Метод медленно меняющихся амплитуд. Координаты Ван

Метод медленно меняющихся
амплитуд. Координаты Вандер-Поля.
Принцип
x  x  0
 x  u cos   v sin  


x
  u sin    v cos 
Вращающаяся система координат
v
x
ux
Координаты Ван-дер-Поля.
u и v называются координатами
Ван-дер-Поля.
Описывают поведение системы в
прямоугольной системе координат.
Принцип
x  x  0
Добавим малую вынуждающую силу
x  x    f  x, x , 
Почти гармонические колебания
Метод медленно меняющихся амплитуд.
Метод появился в 1934 году
Авторы: Ван-дер-Поль, Мандельштам , Папалекси
Van der Pol
Balthasar
Мандельштам
Леонид Исаакович
Папалекси Николай
Дмитриевич
Принцип
x  x    f x, x 
Уравнение колебаний с малой вынуждающей силой
x  u   cos   v sin  
Где u и v медленно изменяющиеся за период
колебания величины.
Решение
x  u sin    v cos   u cos   v sin  
u cos   v sin    0
Доп. условие
x  u  sin    v  cos   u cos   v sin  
Сокращения
x  x    f x, x , 
x  u  sin    v  cos 
 u cos   v sin  
x  u   cos   v  sin  
Результат
 u sin   v cos     f u, v, **cos(
sin( )





u
cos


v
sin   0
cos

sin
u     f u, v, sin  


v
    f u, v,  cos 
Усреднение
u     f u, v, sin  

 v    f u, v,  cos 
Интегрируем уравнения (усредняем переменные) по
короткому промежутку времени для u и v, но длинному
для самих колебаний
2


  f u, v, sin  d
u  
2 0


2
 v    f u, v,  cos d


2 0
Укороченные уравнения
2


  f u , v, sin  d
u  
2 0


2
 v    f u , v,  cos d


2 0
 -не входит в уравнения в явном виде
Полезность
10
  10 ГГц  10 Гц
  10 Гц : 1 сек
Метод Рунге-Кутта: 100 итераций на период
10
12
10 Гц *100 итераций *1 сек  10
Пентиум 4 – 4 ГГц : 100 тактов на одну итерацию
метода Рунге-Кутта.
12
10
4
*100  2.5 10  7 часов
9
4 10
Гармонический осциллятор с
малым затуханием
1
x  x  x  0
Q
1
x  x   x
Q
1
f  x, x,    x
Q
x  u sin    v cos 
Гармонический осциллятор с
малым затуханием
1
2

Q
   u sin    v cos sin  d
 u 
2 0


1 2
v   Q   u sin    v cos  cos d


2 0
2
1
1
1
2

Q
  sin  d 
2

u



u
2

2
1
1
2
0

  cos  d 
2
2 0
2

1
Q
2
 v  
v
1

  sin   cos   d  0
2
2
0
Гармонический осциллятор с
малым затуханием
1

Q
u
u  
2

1
Q
 v  
v

2
u    u0 e
v   v0 e
Q
 
2
Q
 
2
v
u
ММА в полярных системе координат.
x  x  0
 x  A cos   


x
   A sin    
Вращающаяся система координат
v
A

u
Принцип
x  x    f x, x , 
 x  A cos   


x
   A sin    

x  A cos     A sin    
 A sin    
Первая производная

x  A cos     A sin    
 A sin    
Доп. условие
 0
A cos     A sin    
Вторая производная
x   A sin    
x   A sin     


 A 1   cos   
Сокращения
x  x    f x, x , 
x   A sin     


 A 1   cos   
x  A cos   
Смещение оси времени
 cos       f  A, , 
 A sin      A

 cos     A
 sin      0
A

1    
 cos     f  A, , 
 A sin  1   A
1

 cos   A
 sin    0
A
1
1

Решение
 cos     f  A, , **cos(
 A sin  1   A
sin( 1 )
1

 cos   A
cos11
 sin    0
** sin
A
1
1

 A     f  A, , sin  1 











f
A
,

,

cos

1

A
Укороченные уравнения
 A     f  A, , sin  1 











f
A
,

,

cos

1

A
2
 

  f  A, , sin  1 d 1
 A
2 0


2


 
  f  A, ,  cos 1 d 1

2A 0
Решение уравнение Ван дер Поля

2

x   1  x x  x  0
x  x    f x, x , 

2

x  x   1 x x
Решение уравнение Ван дер Поля
 x  A cos   




x


A
sin




f  A,     1  x x
2
f  A,   

2

  1  A cos    A sin    
2
Решение уравнение Ван дер Поля
2
1
2
1
8
  
2
2
  1  A cos  1  A sin  1 sin  1 d 1
 A
2 0


2

    1  A2 cos 2   A sin   cos d
1
1
1
1


2A 0




2
1
1
2
  sin  1 d 1 
2 0
2
2
1
1
2
2
  cos  1 sin  1 d 1 
2 0
8
Решение уравнение Ван дер Поля
3

