Кинематика криволинейного движения Кинематика твердого тела

Кинематика криволинейного движения
Кинематика твердого тела
Задачи
1. Материальная точка движется в плоскости xy . Задан закон движения x(t ) = At ,
y (t ) = Bt 2 . Найдите: а) модуль тангенциального ускорения в зависимости от времени,
б) модуль нормального ускорения при t = 0, в) радиус кривизны траектории при t = 0.
2. Материальная точка движется в плоскости xy . Задан закон движения x(t ) = At 2 ,
y (t ) = Bt . Найдите: а) модуль тангенциального ускорения в зависимости от времени,
б) модуль нормального ускорения при t = 0, в) радиус кривизны траектории при t = 0.
3. Материальная точка движется в плоскости xy . Задан закон движения x(t ) = At ,
y (t ) = Bt 3 . Найдите: а) модуль тангенциального ускорения в зависимости от времени,
б) модуль нормального ускорения при t = 0, в) радиус кривизны траектории при t = 0.
4. Материальная точка движется в плоскости xy . Задан закон движения x(t ) = At 3 ,
y (t ) = Bt 2 . Найдите модуль вектора полного ускорения точки a(t) в зависимости от
времени.
движения материальной точки задан уравнениями x = 2b cos 2 (ωt ) ,
y = b sin( 2ωt ) , где b и ω - положительные постоянные. Найдите: а) уравнение траектории материальной точки; б) величину скорости материальной точки; в) величину
тангенциального ускорения; г) величину нормального ускорения; д)радиус кривизны
траектории.
r
6. Тело брошено со скоростью υ 0 под углом α к горизонту. Найдите в верхней точке
траектории: а) модуль скорости, в) модуль тангенциального ускорения, г) модуль
нормального ускорения, д) радиус кривизны траектории.
r
7. Камень брошено со скоростью υ 0 под углом α к горизонту. Найдите в начальной
точке траектории а) модуль тангенциального ускорения, б) модуль нормального ускорения, в) радиус кривизны траектории.
5. Закон
8. Колесо радиуса R = 0,1 м катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Скорость оси колеса постоянна и равна υ c = 2 м/с. Вычислите скорость, ускорение и радиус кривизны траектории верхней точки A обода колеса в K -системе отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью.
9. При резком ускорении колесо автомобиля проскальзывает относительно полотна дороги. Скорость точки A (см. рис.) относительно земли равна υ A = 4 м/с, а скорость точки C (центра
колеса) равна υC = 20 м/с. Определите скорость точки B, расположенной посередине между A и C.
Ответы
С
υA
B
A
υc
1. aτ =
2. aτ =
3. aτ =
4 B 2t
A2 + (2 Bt ) 2
, an = 2 B ,
4 A2t
B 2 + 4 A2t 2
18B 2t 3
A2 + (3Bt 2 ) 2
r=
A2
2B
B2
an = 2 A , r =
2A
an (0) = 0
r ( 0) → ∞
4. a = (6 At ) 2 + (2 B ) 2
2
2
⎛x ⎞ ⎛ y⎞
5. ⎜ − 1⎟ + ⎜ ⎟ = 1 , V = 2bω , a τ = 0 , a n = 4bω 2 , r = b
⎝b ⎠ ⎝b⎠
6. R =
(V0 cos α )2
g
υ 02
g cos α
8. υ A = 4 м/с; a = 40 м/с2, вектор ускорения направлен к центру колеса; ρ = 4 R = 0,4 м
9. υ B = (υC − υ A ) / 2 = 8 м/с
7. r =
Решения некоторых задач
1. Материальная точка движется в плоскости xy . Задан закон движения x(t ) = At ,
y (t ) = Bt 2 . Найдите: а) модуль тангенциального ускорения в зависимости от времени,
б) модуль нормального ускорения при t = 0, в) радиус кривизны траектории при t = 0.
Решение.
