Кинематика Кинематика точки

Кинематика
Кинематика – часть механики, которая изучает движение тела с
геометрической точки зрения.
Кинематика точки
Материальная точка – тело размерами, которого можно пренебречь.
Движение – изменение положения с течением времени.
Движение точки по отношению к выбранной системе отсчета считается
заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить
положение точки в любой момент времени.
Существует 3 способа задания движения точки в выбранной системе
отсчета.
1. Векторный способ задания движения
Пусть существует неподвижная система координат 0xyz.
i,j,k – единичные вектора осей.
Положение точки в пространстве будет
определено, если ее радиус-вектор R,
z
проводимый из начала координат какой-либо
системы отсчета, известен как функция
времени
R = R(t )
o
y r
При движении конец вектора
R
R (t )
описывает некоторую линию, которая является
M
r
x
траекторией движения точки.
R(t + Δt )
Пусть у нас есть 2 положения точки М
M1
(Рис 1.1) эти 2 положения характеризуются
r
r
Рис. 1.1
векторами R(t ), R(t + Δt ) и временем, за которое
. r
точка изменила положение Δt uuuuu
r
r
Соответственно вектор MM 1 = R(t + Δt ) − R(t ) = ΔR(t )
Средняя скорость движения точки М на отрезке времени Δt будет
равняться:
ΔR(t )
Δt
ΔR(t ) dR(t ) uur
lim
=
= VM
Δt → 0
Δt
dt
VMÑÐ =
Скорость точки – производная радиус вектора точки по времени.
Аналогично как скорость это производная от радиуса вектора по
времени так ускорение:
WM = lim
Δt →0
ΔVM (t ) dVM (t )
=
Δt
dt
Ускорение точки производная вектора скорости точки по времени
2. Координатный способ задания движения
Для координатного способа задания движения точки необходим выбор
конкретной системы координат.
Рассмотрим задание движения точки в декартовой системе координат.
В декартовой системе координат движение в координатной форме
будет задано, если известен закон изменения координат x,y,z от времени:
x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) - координатный закон движения точки
Пусть существует неподвижная система координат 0xyz.
i,j,k – единичные вектора осей.
Радиус вектор движения точки
в выбранной системе координат можно
r
r
r r
представить в виде: R = xi + yj + zk
r r r
Т.к. система координат неподвижна, то вектора i , j , k постоянны, т.е
r
r
r
di
dj
dk
производные
= 0, = 0,
= 0 то в результате для выражения скорости при
dt
dt
dt
координатном
способе задания движения получим:
uuuuuur
uur dR(t ) dx r dy r dz r
V =
= i+
j+ k
dt
dt
dt
dt
Скорость
точкиr можно переписать следующим образом:
uur
r
r
V = Vx i + V y j + Vz k
где: Vx =
dx
dy
dz
(*)
,Vy = ,Vz =
dt
dt
dt
Отметим, что исходя из формулы (*), получаем следующее: проекция
скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени
от соответствующей этой оси координаты.
Через проекции можно найти модуль и углы наклона к осям скорости
точки.
По теореме Пифагора:
uur
V = Vx2 + Vy2 + Vz2
Функции углов наклона скорости точки.
uur
V
cos(V , Ox ) = uurx ,
V
uur
V
cos(V , O y ) = uury ,
V
uur
V
cos(V , Oz ) = uurz .
V
Аналогично
как для скоростей, так и для ускорений получим.
uuuuuur
r dV (t ) dVx r dV y r dVz r
=
W=
i+
j+
k=
dt
dt
dt
dt
r
r
r
d 2x r d 2 y r d 2z r
= 2 i + 2 j + 2 k = Wx i + Wy j + Wz k .
dt
dt
dt
Wx =
dV
dVx
dV
, Wy = y , Wz = z .
dt
dt
dt
По теореме Пифагора:
uur
W = Wx2 + Wy2 + Wz2
Функции углов наклона скорости точки.
uur
W
cos(W , Ox ) = uurx
W
uur
Wy
cos(W , Oy ) = uur
W
uur
W
cos(W , Oz ) = uurz
W
Также возможен выбор
цилиндрической и сферической.
