(z).

ЯДЕРНАЯ
физик,,­
JOURNAL OF NUCLEAR PHYSICS:
т.
48,
вып.
2(8), 1988:
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ВЕРСИЯ ТЕОРИИ РАСШИРЕНИЙ
В КВАНТОВОЙ ЗАДАЧЕ НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТИЦ
С ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРОЙ
НУПЕРИН Ю. А., МАНАРОВ
R.
А., МЕРНУРЬЕВ С. П., МОТОВИЛОВ А. Н•.
•ТIЕНННГРАДОКНЙ ГООУ ДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(ПосmуnuJtа в реilа1<ЦUЮ
30
uюJtЯ
1987
е.)
На основе алгебраической версии теории расширений с выходом в дополнитель­
ное пространство внутренних степеней свободы построена модель кванто.воЙ теории
рассеяния в системах нескольких составных частиц. Для широкого класса эффектив­
ных
энергозависящих
потенциалов,
порожденных
внутренней
структурой
частиц,
получены модифицированные уравнения Фаддеева и доказана их фредгольмовость.
Установлена асимптотическая полнота волновых операторов и изучена аналитиче­
ская структура соогвегствующих амплитуд. Дифференциальная формулировка урав­
нений Фаддеев а может быть использована для проведения эффективных численных
расчетов.
Введение
Как известно [1-6], задача двух частиц, обладающих внутренней
структурой (например, кварковой), приводит во внешнем канале к энерго­
зависящим потенциалам. Возникает естественный вопрос:
как ВRЛЮЧИТЬ
такие потенциалы в гамильтониан системы N (N;;'З) частиц или, точнее,
как таRОЙ гамильтониан (т. е. самосопряженный, а значит, и энергонеза­
висящий оператор) построить? Что происходит с парной энергией - аргу­
ментом потенциалов - при переходе к многочастичной задаче? Этот вопрос
представляется
достаточно
нетривиальным,
ПОСRОЛЬКУ
парные
энергии
в задаче N тел не определены. Другой немаловажный вопрос: пригодны ли
обычные уравнения теории рассеяния - уравнения Фаддеева и ЯRубов­
ского
[7] -
для изучения системы частиц с дополнительными внутренпи­
ми каналами? Если да, то какой смысл следует придавать их ядрам?
Ответы на перечисленные вопросы получены в
[8, 9] , где
лен гамильтониан системы трех частиц с внутренней
был предъяв­
структурой,
соот­
ветствующий случаЮ,когда парные энергозависящие взаимодействия со­
средоточены на неRОТОРОЙ поверхности в конфигурационном пространстве·
(например, поверхности фазового перехода в компаунд-состояние [2]).
В этих работах взаимодействие внутренних и внешних степеней свободы
построено методами те'ОРИИ расширений симметричных операторов [10],
что обусловило определенную ~атематическую сложность модели.
Мы реализуем ту же общую схему, что и в [9], однако в задаче двух
частиц стартуем с более простой модели двухканального гамильтониана
[4, 5]. Такой подход не только существенно упрощает выкладки, но и по­
зволяет перевести на алгебраический уровень описания всю схему в целом,
а кроме того, включить в схему наряду с сингулярными, как этО было
в
[8, 9],
таRже и потенциалы, гладко зависящие от пространственных пе­
ременных.
На первом этапе мы выясняем, как проявляются в задаче трех тел
внутренние степени свободы, соответствующие фиксированной парной
подсистеме. С этой целью рассматриваем систему трех частиц, в которой
взаимодействуют между собой лишь частицы из данной подсистемы. После
того
KaR
операторы, описывающие ВRлад во взаимодействие .От
внутреннего
Rанала,
становятся
известными,
остается
лишь
Rаждого
ВRЛЮЧИТЬ
ИХ
сумму В результирующий трехчастичный гамильтониан. 'Этот гамильтони­
ан (наряду с внешним) содержит теперь три дополнительных внутренних
35.8
канала. l\aK видно из дальнейшего изложения, предложенная схема по­
,строения гамильтониана допускает прямое обобщение на случай произ­
вольного числа частиц.
Исключая из уравнений для резольвенты построенного гамильтониана
€e
компоненты
во
внутренних
каналах,
находим
энергозависящие
потен­
циалы в задаче трех тел. Эти потенциалы зависят от полной энергии и мо­
:тут быть получены из парных энергозависящих потенциалов путем сверт­
ни последних со свободной функцией Грина относительного движения до­
полнительной частицы. Уравнения Фаддеева, выведенные для таких энер­
гозависящих потенциалов, оказываются фредгольмовыми, и, что особенно
lIажно, соответствующие однородные уравнения нетривиально разрешимы
.Jlишь при тех значениях энергии,
которые отвечают дискретному спектру
полного четырехканального гамильтониана. Результаты настоящей работы
'были анонсированы в [11].
в разд. 1 изучается двухчастичный гамильтониан. В разд. 1.1 кон­
:струируются двухканальные гамильтонианы и выясняется структура соот­
ветствующих энергозависящих потенциалов. В разд. 1.2 формулируются
уравнения для резольвенты. В разд. 1.3 и 1.4 исследуются спектральные
свойства парного гамильтониана, в разд. 1.5 описаны некоторые дополни­
'Тельные свойства парного оператора, определяющего в дальнейшем ядра
уравнений Фаддеева.
В разд. 2 рассматривается задача трех частиц. В разд. 2.1 изучается
.вклад внутреннего канала, соответствующего фиксированной подсистеме,
в трехчастичный гамильтониан. В разд. 2.2 собирается полный гамильто­
:ниан системы трех частиц. В разд. 2.3 исследуется вид энергозависящих
потенциалов в задаче трех тел, формулируются уравнения для резольвен­
ты полного гамильтониана и затем для ее внешней компоненты выводятся
уравнения типа Фаддеева и обосновывается их фредгольмовость. В разд.
2.4
;доказывается эквивалентность построенных интегральных уравнений урав­
:нению Шредингера.
1.
1.
