Кузнецов А.М., Муравлёва Л.В. ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ
реклама
Кузнецов А.М., Муравлёва Л.В. ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ МЕХАНИКА Учебно-методическое пособие к семинарским и практическим занятиям для студентов инженерных специальностей Тула 2014 УДК 53.08, 531 ББК 22.3, 22.2 К89 К89 Кузнецов А.М. Муравлёва Л.В. ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ. МЕХАНИКА: Учебно-методическое пособие к семинарским и практическим занятиям для студентов инженерных специальностей. Тула: 2014, 188 с. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей содержит необходимый теоретический материал к семинарским и практическим занятиям по курсу «Введение в физику» в двух частях. ББК 22.3, 22.2 © Кузнецов А.М., Муравлёва Л.В., 2014 2 СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ 1. Введение…………………………………………………………….. 1.1. Физика как наука. Предмет исследования, цели и задачи. Общая структура физики. Методы исследования в науке и физике (наблюдение (измерение и сравнение), эксперимент, аналогия, моделирование, анализ, синтез, индукция, дедукция) . Гипотеза……………………………………. 1.2. Физическая величина. Роль измерения в физике. Единица физической величины. Размерность физической величины. Системы единиц. Основные единицы СИ. Десятичные множители и приставки. Греческий алфавит……………………………………………………………………...... 2. Обработка результатов измерений в физической лаборатории…. 2.1. Измерения. Измерительные приборы и меры. Виды измерений (прямые и косвенные).……………………………………..………………… 2.2. Виды и источники погрешностей (грубые ошибки (промахи), систематические и случайные)……………………………………………… 2.3. Истинное и действительное значение физической величины.... 2.4. Оценка случайных погрешностей прямых измерений. Истинная погрешность однократного измерения. Среднее арифметическое отдельных случайных измерений. Элементы теории Гаусса для оценки средней истинной погрешности. Абсолютная погрешность однократного измерения и средняя абсолютная погрешность всех измерений. Понятие об интервале абсолютной погрешности и границе абсолютной погрешности…………… 2.5. Относительная погрешность……………………………………… 2.6. Элементы теории вероятности и математической статистики для оценки случайных погрешностей прямых измерений……………………… 2.6.1. Распределение Гаусса. Среднеквадратичное или стандартное отклонение. Дисперсия распределения. Математическое ожидание. Доверительный интервал. Доверительная вероятность (надежность)……. 3 2.6.2. Распределение Стьюдента. Коэффициенты Стьюдента…….. 3. Расчет погрешностей измерений…………………………………. 3.1. Погрешности прямых измерений………………………………. 3.1.1. Систематические погрешности………………………………. 3.1.2. Полная абсолютная погрешность……………………………. 3.2. Погрешности косвенных измерений…………………………... 3.2.1. Последовательность упрощенного расчета косвенных измерений. 4. Запись приближенных чисел. Значащие и верные цифры. Правила округления. Использование табличных значений и констант………….... 4.1 Требование к записи результата измерений……………………… 5. Погрешности приборов измерения. Класс точности средства измерений……………………………………………………………………… 6. Представление результатов измерений с помощью графиков…… Правила построение графиков……………………………………………….. 7.Элементы математического аппарата, применяемого в физике. Скалярные, векторные и тензорные величины……………………………… 7.1. Элементы векторного исчисления. Основные операции над векторами............................................................................................................ 7.1.1. Векторы в декартовой системе координат…………………….. 7.1.2. Произведение двух векторов. Скалярное и векторное произведение двух векторов…………………………………………………. 7.1.3. Произведение трёх векторов. Простейшее, двойное векторное (векторно-векторное) и смешанное (векторно-скалярное) произведение трёх векторов……………………………………………………………………….. 7.1.4. Переменные векторы, зависящие от скалярного аргумента. Дифференцирование вектора по скалярному аргументу. Правила дифференцирования векторных функций…………………………………… 7.2. Элементы интегрального исчисления. Первообразная. Интеграл. Интегрирование……………………………………………………………….. 4 ЧАСТЬ ВТОРАЯ МЕХАНИКА 8. Механика. Механическое движение. Классическая механика…… 8.1. Границы применимости механики………………………………. 8.2. О формулировки законов механики…………………………….. 8.3. Пространство и время в классической механике………………. 8.4. Кинематика……………………………………………………….. 8.4.1. Описание движения тел. Система отсчёта…………………… 8.5. Кинематика точки. Траектория и путь точки………………….. 8.5.1. Способы описания движения точки (кинематические уравнения движения): координатный, векторный естественный……………………. 8.5.2. Перемещение. Мгновенная скорость точки…………………. 8.5.3. Скорость точки при различных способах описания движения.. 8.5.4. Ускорение точки…………………………………………………. 8.5.5. Ускорение точки при различных способах задания движения………………………………………………………………………. 8.5.6. Некоторые виды движения точки. Равномерное прямолинейное движение точки. Движение точки с постоянным ускорением. Движение точки с постоянным тангенциальным ускорением…………………………. 8.6. Кинематика абсолютно твёрдого тела…………………………… 8.6.1. Поступательное движение абсолютно твердого тела………… 8.6.2. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость……………………………………………………………... 8.6.3. Линейная скорость точки абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси…………………………………… 8.6.4. Угловое ускорение абсолютно твердого тела. Линейное ускорение произвольной точки абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси…………………………………………………….. 8.6.5. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением…………………………………………... 5 8.6.6. Произвольное движение а.т.т………………………………….. 8.7. Относительность механического движения. …………………… 8.7.1. Сложение и разложение движения точки: абсолютное, относительное и переносное движение……………………………………… 8.7.2. Закон сложение скоростей и ускорений. Кориолисово ускорение……………………………………………………………………… 8.8. Динамика (основной раздел механики). Сила. Масса…………… 8.8.1. Момент силы……………………………………………………… 8.8.2. Аксиомы механики. Первый закон Ньютона – закон инерции. Второй закон Ньютона – основной закон динамики. Третий закон Ньютона – принцип действия и противодействия. Принцип независимости действия сил……………………………………………………………………………….. 8.8.3. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея…............................................................................................................ 8.8.4. Основные задачи механики……………………………………… 8.9. Динамика материальной точки…………………………………… 8.9.1. Дифференциальное уравнение движения точки (векторный, координатный и естественный способы задания движения)………………. 8.9.2. Гравитационные силы. Закон Всемирного тяготения………… 8.9.3. Общие теоремы динамики материальной точки. Теорема об изменении импульса материальной точки. Импульс силы. Теорема об изменении момента импульса материальной точки. Импульс момента силы……………………………………………………………………………. 8.9.4. Работа силы. Мощность………………………………………… 8.9.5. Примеры вычисления работы силы: работа гравитационной силы; работа силы упругости; работа силы тяжести……………………………… 8.9.6. Консервативные силы. Потенциальная энергия материальной точки…………………………………………………………………………... 8.9.7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Закон сохранения энергии материальной точки……………………. 6 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ __________________________________________________________________ 1. Введение 1.1 Физика как наука. Предмет исследования, цели и задачи. Общая структура физики. Методы исследования в науке и физике. Гипотеза Физика – (от греч. physis - природа), – наука о наиболее простых и вместе с тем наиболее общих формах движения материи и их взаимных превращениях. Предметом её изучения является материя и наиболее общие формы её движения, а также фундаментальные взаимодействия природы, управляющие движением материи. Материя (в философском понимании) – это понятие, обозначающее объективную реальность, данную человеку в его ощущениях, которое отражается в его сознании и существует независимо от него. Представление о материи как физической реальности прошло исторический путь развития. В древнегреческой философии (натурфилософии) в центре внимания была проблема первоначала природы (на этом этапе рождается абстракция материи). В механистической картине мира единственной формой материи выступает вещество, состоящее из дискретных корпускул. Основная абстракция классической механики – материальная точка. В рамках этой картины мира складывается атомномолекулярное учение о составе вещества. Электромагнитная картина мира формирует представление о двух эквивалентных формах материи: вещество и непрерывное электромагнитное поле. С точки зрения полевой теории волновой процесс выступает как распространяющееся в пространстве возмущение электромагнитного поля. Современная научная картина мира 7 признает три формы материи: вещество, физическое поле, физический вакуум. Физика – естественная наука, функция которой состоит в выработке и систематизации объективных знаний о действительности. Ее цель это описание, объяснение и предсказание явлений и процессов, на основе открытых ею законов и как результат формирование естественнонаучного мировоззрения об окружающем нас мире. В ее основе лежит экспериментальное исследование явлений природы, а её задачи – поиск взаимосвязей между явлениями и формулировка законов, которыми объясняются эти явления. Физика сосредотачивается на изучении фундаментальных и простейших явлений и на ответах на простые вопросы: например, из чего состоит материя, каким образом частицы материи взаимодействуют между собой, по каким правилам и законам осуществляется движение частиц и многое другое. Физику принято делить на макроскопическую и микроскопическую. Отдельно, так же рассматривают