Основные законы и формулы по математике и физике

Н. А. Булгаков
ОСНОВНЫЕ
ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ
И ФИЗИКЕ
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
СПРАВОЧНИК
• ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ •
Министерство образования Российской Федерации
Тамбовский государственный технический университет
Н. А. Булгаков
ОСНОВНЫЕ
ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
СПРАВОЧНИК
Тамбов
• Издательство ТГТУ •
2002
УДК 531(075)
ББК В3я73
Б90
Р е ц е н з е н т ы:
Доктор технических наук, профессор
кафедры "Приемные и передающие радиоустройства" ТВАИИ,
заслуженный работник высшей школы РФ
Д. Д. Дмитриев
Кандидат технических наук, профессор кафедры "Физика" ТВАИИ
В. С. Макаров
Б90
Булгаков Н. А.
Основные законы и формулы по математике и
физике: Справочник. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн.
ун-та, 2002. 72 с.
Представлены в сжатой форме основные законы и
формулы по всему курсу физики, а также по школьной
и высшей математике, знание которых необходимо для
решения задач и осмысления физической сущности
явлений.
Основное назначение — помочь быстро найти или
восстановить в памяти необходимые законы и
формулы. Используется современная терминология и
обозначения.
Привлекателен в качестве справочного материала
при подготовке к семинарским занятиям и экзаменам.
Помимо студентов вузов может быть полезен
инженерно-техническим работникам и учащимся
колледжей и школ.
УДК 531(075)
ББК В3я73
 Тамбовский государственный
технический университет (ТГТУ), 2002
 Н. А. Булгаков, 2002
Справочное издание
БУЛГАКОВ Николай Александрович
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Редактор З. Г. Ч е р н о в а
Инженер по компьютерному макетированию М. Н. Р ы ж к о в а
ЛР № 020851 от 27.09.99
Плр № 020079 от 28.04.97
Подписано в печать 02.03.2002.
Гарнитура Times ET. Формат 60 × 84 / 16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем: 4,2 усл. печ. л.; 4,5 уч.-изд. л.
Тираж 500 экз. С. 151М
Издательско-полиграфический центр
Тамбовского государственного технического университета
392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Числовые неравенства:
Если a > b , то b < a .
Если a > b и b > c , то a > c .
Если a > b , то a + c > b + c .
Если a > b и c > 0 , то ac > bc .
Если a > b и c < 0 , то ac < bc .
Если a > b и c > d , то a + c > b + d .
Если a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , причем a > b и c > d , то ac > bd .
Если a > b > 0 и n — натуральное число, то an > bn .
n Разложение на множители:
2
a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ) ;
a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b ) ;
3
a 3 ± b 3 = (a ± b ) (a 2 m ab + b 2 );
a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b 3 = (a ± b ) ;
2
ax + bx + c = a (x − x1 )(x − x2 ) ,
где x1 и x2 — корни уравнения ax2 + bx + c = 0 .
n Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 :
n
−b± D
− b ± b 2 − 4ac
— формула корней квадратного уравнения.
=
2a
2a
Теорема Виета: x1 + x2 = − b , x1 x2 = c .
a
a
n Арифметическая прогрессия:
x1,2 =
— члены арифметической прогрессии;
d — разность арифметической прогрессии;
an +1 = an + d — определение арифметической прогрессии;
an = a1 + d (n − 1) — формула n-го члена;
a1 , a2 , ... , an , ...
an =
Sn =
an −1 + an +1
2
— характеристическое свойство;
a1 + an
2a + d (n − 1)
n= 1
n
2
2
— формула суммы n первых членов.
Геометрическая прогрессия:
a1 , a2 , ... , an , ... — члены геометрической прогрессии;
q — знаменатель геометрической прогрессии;
bn +1 = b q , b ≠ 0 , q ≠ 0 — определение геометрической прогрессии;
bn = b1qn −1 — формула n-го члена;
bn2 = bn −1bn +1 — характеристическое свойство;
n
(
)
bn q − b1 b1 qn − 1
=
q −1
q −1
b1
— формула
S=
1−q
Sn =
— формула суммы n первых членов;
суммы бесконечной геометрической прогрессии при
q < 1.
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Свойства тригонометрических функций:
sin (− x ) = − sin x ;
sin (x + 2πk) = sin x ;
cos(− x ) = cos x ;
cos(x + 2πk) = cos x ;
tg (− x ) = − tg x ;
tg (x + πk) = tg x ;
ctg (− x ) = −ctg x ;
ctg (x + πk) = ctg x ,
где k — любое целое число.
n
n
Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов
Аргумент α
π
6
1
2
π
4
π
3
π
2
π
3π
2
2
2
1
0
–1
1
3
2
2
2
3
2
1
2
0
–1
0
tg α
0
3
3
1
3
—
0
—
ctg α
—
3
1
3
3
0
—
0
Функция
0
sin α
0
cos α
Примечание. Связь между градусной и радианной мерами измерении угла:
1° =
n
Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ;
1 + tg 2 α =
n
π
рад.
180
tg α =
1
;
cos 2 α
sin α
;
cos α
ctg α =
1 + ctg 2 α =
1
sin 2 α
cos α
;
sin α
.
Формулы двойного угла:
sin 2α = 2 sin α cos α =
2 tg α
;
1 + tg 2 α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α =
tg 2α =
2 tg α
;
1 − tg 2 α
ctg 2α =
1 − tg 2 α
;
1 + tg 2 α
ctg 2 α − 1
.
2 ctg α
n
Формулы тройного угла:
sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α ;
n
Формулы понижения степени:
sin 2 α =
n
cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α .
1 − cos 2α
;
2
cos 2 α =
1 + cos 2α
.
2
Формулы сложения и вычитания аргументов:
sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ;
cos (α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ;
tg (α ± β ) =
n
tg α ± tg β
1 m tg α tg β
Формулы сложения и вычитания тригонометрических функций:
sin α + sin β = 2 sin
α+β
α−β
cos
2
2
;
sin α − sin β = 2 sin
α−β
α+β
cos
2
2
;
cos α + cos β = 2 cos
α+β
α−β
cos
2
2
;
cos α − cos β = −2 sin
α+β
α−β
sin
2
2
;
tg α m tg β =
n
.
sin (α ± β )
cos α cos β
.
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность:
1
sin α sin β = (cos (α − β ) − cos (α + β )) ;
2
n
cos α cos β =
1
(cos(α − β) + cos(α + β)) ;
2
sin α cos β =
1
(sin(α − β) + sin(α + β)).
2
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Четверть
Функция
I
II
III
IV
sin
+
+
–
–
cos
+
–
–
+
n
tg
+
–
+
–
ctg
+
–
+
–
Формулы приведения
Аргумент t
n
Функция
π
−α
2
π
+α
2
π−α
sin t
cos α
cos α
sin α – sin α – cos α – cos α – sin α
cos t
sin α – sin α – cos α – cos α – sin α sin α
tg t
ctg α – ctg α – tg α
ctg t
tg α
tg α
3π
+α
2
2π − α
cos α
ctg α – ctg α – tg α
– tg α – ctg α ctg α
tg α
– tg α – ctg α
Решение простейших тригонометрических уравнений:
sin x = a , a ≤ 1 ,
x = (− 1) arcsin a + πn ;
n
x = ± arccos a + 2πn ;
cos x = a , a ≤ 1 ,
x = arctg a + πn ;
tg x = a ,
ctg x = a ,
n
3π
−α
2
π+α
x = arcctg a + πn , n
— целое число.
Обратные тригонометрические функции:
π
π
≤ arcsin x ≤ ,
2
2
π
π
− < arctg x < ,
2
2
0 ≤ arccos x ≤ π ;
−
arcsin (− x ) = − arcsin x ;
arctg (− x ) = −arctg x ;
0 < arcctg x < π ;
arccos (− x ) = π − arccos x ;
arcctg (− x ) = π − arcctg x .
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ
Обозначения:
a, b, c
— длины сторон
∆ ABC ,
p = a +2b + c
h — высота,
и r — радиусы описанной и вписанной окружностей.
n
Теорема синусов. В любом треугольнике
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
.
— полупериметр, S — площадь, R
n
Теорема косинусов. В любом треугольнике
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α .
n
Формулы площади любого треугольника:
S=
aha
bh
ch
= b = c,
2
2
2
S=
S=
1
ab sin γ ,
2
p (p − a )(p − b )(p − c )
S = pr ,
S=
abc
4R
,
— формула Герона.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
d=
x=
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 — расстояние между точками
x1 + λx2
y + λ y2
,y= 1
1+λ
1+λ
отношении
M1 (x1 ; y1 )
— координаты точки, делящей отрезок с концами
M1 (x1 ; y1 )
— общее уравнение прямой ( A, B, C — любые вещественные числа,
— уравнение прямой с угловым коэффициентом
прямой по оси Oy ).
y = kx + b
y − y1 = k (x − x1 )
y − y1
x − x1
=
y2 − y1
x2 − x1
и
M2 (x2 ; y2 ) .
и
M2 (x2 ; y2 )
k
A 2 + B 2 ≠ 0) .
( b — величина отрезка, отсекаемого
— уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку
— уравнение прямой, проходящей через точки
M1 (x1 ; y1 )
и
M1 (x1 ; y1 ) .
M2 (x2 ; y2 ) .
— уравнение прямой в отрезках ( a , b — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях
Oy ).
d=
Ax0 + Bx0 + C
tg ϕ =
в
λ = M1 M : MM2 .
Ax + By + C = 0
x y
+ =1
a b
и
A2 + B2
k2 − k1
1 + k1k2
x2
y2
+ 2 =1
2
a
b
— расстояние от точки
M0 (x0 ; y0 )
до прямой
Ax + By + C = 0 .
— формула вычисления одного из углов между прямыми
— каноническое уравнение эллипса ( a , b — полуоси).
y = k1 x + b1
и
y = k2 x + b2 .
Ox
x2 y 2
− 2 = 1 — каноническое уравнение гиперболы.
a2
b
y 2 = 2 px , y 2 = −2px — каноническое уравнение параболы
с осью симметрии Ox ( p > 0 — параметр).
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
X = x2 − x1 , Y = y2 − y1 , Z = z2 − z1
B (x2 ; y2 ; z2 ) .
d=
— выражение длины вектора
X2 + Y 2 + Z2
a =
(x2
— выражение координат вектора
− x1 )2 + (y 2 − y1 )2 + (z2 − z1 )
a = {X ; Y ; Z}
AB
через координаты точек
и
через его координаты.
— расстояние между точками
M1 (x1 ; y1 ; z1 )
и
M2 (x2 ; y2 ; z2 ) .
— определение скалярного произведения векторов
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ
A (x1 ; y1 ; z1 )
a
и
b
(ϕ — угол между
векторами).
a ⋅ b = X1 X 2 + Y1Y2 + Z1Z 2
— выражение скалярного произведения векторов
a = {X1 ; Y1 ; Z1 }
и
b = {X 2 ; Y2 ; Z2 }
через их координаты.
X1 X 2 + Y1Y2 + Z1Z2
cos ϕ =
X12
+ Y12 + Z12 ⋅ X 22 + Y22 + Z22
Ax + By + Cz + D = 0
— выражение угла между векторами.
— общее уравнение плоскости ( A , B , C
— любые вещественные числа,
A + B + C ≠ 0 ).
2
2
d=
2
Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C 2
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
l
m
n
— расстояние от точки
проходящей через точку
M0 (x0 ; y0 ; z0 )
до плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 .
— каноническое уравнение прямой с направляющим вектором
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) .
x = x0 + lt , y = y0 + mt , z = z0 + nt
— параметрические уравнения прямой.
x2 y2 z2
+
+ 2 =1
a2 b2
c
— каноническое уравнение эллипсоида ( a , b , c — полуоси).
x2 y 2 z2
+
− 2 =1
a2 b2
c
— каноническое уравнение однополосного гиперболоида.
x2 y2 z2
+
− 2 = −1 —
a2 b2
c
a = {l ; m ; n} ,
каноническое уравнение двуполосного гиперболоида.
x2 y2
+
=z
2 p 2q
— каноническое уравнение эллиптического параболоида (p>0, q>0 — параметры).
x2 y2
−
=z
2 p 2q
— каноническое уравнение гиперболического параболоида.
x2 y 2 z2
+
− 2 =0
a2 b2
c
— каноническое уравнение конуса второго порядка
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
lim
x→0
sin x
=1
x
— первый замечательный предел.
x
1

lim 1 +  = e
x → ∞
x
f ′(x0 ) = lim
∆x → 0
— второй замечательный предел.
f (x0 + ∆x ) − f (x0 )
∆x
dy = f ′(x0 ) dx
— определение производной функции
— дифференциал функции f (x ) в точке
y = f (x )
в точке
x0 .
x0 .
Производные простейших элементарных функций:
♦ Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного
1) (u ± v)′
2) (uv)′
= u′ ± v ′ ;
= u′v + uv ′ ;
′
u′v − uv′
u
, v ≠ 0.
  =
v
v2
 
