А.В. КуКушКин, канд. техн. наук, доцент Нижегородский Государственный технический университет

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
А.В. Кукушкин, канд. техн. наук, доцент
Нижегородский Государственный технический университет
Нижний Новгород, Российская Федерация, E-mail: avkuku @gmail.com
Метод конформных отображений
и вращательно-симметричные координаты
(Краевые задачи электростатики)
Изложены основы инвариантного метода конструирования криволинейных ортогональных систем координат в
3D-пространстве с использованием теории функций комплексной переменной и метода конформных отображений
с плоскости на плоскость с последующим вращением полученной комплексной плоскости вокруг ее действительной
и мнимой оси. Метод формулируется и является общим для
случая, когда координатные поверхности являются осесимметричными. Показано, что список успешно решаемых задач
аналитической геометрии по математическому описанию
трехмерных фигур с симметрией вращения может быть существенно расширен за счет применения метода вращения
комплексных мембран с включением n-листных координатных функций комплексной переменной. Проведена проверка метода при решении краевых задач электростатики с
экстремально жесткими граничными условиями – Неймана
и Дирихле – на телах с симметрией вращения. Показано, что
применение теории функций комплексной переменной в таких задачах ограничено телами, образованными вращением
относительно своих осей симметрии любой плоской фигуры
в форме конического сечения. Получена унифицированная
формула для описания электростатических полей, возникающих вокруг заряженных идеально проводящих тел в форме
вытянутого и сплюснутого эллипсоидов вращения, сферы,
двуполостного гиперболоида вращения и параболоида.
Ключевые слова: координатная функция, n-листная координатная функция, вращение комплексной мембраны, краевые задачи электростатики, инвариантная формула для
электрического поля, сфера, вытянутый эллипсоид вращения, сплюснутый эллипсоид вращения, двуполостный гиперболоид вращения, параболоид вращения.
A.V. Kukushkin, Cand. of Techn. Sciences, Associate Proffesor
Nizhni Novgorod State Technical University
Nizhni Novgorod, Russian Federation, E-mail: avkuku @gmail.com
Conformal Mapping Method
and Rotationally-symmetric Сoordinates
(Boundary Problems of Electrostatics)
The basics are discussed of the invariant method of the curvilinear orthogonal coordinate systems constructing in 3D space
by making use of the complex variable theory and conformal
plane-to-plane mapping followed by revolving the resulting
complex plane about its real and imaginary axes. The method
is formulated as and general for the case of the coordinate surfaces being axisymmetric. It is shown that the list of successfully soluble problems of analytical geometry with the task of
finding the mathematical description of three-dimensional solids with symmetry of rotation can be significantly widened by
means of revolving complex membranes containing n-sheeted
coordinate functions of complex variable. The method is being
tested with electrostatics boundary problems with extremely
strict boundary conditions – the Neumann and Dirichlet prob-
1. Введение
В статье [1], кроме общих вопросов построения
полного пакета частных решений максвелловских
уравнений для поперечных плоских волн рассматривались также вопросы конструирования обобщенных
систем координат цилиндрического типа при помощи
конформных отображений (КО) в теории функций
комплексной переменной (ТФКП). Относительно
того, что было известно здесь ранее [2…14], новым в
статье [1] было то, что в ней доказана плодотворность
lems – for solids with rotation symmetry. It is demonstrated
that making use of the complex variable theory for solving
such problems is restricted to the bodies created by rotating
a conic section figure about its symmetry axis. The unified formula is suggested for electrostatic fields generating around the
charged perfectly conducting oblong and oblate ellipsoids of
revolution, sphere, hyperboloid of revolution of two nappes,
and paraboloid.
Keywords: coordinate function, n-sheeted coordinate function,
complex membrane rotation, boundary problems of electrostatics, invariant electric field formula, sphere, oblong ellipsoid
of revolution, oblate ellipsoid of revolution, hyperboloid of revolution of two nappes, paraboloid of revolution.
идеи применения 2-листных (n-листных) аналитических функций при конструировании вырожденных
криволинейных систем координат на вещественной
плоскости. Конструктивность этой идеи для физики
сводится, в частности, к существенному расширению перечня плоскопараллельных краевых задачах
электродинамики, электро- и магнитостатики за счет
включения сюда задач с электромагнитными полями,
имеющими особые точки и особые силовые линии. С
динамической точки зрения эти особые точки представляют собой точки неустойчивого равновесия для
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
39
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
пробного заряда, а особые силовые линии поля – неустойчивые стационарные траектории, в ближайшей
окрестности которых динамика пробного заряда будет псевдостохастической. Использование n-листных
координатных функций в такого рода задачах неслучайно, оно обусловлено тем, что локализация точек
ветвления этих функций на комплексной плоскости
совпадает с локализацией точек неустойчивого равновесия для пробного заряда.
Физическая тематика статьи [1] была гораздо шире
указанного аспекта, но во всех областях физических
приложений, которые там рассматривались, использовался математический аппарат классической ТФКП.
Этот фактор в [1] доминировал, т.к. формулируемая на
плоскости классическая ТФКП обладает мощным
унифицирующим потенциалом. Это качество ТФКП
широко используется в физике, например, при решении 2D-задач гидродинамики [8] и дискретной динамики [9], а также плоскопараллельных 3D-задач электродинамики [1…3]. Во всех этих случаях ТФКП
играет ведущую унифицирующую роль [1…3, 9]. В
частности, эта роль хорошо проявляется в генерации
обобщенных систем координат цилиндрического типа,
что для теории, формулируемой на плоскости, очень
естественно. Обобщенные цилиндрические координаты образуются посредством плоско-параллельной
трансляции в 3D-пространстве комплексной мембраны (КМ). Под КМ подразумевается полная комплексная плоскость произвольной аналитической координатной функции (КФ) w комплексной переменной
θ = u1 + iu2 (либо θ = u2 + iu1 ). В том случае, когда КФ
является n-листной аналитической функцией, КМ
представляет собой также полную плоскость w, но
склеенную по методике, описанной в [8], из n отдельных областей Gk . На каждой из них определена своя
однозначная ветвь1 n-листной КФ. [1] Таким образом,
рисунок координатных линий u1, 2 = const на поперечной координатной плоскости обобщенной цилиндрической системы определяется функцией w. Эта функция может быть произвольной аналитической
функцией комплексной переменной. Это и является
причиной глубокой унификации, которую вносит
ТФКП в теорию конструирования криволинейных систем координат на вещественной плоскости.
Встает вопрос об использовании отмеченных преимуществ ТФКП в решении похожих задач конструирования обобщенных вращательно-симметричных орАвтор книги [8] в этих вопросах намеренно избегает употребления термина риманова поверхность. Он безусловно прав,
т.к. все вместе будут покрывать всю КМ полностью, не выходя
за пределы плоскости. В этой статье, которая посвящена развитию идей, изложенных в нашей предыдущей работе [1], мы
присоединимся к этой правильной точке зрения и терминологии, а также исправим допущенную в [1] ошибку в интерпретации характера координатных преобразований, проведенных
с помощью 2-листной КФ.
1 40
тогональных координат: u1, u2 , φ, где ϕ ∈ [ 0, 2π] – угол
вращения КМ. Простейший пример такой системы –
сферическая система координат. Другие известные
примеры относятся к координатам вытянутого и
сплюснутого эллипсоидов вращения, параболоида
вращения, а также к координатам тороидальной и
бисферической систем. Для каждого указанного примера имеется своя определенная на плоскости КФ
[1..3] w. Но все это – частные примеры, в то время как
требуется сформулировать инвариантную методику.
Эта задача решалась, например, в книге Маделунга
[6]. По многим причинам решение задачи в [6] нельзя
считать законченным и удовлетворительным.
В математической части настоящей работы мы
укажем на эти причины и по ходу изложения теории в
той последовательности, которой следовал Маделунг
[6], внесем необходимые исправления и уточнения.
Потребность в них обусловлена следующим.
Во-первых, сам метод КО с плоскости на плоскость допускает вариативность его проведения, если
в отображающей функции сочетаются свойства четности и периодичности. Оказывается, что этот фактор для практики очень важен, но на него до сих пор
не обращали внимания. Этот пробел желательно исправить сразу, еще до перехода к вращению КМ. Вовторых, изложение собственно теории вращения КМ
в [6] начинается словесной декларацией оснований,
вытекающих, казалось бы, из естественных требований симметрии. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что эти требования не являются
основополагающими, хотя и очень важны. Сложившуюся ситуацию также желательно исправить.
Кроме этого, общий дискурс будет расширен за
счет включения в него вопросов, связанных с использованием в качестве КФ n-листных функций. Решение вопросов такого рода требует систематического
подхода и изложения как минимум в отдельной специальной работе. Пока же выполнение этой задачи
носит характер первой пробы, не исключающей возникновения на первом этапе каких-то неточностей.
Самая первая проба с 2-листной функцией была сделана в [1]. Ошибка, которая была там допущена и которую мы исправим в этой статье, касается только
вопросов словесной интерпретации правильно выполненных математических преобразований. Однако
это очень важно – дать адекватную словесную формулировку для решаемой математической задачи в
самом начале. В статье будет предложено использовать для этого подход, который был сформулирован
А.И. Маркушевичем в 1-ом томе книги [8] при решении аналогичных задач. Итак, сами математические
формулы в [1] не содержали ошибок и на примере
2-листной КФ они доказали, что использование многозначных функций в координатных преобразованиях открывает доступ и, причем, очень простой к по-
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
становке и решению физических задач с наличием
неустойчивых стационарных характеристик. Отметим, что до этого такого рода задачи просто не поддавались сколь-нибудь внятной математической формулировке. Вообще говоря, отображения с
применением 2-листных (n-листных) функций, как
уже говорилось, рассматривались, и раньше, например, Маркушевичем в [8] для иллюстрации применимости метода в 2D-задачах гидродинамики, но не более того, т.е. в достаточно ограниченном контексте. А
именно, используемым в КО n-листным функциям
ставился в соответствие комплексный потенциал скоростей жидкости и, что очень важно для нас, – не на
всей плоскости, а в пределах какой-то одной области
однолистности, Gk , многозначной аналитической
функции. Корректность этой процедуры обеспечивалась постановкой соответствующих граничных условий для поля скоростей жидкости на границах области Gk . И вообще, по крайней мере, судя по
содержанию книг и справочников [2…8, 10…14],
n-листные функции никогда не рассматривали как координатные функции, когда КО с помощью многозначной функции w должно быть выполнено так, чтобы условие непрерывности выполнялось всюду – на
всей расширенной комплексной плоскости w за исключением ряда выделенных особых точек. Однако,
как показано в [1], существуют физически обусловленные ситуации, когда использование n-листных
функций именно с целью получения новой криволинейной системы координат с особыми свойствами и,
естественно, на всей плоскости становится насущной
необходимостью, и потребность в этом, безусловно,
существует. Она может возникнуть и в условиях использования вращательно-симметричных координат
в разнообразных физических приложениях. Например, новым направлением является формулирование
инвариантных методов интегрирования максвелловских уравнений [1]. Оказалось, что аппарат классической ТФКП очень хорошо соответствует некоторым
свойствам симметрии однородных уравнений Максвелла, что уже выходит далеко за рамки собственно
теории конструирования обобщенных цилиндрических систем координат. Вместе с тем, для найденного
в [1] метода интегрирования максвелловских уравнений переход теории конструирования координат под
юрисдикцию все той же ТФКП играл очень важную
роль. Обобщение метода [1], которое могло бы состояться, если бы он доказал свою эффективность в
обобщенных вращательно-симметричных координатах, нуждается, таким образом, в первую очередь в
наличии инвариантной теории конструирования таких координат. Этот краткий обзор можно резюмировать так. Теория вращательно-симметричных координат в 3D-прост­ранстве по своей востребованности
в физике и математике – вещь слишком важная, что-
бы имеющиеся в ней пробелы продолжали попрежнему оставаться незаполненными. Таким образом, цель работы состоит, в частности, в том, чтобы
заполнить эти пробелы.
Как уже говорилось, ограничение осесимметричными системами координат в 3D-пространстве связано с тем, что классическая ТФКП формулируется
на плоскости. В какой-то мере, метод, основанный на
вращении КМ, в результате чего образуются вращательно-симметричные криволинейные координаты
в объеме, компенсирует этот недостаток классической ТФКП, который связан с невозможностью распространения операций комплексной арифметики на
объем2.
В физической части статьи будут рассмотрены
для начала примеры решения краевых осесимметричных 3D-задач электростатики, в которых отчетливо проявятся унифицирующие свойства метода
на основе ТФКП, как это было доказано ранее в [1]
применительно к плоскопараллельным 3D-задачам
электродинамики.
2. Вращение комплексной мембраны
Согласно [1..3, 6], КМ создается следующим
образом.
Каркасным элементом метода является правовинтовая декартова система координат с осями X 1, 2,3 и
ортами, x1, 2,3 , которые параллельны своим осям и
вдобавок связаны между собой операцией векторного перемножения для правовинтовой системы:
x1 ∧ x2 = x3 , где действует обычное правило циклической перестановки.
Одна из трех декартовых координатных плоскостей (любая) с осями X k , X j сразу же комплексифицируется по формуле [1]:
X = X k + iX j = w ( θ ) = aθ,
(1)
где θ = u1 + iu23, a – константа с размерностью длины. Это делается для того, чтобы от двух вещественных координат, X k и Xj, перейти к одной комплексной безразмерной переменной θ. Для упрощения
поделим обе части уравнения (1) на a и получим
соотношение
x = xk + ix j = w ( θ ) = θ,
(2)
в левую часть которого входят безразмерные декартовы координаты xk , j = X k , j a , которые и будут фигурировать везде ниже. В правой части (2) артикуСуществуют попытки построения алгебры пространственных комплексных чисел [15], которые в этой статье мы обсуждать не будем.
3 В дальнейшем будет показано, что в целях приведения обозначений к форме, которая лучше соответствует общеупотребительным обозначениям для правых систем координат, комплексную переменную θ нужно переопределить формулой
θ = u2 + iu1. Это не вызовет, однако, больших неудобств.
2 ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
41
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
лирована линейная КФ w комплексной переменной
θ . Эта функция генерирует декартову КМ. Ее преимущество над обычной вещественной мембраной
(декартовой координатной плоскостью) – чисто аналитическое, так как на плоскости вводится одна независимая комплексная переменная θ вместо двух
вещественных, xk , j . Это является главной предпосылкой для унификации, которая начинает сказываться сразу же, как только в правую часть (2) подставляется произвольная аналитическая КФ w
комплексной переменной θ :
x = xk + ix j = w ( θ ) ,
(3)
либо комплексно сопряженная с ней функция, а
именно,
x = xk + ix j = w ( θ ) , x = xk − ix j = w ( θ ) ,
(4)
где чертой над символом здесь, как и везде ниже по
тексту, будет обозначаться операция комплексного
сопряжения. Отметим, что в [1…3, 6] применялся
только один способ (3), что ограничивает свободу выбора в преобразованиях.
Связь КМ с вещественной координатной плоскостью осуществляется через системы уравнений, связывающих декартовы координаты на вещественной
мембране с новыми криволинейными координатами
u1, 2 . Эта связь может быть реализована в соответствии с (3) и (4) двумя способами по произвольному
выбору:
 xk  Re 
(5)
  =   [ w | w ] ,
 x j   Im 
где символ | здесь, как и везде далее по тексту, означает операцию свободного выбора (или-или) между
двумя возможными позициями: w или w . Выбору одной из этих двух возможностей соответствует выбор
направления отсчета для одной из двух переменных,
u1, 2 , на плоскости КМ, – как правило, для циклической переменной.
Взаимно обратные преобразования координат на
КМ, как это следует из (3) и (4), есть преобразования
вида,
θ = w−1 [ x | x ],
(6)
где функция w−1 есть функция, обратная4 по отношению к КФ w. Тогда криволинейные координаты на вещественной мембране будут связаны с декартовыми
системой уравнений:
Ясно, что задача обращения функции w не имеет общего решения. Конечно, хорошо, когда у этой задачи есть решение,
но в тех случаях, когда это не так, никакой катастрофы не наступает, потому что информация, которая уже была заложена
в произвольно заданной и необращенной КФ w в обращенной
КФ просто кодируется в обратном порядке. Для решения основных задач теории достаточно прямой кодировки.
4 42
 u1  Re 
  =   w−1 [ x | x ].
u2   Im 
(7)
Здесь выбор одного варианта из двух уже не является свободным, а соответствует выбору, сделанному
в (5).
Далее, как и в [1], существенно то, что поскольку
функции в правых частях уравнений системы (5) подчиняются условиям Коши-Римана,
∂xk ∂x j
,
=
∂u1 ∂u2
∂x j
∂x
= − k ,
∂u1
∂u2
(8)
то коэффициенты Ламе на мембране будут по опреде2
2
лению, gii = ( ∂xk ∂ui ) + ( ∂x j ∂ui ) , тождественно
равны друг другу [1]:
g11 = g 22 = g ⊥ ( u1 , u2 ) = w′w′ ,
(9)
где w′ ( θ ) = dw d θ .
Теперь, в отличие от [1..3], криволинейную систему координат в объеме мы будем строить посредством вращения мембраны (точнее – полумембраны)
на угол ϕ [6]. Предварительной комплексификации
подвергнем декартову плоскость с осями x3,1 . Другими словами, везде выше нужно принять k = 3, j = 1;
тогда формулы (3) и (4) принимают соответственно
вид:
x3 ± ix1 = w ( θ ) .
(10)
2.1. Вращение мембраны
вокруг вещественной оси
В (10) принято, что вещественной осью на КМ,
начальное положение которой в объеме фиксируется
условием x2 = 0 , является ось x3 . На мембране это,
как принято в комплексной арифметике, – горизонтальная ось. Поэтому декартова ось x3 будет занимать в объеме положение горизонтальной, а не вертикальной оси z правовинтовой декартовой системы
координат. Отсчет угла вращения ϕ вокруг этой оси
начинаем с плоскости мембраны, ϕ = 0 . Таким образом, формулы (5),
 x3  Re 
  =  [ w | w ] ,
 x1   Im 
справедливы только для ϕ = 0 . Для произвольного ϕ
из интервала ϕ ∈ [ 0, 2π] будут иметь место следующие формулы для прямого преобразования
координат:
 x1 
cos ϕ