физические разделы, которые находятся на стыке с другими науками (например астрофизика, геофизика, биофизика). Микрофизика включает разделы, которые изучают окружающий мир на микроуровне, то есть то, что не способен уловить человеческий глаз (атомы, кварки, глюоны). Макрофизика, наоборот, не рассматривает малые физические тела и изучает макроскопические (планеты, спутники и другие объекты). Рассмотрим основные разделы физики и дадим краткую характеристику каждого из них. Макроскопическая физика включает следующие разделы: механика (кинематика, динамика, статика, гидродинамика, акустика) – область физики, которая изучает движение тел и взаимодействие между ними. Основные разделы механики: Классическая механика изучает движение тел во времени и пространстве, причины и законы движения; подразделяется на статику (равновесие тел), кинематику (движение тел без рассмотрения его причин, 8 без учёта сил, действующих на тела) и динамику (движение тел с учётом причин, вызвавших это движение). Релятивистская механика – раздел физики, который рассматривает движение тел и частиц при скоростях, сравнимых со скоростью света. Квантовая механика – теоретический раздел физики, который изучает квантовые системы и законы их движения. термодинамика – раздел физики, который исследует превращение теплоты в движение и движения в теплоту. Термодинамика рассматривает распространение теплоты в разных средах, физические и химические изменения с поглощением или выделением теплоты. оптика – раздел физики, в котором рассматривается свет и все явления, с ним связанные, включая инфракрасное и ультрафиолетовое излучение. электродинамика – раздел физики, который исследует электромагнитное поле и взаимодействие с ним электрических зарядов, а также связь электрических и магнитных явлений. Микроскопическая физика включает следующие разделы: статистическая физика – это теоретический раздел физики, который рассматривает свойства макроскопических тел, как систем, состоящих из большого числа мелких частиц (атомов, молекул, протонов), основываясь на свойства этих частиц. физика конденсированных сред изучает поведение систем с сильной связью, которые нельзя разделить на более мелкие отдельные части. квантовая физика – теоретический раздел физики, который рассматривает квантовые системы, и законы их движения. ядерная физика – раздел физики, изучающий структуру и свойство атомных ядер, атомные реакции (столкновения атомов). физика элементарных частиц изучает структуру и свойства элементарных частиц (протонов, электронов, фотонов, кварков) пути и результаты их взаимодействия. 9 Любая наука, в том числе и физика, для решения своих задач и достижения целей использует специфические подходы и приемы. Систему таких приемов принято называть методом научного исследования. Методы научных исследований принято делить на общие и специальные. Большинство научных проблем и даже отдельные этапы исследования требуют применения специальных методов решения. Разумеется, такие методы имеют весьма специфический характер. Они никогда не бывают произвольными, поскольку определяются характером исследуемого объекта. Помимо специальных методов, характерных для определенных областей научного знания, существуют общие методы научного познания, которые в отличие от специальных используются на всём протяжении исследовательского процесса и в самых различных по предмету науках. Общие методы научного познания обычно делят на две большие группы: методы эмпирического исследования (наблюдение, сравнение, измерение, эксперимент, материальное моделирование); методы теоретического исследования (абстрагирование, анализ и синтез, аксиоматический метод, идеализация, индукция и дедукция, мысленное моделирование, восхождение от абстрактного к конкретному) . Коротко охарактеризуем методы каждой из этих групп. 1. Методы эмпирического исследования. Наблюдение, представляет собой активный познавательный процесс, опирающийся, прежде всего, на работу органов чувств человека и его предметную материальную деятельность, преднамеренное и целенаправленное восприятие явлений внешнего мира с целью изучения и отыскания смысла в явлениях. Особенность его состоит в том, что изучаемый объект не может подвергаться воздействию со стороны наблюдателя, то есть объект находится в обычных, естественных условиях. Это наиболее простой метод, выступающий, как правило, в качестве одного из элементов в составе 10 других эмпирических методов. Частным случаем наблюдения, часто рассматривают измерение и сравнение. Сравнение, один из наиболее распространенных методов познания. Недаром говорится, что «все познается в сравнении». Оно позволяет установить сходство и различие между предметами и явлениями. Для того чтобы сравнение было плодотворным, оно должно удовлетворять двум основным требованиям: сравниваться должны лишь такие явления, между которыми может существовать определенная объективная общность; для познания объектов их сравнение должно осуществляться по наиболее важным, существенным (в плане конкретной познавательной задачи) признакам. С помощью сравнения информация об объекте может быть получена двумя различными путями. Во-первых, она может выступать в качестве непосредственного результата сравнения. Во-вторых, очень часто получение первичной информации не выступает в качестве главной цели сравнения, этой целью является получение вторичной, или производной информации, являющейся результатом распространенным и обработки важным первичных способом такой данных. Наиболее обработки является умозаключение по аналогии. Измерение познавательным в отличие средством. от сравнения Измерение есть является более процедура точным определения численного значения некоторой величины посредством единицы измерения. Ценность этой процедуры в том, что она дает точные, количественно определенные сведения об окружающей действительности. Более точное определение измерения будет дано ниже. Эксперимент – это метод познания, который предполагает вмешательство в естественные условия существования предметов, явлений и процессов или воспроизведение их определенных сторон в специально 11 созданных и контролируемых условиях. Эксперимент требует тщательной подготовки, исследовательской аппаратуры и приборов. Материальное посредством моделирование моделей, – позволяющий это метод получать изучения знания объектов при помощи заместителей (моделей) реальных объектов (оригиналов или прототипов). Модель - мысленная или материально реализованная система, замещающая другую систему, с которой она находится в состоянии сходства. Модель заменяет объект исследования и имеет некоторые общие свойства с изучаемым объектом. Материальные модели выполняются из вещественных материалов. Метод моделирования позволяет получить информацию о различных свойствах изучаемых явлений на основе опытов с моделями. 2.Методы теоретического исследования. Абстрагирование – это отвлечение от некоторых свойств изучаемых объектов и выделение тех свойств, которые изучаются в данном исследовании. Имеет универсальный характер, ибо каждый шаг мысли связан с этим процессом или с использованием его результата. Сущность этого метода состоит в мысленном отвлечении от несущественных свойств, связей, отношений, предметов и в одновременном выделении, фиксировании одной или нескольких интересующих исследователя сторон этих предметов. Различают процесс абстрагирования и абстракцию. Процесс абстрагирования - это совокупность операций, ведущих к получению результата, то есть к абстракции. Примерами абстракции могут служить бесчисленные понятия, которыми оперирует человек не только в науке, но и в обыденной жизни: дерево, дом, дорога, жидкость. Процесс абстрагирования в системе логического мышления тесно связан с другими методами исследования и прежде всего с анализом и синтезом. Анализ – это метод, в основе которого лежит процесс разложения предмета на составные части, которые рассматриваются как не имеющие связь друг с другом. Когда ученый пользуется методом анализа, он мысленно 12 или реально расчленяет изучаемый объект, то есть, выясняет, из каких частей он состоит, каковы их свойства и признаки. Синтез представляет собой процедуру соединения полученных при анализе частей в единое целое - систему. В синтезе происходит не простое объединение, а обобщение, выделенных и изученных особенностей объекта. Положения, полученные в результате синтеза, включаются в теорию объекта. Аксиоматический метод впервые был применен Евклидом. Суть метода состоит в том, что вначале рассуждения задается набор исходных положений, не требующих совершенно очевидными. доказательств, Это положения поскольку они являются называют аксиомами или постулатами. Из аксиом по определенным правилам строится система суждений и выводов. Совокупность исходных аксиом и выведенных на их основе предложений (суждений) образует аксиоматически построенную теорию. Идеализация - это мысленное создание понятий об объектах, не существующих в природе, но для которых имеются прообразы в реальном мире. Примерами понятий, которые возникли в процессе использования метода идеализации, являются "Идеальный газ", "Идеальный раствор", "Материальная точка", «Абсолютно твёрдое тело». Метод идеализации широко применяется не только в естественных науках, но и в общественных дисциплинах. Индукция - вывод, рассуждение от "частного" к "общему", путём обобщения данных наблюдения и эксперимента. Умозаключение от единичных фактов к некоторому общему заключению. Индуктивные обобщения рассматриваются как опытные или эмпирические законы. Дедукция - это метод научного познания, который заключается в переходе от некоторых общих посылок к частным результатам – следствиям. Восхождения от абстрактного к конкретному, представляет собой всеобщую форму движения научного познания, закон отображения действительности в мышлении. Согласно этому методу процесс познания как 13 