3)
♦ Производная постоянной функции
y = f (x ) = C ⇒ y ′ = 0 ,
(Cu)′
= Cu′ .
♦ Производная степенной функции
(x )′ = nx
n
n −1
( x )′ =  x
;
1
2
♦ Производная показательной функции
(a )′ = a
x
x
′
 = 1


2 x
ln a ;
;
′
′
1
1
  = x −1 = − 2 .
x
x
(e )′ = e
x
( )
x.
♦ Производная логарифмической функции
(loga x)′ =
1
x ln a
;
(ln x )′ = 1 .
x
Производные тригонометрических функций:
(sin x)′ = cos x ;
(arcsin x)′ =
(cos x )′ = − sin x ;
(arccos x)′ = −
(tg x)′ =
1
cos x
1
(ctg x)′ = −
y ′(t0 ) = f ′(x0 ) ⋅ ϕ′(t0 )
2
2
(arctg x)′ =
= sec2 x ;
sin x
= −cosec2 x
;
1
1 − x2
1
;
1
1 − x2
;
;
1 + x2
(arcctg x)′ = − 1 2
1+ x
.
— правило дифференцирования сложной функции
x0 = ϕ (t0 ) .
ϕ′ (y0 ) =
1
f ′(x0 )
— правило дифференцирования обратной функции
x = ϕ (y )
y = f [ϕ (t )]
в точке
в точке
y0 = f (x0 ) .
t0 ;
здесь
(uv)(n ) = u(n )v + nu(n −1)v′ + n(n − 1) u(n − 2 )v′′ + ... + uv (n ) — формула Лейбница.
1⋅2
f (b ) − f (a )
= f ′(c )
b−a
f (b ) − f (a )
f ′(c )
=
g (b ) − g (a ) g ′ (c )
f (x ) = f (a ) +
— формула Лагранжа;
— формула Коши;
c ∈ (a , b ) .
c ∈ (a , b ) .
f ′ (a )
(x − a) + f ′′ (a) (x − a )2 + ... +
1!
2!
+
При
a=0
f (x ) = f (0 ) +
(n +1)
f (n ) (a )
(x − a )n + f (ξ ) (x − a )n +1
n!
(n + 1)!
— формула Тейлора;
получаем формулу Маклорена
f ′ (0 )
f ′′ (0 ) 2
f (n ) (0 ) (n ) f (n +1) (0 ) (n +1)
x+
x + ... +
x +
x
1!
2!
n!
(n + 1)!
.
Неопределенный и определенный интегралы
♦ Табличные интегралы:
dx =
x α +1
+ C (α ≠ −1);
α +1
∫
x
∫ a dx =
ax
+ C (0 < a ≠ 1);
ln a
∫e
∫x
α
∫ sin x dx = − cos x + C ;
dx
∫ sin 2 x = −ctg x + C ;
∫
dx
a −x
2
dx
∫ 1 + x2
x
dx = e x + C;
∫ cos x dx = sin x + C;
dx
∫ cos 2 x = tg x + C;
x
+ C;
a
∫
dx
1 − x2
dx
= arctg x + C ;
= arcsin x + C;
∫ a2 + x2
=
dx
1
1
x
arctg + C ;
a
a
dx
=
1
x−a
ln
+ C (a ≠ 0 );
2a
x+a
∫ x 2 − 1 = 2 ln
dx
=
1
x
arctg + C (a ≠ 0 );
a
a
∫ x 2 + 1 = arctg x + C;
∫ x2 − a2
∫ x2 + a2
∫
= arcsin
2
dx
= ln x + C;
x
dx
x ±k
2
= ln x + x 2 ± k + C ;
x −1
+ C;
x +1
dx
∫
dx
x ±1
2
= ln x + x 2 ± 1 + C.
♦ ∫ f (x ) d x x = ϕ(t ) = ∫ f [ϕ(t )]ϕ′(t ) dt — формула замены переменной в неопределенном интеграле.
ξ ∈ (a , x ) .
b
♦ ∫ f (x) dx = ∫ f [ϕ(t )]ϕ′(t ) dt — формула замены переменной в определенном интеграле; ϕ (α) = a, ϕ (β) = b.
a
♦ ∫ u(x )v′(x) dx = u(x)v(x ) − ∫ v(x )u′(x ) dx
интеграле.
b
b
a
a
— формула интегрирования по частям в неопределенном
♦ ∫ u dv = uv ba − ∫ v du — формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
b
∫ f (x ) dx = f (c)(b − a ) — формула среднего значения;
a
c ∈ [a , b] .
b
b
∫ f (x ) dx = F(b) − F(a ) = F(x ) a — формула Ньютона-Лейбница.
a
b
n s = ∫ f (x ) dx
— площадь криволинейной трапеции
a
0 ≤ y ≤ f (x ), a ≤ x ≤ b .
β
s = ∫ ψ (t ) ϕ′(t ) dt
— площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрически:
α
x = ϕ (t ), y = ψ (t ), α ≤ t ≤ β .
s=
1β 2
ρ (ϕ) dϕ
2 ∫α
координатах:
L=
b
— площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных
ρ = ρ (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β .
1 + ( f ′(x )) dx
2
∫
a
— длина дуги кривой, заданной уравнением
β
L=
y = f (x ) , a ≤ x ≤ b .
2
2
∫ (ϕ′(t)) + (ψ′(t )) dt — длина дуги кривой, заданной параметрически:
x = ϕ (t ), y = ψ (t ), α ≤ t ≤ β .
α
L=
β
2
2
∫ (ρ(ϕ)) + (ρ′(ϕ)) dϕ — длина дуги кривой, заданной в полярных координатах:
ρ = ρ (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β .
α
b
V = π ∫ f 2 (x ) dx
— объем тела вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции
a
b
P = 2π ∫ f (x ) 1 + ( f ′ (x )) dx
2
0 ≤ y ≤ f (x ), a ≤ x ≤ b .
— площадь поверхности вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции
a
0 ≤ y ≤ f (x ), a ≤ x ≤ b .
ФИЗИКА
I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
1.1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ
Средняя и мгновенная скорости материальной точки
v =
∆r
,
∆t
v =
v=
∆r
,
∆t
v=
∆s
;`
∆t
∆s
,
∆t
где ∆r — элементарное перемещение точки за промежуток времени ∆t;
— путь, пройденный точкой за промежуток времени ∆t.
r — радиус-вектор точки; ∆s
Среднее и мгновенное ускорения материальной точки
a =
∆v
,
∆t
a=
dv
dt
.
Полное ускорение при криволинейном движении
a = a τ + an,
где
aτ =
dv
dt
a = aτ2 + an2
,
— тангенциальная составляющая ускорения;
an =
ускорения ( r — радиус кривизны траектории в данной точке).
v2
r
— нормальная составляющая
Путь и скорость для равнопеременного движения
s = v0t ±
at 2
;
2
v = v0 ± at,
где
v0
— начальная скорость.
Угловая скорость
ω=
dϕ
dt
.
ε=
dω
dt
.
Угловое ускорение
Угловая скорость для равномерного вращательного движения
ω=
ϕ 2π
=
= 2πn,
t
T
где T — период вращения; n — частота вращения ( n = N / t , где
совершаемых телом за время t ).
N
— число оборотов,
Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения
ε t2
;
2
ω = ω0 t ± ε t ,
ϕ = ω0 t ±
где
ω0
— начальная угловая скорость.
Связь между линейными и угловыми величинами
s = Rϕ ;
где
R
v = Rω ;
an = ω2R ,
aτ = Rε ;
— расстояние от оси вращения.
1.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО
ТЕЛА
Импульс (количество движения) материальной точки
p = mv .
Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)
dv dp
=
.
F = ma = m
dt
dt
Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки
Fτ = maτ = m
dv
;
dt
Fn = man =
mv 2
= mω2 R .
R
Сила трения скольжения
,
— сила нормального давления.
Fтр = fN
где
f
— коэффициент трения скольжения;
N
Сила трения качения
Fтр = fк N / r
,
где f — коэффициент трения качения; r — радиус качающегося тела.
Закон сохранения импульса для замкнутой системы
p=
где
n
∑ mi v i
= const
,
i =1
n
— число материальных точек (или тел), входящих в систему.
Координаты центра масс системы материальных точек:
xC =
где
mi
— масса i-й материальной точки;
Σmi xi
;
Σmi
yC =
xC , yC , zC
Σmi yi
;
Σmi
zC =
Σmi zi
.
Σmi
— ее координаты.
Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского)
ma = F + Fp ,
где реактивная сила
Fp = −u
dm
dt
( u — скорость истечения газов из ракеты).
Формула Циолковского для определения скорости ракеты
v = u ln
где
m0
— начальная масса ракеты.
m0
m
,
1.3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
Работа, совершаемая постоянной силой
dA = Fsds = Fds cos α ,
где Fs — проекция силы на направление перемещения;
перемещения.
α
— угол между направлениями силы и
Работа, совершаемая переменной силой, на пути s
A = ∫ Fs ds = ∫ F cos αds .
s
s
Средняя мощность за промежуток времени ∆t
N = ∆A / ∆t .
Мгновенная мощность
N =
dA
,
dt
или
N = Fv = Fsv = Fv cos α .
П = mgh,
где g — ускорение свободного падения.
Сила упругости
F = −kx ,
где х — деформация;
k
— коэффициент упругости.
Потенциальная энергия упругодеформированного тела
П = kx2 / 2 .
Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)
T + П = Е = const .
Коэффициент восстановления
ε = vn′ / vn ,
где
vn′
и
vn
— соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.
Скорости двух тел массами
где
v1
и
v2
m1
и
m2
после абсолютно упругого центрального удара:
v1′ =
(m1 − m2 ) v1 + 2m2v2 ;
v2′ =
(m2 − m1 ) v2 + 2m1v1 ,
m1 + m2
m1 + m2
— скорости тел до удара.
Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара
v=
m1v1 + m2v2
m1 + m2
.
1.4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент инерции материальной точки
J = mr 2 ,
где m — масса точки; r — расстояние до оси вращения.
Момент инерции системы (тела)
n
∑ miri2 ,
J=
где
— расстояние материальной точки массой
В случае непрерывного распределения масс
ri
i =1
до оси вращения.
= ∫ r 2 dm .
mi
J
Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m — масса
тела):
Тело
Полый тонкостенный
ци-линдр радиусом R
Сплошной
цилиндр
или диск радиусом R
Прямой
тонкий
стержень длиной l
Положение оси вращения Момент
инерции
Ось симметрии
mR2
Ось симметрии
1
mR2
2
Ось
перпендикулярна
стержню и проходит через
его середину
Прямой
тонкий Ось
перпендикулярна
стержень длиной l
стержню и проходит через
его конец
Шар радиусом R
Ось проходит через центр
шара
1
ml 2
12
1 2
ml
3
2
mR2
5
Теорема Штейнера
J = JC + ma 2 ,
где JC — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J — момент инерции
относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m — масса тела.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z ,
Tвр. = Jz ω2 / 2 ,
где Jz — момент инерции тела относительно оси z ; ω — его угловая скорость.
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,
1
1
T = mvC2 + JC ω2 ,
2
2
где m — масса тела; vC — скорость центра масс тела; JC — момент инерции тела относительно оси,
проходящей через его центр масс; ω — угловая скорость тела.
Момент силы относительно неподвижной точки
M = [rF ] ,
где r — радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F.
Модуль момента силы
M = Fl ,
где lj — плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).
Работа при вращении тела
dA = Mz dϕ ,
где dϕ — угол поворота тела;
Mz
— момент силы относительно оси z .
Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения
Lz =
∑ miviri
= Jz ,
где ri — расстояние от оси z до отдельной частицы тела; mivi — импульс этой частицы;
инерции тела относительно оси z ; ω — его угловая скорость.
Jz
— момент
Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
dL
dω
; Mz = Jz
= Jz ε ,
M=
dt
где ε — угловое ускорение;
Jz
dt
— момент инерции тела относительно оси z .
Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы
L = const.
Напряжение при упругой деформации
σ = F/S,
где F — растягивающая (сжимающая) сила; S — площадь поперечного сечения.
Относительное продольное растяжение (сжатие)
ε
= ∆l/l,
где ∆ll — изменение длины тела при растяжении (сжатии); l — длина тела до деформации.
Относительное поперечное растяжение (сжатие)
ε'
= ∆d/d,
где ∆d — изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии);
d — диаметр стержня.
Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) ε' и относительным продольным
растяжением (сжатием) ε
ε'
= µε,
Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)
σ
= E ε,
где Е — модуль Юнга.
Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня
П =
∆l
∫ Fdx =
0
2
1 ES
(∆l )2 = Eε V
2 l
2
,
где V — объем тела.
1.5. ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Третий закон Кеплера
T12
T22
где
T1
и
T2
=
R13
R23
,
— периоды обращения планет вокруг Солнца;
R1
и
R2
— большие полуоси их орбит.
Закон всемирного тяготения
F =G
m1m2
r2
,
где F —сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами
r — расстояние между точками; G — гравитационная постоянная.
m1
и
m2 ,
Сила тяжести
P = mg ,
где m — масса тела; g — ускорение свободного падения.
Напряженность поля тяготения
g = F /m ,
где F — сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную в данную точку
поля.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами
находящихся на расстоянии r друг от друга,
П = −Gm1m2 / r .
m1
Потенциал поля тяготения
ϕ = П /m ,
где П — потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля.
Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью
где i, j, k — единичные векторы координатных осей.
Первая и вторая космические скорости
v1 =
где
R0
gR0 ,
v2 = 2 gR0
,
— радиус Земли.
Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета
ma′ = ma + Fин.
,
и
m2 ,
где a и a′ — соответственно ускорение тела в инерциальной и неинерциальной системах отсчета,
—силы инерции.
Fин.
Силы инерции
Fин. = Fи + Fц + Fк
,
где Fи, — силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении системы отсчета с ускорением
а0: Fи = –ma0; F„ц — центробежные
силы инерции (силы инерции, действующие во вращающейся
системе отсчета на тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние R): Fц „= –mω2R; Fк —
кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся со скоростью v′ во
вращающейся системе отсчета:
Fк = 2m[v ′ω].
1.6. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ
Гидростатическое давление столба жидкости на глубине h
p = ρgh ,
где р — плотность жидкости.
Закон Архимеда
FА = ρgV ,
где
FА
— выталкивающая сила; V — объем вытесненной
жидкости.
Уравнение неразрывности
Sv = const ,
где S — площадь поперечного сечения трубки тока;
v
— скорость жидкости.
Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости
ρv 2
+ ρgh + p = const ,
2
где р — статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; v — скорость
жидкости для этого же сечения; ρv 2 / 2 — динамическое давление жидкости для этого же сечения; h —
высота, на которой расположено сечение; ρgh — гидростатическое давление.
Для трубки тока, расположенной горизонтально,
ρv 2
+ p = const .
2
Формула Торричелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в
открытом широком сосуде,
,
где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.
v=
2 gh
Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости
F=η
где η — динамическая вязкость жидкости;
слоев.
∆v / ∆x
∆v
S,
∆x
— градиент скорости; S — площадь соприкасающихся
Число Рейнольдса, определяющее характер движения жидкости,
Re = ρ < v > d / η ,
где ρ — плотность жидкости; < v > — средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный
линейный размер, например диаметр трубы.
Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно
движущийся в вязкой среде шарик,
F = 6πηr v ,
где
r
— радиус шарика;
v
— его скорость.
Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости.
протекающий за время t через капиллярную трубку длиной l,
V = πR 4 ∆pt / (8ηl ) ,
где R — радиус трубки;
∆p
— разность давлений на концах трубки.
Лобовое сопротивление
Rx = Cx
ρv 2
S,
2
где Cx — безразмерный коэффициент сопротивления; ρ — плотность среды;
тела; S — площадь наибольшего поперечного сечения тела.
v
— скорость движения
Подъемная сила
Ry = Cy
где
Cy
ρv 2
S,
2
— безразмерный коэффициент подъемной силы
1.7. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ (ЧАСТНОЙ)
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Преобразования Лоренца
x′ =
x − vt
1 − v2 / c2
,
y′ = y ,
z′ = z ,
t′ =
t − vx / c 2
1 − v2 / c2
,
где предполагается, что система отсчета K ′ движется со скоростью v в положительном направлении
оси x системы отсчета K , причем оси x′ и x совпадают, а оси y′ и y , z′ и z — параллельны; c —
скорость распространения света в вакууме.
Релятивистское замедление хода часов
τ′ =
τ
1 − v2 / c2
,
где τ — промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом
часами; τ′ — промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.
Релятивистское (лоренцево) сокращение длины
l = l0 1 − v 2 / c 2 ,
где l0 — длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится
(собственная длина); l — длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой он
движется со скоростью v .
Релятивистский закон сложения скоростей
ux′ =
ux − v
,
1 − vux / c 2
uy′ =
uy 1 − v 2 / c 2
1 − vux / c
2
uz′ =
,
uz 1 − v 2 / c 2
1 − vux / c 2
,
где предполагается, что система отсчета K ′ движется со скоростью v в положительном направления
оси x системы отсчета K , причем оси x′ и x совпадают, оси y′ и y , z′ и z — параллельны.
Интервал
s12
между событиями (инвариантная величина)
2
2
2
s12
= c 2t12
− l12
= inv ,
где t12 — промежуток времени между событиями 1 и 2;
произошли события.
— расстояние между точками, где
l12
Масса релятивистской частицы и релятивистский импульс
m=
где
m0
m0
1− v /c
2
2
p=
,
m0 v
1 − v2 / c2
,
— масса покоя.
Основной закон релятивистской динамики
F=
где
p
— релятивистский импульс частицы.
dp
dt
,
Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы
E = mc 2 = m0 c 2 + T ,
T = (m − m0 ) c 2 .
Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
E 2 = m02 c 4 + p 2 c 2 ,
(
pc = T T + 2m0 c 2
).
Энергия связи системы
Eсв. =
n
∑ m0i c 2
i =1
− M0 c 2
где m0i — масса покоя i-й частицы в свободном состоянии;
частиц.
,
M0
— масса покоя системы, состоящей из n
II. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И
ТЕРМОДИНАМИКИ
2.1. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Закон Бойля-Мариотта
рV = const при Т = const, m = const,
где р — давление; V — объем; Т — термодинамическая температура;
m — масса газа.
Закон Гей-Люссака
V = V0 (1 + αt ) ,
или V1 / V2 = T1 / T2 при p = const, m = const;
p = p0 (1 + αt ) , или p1 / p2 = T1 / T2 при V = const, m = const,
где t — температура по шкале Цельсия; V0 и p0 — соответственно объем и давление при 0 °С;
коэффициент α = 1 273 K −1 ; индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям.
Закон Дальтона для давления смеси п идеальных газов
p=
где
pi
n
∑ pi ,
i =1
— парциальное давление i-го компонента смеси.
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менде-леева)
pVm = RT (для одного моля газа),
pV = (m / M ) RT (для произвольной массы газа),
где Vm — молярный объем; R — молярная газовая постоянная; M — молярная масса газа; m — масса
газа; m/M = ν — количество вещества.
Зависимость давления газа от концентрации п молекул и температуры
p = nkT
где
k
— постоянная Больцмана ( k = R / N A ,
NA
,
— постоянная Авогадро).
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов
1
2
p = nm0 vкв. ,
3
или