Задача двух частиц
Двухканальный гамильтониан
Рассмотрим систему из двух частиц с двухканальным гамильтонианом
hex
h= (
, хде
(1)
В·
in
e
h " и h
-
гамильтонианы внешнего ~ex И внутреннего ~in каналов
'Соответственно,
а
оператор В: ~in-+~e" И
сопряженный к нему
В' : ~e"-+~in описывают связь между каналами. Внешний оператор опре­
деляется выражением hе,,=-Д,,+v(х), где х - относительная координата
'частиц, а v (х) - быстроубывающий потенциал (периферическое взаимо­
действие, обусловленное мезонными обменами). Оператор h e" действует во
внешнем пространстве ~ex=L2(R,,3) и самосопряжен. Для простоты даль­
нейшего изложения будем считать, что он имеет лишь непрерывный
'спектр. В отсутствие связи между каналами (при В=О) динаМИI\а внут­
ренних степеней свободы частиц описывается оператором h in • Будем счи­
тать, что h in представляет собой достаточно произвольный самосопряжен­
ный оператор в гильбертовом пространстве ~in. Для целей настоящей ра­
боты I\онкретна,я детализация оператора h in , пространства ~in, а таиже
оператора связи каналов В (см. [3]) не является необходимой. Однако
для систем с I\онфайнментом [5] естественно считать, что оператор h i ,.
имеет ТОЛЬИО дисиретный спектр р,.} (s=1, 2, ... , n, ... ). Если оператор
'связи каналов В ограничен, что и будет предполагаться в дальнейшем, то
гамильтониан h автоматически самосопряжен в полном гильбертовом про­
странстве ~=~e"tfJ~in [12]. В базисе И3 собственных фУНI\ЦИЙ
n > опе­
la
in
ратор h in представляет собой диагональную числовую матрицу (h ) ij=лiб ij ,
359
а гамильтониан
h
}j
целом имеет следующий вид:
hex
Ib n>
'Ь 1 >
(Ь 1 1
1.1
О
(Ьnl
О
Лn
(2)
h=
где ВСЯRИЙ вентор 'Ь n >, Ibn>=Bla n>,- элемент Lz(R,,з). Естественно счи­
тать, что фУНRЦИИ Ь n (х) финитны И отличны от нуля лишь в области, где­
образуется Rомпаунд-состояние.
СпеRтральная задача hUU=zUU для гамильтониана h ДОПУСRает реДУН­
цию до уравнения на собственные фУНRЦИИ ио лишь во внешнем канале~
Однако это уравнение содержит потенциал, зависящий от энергии z.
В самом деле, пусть ИU={ио, Ut}, где UtE~in, иoE~ex, тогда уравнение­
hOU=zOU представляет собой систему уравнений для Rомпонент ио И и1:
{hexuo+Bul=ZUO .
B'uo+h'n ut =zu l
Выразим внутреннюю компоненту Иt через
(3)
внешнюю
второго уравнения и подставим результат в первое
уравнение Шредингера
компоненту Ио иа.
уравнение.
от энергии потенциалом и(х), входящим в невозмущенный
мильтониан
h ex ,
содержит еще и зависящий от энергии
w(z)=B(z-h in )-IВ'=
Получим
которое наряду с независящим­
[hex+w (z)] Uo=ZUo,
z
внешний га­
потенциал
L 'Ь.><Ь.I .
8
(4)
z-л.
r in (z)=(h in _z)-1 оператор/t
h • Тан, например, если у оператора
имеется непрерывный спеRТР, то.
наряду с сепарабельным по переменным х и х' и полюсным по z членом
Эта зависимость определяется
резольвентой
in
h in
~ b.(x)O.(x')/(z-Л.) в правой части (4) будет присутствовать несепара8
бельный член, имеющий, нак фУНRЦИ'Я переменной
ному спектру оператора h in .
z,
разрез по непрерыв­
Отметим, что в рамках модели (1) может быть таRже описан и случай,
когда связь между каналами реализуется на некоторой поверхности 'Yc:R/,
RОТОРУЮ удобно называть поверхностью фазового перехода.
Имеется­
в виду, например, переход из 6q-Rомпаунд-состояния в состояние с двумя
нуклонами. В этом случае связь между Rаналами задается с помощы(}
краевых условий на поверхности 'У. R самосопряженному оператору h
приводит, например, его определение по формуле
hOU= {
-dxuo+v(x) и о }
m'UOl1+hinUI
на множестве элементов OUE~, OU={ио,
u t },
компонент~ Ио и и1 которых:
связаны граничным условием
(6)
Здесь иоl 1
-
сужение функции Ио на поверхность 'У и [(д/дn)ио]
1 -
скачок
ее производной по нормали при переходе аргумента через поверхность 'У.
Под т понимается ограниченный оператор из ~in В L 2 ('У) •
Модель (5), (6) может быть записана в форме (1), если ввести в рас­
смотрение обобщенный оператор связи каналов В, действующий по форму­
ле ВИI={j1mИI, где
61 -
дельта-фующия, сосредоточенная на 'У
[13].
В ка­
честве области определения гамильтониана h при этом следует взять сово­
купность лишь тех элементов OUE~, результат применения к которым
матрицы (1) с обобщенным оператором В остается B~. ЭТО последнее тре­
бование равносильно условиям (5) и (6). В более 'Jбщей, чем (6), ситуа-
360
.дии оператор связи каналов содержит линейную комбинацию б-функции
и ее нормальной производной.
Если собственно модель (1) приводит К энергозависящему потенциалу
то реализация связи между каналами на поверхности порождает
.энергетическую зависимость в граничных условиях. В частности, усло~
вия (6) при исключении внутренней компоненты переходят в условия
(4),
(7)
тде в данном случае функции Ь • сосредоточены на поверхности 'У. Особен­
ность модели (5), (6) - область определения полного гамильтониана h
зависит от вида оператора связи между каналами В в отличие от моде­
ли (1). За исключением этой детали, все остальные свойства гамильтониа­
на модели (5), (6) остаются теми же, что и в собственно модели (1), в ко­
'Торой связь между каналами «размазана» по не которой области в RЖ З •
2.