Сначала найдем проекции скорости и ускорения на координатные оси:
'
dx
dy
'
υx =
= ( At ) = A ,
υy =
= Bt 2 = 2 Bt ,
dt
dt
dυ y
dυ x
'
ax =
= 0,
ay =
= (2 Bt ) = 2 B .
dt
dt
( )
По определению тангенциального ускорения:
aτ =
dυ
,
dt
где модуль скорости равен
υ = υ 2x + υ 2y =
Вычисляем производную:
(
A2 + 4B 2t 2 .
)
'
dυ
aτ =
= A2 + 4B 2t 2 =
dt
Нормальное ускорение найдем из соотношения:
a 2 = a n2 + a τ2 ,
где квадрат полного ускорения равен:
4B 2t
A2 + 4B 2t 2
.
(1)
a 2 = a x2 + a y2 = (2 B) 2 .
Следовательно:
a n = a 2 − a τ2 = (2 B ) 2 − a τ2 .
Подставив в это выражение формулу (1) можно получить нормальное ускорение в произвольный момент времени t . Но нас интересует момент t = 0 . При этом из (1) следует, что
a τ = 0 . Поэтому
a n (0) = 2 B .
a n = υ 2 / r . При t = 0
Радиус кривизны траектории найдем из формулы
υ = υ 2x + υ 2y =
скорость
A 2 + 4 B 2 t 2 = A и радиус кривизны
r=
υ2 A2
=
.
an 2B
4. Материальная точка движется в плоскости xy . Задан закон движения x(t ) = At 3 ,
y (t ) = Bt 2 . Найдите модуль вектора полного ускорения точки a(t) в зависимости от времени.
Решение. Находим проекции вектора ускорения на координатные оси:
υx =
( )
'
dx
= At 3 = 3At 2 ,
dt
υy =
dυ x
'
= 3 At 2 = 6 At ,
dt
(
ax =
( )
'
dy
= Bt 2 = 2 Bt ,
dt
ay =
dυ y
dt
)
= (2 Bt ) = 2 B ,
'
а затем модуль вектора ускорения: a = a x2 + a y2 = (6 At ) 2 + 4 B 2 .
5. Закон движения материальной точки задан уравнениями x = 2b cos 2 (ωt ) ,
y = b sin(2ωt ) , где b и ω - положительные постоянные. Найдите: а) уравнение траектории
материальной точки; б) величину скорости материальной точки; в) величину тангенциального ускорения; г) величину нормального ускорения; д)радиус кривизны траектории.
Решение.
а) Выводим уравнение траектории:
x 1 + cos(2ωt )
=
⇒
2b
2
2
⎛x ⎞
2
cos (2ωt ) = ⎜ − 1⎟ ,
⎝b ⎠
2
⎛ y⎞
sin (2ωt ) = ⎜ ⎟ .
⎝b⎠
2
Отсюда
2
2
⎛x ⎞ ⎛ y⎞
⎜ − 1⎟ + ⎜ ⎟ = 1 .
⎝b ⎠ ⎝b⎠
б) Вычисляем скорость:
Vx =
dx
= −4bω cos(ωt ) sin(ωt ) = −2bω sin(2ωt ) ,
dt
Vy =
dy
= 2bω cos(2ωt ) .
dt
(1)
V = V x2 + V y2 = 2bω .
в) По определению тангенциального ускорения
dV
aτ =
= 0.
dt
г) Сначала найдем полное ускорение
2
2
⎛ dV ⎞ ⎛ dV y ⎞
⎟ = 4bω 2 ,
a=
+
= ⎜ x ⎟ + ⎜⎜
⎟
dt
dt
⎝
⎠ ⎝
⎠
а затем вычислим нормальное ускорение
a x2
a 2y
a n = a 2 − a τ2 = a = 4bω 2
д) Используя формулу a n = V 2 / r , вычислим радиус кривизны траектории:
V2
=b
an
Все понятно: точка равномерно со скоростью V = 2bω движется по окружности радиуса b. Уравнение этой окружности выражается формулой (1). Координаты центра окружности:
(b, 0).
r=
r
7. Камень брошен со скоростью υ 0 под
углом α к горизонту. Найдите в начальной точке
траектории: а) модуль тангенциального ускорения, б) модуль нормального ускорения, в) радиус
кривизны траектории.