2  m0 vкв.
pV = N 
3 
2

2

 2
= E,
 3

или
pV =
где
vкв.
1
Nm0 vкв.
3
2
=
1
m vкв.
3
2
,
— средняя квадратичная скорость молекул; Е — суммарная кинетическая энергия
поступательного движения всех молекул газа;
n — концентрация молекул,
молекулы; m = Nm0 — масса газа; N — число молекул в объеме газа V.
Скорость молекул:
♦ наиболее вероятная
vв. =
2RT / M =
2kT / m0
;
♦ средняя квадратичная
vкв. = 3RT / M = 3kT / m0
;
m0
— масса одной
♦ средняя арифметическая
v = 8RT / (πM ) = 8kT / (πm0 ) ,
где m0 — масса одной молекулы.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа
ε0 =
3
kT .
2
Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям
f (v ) =
dN (v )
 m0 
= 4 π

Nd v
 2πkT 
3/2
2
v 2 e − m0v / (2 kT ) ,
где функция f (v) распределения молекул по скоростям определяет относительное число молекул
dN (v ) / N из общего числа N молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv .
Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по энергиям теплового движения
f (ε ) =
dN (ε )
2
=
(kT )− 3 / 2 ε1 / 2 e − ε / (kT ) ,
Ndε
π
где функция f (ε ) распределения молекул по энергиям теплового движения определяет относительное
число молекул dN (ε ) / N из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии ε = m0v2 / 2 ,
заключенные в интервале от ε до ε+dε.
Барометрическая формула
ph = p0 e − Mg (h − h0 ) / (RT ) ,
где
ph
и
p0
— давление газа на высоте
h
и
h0 .
Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле
n = n0 e − Mgh / (RT ) = n0 e −m0 gh / (kT ) ,
где n и n0 — концентрация молекул на высоте
поле тяготения.
h
и
или
n = n0 e −П / (kT ) ,
h = 0 ; П = m0 gh
— потенциальная энергия молекулы в
Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с,
z = 2 πd 2n v
,
где d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация молекул;
скорость молекул.
Средняя длина свободного пробега молекул газа
l =
Закон теплопроводности Фурье
v
z
=
1
2 πd 2n
.
v
— средняя арифметическая
Q = −λ
dT
St ,
dx
где Q — теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время t;
градиент температуры; λ — теплопроводность:
1
λ = cV ρ v l ,
dT / dx
—
3
где cV — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ — плотность газа; v — средняя
арифметическая скорость теплового движения его молекул; l — средняя длина свободного пробега
молекул.
Закон диффузии Фика
dρ
St ,
dx
M = −D
где М — масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за время t;
градиент плотности, D — диффузия:
D=
1
v l
3
dρ / dx
—
.
Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)
F = −η
dv
S,
dx
где F — сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S;
скорости; η — динамическая вязкость:
η=
1
ρv l
3
dv / dx —
градиент
.
2.2. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну степень свободы
молекулы,
1
ε1 = kT .
2
Средняя энергия молекулы
ε =
i
kT
2
,
где i — сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы
(i = nпост. + nвращ. + 2nколеб. ) .
Внутренняя энергия идеального газа
U=ν
i
m i
RT =
RT
2
M2
,
где ν — количество вещества, m — масса газа; М — молярная масса газа; R — молярная газовая
постоянная.
Первое начало термодинамики
Q = ∆U + A ,
где Q — количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею;
энергии; А — работа системы против внешних сил.
Первое начало термодинамики для малого изменения системы
δQ = dU + δA.
∆U
— изменение ее внутренней
Связь между молярной
Cm „
и удельной с теплоемкостями газа
Cm = cM ,
где М — молярная масса газа.
Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении
i
R,
2
CV =
Cp =
i+2
R.
2
Уравнение Майера
Cp = CV + R .
Изменение внутренней энергии идеального газа
dU =
m
CV dT
M
.
Работа, совершаемая газом при изменении его объема,
dA = pdV
.
Полная работа при изменении объема газа
A=
V2
∫ pdV ,
V1
где
V1
и
V2
— соответственно начальный и конечный объемы газа.
Работа газа:
♦ при изобарном процессе
A = p(V2 − V1 ) ,
или
A=
m
R (T2 − T1 ) ;
M
♦ при изотермическом процессе
A=
V
m
RT ln 2
M
V1
, или
A=
p
m
RT ln 1
M
p2
.
Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)
pV γ = const ,
где
γ = Cp / CV = (i + 2) / i
TV γ −1 = const ,
T γ p1 − γ = const ,
— показатель адиабаты.
Работа в случае адиабатического процесса
A=
m
CV (T1 − T2 ) ,
M
или
A=
где
T1 , T2
и
V1 , V2
RT1 m   V1
1−
γ − 1 M   V2





