векторная алгебра

Векторы сберегают мел и расходуют мозг.
У. Томсон
Часть 1
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В природе и технике часто встречаются физические величины,
определяемые одним числом: время, температура, давление, масса, объем,
плотность и т.д. Эти величины называются скалярными. Если для определения
величин требуется указать не только численное значение, но и направление, то
они являются векторными: скорость, ускорение и т.д. Векторы обычно
обозначаются
r прямым жирным шрифтом ( V ), стрелкой или чертой над
символом (V , V ). Векторное описание широко используется в механике ввиду
компактности и наглядности и, кроме того, независимости от выбора системы
координат.
Указанные векторные величины являются истинными, так как обладают
действительным, а не условным направлением. Их также называют полярными.
Направление полярных векторов естественным образом вытекает из их
природы. Существуют также аксиальные векторы. Аксиальными (осевыми, или
псевдовекторами) называются угловые векторы, направление которых
связывают с направлением вращения: элементарное угловое перемещение dφ ,
угловая скорость ω , момент импульса L и пр. Например, перемещение dϕ
характеризуется не только своим значением, но и плоскостью, в которой оно
происходит. Для ее фиксирования dφ рассматривают как вектор,
перпендикулярный этой плоскости и направленный так, что, например, глядя на
его конец, вращение было бы видно против часовой стрелки (т.е. по правилу
правого винта – см. п. 2.2.2, часть 1) (рис. 1). Обычно такие векторы вводят для
удобства представления, наглядности и упрощения расчетов.
dφ
Вектором, или геометрическим вектором, называется
направленный отрезок. Модулем, или длиной, вектора a называется
число a (или просто a ), измеряющее вектор в определенных
единицах меры. Начало вектора называют точкой его приложения.
Рис. 1
Каждому вектору, например, вектору перемещения, скорости и пр.,
можно сопоставить прямолинейный отрезок, имеющий направление вектора, и
длину, равную численному значению вектора, отложенному в некотором
масштабе.
Пример Ф1.1. Скорость движения материальной точки – векторная
величина. При изучении ее изменения необходимо рассматривать изменение
как по модулю, так и по направлению. Например, при равномерном движении
по окружности модуль скорости остается постоянным, а ее направление
7
меняется в каждый момент времени и повторяется через промежуток времени,
равный периоду.
В рамках математического определения вектора точка его приложения
может быть выбрана произвольно из соображений наглядности и т.д. Такие
векторы называют свободными. В физике и, в частности, в механике,
встречаются скользящие и связанные векторы. У скользящих (передвижных)
векторов точку их приложения можно перемещать произвольно вдоль
определенной прямой, на которой лежит вектор, линии действия, а у связанных
(определенных, приложенных) векторов точка приложения фиксирована.
Полярные векторы являются связанными, аксиальные – скользящими,
геометрические – свободными. Изучение скользящих и связанных векторов
можно свести к изучению свободных, поэтому на них и акцентируем внимание
в дальнейшем.
Пример Ф1.2. Примером скользящего вектора может служить сила,
приложенная к абсолютно твердому телу (такие силы, равные и расположенные
на одной прямой, оказывают на твердое тело одинаковое механическое
воздействие), т.к. за точку приложения силы можно взять любую точку на
линии ее действия. В качестве примера связанного вектора можно привести
силу, приложенную к некоторой точке деформируемого тела. В частности, при
рассмотрении движения жидкости за точку приложения силы, действующей на
частицу жидкости, принимается какая-либо точка этой частицы. К
а
скользящим векторам относится, в частности, вектор угловой
скорости, а вектор линейной скорости связанный.
а)
Графически любую векторную величину можно представить
стрелкой, длина которой равна модулю, или абсолютной величине,
.
вектора, а направление указывает направление вектора в
б)
пространстве (рис. 2а). Заметим, что вектор, например,
Рис. 2
отвечающий повороту согласно рис. 1, перпендикулярный
плоскости рисунка и направленный от нее и за нее обозначается
b
соответственно видом с начала и конца стрелки (рис. 2б).
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на
параллельных прямых (a и c на рис. 3), и ортогональными –
с
если на взаимно перпендикулярных прямых (a и b , b и c на рис.
3). Два вектора называются равными, если равны их модули и
направления совпадают (рис. 4). Это значит, что всякий вектор
можно переносить параллельно самому себе, т.е. его начало
а
может находиться где угодно. При сравнении как скаляров, так и
Рис. 3
векторов, сравниваемые величины должны
обладать одинаковой размерностью. Так, например, нельзя b
сравнивать силу со скоростью и т.п.
а
Вектор, длина которого равна нулю, т.е. его начало и
конец совпадают, называется нулевым. Его направление не
Рис. 4
определено. Вектор ( − a ), длина которого равна длине вектора
8
a , а направление противоположно, называется вектором,
противоположным вектору a (рис. 5). Если длина вектора
равна единице, то он называется единичным. Парой векторов
называются два скользящих вектора a и − a , линии действия
а
которых параллельны, а расстояние между ними – плечо пары
(например, пара сил, действующих на твердое тело (см. пример
Рис. 5
Ф1.20); пара вращений, т.е. пара угловых скоростей ω и − ω ,
что эквивалентно поступательному движению тела).
Пример Ф1.3. Согласно закону равенства действия и противодействия,
или третьему закону Ньютона, силы, с которыми две материальные точки
действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в
F21
противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти F12
точки: F12 = −F21 (рис. 6). Векторы силы F12 , действующей на
1 2
первую материальную точку со стороны второй, и силы F21 ,
Рис. 6
действующей на вторую точку со стороны первой, являются
противоположными (и коллинеарными).
Пример Ф1.4. На тело массы m , находящееся в поле тяготения Земли,
действует сила тяжести P = mg , где g – ускорение свободного падения.
Силами реакции называются силы, с которыми на изучаемое тело действуют
другие тела, ограничивающие его движение. Если подвесить тело (рис. 7) или
положить его на опору (рис. 8), то оно будет покоиться относительно Земли:
сила тяжести уравновешивается силой R реакции опоры (или
подвеса) P = −R .
R
По
третьему
закону
Ньютона
тело
R
действует на опору (или подвес) с силой G ,
весом тела. Опора (или подвес) действует на
P
G
тело
с
силой
R
,
и
тогда
G
=
−
R
,
т.е.
G
=
P
G
Рис. 8
P
(равенство справедливо, если тело покоится
Рис. 7
относительно Земли или движется без ускорения). Векторы сил P
и R , G и R попарно являются противоположными, а G и P – равными.
Отметим, что силы G и P приложены к разным телам: G – к опоре (или
подвесу), P – к исследуемому телу.
Пример Ф1.5. Коллинеарными векторами в ньютоновской механике
согласно закону пропорциональности силы и ускорения, или второму закону
Ньютона, являются сила и ускорение, вызванное данной силой: F = ma , где m
– инертная масса. Рассмотрим установку, в которой пружина сжата внешними
силами, приложенными к телам с массами m1 и m2 (рис. 9 – для случая
m1 > m2 ). После прекращения действия
сил тела приходят в ускоренное F1 a1
a 2 F2
m
m
2
движение (с ускорениями a1 и a2 ), и, как
1
установлено экспериментально, всегда
выполняется соотношение m1a1 = m2 a2 ,
Рис. 9
−а
9
т.е. F1 = F2 ( F1 = −F2 ). Этот опыт наглядно демонстрирует выполнение третьего
закона Ньютона. Здесь коллинеарными векторами являются F1 , a1 , F2 , a 2 , а
противоположными F1 и F2 . Отметим, что векторы a1 и a 2 в общем случае
(т.е. при m1 ≠ m2 ) не являются противоположными, т.к. a1 a2 = m2 m1 ≠ 1 .