A
A
A    

2
8


0

1

3

A   A A 
2
4 
Стац. решение

1

3

A   A A 
2
4 
1 3

 A A   0
4 

 A0

 A  2
Интегрирование

1

3

A   A A 
2
4 
dA

1 1
 d
U 2
1 3 2
A
4
A A
4
1
dU
1
dA  
A
3
2
2
1
1


U
U  
4
4

Интегрирование
1
 dU
2
3

1  
1

U   U  
4  
4



 d
2
2
1
2
1
1
 U  
4
4
1

U  
4

1
4
3
2





Интегрирование
1
 dU

2
 d

1 1 2
 U    
4 4

dU
 d
U
1 1
U 2
A 4
ln U
A
a
Интегрирование
A

dU
a U   0 d
 1 1
 1 1
 ln 2    ln 2    
4
 A 4
a
 1 1   1 1  
 2     2  e
4
 A 4 a
Интегрирование
1 1  1 1  
   2  e
2
A
4 a
4
2
A 
1
1  1 1  
  2  e
4 a
4
2,5
а
A  0

A  2
0,0
-2,5
0
2
4
6

8
10
Интегрирование
 1
  0.05
0.267
0.25
0.2
0.2
0.2
0.15
0.1
0.1
0.05
A1  i
A1  i
B1  i
B1  i
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3
0.05
0.1
0.1
0.15
0.2
0.2
 0.215
0.25
 2.024
 0.287
0.3
 2.76
A0  i  B0  i
2.976
A 0  i  B0  i
2.822
Интегрирование
  0.05
3
0.267
2.653
0.2
2
0.1
1
Ci  2
A1  i
B1  i
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Ei  2
0.1
1
0.2
2
 0.287
 2.843
0.3
 2.76
A0  i  B0  i
0
2.976
3
3
 2.741
2
1
0
Ci  1  Ei  1
1
2
3
2.976
Численное решение
 1
0.25
0.2
3
0.2
2.678
0.15
2
0.1
1
0.05
Ci  2
A1  i
B1  i
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Ei  2
0.05
0
1
0.1
2
0.15
 2.691
3
2.5
0.2
 2.013
 0.215
0.25
 2.024
A 0  i  B0  i
2.822
2
1.5
1
0.5
0
0.5
Ci  1 Ei 1
1
1.5
2
2.5
3
2.82
Релаксационные генераторы.
Предельный переход от
невырожденных
колебательных систем к
вырожденным.
Релаксационный генератор
Пакет
I
I1
C
S
U1
U2 U
I 0  CU  I U 
U1- напряжение гашения
1
U  I 0  I U  U2 – напряжение зажигания
C
I1- рабочий ток
 1 I 0 U  0 ( растет)
C

U 
  0 ( убывает)
1


I

I
U
 C 0 1
Релаксационный генератор
U2
U1
I0
 I 0  I1 
Генератор на туннельном диоде
I
L
N
U0
U 0  LI  U I 
1
I  U 0  U I 
L
U0
V
Уравнение Ван-дер-Поля
R-M/C*dI/dU
зеленый
-185
синий
-575
Релаксационный генератор
I
I1
I
I1
U1
U2 U
U
U1
I
U
C
C
S
S
Релаксационный генератор
C
CU   U 
1

U    U 
C
S
.
U
I
U
U
Релаксационный генератор
1

U (U )    U 
C
.
U
U
Определение
Автоколебательная система с
колебательным контуром в котором
отсутствует один из элементов
(индуктивность или конденсатор)
называется вырожденной.
На фазовой плоскости все фазовые
траектории вырождаются в одну.
Обоснование скачка
L 0
1
1

LI   Idt  Ф I   0
C
I  CU
L
C
I
S
I=Ф(U); U=Ф-1(I)
1


LCU  U  Ф CU   0
2
2 1


U  0 U  0 Ф CU   0
I
U
0 
1
LC
Релаксационный
генератор





0
Собственное время
2
2 1


U  0 U  0 Ф CU   0
1


U  U  Ф  CU  0


0
Метод Льенара

U  Ф 0 CU
1
 ФU   0 CU
ФU 

U 
0 C

Метод Льенара
U
ФU 

U 
0 C
U
Предельный цикл
Фокус
Q=50
y
x
Фокус
Q=1.5
y
x
Релаксационный генератор
U
ФU 

