В другом базисе

1) Доказать, что векторы




a   3 ; 0 ; 1 , b   2 ; 7 ;  3  , c   4 ; 3 ; 5  образуют базис, и найти
координаты вектора d   16 ; 33 ; 13  в этом базисе.
Векторы образуют базис пространства, если выполнены два условия:
● их количество равно размерности пространства (матрица, составленная из координат векторов,
квадратная);
● они линейно независимы.
Линейную независимость можно установить:
● через анализ определителя матрицы (матрица квадратная):
- если   0 , то векторы линейно независимы;
- если   0 , то векторы имеют линейную зависимость.
● через анализ ранга матрицы (матрица произвольная):
- если ранг матрицы меньше её размерности, т.е. r  A   n , то векторы линейно зависимы;
- если ранг матрицы равен её размерности, т.е. r  A   n , то векторы линейно независимы.
► Количество данных векторов равно размерности пространства n  dim R
3
 3.
Вычислим определитель
3
 0
1
4
3 4
3 2
3 7
 3
 7   15  4   3   9  2   77  21  98  0
1 5
1 3
3 5
2
7
- следовательно, данная система векторов линейно независима (определитель раскрыт по 2-й строке).
  
3
Вывод: векторы a , b , c образуют базис в пространстве R .


 

► Найдём координаты вектора d в базисе a ; b ; c .
1-й способ решения



 
x1  a  x2 b  x 3 c  d ,
  
Выразим вектор d через линейную комбинацию векторов a , b , c :


т.е. d  x 1 ; x 2 ; x 3

 - координаты вектора d

 

в базисе a ; b ; c . Решаем неоднородную систему
линейных уравнений методом Гаусса
 3 2

 0 7
 1 3

 21 0

 0 7
 0 0

4 16   3 2 4 16   21 0 34 178   21 0 34 178 
 
 
 

3
33    0 7
3
33    0 7 3 33    0 7 3 33  
5 13   0 7 11 23   0 0 14 56   0 0 1
4 
0 42   1 0 0 2 
 

0 21    0 1 0 3 
1 4   0 0 1 4 

  
Итак, в базисе  a ; b ; c  вектор d имеет координаты:

d   2 ; 3 ; 4 .
1 2-й способ решения
Если обозначить представление некого вектора в базисе
а его представление в базисе

 a ; b ; c 
как

d *,

  
e
;
e
;
e
как
d
,
 1 2 3


d *  T 1  d ,
  
  
  
где T   a b c  - матрица перехода от старого базиса  e 1 ; e 2 ; e 3  к новому базису  a ; b ; c  ;
  
  
при этом векторы a , b , c даны в представлении в базисе  e 1 ; e 2 ; e 3  .
то
 d 1* 
1
 3 2 4   d 1 
 44 2 34   16   2 


*


1



 
  
*
  3 11 9    33    3 
d  d2    0 7
3   d 2  
  
98 
7
21   13   4 
 d *   1 3 5   d 3 
 7


3
 
2) Линейное превращение в базисе e :



e 1   8 ;  6 ; 7  , e 2   16 ;7 ;  13  , e 3   9 ;  3 ; 7 
имеет матрицу
 1 18 15 


A   1 22 20 
 1 25 22 


Найти его матрицу в базисе e :



e 1   1 ;  2 ; 1 , e 2   3 ;  1 ; 2  , e 3   2 ; 1 ; 2  .
Матрица T перехода от базиса e к базису e :
e  eT
T  e 1e
 8 16 9 


3 
T   6 7
 7 13 7 


1
 1 3 2   1 1 3 

 

  2 1 1    1 2  5 
 1 2 2   1 3 6 

 

Матрица линейного преобразования в новом базисе e :
 1 1 3 


1
A  T AT   1 2 5 
 1 3 6 


1
 1 18 15   1 1 3   1 2 2 

 
 

  1 22 20    1 2 5    3 1 2 
 1 25 22   1 3 6   2 3 1 
 
 


2