Пример Ф1.6. Примером ортогональных векторов могут служить векторы
силы тяжести и скорости тела, движущегося по плоской горизонтальной
поверхности.
Рассмотрим, в частности, тело с массой m1 в рамках системы тел рис. 9.
На тело действуют силы: сила F1 , вызывающая ускорение a1 (сила реакции со
стороны пружины), сила тяжести P = m1g и сила нормальной реакции опоры
R = R1 + R 2 ( R / 2 = R1 = R 2 , например, при равномерном распределении массы
m1 вдоль оси X ). Пусть направления векторов
скорости V1 , ускорения a1 и силы F1 совпадают с
R1 R 2
F
V
a
1
1
1
положительным направлением оси X (рис. 10).
m1
Векторы V1 , a1 , F1 имеют одинаковое X
направление. Так как эти векторы являются
m1g
свободными, их можно представить выходящими из
Рис. 10
одной точки приложения и действующими вдоль
одной линии. Ввиду того, что V1 , a1 и F1 имеют различный физический смысл,
над ними нельзя проводить какие-либо операции, например, сравнение,
сложение и пр. Векторы R1 , R 2 также направлены одинаково, а R1 и P –
противоположно друг другу, причем R1 , R 2 и P имеют одинаковую
размерность (силы) и их можно сравнивать.
Коллинеарными векторами являются: 1) R , R1 , R 2 , P ; 2) V1 , a1 , F1 .
Любая пара векторов, включающая один вектор из группы 1, а другой из группы
2, представляет собой ортогональные векторы. Векторы R и P являются
противоположными, а векторы, получаемые с помощью соотношений ( R + P )
(см. P = − R ) и ( F1 − m1a1 ) (см. F1 = m1a1 ) нулевыми.
2. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
2.1. Линейные операции над векторами
Операции сложения векторов и умножения векторов на вещественные
числа называют линейными операциями над векторами.
2.1.1. Сложение и вычитание векторов
Суммой c = a + b двух векторов a и b называется вектор, идущий из
начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к
10
концу вектора a . На рис. 11 показана такая процедура
сложения по правилу треугольника. Можно дополнить
треугольник до параллелограмма (рис. 14).
b
Сложение векторов обладает свойствами сложения
а
вещественных чисел. Выделим два основных из них:
Рис. 11
1) переместительное свойство: a + b = b + a ;
2) сочетательное свойство: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c .
Для сложения трех и более
с
b
b
векторов удобно применять правило
замыкания
ломанной
до
а+b+c
многоугольника, наглядно проде- а
d
а
монстрированное
для
четырех
d
O а+b+c+d A
векторов a , b , c и d на рис. 12. Из
произвольной точки O откладыс
вается вектор a , из конца a
Рис. 12
b,
к
откладывается
вектор
полученной сумме двух векторов добавляется третий вектор c , из конца
которого откладывается последнее слагаемое – вектор d . Вектор с началом в
начале вектора a , точке O , и концом в конце вектора d , точке A , будет суммой
четырех векторов a , b , c и d , или их вектор-суммой. Если многоугольник,
построенный на данных векторах, окажется замкнутым,
а b
так что конец последнего вектора совпадает с началом
−b
первого, то их сумма равна нулю.
Разностью c = a − b двух векторов называется
с
−b
сумма вектора a с вектором (– b ), противоположным
Рис. 13
вектору b (рис. 13): a − b = a + (−b) и a − b = −(b − a) .
Разность a − b двух векторов определяется как вектор, идущий от конца
вычитаемого вектора b к концу уменьшаемого вектора a (рис. 14). Главным
вектором множества векторов {a i } является вектор, равный ∑ a i , при этом
с
i
точки приложения векторов совмещены путем параллельного переноса.
Пример Ф1.7. Как отмечалось ранее, силу принято считать вектором, т.е.
сила задана, если известно: 1) численное значение, определяющее
интенсивность воздействия, 2) направление,
а+b
а−b
совпадающее
с
направлением
ускорения,
сообщаемого телу этим воздействием, и 3) точка
b
приложения.
Результирующую F всех сил, действующих
а
−b
на материальную точку, можно определить по
принципу суперпозиции: F = ∑ Fi , где Fi – сила, с
а + (−b)
которой действовала бы на данную точку i -е тело
Рис. 14
в отсутствие других тел. Принцип основан на
обобщении опытных данных и учитывает тот факт, что тела, являющиеся
11
источниками сил, не влияют друг на
друга, и, следовательно, не изменяют
F
своего состояния от присутствия других
F1
F1
F2
тел. Построение результирующей силы
F2
F = F1 + F2 по правилу параллелограмма
O
проиллюстрировано на рис. 15. Здесь
груз 1 подвешен за две нити. Если точка
1
подвеса O неподвижна, то векторная
F3
сумма сил реакции подвеса F1 и F2
F1 + F2 = −F3
F3
уравновешена направленной вниз силой
r
тяжести F3 , т.е. главный вектор этой
Рис. 15
системы сил нулевой.
Пример Ф1.8. Некоторое твердое тело одновременно вращается с
угловыми скоростями ω1 , ω 2 = 2ω1 , ω3 = 3ω1 , вокруг трех взаимно
перпендикулярных осей, проходящих через одну точку. Как по отношению к
ним ориентирована некоторая ось, вращение вокруг которой заменяет все эти
вращения и с какой угловой скоростью движется тело вокруг нее?
Решение. Вектор угловой скорости ω (см.
Z
пример Ф2.9) удовлетворяет свойству сложения
векторов,
т.е.
ω = ω1 + ω 2 + ω 3
(рис.
16,
ω
ω3
ω 0 = ω1 + ω 2 ). Т.к. векторы перпендикулярны, то
ω2
ω = ω12 + ω 22 + ω32 = ω1 14 .
ω1
ω0
Пример
Ф1.9.
Самолет
пролетает X
Y
последовательно стороны АВ, ВС и СА треугольника
Рис. 16
ABC за данные промежутки времени t1 , t 2 и t3
соответственно. При этом его все время сносит с курса ветром с постоянной
скоростью U . Определить скорость U и собственную скорость самолета V .
Решение. По длинам сторон и промежуткам времени определим
фактическую скорость полета самолета по каждой из сторон треугольника (рис.
17): ϑ AB = AB / t1 , ϑ BC = BC / t 2 , ϑCA = CA / t3 . Скорости ϑ AB , ϑBC и ϑCA равны
сумме собственной скорости самолета V
(постоянной по модулю) и скорости сноса U
V AB A1
B
(постоянной по модулю и по направлению).
Начала векторов V AB , VBC и VCA поместим
O
VCA
в общей точке O , а через их концы проведем
окружность, центр которой лежит в точке D .
.
VBC
C1
D
C
Тогда векторы
V AB = OD + DA1 , VBC = OD + DB1 и
A
B1
VCA = OD + DC 1 . Очевидно, что постоянный
по величине и направлению вектор OD равен
Рис. 17
12
U , а векторы DA1 , DB1 и DC 1 , длины которых одинаковы и равны радиусу
построенной окружности соответствуют собственным скоростям самолета при
движении его по сторонам AB , BC и CA .