Обобщеннаи фУНRЦии Грина дли системы двух частиц
В этом и в последующих разделах, ориентируясь в основном на цели,
(:вязанные с задачей трех тел, опишем некоторые свойства оператора h
11 его резольвенты. Напомним, что спектральные свойства гамильтониа­
на h хорошо известны [2-6], в частности при включении связи между ка­
налами положительный спектр оператора h in превращается (правда, мо­
жет быть лишь частично) в резонансы, а отрицательные собственные чис­
ла операторов h еж и
h in сохраняются, но могут при этом сдвигаться [4-6].
В [4-6] основное внимание уделял ось изучению волновых функций, а ре­
:юльвента двухканального гамильтониана не исследовалась. Однако знание
'Свойств полной резольвенты оператора h, и особенно ее внешней компо­
ненты,
важно при рассмотрении задачи трех
ний Фаддеева, которые будут получены
тел, поскольку ядра
ниже,
определяются в
уравне­
ее тер­
минах.
Резольвента
r(z) =(h-Z)-1
оператора
h
имеет
естественную
блочную
,структуру
(8)
r(z)={rab(z)},
тде нулевые значения индексов а, Ь=О соответствуют внешнему каналу,
а а, Ь=1 - внутреннему. В силу самосопряженности оператора h компо­
.'Венты raь удовлетворяют соотношениям
(9)
rab *(z) = rba (:f) .
Лерепишем уравнение
(h-z)r(z)=/
hежгоь(z)
покомпонентно:
-Br,b(z) -zrob( z) =б оь /о ,
B*rob(z)+hinr,b(z)-zr,b(z) =б,ь/"
тде
/0
и
/, -
Ь=О,
(10)
(11)
1,
тождественные операторы в Жех И Жin соответственно. Считая
резольвенту rin(z) оператора h in известной, компоненты r,b(z), Ь=О,
рассмотрения можно исключить, используя (11). в самом деле, из
1, из
(11)
имеем
(12)
IIQдставляя
(12)
в
(10)
при
чисто внешней компоненты
.ал (4):
Ь=О,
roo(z),
получаем
замкнутое
уравнение
для
содержащее энергозависящий потенци­
(13)
Нак только компонента
roo(z) будет построена, с помощью (12) можно
разыскать также и компоненту r,o(z). Зная r,o(z), легко найдем и ro,(z),
опираясь на равенство
(9): ro, (z) =r,o*(z). Наконец, CHOB<I. воспользуемся
(12) и построим «чисто внутреннюю» компоненту резольвенты rll (z). Та­
~им образом, основная задача - исследование lшешней компоненты реаоль-
BfJ..f
венты Гоо. Для со:кращения записи оператор Гоо в дальнейшем будем обо­
значать через g(z) (g(z)==roo(z»
и называть обобщенной резольвентой~
Ядро этого оператора будем называть обобщенной фун:кцией Грина.
Можно провести таI\Ие же рассуждения
rl1(z) и
из (10)
и
в
отношении :компоненты
выразить в ее терминах все остальные :компоненты. Заметим, что.
и
(11)
при Ь=1 следует
(14)
где
go(z) -
фун:кция Грина внешнего :канала,
go(z) = (hex-z) -1.
Согласно.
имеем
(10)
ГО1 (z) =-go (z)Br l1 (z) =go(z)B(z-h in +В'gо(z)В)-I.
Аналогично, рассматривая
и
(10)
(11)
(15)
при Ь=О, находим
r l o(z) =-Гl1 (z)B'go(Z) =-(z-hin+В'gо(z) В) -IB'go(z),
(16)-
g(z) =go(z) +go (z )Вгн (z) B'go(z) =go(z) -gоВ(z-hin+В'gоВ) -!B'go. (17)
3.
Представления
Дискретный спектр и резонансы
(14) - (17)
:компонент резольвенты
r(z)
мы использу_·
ем в :качестве основы для изучения спе:ктра оператора h. Отвечающие·
дис:кретному спе:ктру полюсные особенности r(z) суть особенности ОПj:Jра­
тор-фун:кции rl1(z), действующей в ~in. В том случае, :когда пространство­
~in :конечномерно, Kin=dim ~in<oo, оператор Гl1 представляет собой :ко­
нечную матрицу и исследование ее особенностей по существу чисто алгеб-·
раичес:кая задача. Наряду с разрезом по положительной полуоси, обязан­
ным своим присутствием фун:кции Грина
go(z),
все остальные особенности
:компоненты rl1(z)
совпадают с нулями детерминанта D(z)
матрицы;
Ф (z) =(z-hin+В'gо(z)В). Прежде чем пере ходить :к ноннретному изуче­
нию фун:кцииD(z), отметим свойство резольвенты r(z), не зависящее от ра&-·
мерности Kin И состоящее в том, что она (а значит, и :каждая ее RОМПО­
нента) заведомо не имеет особенностей на физичес:ком листе параметра z.
нигде, :кроме вещественной оси. Это свойство объясняется тем, что r(z) резольвента самосопряженного оператора. С:казанное означает, что :корни'
фун:кции D(z) на физичес:ком листе могут находиться лишь на веществен­
ной оси.
При изучении особенностей :компоненты г l1 (z)=-ф-l(z) рассмотриw
случай слабой связи между внутренним и внешним Rаналами, т. е. ногда
норма
IIBII
оператора связи В мала
(IIBII-+-O),
а
спе:ктр
оператора
h in•
простой.
Вблизи положительного собственного числа 'А. ('А.>О) оператораhin '
a:
фун:кция D(z) на втором листе параметра z на расстоянии поряд:ка
имеет два :корня (резонансы): л'.+ в верхней и л'.- в нижней полуплос:ко­
сти. При
положение резонансов в старшем поряд:ке описываетсЛ'
IIBll
IIBII-+-O
асимптотичес:кой формулой
( 18.»)
Если собственное число 'Ав неположительно, т. е. 'A.~O, то при_ B=I=O оно)
испытывает сдвиг в отрицательную сторону. Сдвинутый уровень в старшем.