 
 = p1V1 1 −  V1
 γ − 1   V2


γ −1 




γ −1 



— соответственно начальные и конечные температура и объем газа.
Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)
Q − Q2
Q
A
η=
= 1
=1− 2 ,
Q1
Q1
где Q1 — количество теплоты, полученное системой;
— работа, совершаемая за цикл.
Q1
Q2
— количество теплоты, отданное системой; А
Термический коэффициент полезного действия цикла Карно
η=
где
T1
— температура нагревателя;
T2
T1 − T2
T1
,
— температура холодильника.
Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2
∆Si → 2 = S2 − S1 =
2
∫
1
dQ
=
T
2
∫
1
dU + dA
T
.
2.3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ И ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для моля газа

p + a

Vm2

где
Vm „

 (Vm − b ) = RT ,


— молярный объем; а и b — постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов.
Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы газа
2 

 p + ν a   V − b  = RT

V 2   ν


, или
2 

 p + ν a  (V − νb ) = RT ,

V 2 

где ν = т/М — количество вещества.
Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул,
p′ = a / Vm2 .
Связь критических параметров — объема, давления и температуры — с постоянными а и b Ван-дерВаальса
Vк. = 3b , pк. = a / (27b 2 ), Tк. = 8a / (27Rb ) .
Внутренняя энергия реального газа
U = ν (CV T − a / Vm ) ,
где CV — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Энтальпия системы
U1 + p1V1 = U2 + p2V2 ,
где индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному состояниям системы.
Поверхностное натяжение
σ = F/l ,
или
σ = ∆E / ∆S ,
где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность
жидкости; ∆Е — поверхностная энергия, связанная с площадью ∆S поверхности пленки.
∆p = σ(1 / R1 + 1 / R2 ) ,
где R1 и R2 — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности
жидкости; радиус кривизны положителен, если центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый
мениск), и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости (вогнутый мениск). В случае
сферической поверхности
∆p = 2σ / R .
Высота подъема жидкости в капиллярной трубке
h=
2σ cos θ
,
ρgr
где θ — краевой угол; r — радиус капилляра; р — плотность жидкости;
падения.
g — ускорение свободного
Закон Дюлонга и Пти
CV = 3R ,
где
CV
— молярная (атомная) теплоемкость химически простых твердых тел.
Уравнение Клапейрона-Клаузиуса, позволяющее определить изменение температуры фазового
перехода в зависимости от изменения давления при равновесно протекающем процессе,
L
dp
=
,
dT T (V2 − V1 )
где L — теплота фазового перехода; (V2 − V1 ) — изменение объема вещества при переходе его из первой
фазы во вторую; Т — температура перехода (процесс изотермический).
III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
3.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Закон Кулона
F=
Q1 Q2
1
4 πε0
r2
,
где F — сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и
зарядами; ε 0 — электрическая постоянная, равная 8,85 ⋅ 10 −12 Φ / м.
Напряженность и потенциал электростатического поля
E = F / Q0 ;
ϕ = П / Q0
или
Q2
в вакууме;
r
— расстояние между
ϕ = A∞ / Q0 ,
где F — сила, действующая на точечный положительный заряд Q0 , помещенный в данную точку поля;
П — потенциальная энергия заряда Q0 ; A∞ — работа перемещения заряда из данной точки поля за его
пределы.
Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии от заряда
E=
1 Q
1 Q
; ϕ=
,
4πε 0 r 2
4πε 0 r
Поток вектора напряженности через площадку
dΦ E = EdS = En dS
где dS = dSn — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке;
— составляющая вектора E по направлению нормали к площадке.
Поток вектора напряженности через произвольную поверхность
S
En
Φ E = ∫ EdS = ∫ En dS.
S
S
Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей
n
∑ Ei ;
E=
ϕ=
i =1
где
E i , ϕi
n
∑ ϕi ,
i =1
— соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом.
Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
E = − gradϕ
где
i, j, k
 ∂ϕ
∂ϕ 
∂ϕ
E = −
i+
j+
k ,
x
y
∂z 
∂
∂

или
— единичные векторы координатных осей.
В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,
E=−
dϕ
.
dr
Электрический момент диполя (дипольный момент)
p = Q l,
где I — плечо диполя.
Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов
τ=
dQ
;
dl
σ=
dQ
;
dS
ρ=
dQ
,
dV
т.е. соответственно заряд, приходящийся на единицу длины, поверхности и объема.
Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
Φ E = ∫ EdS =
S
где
ε0
∫ EndS =
S
1
ε0
n
∑ Qi
i =1
=
1
ε0
∫ ρdV ,
V
n
— электрическая постоянная; ∑ Qi — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри
замкнутой поверхности S ;
i =1
n
— число зарядов;
ρ
— объемная плотность зарядов.
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью
E = σ (2ε 0 )
Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными
плоскостями
E = σ ε0
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R c
общим зарядом Q на расстоянии r от центра сферы
E = 0 при r < R (внутри сферы);
E=
1 Q
при r ≥ R
4 πε0 r 2
(вне сферы.
Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом
расстоянии r от центра шара
1 Q
при r ≤ R (внутри шара);
E=
3
Q
на
4 πε0 r
E=
1 Q
при r ≥ R
4 πε0 r 2
(вне шара).
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на
расстоянии r от оси цилиндра,
E = 0 при r < R (внутри цилиндра);
1 τ
E=
при r ≥ R (вне цилиндра).
4 πε0 r
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура
∫ Edl = ∫ Ei dl = 0 ,
L
L
где Ei — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dl. Интегрирование
производится по любому замкнутому пути L.
Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда
точку 2
A12 = Q0 (ϕ1 − ϕ 2 ) ,
или
2
2
1
1
Q0
из точки 1 в
A12 = Q0 ∫ Edl = Q0 ∫ El dl ,
где El — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dl.
Поляризованность
P=
∑ pi
i
где V — объем диэлектрика;
pi
V,
— дипольный момент i-й молекулы.
Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля
P = χε 0 E .
где
χ
— диэлектрическая восприимчивость вещества.
Связь диэлектрической проницаемости
ε
с диэлектрической восприимчивостью
χ:
ε = 1 + χ.
Связь между напряженностью Е поля в диэлектрике и напряженностью
E0
внешнего поля
E = E0 − P ε 0 , или E = E0 ε .
Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля
D = ε 0 εE .
Связь между
D, E и P
D = ε0E + P .
Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
Φ D = ∫ DdS = ∫ Dn dS =
S
n
где ∑ Qi
S
n
∑ Qi ,
l =1
— алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхности S свободных
l =1
электрических зарядов; Dn — составляющая вектора D по направлению нормали к площадке — вектор,
модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке. Интегрирование ведется
по всей поверхности.
Напряженность электростатического поля у поверхности проводника
E = σ / (ε 0 ε ),
где
σ
— поверхностная плотность зарядов.
Электроемкость уединенного проводника
C = Q / ϕ,
где
Q
— заряд, сообщенный проводнику;
ϕ
— потенциал проводника.
Емкость плоского конденсатора
C = ε 0 εS / d ,
где S — площадь каждой пластины конденсатора; d — расстояние между пластинами.
Емкость цилиндрического конденсатора
2πε0 εl
,
ln(r2 / r1 )
C=
где
— длина обкладок конденсатора;
l
r1 , r2 —
радиусы полых коаксиальных цилиндров.
Емкость сферического конденсатора
C = 4 πε 0 ε
r1r2
,
r2 − r1
где r1 и r2 — радиусы концентрических сфер.
Емкость системы конденсаторов при последовательном и параллельном соединении
1
=
C
n
1
∑C и
i =1
C=
i
n
∑ Ci ,
i =1
где Ci — емкость i-го конденсатора; n — число конденсаторов.
Энергия уединенного заряженного проводника
W =
Cϕ 2 Qϕ Q 2
=
=
.
2
2
2C
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов
1 n
∑ Qi ϕi ,
2 i =1
W =
где
ϕi
— потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд
Энергия заряженного конденсатора
W =
где
Q
— заряд конденсатора;
C
Qi
всеми зарядами, кроме i-го.
C(∆ϕ)
Q∆ϕ Q 2
=
=
,
2
2
2C
2
— его емкость;
∆ϕ
— разность потенциалов между обкладками.
Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора
F =
ε εE 2 S
Q2
σ2S
.
=
= 0
2ε 0 εS 2ε 0 ε
2
Энергия электростатического поля плоского конденсатора
W =
ε 0 εE 2
ε εSU 2
ε εE 2
= 0
Sd = 0
V,
2
2
2
где S — площадь одной пластины; U — разность потенциалов между пластинами; V = Sd — объем
конденсатора.
Объемная плотность энергии
w=
где
D
ε 0 εE 2
ED
=
,
2
2
— электрическое смещение.
3.2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Сила и плотность электрического тока
I =
dQ
;
dt
j=
где S — площадь поперечного сечения проводника.
Плотность тока в проводнике
I
,
S
j = ne v ,
где
v
— скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике;
Электродвижущая сила, действующая в цепи,
n
— концентрация зарядов.
E = A / Q0
где Q0 – единичный положительный заряд;
сторонних сил.
E = ∫ E ст dl ,
или
– работа сторонних сил;
A
Сопротивление R однородного линейного проводника, проводимость
электрическая проводимость γ вещества проводника
R = ρl / S ;
G = 1/ R;
где ρ — удельное электрическое сопротивление;
его длина.
E ст
— напряженность поля
G
проводника и удельная
γ = 1 / ρ,
— площадь поперечного сечения проводника;
S
l
—
Сопротивление проводников при последовательном и параллельном соединении
R=
где
n
∑ Ri
и
i =1
1
=
R
n
1
∑R
i =1
,
i
— сопротивление i-го проводника;
n
— число проводников.
Зависимость удельного сопротивления
ρ
от температуры
Ri
ρ = ρ 0 (1 + αt ),
где
α
— температурный коэффициент сопротивления.
Закон Ома:
♦ для однородного участка цепи
I = U / R;
♦ для неоднородного участка цепи
I = (ϕ1 − ϕ 2 + E12 ) / R ;
♦ для замкнутой цепи
I = E / R,
где U — напряжение на участке цепи; R — сопротивление цепи (участка цепи); (ϕ1 − ϕ2 ) — разность
потенциалов на концах участка цепи; E12 — э.д.с. источников тока, входящих в участок; E — э.д.с. всех
источников тока цепи.
Закон Ома в дифференциальной форме
j = γE ,
где
E
– напряженность электростатического поля.
Работа тока за время
t
A = IUt = I 2 Rt =
Мощность тока
P = IU = I 2 R =
Закон Джоуля-Ленца
U2
t.
R
U2
.
R
Q = I 2 Rt = IUt ,
где
Q
– количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
w = jE = γE 2 ,
где
w
— удельная тепловая мощность тока.
Правило Кирхгофа
∑ Ik = 0 ; ∑ Ii Ri = ∑ Ek .
k
i
k
t.
3.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ,
В ВАКУУМЕ И ГАЗАХ
Контактная разность потенциалов на границе двух металлов 1 и 2
ϕ1 − ϕ 2 = −
где
A1 − A2 kT
n
+
ln 1 ,
e
e
n2
— работы выходов свободных электронов из металлов;
n1 , n2 — концентрации свободных электронов в металлах.
Термоэлектродвижущая сила
A1 , A2
E=
где (T1 − T2 ) — разность температур спаев.
Формула Ричардсона-Дешмана
k
— постоянная Больцмана;
k
(T1 − T2 ) ln n1 ,
e
n2
jнас = CT 2 e − A / (kT ) ,
где jнас — плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии;
C — постоянная, теоретически
одинаковая для всех металлов; A — работа выхода электрона из металла.
3.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,
M = [p m B],
где
B
— магнитная индукция;
pm —
магнитный момент контура с током:
p m = ISn ,
где S — площадь контура с током; n — единичный вектор нормали к поверхности контура.
Связь магнитной индукции B и напряженности H магнитного поля
B = µ 0 µH ,
где µ 0 — магнитная постоянная;
Закон Био-Савара-Лапласа
µ
— магнитная проницаемость среды.
dB =
µ 0 µ I [dl , r ]
,
4π
r2
где dB — магнитная индукция поля, создаваемая элементом длины dl проводника с током
радиус-вектор, проведенный от dl к точке, в которой определяется магнитная индукция.
Модуль вектора
α
;
r
—
dB
dB =
где
I
— угол между векторами
dl
и r.
µ 0 µ Idl sin α
,
4π
r2
Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей
B=
∑ Bi ,
i
где
B
— магнитная индукция результирующего поля;
Bi
— магнитные индукции складываемых полей.
Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током
B=
где R — расстояние от оси проводника.
µ 0 µ 2I
,
4π R
Магнитная индукция в центре кругового проводника с током
B = µ0µ
где R — радиус кривизны проводника.
I
,
2R
Закон Ампера
dF = I [dI , B],
где dF — сила, действующая на элемент длины dl проводника с током I , помещенный в магнитное поле
с индукцией В.
Модуль силы Ампера
dF = IBl sin α ,
где
α
— угол между векторами dl и В.
Сила взаимодействия двух прямых бесконечных прямолинейных параллельных проводников с
токами I1 и I2
µ 0 µ 2I1I2
dl ,
4π R
dF =
где R — расстояние между проводниками; dl — отрезок проводника.
B=
µ 0 µ Q[v r ]
,
4π r 3
где r — радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.
Модуль магнитной индукции
B=
где α — угол между векторами v и r.
Сила Лоренца
где F — сила, действующая на заряд
Q,
µ 0 µ Qv
sin α ,
4π r 2
F = Q [v B],
движущийся в магнитном поле со скоростью v.
Формула Лоренца
F = QE + Q[v , B] ,
где F — результирующая сила, действующая на движущийся заряд
электрическое поле напряженностью Е и магнитное поле индукцией В.
Q,
если на него действует
Холловская поперечная разность потенциалов
∆ϕ = R
где В — магнитная индукция; I — сила тока;
— концентрация электронов).
d
IB
,
d
— толщина пластинки;
R = 1 / (en )
— постоянная Холла (п
Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В)
n
∫ Bdl = ∫ Bi dl = µ 0 k∑=1 Ik ,
L
L
где µ 0 — магнитная постоянная; dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода
контура; Bi = B cos α — составляющая вектора В в направлении касательной контура L произвольной
формы
(с учетом выбранного направления обхода); угол между векторами В и
n
dl
; ∑ Ik —
k =1
алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.
Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N витков,
B = µ 0 NI / l ,
где
l
— длина соленоида.
Магнитная индукция поля внутри тороида (в вакууме)
B = µ 0 NI / 2πr .
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадку dS
dΦ B = BdS = Bn dS ,
где dS = dSn — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью п к площадке; Bn
— проекция вектора В на направление нормали к площадке.
Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S
Φ B = ∫ BdS = ∫ Bn dS .
S
S
Потокосцепление (полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида)
Φ = µ0µ
N 2I
S,
l
где µ — магнитная проницаемость среды.
Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
dA = IdΦ ,
где
dΦ
— магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.
Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле
dA = IdΦ' ,
где
dΦ'
— изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.
3.5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Закон Фарадея
Ei = −
dΦ
,
dt
где Ei — э.д.с. индукции.
Э.д.с. индукции, возникающая в рамке площадью
однородном магнитном поле с индукцией B ,
S
при вращении рамки с угловой скоростью в
Ei = BSω sin ω t ,
где
ωt —
мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали n к плоскости рамки.
Магнитный поток, создаваемый током
I
в контуре с индуктивностью L,
Φ = LI .
Э.д.с. самоиндукции
Es = −L
где L — индуктивность контура.
Индуктивность соленоида (тороида)
L = µ0µ
где N — число витков соленоида;
l
— его длина.
dI
,
dt
N 2S
,
l
Токи при размыкании и при замыкании цепи
(
)
I = I 0 e −t / τ ; I = I 0 1 − e − t / τ ,
где
τ = L/R
— время релаксации ( L — индуктивность; R — сопротивление).
Э.д.с. взаимной индукции (э.д.с., индуцируемая изменением силы тока в соседнем контуре)
E = −L12
где
L12
— взаимная индуктивность контуров.
dI
,
dt
Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков
тороидальный сердечник,
L12 = L21 = µ 0 µ
N1
и
N2 ,
намотанных на общий
N1N2
S,
l
где µ0 — магнитная проницаемость сердечника; I — длина сердечника по средней линии; S — площадь
сердечника.
Коэффициент трансформации
N2
E
I
= 2 = 1,
N1
E1
I2
где N , E , I — соответственно число витков, э.д.с. и сила тока в обмотках трансформатора.
Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре, по которому течет ток I,
W = LI 2 / 2 .
Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида
w=
µ µH 2
B2
BH
= 0
=
2µ 0 µ
2
2
.
3.6. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
Связь орбитального магнитного pm и орбитального механического L e моментов электрона
p m = − gL e = −
где
g = e / (2m)
e
Le ,
2m
— гиромагнитное отношение орбитальных моментов.
Намагниченность
,
где Pm = ∑ p a — магнитный момент магнетика, равный векторной сумме магнитных моментов отдельных
молекул.
J = Pm / V = ∑ pa / V
Связь между намагниченностью и напряженностью магнитного поля
J = χH ,
где χ — магнитная восприимчивость вещества.
Связь между векторами
B, H, J
B = µ 0 (H + J ),
где µ0 — магнитная постоянная.
Связь между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью вещества
µ = 1+χ.
Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В)
∫ Bdl = ∫ Bl dl = µ 0 (I + I ′),
L
L
где dl — вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; Bl — составляющая
вектора В в направлении касательной контура L произвольной формы; I и I’ — соответственно
алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов),
охватываемых заданным контуром.
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля
∫ Hdl = I ,
L
где I — алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром L.
3.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА
ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Плотность тока смещения
jсм =
где D — электрическое смещение;
ε0
∂E
∂t
∂D
∂E ∂P
= ε0
+
∂t
∂t
∂t
,
— плотность тока смещения в вакууме;
∂P
∂t
— плотность тока
поляризации.
Полная система уравнений Максвелла:
♦ в интегральной форме
∂B
∫ Edl = − ∫ dS ;
∫ DdS = ∫ ρdV ;
L
S
∂t
S
∂D 

