0.
В качестве проверочных значений можно выбрать l=x ,m=y, i=z,:
,(9)
(∂Hz/∂ z)+(∂ Hx/∂ x) +(∂ Hy/∂ y)=(4π/c)(c ρ(magn))
как и следовало ожидать из определения плотности магнитного заряда по
аналогии с плотностью электрического заряда, и получим далее:
(∂ T(field)ki /∂ xk)=(1/4π)( -(1/2)Flm(∂ Fmi / ∂ xl)-Fkl(∂ Fil/∂xk)-(1/2)Flm(∂ Fil / ∂
xm)+(1/2)Flm((4π/c)εklmi j(magn)k )-(4π/c)Fil jl(electr)) .(10)
Перестановкой индексов легко показать, что первые три члена взаимно
сокращаются и остается
.(11)
(∂ T(field)ki /∂ xk)=-(1/c)Fil j(electr)l +(1/2c)(Flm εklmi) j(magn)k
Как нетрудно видеть, величина (1/2)(Flm εklmi) есть тензор, дуальносопряженный к соответствующему антисимметричному тензору (5)
электромагнитного поля, так что (11) есть точное выражение для силы,
действующей со стороны электромагнитного поля на электрический и
магнитный токи. Дифференцирование же тензора (2) дает
(∂ T(particles)ki /∂ xk)=∑a c uai (∂ /∂ xk)(µadxak/dt)+µa c (dxak/dt)(∂ uai/∂ xk) .(12)
Первый член в этом выражении обращается в нуль в силу сохранения массы
невзаимодействующих частиц. Действительно, величины µadxak/dt
составляют 4-векторы «тока масс» заряженных электрических и магнитных
частиц, аналогичные 4-векторам плотностей токов электрических и
магнитных зарядов, а сохранение масс выражается равенством нулю 4дивергенции этого 4-вектора
(∂ /∂ xk)(µadxak/dt)=0
,(13)
подобно тому, как сохранение зарядов выражается уравнениями
(∂ j(electr)k/∂ xk)=0 , (∂ j(magn)k /∂ xk)=0
,(14)
k
где 4-вектор плотности тока j(electr) =(cρ(electr),jx,jy,jz). Таким образом, мы
имеем, согласно [1],
(∂ T(particles)ki /∂ xk)=∑a µa c (dxak/dt)(∂ uai/∂ xk)=∑a µa c (duai/dt) .(15)
Воспользуемся уравнением движения зарядов в поле, написанном в
четырехмерном виде:
m(electr)ac (duai /ds)=e(electr)aFik (1 /c)uak ,
,(16)
m(magn)ac(duai /ds)=g(magn)a(1/2c)ε iklm Flmuak
где индекс a означает суммирование по всем имеющимся в системе типам
точечных зарядов, как электрических, так и магнитных, и фиксированное
значение a соответствует какой-то определённой частице из множества всех
заряженных материальных точек, входящих в рассматриваемую систему.
При переходе к непрерывному распределению зарядов и массы имеем по
определению плотностей µ и ρ:
(µ(electr)a /ma)=(ρ(electr)a /e (electr)a) ,(µ(magn)b/mb)=(ρ(magn)b /g(magn)b).
Поэтому можно написать уравнения движения (16) в виде
µ(electr)ac (duai /ds)=ρ(electr)aFik (1 /c)uak ,
µ(magn)ac(duai /ds)=ρ(magn)a(1/2c)ε iklm Flmuak
,
или (∂ T(electr)ki /∂ xk)= ∑a µ(electr)ac (duai /dt)=
∑a ρ(electr)aFik (1 /c)uak (ds/dt)=(1/c)Fik j(electr)k
,
(∂ T(magn)ki /∂ xk)=∑a µ(magn)ac(duai /dt)=∑aρ(magn)a(1/2c)ε iklm Flmuak (ds/dt)
=(1/c)(Fik+ )j(magn)k.
Таким образом, из (15) получаем
(∂ T(particles)ki /∂ xk) =
∑ µ(electr)ac (duai /dt)+ ∑ µ(magn)ac(duai /dt)=
=(1/c)Fil j(electr)l +(1/2c)(Flm εiklm) j(magn)k
.(17)
Складывая (17) с (11) получаем требуемое равенство (3),что и требовалось
проверить.
Отсюда следует вывод, что известный в классической электродинамике [1]
закон сохранения энергии-импульса остаётся в силе, даже если система
состоит не только из электрически-заряженных частиц, но также если имеет
вид смеси с магнитно-заряженными частицами.
1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, «Теория поля», Москва, «Наука»,1967
2. O.Heaviside, “Electromagnetic theory”, London, 1893.
3. P.A.M.Dirac, Phys. Rev., 74, 817 (1948).