поряд:ке определяется формулой
л'.='А.-<Ь,lgо( -I'A.I) 1Ь,>+О (IIBII').
Точ:ки спе:ктра
z='A s , 8=1,2, ... ,Kin, внутреннего
фун:кции D(z) не являются.
RОрНЯМИ
Ширина резонансов л's±
числяется по формуле
bs=l=O
( 1.9),
гамильтониана
(мнимая Rомпонента правой части
h in
(18»
ПРil'
вы-,
l'де интегрирование ведется по единичной сфере в Rз, а 'i'o (р, х) - соб­
етвенные функции непрерывного спектра оператора h ex •
Доказательство сформулированного утверждения сводится к выделе­
нию старших членов в асимптотике функции
матричному представлению гамильтониана
элементы матрицы q) (z) имеют вид
h in
D(z) при IIBII-+O. Согласно
В диагональной форме (2)
(21)
>.
тде b/ij=(bklgo(Z) Ib k
Определитель D(z) матрицы
членов порядка O(ljBlj4) легко вычисляется:
Jli"in
D (z) = П (z - л к )
Jli"in
Jli"in
К=l
j=l
+ L Ь КК (z)
К=l
q)(z) с точностью до
П (z - Лj) + О (\1 в \\4).
(22)
i*K
'Существование корней Л k уравнения D(z)=O вблизи точек лk (k=1, 2, ..•
' ••• ,.;Y'in) вытекает из теоремы Руше. В окрестности точки z=л. это урав-
,пение после деления обеих его частей на П (z-лh) принимает вид
k'=,
~ Ь 88 (z}.
(z-л.)+Ь •• (z)+(z-Л.) ~=
k'=8
ЛS-Лh
O(jjBI\').
(23)
Поскольку разность 'А,-л" как видно из (23), имеет порядок O(jjBjj2),
последнее слагаемое в левой части (23) имеет порядок O(jjBI14) и сдвиг
-собственного числа л s тем самым определяется соотношением
(24)
-()сталось лишь заметить, что замена
в правой части
соотношения
(24)
на л.±iO вносит погрешность порядка O(ljBI14), что и доказывает равен­
'~TBa (18) и (19). Аналогичные утверждения могут быть доказаны также
z
in
и в случае кратного спектра оператора h
[9].
Итак, спектр оператора h содержит отрицательные собственные числа,
получающиеся
в
результате
сдвига
уровней энергии гамильтониана
h in ,
соответствующих
неположительных
а также непрерывную часть, унасле­
дованную в неизменном виде от внешнего гамильтониана
h ex •
Пусть N(-) - число неположительных
уровней
гамильтониана h •
Введем новое обозначение -х/ (s=1, 2, ... ,N(-»
дЛЯ соответствующих
собственных чисел оператора h, получившихся из уровней Л, при их
сдвиге. Наконец, через ср:Х(х) обозначим внешние компоненты собствен­
ЕЫХ функций ФS={ср:х, ср/n} гамильтониана h., соответствующих собствен­
ЕЫМ числам -х/. Внутренние компоненты ср/n этих функций вычисляют­
iП
ся через внешние по формулам
ср/n=_ (x/+hin)-\В*ср:Х.
4.
Решение задачи рассеяния
Чтобы получить волновые функции, описывающие процесс рассеяния,
необходимо выделить в асимптотике ядра g(x, х', Е±iO), Е>О, при х'-+оо
Rоэффициент при сферической волне [7]. Этот коэффициент представ­
ляет собой внешнюю компоненту ио (х) полной двухкомпонентной волно­
вой функции
{ио, и\}. Внутренняя компонента и\ получается таким
ou=
же способом, как коэффициент
ядра r\o(·, х', z) при х' -+00.
Асимптотика функции Грина
go ( х, Х
при
сферической
волне
в
асимптотике
go(E±iO), Е>О, при х' -+00 имеет вид [7]
'Е
+
'0)
1 ехр {± i lfE I х' j}
,
_ ~
х;::::;;; 4:тt
j х' I
.I,(±) ( )
'1'0
р, х,
р
=
+
-
~r-E
., (25)
J'
х,
где 'i'~±) - волновая функция непрерывного спектра оператора he:<. Выде­
(17) для обобщенной функ·
-ляя аналогичную асимптотику в выражении
~B:'
ции
Грина g(z}, получаем
представление
для
внешних
компонент
u~±) (р, х) волновых функций OUР) (р) непрерывного спектра полного га­
мильтониана h
ио(Ж)(р) ='Ф Ш (р) -gо(р2±iO)В[р2_h'n+В'gо (р2±iO)В J-IВ''Ф~:t:)(р).
(?fl)
Из этого представления вытенает, в частности, что амплитуда рассеяния
j(p, х) (для определенности говорим об амплитуде j(+) и опускаем знак
«плюс») допускает разбиение на сумму двух слагаемых:
j=fo(p, х)+Т(р, х),
(27)
где 10 - амплитуда рассеяния во внешнем Rанале при отсутствии его
связи с внутренним, а
дополнительное слагаемое, обусловленное на­
f-
личием внутренней структуры:
f
(р, х) =-<;ро(р') IB[p2_h in +B'go(p2+iO)B]-IВ'1 'Фо(р)
(28)
p'=-Iplx.
Особенности амплитуды
f
>,
совпадают с особенностями матр~цы-функции
!l)-I(Z) и уже исследованы в разд. 1.3.
Внутренняя Rомпонента иl может быть найдена в результате обраще­
ния оператора
Ul(:J:)
p2_h in во втором NЗ уравнений (3):
(р) = (p2_h in ) -jВ'u~:t:) (р) = [p2-h in +В'gо (р2±iO)В] -IВ''Фо(:t:) (р).
(29)
Для волновых функций OU(±)= {Ио(±),
U j (±) }
выполнены
стандартные
теоремы полноты и ортогональности. Точнее, сопоставим этим фУНRЦИЯМ
волновые операторы
и(±): L2(RЗ)-~, ~=~'X(f)~in, действующие на
j(Р)ЕL 2 (R З ) по правилу U(±)/={qJ~±),qJ~±)},
СРО(±) (х)=(2л)-'I.