∫ Hdl = ∫  j + ∂t dS ;
L
S
∫ BdS = 0 .
♦ в дифференциальной форме
∂B
;
rot E = −
∂t
∂D
rot H = j +
∂t
;
V
S
div D = ρ ;
div B = 0 ,
где D = ε0εE; B = µ0µH; j = γE (ε0 и µ0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; (ε и µ —
диэлектрическая и магнитная проницаемости; γ — удельная проводимость вещества).
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
4.1. МЕХАНИЧЕСКИЕ И
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение гармонических колебаний
s = A cos (ω0t + ϕ) ,
где s — смещение колеблющейся величины от положения равновесия;
А — амплитуда колебаний; ω
0 = 2π/T = 2πν — круговая (циклическая) частота; ν = 1/T — частота; Т — период колебаний; ϕ0 —
начальная фаза.
Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания,
ds
π

= − Aω0 sin (ω0t + ϕ) = Aω0 cos  ω0t + ϕ +  ;
dt
2

d 2s
= − Aω0 cos (ω0t + ϕ) = −ω02 s .
dt 2
Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m
T =
mA2 ω02
mv2
=
sin 2 (ω0t + ϕ) .
2
2
Потенциальная энергия
∏=
mA2 ω02
cos 2 (ω0t + ϕ)
2
Полная энергия
E=
mA 2 ω02
2
.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки массой т
mx&& = −kx, или x&& + ω02 x = 0 ,
где
k
— коэффициент упругости
(k = ω m) .
2
0
Период колебаний пружинного маятника
T = 2π m / k ,
где m — масса пружинного маятника;
k
— жесткость пружины.
Период колебаний физического маятника
T = 2π J / (mgl ) = 2π L / g
,
где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний;
l — расстояние между точкой
подвеса и центром масс маятника; L = J/(ml) — приведенная длина физического маятника; g —
ускорение свободного падения.
Период колебаний математического маятника
T = 2π l / g
,
где l — длина маятника.
Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом Т собственных колебаний в контуре без
активного сопротивления и индуктивностью L и емкостью контура С,
T = 2π LC .
Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре и его решение:
&& + 1 Q = 0;
Q
LC
где
Qm
— амплитуда колебаний заряда;
ω0 = 1 / LC
(
Q = Qm cos ω0 t + ϕ
),
— собственная частота контура.
Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических
колебаний одинакового направления и одинаковой частоты,
A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) ,
где A1 и A2 —амплитуды складываемых колебаний; ϕ1 и ϕ2 — их начальные фазы.
Начальная фаза результирующего колебания
tgϕ =
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2
.
Период биений
Т = 2π/∆ω.
Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях
одинаковой частоты,
2xy
x2
y2
+
cos ϕ + 2 = sin 2 ϕ .
2
AB
A
B
где А и В — амплитуды складываемых колебаний; ϕ — разность фаз обоих колебаний.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение:
d 2s
ds
+ 2δ
+ ω02s = 0;
dt
dt 2
s = A0 e − δt cos (ωt + ϕ) ,
где s — колеблющаяся величина, описывающая физический процесс;
δ — коэффициент затухания (
δ = r/(2m) в случае механических колебаний и δ = R/(2L) в случае электромагнитных колебаний); ω0 —
циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы; ω = ω02 − δ2
— частота затухающих колебаний; A0e− δt — амплитуда затухающих колебаний.
Декремент затухания
A (t )
= e δT ,
A (t + T )
где A (t ) и A (t + T ) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам
времени, отличающимся на период.
Логарифмический декремент затухания
Θ = ln
A (t )
T
1
= δT =
= ,
τ
A (t + T )
N
где τ =1/δ — время релаксации; N — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в
е раз.
Добротность колебательной системы
Q=
π
ω
= 0
Θ
2δ
ds
d 2s
+ 2δ
+ ω02 s = x0 cos ωt;
2
dt
dt
.
s = A cos (ω t − ϕ),
где s — колеблющаяся величина, описывающая физический процесс ( x0
колебаний, x0 = Um / L в случае электромагнитных колебаний);
= F0 / m
в случае механических
A=
(
x0
ω02
)
− ω + 4δ ω
2
2
2
ϕ = arctg
;
2δω
ω02 − ω2
.
Резонансная частота и резонансная амплитуда
ωрез. = ω02 − 2δ2 ;
Aрез. =
x0
2δ ω02 − δ2
.
Полное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор
сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается
переменное напряжение U = Um cos ωt ,
Z=

1 

R 2 +  ω L −
C 
ω

2
=
R 2 + (RL − RC )
2
,
где RL = ωL — реактивное индуктивное сопротивление; RC = 1/(ωC) — реактивное емкостное
сопротивление.
Сдвиг фаз между напряжением и силой тока
tg ϕ =
ω L − 1 / (ω C )
.
R
Действующие (эффективные) значения тока и напряжения
I = Im / 2 ;
U = Um / 2
,
Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,
P =
1
ImUm cos ϕ ,
2
где
R
cos ϕ =
1 