  = Im [ w | w] 
 x2 
 sin ϕ  . 
x3 = Re [ w | w]

(11)
ρ = x12 + x22 = Im [ w | w] , (12)
Если, как это делается в [6], ввести радиус-вектор
на плоскости мембраны с длиной ρ, где
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
то при любом положении в объеме вращающейся
мембраны на ней самой будет справедлива вытекающая из (11) система двух уравнений,
 x3  Re 
  =   [ w | w] ,
 ρ   Im 
(13)
откуда получаем комплексное уравнение,
x3 ± iρ = w ( θ ) ,
(14)
которое от (10) отличается тем, что справедливо для
произвольного ϕ . Отметим, что формула вида (14) за
вычетом операции комплексного сопряжения, конечно, имеется в [6]. Из (14) легко выводится важная
формула для квадрата длины радиус-вектора точки в
объеме,
r 2 = ww ,
(15)
где r = ρ2 + x32 .
Коэффициенты Ламе для новой вращательно-симметричной системы координат определяются форму3
лой: gii = ∑ ( ∂x j ∂ui ) . Следует подчеркнуть, что
2
j =1
функция gii представляет собой скаляр, образованный в результате внутреннего перемножения с самим
собой соответствующего контравариантного базисного вектора новой системы координат. Обычно в
этом случае скаляр снабжается поднятыми индексами, gii → g ii , но здесь это делать необязательно. Важным является следующее. Чтобы вычислить вектора
контравариантного базиса, достаточно знать необращенную функцию w. Орты новой системы образуются простой нормировкой векторов этого базиса. Таким образом, вычисление векторов ковариантного
базиса (градиент от скалярных функций ui , вычисленный в исходной декартовой системе), которые в
ортогональных системах совпадают по направления
с одноименными векторами контравариантного базиса, необязательно. Это очень важно, потому что для
вычисления градиента нужно знать обращенную КФ
w−1, по которой определяется аналитический вид
функций ui. А эта задача, как уже говорилось, не имеет общего решения. Несмотря на это, важно помнить,
что для ортов системы координатные поверхности
являются поверхностями уровня, хотя реально орты
определяются вычислением векторов контравариантного базиса.
Итак, с учетом (11) для коэффициентов Ламе получаем следующие выражения:
g11 = g 22 = g ⊥ ( u1 , u2 ) = w′w′ ,
(16)
g33 (u1 , u2 ) = Im [ w | w] = ρ .
(17)
Как и должно быть, формулы (16) совпадают с
формулами (9).
Обратные преобразования координат, очевидно,
сводятся к следующим простым формулам:
 u1  Re 
  =   [ w−1 ( x3 ± iρ) ]
,
u2   Im 
 u ≡ ϕ = arctg ( x x )
2
1
 3
(18)
которые выводятся (или просто могут быть выведены) посредством обращения уравнений (11), (14) с
использованием простых промежуточных преобразований и формулы (12).
2.2. Вращение мембраны вокруг мнимой оси
Все формулы для преобразований вещественных
величин в этом случае получаются из соответствующих вышеприведенных формул, если в последних
везде, но только в вещественных уравнениях, выполнить следующие подстановки: x3,1 → x1,3 , Re → Im ,
Im → Re .
Таким образом, для прямых преобразований координат имеем:
 x3 
cos ϕ

  = Re [ w | w] 
 x2 
 sin ϕ  ,

x1 = Im [ w | w]