Su o(±) (p,x)/(p)dp,
где
qJl(±)=(2л)-% Sи~±)
Для операторов и(±) выполнены обычные соотношения
и(±)'и(±)=! и полноты
U(±JU(±)'=Pe, где Ре
-
(p)f(p)dp.
ортогональности
проектор на непрерывный
спектр оператора h. Выполнено таюне сплетающее свойство hU(±)=U(±!ho~
где h o - оператор умножения на р2 (ho/(p) =p2j(p».
Доказательство этих фаRТОВ в существенном повторяет ДОRазательств()
соответствующей теоремы для обычных энергонезависящих потенциа­
лов [7].
5. Свойства ядра g(z)w(z)
Ядра уравнений qэаддеева для внешнего канала в системе трех тел~
которые будут получены ниже, выражаются через оператор g(z) w(z.).
Опишем некоторые аналитичеСRие и асимптотические свойства эт,ого опе-
ратора, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Согласно
'
(17) произведение g(z)w(z) допускает явное представление
g(z) w(z) =go(z)B(z-hin+В'gо(Z)В) -IB'.
(зо)
,
Следовательно, хотя у энергозависящего потенциала w(z) ес.ть особенно,.
сти полюсного характера в ТОЧRах 'Ав
g(z)w(z) таRИХ особенностей нет,
(8=1,2, .. " Jf'in) ,
'
у произведенИJI
На основании сказанного выше заключаем, что ядро gw(z, х, х,'}, X~
Х'ЕRз, является аналитичеСRОЙ функцией пере мен ной z на Rомплексной
плоскости с разрезом на положительной полуоси, В ТОЧRах -х/ (8=
=1, 2"", N(-J) это ядро имеет полюсы первого порядка. Его вычетъr
Res(gw, -х/) определяются согласно (30) через вычеты матрицы-функ­
ции (z-hin+В'gо(z)В)-1 по формуле
Res(gw, -x/)=go( -х/)В Res !l)-I(z)В*,
384
(31)
Удобно рассматривать по отдельности вклады в оператор gw дискретного­
и непрерывного спектров оператора
NH
g
()z w ()z L
h:
I ЧJ.~Х) <cp~n IВ* + g~w (z).
=
z
8=1
+ хз
(32)
2
Здесь первое слагаемое описывает вклад дискретного спектра, а второе­
(g;;;) - вклад непрерывного спектра гамильтониана h. Представле­
(32) - следствие
соотношений
Res(g, -х/) = ,ср."">(ср.е:,,,
и:
(cp:xIB( -x s2 -hin )-IВ'=(ср/" ,В'.
Согласно (25) и (30) координатная асимптотика ядра gw при Х-е»'
ние
описывается формулой
gw (х, х' ,z) ~
(+)
4~ ехр {i, ~,; Iх '} 1\1~+) (- у;Х,
-
где
1\10 (-1 z х,
0"0(+)
'f
(р, .)
.)-
по пара метру
.) Br ll (z)
аналитическое продолжение
z=p 2
в
комплексную
на запись асимптотической формулы
В* (х'),
волновой
плоскость.
Б олее
(33}I
функциlI'
компакт--
(33) в виде
~ (х, х',z) ~ _1_
ехр {iIVZ
Iх '} иl(+) ( _ -.r·) В* (х'),
4п
хI
у zx
gw
вытекающем из
(29).
Задача трех частиц
2.
Гамильтониан Н'"
1.
Перейдем к изучению системы трех частиц. Сначала рассмотрим слу­
чай, когда взаимодействуют только две частицы из фиксированной пары а ..
и выясним, как выглядит в трехчастичном конфигурационном пространст­
ве парный потенциал, порождаемый дополнительным каналом этой пары.
Как известно [7], оператор энергии Н,,- дЛЯ системы трех частиц, в ко­
торой взаимодействуют лишь частицы из пары а, получается из парного­
гамильтониана
h,,-
по формуле
- (35).
Здесь у,,-
-
обычная относительная координата третьей частицы, состав­
ляющая с использовавшейся выше коорщшатой х"- полную совокупность.
приведенных относительных координат
[7];
[Уа И [", -
тождественные опе-'
раторы соответственно в гильбертовом пространстве относительного .дви-
жения третьей частицы L 2 (R u ) И В гильбертовом пространстве ~"" отве-3
"-
-
чающем подсистеме а. Равенство (35) буде~ рассматривать как опреде­
ление оператора Н,,-, соответствующего модели (1).
Оператор Н,,- действует в гильбертовом пространстве .6,,-=~,,-®Lz(R~а ) ..
которое распад.аеТся на сумму пространств .6,,-=.6exffi .6,,-in, где .6eX=L2 (R 8 ) и
.6,,-iП=L2(R~а ' ~,,-in) •. Элементы OU=.6"" как и ранее, имеют две компонен­
ты: OU={ио, и,,-}, и о Е.6 ех , U,,-E.6,,-in, а -сам оператор Н,,- можно записать в.
матричной форме
( h~X
Ва)
(lx a
На = В а * h~n ® lYa + О
О
').
l~n._ 0 (- .1 уа ) =
(--
.1 х + V a В а
Ва *
h in -
)
.1 l1а ..
(36)
В согласии с
(36) оператор Н,,- удобно 3аписатьв виде суммы (Н,,-==
=Ho+v,,-+v,,-) ,
выделяя свободный гамильтониан Но
=
( -.1х
О
О)
О
,обыч-
886
ный парный потенциал и а
внутреннего канала
V a=
Va
=
(
,
О)
О О
(
о
и собственно вклад дополнительного
а
В
,
)
.
Последнее слагаемое
следует
рассматривать как парный потенциал внутренней структуры в
трехча-
Ва '
ha
1n
-
l1 va.
,стичной задаче.
2.