Пример Ф1.10. Велосипедист едет со скоростью V0 ( V0 = ϑ0 = 30 км/ч) в
северном направлении, и ему кажется, что ветер, который дует со скоростью V1
(ϑ1 = 18 км/ч) откуда-то с северо-востока, направлен почти навстречу ему: под
малым углом α = 15 o к линии его движения. Определить истинное направление
ветра. Найти кажущееся направление ветра с точки зрения велосипедиста,
который едет в обратном направлении с той же скоростью 30 км/ч.
Решение.
Суммарный
поток
воздуха,
ощущаемый
велосипедистом как действующий под углом α , складывается из V3
V0
двух потоков: встречного, движущегося со скоростью его
γ
a
собственного движения: V = − V0 , и косого со скоростью V1 .
V1
Истинное направление ветра составляет угол ϕ = α + β с
β
направлением, противоположным движению велосипедиста,
α
V
вектором V (рис. 18). Векторы V2 , V1 , V образуют треугольник:
V2
V2 = V1 + V , и по теореме синусов ϑ1 / sin α = ϑ / sin β , sin β = 0,431
( β = 25o 30' ), ϕ = α + β = 40 o 30' .
Рис. 18
При движении велосипедиста на юг угол γ между
кажущимся направлением ветра V3 и направлением, противоположным
движению велосипедиста, вектором V , определяется соотношением
ϑ1 / sin γ = ϑ / sin[180 o − (α + β + γ )] = ϑ / sin(α + β + γ ) .
Тогда ϑ / ϑ1 = [sin γ ⋅ cos(α + β ) + cosγ ⋅ sin(α + β )] / sin γ и
ctg γ = [ϑ / ϑ1 − cos(α + β )] sin(α + β ) и γ = 35o 40' .
Или иначе, разложим сложное движение на составляющие (см. пример
Ф2.10). Абсолютная скорость ветра есть V1 , его относительная скорость в системе
отсчета, связанной с велосипедистом, V2 , а переносная скорость, т.е. скорость
велосипедиста, V0 . Тогда имеем: V1 = V2 + V0 , откуда определяется направление
V1 . При движении в противоположном направлении аналогично получаем, что
V1 = V3 + V , т.е. V3 = V1 + V0 , откуда определяется направление V3 .
2.1.2. Умножение вектора на скаляр
Произведением αa (или aα ) вектора a на вещественное число α
называется вектор b , коллинеарный вектору a и длина которого равна α a .
Направление вектора b совпадает с направлением вектора a в случае α > 0 и
противоположно – при α < 0 . Если α = 0 , то для любого a произведение αa = 0
– нулевой вектор, не имеющий направления.
13
αb
b
α (a + b )
a+b
a
αar
Рис. 19 αa
Умножение вектора на скаляр подчиняется
свойствам умножения вещественных чисел:
1)
распределительному
свойству
числового
сомножителя относительно суммы векторов:
α (a + b ) = αa + αb (рис. 19);
2)
распределительному
свойству
векторного
сомножителя относительно суммы
чисел: (α + β )a = αa + β a ;
a
a −b
свойству числовых сомножителей:
b
3) сочетательному
α ( β a) = (αβ )a .
(−1)b
Пример М1.1. Разность c = a − b можно представить в
виде c = a + (−1)b . Графически процедура изображена на рис. 20.
Рис. 20
Из определения умножения вектора на вещественное
число следует, что любой вектор a можно выразить как
a = 3e a
a = ae a , где e a – орт вектора a , или единичный вектор,
ea
направление которого совпадает с направлением a , a –
a
модуль a (например, на рис. 21 a = 3 ). Умножив обе части
равенства a = ae a на 1/а, получим, что e a = a / a , т.е. орт –
Рис. 21
безразмерная величина.
Fc
Пример Ф1.11. Необходимость умножения вектора на V
скаляр часто возникает в физических задачах. Примеры: 1) сила
сопротивления, действующая на тело при его поступательном
Рис. 22
движении в газе или жидкости с малой скоростью V
(относительно среды), Fc = − µV , где µ > 0 – константа, коэффициент
сопротивления (рис. 22); 2) сила упругости пропорциональна смещению из
положения равновесия, отвечающего ненагруженному состоянию, и направлена
к этому положению: Fупр = −kr , где k > 0 – константа, коэффициент упругости,
r – радиус-вектор, характеризующий такое смещение точки; 3) вектор
приращения момента импульса dL за время dt коллинеарен вектору момента
сил: Mdt = dL (дифференцирование – см. часть 2), и пр.
Пример Ф1.12. Импульс p = mV материальной
∆p
p2
p1
точки массой m – векторная мера ее движения, т.е.
определяется и модулем, и направлением. Импульс,
также как и скорость V , направлен по касательной к
p2
траектории. При равномерном движении точки по
окружности (рис. 23) модуль импульса не
p1
изменяется, но ввиду поворота вектора импульса
можно говорить об его изменении: ∆p = p 2 − p1 .
Рис. 23
14
2.1.3. Проекция вектора на ось
В
Проекция вектора
на направление
a = АВ
a
единичного вектора e (какую-либо ось) равна
произведению длины вектора a на косинус угла ϕ ,
А
ϕ
образованного векторами
и
(рис. 24):
a
e
аe = A' B ' = а cosϕ . Итак, проекция вектора на ось равна
e В'
А'
длине отрезка, заключенного между проекциями на ось
Рис. 24
начала и конца вектора, взятой
a
В
со знаком плюс, если угол ϕ –
ϕ
острый (рис. 24), и со знаком минус, если ϕ – тупой
А
(рис. 25). Заметим, что аналогично определяется
модуль проекции аπ вектора a на плоскость π :
e
В'
А'
аπ = а cos ϕ , где ϕ – угол между a и аπ .
Рис. 25
Основные
свойства
проекции
вектора
определяются тем, что линейные операции над векторами
приводят к соответствующим операциям над их проекциями на а 2
r
произвольную ось. Так, при сложении векторов проекции а
а1
складываются: c = а + b , c x = а x + b x ; при умножении вектора
а на скаляр α его проекция также умножается на α . В связи с
e
этим данные свойства проекции вектора называются линейными.
Рис. 26
Если векторы а1 и e коллинеарны (рис. 26), то cosϕ =1 и
a1e = а1 , а если векторы а 2 и e ортогональны, то cosϕ =0 и a2 e = 0 .
Пример Ф1.13. Для изображения гармонических колебаний можно
использовать весьма наглядное их представление с помощью векторной
диаграммы. Вспомним, что гармоническими называются колебания, в которых
физическая величина x изменяется со временем t по закону
a
косинуса (или синуса): x = a cos(ωt + α ) , где a – амплитуда, α – ~
ω
ω t +α
начальная фаза, ω – частота, (ωt + α ) – фаза колебаний.
При векторном изображении колебаний (рис. 27) вектор
O
X
амплитуды a вращается с угловой скоростью ω против
Рис. 27
часовой стрелки относительно некоторой точки O . В момент
времени t = 0 вектор a образует с осью X угол α , а проекция a на X в любой
момент времени представляет собой гармоническое колебание: ax = x = a cos(ωt + α) .
Продемонстрируем использование диаграммы при сложении колебаний
x1 = a1 cos(ω 1t + α 1 ) и x 2 = a 2 cos(ω 2 t + α 2 ) одного направления одинаковых
(рис. 28) и различных (рис. 29) частот. При ее построении начало второго
вектора совместим с концом первого, а вектор, изображающий результирующее
колебание, проведем из начала первого вектора в конец второго.