(19)
ρ = x32 + x22 = Re [ w | w] = Re [ w] , (20)
 ρ  Re 
(21)
  =   [ w | w] ,  x1   Im 
откуда уже выводится комплексное уравнение, аналогичное (14):
ρ ± ix1 = w ( θ ) ,
(22)
Соответственно для обратных преобразований
имеем формулы:
 u1  Re 
  =   [ w−1 (ρ ± ix1 )]
.
u2   Im 
 u ≡ ϕ = arctg ( x x )
3
2
 3
(23)
Формулы (15) и (16) для r и g ⊥ сохраняются, но r
определяется как r = ρ2 + x12 . Формула (17) для g33
преобразуется к виду,
g33 (u1 , u2 ) = Re [ w | w] = Re [ w] = ρ .
(24)
Как уже говорилось, взаимно-ортогональные поля
единичных ортов, e1, 2,3 , можно рассматривать как отнормированные поля градиента от скалярной функции ui ( x1 , x2 , x3 ) , несмотря на то, что реальные вычисления этих полей связаны с вычислением векторов
контравариантного базиса. Тем не менее, если бы
градиент вычислялся, то – в исходной правовинтовой
декартовой системе. Поэтому в любой точке про-
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
43
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
странства будет иметь место формула для правовинтовой системы координат,
e1 ∧ e2 = e3 . (25)
Причем, орты e1, 2 представляют собой векторы,
нормальные к координатным поверхностям, получающимся в результате вращения своих образующих
u1, 2 = const , которые определены на полумембране
еще до вращения. Важно помнить, что направление
единичных нормалей e1, 2 совпадает с направлением
роста параметра u1, 2 = const , закрепленного первоначально за соответствующей образующей на полуплоскости и передаваемого затем с полуплоскости на соответствующую координатную поверхность (в новых
координатах, при соблюдении определенных условий, она должна описываться параметрически:
u1,2 = const , ϕ ∈ [ 0, 2π]). Таким образом, параметрически заданная, u1,2 = const , координатная поверхность
по отношению к своему орту e1, 2 (единичная нормаль
к этой поверхности) является поверхностью уровня.
Кроме того, направление вращения по ϕ находится в
прямой зависимости от выбора конкретной позиции
в формулах (11) и (19), w или w , так как этот выбор
точно определяет на мембране то направление, следуя которому будет наблюдаться, например, рост параметра u2 при фиксированном u1 по мере перехода
с одной координатной линии u2 = const на другую
(соседнюю). Таким образом, формула (25) для правовинтовой системы координат будет всегда выполняться автоматически независимо от выбора указанной позиции в (11) и (19).
2.3 Введение общей типологии
для координатных функций
В принципе, все изложенное выше уже имеет
инвариантную форму представления (w может быть
произвольной, в том числе и n-листной аналитической функцией) и это не является чем-то новым. Тем
не менее, потребность в дальнейшем уточнении основных позиций теории имеется. Эта потребность
вызвана следующими обстоятельствами.
Первый момент связан с тем, что основания метода, сформулированные в книге Маделунга [6] в словесной расплывчатой форме, содержат логическое
противоречие. А именно, к функции w в [6] сначала
предъявляются требования (j) зеркальной симметрии
по отношению к оси вращения, а об аргументе КФ
затем говорится, что (jj) «… u1 и u2 изменяются в
полуплоскости». Требование (jj) имеет четкое логическое обоснование, так как вращению подвергается
именно одна активная полуплоскость, а не вся плоскость. Наоборот, требование (j) не удовлетворяет законам формальной логики строго и должно быть изъято из оснований метода в обязательном порядке,
потому что в принципе никакие особенности
44
поведения КФ на пассивной полуплоскости не могут
иметь статуса высшего закона с правом вето. Тем не
менее, требование (j), безусловно, будет играть важную роль, но на более низком иерархическом уровне.
Актуальность пункта (j) объясняется тем, что свойства зеркальной симметрии КФ, которые отчетливо
проявляются только на всей плоскости, имеют естественное свойство отражаться на форме координатных линий u1, 2 = C1, 2 (C1, 2 = const ), если их нарисовать только на одной активной полуплоскости.
Поскольку эти линии являются образующими для
взаимно ортогональных координатных поверхностей
вращения создаваемой системы координат, то просто-напросто некоторые качественные характеристики геометрической формы этих поверхностей будут
находиться в прямой зависимости от выполнения условия (j) и не более того. Если оно удовлетворяется,
то у поверхностей не будет особенностей в виде
острых вершин или воронок, если – нет, то образование этих особенностей на оси вращения неизбежно.
В этом все дело, а вовсе не в том, что метод вращения
КМ в этом случае лишается оснований.
Второй важный момент связан с особенностями
реализации требования (jj).
Казалось бы, после решения первой задачи (e)
проведения КО с плоскости θ на полную плоскость
w ( θ ) решить следующую по очереди задачу – (ee)
установить область определения для переменных u1
и u2 на активной полуплоскости w для конкретно заданной КФ w – уже не представляет большого труда.
Это было бы так, если бы решение задачи (e) было
единственным для всех видов КФ, что неверно.
Чтобы разделить всю совокупность всевозможных КФ по определенным большим подгруппам и тем
облегчить задачу типизации свойств КО, ниже будет
предпринята попытка ввести определенную типологию для КФ, что отчасти было выполнено уже в [1].
Там было введено разграничение между функциями
первого и второго рода. И хотя этого еще недостаточно (см. ниже), но независимо от того, к какого рода
функциям относится данная КФ, если она сочетает
в себе определенные свойства четности и периодичности, то решение задачи (e) может быть выполнено
двумя различными способами! Причем, оба способа
в равной степени будут востребованы на практике! К
сожалению, насколько нам известно, эта маленькая
деталь ускользнула от внимания исследователей. Как
бы то ни было, но и эту «мелочь» нужно учесть при
формулировании основ метода вращения комплексных полумембран. Итак, начнем с самого начала и
рассмотрение будем вести по принципу «от частного
и простого к общему и более сложному».
Существенной особенностью метода является то,
что в нем третья криволинейная координата u3 (u1 и
u2 уже определены на плоскости, так как входят в
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
состав аргумента КФ w) обладает геометрическим
смыслом угла вращения ϕ в евклидовом
3D-пространстве. Отсюда следует, что область определения для этой координаты всегда одна и та же:
ϕ ∈ [ 0, 2π] . Именно отсюда в свою очередь следует,
что вращению подвергается не вся плоскость, а только ее половинка – полумембрана. Форма образующих – криволинейных координатных линий u1, 2 = C1, 2
на плоскости (и, следовательно, на полумембране) – находится в прямой зависимости от аналитических свойств функций w, всю совокупность которых
в целях систематизации можно разбить на отдельные
большие подгруппы. Это поможет решить общие вопросы типологии реализации требования (jj).
На рис.1 изображены координатные линии
u1, 2 = C1, 2 на соответствующих полумембранах для
трех простейших КФ,
w = exp ( −iθ ) ,
(26)
w = θ2,
(27)
w = sin θ,
(28)
где θ переопределяется формулой:
θ = u2 + iu1.
(29)
Прежде чем пойти дальше, объясним, для чего
вводится определение (29) для θ вместо того, которое использовалось ранее в [1] и вслед за этим везде
выше.
Напомним, что в [1] θ была определена формулой
θ = u1 + iu2 . Координатной функцией для обычной
полярной системы на плоскости в [1] была при этом
функция (26). Ясно, что в этом случае циклической
будет переменная u1 , а при определении (29) роль циклической переменной переходит к u2 . Переопределение θ формулой (29) выполнено здесь для того,
чтобы привести наши обозначения переменных к
общеупотребительным для правовинтовых систем
координат с симметрией вращения (в частности, для
сферической системы).
В самом деле, для ортов правовинтовой системы
координат рассматриваемого типа имеем (по определению) формулу (25). В случае правовинтовой сферической системы формула (25) по традиции должна
перейти в формулу: er ∧ eϑ = eϕ . Следовательно, для
сферической угловой координаты ϑ среди двух переменных ui должен найтись циклический прототип,
который к тому же должен нумероваться индексом 2.
При вращении комплексной полумембраны с КФ (26)
переменная с номером 2, u2 , будет циклической
именно в том случае, если для комплексной переменной θ принять определение (29). Тогда можно положить: u2 = ϑ.
В том случае, когда ни одна из переменных u1, 2 не
является циклической (КФ (27)), переопределение θ
в (29) не будет играть никакой роли. Поэтому для θ
принимается определение (29), которое будет действовать по этой причине теперь всегда. Это означает, что, приняв это новое определение для θ , во всех
формулах, которые были написаны ранее с учетом
другого определения для θ , принятого в [1], – везде в
них нужно поменять местами переменные u2 и u1 .
Это не вызовет никаких трудностей не только в случае отсутствия у КФ циклической переменной, но и в
более сложных вариантах задания КФ с наличием одной циклической переменной u2 . Таким примером
является функция (28), составленная из линейной
комбинации двух подфункций в виде, условно говоря, «мнимых» экспонент, exp(±iθ) . Могут быть другие, еще более сложные варианты наличия одной циклической переменной u2 , сводящиеся, например, к
дробно-линейным комбинациям тех же подфункций
(биполярная система [1…3, 6]). Всегда в таких случаях нужно брать в качестве подфункций «мнимые»
экспоненты5 exp(±iθ) , и воздерживаться от использования «обычных» экспонент exp(±θ) . Тогда при общем определении θ по формуле (29) циклической
переменной будет всегда переменная u2 . Это требуется для того, чтобы сохранялся общепринятый способ упорядочивания ортов для правовинтовых систем, в частности, для сферической системы
координат.
Вернемся к рис.1 и формулам (26…28). Как уже
говорилось, для преодоления трудностей представляется целесообразным для КФ ввести с самого начала
определенную типологию. В статье [1] этот процесс
был начат, но, поскольку там решались другие задачи, то введенная в [1] типология здесь недостаточна
и ее нужно дополнить.
Вся совокупность КФ в [1] была разбита на две
группы. К функциям «первого рода» были отнесены функции w, типические свойства которых можно
описать следующим образом.
На исходной декартовой КМ с линейной КФ (2),
где θ определена в (29), координатные линии
u1, 2 = C1, 2 представляют собой взаимно ортогональные семейства бесконечных прямых. Любая линия
семейства u2 = C2 , где C2 ∈ [ −∞, +∞ ] , начинается в
бесконечно удаленной точке u1 = −∞ и заканчивается
в противоположной бесконечно удаленной точке
u1 = +∞ . То же самое относится и к любой параметрически заданной линии семейства u1 = C1 . После
КО плоскости θ на плоскость w ( θ ) геометрические
свойства координатных линий u1, 2 = C1, 2 изменяются.
Новая форма линий зависит от аналитических
5 Использование линейных, а также специального вида дробно-линейных комбинаций сопряженных экспонент ведет к появлению у комбинаций определенных свойств четности, которые очень важны и которые отсутствуют у самих экспонент
по отдельности.
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
45
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
свойств отображающей функции w. Однако при всем
несходстве разнообразных форм их можно объединить в большие группы по некоторым общим типическим признакам. Так, например, различные функции
w можно отнести к одному и тому же типу, если все
без исключения координатные линии u2 = C2 на плоскости w ( θ ) при u1 = −∞ независимо от конкретного
устройства функции w начинаются в одной и той же
точке (в полюсе или, по-другому, в фокусе) этой плоскости, а заканчиваются (т.е. при u1 = +∞ ) также в
одной и той же, но в другой точке на этой же плоскости. Оба полюса могут быть конечными точками плоскости (биполярная система координат [1]), либо
только один из полюсов является конечной точкой
(совпадающей, например, с началом координат), а
второй полюс – бесконечно удаленной точкой плоскости, что характерно для обычной полярной системы [1]. Независимо от этого оба случая относятся к
одному и тому же типу КО, соответствующие КФ
были названы в [1] функциями первого рода. Отметим, что в обоих случаях координатные линии u1 = C1
являются окружностями (в первом случае – апполониевыми [2], а во втором – концентрическими). Но
это не так существенно. Главное заключается в том,
что все линии u2 = C2 начинаются и заканчиваются в
разных точках плоскости.
Совершенно другой тип КО с функциями второго
рода, как они были названы в [1], имеет место, когда
координатные линии u2 = C2 начинаются (при
u1 = −∞) и заканчиваются (при u1 = +∞) в одной и той
же конечной точке плоскости. Примером функций
второго рода, являются функции типа w = θ− n , где
n ≥ 1 (целые числа). В [1] на примере случая n=1
было показано, что для этого типа функций характерно то, что и линии u1 = C1 обладают тем же свойством. Они точно так же начинаются и заканчиваются в той же самой конечной точке плоскости (в данном
случае – в начале координат плоскости w). Для целей,
которые ставились в [1], этой типологии было достаточно. Теперь же к этим двум типам функций нужно,
безусловно, добавить еще одну совокупность функций, которые объединяются признаком отсутствия на
плоскости w каких-либо полюсов в указанном выше
смысле. Назовем такие КФ функциями третьего
рода. Для наших целей здесь будет достаточно ограничиться рассмотрением функций 1-ого и 3-его рода.
Отметим, что важный вопрос наличия или отсутствия определенных свойств четности при наличии
циклической переменной стоит особняком. Он является уместным применительно к периодическим
функциям любого рода.
В верхней панели слева на рис.1 показан рисунок
координатных линий u1, 2 = C1, 2 на соответствующей
комплексной полумембране, генерируемой функцией
(26). Эта функция относится к функциям первого
рода. Причем, важно также то, что ни вещественная,
ни мнимая части функции не обладают свойством
четности по переменной u1 , но обе обладают периодом по переменной u2 .
На плоскости w образами бесконечных прямых
линий u2 = C2 плоскости θ являются полубесконечные лучи с началом (u1 = −∞) в полюсе, локализованным в начале координат. Поскольку у функции (26)
по переменной u2 имеется период, равный 2≠ , то
полный интервал значений переменной u2, [ −∞, +∞ ],
заменяется на полной КМ на интервал, равный длине
РИС 1 • Изображения координатных сеток на полумембранах, при вращении которых образуются соответствующие вращательно-симметричные координаты. Верхняя левая панель – полумембрана для сферической системы. Верхняя правая панель –
для параболоидальной системы. Нижняя левая панель – для системы вытянутого эллипсоида вращения. Нижняя правая панель – для системы сплюснутого эллипсоида вращения.
46
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
примитивного периода, 2≠ . На полумембране, следовательно, эта длина сокращается вдвое. Начало отсчета переменной u2 на полумембране (верхняя правая панель рис.1) ведется от положительной полуоси
x3 против часовой стрелки (для этого в формуле (5),
в которой принимается k=3, j=1, выбирается позиция
w ). Это требуется для генерации сферической системы координат с правильным направлением отсчета
угловой координаты ϑ = u2 . Ясно, что на полумембране, рис.1, переменная u2 успевает пробежать только
половину примитивного периода, u2 ∈ [ 0, π] . Это и
требуется для идентификации координаты угла склонения сферической системы: ϑ = u2 . Ясно, что вращение полумембраны вокруг вещественной оси полной мембраны (формулы (11…18), в которых везде
выбрана нужная позиция – w ) генерирует правовинтовую сферическую систему координат. Для приведения формул (11…18) к привычному виду нужно
везде произвести замену переменных: exp(u1 ) = r ,
u2 = ϑ .
Следует заметить, что требование (j) зеркальной