Полный rамильтониан
Н
Если дополнительные каналы имеются в каждой парной подсистеме,
то
оператор
энергии
системы
трех
частиц
содержит
сумму
всех
парных
потенциалов:
а;
а;
'Оператор Н действует в ортогональной сумме гильбертовых пространств
.р=.рехЕВ ~ .pain . В представлении элементов OUEJ) в виде вектор-столбцов,
~
OU= {ио,
(см.
UI, и2, Uз}, гамильтониану Н соответствует операторная матрица
(36»
.
Н={На,ь} (а, ь=о,
1,2, 3)
8
с элементами Н оо =-l1х+ .Evr
т=1
и
Haa;=ha.in-l1va (а=1, 2, 3). Среди внедиагональных элементов отличны
от нуля лишь Нов=Вв (~=1, 2, 3) и H~o=BB*' Все остальные блоки га­
мильтониана Н равны нулю. Можно показать, что оператор Н самосо­
пряжен в существенном. Чтобы сделать Нсамосопряженным, его доста­
точно замкнуть
[12].
Для замыкания будем использовать прежнее
060-
значение Н.
3.
Уравнения Фаддеева
Изучение спектральных свойств оператора Н сводится к исследованию
'строения и аналитических свойств его резольвенты R(z)=(H-z)-I.
Резольвента R(z) представляет собой операторную матрицу размерно­
сти 4Х4 с компонентами R ab (а, ь=о, 1, 2, 3), где индексы а, Ь=1, 2, 3,
как обычно, соответствуют внутренним каналам, а индексы а,
ь=о
внешнему. Уравнения для компонент Rab(z) имеют вид
-
(Hoo-z)R оь + .Е втRть=боыI,' Ь=О, 1,2,3,
(37)
т=1
(38)
Чт06ы исследовать резольвенту, не нужно специально изучать каждую
ее компоненту. Из (37), (38) вытекает, что в действительности доста­
точно исследовать лишь компоненту Roo(z). Все остальные компоненты
могут быть явно в
терминах парных подсистем: восстановлены по
В самом деле, из (38) при Ь=О следует, что
.
R oo •
(39)
операторе На делятся, и поэтому резольвента
=(ha;in-I1Vа-z)-1 явно выражается через резольвенту rain (z) =
Переменные в
внутреннего гамильтониана
h a in :
. (z, Уа;-Уа') = -1.
Ra;>n
2Лl
,Здесь ro(z) - свободная функция
-спектр оператора
.366
h a in .
Jra;'n.
Ra;in (z) =
(hain_z)-I
d
(~)ro (z-~, Уа-Уа') ~.
1"
(40)
.
Грина в R~a'
Как принято при изучении
контур la
охватывает
задачи трех тел,
все
характеристики парных подсистем считаются известными [7]. Таким'
образом, если компонента Roo(Z) уже построена, то на основании (39)
и (40) можно построить также и компоненты Rao(Z) (а=1, 2, 3). Далее
в силу самосопряженности оператора Н выполнено свойство Rab(z) =
=Rba* (Е), которое позволяет восстановить компоненты Ro~(Z) (~=1, 2"
3). Наконец, снова используя (38) и (40), выIазимM через Ro~, а следова­
тельно и через
R oo ,
остальные,
все
еще
не
определенные
компоненты
при а, ь*о. Так что изучение резольвенты R(z) сводится к изучению­
лишь компоненты R oo (z), внешней по обоим индексам. Для сокращения
записи в дальнейшем будем обозначать Roo(Z) через G(z). Оператор­
R ab
будем называть обобщенной функцией Грина.
Чтобы получить замкнутые уравнения дЛЯ G(Z), исключим из систе­
мы уравнений (37), (38) при ь=о компоненты R ao (z) с внутренними
индексами а=1, 2, 3. С этой целью выразим операторы R ao через G(z)
G(z)
с помощью соотношений
лучим уравнение для
(38)
G(z)
и подставим результат в
c-~x +.Е (va+Wa(z»
(37).
В итоге по­
-z )G(X,X', z)=б(Х-Х'),
(41};
а
содержащее наряду с обычными потенциалами V a также и энергозави­
сящие потенциалы Wa(z) =-ВаRаin (z)B a*. Поскольку операторы В". и
В а ' действуют лишь по переменным, относящимся к пар ной подсистеме а,
потенциал Wa(z)
допускает представление через соответствующий по<-'
тенциал Ша(Z) из задачи двух частиц
W a (Z,
Уа-Уа') =
21 .
Л:~
JШа (~) r (z-~, Уа-Уа.') d~,
(42)-
o
1.
которое является следствием аналогичного представления
зольвенты Rain(z).
'Уравнение (41) перепишем в интегральной форме:
(40)
для ре-
G(z)=Ro(z)-Rо(z).Е Va(z)G(z),
где Va(z) =v a+ Wa(z), Ro(z) - свободная функция Грина в R • 'Уравне­
ние (43) представляет собой резольвентное тождество для обобщенной­
функции Грина G (z), имеющее обычный вид [7]. Разница лишь в том,
что парные потенциалы Va(z) зависят от энергии. Как известно, само­
по себе уравнение (43) непригодно для исследования оператора G(z),
поскольку оно нефредгольмово. Причины нефредгольмовости те же, что'
и в случае энергонезависимых потенциалов. Чтобы сделать уравнение'
(43) фредгольмовым, его необходимо перестроить. С этой целью введем:'
компоненты Фаддеева Gа.=бa,tRо-R о Va(z)G (,а=1. 2, 3). Согласно (43)
6
3
для компонент
Ga
выполнено тождество
G (z) =
Е G1 (z). Перепишеи:
1=1
с учетом этого тождества соотношения, определяющие
Ga(z).
В получен-,
ных уравнениях выделим диагональную часть и явно обраТИld ее в тер­
минах парных подсистем. 13 результате придем к интегральным уравве-­
ниям Фаддеева для операторов Ga(Z), имеющим обычный вид [7]':
Ga (z) =бa,tG (z) -G a (z) V a (z) ,.Е G1 (z),
а
где
Ga(z) -
(44)·
обобщенная функция Грина для оператора На.