других
систем
координат,
например,
3. Естественный способ задания движения точки
При естественном способе задания движения точки указываются
траектория движения точки и закон ее движения по этой траектории.
M
Пусть точка движется в системе 0xyz по
траектории, показанной на рисунке.
Пусть
точка
M0 какая
либо
фиксированная точка на траектории. Выбрав
o
y
направление положительного отсчета по
траектории, мы определим положение точки М
x
в любой момент времени, если будем знать, как
Рис. 1.2
изменяется дуга σ = M 0 M со временем.
Для задания движения точки при помощи естественного способа нам
необходимо знать
a) траекторию движения
b) начало отсчета движения. (т. M 0 )
c) положительное направление движения
d) σ = σ (t ) ,
σ = σ (t ) - закон движения точки при естественном способе задания движения.
z M
0
Нахождение скорости при естественном
способе задания движения точки.
ur
ΔR (t ) dR (t )
(**)
V = lim
=
Δt → 0
Δt
dt
Существует некоторая связь между радиусвектором R(t ) законом движения точки σ (t ) .
Перепишем формулу (**) в виде:
ur
⎡ ΔR (t ) Δσ (t ) ⎤ dR (t ) dσ (t )
V = lim ⎢
=
Δt → 0 Δ σ ( t )
Δt ⎥⎦ dσ (t ) dt
⎣
Рис. 1.3
dR (t )
ΔR (t )
= lim
=1
Δ
σ
→
0
dσ (t )
Δσ (t )
Т.к ΔR(t ) - длина хорды Δσ (t ) - длина дуги. При уменьшении длины сегмента
дуги Δσ (t ) → 0 вектор
r
uuuuuur
dR(t )
dσ (t )
стремится по направлению и длине к
единичному вектору τ касательной к траектории в точке. В результате
uuuuuur
ur dR(t ) dσ (t ) dσ (t ) r
r
dσ (t )
V=
=
τ = Vτ τ , где Vτ =
- касательная скорость.
dσ (t ) dt
dt
dt
Нахождение ускорения при естественном способе задания движения
Из векторного способа задания движения точки вычисляется по формуле:
Для
r
r
d
τ
r
r
r
r dV (t ) d Vτ τ
d (Vτ )
W=
=
=
= Wτ τ + Wn n
τ + Vτ
dt
dt
dt
dt
( )
()
Wτ = dv / dt , Wn = v 2 / ρ
Кинематика абсолютно твердого тела
Определение. Абсолютно твердым телом называют такую систему
материальных точек, расстояние между двумя любыми точками которой,
остается неизменным.
Задание движения абсолютно твердого тела:
Движение твердого тела мы будем считать заданным, если в любой момент
времени будет существовать способ в любой
момент времени определить положение
любой точки тела в заданной системе
координат. Для задания положения твердого
тела в любой момент времени достаточно
всего 6 параметров. Возьмем 3 точки
A1 , A2 , A3 , не лежащие на 1 прямой с
По
координатами:
xi , yi , zi ; (i = 1, 2,3) .
определению абсолютного твердого тела
d1 , d 2 , d3 ;
между
расстояния
Рис. 1.3
соответствующими парами точек остаются
неизменны. Исходя из этого, координаты точек должны удовлетворять
следующим уравнениям:
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) = d1
( x3 − x2 ) + ( y3 − y2 ) + ( z3 − z2 ) = d 2
( x1 − x3 ) + ( y1 − y3 ) + ( z1 − z3 ) = d3 ;
В соответствии с этими уравнениями из 9 координат 3-х точек линейно
независимыми остаются только 6. Для любой 4-й точки добавятся еще три
уравнения связи показывающие, что координаты новой точки линейно
зависимы от координат предыдущих 3-х точек.