симметрии рисунка координатных линий u1 = C1 на
полной КМ (концентрические окружности) относительно оси вращения по существу связано с желанием иметь на выходе координатные поверхности (сферы) без особенностей в виде острых вершин или
воронок, которые в противном случае обязательно
возникли бы на оси вращения, так как образующей
для поверхности является неполный криволинейный
отрезок полной линии u1 = C1 . Применительно к
функции (26) требование (j), однако, выполняется,
так как u2 является циклической переменной с периодом 2π, но главное состоит в том, что отрезки линий
u1 = C1 на верхней полумембране пересекаются с
осью вращения под прямым углом. Это происходит
от того, что «отрезки» в данном простейшем случае
представляют собой полуокружности, отсекаемые от
полной окружности осью вращения. Аналогичное
требование симметрии к рисунку координатных линий u2 = C2 (полубесконечные прямые, которые являются таковыми и на полной мембране, и на полумембране) является абсурдным. Поэтому, независимо
от того, имеются или нет на нижней полумембране
другие лучи, которые по отношению к лучам с верхней полумембраны являются зеркальными, все равно
координатные поверхности, образующиеся после
вращения лучей только с верхней полумембраны, будут иметь особенности в виде острых вершин (в данном случае это круговые конусы). Для координатных
функций первого рода эта ситуация является типичной. Типичным здесь является также то, что независимо от того, какая из полумембран – верхняя, нижняя, правая или левая – является активной, областью
определения для переменной u1 будет всегда весь
бесконечный интервал, [ −∞, +∞ ], т.е. тот, который
был и на полной КМ, хотя вращению подвергается
только полумембрана. Эти правила являются общими для периодических функций первого рода, но
только в отсутствии свойств четности у функции по
переменной u1 . Если эти свойства имеются, то наряду со сказанным не только возможен, но и объективно востребован второй способ проведения КО, при
котором для переменной u1 выбирается область
определения в виде полубесконечного интервала,
u1 ∈ [ 0, +∞ ]. Что касается вопроса для области определения на полумембране для циклической переменной u2 , то он должен решаться всякий раз заново, в
индивидуальном порядке и в зависимости от выбранного способа проведения КО, если для этого есть указанные основания. Это будет подробно рассмотрено
на примере функций третьего рода, к которым мы теперь переходим.
К ним относятся функции (27) и (28). Функция
(27) не имеет циклической переменной. Свойства
зеркальной симметрии для нее выполняются только
относительно вещественной оси плоскости w, как это
видно из рис.1 (верхняя панель рисунка справа). Чтобы описать на всей КМ полную параболу, фиксируемую параметрически – u1, 2 = C1, 2 , переменная u2,1
пробегает весь интервал значений, [ −∞, +∞ ]. Для обеих полумембран (верхней и нижней) этот интервал
сокращается вдвое. Причем, именно для верхней полумембраны, которая изображена на рисунке, обе
переменные положительны и, таким образом, областью определения для координат u1, 2 системы координат параболоида вращения, если вращению подвергнуть верхнюю полумембрану, будет интервал
[0, +∞ ]. При этом координатные поверхности – параболоиды вращения – являются всюду гладкими. Это
хорошее свойство. Но все формулы параграфа 2.2
актуальны и реализуются, если активной сделать, например, правую полуплоскость полной плоскости w.
Задача для определения интервалов по переменным
u1, 2 решается, но после вращения образующих, не
удовлетворяющих требованию (j), представители одного семейства координатных поверхностей будут
иметь на вертикальной оси вращения особенности в
виде острых вершин, а представители ортогонального к ним семейства – особенности в виде острых воронок. Так как функция (27) относится к функциям
3-его рода, то указанные особенности будут распределены по всей вертикальной оси вращения непрерывно. Это плохое качество системы координат. Для
сравнения укажем на то, что в случае функций 1-ого
рода ситуация с особенностями значительно лучше,
хотя особенность возникает по той же самой причине, но это никого не волнует. Не волнует только потому, что все особенности аналогичных координатных поверхностей концентрируются или в одной и
той же точке – в полюсе (в сферической системе осо-
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
47
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
бенности всех конических координатных поверхностей сосредоточены в начале координат) или в нескольких конечных точках, если полюсов много и все
они локализованы на оси вращения. Примером является бисферическая система координат с двумя полюсами (свойства мембранной функции достаточно
подробно описаны в [1]).
В случае тригонометрической функции (28) дело
обстоит иначе, так как уже на плоскости до вращения
возникают два различных варианта для реализации
КО. Это связано с тем, что функция (28) наряду с тем,
что по переменной u2 это периодическая функция, по
переменной u1 она обладает, в отличие от другой периодической функции (26), свойством четности. А
именно, по переменной u1 вещественная и мнимая
части функции (28) являются соответственно четной
и нечетной функциями. Это является следствием
того, что в отличие от экспоненциальной функции
(26) функция (28) представляет собой линейную комбинацию из двух, условно говоря, комплексно сопряженных экспонент (это же относится и к функции
w = cos θ, которую с равным успехом можно использовать для генерации эллиптической системы на
плоскости).
Два независимых и неэквивалентных способа
проведения КО с помощью функции (28), каждый из
которых по-своему и абсолютно адекватно учитывает
совершенно различные запросы практики (их всего
два), возникают, если в одном случае (k) при проведении КО использовать указанное свойство четности
функции (28) явно, а в другом случае (kk) – не использовать совсем, т.к. оно, в конце концов, проявится
само неявно.
Для реализации этого выбора нужно в первом случае (k) отображать на новую полную плоскость w не
всю плоскость θ, а половину, где u1 ∈ [ 0, +∞ ] , – т.е.
полуплоскость (точнее, из-за периодичности КФ по
u2 , – определенный фрагмент полуплоскости, т.е. полуполосу). Наоборот, для второго случая (kk) нужно
отображать всю плоскость θ (ее фрагмент – полосу),
установив для области определения u1 полный интервал значений, u1 ∈ [ −∞, +∞ ] , – отказываясь, иначе
говоря, от возможности использовать свойство четности в указанном выше смысле. Сделанный выбор
немедленно отразится на области определения для
циклической переменной u2 на плоскости θ при КО
на плоскость w с соблюдением условия взаимной однозначности преобразований координат с части плоскости θ на полную плоскость w и обратно. Эти условия будут выполнены, если «частями» будут
следующие фрагменты плоскости θ .
Для случая (k) активным фрагментом является
полуполоса:
u1 ∈ [ 0, +∞ ] ,
48
( u ∈ [ − π 2, +3π 2]) ,
( u ∈ [ − π 2, +π 2]) .
2
(30)
2
В случае (kk) роль активного фрагмента выполняет полная полоса:
u1 ∈ [ − ∞, + ∞ ] ,
u2 ∈ [ − π 2, + π 2] ,
(31)
( u ∈ [0, +π 2]) . 2
В круглых скобках формул (30) и (31) указаны исправленные (вдвое уменьшенные) интервалы для u2,
которые актуальны только для случая, когда для подготовки к вращению КМ взаимно-однозначные отображения устанавливаются между этими новыми
(вдвое уменьшенными) фрагментами плоскости θ и
соответствующими (активными при вращении) полуплоскостями w. А именно, новый фрагмент в (30)
отображается на верхнюю полумембрану w (нижняя
левая панель рис.1), а новый фрагмент в (31) – на правую полуплоскость w (нижняя правая панель рис.1).
Таким образом, эти новые фрагменты актуальны при
вращении указанных полумембран соответственно
вокруг вещественной и мнимой оси плоскости w, т.е.
при образовании координат вытянутого и сплюстнутого эллипсоидов вращения. Мы еще к этому вернемся, но теперь нужно выяснить, чем отличаются в
принципе два способа конструирования эллиптической системы координат на полной плоскости, когда
выражения в круглых скобках (30) и (31)
недействительны.
При КО по способу (k) реальными объектами отображения – прообразами или оригиналами – являются согласно (30), с одной стороны, параметрически
заданные полубесконечные прямые:
u 2 = C2
( u1 ∈ [ 0, +∞ ] ), а, с другой стороны, – ортогональные к
ним конечные отрезки прямых линий: u1 = C1 ≥ 0
( u2 ∈ [ − π 2, +3π 2] ). Образами указанных оригиналов на плоскости w будут, с одной стороны, полугиперболы u2 = C2 (отнюдь не полные гиперболы, т.к.
u1 ∈ [ 0, +∞ ] , а не u1 ∈ [ −∞, +∞ ] ), а, с другой стороны, – полные эллипсы u1 = C1 ≥ 0 , так как u2 пробегает интервал, равный полному примитивному периоду
тригонометрической функции (28). Следовательно,
любой эллипс из полного их семейства на плоскости
w при способе (k) поддается параметрическому описанию, u1 = C1 ≥ 0 . Но ни одна полная гипербола при
способе (k) параметрическому описанию не подчиняется! Параметрическому описанию, u2 = C2 , подчиняются лишь полугиперболы. На верхней полуплоскости (показаны в левой нижней панели рис.1)
полное семейство полугипербол реализуется при
C2 ∈ [ − π 2 , + π 2] . Отсчет начинается ( C2 = − π 2 ) с
вырожденной полугиперболы, представляющей со-
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
бой горизонтальный луч с началом в точке с координатами x1 = 0, x3 = −1 и концом в бесконечно удаленной
точке
с
координатами
x1 = 0, x3 = −∞ .
Направление отсчета ведется по часовой стрелке. Полугипербола с параметром C2 = 0 вырождается в
луч, совпадающий с вертикальной положительной
полуосью оси x1 и т.д. Полугиперболы с нижней полуплоскости реализуются при C2′ ∈ [ + π 2 , + 3π 2] .
Весьма существенным моментом является то, что две
зеркально сопряженные полугиперболы из верхней и
нижней полуплоскости, которые с геометрической
точки зрения в сумме составляют одну полную гладкую гиперболу, параметрически связаны между собой соотношением C2′ = π − C2 , т.е. C2′ ≠ C2 . Отсюда
следует общий вывод, что на полной плоскости w в
системе (k) эллиптические координатные линии поддаются параметрическому описанию, а ортогональные к ним гиперболические линии – нет.
Из определений (31) для системы (kk) легко прийти к противоположному выводу: на полной плоскости w для этого способа КО с использованием КФ
(28) гиперболические координатные линии поддаются параметрическому описанию, а ортогональные к
ним эллиптические линии – нет. Действительно, в
данном случае согласно (31) бесконечные прямые
u2 = C2 ( u1 ∈ [ −∞, +∞ ] ) плоскости θ на плоскости w
превращаются в гиперболы (показаны в правой нижней панели рис.1). Причем, полное семейство гипербол реализуется на интервале C2 ∈ [ − π 2, + π 2,]. Два
зеркально сопряженных конечных отрезка прямых
u1 = ±C1 (u2 ∈ [ − π 2, + π 2,] ) превращаются на плоскости w в два сопряженных полуэллипса, в сумме
дающих один полный гладкий эллипс (параметру
u1 = −C1 соответствует полуэллипс из нижней полуплоскости, а u1 = +C1 – из верхней).
Для плоскопараллельных задач, когда активной
является вся КМ, оба способа актуальны. Первый
нужно использовать в том случае, когда в какой-либо физической задаче необходимо сформулировать
граничные условия на эллиптических цилиндрах, а
второй, когда граничные условия нужно поставить
на гиперболических цилиндрах.
Возвращаясь к вопросам образования вращательно-симметричных координат с использованием КФ
(28) можно утверждать, что одного только способа
(k), где в (30) для u2 берется область определения,
указанная там в круглых скобках, уже достаточно для
образования координат вытянутого эллипсоида вращения независимо от того, на каких координатных
поверхностях предполагается формулировать граничные условия – на поверхностях эллипсоидов или
двуполстных гиперболоидов. Это происходит из-за
того, что вращению здесь подвергается полумембрана из верхней полуплоскости (нижняя левая панель
рис.1). Образующими для двуполостных гиперболо-
идов являются не полные гиперболы, а как раз полугиперболы, которые в этой системе (k) однозначно
описываются параметрически. При вращении полугипербол один и тот же фиксированный для каждой
полугиперболы параметр C2 передается всей и, причем, вполне определенной поверхности (той или другой) двуполостного гиперболоида вращения. Значит
не только поверхность любого эллипсоида, но и поверхность любого гиперболоид описывается здесь
параметрически, что и требуется.
Для образования координат сплюснутого эллипсоида вращения востребованы оба варианта! Активной является здесь правая полуплоскость (нижняя
правая панель рис.1). Если для образования координатных линий на ней использовать систему (k),
то параметрическому представлению будут подчиняться поверхности сплюснутых эллипсоидов, и
не будут подчиняться поверхности однополостного
гиперболоида вращения. Наоборот, если использовать систему (kk), то поверхности однополостного
гиперболоида описываются параметрически, а поверхности эллипсоидов – нет. Вывод такой: если
в задаче требуется сформулировать граничные условия на сплюснутых эллипсоидах, то координаты
сплюснутого эллипсоида вращения нужно задавать,
использую способ (k) и наоборот: если требуется
сформулировать некоторую краевую задачу на однополостном гиперболоиде вращения, то те же самые
координаты нужно определять по-другому – с использованием способа (kk).
В заключение следует сказать, что, несмотря на
свою практическую востребованность, указанная
выше вариативность в проведении КО на плоскости
с помощью КФ, сочетающих в себе свойства периодичности и четности, в доступной для нас литературе
[6…8, 10…14] не зафиксирована. Единственное упоминание вскользь без всякой связи с методом вращения КМ имеется в книге А.Анго [14] в разделе, посвященном вращательно-симметричным координатам.
В случае построения координат сплюснутого эллипсоида вращения Анго указывает на потенциальную
возможность двух формально допустимых вариантов
определения координат, (k) и (kk). Однако при этом
в [14] не говорится ничего, когда на практике нужно
использовать тот или иной вариант в обязательном
порядке.
2.4 Вращение мембраны
с 2-листной координатной функцией
Приведем, наконец, один пример, который в литературе не описан. Он будет связан с вращением
КМ, определенной с помощью 2-листной КФ, рассмотренной в [1] применительно к случаю плоскопараллельной трансляции мембраны. Указанная в [1]
двузначная КФ имеет вид:
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
49
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
x3 + ix1 = w = ± 1 + exp(−iθ). (32)
Единственное отличие от [1] состоит в том, что теперь θ определена в (29), т.е. переменные u1 и u2 меняются местами. Изображение геометрического устройства КМ с функцией (32) показано на рисунке 2.
Подробное описание устройства показанных на
рисунке координатных линий u1, 2 = C1, 2 имеется в [1],
но язык описания там не адекватен наличным математическим реалиям. Тем не менее, вопрос о языке
не является настолько тривиальным, чтобы говорить
об этом вскользь; важны подробности, которые научат правильному подходу. Как уже говорилось, корни
правильного подхода можно найти в 1-ом томе книги
Маркушевича [8]. Тем не менее, с методико-познавательной точки зрения очень полезно сначала воспроизвести здесь кратко то, что говорилось в [1] по поводу устройства координатной системы на том языке,
который там использовался и от которого по указанным ниже причинам, в конце концов, придется отказаться и заменить его другим.
Итак, напомним, что в [1] использовались система
понятий и терминология, которые привычно ассоциируются с геометрическим языком описания фактов
из теории многозначных функций. При описании
устройства координатной системы, изображенной на
рис.2, в [1] использовались следующие, в известном
смысле шаблонные фигуры речи. Там говорилось,