Однако в отличие от [7] потенциалы Va(Z)=va+Wa(z) содержат сла~
гаемые W а (z), действующие как интегральные операторы не только по­
соответствующей парной переменной Ха, но также и по переменной OT~
ад.,.
ноеительного движения третьей частицы Уа. Благодаря (4) интегралы
(42) легко вычисляются по вычетам. Поэтому ядра Wa(z) могут быть
записаны в виде
Wa(X,X', Z) =
-
1:, ь.а (ха)о.а (xa')ro(Уа-У,,;', z-л. а ).
(45)
Из (45) видно, что при положительных разностях z-л s а потенциал Wa(Z)
,содержит члены, которые медленно, как /Ya-Ya'/-I, убывают по перемен­
ным Уа, Уа'. Дополнительная зависимость <<Парного» потенциала Wa(Z)
от переменной относительного движения третьей частицы Уа означает, что
этот потенциал перестает быть истинно двухчастичным.
Такие
завися­
щие от энергии и медленно убывающие по пространственным перемен­
ным
(по существу трехчастичные)
потенциалы с точки зрения доказа­
тельства фредгольмовости уравнений Фаддеева ранее не рассматривались.
Поэтому уравнения (44) нуждаются, вообще говоря, в специальном
обосновании их фредгольмовости. Это обоснование отличается от стан­
,дартного [7] не слишком сильно. Дело в том, что хотя потенциалы
'Wa(X, Х', z) медленно убывают по переменным Уа и Уа', тем не менее
ядра (GaW a) (Х, Х', z) операторов GaWa, рассматриваемых как целое,
обладают точно такими же асимптотическими (по переменным Х иХ')
и аналитическими (по переменной z)свойствами, как и ядра GaV a урав­
нений Фаддеева для обычных быстроубывающих потенциалов иа • В самом
деле, представление (35) оператора Н а означает, что для оператора
'CaWa(Z) справедливо соотношение, аналогичное (40):
(46)
где
ние
ga - обобщенная функция
(46) - простое следствие
-однако
оно
'Са Wa(X,
gawa
на
позволяет
Х', z).
два
Грина парной подсистемы сх. Представле­
разделения переменных в операторе На.,
изучить
координатную
С этой целью воспользуемся
слагаемых,
1}пектрам оператQра
ядра GaWa:
ha ,
соответствующих
асимптотику
разбиением
дискретному
и
(32)
ядра
ядра
непрерывному
которое приводит к аналогичному разбиению для
(47)
где
N~-)
GadW~= -
L (/ CP~~8) (CP~~8 IВ*а)(Ха , xa')ro(Уа -
Уа', z + x~,8)'
(48)
8=1
Ядро GacWa(X, Х', z) описывает вклад непрерывного спектра, и нам
понадобится его асимптотика при Ха-+ОО. Чтобы вычислить ее, восполь-
зуемся соотношением (34) для ядра g;Wa и методом перевала
[14].
В результате получим следующее асимптотическое представление:
GаcW а (Х , Х')
,z I ~oo со '( z)
ехр {i'Vz
I- ао } Ф а (Z COS2 (()а, Ха,
"
')
L'/.,
Ха ,
(49)
ао
rде I- ао - эйконал
[7],
соответствующий распространению луча из т,очки
{О, Уа'} в точку {Ха, Уа}:
Lao(X, Уа') = (/Ха/Ч (Ya-Уа')2)'I,.
(50)
Функция Фа имеет вид
Фа(z,х, х') =и~~) (- Y-;Х)Ва.· (х'),
]'де
(+)
иа,1 -
внутренняя
компонента
со
б
u
ственнои
Ф
ункции
(51)
непрерывного
-спектра оператора ha • Наконец, cos (()a=/xa//L ao и Co(z)=(1/4n) (i"yz/2n) '1'.
368
Обобщенная функция Грина
Ga. (Х,
Х',
в силу
z)
(35)
имеет KOO'~
натные асимптотики, обычные для пар ной функции Грина в трехчастич­
ном конфигурационном пространстве. Вместе с асимптотическим соотно­
шением
(49)
это означает, что и ядра
асимптотическими
и
аналитическими
Ga.Va.(z)=Ga.(Va.+Wa.(z)
свойствами,
аналоги в чисто потенциальной задаче трех тел
такими
[7].
обладают
же,
как
их
На основанииси.­
ванного заключаем, что доказательство фредгольмовости УРJвненвй (4~)
может быть проведено в рамках подхода, развитого в
. [7].
(По этому
поводу см. также [9].) Напомним вкратце схему доказательства фред­
гольмовости уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве (при­
менительно к системе (44». Запишем сначала уравнения (44) в ва.е
M=Mo(z)+B(z)M,
где
(52)
М (z)
представляет
собой
совокупность
компонент
ФаддееlloR
З
G }. Ввиду медленного убывания ядер Ga.Va. по пе~е;'
менным Х, Х' непосредственно сам оператор В (z) фредГОЛЬМОВЬUlне
является. Однако благодаря фаддеевской структуре уравнений (44) при
Ga.(z) : M={G', G2 ,
появляются лишь произведения вида
G",.Va.,Ga.IV"",,. С", n У..~ ~
.итерациях
W
.
=Q",.a.I...",n, где всегда CGi*CGi+l' При этом вви'ду быстрого убьmаНИII IЮ'leн­
циалов V", по переменным Х,. и Ха.' аргументы Х и Х' ядра
следует
~a. '1-1
считать
л.окализованными
вблизи
различных
G.cV,,_(,f,X', z).