U 
0 C





0
  0 t
Возбуждение  
U
Затухание

Фазовая траектория
1

U    U 
C
Релаксационный генератор
U
1

U   U 
C
U
Итоги лекции:
Метод медленно меняющихся амплитуд используется для
исследования поведения амплитуды колебаний слабо нелинейных
систем.
Метод медленно меняющихся амплитуд позволяет ускорить поиск
решения дифференциальных уравнений движения колебательной
системы.
При увеличение коэффициента обратной связи и сильном
уменьшении добротности системы автоколебательные системы
генерируют релаксационные (негармонические) колебания.
Предельный случай таких систем – вырожденные системы – в них
в явном виде отсутствует колебательная система.
Самостоятельная работа:
Используя web приложение «Расчет фазового портрета автоколебательной
системы (уравнение Ван-дер-Поля) » и web приложение «Расчет фазового
портрета автоколебательной системы (уравнение Ван-дер-Поля) » построить
фазовые портреты точным решением уравнения Ван-дер-Поля и для его
приближения в методе медленно меняющихся амплитуд. Сравнить
полученные ФП для разных значений добротности системы, сделать вывод о
рамках применимости метода медленно меняющихся амплитуд .
Вывести укороченные уравнения для уравнения Ван-дер-Поля в
собственном времени методом медленно меняющихся амплитуд в
координатах Ван-дер-Поля (U и V).
Устойчивость колебательных
систем
Устойчивость
1.Устойчивость по Ляпунову
2.Абсолютная устойчивость.
3.Неустойчивость.
Абсолютная устойчивость
Абсолютная устойчивость – она же
асимптотическая устойчивость. Система
приближается к состоянию равновесия
асимптотически.
Т.е. в каждый последующий момент
времени система ближе к положению
равновесия.
ЛКС со слабым затуханием
y
x
Устойчивость по Ляпунову
x

  
Состояние равновесия
называют устойчивым по
Ляпунову, если для малой
области допустимых
отклонений , существует
область  
 
x
включающая состояние
равновесия, такая, что
всякое движение
начавшиеся в ней не выйдет
за пределы области .
ЛКС
.
x=y

  
x
Второй метод Ляпунова
анализа устойчивости.
Устойчивость стационарных
нелинейных систем.
Линейный случай
Система с N степенями свободы описывается n=2N
дифференциальными линейными уравнениями первого
порядка.
 dx1

a
x

a
x

...

a
x
11
1
12
2
1
n
n
 dt

 dx2  a x  a x  ...  a x

21 1
22 2
2n n
 dt
....................................

 dxn  a x  a x  ...  a x
n1 1
n2 2
nn n
 dt
Линейный случай
Состояние равновесия:
dx1 dx2
dxn

 ... 
0
dt
dt
dt
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  0
a x  a x  ...  a x  0
 21 1 22 2
2n n

..........
..........
..........
......

an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  0
Стационарное решение
 a11 a12

 a21 a22
 ...... ......

a
 n1 an 2
..... a1n 

..... a2 n 

0

..... .....


..... ann 
Тогда все xk =0
Линейный случай
Решение ищем в виде
xk  U k e
t
dxk
 ak1 x1  ...  akk xk  ...  akn xn
dt
t
t
t
U k e  ak1U1e  ...  akkU k e  ...  aknU n e
ak1U1  ...  akk   U k ..  aknU n  0
t
Линейный случай
Т.е. получаем систему однородных линейных
уравнений.
a11   U1  a12U 2  ...  a1nU n  0
a U  a   U  ...  a U  0
 21 1
22
2
2n n

..........
..........
..........
......

an1U1  an 2U 2  ...  ann   U n  0
Характеристическое уравнение
Ненулевое решение существует если определитель
равен нулю
 a11  

 a21
 ......

 an1

a12
.....
a1n


a22   .....
a2 n 
0

...... .....
.....

an 2
..... ann   
Характеристическое уравнение
n
n 1
  C1  ...  Cn  0
1 , 2 ,...n l  U lm
1t
xk  U k1e  U k 2 e
2 t
 ...  U kn e
n постоянных Ulm независимы и определяются
начальными условиями.
Остальные определяются из решения системы
уравнений
n t
Теорема об устойчивости
k   k  jk
 mt
xk   U km e e
j m t
m
Если все корни характеристического уравнения имеют
отрицательные вещественные части m, то
соответствующие состояние равновесия
асимптотически устойчиво.
Теорема об устойчивости
1,8
t
1,6
U11e
1,4
t
U12e
1,2
1,0
t
U13e
x1
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
0
200
400
600
t
800
1000
Теорема об неустойчивости по первому
приближению
k   k  jk
 mt
xk   U km e e
j m t
m
Если среди корней характеристического уравнения
системы встречается хотя бы один корень с
положительной вещественной частью, то состояние
равновесия линейной системы неустойчиво.
Теорема об устойчивости
t
4
U11e
3
t
U12e
2
1
0
-1
-2
t
U13e
x1
-3
-4
0
200
400
600
t
800
1000
Теорема об особенных случаях
k   k  jk
 mt
xk   U km e e
j m t
m
Если среди корней характеристического уравнения
встречается хотя бы один корень с нулевой
вещественной частью, то система устойчива по
Ляпунову.
Теорема об устойчивости
t
U11e
t
U12e
1
t
U13e
x1
0
-1
0
200
400
600
t
800
1000
Нелинейная система
Система с N степенями свободы описывается n=2N
дифференциальными нелинейными уравнениями.
 dx1