R +  ωL −

ωC 

2
.
2
4.2. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
Связь длины волны λ, периода Т колебаний и частоты ν:
λ = vT ;
v = λν
,
где v — скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость).
Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х,
ξ (x, t ) = A cos (ωt − kx + ϕ0 ) ,
где ξ (x, t ) — смещение точек среды с координатой x в момент времени t; А — амплитуда волны;
циклическая (круговая) частота; k = 2π / λ = 2π / (vT ) = ω / v — волновое число (λ — длина волны;
фазовая скорость; Т — период колебаний); ϕ0 — начальная фаза колебаний.
Связь между разностью фаз ∆ϕ и разностью хода ∆
∆ϕ = 2π
∆
λ
.
—
v —
ω
Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн
∆ max = ±2m
λ
;
2
∆ min = ±(2m + 1)
λ
2
,
где m = 0, 1, 2, ... .
Фазовая
v
и групповая
u
скорости, а также связь между ними
v=
ω
;
k
u=
dω
;
dk
u =v−λ
dv
dλ
.
Уравнение стоячей волны
ξ (x, t ) = 2 A cos
2π
x cos ωt = 2 A cos kx cos ωt
λ
Координаты пучностей и узлов
xп = ±m
λ
;
2
1 λ

xп = ± m + 
2 2

,
m = 0, 1, 2, ... .
Уровень интенсивности звука (Б)
L = lg (I / I0 ) ,
где I — интенсивность звука; I0 — интенсивность звука на пороге слышимости (I0 = 1 пВт/м2).
Скорость распространения звуковых вали в газах
v=
γRT / M
,
где R — малярная газовая постоянная; М — молярная масса; γ = Сp /СV — отношение молярных
теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме; Т — термодинамическая температура.
Эффект Доплера в акустике
ν=
(v ± vпр. ) ν0 ,
v m vист.
где ν — частота звука, воспринимаемая движущимся приемником; ν0 — частота звука, посылаемая
источником; vпр. — скорость движения приемника; vист. — скорость движения источника; v — скорость
распространения звука. Верхний знак берется, если при движении источника или приемника
происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.
4.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде
v=
1
ε0µ 0
1
εµ
=
c
εµ
,
где c = 1 / ε0µ0 — скорость распространения света в вакууме; ε0 и µ0 — соответственно электрическая и
магнитная постоянные; ε и µ —соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.
Связь между мгновенными значениями напряженностей электрического (Е) и магнитного (H) полей
электромагнитной волны
ε 0 ε E = µ 0µ H ,
где Е и Н — соответственно мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного полей
волны.
Уравнения плоской электромагнитной волны
E = E0 cos (ωt − kx + ϕ);
H = H0 cos (ωt − kx + ϕ) ,
где Е0 и Н0 — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; ω
— круговая частота; k = ω / υ — волновое число; ϕ — начальные фазы колебаний в точках с координатой
х = 0.
Объемная плотность энергии электромагнитного поля
w=
ε0 εE 2 µ0µH 2
+
2
2
.
S = [EH].
V. ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
5.1. ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ И
ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИ
Законы отражения и преломления света
i1′ = i1 ;
sin i1 / sin i2 = n21 ,
где i1 — угол падения; i1′ — угол отражения; i2 — угол преломления; n21 = n2 / n1 — относительный
показатель преломления второй среды относительно первой; n1 и n2 — абсолютные показатели
преломления первой и второй среды.
Предельный угол полного отражения при распространении света из среды оптически более плотной в
среду оптически менее плотную
sin iпр. = n2 / n1 = n21 .
Преломление на сферической поверхности (для параксиальных лучей)
n2 n1 n2 − n1
,
−
=
b
a
R
где R — радиус сферической поверхности; n1 и n2 — показатели преломления сред по разные стороны
сферической поверхности; а — расстояние от точки, лежащей на оптической оси сферической
поверхности, до преломляющей поверхности; b — расстояние от поверхности до изображения. В
формуле R > 0 — для выпуклой поверхности, R < 0 —для вогнутой.
Формула сферического зеркала
1
2
1 1
=
= +
f
R a b
,
где a и b — соответственно расстояния от полюса зеркала до предмета и изображения; f — фокусное
расстояние зеркала; R — радиус кривизны зеркала.
Оптическая сила тонкой линзы
Φ=
1
1
1  1 1
= + ,
= (N − 1) 
+
 a b
f
R
R
1
2 

где f — фокусное расстояние линзы: N = n / n1 — относительный показатель преломления ( n и n1 —
соответственно абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды); R1 и R2 — радиусы
кривизны поверхностей (R > 0 для выпуклой поверхности; R < 0 для вогнутой); a и b — соответственно
расстояния от оптического центра линзы до предмета и изображения.
Сила излучения
Ie = Φ e / ω ,
где Φe — поток излучения источника;
распространяется.
ω
— телесный угол, в пределах которого это излучение
Полный световой поток, испускаемый изотропным точечным источником,
Φ 0 = 4 πI ,
где I — сила света источника.
Светимость поверхности
R = Φ/S,
где Φ — световой поток, испускаемый поверхностью; S — площадь этой поверхности.
Яркость В, светящейся поверхности в некотором направлении ϕ
Bϕ = I / (S cos ϕ) ,
где I — сила света; S — площадь поверхности;
направлением наблюдения.
ϕ
— угол между нормалью к элементу поверхности и
Освещенность Е поверхности
E = Φ/S,
где Φ — световой поток, падающий на поверхность; S — площадь этой поверхности.
Связь светимости R и яркости B при условии, что яркость не зависит от направления,
R = πB.
5.2. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Скорость света в среде
v = c/n ,
где с — скорость света в вакууме; n — абсолютный показатель преломления среды.
Разность фаз двух когерентных волн
δ=
2π
(L2 − L1 ) = 2π ∆ ,
λ0
λ0
где L = sn — оптическая длина пути (s — геометрическая длина пути световом волны в среде; п —
показатель преломления этой среды); ∆ = L2 − L1 — оптическая разность хода двух световых волн; λ0 —
длина волны в вакууме.
Условие интерференционных максимумов
∆ = ± mλ 0 , m = 0 , 1 , 2 , ... .
Условие интерференционных минимумов
∆ = ± (2m + 1)
λ0
,
2
m = 0 , 1 , 2 , ... .
Ширина интерференционной полосы
∆x =
l
λ0 ,
d
где d — расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на расстоянии l от экрана,
параллельного обоим источникам, при условии l >> d.
Условия максимумов и минимумов при интерференции света, отраженного от верхней и нижней
поверхностей тонкой плоскопараллельной пленки, находящейся в воздухе (n0 = 1),
λ0
λ
= 2d n 2 − sin 2 i ± 0 = mλ 0 , m = 0 , 1 , 2 , ... ;
2
2
λ0
λ
λ
2dn cos r ±
= 2d n 2 − sin 2 i ± 0 = (2m + 1) 0 , m = 0 , 1 , 2 , ... ,
2
2
2
2dn cos r ±
где d — толщина пленки; n — ее показатель преломления; i — угол падения; r — угол преломления. В
общем случае член ±λ 0 / 2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела:
если n > n0, то необходимо употреблять знак плюс, если n < n0 — знак минус.
Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем свете)
rm = (m − 1 / 2 )λ 0 R , m = 1 , 2 , 3 , ... ,
где m — номер кольца; R — радиус кривизны линзы.
rm* = mλ 0 R , m = 1 , 2 , ... .
В случае "просветления оптики" интерферирующие лучи в отраженном свете гасят друг друга при
условии
n = nc
где
nc
,
— показатель преломления стекла; n — показатель преломления пленки.
5.3. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Радиус внешней границы m-й зоны Френеля для сферической волны
ab
mλ
a+b
rm =
,
где m — номер зоны Френеля; λ — длина волны, a и b — соответственно расстояния диафрагмы с
круглым отверстием от точечного источника и от экрана, на котором дифракционная картина
наблюдается.
Условия дифракционных максимумов и минимумов от одной щели, на которую свет падает
нормально:
λ
a sin ϕ = ± (2m + 1) ,
2
a sin ϕ = ±2m
λ
,
2
m = 1, 2, 3, ... ,
где a — ширина щели; ϕ — угол дифракции; m — порядок спектра; λ — длина волны.
Условия главных максимумов и дополнительных минимумов дифракционной решетки, на которую
свет падает нормально:
λ
d sin ϕ = ±2m , m = 0 , 1 , 2 , ... ;
2
d sin ϕ = ±2m′
λ
,
N
m′ = 0 , 1, 2 , 3 , ..., кроме 0, N, 2N, ... ,
где d — период дифракционной решетки; N — число штрихов решетки.
Период дифракционной решетки
d = 1 / N0 ,
где N0 — число щелей, приходящихся на единицу длины решетки.
Условие дифракционных максимумов от пространственной решетки (формула Вульфа-Брэггов)
2d sin ϑ = mλ, m = 1 , 2 , 3 , ... ,
где d — расстояние между атомными плоскостями кристалла; ϑ — угол скольжения.
Угловая дисперсия дифракционной решетки
δϕ
m
=
.
Dϕ =
δλ
d cos ϕ
Наименьшее угловое расстояние между двумя светлыми точками, при котором изображения этих
точек могут быть разрешены в фокальной плоскости объектива,
ϕ ≥ 1,22λ / D .
где D — диаметр объектива; λ — длина волны света.
Разрешающая способность дифракционной решетки
λ
R=
= mN ,
δλ
где λ, (λ + δλ) — длины волн двух соседних спектральных линий, разрешаемых решеткой; m — порядок
спектра; N — общее число штрихов решетки.
5.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
С ВЕЩЕСТВОМ
Связь угла ϕ отклонения лучей призмой и преломляющего угла А призмы
ϕ = A (n − 1) ,
где n — показатель преломления призмы.
Связь между показателем преломления и диэлектрической проницаемостью вещества
n= ε.
Уравнение вынужденных колебаний оптического электрона под действием электрической
составляющей поля волны (простейшая задача дисперсии)
&& + ω02 x = eE0 cos ωt ,
x
m
где еЕ0 — амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны;
собственная частота колебаний электрона; ω — частота внешнего поля; т — масса электрона.
ω0
—
Зависимость показателя преломления вещества п от частоты ω внешнего поля, согласно элементарной
электронной теории дисперсии,
n2 = 1 +
n0 i
ε0
∑
e2 / m
ω02 i − ω2
,
где ε0 — электрическая постоянная; n0i — концентрация электронов с собственной частотой
масса электрона; е — заряд электрона.
ω0i;
m—
Закон ослабления света в веществе (закон Бугера)
I = I0 e − αx ,
где I0 и I — интенсивности плоской монохроматической световой волны соответственно на входе и
выходе слоя поглощающего вещества толщиной х; α — коэффициент поглощения.
Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме
ν = ν0
1 − v 2 / c2
,
1 + (v / c ) cos ϑ
где ν0 и ν — соответственно частоты электромагнитного излучения, испускаемого источником и
воспринимаемого приемником; v — скорость источника электромагнитного излучения относительно
приемника; с — скорость света в вакууме; ϑ —угол между вектором скорости v и направлением
наблюдения, измеряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем.
Поперечный эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме (ϑ = π / 2)
ν = ν 0 1 − v 2 / c2 .
Эффект Вавилова-Черенкова
cos ϑ = c / (nv ),
где ϑ — угол между направлением распространения излучения и вектором скорости частицы; n —
показатель преломления среды.
5.5. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Степень поляризации света
P=
I max − I min
I max + I min
,
где Imax„ и Imin — соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично
поляризованного света, пропускаемого анализатором.
Закон Малюса
I = I0 cos2 α ,
где I — интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор; I0 —
интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; α — угол между главными
плоскостями поляризатора и анализатора.
Закон Брюстера
tg iB = n21 ,
где iB — угол падения, при котором отраженный от диэлектрика луч является плоскополяризованным;
n21 — относительный показатель преломления.
Оптическая разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами на пути l в ячейке Керра
∆ = l (no − ne ) = klE 2 ,
где no, ne — показатели преломления соответственно обыкновенного и необыкновенного лучей в
направлении, перпендикулярном оптической оси; Е — напряженность электрического поля; k —
постоянная.
Оптическая разность хода для пластинки в четверть волны
∆ = (no − ne ) d = ±(m + 1 / 4 ) λ 0 ,
m = 0 , 1 , 2 , ... ,
где знак плюс соответствует отрицательным кристаллам, минус — положительным; λ0 — длина волны в
вакууме.
Угол поворота плоскости поляризации:
♦ для оптически активных кристаллов и чистых жидкостей
ϕ
= αd;
♦ для оптически активных растворов
ϕ
= [α]Cd,
где d — длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе; α0[α] — удельное вращение; С
— массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.
5.6. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
Закон Стефана-Больцмана
Re = σT 4,
где Re — энергетическая светимость (излучательность) черного тела;
Больцмана; Т — термодинамическая температура.
σ
— постоянная Стефана-
Связь энергетической светимости Re и спектральной плотности энергетической светимости
черного тела
∞
∞
0
0
rν, T
(r )
λ, T
Re = ∫ rν, T dν = ∫ rλ, T dλ .
Энергетическая светимость серого тела
RTc = AT σT 4 ,
где AT — поглощательная способность серого тела.
Закон смещения Вина
λmax„„
= b/T,
где λmax„„ — длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной плотности
энергетической светимости черного тела; b — постоянная Вина.
Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела от
температуры
(rλ,T) = CT5,
где С = 1,30 ⋅10-5 Вт/(м3 ⋅К5).
Формула Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела
rν, T =
где k — постоянная Планка.
Энергия кванта
2πν2
kT ,
c2
ε0 = hν = hc / λ .
Формула Планка
rν, T =
hν
2πν2
,
c2 ehν / (kT ) − 1
rλ, T =
hν
2πc2h
.
5
hc / (kTλ )
λ
e
−1
Связь радиационной Тp и истинной Т температур
Tp =
4
Aт T ,
где Ат — поглощательная способность серого тела.
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
ε = hν = A + Tmax ,
где ε = hν — энергия фотона, падающего на поверхность металла;
А — работа выхода электрона
2
из металла; Tmax = mvmax / 2 „ — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
"Красная граница" фотоэффекта для данного металла
ν0 = A / h ;
λ 0 = hc / A ,
где λ0 — максимальная длина волны излучения (ν0 — соответственно минимальная частота), при
которой фотоэффект еще возможен.
Масса и импульс фотона
mγ =
ε
hν
= 2 ;
2
c
c
p=
Ee
(1 + ρ) = w (1 + ρ) ,
c
где hν — энергия фотона.
pγ =
hν
c
,
где Ee = Nhν — облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в
единицу времени); ρ — коэффициент отражения; w — объемная плотность энергии излучения.
Изменение длины волны рентгеновского излучения при комптоновском рассеянии
h
∆λ = λ′ − λ =
(1 − cos ϑ) = 2h sin 2 ϑ = 2λC sin 2 ϑ ,
m0c
m0c
2
где λ и λ′ — длины волн падающего и рассеянного излучения;
рассеяния; λC = h / (m0c ) — комптоновская длина волны.
2
m0 — масса электрона;
ϑ
— угол
VI. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
6.1. ТЕОРИЯ АТОМОВ ВОДОРОДА ПО БОРУ
Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре водорода,
1 
 1
ν = R 2 − 2  ,
n 
m
где ν — частота спектральных линий в спектре атома водорода; R — постоянная Ридберга; m
определяет серию (m = 1, 2, 3, ...); n определяет отдельные линии соответствующей серии (n = m +1, m +
2, ...): т = 1 (серия Лаймана), m = 2 (серия Бальмера), m = 3 (серия Пашена), m = 4 (серия Брэкета), m = 5
(серия Пфунда), т = 6 (серия Хэмфри).
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)
mevrn = nh , n = 1 , 2 , 3 , ... ,
где me — масса электрона;
v
— скорость электрона по n-й орбите радиусом rn.
Второй постулат Бора (правило частот)
hν = En − Em ,
где En и Em — соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения
(поглощения).
Энергия электрона на n-й стационарной орбите
En = −
1 Z 2me e 4
, n = 1 , 2 , 3 , ... ,
n 2 8h 2 ε 02
где Z — порядковый номер элемента в системе Менделеева; ε0 — электрическая постоянная.
6.2. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Связь дебройлевской волны частицы с импульсом p
λ = h / p = h / (mv ) ,
v
где m — масса частицы; — ее скорость.
Фазовая скорость свободно движущейся со скоростью v частицы массой т
vфаз. = ω / k = E / p = c 2 / v ,
где E = hω — энергия частицы (ω — круговая частота); p = hk — импульс (k = 2π / λ — волновое число).
Групповая скорость свободно движущейся частицы
u=
dω dE
=
dk
dp
.
Соотношения неопределенностей:
♦ для координаты и импульса частицы
∆x∆px ≥ h ,
∆y∆py ≥ h ,
∆z∆pz ≥ h ,
где ∆x, ∆y, ∆z — неопределенности координат;
проекций импульса частицы на оси координат;
♦ для энергии и времени
∆px , ∆py , ∆pz
— неопределенности соответствующих
∆E∆t ≥ h ,
где ∆E — неопределенность энергии данного квантового состояния;
системы в данном состоянии.
∆t
— время пребывания
Вероятность нахождения частицы в объеме dV
dW = ΨΨ dV = Ψ
2
dV
,
где Ψ = Ψ (x , y , z , t ) — волновая функция, описывающая состояние частицы; Ψ* — функция, комплексно
сопряженная с Ψ; |Ψ|2 = ΨΨ* — квадрат модуля волновой функции;
♦ для стационарных состояний
где
ψ = ψ (x , y , z )
dW = ψψ dV = ψ
2
dV ,
— координатная (амплитудная) часть волновой функции.
Условие нормировки вероятностей
∞
∫
−∞
Ψ
2
dV = 1 ,
где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам
∞ до +∞.
x, y, z
от –
Вероятность обнаружения частицы в интервале от x1 до х2
W =
x2
∫ ψ(x )
2
dx .
x1
Среднее значение физической величины L, характеризующей частицу, находящуюся в состоянии,
описываемом волновой функцией Ψ,
+∞
L =
где
Ψ = Ψ (x , y , z , t )
частицы;
∆
∫L
Ψ
2
−∞
dV .
— волновая функция, описывающая состояние частицы;
— оператор Лапласа