15
В первом случае (см. рис. 28) результирующее
a2
колебание x = aΣ cos(ωt + α ) также является гармоническим и
α2 a
происходит с частотой ω = ω 1 = ω 2 . Векторный треугольник,
Σ
a1
образованный векторами a1 , a 2 и a Σ , вращается как твердое
α1 α
тело вокруг начала координат с постоянной угловой
O
X
скоростью ω . При определении зависимости x = x (t ) к
Рис. 28
постоянным углам α1 , α 2 , α , которые образуют векторы с
осью X , необходимо добавить одинаковое линейно
a2
возрастающее во времени значение угла ωt . Тогда
ω2 t
проекция конца вектора a на ось X будет определять
a∑
отклонение x . Параметры колебания: амплитуда aΣ и
a1
начальная фаза α , легко определяются из диаграммы:
aΣ2 = a12 + a 22 + 2a1a 2 cos(α 2 − α1 ) ,
ω1 t
a1 sin α 1 + a 2 sin α 2
tg
α
=
.
Рис. 29
a1 cos α 1 + a 2 cos α 2
В случае, проиллюстрированном на рис. 29 (здесь
для простоты полагаем α 1 = α 2 = 0 ), треугольник со сторонами a1 , a 2 , a Σ при
вращении деформируется и его форма меняется, а векторное изображение
позволяет показать траекторию конечной точки вектора a Σ . Параметры
результирующего колебания можно найти, используя тригонометрические
a + a2
[cos( ω1t ) + cos( ω 2t ]) + a1 − a 2 [cos( ω1t ) − cos( ω 2 t )];
соотношения x = 1
2
2

 ω − ω 2   ω1 + ω 2 
 ω − ω 2   ω1 + ω 2  
x = (a1 + a 2 ) cos 1
t  cos
t  − (a1 − a2 ) sin 1
t  sin
t;
2
2
2
2

 


 
 

x = a * cos(ωср t + α * ) , где a * = a12 + a 22 + 2a1 a 2 cos(2ω * t ) ,
a1 − a 2
tg(ω *t ) , ωср = 0,5(ω1 + ω2 ) , ω * = 0,5(ω1 − ω 2 ) .
a1 + a2
Данное выражение сложнее исходного x = a1 cos(ω 1t ) + a 2 cos(ω 2 t ) , но для
технически интересных случаев дает наглядные результаты. Так, например,
биения (рис. 30), реализуемые при ω1 − ω2 << ω1 , ω 2 ( ω * << ωср ), не являются
гармоническими колебаниями, но их
a1 − a 2
a1 + a 2
можно рассматривать как гармонические, x
происходящие со средней частотой ωср ,
tg α * =
амплитуда a * и начальная фаза α *
которых медленно меняются со временем
с частотами
и
2ω *
ω * ; здесь
τ б = 2π / ω1 − ω2 – период биений.
16
t
τб
Рис. 30
2.1.4. Координаты вектора
Вектор, начало которого неподвижно в рассматриваемой системе отсчета,
а конец определяет положение материальной точки A , называется радиусвектором точки A . Обычно вектор проводится из начала координат ( 0, 0, 0 ) и
характеризует расстояние до точки с координатами ( x, y, z ). Величины x, y, z –
компоненты, или проекции, радиус-вектора r ( x, y, z ) .
Любой вектор a можно разложить на
Z
компоненты: а x = а cosα , а y = а cos β , а z = а cosγ , где
cosα , cos β , cos γ – направляющие косинусы, а α , β , γ
az γ a
(рис. 31) – углы между a и единичными векторами
β
i, j, k (ортами), направленными вдоль положительных
α k j
i
полуосей X , Y , Z соответственно. Направляющие
ax Y
косинусы вектора всегда связаны соотношением
ay
X
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 .
Рис. 31
Согласно операциям векторного сложения и
умножения на число вектор а можно представить как a = a x i + a y j + a z k . Длина
этого вектора по теореме Пифагора а = а x2 + а 2y + а z2 . В компонентной форме
основные линейные операции над векторами имеют вид:
1) a + b = (а x + bx )i + (а y + by ) j + (а z + bz )k ;
2) a − b = (а x − bx )i + (а y − b y ) j + (а z − bz )k ;
3) αa = αа x i + αа y j + αа z k .
Заметим, что одно векторное равенство
равносильно трем скалярным в пространственных
задачах (в плоском случае – двум равенствам).
Пример М1.2. Пусть вектор AB (рис. 32) имеет
начало в точке А ( x1 , y1 ) и конец в точке В ( x 2 , y 2 ).
Тогда его можно представить как AB = r2 − r1 =
= ( x2 − x1 )i + ( y 2 − y1 ) j .
Длина вектора AB , т.е. расстояние между
Y
y2
B
r2
β
y1
O
α
r1 A
x1
x2 X
Рис. 32
точками А и В , равна ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 , а его направление определяется
направляющими косинусами cosα = ( x2 − x1 ) / AB , cos β = ( y 2 − y1 ) / AB .
Пример Ф1.14. Брусок массой m тянут за нить вверх по наклонной
плоскости, составляющей угол α с горизонтом (рис. 33). Коэффициент трения
скольжения равен k . Представим в координатной форме результирующую всех
внешних сил, действующих на брусок.
17
Направим ось X по направлению движения бруска, т.е. вдоль наклонной
плоскости, а ось Y – нормально ей; i и j – орты осей
Y
F
X и Y . В случае шероховатой поверхности сила ее
β
N
реакции R включает две составляющие: силу
X
нормальной реакции N и силу трения Fтр , модуль
Fтр
которой Fтр = kN . Результирующая сила FΣ по
α
принципу суперпозиции равна сумме сил тяжести mg ,
mg
реакции наклонной плоскости и силы F натяжения
Рис. 33
нити: FΣ = mg + N + Fтр + F .
Движение рассматривается в плоскости XY , поэтому
F
векторная форма записи второго закона Ньютона FΣ = ma
приводит
к
двум
скалярным
уравнениям.
Вектор
Fтр N mg F = F i + F j ,
где
и
F∑ x = −mg sin α − Fтр + F cos β
Σ
∑x
∑y
Рис. 34
F∑ y = − mg cosα + N + F sin β .
Проекция
Fтр = k (mg cosα − F sin β ) . Тогда в координатной форме
FΣ = i[F (k sin β + cos β ) − mg(k cosα + sinα )].
При движении бруска, например, с постоянной
скоростью равна нулю также компонента F∑ x и вектор
FΣ = mg + N + Fтр + F является нулевым, т.е. конец
вектора F совпадает с началом вектора mg (рис. 34). В
общем случае при наличии ускорения вдоль оси X нулю
равняется только проекция F∑ y ввиду отсутствия
движения вдоль оси Y (рис. 35).
откуда
F∑ y =0,
Y
F
N
Fтр
mg
F∑ x
X
Рис. 35
2.1.5. Понятие базиса и линейной зависимости векторов
Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной
плоскости, либо в параллельных плоскостях. Обычно говорят о компланарности
трех (и более) векторов, т.к. любые два вектора (по умолчанию являющиеся
свободными) всегда компланарны: через два вектора после приведения их к
общей точке всегда можно провести плоскость. Если векторы не являются
свободными, т.е. их нельзя переносить параллельно самим себе, то два вектора,
лежащих на скрещивающихся прямых, некомпланарны. Некомпланарными
векторами являются, например, орты осей координат i, j, k .
Пример Ф1.15. Во всех приведенных ранее примерах векторы сил,
ускорений, скоростей и т.д. являлись компланарными. Их можно было
изобразить в одной плоскости, плоскости рисунка, как в частности, все силы
mg, N, Fтр и F в примере Ф1.14.