бы разбивается на два относительно самостоятельных этапа. На первом этапе происходит переход от чувственно-конкретного объекта к его абстрактным определениям. Единый объект расчленяется, описывается при помощи множества понятий и суждений. Он как бы «испаряется», превращаясь в совокупность зафиксированных мышлением абстракций, односторонних определений. Второй этап процесса познания и есть восхождение от абстрактного к конкретному. Суть его состоит в движении мысли от абстрактных определений объекта к конкретному в познании. На этом этапе как бы восстанавливается исходная целостность объекта, он воспроизводится во всей своей многогранности - но уже в мышлении. Решение любой научной проблемы предполагает выдвижение первичных представлений, догадок о явлении. Ведущая роль на этом этапе познания отводится гипотезе. Гипотеза представляет собой не достоверное знание, а вероятностное, неустановленна. Гипотеза истинность должна или быть ложность либо которого подтверждена, ещё либо опровергнута. Как принято говорить гипотеза должна обладать свойством фальсификации и верификации. Фальсификация - процедура, устанавливающая ложность гипотезы, в результате экспериментальной или теоретической проверки. Требование фальсификации гипотезы означает, что предметом науки может быть только принципиально опровергаемое знание (в отличие от религиозного знания). Верификация – процесс установления истинности гипотезы. Если гипотеза верна, то она становится составляющей теории. Основными элементами научного знания являются твёрдо установленные факты, закономерности, теории. Если они установлены правильно, то считаются бесспорными и обязательными. 1.2. Физическая величина. Роль измерения в физике. Единица физической величины. Размерность физической величины. 14 Системы единиц. Основные единицы СИ. Десятичные множители и приставки. Греческий алфавит. Индивидуальные в количественном отношении параметры физических объектов, явлений и процессов называют физическими величинами. Физические величины характеризуют объект исследования. Физические величины можно разделить на две категории: величины, характеризующие свойства и состояние тел ( например масса, плотность, электрическое сопротивление); величины, характеризующие явления и процессы, протекающие во времени (ускорение, сила тока, ЭДС электромагнитной индукции). Значение физической величины получают в результате измерения или вычисления. Измерения в физике играют очень важную роль, так как обеспечивают возможность сравнения результатов теоретического исследования с результатами экспериментальных исследований. Измерением какой-либо физической величины называется нахождение значения физической величины с помощью специальных технических средств, в результате чего определяется, во сколько раз измеряемая величина больше (меньше) соответствующей величины, принятой за эталон. Измерить физическую величину это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу. Единица физической величины физическая величина фиксированного размера, однородная измеряемой, которой условно присвоено числовое значение, равное единице. Например, при измерении линейных размеров предметов (длины, ширины, высоты, диаметра) их сравнивают с метром, сантиметром или миллиметром, при измерении массы тела она сравнивается с килограммом или граммом. Результат измерений выражается определенным безразмерным числом, которое принято называть числовым значением. Числовое значение величины отвлечённое число, входящее в значение величины. Значение физической величины включает в себя числовое значение величины и единицу физической величины. 15 Математически, значение физической величины A , может быть представлено следующей простой формулой A n A n - числовое значение физической величины, A - общепринятое обозначение единицы физической величины. Важным понятием, характеризующим физическую величину, является размерность физической величины. Так, например, объем воды в водопроводе измеряют в м3, объем воды в океане – в км3, объем напитка в бутылках – в литрах и декалитрах. Уравнения связи одних физических величин с другими, необходимо анализировать не с помощью единиц измерения, которых может быть много разных для одной и той же физической величины, а с помощью каких-то других понятий, однозначных для одной и той же физической величины. Таким понятием и является понятие размерности. Размерность физической величины выражение, показывающее связь этой величины с основными физическими величинами выбранной системы единиц. Размерность произвольной физической величины A обозначается символом dim A . В результате измерения или вычисления, как отмечалось выше, получают значение физической величины. При этом размерность измеренной физической величины совпадает с размерностью её единицы измерения. Следовательно, для произвольной физической величины A справедливо выражение dim A dim A Приведённое здесь представление о размерности физической величины, является неполным. Ниже мы вернёмся к этому вопросу и уточним определение размерности физической величины. Совокупность единиц физических величин (основных и производных), относящихся к некоторой системе величин и образованных в соответствии с принятыми правилами – составляют систему единиц физических величин. Система единиц физических величин включает в себя 16 конечное число основных и большое число производных единиц. Основные единицы (единицы основных физических величин) устанавливаются определёнными правилами и определениями. Единицы, полученные с помощью формул и выражений, связывающих производные физические величины с основными, называют производными единицами. Первая система единиц физических величин, предложенная немецким математиком Гауссом в 1832 году, состояла из трёх основных физических величин: длина, масса, время. Основными единицами этих физических величин были выбраны соответственно сантиметр, грамм, секунда, и она получила название системы СГС. Дальнейшее развитие этой системы единиц привело к появлению её различных модификаций: СГСЭ, СГСМ. В настоящее время в учебных заведениях России используют Международную систему единиц, сокращённое наименование которой СИ. Её название происходит от французского Systeme Internation (SI), что в русской транскрипции соответствует СИ. Международная система единиц построена на семи основных единицах и двух дополнительных, приведённых в таблице 1. Таблица 1 Физические величины Единицы физических величин Доп олни - Основные Обозначения Наименование Размерность Наименование Русское Длина L метр м Масса M килограмм кг kg Время T секунда с s Сила тока I ампер А A Термодинам. температура Количество вещества Сила света θ кельвин К K N моль моль mol J кндела кд cd Плоский угол - радиан рад rad 17 Международное m - Телесный угол Заметим, что в стерадиан приведённой таблице, ср sr физической величине соответствует определённый символ, указывающий её размерность. В общем случае размерность любой производной физической величины Q представляет собой математическое выражение в форме произведения размерностей dim Q = L M T I N J где показатели α, β, γ, δ, ε, ζ и η являются, как правило, целыми числами, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Они называются показателями размерностей. Выражение в форме произведения символов размерностей, некоторые из которых возведены в степень, называют также формулой размерности. Размерность объема любого тела (газа, жидкости или твердого тела) всегда будет обозначаться символом L3, независимо ни от какого числового коэффициента, стоящего в уравнении для расчета объёма. Например, скорость при равномерном движении определим как S t где S - длина пути, пройденного телом за время t. Для того, чтобы определить размерность скорости, в данную формулу следует вместо длины пути и времени подставить их размерности dim LT 1 Аналогично для размерности ускорения получается dim a LT 2 В физике имеется одна чрезвычайно полезная математическая процедура, называемая анализом размерностей. Допустим, нас интересует, правильно ли записано уравнение второго закона Ньютона F ma . Сравним размерности левой и правой части уравнения. В нашем примере размерность силы в левой части равна MLT−2, а размерность правой части состоит из 18 размерности массы M и размерности ускорения LT−2. Показатели степени размерностей всех трех символов (M, L и Т) в обеих частях уравнения совпали. Значит, необходимое условие для правильности записи второго закона Ньютона подтверждено. Таким образом, размерность - более объективное понятие, чем единица измерений. Кроме основных, дополнительных и производных единиц допускается применение кратных и дольных единиц, образованных из единиц СИ с помощью десятичных приставок, то есть приставок соответствующих целым (положительным и отрицательным) степеням десяти. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц приведены в таблице 2. Таблица 2 Множитель Приставка Наименование Обозначение русское международное 1018 экса Э Е 1015 пета П Р 1012 тера Т Т 10 9 гига Г G 10 6 мега М М 10 3 кило к k 10 2 гекто г h 101 дека да da 10 1 деци д d 10 2 санти с c 10 3 милли м m 10 6 микро мк 10 9 нано н n 19 10 12 пико п p 10 15 фемто ф f 10 18 атто а a Напомним, что целые и числа и десятичные дроби можно, в случае необходимости, записать в нормализованной форме или виде N N 10k где 1 N 10 , k 1, 2, 3,... . Например, число 0, 0125 в нормализованном виде можно записать как 1, 25 102 , а число 500 , как 5 102 . Поскольку физических величин много, то в физики сложилась ситуация, когда одним и тем же символом обозначаются разные физические величины. Например, символом Q может обозначаться как количество теплоты, так и электрический заряд. Поэтому, в каждом конкретном случае, необходимо обращать внимание на систему обозначений, используемых авторами учебных пособий и пояснения к ним. В качестве обозначения физических величин используются буквы латинского и греческого алфавитов, снабжённых в случае необходимости подстрочными и (или) надстрочными индексами (численными или буквенными). В таблице 3, приведены буквы греческого алфавита. Таблица 3 Тау Фи Омикрон Хи Пи Ипсилон Ро Пси Сигма Омега Альфа Эта Бета Тэта , Кси Гамма Йота Дельта Каппа Эпсилон Ламбда Дзета Мю Ню 20 2. Обработка результатов измерений в физической лаборатории 2.1. Измерения. Измерительные приборы и меры. Виды измерений Большая роль в физике принадлежит измерениям. Измерение служит основным инструментом познания материального мира, так как обеспечивает возможность сравнения результатов теоретических исследований изучаемых объектов с результатами экспериментальных исследований. Измерение физической величины проводится с помощью различных средств измерений мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей, систем, установок. Измерительные приборы – средства измерения, с помощью которых можно непосредственно считывать значения измеряемых величин (линейка, термометр, секундомер). Меры физической – средства величины измерений, заданных служащие размеров для (набор воспроизводства грузов, магазин сопротивлений). При выполнении лабораторных работ в курсе общей физики в большинстве случаев необходимо получить численное значение физической величины и сравнить ее с величинами, которые предсказывает проверяемая теория. Для проведения экспериментальных исследований необходим набор приборов. Для механических опытов это: - линейка для измерения размеров тел и расстояний между точками; - штангенциркуль и микрометр для точного измерения малых размеров; - секундомер для измерения временной длительности процессов; Для лабораторных работ по электричеству и магнетизму: - амперметр, измеряющий ток; - вольтметр, измеряющий напряжение; - осциллограф, который помогает изучать электрические процессы во времени. 21 Стандартными приборами, измеряющие линейные размеры тел являются линейка, штангенциркуль и микрометр (см. рис.1). Рис.1. Стальная линейка (а); штангенциркуль (б); микрометр (в). Как видно из рис.1, на каждом из приборов есть набор тонких линий, повторяющихся через одинаковый интервал, а также целые числа. На основной шкале штангенциркулей и линейке (рис.1. а, б) числа выражают сантиметры. Если между двумя ближайшими числами ровно 10 интервалов по одному миллиметру, то такая линейка называется миллиметровой. Говорят, что цена деления линейки 1 мм. Штангенциркуль предназначен для измерения наружных и внутренних линейных размеров тел, внешних и внутренних диаметров цилиндров. Цена деления штангенциркуля меньше чем у линейки. У штангенциркуля ШЦ-1 она равна 0,1 мм. Есть приборы с еще большей точностью – это микрометры. Цена деления таких приборов может быть 0,01 мм (или 10 мкм) (см. рис.1) и даже еще меньше – 0,001 мм (1 мкм). Различают два вида измерений физических величин прямые и косвенные. Прямые (непосредственные) измерения – это такие измерения, при которых мы получаем численное значение измеряемой величины либо 22 прямым сравнением ее с мерой (эталоном), либо с помощью приборов, градуированных в единицах измеряемой величины. Косвенные измерения состоят из непосредственных измерений одной или нескольких величин, связанных с искомой величиной известной функциональной зависимостью, и вычисления по этим данным определяемой величины. В зависимости от выбора методики измерений значение физической величины можно определить путём, как прямых, так и косвенных измерений. В измерениях всегда участвуют измерительные приборы, которые одной величине ставят в соответствие связанную с ней другую, доступную количественной оценке с помощью наших органов чувств. Например, силе тока ставится в соответствие угол отклонения стрелки на шкале с делениями. При этом должны выполняться два основных условия процесса измерения: однозначность и воспроизводимость результата. Эти два условия всегда выполняются только приблизительно. Поэтому процесс измерения всегда дает неточный, приблизительный результат. Так как не существует абсолютно точных приборов и других средств измерения, следовательно, не бывает и абсолютно точных результатов измерения. Погрешности возникают при любых измерениях, и только правильная оценка погрешностей проведенных измерений и расчетов позволяет выяснить степень достоверности полученных результатов. 2.2. Виды и источники погрешностей Никакие измерения не могут быть абсолютно точными. Измеряя какую-либо величину, мы всегда получаем результат с некоторой погрешностью (ошибкой). Другими словами, измеренное значение величины всегда отличается от того её значения, которое она имеет на самом деле. Важной задачей экспериментатора является оценка допущенной при измерении погрешности. В зависимости от свойств и причин возникновения 23 различают три типа погрешностей: грубые ошибки (промахи), систематические и случайные погрешности. Промахи (или грубые погрешности) проявляются обычно в резком отклонении результата отдельного измерения от остальных. Промахи обусловлены главным образом недостаточным вниманием экспериментатора или неисправностями средств измерения. Результаты таких измерений отбрасываются и взамен проводятся новые измерения. Для исключения промахов любые измерения необходимо повторить не менее 3-х раз! Систематическими называются погрешности, которые при многократных измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов, остаются постоянными, либо изменяются по определённому закону. Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Они соответствуют отклонению измеренного значения от истинного всегда в одну сторону - либо в большую, либо в меньшую. Систематические погрешности могут быть обусловлены следующими причинами: – несовершенство измерительных приборов – инструментальная (приборная) погрешность; – несовершенство органов чувств экспериментатора (например, невозможность включить секундомер точно в нужный момент); – погрешность вычисления (из-за конечного количества цифр в числах, подставляемых в формулу для расчета косвенных величин); – неточность или неправомерность метода, который используется для расчета косвенной физической величины или лежит в основе устройства прибора – методическая погрешность. Методические погрешности вызываются недостатками применяемого метода измерений, несовершенством теории физического явления и неточностью расчетной формулы, используемой для нахождения измеряемой величины. Методические погрешности 24 можно уменьшать путем совершенствования метода измерений, а также введения уточнений в расчетную формулу. Инструментальные конструкции и погрешности неточностью вызываются изготовления несовершенством измерительных приборов. Уменьшение инструментальной погрешности достигается применением более совершенных и точных приборов. Однако полностью устранить приборную погрешность невозможно. В качестве систематической ошибки учитывают ошибку отсчета (округления). Она связана с тем, что приборы имеют цену деления, и измеренные значения величин могут быть только кратны этой цене деления. На самом деле реальная физическая величина чаще всего не укладывается в такие рамки и ее приходится округлять до ближайшего кратного значения. В качестве погрешности округления можно принять половину наименьшего деления (то есть половину цены деления) шкалы прибора или половину наименьшего значения измеряемой величины, которое еще можно найти при помощи этого прибора. Например, при измерении длины линейкой с миллиметровыми делениями за допустимую погрешность принимается 0,5 мм. Случайными называются погрешности, абсолютная величина и знак которых при многократных измерениях одной и той же физической величины в одинаковых условиях изменяются непредсказуемым образом. Случайные ошибки обусловлены множеством неконтролируемых причин, действие которых неодинаково в каждом опыте. В результате этого при измерении одной и той же величины несколько раз подряд в одинаковых условиях получается целый ряд значений этой величины, отличающихся от истинного значения случайным образом, как в сторону увеличения, так и уменьшения. Природа случайных погрешностей может быть различной: флуктуации нулевого случайные положения неконтролируемые указателя изменения измерительного внешних прибора; воздействий температуры, влажности, давления; наводки в электрической цепи и т.д., 25 которые практически невозможно учесть. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. Полностью избавиться от случайных погрешностей невозможно. При подготовке к измерениям методику и средства измерений выбирают так, что бы погрешность была достаточно мала (как можно меньше) для решения конкретной задачи измерения. Проблема оценки погрешностей измерения является предметом метрологии, науки об измерениях и требуемой точности измерений, которая использует для решения своих задач методы теории вероятности и математической статистики. 2.3. Истинное и действительное значение физической величины. Истинным значением физической величины называется значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях соответствующее свойство объекта. Определить экспериментально истинное значение физической величины невозможно вследствие неизбежных погрешностей измерений и конечного числа экспериментов. Поэтому вместо истинного значения в результате эксперимента получают так называемое действительное значение физической величины, степень приближения которого к первому зависит от цели эксперимента и выбранной точности измерительного средства. За действительное значение физической величины обычно принимают среднее арифметическое из ряда значений физической величины, полученных экспериментально. 2.4. Оценка случайных погрешностей прямых измерений. Истинная погрешность однократного измерения. Среднее арифметическое отдельных случайных измерений. Элементы теории Гаусса для оценки средней истинной погрешности. Абсолютная погрешность однократного измерения и средняя абсолютная погрешность всех измерений. 