 ∆Ψ = ∂ Ψ + ∂ Ψ + ∂ Ψ  ; i =
2
2
2 

∂x
∂y
∂z 

2
2
2
−1
h
= h/(2π); т — масса
— мнимая единица;
U = U (x , y , z , t )
—
потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
∆ψ +
2m
(E − U ) ψ = 0,
h2
где ψ = ψ (x , y , z) — координатная часть волновой функции (Ψ (x ,
— потенциальная энергия частицы; Е — полная энергия частицы.
y , z , t ) = ψ (x , y , z ) e − i (E / h )t
);
U = U (x , y , z )
Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы,
Ψ (x , t ) = Ae
где А — амплитуда волн де Бройля;
px = kh
−
i
(Et − px x )
h
,
— импульс частицы;
E = hω
— энергия частицы.
Собственные значения энергии Еn частицы, находящейся на n-м энергетическом уровне в одномерной
прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками",
En = n 2
где l — ширина ямы.
π2h 2
, n = 1, 2 , 3 , ... ,
2ml 2
Собственная волновая функция, соответствующая вышеприведенному собственному значению
энергии,
ψ n (x ) =
2
nπ
sin
x,
l
l
n = 1 , 2 , 3 , ... .
Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины l,
 2

D = D0 exp −
2m(U − E )l 
 h

,
где D0 — множитель, который можно приравнять единице; U — высота потенциального барьера; Е —
энергия частицы.
Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора в квантовой механике
∂ 2ψ 2m 
mω02 x2 
+
E
−
ψ =0,
2 
∂x2
h 2 
где mω02 x2 / 2 = U — потенциальная энергия осциллятора;
осциллятора; m — масса частицы.
ω0
Собственные значения энергии гармонического осциллятора
— собственная частота колебаний
1

En =  n +  hω0 , n = 1 , 2 , 3 , ... .
2

Энергия нулевых колебаний гармонического осциллятора
1
E0 = hω0 .
2
6.3. ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ
АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
Потенциальная энергия U(r ) взаимодействия электрона с ядром в водородоподобном атоме
U(r ) = −
Ze 2
4 πε0r
,
где r — расстояние между электроном и ядром; Z — порядковый номер элемента;
постоянная.
ε0
— электрическая
Собственное значение энергии Еn электрона в водородоподобном атоме
En = −
1 Z 2me 4
, n = 1 , 2 , 3 , ... .
n 2 8h 2 ε 02
Энергия ионизации атома водорода
Ei = −E1 =
me4
8h2ε02
.
Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона
Ll = h l(l + 1) ,
где l — орбитальное квантовое число, принимающее при заданном n следующие значения:
l = 0 , 1 , ... , n − 1 (всего n значений).
Проекция момента импульса на направление
z
внешнего магнитного поля
Llz = hml ,
где ml — магнитное квантовое число, принимающее при заданном l следующие значения:
ml = 0 , ± 1 , ... , ± l (всего (2l + 1) значений).
Правила отбора для орбитального и магнитного квантовых чисел
∆l = ±1 и ∆ml = 0 , ± 1 .
Нормированная волновая функция, отвечающая ls-состоянию (основному состоянию) электрона в
атоме водорода,
ψ100 (r ) =
где
πa
3
e −r / a ,
( ) — величина, совпадающая с первым боровским радиусом.
a = 4 πε0 h / me
2
1
2
Вероятность обнаружить электрон в атоме водорода, находящемся в ls-состоянии, в интервале от r до
r + dr
dW = ψ100
2
dV = ψ100
2
4 πr 2 dr .
Спин (собственный механический момент импульса) электрона
Ls = h s (s + 1) ,
где s — спиновое квантовое число (s = 1/2).
Проекция спина на направление z внешнего магнитного поля
Lsz = hms ,
где ms —магнитное спиновое квантовое число (тs = ±1/2).
Принцип Паули
Z (n, l, ml , ms) = 0 или 1,
где Z (n, l, ml , ms) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором
четырех квантовых чисел: n — главного, l — орбитального, ml — магнитного, тs — магнитного
спинового.
Максимальное число электронов Z(n), находящихся в состояниях, определяемых данным главным
квантовым числом n,
Z (n) =
n −1
∑ 2(2l + 1) = 2n2 .
l =0
Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра
λ min = ch / (eU ) ,
где е — заряд электрона; U — разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке.
Закон Мозли, определяющий частоты спектральных линий характеристического рентгеновского
излучения,
1 
2 1
ν = R (Z − σ )  2 − 2  ,
m
n


где R — постоянная Ридберга, Z — порядковый номер элемента в периодической системе; σ —
постоянная экранирования; m определяет рентгеновскую серию (т = 1, 2, 3, ...); n определяет отдельные
линии соответствующей серии (n = m + 1, т + 2, ...).
Закон Мозли для линии Кα (σ = 1)
1 
2 1
ν = R (Z − 1)  2 − 2  .
1
2