18
Рассмотрим движение тела по гладкой наклонной поверхности под
действием горизонтальной силы F (рис. 36). Заметим, что в условиях подобных
задач тело принимается за материальную точку. На тело, кроме F , действуют
также сила реакции N и сила тяжести mg . Векторы F , N и mg проходят через
одну точку и образуют сходящуюся систему сил, но через них нельзя провести
плоскость, т.е. они некомпланарные. Если поверхность не гладкая, а
шероховатая, то появляется также сила трения скольжения Fтр , в каждый
момент времени направленная по касательной к траектории движения в
противоположную ему сторону, т.е. в общем случае действующая в плоскости
XY под некоторым углом к осям X и Y .
Обратимся вновь к примеру Ф1.14. Здесь векторы F и mg можно
спроектировать на векторы N и Fтр и разложить на две составляющие как
F=
FFтр
mg Fтр
FN
mg N
N+
Fтр , mg =
N+
Fтр . Заметим, что
R
Fтр
R
Fтр
полностью определить, например, вектор F с помощью
только вектора N нельзя, т.к. они неколлинеарны.
Излишним же является представление вектора F через три
FFтр
Fmg
FN
N+
Fтр +
mg ,
компоненты, включая mg : F =
R
Fтр
mg
Z
F
Z
Y
X
α
Y
N X
т.к. сама сила mg может быть разложена по векторам N и Fтр .
Подобные суммы произведений векторов a1, a2 , a3 , ...
F
α
на произвольные вещественные числа α1, α2 , α3 , ... вида
mg
α1a1 + α2a2 + α3a3 + ... называются линейной комбинацией
Рис. 36
векторов a1, a2 , a3 , ... Такие векторы называются линейно
зависимыми, если найдутся такие α1, α2 , α3 , ..., из которых хотя бы одно отлично
от нуля, что линейная комбинация векторов обращается в нуль:
α1a1 + α2a2 + α3a3 + ... = 0 , и линейно независимыми, если равенство нулю
возможно лишь в случае, когда все числа α1, α 2 , α3 , ... = 0 . Отметим, что
необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов
является их коллинеарность, а трех векторов – их компланарность.
Базисом векторного пространства называется линейно независимая
система векторов такая, что любой вектор может быть представлен в виде
линейной комбинации векторов этой системы. Так, в примере Ф1.14 векторы
mg, N, Fтр и F линейно зависимы, и любые два из них являются линейной
комбинацией двух других. Таким образом, любая пара лежащих в одной
плоскости неколлинеарных векторов образуют базис на плоскости.
Решая пример Ф1.15 с учетом силы трения, любой из векторов mg, N, Fтр
или F может быть представлен линейной комбинацией остальных, в то время
19
как при движении по гладкой поверхности векторы mg, N и F линейно
независимы. Итак, любая тройка некомпланарных
d
векторов образует базис в пространстве. Легко
можно показать, что каковы бы ни были β b γc
некомпланарные векторы a , b и c , для любого
b c
вектора d найдутся такие вещественные числа
α , β , γ , что справедливо равенство d = αa + β b + γc
a
αa
(рис. 37), т.е. любые четыре вектора линейно
Рис. 37
зависимы.
Базис называется ортогональным, если все векторы базиса попарно
ортогональны. Примером ортогонального базиса служит декартовая
прямоугольная система координат (см. рис. 31).
Z
Тройка ортов i, j, k полностью определяет систему
a
az
координат и является базисом координатной
системы, а любой вектор a (рис. 38) может быть
ay
единственным образом разложен по данному базису,
т.е. существует единственная тройка чисел a x , a y , a z ,
ax
Y
удовлетворяющая ранее отмеченному равенству
X
a = a x i + a y j + a z k ( a = a x + a y + a z , i = a x / a x , …).
Рис. 38
2.2. Произведение векторов
Из всех возможных определений перемножения векторов рассмотрим два
существенно различных произведения: векторное и скалярное, представляющие
интерес как с математической, так и с физической точки зрения.
2.2.1. Скалярное произведение
Скалярным произведением аb = а ⋅ b двух векторов а и
a
b называется число, равное произведению длин этих
a
векторов на косинус угла ϕ между ними: аb = а b cosϕ . В
b
ϕ
качестве угла между векторами принимается тот угол,
b
который не превосходит 180 o (рис. 39). Выражения вида
Рис. 39
ab cosϕ достаточно часто встречаются в механике.
Пример Ф1.16. Под действием постоянной силы F тело переместилось
вдоль некоторой оси с ортом e s на величину S . Определить работу силы F .
Решение. Разложим силу F на две составляющие
Fs
es
(рис. 40): совпадающую с направлением перемещения Fs и
α
перпендикулярную ему Fn . Очевидно, что работа A суммы
Fn
F
сил F = Fs + Fn равна сумме работ этих сил, работа силы Fn
Рис. 40
20
равна нулю, а работа силы Fs – произведению модуля силы на пройденный
путь: A = Fs S , где Fs = F cosα . Тогда A = FS cosα , т.е. работа силы F на
перемещении S определяется скалярным произведением векторов F и Se s :
A = FSe s . Работа A – величина алгебраическая: в зависимости от угла между
вектором F и направлением перемещения она может быть положительной,
отрицательной или нулевой (подробнее см. п. 2.2.7, часть 3).
Пример
М1.3.
Пусть
–
единичный
вектор,
тогда
e
аe = ae cosϕ = a cosϕ = ae , где ϕ – угол между а и e . Следовательно, скалярное
произведение любого вектора на единичный определяет величину проекции
этого вектора на направление единичного вектора.
Скалярное
произведение
обладает
следующими
основными
алгебраическими и геометрическими свойствами:
1) переместительное свойство: ab = bа ;
2) сочетательное свойство относительно числового множителя:
(αa)b = α (ab ) ;
3) распределительное свойство относительно суммы векторов:
(a + b)с = aс + bс ;
4) скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов
равно нулю: аb = ab cos(90 o ) = ab ⋅ 0 = 0 , и обратно: если скалярное произведение
двух отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы взаимно
перпендикулярны;
5) два ненулевых вектора составляют острый (тупой) угол тогда, когда их
скалярное произведение положительно (отрицательно): cosα > 0 при
α ∈ [0, 90 o ) и cosα < 0 при α ∈ (90 o , 180 o ] .
C
Пример М1.4. Доказать, что три высоты
треугольника пересекаются в одной точке.
z
b
a
Решение. Пусть точка O – точка пересечения
O
высот (рис. 41). Введем векторы x, y, z , направленные
y
x
из точки O в вершины треугольника A, B, C . Тогда
a = z − y , b = x − z , c = y − x . Рассмотрим высоты, A
c
B
опущенные из вершин A и B . Из условия
Рис. 41
ортогональности векторов x и a , y и b следует
равенство нулю их скалярного произведения: xa = x(z − y ) = xz − xy = 0 и
yb = y (x − z ) = yx − yz = 0 . Складывая полученные соотношения, получаем, что
xz − yz = (x − y )z = −cz = 0 , т.е. OC перпендикулярен к AB , и точка O лежит на
высоте, опущенной из точки C .
c
b
Пример М1.5. Рассмотрим произведение вектора
ϕ
a
c = a + b на самого себя: сс = (a + b)(a + b) = аа + bb + 2аb , что
можно записать в форме с 2 = а 2 + b 2 + 2аb cosϕ , которая
21
Рис. 42
называется теоремой косинусов (рис. 42). Если принять c = a − b , то
с 2 = а 2 + b 2 − 2аb cosϕ . Эти выражения часто используются в задачах механики
при сложении не ортогональных векторов, для которых формула не сводится к
2
2
теореме Пифагора. Длины векторов на рис. 14 а − b = а + b − 2аb cos ϕ и
а + b = а 2 + b 2 + 2аb cosϕ при угле ϕ между a и b .