что показанное на рис.2 изображение соответствующих координатных линий на правой полуплоскости
построено с помощью верхнего листа римановой поверхности функции (32) (в (32) берется знак «+»), а
на левой полуплоскости – с использованием нижнего
РИС 2 • Изображение геометрического устройства КМ
с 2-листной КФ (32).
50
листа римановой поверхности (в (32) берется знак
«–»). Далее, при u1 > 0 координатные линии u1 = C
имеют форму «приталенных» замкнутых овалов, при
u1 < 0 один овал распадается на два вырожденных
овала (расположены симметрично относительно вертикальной оси на рисунке). Точка вырождения соответствует значению u1 = 0 . Координатная линия, соответствующая этому случаю, как это видно из
рисунка, имеет форму квазилемнискаты. Далее в [1]
говорилось, что поскольку при u1 < 0 одному и тому
же отрицательному значению u1 при варьировании
u2 в интервале u2 ∈ [ −π, 3π] будут соответствовать
две различные, сопряженные друг с другом, координатные линии системы u1 = C , то это означает, что
требование взаимной однозначности преобразований
нарушается. Это, безусловно, ошибочное утверждение, так как отмеченное явление свидетельствует
только о факте вырождения координатных линий
u1 = C при u1 < 0 . Вырождение само по себе еще не
означает нарушения взаимной однозначности преобразований. Действительно, задаваемые параметрически, u1 = C , замкнутые овалы в правой полуплоскости вычерчиваются, когда переменная u2 пробегает
значения из интервала [ −π, π] , а сопряженные им
овалы из левой полуплоскости – при u2 ∈ [ + π, 3π] .
Итак, главный вывод, который отсюда следует, состоит в том, что применение 2-листных (n-листных)
функций комплексной переменной в качестве координатных функций в указанном выше смысле отнюдь
не ведет, как это ошибочно утверждалось в [1], к нарушению обычного требования взаимной однозначности КО. Это достигается за счет того, что конформному отображению с помощью 2-листной функции
(32) на плоскости θ подвергается полоса с шириной,
равной двум примитивным периодам экспоненциальной подфункции из (32), т.е. для циклической переменной принимается область определения в виде интервала u2 ∈ [ −π, 3π] . Вследствие этого параметру u2
теперь уже невозможно поставить в соответствие какую-либо «угловую координату», которую можно
было бы визуализировать с помощью построений
циркулем и линейкой.
То, что никакого нарушения взаимной однозначности КО при использовании в нем 2-листной
КФ не происходит, открывает дорогу для широкого использования в соответствующих приложениях
(например, в электродинамике [1]) более сложных
n-листных КФ с некоторым конечным множеством
(по-разному распределенных на плоскости) точек
ветвления. Их конкретный способ локализации на
плоскости w будет соответствовать локализации
сразу нескольких точек неустойчивого равновесия
для пробного заряда в соответствующих краевых
задачах электродинамики [1]. Таким образом, важнейшей задачей здесь будет задача определения всех
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
точек ветвления у n-листной КФ. Этому будет посвящена отдельная статья.
В нашем случае у функции (32) имеется единственная точка ветвления в начале координат. При попытках описания геометрических свойств 2-листной
функции в тех терминах, которые чаще всего здесь
используются (риманова поверхность, разрез), следует ожидать, что указанная точка ветвления должна
быть точкой порядка один (для n-листных функций
точки ветвления в указанной системе понятий имеют
порядок n-1 [8]). Однако в нашем случае это не так!
Выходит нечто неожиданное, но, в конце концов, закономерное. Получается то, что порядок точки ветвления равен не единице, а нулю! Действительно,
разрез для функции (32) проходит по мнимой (вертикальной) оси на плоскости рисунке 2. Мы видим, что
уже при однократном обходе по какой-либо замкнутой жордановой кривой на плоскости рис.2 вокруг
точки ветвления разрез пересекается дважды, и при
однократном обходе вокруг точки ветвления мы всегда возвращаемся на ту же ветвь 2-значной функции,
с которой обход начинался. По правилам в системе
понятий, вытекающих из абстрактной сущности римановой поверхности, мы приходим к ложному выводу об отсутствии точки ветвления у многозначной
функции и, как следствие, к абсурдному заключению,
что многозначная функция является однозначной!
Это вопиющее противоречие возникает вследствие
неправомерного употребления абстрактных понятий
там, где им не может быть места в принципе.
Действительно, продолжая пользоваться по привычке неуместными для нашего случая абстрактными понятиям, мы просто-напросто скоро увидим, что
оба листа римановой поверхности полностью умещаются на комплексной плоскости w. Но тогда нет никакого смысла вводить в рассмотрение такое абстрактное понятие как риманова поверхность! Поэтому в
унифицированном варианте теории конструирования
криволинейных систем координат на плоскости, когда для этого подключается аппарат ТФКП, использовать привычную систему понятий, которая по своей
сути изначально абстрагирована от плоскости, не
просто бессмысленно по определению, но и наносит
теории вред. Этот вывод особенно актуален для случая, когда с целью генерации вырожденных систем
координат с особыми свойствами в указанном выше
смысле привлекаются обладающие нужным набором
этих свойств многозначные функции. Выход из положения состоит в переходе к наглядным геометрическим образам и понятиям, ориентированным на
плоскость, что характерно для подхода Маркушевича, который он использовал в 1-ом томе книги [8] при
решении там аналогичных задач.
Коротко, это означает следующую замену понятий.
Вместо римановой поверхности используется понятие области однолистности, Gk , многозначной КФ
w ( θ ) . Если это n-листная функция, то k = 1, 2, …, n.
Сложенные вместе, все области однолистности покрывают всю плоскость w без остатка, как «шашки»
паркета пол в комнате. Разбиение на области однолистности Gk цельного образа G , прообразом для
которого на плоскости θ служит (при определенных
условиях, как в нашем случае) только некоторая часть
g этой плоскости, является основной, но для заданной w ( θ ) , решаемой задачей, что будет предметом
отдельной работы.
Важным обстоятельством является следующее.
Решение проблемы Макушевичем выполнено в [8]
для своего времени безукоризненно правильно. Однако он не мог предвидеть того, что при практической реализации его подхода в наше время в программных средах компьютерной (практической)
математики (например, в пакетах MatLab или Mathematica) в реальности и, причем, совершенно определенно, подлинно актуальной будет не абстрактная
операция разбиения будто бы уже готовой области
G на подобласти Gk , а наоборот, складывание «пазла» G из набора элементов Gk . Разница между этими двумя позициями – существенная. Это обусловлено тем, что у каждой односвязной области Gk
имеется своя собственная сложная по форме граница. При складывании «пазла» общая граница двух
смежных областей возникает в результате предельного по характеру процесса «притирки» двух собственных граничных линий смежных областей Gk .
Таким образом, в процедуру складывания «пазла»
G (это выходной продукт преобразований) должен
войти непредусмотренный Маркушевичем предельный переход ε → 0 , где ε – бесконечно малая величина зазора между собственными граничными линиями двух смежных Gk . Отметим, что эта
дополнительная операция совершенно необходима;
она не нарушает целостности подхода Маркушевича, а лишь вносит в него мотивированное уточнение
в новых обстоятельствах.
Итак, для каждой области Gk на плоскости w
имеется свой прообраз g k на плоскости θ . Поскольку в нашем случае это соответствующие полосы, то,
казалось бы, прообразы для общих границ между
Gk заранее известны – это бесконечные параллельные прямые линии γ j (j = 1, 2,…, n + 1). Однако это
не так. Нетривиальным обстоятельством является
отмеченное в [1] наличие в «пазле» G (пример показан на рисунке 2) особых координатных линий. С
динамической точки зрения применительно к эквивалентной электростатической краевой задачи эти
линии представляют собой стационарные неустойчивые траектории для пробного заряда [1]. Поведение пробного заряда в ближайшей ε -окрестности
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
51
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
этих линий будет псевдостохастическим. Это означает, в частности, то, что возможные траектории заряда в этой окрестности будут отличаться друг от
друга качественно в зависимости от знака ε. Существенно то, что абсолютная величина ε практически
ни на что не влияет! Это и есть нетривиальное свойство «пазла» G . Это свойство можно взять под контроль корректно, заложив в процедуру собирания
«пазла» возможность выполнения предельного перехода, о котором сказано выше. Для этого на расстоянии ε справа и слева от каждой общей граничной линии для всех смежных областей g k на
плоскости θ нужно провести две параллельные им
собственные для каждой g k границы с координатами C2(k ) ± ε, где C2(k ) – координата u2 для соответствующей общей границы. Причем, самая крайняя слева
в последовательности gk область g1 и соответственно самая крайняя справа область g n также считаются смежными на том основании, что у их образов G1
и Gn будет общая граница в G . Все это ведет к увеличению количества граничных линий γ j до 2n. Образы Гj ( j=1, 2, …, 2n) этих линий на плоскости
w ( θ ) будут иметь сложную геометрическую форму,
но в пределе ε → 0 они будут обязательно пересекать точки ветвления этой функции. В этих особых
точках требование непрерывности для Гj будет нарушенным, они будут испытывать здесь преломление. На рис.2 показаны отвечающие этому примеры,
в частности, в виде особых координатных линий u2
= π ± ε. В пределе ε → 0 эти линии являются ломаными (см. рис.2). Причем, вертикальные полубесконечные отрезки двух ломаных линий в этом пределе
сливаются друг с другом и образуют нижнюю половинку общей граничной линии, разделяющей на
рис.2 две смежные области однолистности G1.2 .
Вторая, верхняя половинка общей граничной линии
образуется также в результате предельного перехода
ε → 0 для двух линий u2 = −π + ε и u2 = 3π − ε. Важно то, что в сумме две сопряженные половинки
(верхняя и нижняя) дают цельную гладкую общую
границу.
Чрезвычайно важным является то, что образы
нижних (u1 ∈ [ −∞, 0]) ветвей граничных линий γ j являются внутренними линиями областей G1.2 (на рис.2
это горизонтальные отрезки ломаных координатных
линий u2 = π ± ε, u2 = −π и u2 = 3π). Это – нетривиальное свойство «пазла» G , о чем говорилось ранее.
Все это указывает на то, что проведение собственных
граничных линий в ε -окрестности общих границ для
смежных g k на плоскости θ отнюдь не является
«тактической операцией», а носит сущностный
характер.
Итак, мы видим, что знание всех точек ветвления
многозначной функции w ( θ ) является необходимым
условием для правильного решения указанной зада-
52
чи разбиения. Таким образом, понятие «линия разреза» заменяется понятием «граничной линии» и т.д.
Элементарный пример решения задача разбиения
плоскости w на две области однолистности, G1.2 , и
предлагается на рис.2 для функции (32). Легко видеть,
что, как и должно быть, никаких противоречий здесь
не возникает. Между образами G1.2 и их прообразами
g1.2 имеют место отношения взаимной однозначности
отображений и т.д. Конечно, пока еще рано утверждать, что задача разбиения на области Gk может быть
решена для любого n. Пока не сформулированы определенные ограничения на вид n-листной КФ, для подобных предположений, кроме тех общих предпосылок, которые содержатся в книге [8], нет твердой
почвы. Повторяем, что все это выходит за пределы настоящей работы и будет предметом другой статьи.
Вернемся, однако, к задаче вращения КМ с функцией (32), т.е. к рис.2.
Мы видим, что для рисунка на нижней полумембране циклическая переменная пробегает значения
из интервала [ 0, 2π] . Кроме того, сама функция (32)
относится к функциям первого рода, и она обладает
нужными свойствами симметрии как относительно
вещественной, так и относительно мнимой оси плоскости w. Для такого типа функций, как было установлено выше, особых сложностей в интерпретации
КО существовать не должно.
А именно, используя зеркальную симметрию изображения координатных линий, показанных на рис.2,
относительно горизонтальной оси, большей целесообразностью (с учетом сказанного выше) будет обладать способ построения соответствующей криволинейной системы в объеме с помощью вращения
нижней полумембраны.
Трехмерная визуализация формул пункта 2.1 в
том случае, когда КФ w определена там как 2-листная аналитическая функция (32), выполнялась в
программной среде пакета MatLab с использованием его встроенных функций трехмерной графики.
То, что рассматриваются формулы пункта 2.1, означает, что вращение мембраны, показанной на рис.2,
осуществляется относительно горизонтальной оси
этого рисунка с учетом указанных выше особенностей склеивания областей G1, 2 функции (32) на
мембране (на ее вертикальной оси), что как раз существенно при ее вращении вокруг вещественной
оси (при вращении относительно мнимой оси во
вращении участвует только одна область G1 ). Соответствующий трехмерный рисунок, на котором показаны взаимно ортогональные координатные поверхности полученной таким образом системы
координат в объеме, показан на рисунке 3.
Для лучшей наглядности соответствующие координатные поверхности, которые описываются параметрически, u1, 2 = C1, 2 , ϕ ∈ [ 0, 2π], на рисунке показа-
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ны в виде поверхностей с вырезанным сектором,
ϕ ∈ [ π,3π 2] .
Рассмотренный пример показывает, что список
успешно решаемых задач аналитической геометрии
по математическому описанию трехмерных фигур с
симметрией вращения может быть существенно расширен, во-первых, за счет применения метода вращения комплексных мембран с включением сюда
n-листных КФ и, во-вторых, благодаря использованию нового набора инструментов (стандартные пакеты компьютерной математики). Следует отметить,
однако, что для успешного применения новых систем
координат в физических приложениях одного их наличия в арсенале физиков может оказаться недостаточным. Существенную роль здесь играет вид движения мембраны в 3D-пространстве. Как было показано
в статье [1], в случае решения целого класса важных
задач электродинамики в обобщенных цилиндрических системах координат, разделение переменных
при интегрировании максвелловских уравнений или
волнового уравнения не играет никакой роли. Интегрирование уравнений не вызывает никаких трудностей и в том случае, если переменные u1 и u2 в КФ,
как это имеет место для функции (32), не разделяются в том смысле, что действительную и (или) мнимую
часть КФ нельзя разложить на множители, зависящие
только от одной переменной u1 и u2, соответственно.
Для аналогичных краевых задач, решаемых в системах координат, образованных вращением КМ, это не
так. В следующем параграфе мы разберем эти вопросы подробно на примере решения некоторых краевых
задач электростатики.
РИС 3 • Изображение координатных поверхностей системы
координат, полученной вращением комплексной мембраны
с 2-листной функцией (32) вокруг вещественной оси x3.
Замкнутые поверхности вращения задаются параметрически: u1 = C1, ϕ ∈ [ 0, 2π] , ( C1 ∈ [ −∞, +∞ ]) , незамкнутые двуполостные фигуры вращения – также: u2 = C2 , ϕ ∈ [ 0, 2π] ,
( C2 ∈ [0, 2π]).
3 Унификация решения для одного
класса краевых задач электростатики.
Требование разделения переменных
При решении краевых задач электростатики по
определению структуры электрического поля с нулевой тангенциальной компонентой на поверхности
тела, образованного вращением КМ, основными
уравнениями, которым должно удовлетворять электрическое поле в любой точке пространства вне тела,
являются уравнения:

divE = 0 ,
(33)

rotE = 0 .
(34)
Предполагается, что идеально проводящему телу
вращения сообщается заряд, который распределяется
по поверхности тела сообразно с его формой. Нужно
перечислить все тела вращения, для которых соответствующие нулевые граничные условия будут удовлетворяться автоматически на любом теле вращения
из соответствующего семейства координатных поверхностей, задаваемых условием u1 = C1, ϕ ∈ [ 0, 2π]
или u2 = C2 , ϕ ∈ [ 0, 2π] . Условия задачи предполагают
независимость поля от координаты ϕ . Кроме того,
также ясно, что сама постановка задачи направлена
на то, чтобы найти и перечислить полный набор КФ,
которые генерируют после вращения их мембран координатные поверхности, являющиеся одновременно также и эквипотенциальными поверхностями в
сформулированной краевой задаче электростатики6.
Должны быть найдены общие ограничения в инвариантной форме на вид КФ, которые удовлетворяют условиям поставленной задачи. Напомним в связи с
этим, что в плоскопараллельных краевых задачах
электростатики таких ограничений не существует
[1]. Если бы и здесь этих ограничений не было, тогда
картинка, изображенная на рис.3, являлась бы визуализацией распределения поля и эквипотенциальных
поверхностей в указанной краевой задаче с КФ (32).
Именно, силовые линии поля проходили бы по линиям, образованным при пересечении на рис.3 координатных поверхностей u2 = C2 и ϕ = const , в то время
как эквипотенциальными поверхностями на рис.3
были бы замкнутые координатные поверхности, задаваемые параметрически: u1 = C1 , ϕ ∈ [ 0, 2π] .
Покажем, что это не так, что КФ (32) не удовлетворяет выдвинутым требованиям, и укажем полный
список функций, которые, наоборот, этим требованиями удовлетворяют. Тем самым будет доказано, что
6 Ясно, что постановка и решение сформулированной задачи
легко переносится на случай статического ньютоновского гравитационного поля.
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
53
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
вопреки существующему мнению [2, 3] метод КО пригоден и для моделирования 3-мерных статических полей в соответствующих краевых задачах электростатики, но в отличие от аналогичных плоскопараллельных
задач применимость его очень сильно ограничена.
Поскольку электрическое поле в данном случае не
зависит от угла ϕ , то инвариантные выражения для