26 Важнейшей особенностью измерений, является принципиальная невозможность получения результатов измерений, в точности равных истинному значению измеряемой величины. Невозможность полного достижения цели измерения приводит к необходимости оценивать степень близости полученного результата измерений к истинному значению измеряемой величины, то есть оценивать погрешность измерения. Введём вначале понятие истинной погрешности однократного измерения и среднего значения измеряемой величины. Разность между истинным значением измеряемой величины и результатом её однократного измерения называется истинной погрешностью этого измерения или истинной погрешностью однократного измерения. Примем следующую систему обозначений: a - истинное значение измеряемой величины, ai - результат её однократного i -го измерения, i истинная погрешность этого измерения. Тогда по определению (1) i a ai Итак, пусть произведено n - измерений некоторой физической величины. Обозначим через a1 , a2 , a3 ,...an результаты отдельных измерений. Тогда согласно равенству (1) истинное значение измеряемой величины, в каждом конкретном случае может быть представлено как a a1 1 a a2 2 (2) a a3 3 .................. a an n Складывая, почленно, левые и правые части (2) запишем a n a1 a2 a3 ... an 1 2 3 ... n (3) что соответствует a a1 a2 a3 ... an 1 2 3 ... n n n или 27 (4) a 1 n 1 n ai i n i 1 n i 1 (5) Первая сумма (5) есть среднее арифметическое отдельных случайных измерений физической величины (обозначают a или a ) a 1 n ai n i 1 (6) Тогда равенство (5) можно представить как 1 n a a i n i 1 (7) Вторая сумма (5) представляет собой среднее арифметическое истинной погрешности. Немецкий математик Гаусс разработал методы оценки средней истиной погрешности (более строгий подход будет рассмотрен ниже). В основе его метода лежат следующие положения, которые можно рассматривать, как аксиомы: 1. Погрешности равной абсолютной величины и противоположных знаков равновероятны. 2. Чем больше абсолютная величина погрешности, тем она менее вероятна. Первое положение означает, что при бесконечно большом числе измерений ( n ) вероятность ошибиться на одну и туже величину, в большую или меньшую сторону, одинакова. То есть, если при измерении какой либо величины могла получиться случайная погрешность, значение которой l d , то во всём бесконечном ряду погрешностей найдётся погрешность k d , так что l k 0 . Откуда следует, что 1 n lim i 0 n n i 1 и aa, при (8) n . То есть, истинное значение физической величины, может быть получено только в результате бесконечного процесса измерений. Учитывая ещё и систематическую погрешность, уместно добавить, с бесконечным совершенствованием методов и средств измерений. 28 Так как на практике число измерений нельзя производить бесконечно, то для того чтобы охарактеризовать отличие среднего значения измеряемой величины от её истинного значения, достаточно указать модуль разности между истинным и средним значением a a . Как следует из соотношения (7) aa 1 n i n i 1 (9) Возьмём модуль от обеих частей выражения (9) и преобразуем его правую часть aa Для 1 n 1 n 1 n i i i n i 1 n i 1 n i 1 оценки последнего (10) выражения введём понятие абсолютной погрешности однократного измерения и средней абсолютной погрешности всех измерений. Модуль разности между средним значением измеряемой величины и результатом её погрешностью однократного этого измерения измерения или называется абсолютной абсолютной погрешностью однократного измерения. Для i го измерения, абсолютная погрешность, согласно определению, задаётся как (11) ai a ai Заметим, что выражение под знаком модуля, часто называют отклонением отдельного измерения от среднего арифметического физической величины. Если проведено n измерений, то абсолютная погрешность в каждом отдельном измерении соответственно равна a1 a a1 a2 a a2 (12) a3 a a3 ...................... an a an 29 Тогда средняя абсолютная погрешность всех измерений определяется как среднее арифметическое абсолютных погрешностей отдельных измерений (обозначают а или a ) а 1 n ai n i 1 (13) Поскольку, результат однократного измерения физической величины связан с истинным значением измеряемой физической величины и его истинной погрешностью известным выражением (1) то, как следует из него (14) ai a i Тогда выражение (11) с учётом (14) перепишется (15) ai a (a i ) a a i ) Правая часть последнего выражения (15) может быть преобразована по уже известному правилу (16) a a i ) a a i С учётом (16) выражение (15) перепишется как (17) ai a a i Тогда в каждом из n измерений абсолютная погрешность может быть представлена следующим образом a1 a a 1 a2 a a 2 (18) a3 a a 3 ............................ an a a n Складывая почленно, левые и правые части (18), получим a1 a2 a3 ... an n a a 1 2 3 ... n (19) После преобразования последнего выражения (19) получим 1 n 1 n ai a a i n i 1 n i 1 (20) С учётом определения средней абсолютной погрешности (13) последнее выражение (20) принимает вид 30 1 n а a a i n i 1 (21) Из сравнения (10) и (21) приходим к выводу, что модуль разности между истинным и средним значением измеряемой физической величины не может превышать среднего значения абсолютной погрешности (22) a a а Следовательно, средняя абсолютная погрешность а может служить оценкой случайной погрешности измерений. Последнее выражение (22), может быть переписано с учётом определения абсолютного значения (модуля), следующим образом а a a а (23) а a a a а (24) или Последнее выражение принято записывать так (25) a a а Заметим, что в общем случае, при обработке результатов измерений необходимо принимать во внимание, как случайные, так и систематические погрешности прямых измерений. Тогда измерения характеризуются абсолютной погрешностью измерений a , которая будет включать в себя все эти погрешности, и результат измерений записывается как (26) a a a Геометрический смысл выражения (26) легко представить на числовой оси с помощь интервала абсолютной погрешности a a a a a Истинное значение измеряемой физической величины находится в промежутке от а a до а a . Границы полученного приближенного результата, внутри которых находится истинное значение физической величины, называется границей 31 абсолютной погрешности. Абсолютная погрешность показывает, насколько неизвестное экспериментатору истинное значение измеряемой величины может отличаться от измеренного значения, равного среднему арифметическому из нескольких измерений. Поэтому среднее значение измеряемой физической величины, принятое, как известно, называть действительным значением, наиболее точно отражает его истинное значение. 2.5. Относительная погрешность измерений Значение абсолютной погрешности, упрощённый подход к оценке которой были рассмотрены выше, не позволяет в полной мере оценить качество наших измерений. Если, например, в результате измерений установлено, что длина стола с учетом абсолютной погрешности равна (100 ± 1) см, а толщина его крышки равна (2 ± 1) см, то качество измерений в первом случае оказывается выше (хотя граница абсолютной погрешности измерений в обоих случаях одинакова). Показателем качества измерений служит относительная погрешность . Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к модулю среднего значения измеряемой величины a а (1) Её значение принято задавать в процентах (%), тогда (1) принимает вид a 100% а Если (2) задана относительная погрешность, то значение абсолютной погрешности легко вычислить из определения (1) (3) a а 32 2.6. Элементы теории вероятности и математической статистики для оценки случайных погрешностей прямых измерений. Расчет случайных погрешностей производится методами теории вероятностей и математической статистики и определяется выбором вида функции распределения случайных величин. Для всех функций распределения, базовым является распределение Гаусса, справедливое для большого количества равноточных измерений. 2.6.1. Распределение Гаусса. Среднеквадратичное или стандартное отклонение. Дисперсия распределения. Математическое ожидание Доверительный интервал. Доверительная вероятность (надежность) Пусть произведено большое количество равноточных измерений величины х, и получен ряд чисел х1, х2,…хn. Разобьем числовую ось на равные интервалы х k и и построим ступенчатую кривую (гистограмму), так, чтобы высота каждой ступеньки f (x) была пропорциональна nk - числу попаданий результатов измерений в данный интервал значений х k . Назовем отношение nk (число попаданий результатов измерений в данный интервал х k ) к полному числу опытов n вероятностью P (х k ) получения результата в заданном интервале значений х k ( х k x х k 1 ) P (x k ) nk nk lim n n n (1) Отношение P (х k ) к величине интервала х k будем называть плотностью вероятности f (x) данного значения х (при х k 0 ) f ( x) P(x k ) P ( x k ) lim x 0 x k x k (2) k 33 При большом числе измерений ( n ) ближе всего к истинному значению хист будет координата x - центра тяжести гистограммы. Эта величина называется средним арифметическим или просто средним и определяется, как известно, по формуле n х x ист x i i 1 (3) n При n и х k 0 гистограмма переходит в плавную кривую, называемую законом нормального распределения вероятностей для случайных величин - распределение Гаусса (плавная кривая на рисунке 3) Рис. 3. Гистограмма результатов измерений 1 xi2 f ( xi ) exp 2 2 2 (4) где величина называется среднеквадратичным или стандартным отклонением xi от среднего значения x , а 2 дисперсией распределения. 