Для единичных векторов i, j, k скалярные произведения
ii = jj = kk = 1 и ij = ik = jk = 0 .
С учетом этого скалярное произведение в координатной форме можно
представить
как
аb = (a x i + a y j + a z k )(bx i + b y j + bz k ) = a x bx + a y b y + a z bz .
Длина вектора а : a = аа = a x2 + a 2y + a z2 , а угол ϕ между векторами а и b
определяется по формуле cosϕ =
a xbx + a yb y + az bz
ab
=
.
2
2
2
2
2
2
ab
ax + a y + a z a x + a y + a z
Пример Ф1.17. Пусть частица массой m движется со скоростью V под
dV
действием силы F . Уравнение движения частицы имеет вид m
=F
dt
(дифференцирование – см. часть 2). Умножим это равенство скалярно на
dV
скорость: m
V = FV . Учитывая, что V dV = V (dV ) V = ϑ dϑ , где (dV) V –
dt
d  mϑ 2 
проекция dV на направление V , получаем, что FV =
. В частности,
dt  2 
если F = 0 , то mϑ 2 / 2 = const , что представляет собой одну из форм закона
сохранения энергии.
Пример Ф1.18. Две частицы движутся в однородном поле тяжести. В
начальный момент они находились в одной точке и имели скорости ϑ10 и ϑ20 ,
направленные горизонтально в противоположные стороны. Найти расстояние
между частицами в момент, когда векторы скоростей окажутся взаимно
перпендикулярными.
i
Решение. Векторы скорости V1 и V2 в проекциях
V10
V 20 X
j
на оси декартовой системы координат (рис. 43 – для
случая ϑ20 > ϑ10 ) в момент времени t можно
представить как V1 = −ϑ10 i + gtj и V2 = ϑ20 i + gtj .
Определим момент времени t* , когда V1 ⊥ V2 , из
V1
условия равенства нулю скалярного произведения: Y
V2
V1V2 = ϑ1ϑ2 cos(90o ) = −ϑ10ϑ20 + g 2t*2 ⇒ t* = ϑ10ϑ20 / g .
Рис. 43
Проекции скоростей на ось Y одинаковы,
22
поэтому частицы за время t* по вертикали совершат одинаковое перемещение,
равное gt * 2 / 2 . В связи с этим расстояние между частицами в любой момент
времени будет складываться из горизонтальной составляющей: S = S1 + S 2 , где
S1 = ϑ10 t и S 2 = ϑ20t . Тогда требуемое расстояние S* = (ϑ10 + ϑ20 ) ϑ10ϑ20 / g .
2.2.2. Векторное произведение
Тройка некомпланарных векторов а, b, c называется правой (левой) (рис.
44, 45), например, 1) если находясь внутри телесного угла, образованного
приведенными к общему началу векторами а, b, c , мы видим
правая
поворот от а к b и от него к с совершающимся против часовой
c
стрелки (по часовой стрелке соответственно), или 2) если
поступательное перемещение в направлении третьего вектора при
b
a
повороте от первого ко второму на угол, меньший π ,
осуществляется по правилу правого (левого) винта, или 3) если
c
направить большой, указательный и средний пальцы руки по
левая
векторам а, b, c , тогда правая рука укажет соотношение векторов
Рис. 44
в правой тройке, а левая – в левой (правило правой и левой руки).
Различают правую и левую декартовые прямоугольные
правая
системы координат. Легко проверить, что рассматриваемая
обычно декартовая система является правой, т.е. орты i, j, k
образую правую тройку векторов. В правой системе XYZ поворот
левая
от оси X кратчайшим образом к оси Y вокруг оси Z происходит
против часовой стрелки. При решении задач наиболее просто Рис. 45
расположить некоторые векторы а, b, c в такой тройке по
аналогии, ассоциируя первый вектор а с X , b с Y и получаемый вектор c с Z .
При переходе от левой системы к правой или обратно аксиальный вектор
меняет свое направление на противоположное, а полярный остается без
изменения. Так, например, определяя направление аксиального вектора угловой
скорости ω по правилам правого и левого винта, мы получим два
противоположных вектора, в то время как направление полярного вектора
линейной скорости V будет оставаться неизменным.
Природу того или иного механического вектора можно также определить
по следующему правилу: если при отражении движения в плоскости,
перпендикулярной к рассматриваемому вектору, направление движения
изменится на обратное, то этот вектор – полярный, а если останется неизменным
– то аксиальный. Так, при отражении вращения в плоскости, перпендикулярной
оси вращения, вращение будет происходить в ту же самую сторону, т.е. вектор
ω – аксиальный, а при отражении вектора скорости точки в перпендикулярной
ему плоскости движение точки будет происходить в обратном направлении, т.е.
вектор V – полярный.
23
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор
с = [а, b ] = а × b , удовлетворяющий трем требованиям:
1) длина вектора с равна произведению длин векторов а и b на синус
угла ϕ между ними: c = ab sin ϕ ;
2) вектор с ортогонален векторам а и b (перпендикулярен плоскости,
содержащей а и b );
3) векторы а, b, c , приведенные к общему началу, образуют правую
тройку векторов.
Векторное
произведение
обладает
следующими
основными
алгебраическими и геометрическими свойствами:
1) свойство антиперестановочности сомножителей: [а, b ] = −[b, а];
2) сочетательное свойство относительно числового
Y
множителя: [(αа), b ] = α [а, b ] ;
3) распределительное свойство относительно суммы
b
векторов: [(а + b), с] = [а, с] + [b, c];
h
ϕ a
4) [а, а] = 0 ;
X
5) [а, b ] = 0 , если а = 0 , или b = 0 , или а || b ;
Рис. 46
6) модуль векторного произведения [а, b ] равен
площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу
векторах а и b (рис. 46): S = ah = c = ab sin ϕ .
Векторные произведения координатных ортов i, j, k :
[i, j] = k , [ j, i ] = −k , [i, k ] = −[k , i ] = j , [ j, k ] = −[k , j] = i , [i, i ] = [ j, j] = [k , k ] = 0 .
Векторное произведение векторов а и b в координатной форме
[а, b] = (a x i + a y j + a z k ), (bx i + b y j + bz k ) ,
[
i
[a, b] = a x
 bx

]
k

a z  = i (a y bz − a z b y ) + j(a x bz − a z bx ) + k (a xb y − a y bx ) .
b y bz 
Пример М1.6. Покажем, что определения векторного произведения: 1)
с = [а, b ] , где c = ab cosϕ , и 2) c x = a y bz − a z b y ( c y , c z – аналогично),
эквивалентны друг другу.
Для этого рассмотрим скалярные произведения ac и bc :
ac = a[a, b] = a x (a y bz − a z b y ) + a y (−a x bz + a z bx ) + a z (a x b y − a y bx ) = 0
и аналогично bc = b[a, b ] = 0 . Отсюда следует, что вектор c перпендикулярен к
векторам a и b (косинус угла между векторами равен нулю), и, следовательно,
плоскости, в которой они лежат. Положительное направление определяется
дополнительным условием, например, [i, j] = k . Произведение
j
ay
[a, b ][a, b ] = a 2b 2 − (ab ) 2 = a 2b 2 − a 2b 2 cos 2 ϕ = a 2b 2 sin 2 ϕ , т.е. c = ab sin ϕ .