«внутренней и внешней производных» от поля E ,
стоящих соответственно слева в уравнениях (33) и
(34), имеют в общем случае вид:

divE =

rotE =
1
g⊥
∂

g33 

1
g ⊥ g33
(
g ⊥ g33 E1
∂u1
) + ∂(

g ⊥ e1
∂ ∂u1

g ⊥ e2
∂ ∂u2
g ⊥ E1
g ⊥ E2
)
g ⊥ g33 E2 
 , (35)

∂u2


g33 e3
0 .
(36)
0
С учетом этого уравнения (33) и (34) сводятся к
уравнениям:
∂
∂
(
(
g ⊥ g33 E1
∂u1
g ⊥ E2
) + ∂(
) − ∂(
g ⊥ g33 E2
∂u2
g ⊥ E1
) = 0 ,
) = 0 .
(37)
(38)
∂u1
∂u2
Отметим, что в плоскопараллельных задачах электростатики [1] в уравнение (37) нужно подставить
g33 = 1 . Поэтому оба уравнения системы (37), (38)
приобретают здесь абсолютно симметричную форму
и легко преобразуются к уравнениям Коши-Римана
[1]. Только благодаря этому решение электростатических задач там (не обязательно краевых) сводится к
ТФКП без ограничений на вид «амплитудной функции» W ( θ ) g ⊥ [1] в том смысле, что вариативная
часть амплитудной функции W ( θ ) может быть произвольной аналитической функцией комплексной
переменной с единственным ограничением – дифференцируемости на комплексной плоскости. Таким образом, случай W ( θ ) = const также входит в теорию.
Именно этот последний случай и реализуется в плоскопараллельных краевых задачах электростатики [1]
с экстремально жесткими граничными условиями на
цилиндрах соответствующей формы поперечного сечения, которая полностью определяется заданной по
усмотрению координатной функцией w ( θ ) ≠ W ( θ ) .
Эта функция в принципе может быть вполне произвольной, в том числе и n-листной функцией комплексной переменной [1]. Причем, коэффициент
Ламе g ⊥ на мембране связан с этой функцией соотношением (16). Существенно важным в плоскопараллельных краевых задачах, которым как раз и отвечает
случай W ( θ ) = C, где C – вещественное или мнимое
54
число, является то, что вектор электрического поля в
криволинейных координатах, задаваемых КФ
w ( θ ) ≠ const , имеет одну компоненту,


E = E1e1 ,
(39)
либо


E = E2 e2 ,
(40)

где орты e1, 2 это орты криволинейной системы координат на плоскости. Это является фундаментальным
моментом, потому что тогда конфигурация силовых
линий поля совпадает с конфигурацией координатных линий системы координат на плоскости, т.е. она
абсолютно точно кодируется свойствами произвольно задаваемой КФ w ( θ ) .
Поставленная выше краевая задача в объеме на
соответствующих телах вращения будет иметь решение только в том случае, если поле в этих задачах будет обладать аналогичной конфигурацией, т.е. описываться теми же выражениями (39), (40), в которых,

однако, орты e1, 2 будут теперь соответствующими
ортами вращательно-симметричной системы координат. Эта система, тем не менее, по-прежнему, полностью определяется функцией w ( θ ) по формулам,
приведенным выше. Отличие состоит в том, что теперь далеко не все функции w ( θ ) способны обеспечить заложенную выше в формулах (39), (40) конфигурацию поля в краевых задачах электростатики.
Задача, таким образом, сводится к определению ограничений на вид функции w ( θ ) .
Рассмотрим краевую задачу, где поле описывается

формулой (39). Орт e1 в ней ортогонален к поверхности вращения u1 = C1 , ϕ ∈ [ 0, 2π] . Эта поверхность
представляет собой, таким образом, либо поверхность, на которой ставится краевая задача Неймана с
нулевой тангенциальной компонентой поля, направ
ленной по орту e2 , либо, в пространстве за пределами этой поверхности, – эквипотенциальную поверхность (всюду плотное семейство поверхностей).
С учетом (39) основные уравнения (37) и (38) принимают форму:
∂
∂
(
(
g ⊥ g33 E1
∂u1
g ⊥ E1
) = 0 ,
(41)
) = 0 .
∂u2
Уравнение (41) будет удовлетворяться, если
g ⊥ g33 E1 = Af 2 ( u2 ) ,
(42)
(43)
где A – константа, зависящая от величины сообщенного телу заряда, а f 2 ( u2 ) – функция, которую нужно
определить.
Подставив (43) в (39), получим выражение для
поля вне заряженного тела:
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
 Af 2 ( u2 ) 
E=
e1 .
g ⊥ g33
(44)
С учетом (43) уравнение (42) будет выполняться
при условии, что
f 2 ( u2 )
g33 = 1 f1 ( u1 ) ,
где f1 ( u1 ) – функция, подлежащая определению. Из
последнего уравнения вытекает ключевая формула,
g33 = f1 ( u1 ) f 2 ( u2 ) .
(45)
Подставив (45) в (44), находим окончательное выражение для поля:

A

E=
e1 .
(46)
g ⊥ f1 ( u1 )
Очевидно, что решение краевой задачи Неймана,
поставленной на поверхности вращения u2 = C2 ,
ϕ ∈ [ 0, 2π], когда в качестве выражения для поля нужно использовать формулу (40), а не (39), будет описываться выражением, дуальным по отношению к (46),
а именно,

A

E=
e2 ,
(47)
g ⊥ f 2 ( u2 )
притом что ключевая формула (45) по-прежнему
остается в силе. Итак, общая формула для поля будет
иметь вид:

A

E=
ei . (48)
g ⊥ fi ( ui )
Единственное условие, которое является ключом
и должно быть выполнено, сводится к требованию
(45). Коэффициент Ламе g33 , стоящий в этой формуле слева, связан с КФ соотношениями (17) и (24) в
зависимости от того, относительно какой оси КМ ведется вращение – вещественной или мнимой. В первом случае g33 это мнимая часть от КФ, во втором – вещественная. Выполнение условия (45), таким
образом, означает, что (i) если вращение КМ осуществляется вокруг ее вещественной оси, то переменные в мнимой части функции w ( θ ) должны разделяться независимо от того, разделяются они или
нет в ее вещественной части. И наоборот, (ii) если
вращение КМ осуществляется вокруг ее мнимой оси,
то переменные в вещественной части функции w ( θ )
должны разделяться независимо от того, разделяются
они или нет в ее мнимой части.
Итак, применимость метода КО или ТФКП в
3-мерных электростатических краевых задачах типа
Неймана (или Дирихле) на телах вращения ограничена списком координатных функций w ( θ ) , которые
удовлетворяют требованиям (i) и (ii).
Обоим требованиям одновременно удовлетворяют
только простейшие координатные функции с наличи-
ем циклической переменной. Это (a) функция (26) и
(b) функция (28). В первом случае (a) замкнутыми фигурами в обоих возможных случаях вращения являются сферы. Пункту (b) в одном случае (нижняя левая
панель рис.1) отвечают замкнутые фигуры в виде вытянутых эллипсоидов вращения (поле определено в
формуле (46)). Незамкнутые фигуры в этом случае –
это двуполостные гиперболоиды вращения, которым
сообщается одинаковый заряд противоположного знака, и соответственно для поля имеет место формула
(47). Во втором случае (нижняя правая панель рис.1)
реализуется пункт (ii). Этому случаю отвечают замкнутые фигуры вращения в виде сплюснутых эллипсоидов (поле определено в формуле (46), а координаты
определяются по способу (k) и имеют области определения, выраженные формулами (30) с учетом сокращения области определения для u2 вдвое). Незамкнутыми фигурами вращения в этом случае являются
однополостные гиперболоиды. Корректная постановка краевой задачи Неймана для электростатического
поля на поверхности гиперболоида в этом случае имеет две особенности. Во-первых, здесь нужно использовать другой способ задания координат сплюснутого
эллипсоида вращения: способ (kk), для которого области определения для соответствующих координат регулируются формулами (31) с поправкой на область
определения координаты u2 (использовать область,
указанную в круглых скобках). Во-вторых, однополостный гиперболоид – это двусвязная фигура. Поэтому (и в соответствии с определением координаты u2
по способу (kk), см. также формулы (31)) орты e2 системы координат (внешние нормали к поверхности гиперболоида, она является для ортов «поверхностью
уровня»: u2 = C2 при ϕ ∈ [ 0, 2π] ) будут скользить по
касательной к поверхности сплюснутого эллипсоида
вдоль линий пересечения этой поверхности с координатной полуплоскостью φ = C. Все эти линии сходятся
в одной точке вершины эллипсоида. Из-за того, что однополостный гиперболоид является двусвязной фигурой, все орты e2 в этой точке будут иметь направление
от этой точки так, как если бы в ней находился «источник» для поля ортов e2 . Поэтому корректная постановка указанной краевой задачи электростатики на
поверхности однополостного гиперболоида возможна
только при наличии двух таких поверхностей. Фактически это означает то, что корректно может быть поставлена задача для расчета электрического поля между двумя обкладками конденсатора, выполненными в
виде двух соосных поверхностей однополостного гиперболоида. С учетом всех замечаний, касающихся
правильности определения координат для этого случая, формулой для расчета поля конденсатора является
формула (47).
Кроме этих двух позиций существует еще
одна – (c). Она связана с параболической функцией
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
55
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
(27). Очевидно, что в ее мнимой части переменные
разделяются, а в вещественной – нет. Поэтому здесь
реализуется только одна возможность (i). Фигурами
вращения являются софокусные параболоиды, которые как раз и образуются при реализации пункта (i),
т.е. при вращении соответствующей «параболической полумембраны» вокруг вещественной оси плоскости w для функции (27) (см. рис.1).
Общий вывод такой: ТФКП адекватно и инвариантно отражает всю специфику, связанную с постановкой и решением краевых задач электростатики с
предельно жестким граничными условиями на телах,
образованных вращением относительно осей зеркальной симметрии плоских фигур в виде конических сечений и только.
Проверку инвариантной формулы (48) для электростатического поля в указанной краевой задаче
осуществим для случая (a), т.е. для случая заряженной сферы.
Сферическую систему координат генерируем вращением верхней полумембраны с координатной
функцией (26) относительно вещественной оси
(рис.1), где переменная θ определена в (29). Согласно (17), имеем
g33 = Im [ w] = exp ( u1 ) sin u2 = r sin ϑ,
(49)
и, согласно (16), имеем также
g ⊥ = exp ( u1 ) = r. (50)
Из (49) определяем функции f1, 2 :
=
f1 exp(
=
u1 ) r , f 2 = sin u2 = sin θ.
(51)
Подставив (49…51) в (46), получим правильную