2 n х x i lim n (5) i 1 n 1 34 Максимум кривой распределения называется математическим ожиданием и соответствует истинному значению измеряемой величины хист, которое можно получить, произведя усреднение х по функции плотности распределения f(x)dx xист x f ( x ) dx lim n 1 n xi n i 1 (6) При большом числе измерений ( n ) среднее значение x , вычисленное по формуле (3) будет стремиться к величине математического ожидания. По определению функции плотности распределения, она должна удовлетворять условию нормировки f ( x) dx 1 и f (x) dx 1 (7) Это аналогично очевидному требованию, чтобы вероятность попадания произвольно выбранного значения х в диапазон от до была равна 1, то есть 100 %. Вероятность того, что отклонение измеренных значений xi от среднего значения x не превышает абсолютного значения х , равна x P (x ) x x (8) f (x) dx f ( x) dx x x x Распределение Гаусса показывает, что вероятность появления малых случайных погрешностей больше вероятности появления больших погрешностей, при этом случайные погрешности равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку встречаются одинаково часто. Характер кривой определяется величиной дисперсии 2 : чем меньше дисперсия, тем меньше разброс значений х (меньше вероятность появления больших погрешностей). Значение вероятности появления погрешности в пределах кратных стандартному отклонению (значения интеграла (8) с пределами интегрирования , 2 , 3 ) 35 P ( ) 0,68; P (2 ) 0,95; P (3 ) 0,99 (9) Практически все значения случайной величины лежат в интервале ( x 3 ; x 3 ). Более строго – не менее чем с 99,7% достоверностью значение случайной величины лежит в указанном интервале (см. рис. 4). В этом и состоит смысл стандартного отклонения. Рис.4 Интервал ( x x; x x ) в который попадает истинное значение искомой величины с заданной доверительной вероятностью, называют доверительным интервалом. Доверительной вероятностью (надежностью) P (x) серии измерений называется вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в данный интервал (выражается в долях единицы или в процентах). Чем больше доверительный интервал, тем больше доверительная вероятность того, что результат измерения попадет в него. 2.6.2. Распределение Стьюдента. Коэффициенты Стьюдента В учебных лабораторных экспериментах число измерений, как правило, ограничено ( n 10 ). Это приводит к тому, что распределение Гаусса для случайных погрешностей выполняется приближенно. В 1908 году английским математиком Госсетом (псевдоним Стьюдент) был предложен другой закон распределения случайных погрешностей измерений - распределение Стьюдента (используется при n 20 ). При n 20 распределение Стьюдента очень мало отличается от распределения Гаусса. 36 Распределение доверительной Стьюдента вероятности позволяет (надежности) по заданной P ( x ) найти величине границы доверительного интервала х с помощью поправочных коэффициентов Стьюдента (10) x t p , n S где t p ,n - коэффициент Стьюдента, зависящий от выбора доверительной вероятности Р и числа измерений n , S - среднеквадратичное отклонение (СКО), вычисляемое по формуле n ( x x ) 2 i S i 1 (11) n(n 1) Величина интервала х , рассчитанная при помощи формулы (10) стремится к нулю при увеличении числа опытов в серии. Это не значит, однако, что можно проводить абсолютно точные измерения, ведь приборы, с помощью которых мы получили результаты, также имеют погрешности (инструментальная погрешность). Поэтому погрешность среднего при бесконечном увеличении числа опытов стремится к погрешности прибора, при этом lim S n (12) n Таким образом, при n распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса. Поэтому абсолютная погрешность измерительного прибора, как правило, согласовывается со стандартным отклонением (формула (5)), что соответствует доверительной вероятности Р = 0,68 (формула (9)). Очевидно, что число опытов имеет смысл выбрать таким, чтобы случайная погрешность среднего сравнялась с погрешностью прибора либо стала меньше ее. Дальнейшее увеличение числа измерений теряет смысл, так 37 как не увеличит точность получаемого результата. В таблице 1 приведены часто используемые значения коэффициентов Стьюдента. Таблица 1. Коэффициенты Стьюдента Р =0,68 Р =0,95 Р =0,99 n t p ,n n t p ,n n t p ,n 2 2,0 2 12,7 2 63,7 3 1,3 3 4,3 3 9,9 4 1,3 4 3,2 4 5,8 5 1,2 5 2,8 5 4,6 6 1,2 6 2,6 6 4,0 7 1,1 7 2,4 7 3,7 8 1,1 8 2,4 8 3,5 9 1,1 9 2,3 9 3,4 10 1,1 10 2,3 10 3,3 15 1,1 15 2,1 15 3,0 20 1,1 20 2,1 20 2,9 30 1,1 30 2,0 30 2,8 100 1,0 100 2,0 100 2,6 3. Расчет погрешностей измерений Обработке результатов эксперимента является достаточно не простой и трудоёмкой задачей, требующей определённого навыка. Следует отдавать себе отчет, что в условиях лабораторного практикума при небольшом числе измерений (n = 310), расчеты всегда носят оценочный характер! 3.1. Погрешности прямых измерений Для получения результата измерения некоторой придерживаются следующего алгоритма вычислений: 38 величины х 1) вычисляется среднее арифметическое серии из n прямых измерений: n х x i i 1 (13) n 2) вычисляется отклонение измеряемой величины xi от среднего значения х для каждого измерения: хi хi х (14) Здесь хi это разность между данным измерением и средним арифметическим серии из n прямых измерений. Среди n значений отклонений обязательно встречаются как положительные, так и отрицательные. 3) вычисляется среднеквадратичная погрешность, или стандартное отклонение: 2 n х i i 1 S (15) n(n 1) 4) по заданному значению коэффициента надежности Р и числу измерений n, находят случайную абсолютную погрешность: х t р , n S (16) За коэффициент надежности Р обычно принимают вероятность, с которой истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал х х; х х . 5) вычисляется относительная погрешность: х 100% х Величина измерения. В (17) относительной лабораториях погрешности физического характеризует практикума погрешность обычно составляет 10 25 %. 3.1.1. Систематические погрешности 39 точность относительная Систематические ошибки закономерным образом влияют на результат измерения величины. Наиболее просто поддаются оценке погрешности, вносимые в измерения приборами, если они связаны с конструктивными особенностями самих приборов. Эти погрешности указываются в паспортах к приборам. Погрешности некоторых приборов можно оценить, не обращаясь к паспорту. Для многих электроизмерительных приборов непосредственно на шкале указан их класс точности. Если класс точности для прибора не указан, то необходимо руководствоваться следующими правилами: абсолютная погрешность приборов с нониусом равна точности нониуса. абсолютная погрешность приборов с фиксированным шагом стрелки равна цене деления. абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда. Помимо инструментальной погрешности хи при проведении прямых измерений необходимо учитывать погрешность отсчета (округления) хо . Тогда систематическая погрешность хс может быть определена как хс хи хо . Если сведений о допустимой приборной погрешности не имеется, то в этом случае будем учитывать только погрешность округления, которую принимают равной половине наименьшего деления шкалы прибора, то есть половине цены деления. 3.1.2. Полная абсолютная погрешность При любых измерениях существуют и случайные и систематические погрешности. Расчет общей (полной) абсолютной погрешности измерения дело непростое, так как эти погрешности разной природы. 40 Для инженерных расчетов имеет смысл придерживаться следующих рекомендаций: 1) если оказывается, что все время получается один и тот же результат (нет разброса), то в качестве погрешности берется погрешность округления х о и результат записывается в виде х x х о (18) 2) если имеет место разброс значений физической величины х , то определяют случайную абсолютную погрешность хсл (по приведённому выше алгоритму). Полученное значение хсл сравнивается с систематической погрешностью хс и, если они различаются в три раза и более, то берется наибольшее из них. Если они сравнимы по величине, то полную погрешность х вычисляют как корень квадратный из суммы квадратов этих погрешностей х (хс ) 2 (хсл ) 2 (19) Относительную погрешность определяют по уже известной формуле х 100% х (20) 3.2. Погрешности косвенных измерений В случае косвенных измерений, результат определяется на основе расчетов. При расчете погрешности результатов косвенных измерений нам придется учитывать, как выглядит формула, по которой производился расчет искомой величины. В теории погрешностей доказывается, как это можно сделать в общем виде. Мы же воспользуемся набором готовых формул для вычисления относительной погрешности результатов косвенных измерений. Формулы расчета относительных погрешностей для некоторых, часто встречающихся случаев приведены в таблице 1. 41 Таблица 1 Вид функции 1 1 А В х sin A Относительная погрешность А В х А В А В х А В А В А В х А В А В nА х n А А 1 А х А n nА 2 А / А В / В 2 х 1/ А 1/ В х ctgA A х cos A х tgA A х А В х А В А В х Аn х хn А х х tgA х 2А sin 2 А 3.2.1. Последовательность упрощенного расчета косвенных измерений 1. Пусть искомую величину y можно рассчитать, составив функциональную зависимость от непосредственно измеряемых величин х1 , х 2 , х N , то есть y f ( х1 , х 2 , х N ) (1) Для всех физических величин х1 , х2 , х N , входящих в рабочую формулу рассчитываем среднее арифметическое значение и абсолютную погрешность. 2. Среднее значение y косвенного измерения вычисляют, подставив в рабочую формулу средние значения xi всех прямых измерений. 42 3. Относительная погрешность может быть вычислена с помощью формул расчета относительных погрешностей, приведенных в таблице. 