24
Пример М1.7. Векторное произведение двух полярных векторов c = [a, b]
является аксиальным вектором. Покажем это.
При отражении векторного произведения c в плоскости составляющих
векторов a и b векторы c, a, b не изменятся, следовательно, вектор c –
аксиальный (об этом свидетельствует также изменение знака c на обратный
при переходе от право- к левовинтовой системе). Используя координатное
представление, отметим, что при зеркальном отображении в одной из
координатных плоскостей, например, yz , т.е. при переходе от одной декартовой
системы к другой по формулам x ' = − x , y ' = y , z ' = z , составляющие полярного
вектора a(a x , a y , a z ) преобразуются как a x ' = − a x , a y ' = −a y , a z ' = − a z . При
l=∆r.sinα
векторном произведении полярных векторов a и b(bx , b y , bz ) получаем, что
[a, b]x' = ay'bz' − az'by' = aybz − az by = [a, b]x , [a, b]y' = az'bx' − ax'bz' = −azbx + axbz = −[a, b]y ,
[a, b] z ' = a x 'b y ' − a y 'bx ' = −a x by + a y bx = −[a, b] z , т.е. вектор [a, b] – аксиальный.
Подобные преобразования можно провести относительно всех
координатных осей: x ' = − x , y ' = − y , z ' = − z . При этом составляющие полярного
вектора изменят свой знак на противоположный, а аксиального вектора – нет.
Аксиальные векторы возникают в механике как результат векторного
произведения полярных, и понятие векторного произведения также появилось
именно здесь.
Пример Ф1.19. Моментом вектора, например, силы F , приложенной в
точке A (рис. 47), относительно точки O , центра момента, называется
векторное произведение радиус-вектора r точки
приложения вектора, здесь силы, на этот вектор:
M
M O = [r , F] . Момент силы, как и сила, является
F
O
r
вектором и направлен перпендикулярно плоскости, в
α
которой лежит F и точка O , в сторону поступательного
l
A
перемещения правого винта, если вращать его данным
моментом. Модуль момента M = Fl , где l = r sin α –
Рис. 47
плечо силы относительно точки O .
Главным моментом множества векторов {a i }
F1
относительно точки O является вектор, равный сумме
моментов отдельных векторов: ∑ M O (a i ) , при этом все
∆r
r1
i
α
M моменты откладываются от точки O .
Пример Ф1.20. Парой сил называются две равные
по модулю, противоположно направленные и не
O
действующие вдоль одной прямой силы. Рассмотрим
Рис. 48
пару сил F1 и F2 и найдем ее момент относительно
некоторой точки O (рис. 48). Момент пары равен сумме моментов отдельных
сил: M O = [r1 , F1 ] + [r2 , F2 ] . В связи с тем, что F2 = −F1 , получаем
F2
r2
25
M O = [(r1 − r2 ), F1 ] = [∆r , F1 ] : момент пары не зависит от r1 и r2 и,
следовательно, не зависит от выбора точки, относительно которой его
определяют, т.е. момент пары относительно любой точки одинаков. Вектор
момента пары здесь по правилу правого винта направлен за плоскость рисунка,
а его модуль равен моменту одной из сил относительно точки приложения другой.
Равнодействующей называется сила, равная результирующей силе и
которая создает момент, равный суммарному моменту всех сил. Систему сил не
всегда можно заменить равнодействующей, как, например, в случае действия
только пар сил. Согласно основной теореме статики произвольную систему
сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой,
состоящей из силы, равной главному вектору системы сил и приложенной в
произвольном центре приведения, и пары сил, момент которой равен главному
моменту системы относительно этого центра.
Пример Ф1.21. Сила, приложенная к твердому телу, является скользящим
вектором, т.е. можно, не изменяя ее действия на твердое тело, переносить силу
вдоль линии ее действия. Покажем, что при таком переносе момент силы также
не изменяется.
F
Пусть r1 и r2 – радиусы-векторы старой и новой точек r1
приложения соответственно (рис. 49). Так как точка
r2
приложения силы переносится вдоль линии ее действия, то
вектор r2 − r1 коллинеарен вектору F и может быть O Рис. 49
представлен как r2 − r1 = αF , где α – некоторая константа.
Тогда r2 = αF + r1 , и момент силы в новой точке приложения равен
M 2 = [r2 , F] = [(αF + r1 ), F] = [r1 , F] + α [F, F] = [r1 , F] = M1 , т.е. момент не изменился.
Пример Ф1.22. Покажем, что в поле центральных сил выполняется закон
сохранения момента импульса. Напомним, что
1) центральными называются силы, зависящие только от расстояния
между взаимодействующими материальными точками и направленные вдоль
проходящей через них прямой (например, сила гравитационного притяжения:
F = γ m1m2r / r 3 , где m1 , m 2 – массы точек, гравитационные в отличие от
инертных, входящих во второй закон Ньютона (вследствие их
пропорциональности принят единый термин), γ – гравитационная постоянная,
r – радиус-вектор одной точки относительно другой);
2) если в каждой точке пространства на помещенную туда частицу
действует сила, то частица находится в поле сил (например, поле сил тяжести,
сил сопротивления и т.д.; подробнее – см. п. 2.2, часть 2);
3) моментом импульса называется векторное произведение радиусвектора частицы r на ее импульс p : L = [r, p ] .
Пусть на движущуюся точку массой m , характеризуемую радиусвектором r (t ) , действует сила F , равная по второму закону Ньютона m dV
dt
26
(дифференцирование – см. часть 2). Сила F – центральная, т.е. векторы r и F
коллинеарны в любой момент времени t . Продифференцируем обе части
dL d r
dp
dr
выражения L = [r, p ] по t :
= [ , p] + [r, ] , где
= V || p = mV , т.е. первое
dt
dt
dt
dt
слагаемое нулевое, и получаем уравнение моментов M = dL / dt – производная
по времени от момента импульса частицы относительно некоторой точки O
равна моменту равнодействующей силы относительно той же
U3
точки O . Из второго закона Ньютона и определения
центральной силы вытекает, что [r, dp / dt ] = 0 , dL / dt = 0 и
U2
U1
L = const , т.е. момент импульса сохраняется по величине и
направлению. Заметим, что при изменении самого вектора L
может сохраняться только его проекция на какую-либо ось.
ω
Пример Ф1.23. Найти кориолисово ускорение точки,
движущейся с относительной скоростью U в 1) осевом; 2)
Рис. 50
радиальном; 3) азимутальном направлениях (рис. 50) по
поверхности цилиндра радиусом R , вращающегося с угловой скоростью ω .
Решение. Кориолисово ускорение a к = 2[ω, V ' ] , где ω – угловая скорость
вращения неинерциальной системы отсчета (НИСО), V ' – относительная
скорость точки в НИСО, т.е. a к возникает при движении частицы во
вращающейся НИСО не параллельно оси вращения: ω |/| V ' . Для рис. 50
ускорение a к = 2[ω, U ] , т.е. 1) aк = 0 , т.к. векторы ω и
aк3
U лежат на параллельных прямых; 2), 3) aк = 2ωU , т.к.
U3
ω U
угол между ω и U составляет 90 o . Вектор a
U
2
.
к
1
перпендикулярен плоскости, которая проходит через ω
и U , а векторы ω , U и a к составляют правую тройку
векторов (рис. 51, вид сверху).