формулу для поля заряженной сферы: E = Aer r 2 , где
A = q , q – заряд сферы и т.д.
4 Выводы
В заключение следует отметить, что большим
достоинством изложенной теории является то, что
формула (48) инвариантна и равно пригодна для описания электростатического поля заряженных тел,
образованных посредством соответствующего вращения любой плоской фигуры в форме конического
сечения. Это новый методический результат, получение которого было бы невозможным без изложенной
выше общей теории конструирования систем координат с помощью вращения комплексных мембран.
Это сильно упрощает методику расчета соответствующих полей электростатики. Обычный ход решения
здесь требует сначала проинтегрировать уравнение
Лапласа для потенциала методом разделения переменных в каждой указанной системе координат по
отдельности (в сферической, параболической или
56
в системах вытянутого и сплюснутого эллипсоидов
вращения). Это, хотя и похожие, но различные процедуры интегрирования. Только после выполнения этой
достаточно трудоемкой и отнюдь не унифицированной операции можно вывести формулы типа (48) для
вектора поля. Каждый раз они будут отличаться друг
от друга. Полученная в статье формула (48) является
общей для всех указанных систем координат; для ее
получения не требуется решать уравнение Лапласа,
но существенно использование теории функций комплексной переменной, что и является залогом унификации. Различия в окончательных формулах для поля
возникают на самом последнем этапе из-за различий
в математических выражениях для коэффициентов
Ламе. Но использование теории функций комплексной переменной унифицирует и эту операцию, которая сводится к простым операциям комплексной
арифметики.
Нужно сказать, что имеются реальные перспективы перенесения метода интегрирования максвелловских уравнений, который был описан в [1], на случай
записи уравнений во вращательно-симметричных
координатах. В этом случае, как и в [1], реализуется, но по-своему, расширенное (двойное) использование преимуществ теории функций комплексной
переменной. По крайней мере, возможна полностью
инвариантная формулировка (за пределами требования разделения переменных) метода интегрирования однородных уравнений для статических полей,
не связанных с решением краевых задач. Это будет
предметом предполагаемой еще одной работы автора
в данном направлении. В настоящей статье закладывается фундамент для дальнейших исследований в
этом новом направлении. Применительно к этому общий вывод такой: для повышения степени унификации теории конструирования криволинейных систем
координат вообще эта теория должна в обязательном
порядке перейти под полную юрисдикцию теории
функций комплексной переменной. Теоретические
преимущества инвариантных формулировок очевидны, но на пути их практического внедрения стоит
сила привычки. Время, которое понадобится для преодоления этой силы, будет зависеть, по мнению автора, в немалой степени от скорости внедрения в систему математического образования практики глубокого
использования в нем революционных достижений
последних двух десятилетий в области практической
(компьютерной) математики.
Литература
1. Кукушкин А.В. Математические основы теории поперечных плоских волн // Инженерная физика. 2012,
№ 8, С. 6...23. A.V. Kukushkin, Mathematical grounds
of the theory of transverse waves, Engineering Physics,
2012 # 8, 6...23 p.
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. М.: ИЛ, 1961 (H.Buchholz. Elektrische und magnetische Potentialfelder. – Berlin-Göttingen-Hiedelberg:
Springer-Verlag, 1957). G. Buchgolz, Cakculatin of
electric/ and magnetic fields, M.IL, 1961, (H.Buchholz.
Elektrische und magnetische Potentialfelder. – BerlinGöttingen-Hiedelberg: Springer-Verlag, 1957)
3. Князь А.И. Комплексные потенциалы трехмерных
электрических и магнитных полей. Киев-Одесса:
«Висшая школа», 1981.A.I. Knyaz, The complex potentials of tree dimensional electric and magnetic fields,
Kiev – Odessa, «Vishaya shkola», 1981.
4. Курант Р., Д.ильберт. Методы математической физики. Т.2, М.-Л.: ГТТИ. R. Courent, D. Hilbert. Methods
of mathematical physics. V. 2, Partial Differential Equations, Wiley, 1989.
5. Бермант А.Ф. Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. Формулы Грина. М.:
ГИФМЛ, 1958. A.F. Bermant. Reflections. Recto angular coordinates. Transfomations. Green formulas. M.
GIFML, 1958.
6. Маделунг Э. Математический аппарат физики. – М.:
Наука, 1968. E. Madelung. Die mathematischen hilfsmittel des Physikers. – Berlin-Göttingen-Hiedelberg:
Springer-Verlag, 1957. E. Madelung. Die mathematischen hilfsmittel des Physikers. Berlin-Göttingen-Hiedelberg: Springer-Verlag, 1957.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, М.: Наука, 1973. G.A. Korn, T.M. Korn. Mathematical Handbook. NY.: McGraw-Hill, 1968.
8. Markushevich A.I. Theory of Functions of a Complex
Variable, 2d Engl. ed., Chelsea, New York, 1977.
9. Кукушкин А.В. Инвариантная редакция потенциального метода интегрирования вихревого уравнения движения для материальной точки. УФН,
Т. 172, № 11, 2002, с. 1271. A.V. Kukushkin. An invariant formulation of the potential integration method
for the vortical equation of motion of a material point
Phys. Usp. 45 1153...1164 (2002).
10.Ahlfors L.V. Complex analysis: an introduction to
the theory of analytic functions of one complex variable. – McGrow-Hill, 1966.
11.Nehari Z. Conformal Mapping, Dover Publications,
1975.
12.Handbook of Complex Analysis, Ed. by Reiner Kuhnau,
Martin Luther Universität, Halle-Wittenberg, Germany,
2004.
13.Nevanlinna R., V.Paatero V. Introduction to Complex
Analysis, 2d ed., Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2007.
14.Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров, М.: Наука, 1964. // A.Angot, Complėments de
Mathėmatiques, Paris: 1957.
15.Елисеев В.И. Числовое поле. Введение в методы
теории функций пространственного комплексного
переменного, М.: Ozon.ru, 2007
16.RliseevV.I. Numerical fields. Introduction into the methods of theory with spatial complex arguments.
Сведения об авторе
Кукушкин Александр Васильевич
Канд. техн. наук, доцент
Нижегородский Государственный технический университет
603600, Нижний Новгород, Российская Федерация. ул. Минина, 24
E-mail: [email protected]
References
1. Kukushkin A.V. Matematicheskie osnovy teorii poperechnyh ploskih voln [Mathematical grounds of the theory of transverse waves]. Inzhenernaja fizika [Engineering Physics]. 2012, № 8, PP. 6...23.
2. Buhgol’c G. Raschet jelektricheskih i magnitnyh polej
[Elektrische und magnetische Potentialfelder]. BerlinGöttingen-Hiedelberg: Springer-Verlag, 1957.
3. Knjaz’ A.I. Kompleksnye potencialy trehmernyh jelektricheskih i magnitnyh polej [The complex potentials
of tree dimensional electric and magnetic fields]. KievOdessa: «Visshaja shkola» [Kiev-Odessa. Publishing
house «Visshaja shkola»] 1981.
4. Kurant R., D.il’bert. Metody matematicheskoj fiziki
[Methods of mathematical physics]. Vol. 2. 1989
5. Bermant A.F. Otobrazhenija. Krivolinejnye koordinaty.
Preobrazovanija. Formuly Grina [Reflections. Recto angular coordinates. Transfomations. Green formulas]. M.:
GIFML [Moskow. Publishing house «GIFML»]. 1958.
6. Маделунг Э. Математический аппарат физики. – М.:
Наука, 1968. E. Madelung. Die mathematischen hilfsmittel des Physikers. – Berlin-Göttingen-Hiedelberg:
Springer-Verlag, 1957. E. Madelung. Die mathematischen hilfsmittel des Physikers. – Berlin-Göttingen-Hiedelberg: Springer-Verlag, 1957.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, М.: Наука, 1973. G.A. Korn, T.M. Korn. Mathematical Handbook. NY.: McGraw-Hill, 1968.
8. 8. Markushevich A.I. Theory of Functions of a Complex
Variable, 2d Engl. ed., Chelsea, New York, 1977.
9. Кукушкин А.В. Инвариантная редакция потенциального метода интегрирования вихревого уравнения
движения для материальной точки. УФН, Т. 172,
№11, 2002, C. 1271. A.V. Kukushkin. An invariant formulation of the potential integration method for the vortical equation of motion of a material point Phys. Usp.
45 1153...1164 (2002).
10.Ahlfors L.V. Complex analysis: an introduction to
the theory of analytic functions of one complex variable. McGrow-Hill, 1966.
11.Nehari Z. Conformal Mapping, Dover Publications,
1975.
12.Handbook of Complex Analysis, Ed. by Reiner Kuhnau,
Martin Luther Universität, Halle-Wittenberg, Germany,
2004.
13.Nevanlinna R., V.Paatero V. Introduction to Complex
Analysis, 2d ed., Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2007.
14.Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров, М.: Наука, 1964. A.Angot, Complėments de
Mathėmatiques, Paris: 1957.
15.Елисеев В.И. Числовое поле. Введение в методы
теории функций пространственного комплексного
переменного, М.: Ozon.ru, 2007.
16.RliseevV.I. Numerical fields. Introduction into the methods of theory with spatial complex arguments.
Information about author
Kukushkin Alexander V.
Cand. of Techn. Sciences, Associate Proffesor
Nizhni Novgorod State Technical University
603600, Nizhni Novgorod, Russian Federation, 24 Minin street
E-mail: [email protected]
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 2 · 2013
57