F
x
,
x
,....,
x
1
1
2
n
 dt

 dx2  F  x , x ,...., x 

2 1
2
n
 dt
....................................

 dxn  F  x , x ,...., x 
n 1
2
n
 dt
Стационарное решение
dx1 dx2
dxn

 ... 
0
dt
dt
dt
 F1 x1 , x2 ,...., xn   0
 F x , x ,...., x   0
 2 1 2
n

..............................
 Fn  x1 , x2 ,...., xn   0
0
0
x1 , x2 ,...., xn
0 Решений может
быть не одноx 0 (1) , x
1
0( 2)
x1
0 (1)
2
, x2
,...., xn
0 ( 2)
0 (1)
,...., xn
0( 2)
Приближение линейности
0
0
x1 , x2 ,...., xn
0
1
 x1  x  1

0
 x 2  x2   2

...................
x  x 0  
n
n
 n
0
Разложение в ряд …
Fk
Fk  x1 , x2 ,...., xn  
x1
Fk

x1
1  0
1  ..
dxk d k

dt
dt
x1  x10
x  x  ... 
1
0
1
Приближение линейности
F1
F1
 d1 F1
 dt  x 1  x  2  ...  x  n
1
2
n

F2
F2
 d 2 F2

1 
 2  ... 
n

x1
x2
xn
 dt
....................................

Fn
Fn
 d n Fn
 dt  x 1  x  2  ...  x  n
1
2
n

al ,m
Fl

xm
Дальше решаем также, как и в случае
линейных систем.
Теорема об устойчивости по первому
приближению
Если все корни характеристического
уравнения системы первого
приближения имеют отрицательные
вещественные части то
соответствующие состояние
равновесия асимптотически
устойчиво.
Теорема об неустойчивости по первому
приближению
Если среди корней характеристического
уравнения системы первого приближения
встречается хотя бы один корень с
положительной вещественной частью, то
состояние равновесия нелинейной системы
неустойчиво.
Теорема об особенных случаях
Если среди корней характеристического
уравнения системы первого приближения
встречается хотя бы один корень с
нулевой вещественной частью, то
невозможно сделать вывод об
устойчивости или неустойчивости
нелинейной системы.
Решение уравнение Ван-дер-Поля

2

x   1  x x  x  0
Укороченные уравнения
3

A
A
A    

2
8
 0


1
1
1
33

A  A  AA  F  A
2
88
Стационарные решения

1

3

A   A A 
2
4 
1 3

 A A   0
4 

 A0

 A  2

 A0

Матрица
A1  0; A2,3  1
A  1 A  1 A3  F  A
2
8
A  A0  
1 3
1
 A  A 
F  A0   
2
8


a11 

A
A
A A
0
3 2
1
a11     A0 
8
2

A A
0
Характеристическое уравнение
a11   ...

0
 ...

...

a11    0
1  a11
3 2
1
1  a11     A0 
8
2

A0  0
1
   0
2
A0  2
    0
A0  0,2
1
  K exp(  t )  C
2
Неустойчивое решение
  K exp( t )  C
Устойчивое решение
Параметрический резонанс.
Определение областей
параметрического резонанса
по Мейснеру.
Качели
Качели
l
l
D А
C
B
g
l
0 
1
2
T  mV  W0
2
П  mgl 1 cos 
l
D А
C
Энергия
AB : V  0  WAB   mgl
B
CD : V max  WCD
1
2 2l
 mgl  mV
2
l
Приорост энергии за период
AB : V  0  WAB   mgl
CD : V max  WCD
1
2 2 l
 mgl  mV
2
l
1
2 2l
W  mgl  mgl  mV
2
l
l
D А
C
B
2
 2l 
 2 l 
W1  W0 1 

 Wn  W0 1 
l 
l 


2n
Частота
D
А

0
0

l
D А
C
B

B
0
C
2
4
6
8
10
t
параметрического возд  2колебаний
Итоги лекции:
Систему нелинейных уравнений можно линеаризовать
вблизи положения равновесия (стационарное решение).
Устойчивым решение окажется только если все корни
характеристического уравнения имеют отрицательные
вещественные части.
Самостоятельная работа:
Используя web приложение «Переход от невырожденных систем к
вырожденным» построить фазовые портреты. Уменьшая значение емкости в
системе пронаблюдать трансформацию предельного цикла и отрезков
спиралей. ( прим. наблюдать скачки не удастся, так как метод Рунге-Кутта не
работает для вырожденных систем).