1.9. Распределительные законы умножения векторов на число

1.9. Распределительные законы умножения векторов на число. Операции сложения
векторов и умножения вектора на число связаны двумя распределительными законами.
П е р в ы й з а к о н. Для любых чисел х и у и любого вектора а выполняется
равенство
(х+у) а =х а +у а .
(6)
В равенстве (6) стоят лишь векторы, лежащие на одной прямой. Поэтому доказательство
равенства (6) сводится к сложению или вычитанию отрезков в зависимости от знаков чисел х и
у. Мы не будем перебирать все возможные случаи и оставляем их для самостоятельного
рассмотрения.
В т о р о й з а к о н. Для любого числа х и любых векторов а и b выполняется
равенство
х( а + b )= x а +x b .
(7)
Для натуральных множителей х равенство (7) вытекает из переместительного и
сочетательного свойств сложения. Например, при х=3 имеем
3( а + b )= ( а + b )+( а + b )+( а + b )=3 а +3 b .
Аналогичное рассуждение проводится и для любого натурального х.
Очевидно, что (7) верно при х=-1, т.е. (–1)( а + b )=(-1) а +(-1) b (рис.1.41).
Следовательно, (7) верно и при целом отрицательном х. Например,
(-3)( а + b )= (-1) (3( а + b ))= (-1)( 3 а + 3 b )=(-1)3 а + (-1)3 b =(-3) а + (-3) b .
Рис.1.41
1
1
, где р – натуральное. Пусть, например, х= , т.е
р
2
1
1
1
р=2.
Положим
с = (а +b )
и
d = а+ b.
Тогда,
как
уже
доказано,
2
2
2
1
1
1
2 d =2( а + b )= а + b =2 с . Из равенства 2 с =2 d следует, что с = d , т.е. (7) верно для х= .
2
2
2
Повторите это рассуждение для произвольного натурального р.
к
Из рассмотренных уже случаев следует, что (7) верно для любого рационального х=
р
(к - целое, а р –натуральное). Действительно,
к
1
1
1
к
к
( а + b )=к( ( а + b ))=к( а + b )= а + b .
р
р
р
р
р
р
Верно (2) и для иррациональных чисел х.
Рассмотрим теперь случай, когда х=
Вопросы для самоконтроля
1. Какими законами связаны действия сложения векторов и умножения вектора на
число?
2. Что общего и в чем различия в распределительных законах умножения вектора на
число?
Задачи
r
r
r
r
Работаем с формулой. 9.1. Упростите выражения: а) 5(-3 a ); б) -2(4 x ); в) -3 p + 2 p ;
r
r
r r
r r
r r
r
r
1r 3r
г) 4b − 2b ;
д) 2 a − 2b ;
е) a + b ;
ж) ( a + b ) + ( a − b ) ;
з) 0,5(2 a − 4b ) − 2(3a − 2b ) ;
4
4
r
r
r
r r r
r
и) x + 2 y − 3 z − ( z − x ) − 2( y − 2 z ) .
r r
r
9.2. Из данного равенства выразите каждый из векторов через другие: а) 2 a − 5b = 0 ;
r
r r
r r r
r r r
r
r r
r
r
б) 2a − 5(b − 3a ) = 0 ; в) αa + b = 0 ; г) αa + β b = 0 ; д) 0,5a + 2b − 3c = 0 .
Планируем. 9.3. Отметьте любые три точки А, В, С. Как найти точку X такую, что:
r
а) XA = XB + XC ;
б) XA = XB − XC ;
в) XA + XB = AB ;
г) XA + XB + XC = 0 ;
r
д) XA + XB − XC = 0 .
9.4. Отметьте две точки A и B . Как найти точку X такую, что: а) XA = 3 XB ;
б) BX = −2 AX ; в) XA + 2 XB = 3 AB .
Находим величину. 9.5. а) Точки С и D делят на три равные части отрезок AB, а точка O
- любая точка плоскости. Выразите векторы OC и OD через векторы OA и OB . б) Точка С
делит отрезок AB в отношении p : q, а точка O - любая точка плоскости. Выразите вектор OC
через векторы OA и OB ; в)* Выразите вектор, заданный биссектрисой треугольника через
векторы, заданные его сторонами, выходящими из той же вершины.
Доказываем. 9.6. а) Точка С - середина отрезка AB, а точка O - любая точка плоскости.
1
Докажите, что OC = (OA + OB ) . б) Точка M – точка пересечения медиан треугольника ABC, а
2
1
точка O - любая точка пространства. Докажите, что OM = (OA + OB + OC ) .
3
9.7. Докажите, что сумма векторов, идущих из произвольной точки в середины всех
сторон треугольника, равна сумме векторов, идущих из этой же точки в его вершины. Можно
ли обобщить это утверждение?
Исследуем. 9.8. Пусть AB и CD - два отрезка, точка K делит отрезок AB в отношении
p : q , считая от точки A , точка M делит отрезок CD в том же отношении, считая от точки
C . Выразите KM через AC и BD . Будет ли верно полученное равенство, если данные
отрезки не лежат в одной плоскости? Какие следствия вы можете получить из этого равенства?