Рис. 51
Пример Ф1.24. Кориолисова сила инерции
Fк = − ma к , где m – масса движущейся в НИСО материальной точки. Из свойств
векторного произведения следует, что Fк ⊥ ω , т.е. лежит в плоскости,
перпендикулярной оси вращения, и Fк ⊥ V ' , т.е. сила Fк работы над частицей не
совершает, может изменить направление скорости, а ее модуль – нет.
Ввиду вращения Земли система координат, связанная с ее поверхностью,
является неинерциальной вращающейся системой, т.е. на движущуюся по ней
материальную точку действует сила Кориолиса. Разложим угловую скорость
вращения Земли ( ω = 2π /(24 ⋅ 3600) ≅ 7,27 ⋅ 10−5 рад/с) в любой точке поверхности
на широте ϕ (рис. 52) и относительную скорость точки на вертикальные и
горизонтальные составляющие: ω = ωв + ωг , V' = V'в +V'г . Тогда сила Кориолиса
Fк = −2m[(ω в + ω г ), (V 'в + V'г )] = −2m[ω в , V'г ] − 2m[ω г , V 'в ] − 2m[ωг , V'г ] ,
где − 2m[ω в , V 'в ] = 0 , т.к. ω в || V 'в .
aк 2
27
Вектор V 'в обуславливает возникновение одной компоненты − 2m[ωг , V'в ]
в горизонтальной плоскости, перпендикулярно плоскости меридиана. Если
точка движется вверх, то сила направлена на запад, а если вниз – то на восток.
Вектор V 'г обуславливает возникновение двух компонент: 1) − 2m[ω г , V 'г ]
направлена вертикально, прижимает или удаляет тела
N
от Земли, влияет на движение тел на большие
ω
ω
расстояния, например, на полет баллистических
ракет; 2) − 2m[ω в , V 'г ] – горизонтальна и
ωг
перпендикулярна
относительной
скорости,
в
ωв
северном полушарии составляющая направлена
вправо, в южном – влево. Так, в северном полушарии
r
ϕ
сильнее
изнашиваются
правые
рельсы
железнодорожных путей и сильнее размываются
Rз
правые берега рек. Поясним подробнее: Земля
вращается с запада на восток, и связанная с этим
вращением линейная скорость точек ϑ на ее
S
поверхности уменьшается от экватора к полюсу
Рис. 52
(ϑ = ω r , где ω = const , а радиус вращения
r = Rз cosϕ становится меньше; радиус Земли Rз = 6,38 ⋅ 106 м); вода в реке,
текущей на север, по инерции стремится сохранить прежнюю скорость,
отклоняется к востоку, размывая правый берег.
3. УПРАЖНЕНИЯ
1. Дан вектор a = iα cos ϕ + jα sin ϕ . Найти a и единичный вектор e a .
Ответ: a = α , e a = a / α .
2. Определить компоненты единичного вектора e , который лежит в
плоскости XY и составляет равные углы с положительными направлениями
осей X и Y .
Ответ: e 1/ 2 , 1/ 2 .
(
)
3. Даны два вектора c = a + b и d = a − b . Построить векторы a и b .
Указание: воспользоваться соотношениями a = 0,5(c + d ) и b = 0,5(c − d ) .
4. Найти скалярное и векторное произведения векторов a + αb и a − αb ,
если a ортогонален b и b = 2a = α .
Ответ: α 2 / 4 − α 4 , 2α [b, a] .
28
5. Разложением скалярного произведения показать, что если два вектора
имеют направляющие косинусы α1 , β1 , γ 1 и α 2 , β 2 , γ 2 соответственно, то
cosϕ = α1α 2 + β1β 2 + γ 1γ 2 , где ϕ – угол между векторами.
6. При выполнении трех экспериментов установлено, что: 1) если r = i , то
L = 2k − 4 j ; 2) r = j , L = 4i − k ; 3) r = k , L = j − 2i , где L – момент импульса
частицы, r – ее радиус-вектор, i, j, k – орты осей координат. По этим
результатам найти импульс частицы.
Ответ: p = i + 2 j + 4k ; указание: воспользоваться определением момента
импульса L = [r, p ] .
7. Материальная точка весом P находится в равновесии на
гладкой наклонной плоскости под действием двух сил F1 и F2
(рис. 53), величина каждой из которых равна 0,5 P . Сила F1
горизонтальна, а F2 направлена вверх вдоль наклонной
плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найти α .
Ответ: 53o 7' .
F1
α
F2
mg
Рис. 53
8. Поезд и воздушный шар отправляются в один и тот же момент времени
из одного пункта и движутся равномерно: поезд со скоростью 50 км/ч, шар – 10
км/ч. С какой скоростью они удаляются друг от друга? Как направлен этот вектор?
Ответ: 10 26 км/ч; вектор направлен по гипотенузе прямоугольного
треугольника с горизонтальным и вертикальным катетами длиной 50 км и 10 км.
9. Найти сумму aF + bF + cF , если векторы a , b и c образуют
треугольник, F – произвольный вектор.
Ответ: 0 .
10. Частица массой m1 =2 кг, движущаяся со скоростью V1 = −i + j + 2k
м/с, испытывает абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса
которой m 2 =1 кг, а скорость V2 = 2i − 2 j + 2k м/с. Найти скорость
образовавшейся составной частицы.
m V + m2 V2
Ответ: V = 1 1
= 2k м/с; указание: воспользоваться законом
m1 + m2
сохранения импульса p = ∑ mk V k = const .
11. Частицы испытали неупругое соударение. Найти их скорость после
удара, если масса частицы 2 в η = 2 раза больше массы частицы 1, а скорости
перед столкновением V1 = 2i + 3 j и V2 = 4i − 5 j , где компоненты даны в СИ.
Ответ: V = (V1 + ηV2 ) /(1 + η ) , ϑ ≅ 4 м/с.
29
12. Частица испытала упругое столкновение с другой, покоившейся,
частицей той же массы. Показать, что угол между направлениями их разлета
составляет 90 o .
13. Частица совершила перемещение по некоторой траектории в
плоскости XY из точки с радиус-вектором r1 = i + 2 j в точку с радиус-вектором
r2 = 2i − 3 j . Найти работу, которую совершила на этом перемещении сила
F = 3i + 4 j , где данные приведены в СИ.
Ответ: F(r2 − r1 ) = −17 Дж.
14. Для того чтобы сдвинуть тело с места, к нему прикладывают силу F ,
направленную под углом 45 o к горизонту (рис. 54). В каком случае модуль силы
будет меньше?
Ответ: в случае б).
F
15. Доказать, что
F
[a, b ] + [b, c] + [c, a] = [(a − b ), (b − c)] .
а)
б)
Рис. 54
16. Доказать, что (ia)i + ( ja) j + (ka)k = a .
17. Используя векторы P = i cosα + jsin α , Q = i cos β − jsin β , доказать
известные тригонометрические формулы
sin(α + β ) = sin α cos β + cosα sin β , cos(α + β ) = cosα cos β − sin α sin β .
Указание: воспользоваться свойствами скалярного и векторного
произведения векторов.
18. Доказать теорему Вариньона, согласно которой момент относительно
какой-либо точки O равнодействующей сил F1 , F2 , …, Fn равен сумме
моментов этих сил относительно той же точки O .
19. К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат O
r = αi + βj приложена сила F = ai + bj , где α , β , a, b – константы. Найти
момент M и плечо l силы F относительно точки O .
Ответ: M = (αb − βa )k , l = αb − βa / a 2 + b 2 .
20. Поезд массой m движется по меридиану со скоростью ϑ на широте ϕ
(см. рис. 52). Определить горизонтальную составляющую силы давления поезда
на рельсы.
Ответ: 2mϑω sin ϕ .
30