Решение. Вектор ускорения в любой точке траектории направлен вертикально вниз, а его величина равна ускорению свободного падения g :
r r
a=g.
r
υ0
α
r
aτ
r
g
r
an
На рисунке вектор ускорения представлен в виде
r
r
суммы нормального a n и тангенциального a τ усr r r
r
корений: a = g = a n + a τ .
В начальной точке траектории угол между вектором скорости и вектором ускорения равен
β = α + π / 2 . При этом, как видно из рисунка:
r
r
a n =| a n |= g cos α , a τ =| a τ |= g sin α .
Радиус r кривизны траектории в начальной точке найдем из формулы a n = υ 02 / r :
υ 02
.
g cos α
8. Колесо радиуса R = 0,1 м катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Скорость оси колеса постоянна и равна υ c = 2 м/с. Вычислите скорость, ускорение и
радиус кривизны траектории верхней точки A обода колеса в K -системе отсчета, связанной
с горизонтальной поверхностью.
r=
Решение.
1) Рассмотрим движение колеса в K ' -системе отсчета, которая движется поступательно вместе с центром колеса. В этой системе отсчета колесо вращается вокруг неподвиж-
ной оси, проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью ω . Скорости точек
обода колеса направлены по касательной к ободу и определяются формулой υ л = ωR - эту
скорость называют линейной скоростью.
A υл
2) Скорость точки обода колеса относительно неподвижной K - системы отсчета определяется формулой:
r r
r
υ = υ л + υc ,
где υ л - скорость точки относительно «движущейся» K ' r
системы отсчета, υ c - скорость «движущейся» системы отсчета
относительно неподвижной.
В отсутствие проскальзывания скорость нижней точки B
колеса (рис.) равна нулю: 0 = υ c − υ л . Следовательно, в этом
случае линейная скорость точек обода колеса равна скорости
его.
υл
υc
С
υc
B
υc
3) Скорость верхней точки A колеса равна
υ A = υ л + υ c = 2υc = 4 м/с.
Заметим, что этот результат можно получить другим способом. Точка B , покоящаяся в каждый данный момент времени в неподвижной системе отсчета, называется мгновенной осью
вращения. Скорость любой точки колеса в этот момент может быть вычислена по формуле
r rr
r
υ = ωr , где r - расстояние от точки до мгновенной оси вращения (строго υ = [ωr ] , где r
проведен от мгновенной оси к выбранной точке колеса). Тогда
υc = ωR , υ A = ω2 R .
Из этих уравнений следует υ A = 2υc = 4 м/с.
5) Ускорение произвольной точки одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
Проще всего вычислит ускорение в K ' -системе отсчета, где каждая точка обода колеса движется с постоянной скоростью υ c . Нормальное ускорение этих точек равно
a=
υ 2л υc2
=
= 40 м/c2.
R
R
Такое же ускорение всех точек обода колеса будет в инерциальной K -системе отсчета. Радиус кривизны точки A в K -системе отсчета равен
υ2 υ2
rA = A = A2 R = 4 R = 0,4 м.
υc
a
9. При резком ускорении колесо автомобиля проскальзывает относительно полотна
дороги. Скорость точки A (см. рис.) относительно земли равна υ A = 4 м/с, а скорость точки C
(центра колеса) равна υC = 20 м/с. Определите скорость точки B, расположенной посередине между A и C.
Решение.
Так как скорости точек A и C направлены противоположно и горизонтально, то мгновенная ось вращения перпендикулярная плоскости чертежа,
пересекает его плоскость в точке O, принадлежащей отрезку AC.
υc
Обозначим OC = rC , OA = rA . Тогда
С
υC = ωrC = ω( R − rA ) ,
υ A = ωrA ,
B
υA
A
O
⎛R
⎞
υ B = ω⎜ − rA ⎟ .
⎝2
⎠
Из этих уравнений получим ответ: υ B = (υC − υ A ) / 2 = 8 м/с.