6.4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
Распределение Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака
1
Ni = (E −µ ) / (kT )
i
e
−1
и
1
,
Ni = (E −µ ) / (kT )
i
e
+1
где Ni — соответственно средние числа бозонов и фермионов в квантовом состоянии с энергией Ei ; k
— постоянная Больцмана; T — термодинамическая температура; µ — химический потенциал. При
e (E −µ ) / (kT ) >> 1 оба распределения переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана
Ni = Ae − E / (kT ) , где A = eµ / (kT ) .
i
i
Распределение Ферми-Дирака по энергиям для свободных электронов в металле
1
,
N (E ) = (E − E ) / (kT )
e
где EF — энергия Ферми.
+1
F
♦ При Т = 0 К
1 при E < FF ,
N (E ) = 
0 при E > FF .
Характеристическая температура Дебая (при T << TD)
TD = hωD / k ,
Электрическая проводимость металла, согласно квантовой теории электропроводности металлов,
γ=
ne 2 lF
m uF
,
где n — концентрация электронов проводимости в металле; lF — средняя длина свободного пробега
электрона, имеющего энергию Ферми; uF — средняя скорость теплового движения такого электрона.
6.5. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ne = C1 e − (E2 − EF ) / (kT )
и
np = C2 e − (E1 − EF ) / (kT ) ,
где Е2 — энергия, соответствующая дну зоны проводимости;
E1 — энергия,
соответствующая верхней границе валентной зоны;
EF — энергия Ферми; Т —
термодинамическая температура; C1 и С2 — постоянные, зависящие от температуры и эффективных
масс электронов проводимости и дырок (при равенстве последних С1 = С2).
Уровень Ферми в собственном полупроводнике
EF = ∆E / 2 .
где ∆Е — ширина запрещенной зоны.
Удельная проводимость собственных полупроводников
γ = γ 0 e − ∆E / (2kT ) ,
где γ0 — постоянная, характерная для данного полупроводника.
VII. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА
7.1. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА
Радиус ядра
R = R0 A1 / 3 ,
где
R0 = 1,4 ⋅ 10 −15 м;
А — массовое число (число нуклонов в ядре).
Энергия связи нуклонов в ядре
[
]
Eсв = Zmp + (A − Z ) mn − mя с2 = [ZmН + (A − Z ) mn − m] с2 ,
где mp , mn, mя — соответственно массы протона, нейтрона и ядра; Z — зарядовое число ядра (число
протонов в ядре); А — массовое число; mH = mp + me , масса атома водорода (11 H) ; m — масса атома.
Дефект массы ядра
[
]
∆m = Zmp + (A − Z )mn − mя = [ZmН + (A − Z )mn ] − m .
Удельная энергия связи (энергия связи, отнесенная к одному нукδEсв = Eсв / A .
лону)
Число ядер, распавшихся в среднем за промежуток времени от t до t + dt,
dN = −λNdt ,
где N — число нераспавшихся ядер к моменту времени t; λ — постоянная радиоактивного распада.
Закон радиоактивного распада
N = N0e − λt ,
где N — число нераспавшихся ядер в момент времени t; N0 — начальное число нераспавшихся ядер (в
момент времени t = 0); λ — постоянная радиоактивного распада.
Число ядер, распавшихся за время t,
(
∆N = N0 − N = N0 1 − e − λt
)
Связь периода полураспада Т1/2 и постоянной радиоактивного рас- пада λ
Т1/2 = (ln2)/λ.
Связь среднего времени жизни τ радиоактивного ядра и постоянной λ радиоактивного распада
τ = 1/λ.
Активность нуклида
dN
A=
= λN .
Правила смещения:
dt
♦
для α-распада
A
A−4
4
Z X → Z − 2Y + 2 He
–
♦ для β -распада
+
♦ для β -распада
;
A
A
0
Z X →Z +1Y + −1 e
;
A
A
0
Z X →Z −1Y + +1 e
.
Символическая запись ядерной реакции
A
ZX
+ a→ AZ′′Y + b,
или
A
ZX
(a , b)AZ′′Y,
где ZA X и AZ′′Y — исходное и конечное ядра соответственно с зарядовыми числами Z и Z' и массовыми
числами А и А', а и Ь — соответственно бомбардирующая и испускаемая (или испускаемые) в ядерной
реакции частицы.
Энергия ядерной реакции
Q = c 2 [(m1 + m2 ) − (m3 + m4 )] ,
где m1 и m2 — массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей частицы; (m3+m4) — суммы масс покоя
ядер продуктов реакции. Если Q > 0 — экзотермическая реакция, Q < 0 — эндотермическая реакция.
Энергия ядерной реакции представляется также в виде
Q = (T1 + T2 ) − (T3 + T4 ) ,
где T1, T2, T3, T4 — соответственно кинетические энергии ядра-мишени, бомбардирующей частицы,
испускаемой частицы и ядра продукта
реакции.
Скорость нарастания цепной реакции
dN N (k − 1)
,
=
T
dt
откуда
N = N0 e(k-1)t / T ,
где N0 — число нейтронов в начальный момент времени; N — число нейтронов в момент времени t; T —
среднее время жизни одного поколения; k — коэффициент размножения нейтронов.
Приложения
Основные физические постоянные (округленные значения)
Физическая постоянная
Нормальное ускорение
свободного падения
Гравитационная
постоянная
Постоянная Авогадро
Постоянная Фарадея
Молярная газовая
Обозначен
ие
Значение
g
9,81 м/c2
G
6,67⋅10–11 м3/(кг⋅с2)
NA
F
R
6,02⋅1023 моль–1
96,48⋅103 Кл/моль
8,31 Дж/(моль
постоянная
Молярный объем
идеального газа при
нормальных условиях
Постоянная Больцмана
Скорость света в вакууме
Постоянная СтефанаБольцмана
Постоянная закона
смещения Вина
22,4⋅10–3 м3/моль
Vm
1,38⋅10–23 Дж/К
3,00⋅108 м/с
k
с
Постоянная Планка
σ
5,67⋅10–8 Вт/(м2⋅К4)
b
2,90⋅10–3 м⋅К
h
h=h/2π
R
а
me
mp
mn
mα
а.е.м.
6,63⋅10–34 Дж⋅с
1,05⋅10–34 Дж⋅с
1,10⋅107 м–1
0,529⋅10–10 м
9,11⋅10–31 кг
1,6726⋅10–27 кг
1,6750⋅10–27 кг
6,6425⋅10–27 кг
1,660⋅10–27 кг
Постоянная Ридберга
Радиус Бора
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрона
Масса покоя α-частицы
Атомная единица массы
Отношение массы
mp/me
1836,15
протона к массе
электрона
e
Элементарный заряд
1,60⋅10–19 Кл
Отношение заряда
e/me
1,76⋅1011 Кл/кг
электрона к его массе
Комптоновская длина
Λ
2,43⋅10–12 м
волны электрона
Энергия ионизации
Ei
2,18⋅10–18 Дж (13,6 эВ)
атома водорода
Магнетон Бора
µВ
0,927⋅10–23 А⋅м2
Электрическая
ε0
8,85⋅10–12 Ф/м
постоянная
Магнитная постоянная
µ0
12,566⋅10–7 Гн/м
Единицы и размерности физических величин в СИ
Величина
наименование
Длина
Масса
Время
Выражени
е через
основные
и
дополнител
размерно наиме- обозна
нование -чение ь-ные
сть
единицы
Единица
Основные единицы
метр
L
килограм
M
м
секунда
T
м
кг
с
Сила электрического
ампер
A
I
тока
Термодинамическая
Θ
кельвин K
температура
Количество вещества
моль моль
N
Сила света
кандела кд
J
Дополнительные единицы
Плоский угол
—
радиан рад
Телесный угол
—
стерадиа ср
н
Производные единицы
Частота
T –1
герц
Гц
–2
Сила, вес
LMT
ньютон
Н
Давление,
L–1MT –2 паскаль Па
механическое
напряжение
Энергия, работа,
L2MT –2 джоуль Дж
количество теплоты
Мощность, поток
L2MT –3
ватт
Вт
энергии
Количество
TI
кулон
Кл
электричества
(электрический заряд)
Электрическое
напряжение,
L2MT –3I –1 вольт
В
электрический
потенциал, разность
электрических
потенциалов,
электродвижущая сила
Электрическая емкость L–2M –1T 4I фарад
Ф
2
Электрическое
сопротивление
Электрическая
проводимость
Магнитный поток
L2MT –3I –2
ом
Ом
L–2M –1T 3I сименс
См
L2MT –2I –1 вебер
Вб
2
Магнитная индукция
MT –2I –1 тесла
Индуктивность,
L2MT –2I –2 генри
взаимная
индуктивность
J
Световой поток
люмен
–2
Освещенность
L J
люкс
Активность изотопа
T –1
беккерел
(активность нуклида в
ь
радиоактивном
источнике)
Тл
с–1
м ⋅ кг ⋅ с–2
м–1 ⋅ кг ⋅ с–2
м2 ⋅ кг ⋅ с–2
м2 ⋅ кг ⋅ с–3
с⋅А
м2 ⋅ кг ⋅ с–3 ⋅
A–1
м–2 ⋅ кг–1 ⋅ с4
⋅ A2
м2 ⋅ кг ⋅ с–3 ⋅
A–2
м–2 ⋅ кг–1 ⋅ с3
⋅ A2
м2 ⋅ кг ⋅ с–2 ⋅
А–1
кг ⋅ с–2 ⋅ А–1
Гн
м2 ⋅ кг ⋅ с–2 ⋅
А–2
лм
лк
кд ⋅ ср
м ⋅ кд ⋅ ср
Бк
с–1
–2
L–2T –2
Поглощенная доза
излучения
грей
Гр
м2 ⋅ с–2
Множители и приставки для образования
десятичных кратных и дольных единиц
Обозначение
Обозначение
приставки
приставки
Множи ПрисМножи Пристель тавка междутель тавка
русско
русско
народн
междуе
е
ое
народн
ое
10–18
атто
a
а
101
дека
da
да
10–15
фемт
о
f
ф
102
гекто
h
г
10–12
пико
p
п
103
кило
k
к
10–9
нано
n
н
106
мега
M
М
10–6
микр
о
µ
мк
109
гига
G
Г
10–3
милл
и
m
м
1012
тера
T
Т
10–2
санти
c
с
1015
пета
P
П
10–1
деци
d
д
1018
экса
E
Э
Греческий алфавит
Обозначения
букв
Название
букв
Обозначения
букв
Название
букв
Α, α
альфа
Ν, ν
ню
Β, β
бета
Ξ, ξ
кси
Γ, γ
гамма
Ο, ο
омикрон
∆, δ
дельта
Π, π
пи
Ε, ε
эпсилон
Ρ, ρ
ро
Ζ, ζ
дзета
Σ, σ
сигма
Η, η
эта
Τ, τ
тау
Θ, θ, ϑ
тета
Υ, υ
ипсилон
Ι, ι
йота
Φ, φ
фи
Κ, κ
каппа
Χ, χ
хи
Λ, λ
ламбда
Ψ, ψ
пси
Μ, µ
мю
Ω, ω
омега
СОДЕРЖАНИЕ
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА .................................................................................. 5
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ..................................................................................... 10
ФИЗИКА ...................................................................................................................... 16
I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ...................................... 16
1.1. Элементы кинематики ............................................................. 16
1.2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
............................................................................. 17
1.3. Работа и энергия ...................................................................... 18
1.4. Механика твердого тела ........................................................... 20
1.5. Тяготение. Элементы теории поля ......................................... 22
1.6. Элементы механики жидкостей .............................................. 24
1.7. Элементы специальной (частной) теории относительности 25
II. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И
.................................................................... 27
ТЕРМОДИНАМИКИ
2.1. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов ............ 27
2.2. Основы термодинамики .......................................................... 30
2.3. Реальные газы, жидкости и твердые тела ............................... 32
III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ......................................... 34
3.1. Электростатика ......................................................................... 34
3.2. Постоянный электрический ток ............................................. 38
3.3. Электрические токи в металлах, в вакууме и газах ............... 40
3.4. Магнитное поле ....................................................................... 41
3.5. Электромагнитная индукция ................................................... 44
3.6. Магнитные свойства вещества ................................................ 45
3.7. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля ...... 46
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ............................................................. 47
4.1. Механические и электромагнитные колебания ..................... 47
4.2. Упругие волны ......................................................................... 50
4.3. Электромагнитные волны ....................................................... 52
V. ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ .................... 53
5.1. Элементы геометрической и электронной оптики ................ 53
5.2. Интерференция света .............................................................. 54
5.3. Дифракция света ...................................................................... 56
5.4. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом ......... 57
5.5. Поляризация света ................................................................... 58
5.6. Квантовая природа излучения ................................................ 59
VI. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ,
...................................................... 61
МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
6.1. Теория атомов водорода по Бору ............................................ 61
6.2. Элементы квантовой механики ............................................... 61
6.3. Элементы современной физики атомов и молекул ............... 64
6.4. Элементы квантовой статистики ............................................ 66
6.5. Элементы физики твердого тела ............................................. 67
VII. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА ............................. 68
7.1. Элементы физики атомного ядра ........................................... 68
ПРИЛОЖЕНИЯ ................................................................................... 70