гиперплоскоотei
ОИ
Xa. i = О соответственно. Перечисленные обстоятельства 608J18«mно с представлением (47) приводят к тому, Что с ростом n :гладкость
ядер Q~~~I"''''n (Х, X i , z) сначала повышается и затем ста'ИЛИIJIIPffl't••. По­
рядок убывания этих ядер по переменным Х и Х' повышается до тех
пор, пока при некотором n=nо ядра Q(n) не превращаются в сумму
асимптотически факторизующихся при Х, Х' -+00 членов, т. е. ч.ueвов,
превращающихся в произведения соответствующttх сфеРJ'Iческих вол:н в
R6 попеременным Х и Х' или/в R 3 по переменным у",. и у",,, (с•. [71,
а также [9]). По этой причине n-я степеuь Bn(z) (при n~~) .QШiIpa~Qра
В (z) становится компактным оператором в под:)(одящем б_аховом
пространстве. Следовательно, к (52) применима альтернатива Фред­
голька.
4.
Эквивалентность ивтегралЬВ!IX уравнений 4>аддеева
Шредивreра
ypa••~~
Чтобы применить к (44) альтернативу Фредгольма, необходи:tЩ.~сле­
довать соответствующее однородное уравнение. Покажем, что OA1l0,.,..вti18
уравнения (44) могут иметь лишь нетривиальные решения Т8.11ЬfЮ" ПJ*r
тех значениях параметра z, которые . являются точкаЩl АИ~~оI;O
.
спектра оператора Н.
.
Пусть М={М" М2 , Ма } - решение однородных уравнений
Ма.--Са. Va. (z) Е Мт •
(53)
т"а.
Подействуем на обе части (53) «операторамю~ Ho+V", (z)-,. С y-qетом
т&-ждества (Н о + Va.(z)-z) G(z) =1 получим систему дифферециальных
уравнений для компонент
(Ho-z)М",--Vа.(S) Е.мт•
1-'
Обоаначим че~ез чr о их сумму: чr о =
э
яФ, ЗIA
8
L, М"'.
Складывая: YPtl8fi[~ (М)
при различных а, придем для чг о К уравнению Шредингера
Восстановим
по Ч' о
соответствующие
(а=1, 2, 3) по формулам
внутренние
компоненты
/
Тогда вектор Ч' = {Ч' О, Ч' 1, Ч' 2, Ч' з} удовлетворяет уравнению на собствен­
ные функции НЧ' =z Ч'. Координатная асимптотика компонент Ч'" такова
(см. [7]), что Ч' E.t;. Следовательно, если энергия z не является точкой
дискретного спектра оператора Н, то Ч' =0, а значит и Ч' 0=0. Но тогда
из (54) получим, что (Ho-Z) Ма.=О. При этом Ma. E L 2 (R 6 ) , и значит
Ма.==О (а=1, 2, 3). Таким образом, вне дискретного спектра оператора Н
уравнения (44) однозначно разрешимы.
Можно показать и обратное. Если Ч' - собственная функция опера­
тора Н, то компоненты Фаддеев а ее внешней составляющей удовлетво­
ряют уравнениям (53). Таким образом, уравнения Фаддеева (53) экви­
валентны уравнению Шредингера с полным четырехканальным гамиль­
тонианом.
В занлючение 'отметим, что другие основные вопросы теории рассея­
ния, в частности вопросы о полноте и ортогональности волновых функций,
решаются для рассмотренной нами системы трех частиц обычными
средствами
[7].
Авторы признательны Б. С. Павлову за плодотворные обсуждения.
Литература
1. lajje R. L., Low Р. Е. // Phys. Rev. 1979. У. Ш9. Р. 2105.
2. Симон,ов Ю. А. // ЯФ. 1982. Т. 36. С. 722.
3. Народецкuй Н. М. Консп. лекций III Всесоюз. ШКОJlЫ по малочастичным
адронным системам. Вильнюс, 1986. Ч. 1. С. 116.
4. Kep6uICoe В. О. // ЯФ. 1985. Т. 41. С. 725.
5. Кер6иков В. О. // ТМФ. 1985. Т. 65. С. 379.
6. Куnерин, Ю. А., MalCapoe К. А., Павдов В. С. // ТМФ. 1986. Т. 69. С. 100.
7. МерlCурьев С. П., Фаддеев Л. Д. Квантовая теория рассеяния для систем
8.
несколь­
ких частиц. М.: Наука, 1985.
Куnерин, Ю. А., Макаров К. А., Меркурьев С. П. u др. Т,р. симпоз. «НУК'ЛОН­
нуклонные иадрон-ядерные взаимодействия при промежуточных энергиях» .. Л.~
ЛИЯФ, 1986. С. 511.
9. KlInepun
Ю. А., Макаров К. А., Меркурьев С. П.
ШRолы по малочастичным
10.
11.
12.
13.
14.
и жварк-
u
др. Консп. лекций
и кварк-адронным системам.
Вильнюс,
111 ВсеСОЮII.
1986. Ч. П.
.
С.28.
Навдов В. С. // ТМФ. 1984. Т. 59. С. 345.
Куnерин, Ю. А., Макаров К. А., Меркурьев С. П., Мотовидов А. К. // Теория кван­
товых систем с сильным взаимодействием. Калинин: КГУ, 1987. С. 4.
Вирман, М. т., Содомяк М. 3. Спектральная теория самосопряженных операто­
ров в гильбертовом пространстве. Л.: ЛГУ, 1980.
Вдади:миров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука.
1M~
.
Федорюк М. В. Метод перевала. М.: НаУКа, 1977.
ALGEBRAIC VERSION OF EXTENSION THEORY
FOR FEW-BODY SYSTEMS WITH INTERNAJ_ STRUCTURE
KUPERIN Yu.-A., MAKAROV
К. А.,
MERKURIEV S.
Р., MOТOVILOV А. К.
ТЬе modeI of the quantum scattering theory for few composite particles оп the
base of the aIgebraic version of the extended Hilbert space арргоасЬ is established. ТЬе.
modified Faddeev equations fQr а sufficiently wide class of effective energy-dependent
potentials generated Ьу the internaI structure of the particles is obtained. ТЬе Fredholm
structure of these equations and the asymptoticaI completeness of the wave operators
аге proved. ТЬе analyticaI properties of corresponding scattering ampIitudes аге investigated. ТЬе differentiaI formulation of the modified Faddeev equations сап Ье used for
practicaI numericaI calculations.