4. Абсолютная погрешность y косвенного результата измерения можно вычислить по среднему значению y и величине общей относительной погрешности у , найденной на предыдущем этапе у y у (2) 4. Запись приближенных чисел. Значащие и верные цифры. Правила округления. Использование табличных значений и констант. В результате обработки измерений всегда получается приближенное значение измеряемой величины, точность которого определяется только погрешностью, допущенной в процессе измерения, и никакими расчетами нельзя повысить эту точность. Однако при вычислениях на микрокалькуляторе в ответе автоматически получается столько цифр, сколько их вмещается на индикаторе прибора. При этом создается впечатление об избыточной точности результата. Окончательный результат обработки измерения с точки зрения количества значащих цифр должен соответствовать точности, полученной в процессе измерения. Значащей цифрой числа, записанного в виде десятичной дроби называются все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля. Например, в числе 0,00385 три значащие цифры, в числе 0,03085 четыре значащие цифры. Следует помнить, что нули, стоящие в последних разрядах, есть значащие цифры. Так, числа 2,86 и 2,860 не равнозначны по своей точности. Нули, поставленные в конце целого числа (взамен неизвестных цифр) и служащие лишь для определения разрядов остальных цифр, значащими не считаются. В подобных случаях лучше применять запись числа в стандартной или нормализованной форме. В числе 2500 две значащие цифры 2 и 5. Это число можно представить в виде 2,5·103 . 43 Значащие цифры приближенного числа могут быть верными или неверными (неопределенными, сомнительными). Цифра приближённого числа называется верной в широком смысле слова, если абсолютная погрешность числа не превосходит (меньше или равна) единицы того разряда, к которому принадлежит эта цифра. В противном случае, цифра считается неверной. Например, при измерении ускорения свободного падения был получен результат g 9,834 м м , а g 0, 0132 2 . Цифры 9 и 8 в числе 9,834 являются 2 с с верными, а 3 , и тем более 4 неверными, так как абсолютная погрешность больше единицы разряда, к которому принадлежат эти цифры (цифра 3 принадлежит к разряду сотых, единица этого разряда 0, 01 0, 0132 ). Отметим, что при проведении косвенных измерений в расчетах выполняются математические операции над приближенными числами, определяемыми с различной точностью. Если приближенное значение величины содержит лишние или недостоверные цифры, то его округляют, сохраняя только верные значащие цифры и отбрасывая лишние. При этом руководствуются следующими правилами округления: если первая отбрасываемая цифра больше 4, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Например, округляя число 438,5763 до сотых, следует записать 438,58; если первая отбрасываемая цифра меньше или 4, то последняя сохраняемая цифра не изменится. Например, округляя число 18,3914 до тысячных, следует записать 18,391. Производя различные математические действия с приближенными числами, руководствуются следующими правилами подсчета вычислений: при сложении и вычитании приближенных чисел в результате сохраняют столько разрядов, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством разрядов; 44 при умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством значащих цифр; результат расчета значений функций х n , n x , lg x некоторого приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x ; в промежуточных расчетах требуется использовать на одну-две значащие цифры больше (как принято говорить «с запасом»). В случае использования табличных значений и констант необходимо исходить из следующих соображений. Например, для определения длины математического маятника по периоду его колебаний необходимо значение ускорения свободного падения. С какой точностью необходимо взять это значение: g = 10 м/с2 или g = 9,8 м/с2? В первом случае округление произведено до единиц, то есть интервал округления 1 м/с2, а погрешность g = 0,5 м/с2. Значение g = (10,0 ± 0,5) м/с2 взято с относительной погрешностью 0,5 / 10,0 5% . Поскольку мы знаем более точное значение g, мы можем указать меньшую погрешность округления, например, g = (9,80 ± 0,05) м/с2 приведено с относительной погрешностью 0,05 / 9,8 0,5% . Для подстановки в формулу следует выбрать то значение, относительной погрешностью относительными которого можно погрешностями будет пренебречь значений величин, по сравнению с измеренных в эксперименте. Если для величин, приводимых в физических или математических справочниках, погрешность числа не указана, то в качестве таковой берут, как правило, половину единицы разряда последней значащей цифры заданного числа. Например, если для расчета берем значение 3,14 , то последняя цифра 4 стоит в разряде сотых. Поэтому погрешность данного значения будет 0,01 0,005 . 2 45 4.1 Требование к записи результата измерений. Независимо от того, с помощью какого вида измерений (прямые измерения или косвенные) получен результат, при его окончательной записи условимся придерживаться следующих правил: 1. Форма записи х х х , х 100% х 2. Запись результата начинается с анализа абсолютной погрешности. Абсолютную погрешность округляют до одной или двух значащих цифр (всегда в большую сторону, поскольку правила округления здесь не действуют). Среднее значение округляют так, что бы оно содержало все верные и одну неверную значащие цифры. Так, например, в результате обработки данных эксперимента получили следующее значение измеряемой величины и её абсолютной погрешности: l 4,862452 мм , l 0,012465 мм . Применяя второе правило, получим: l 0,013 мм , l 4,86 мм . Применив, первое правило, предварительно вычислив значение относительной погрешности , результат должен быть представлен как l (4,86 0,013) мм , 0,27 % l (4,86 0,013) 103 м , или 0,27 % . Заметим, что запись результата в системе СИ является предпочтительнее. 5. Погрешности приборов измерения. Класс точности средства измерений Инструментальные (приборные) погрешности вызываются несовершенством конструкции и неточностью изготовления измерительных приборов (например, небольшое различие в длинах плеч рычажных весов, несовпадение в стрелочном приборе центра шкалы с осью вращения стрелки, изменение хода ручного секундомера при изменении температуры). 46 Уменьшение инструментальной погрешности достигается применением более совершенных и точных приборов. Однако полностью устранить приборную погрешность невозможно. Для характеристики используют понятие большинства приведенной измерительных погрешности приборов (класса точности). Приведенная погрешность Е п - это отношение абсолютной погрешности к предельному значению хmax на шкале прибора Еп x 100% xmax (1) Классом точности средства измерений называют обобщенную характеристику средства измерений, определяемую пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей (а также другими свойствами средств измерений, влияющими на точность, значения которых устанавливаются в стандартах на отдельные виды средств измерений). Допустим, на приборе указан класс точности «1», это означает, что показания этого прибора верны с точностью до 1% от всей шкалы прибора. Так, если мы имеем вольтметр первого класса точности, у которого вся шкала рассчитана на 100 вольт, то погрешность измерения таким прибором будет хсист 1 вольт. И как бы мы не изощрялись, этим вольтметром мы не измерим напряжение с точностью до десятых долей вольта. Класс точности характеризует свойства средства измерения, но не является показателем точности выполненных измерений, поскольку при определении погрешности измерения необходимо учитывать погрешности метода, настройки и другие погрешности. Из формулы (1) следует, что относительная погрешность будет минимальной, если измеряемая величина дает отброс стрелки индикатора на всю шкалу. Для оптимального использования прибора его предел выбирают так, чтобы значение измеряемой величины попадало в конец шкалы. Инструментальная погрешность приборов для измерения линейных размеров указана на самом приборе в виде абсолютной погрешности или в виде цены деления. Если на приборе не указан ни класс точности, ни 47 абсолютная погрешность, то она принимается равной половине цены наименьшего деления. Для приборов с цифровым отсчетом измеряемых величин метод вычисления погрешности приводится в паспортных данных прибора. Если эти данные отсутствуют, то в качестве абсолютной погрешности принимается значение, равное половине последнего цифрового разряда индикатора. Абсолютные инструментальные погрешности измерительных приборов, чаще всего используемых для проведения лабораторных работ, приведены в таблице 1. Таблица 1 Средства измерения Предел измерения Цена деления Линейка инструментальная (стальная) Линейка демонстрационная Штангенциркуль До 30 см 1 мм 100 см 1 см 150 мм 0,1 мм Микрометр 25 мм Секундомер электронный Термометр спиртовой Термометр ртутный Амперметр школьный Вольтметр школьный 100 с 0,01 мм 0,01 с Инструмента льная погрешность 0,1 мм 0,5 см 0,05 мм 0,005 мм 0,01 с 0-100оС 1оС До 250оС 1оС 2А 0,1 А 0,05 А 6В 0,2 В 0,15 В 1оС 0,5оС 6. Представление результатов измерений с помощью графиков. Правила построение графиков 48 При изучении зависимости одной измеряемой величины от другой целесообразно представить результаты в форме графика. Главное достоинство графика его наглядность. Он позволяет получить общее качественное представление о характере зависимости, а также судить о соответствии экспериментальных данных той или иной теоретической зависимости. Графики строятся на миллиметровой бумаге, на которую, прежде всего, наносятся координатные оси. На концах координатных осей обязательно указываются условные обозначения откладываемых величин и, через запятую, их единицы измерения. Затем на оси наносят масштабные деления так, чтобы расстояние между делениями составляло 1, 2, 4, 5 единиц (или 0.1, 0.2, 0.4, 0.5, или 10, 20, 40, 50 и так далее). На осях координат откладываются равноотстоящие друг от друга деления масштаба так, чтобы было удобно работать с графиком. Значения, полученные в эксперименте, не указываются (см. рис.1). Рис.1. Пример выбора масштаба Наиболее распространенные ошибки при выборе масштаба: 49 рис.1а вместо масштаба вдоль оси абсцисс отложили значения, полученные в эксперименте; рис.1б значения масштабных единиц очень близко расположены друг к другу, в результате чего цифры могут слиться, что в свою очередь затрудняет работу с графиком. Обычно порядок масштаба, то есть 10 n , выносится на конец оси. Например, для пути, пройденного телом, вместо 1000, 1100, 1200 метров около масштабных делений пишут 1.0, 1.1, 1.2, а в конце оси физическую величину, обозначают как S, 103 м или S·10-3, м или S, км (рис.2). Рис.2. Пример правильного оформления оси После построения осей на миллиметровку наносят экспериментальные точки. Их обозначают маленькими кружками, квадратиками, крестиками и другими различными символами. Если на одной координатной плоскости строится несколько графиков, то для точек выбираются разные обозначения. Затем от каждой точки вверх, вниз и вправо, влево откладывают отрезки, соответствующие погрешностям (если они определены или заданы) точек в масштабах осей. Если погрешность по одной из осей (или по обеим осям) оказывается слишком малой, то предполагается, что она отображается на графике размером самой точки. Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю по каждой из осей. Начало отсчета по осям и масштабы следует выбирать так, чтобы график занял по возможности максимальную площадь области построения (рис.3). а) Неправильно б) Правильно 50 Рис.3. Пример оптимального выбора масштаба Так на рисунке 3а неудачно выбрали масштаб, и часть координатной плоскости оказалась не задействована. Экспериментальные точки, как правило, не соединяются между собой ни отрезками прямой, ни произвольной кривой. Вместо этого строится теоретический график той функции (линейной, квадратичной, экспоненциальной, тригонометрической или какой либо другой), которая отражает проявляющуюся в данном опыте известную или предполагаемую физическую закономерность, выраженную в виде соответствующей формулы (рис.4). а) Правильно б) Неправильно Рис. 4. Пример построения зависимости (М ) Так грубой ошибкой построения будет график, приведенный на рис.4б. Здесь соединили экспериментальные точки, отрезками прямых линий, получив при этом нелинейную зависимость (М ) . Однако теоретический график функции (М ) является прямой линией (рис.4а). 51 Экспериментальная кривая проводится через доверительные интервалы всех или большинства экспериментальных точек так, чтобы экспериментальные точки наиболее близко и равномерно располагались с разных сторон кривой. При проведении графика «на глаз» рекомендуется пользоваться зрительным ощущением равенства нулю суммы положительных и отрицательных отклонений точек от проводимой кривой. 7. Элементы математического аппарата, применяемого в физике. Скалярные, векторные и тензорные величины Физика тесно связана с математикой. Математикой разработан аппарат, с помощью которого физические законы могут быть точно сформулированы. Физические теории почти всегда формулируются в виде математических выражений, причем используются более сложные разделы математики, чем обычно в других науках. И наоборот, развитие многих областей математики стимулировалось потребностями физических теорий. Всё многообразие физических величин, характеризующих количественные и пространственные закономерности окружающего нас мира, можно разделить на скалярные, векторные и тензорные величины. В качестве примера обратимся к величинам, встречающимся в физике и механике. Такие величины, как массу и объем, характеризуют количественным значением, которое по отношению к некоторому эталону (единице измерения) задают действительным числом. Поэтому их называют скалярными. Напротив, скорость, ускорение, сила характеризуются не только количественным значением, но и направлением. Их называют векторными величинами. Скалярные и векторные величины не исчерпывают всех возможных характеристик объекта исследования. Например, свойства кристаллических тел передавать теплоту и деформироваться под действием нагрузки не удается описать при помощи скалярных и векторных величин. В этих 52 случаях используют более сложные математические объекты, получившие название тензоров или тензорных величин. Скалярная величина – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение. Скалярная величина может быть положительной или отрицательной, и в общем случае равной нулю. Такие величины принято называть алгебраическими. Примеры скалярных величин: температура, масса, объем, время, плотность. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия. Скалярные величины являются алгебраическими величинами и с ними можно производить любые алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и так далее. Векторная величина – это физическая величина, которая имеет две характеристики: 1) численное значение, которое всегда положительно (модуль вектора); 2) направление. Вектором называется направленный отрезок. Заметим, что если изменяется какая либо характеристика вектора (модуль или направление, либо модуль и направление), то вектор нельзя считать постоянным. Примеры векторных физических величин: скорость, ускорение, сила. Векторная величина обозначается латинской буквой и стрелкой над этой буквой. Например, вектор скорости обозначается символом , а вектор ускорения, символом a , вектор силы - F . Модуль вектора обозначается следующим образом: или - модуль вектора , а или - модуль вектора a , F или - модуль вектора F . Векторные величины в физике (в отличии от математики) подразделяются на приложенные (или связанные), скользящие и свободные. Если векторная величина определяется численной мерой, направлением и точкой приложения, то она называется приложенной. 53 Например, скорость слоёв жидкости в сечении, при её ламинарном течении, характеризуется приложенным вектором скорости. Его нельзя произвольно переносить из одной точки пространства в другую. Если векторная величина определяется численной мерой, направлением и прямой линией вдоль которой отложен вектор, то она называется скользящей. Примером, может служить сила, приложенная к твёрдому телу, под действием которой оно испытывает поступательное движение. Точку приложения силы, можно переносить вдоль линии действия, но нельзя смещать с этой линии. Если векторная величина определяется численной мерой и направлением (точка приложения и линия действия значения не имеют), то она называется свободной. При поступательном движении, все точки абсолютно твёрдого тела, имеют одинаковую по величине и направлению скорость. Поэтому вектор скорости можно отложить от любой его точки и при необходимости перенести в любую другую. 7.1. Элементы векторного исчисления. Основные операции над векторами. Над векторами можно проводить различные математические действия. Будем обозначать вектор одной буквой со стрелкой над ней, например, a , а модуль этого вектора - той же буквой, только без стрелки над ней, то есть a. Модуль вектора a , так же, часто обозначается а . На рисунке (графически) вектор изображается направленным отрезком прямой линии (рис.1), отложенным от произвольной точки. Модуль вектора равен длине направленного отрезка в заданном масштабе. 54 Рис. 1. Графическое изображение вектора Вектор равен нулю, если его модуль равен нулю. Такой вектор называется нулевым. Два вектора a и b называются равными, если: 1) равны их модули, 2) они параллельны и 3) направлены в одну и ту же сторону. Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору a , обозначается как a (минус a ). но противоположно правилу параллелограмма или по правилу треугольника. Пусть заданы два вектора a и b найдем сумму этих векторов a b c . Величины a и b - это составляющие векторы, вектор c - это результирующий вектор. Сложить два вектора, можно геометрически по Правило параллелограмма для сложения двух векторов. 1. Нарисуем вектор a . 2. Нарисуем вектор b так, что его начало совпадает с началом вектора a . Угол между векторами равен (см. рисунок). 3. Через конец вектора a проведем прямую линию, параллельную вектору b . 4. Через конец вектора b проведем прямую линию, параллельную вектору a . Мы построили параллелограмм. Стороны этого параллелограмма – составляющие векторы a и b . 5. Проведем диагональ параллелограмма из общей точки начала вектора a и начала вектора b . 6. Модуль результирующего вектора c равен длине диагонали параллелограмма и определяется по формуле c a 2 b 2 2ab cos 55 Начало вектора c совпадает с началом вектора a и началом вектора b (направление вектора c показано на рисунке). Правило треугольника для сложения двух векторов. 1. Нарисуем составляющие векторы a и b так, что начало вектора b совпадает с концом вектора a . При этом угол между векторами равен . 2. Результирующий вектор c направлен так, что его начало совпадает с началом вектора a , а конец совпадает с концом вектора b . 3. Модуль результирующего вектора находим по формуле (теорема косинусов) c a 2 b 2 2ab cos Сумму нескольких векторов, например a , b , c и d , строят следующим образом. Берут произвольную точку O плоскости и от нее строят вектор OA , равный вектору a , из точки A проводят вектор AB , равный вектору b , из точки B – вектор BC , равный вектору c и, наконец, из точки C строят вектор CD , равный вектору d . Вектор OD , замыкающий полученную ломаную линию OABCD, и будет суммой векторов a , b , c и d (см. рисунок ниже) OD a b c d . По такому же правилу строится и сумма любого произвольного числа векторов. 56 Вычитание векторов – это действие, обратное сложению a b a (b ) Найти разность вектора a и вектора b - это то же самое, что найти сумму вектора a и вектора b , противоположного вектору b . Мы можем найти вектор разности геометрически по правилу параллелограмма или по правилу треугольника Правило треугольника. Вектор разности d соединяет конец вектора a и конец вектора b (начало вектора d совпадает с концом вектора b ) d a b Модуль результирующего вектора d определяется по формуле d a 2 b 2 2ab cos . Вектор можно умножать и делить на скалярную величину. Произведением вектора a и скаляра называется новый вектор c , который имеет: 1) модуль, равный произведению модуля умножаемого вектора на абсолютную величину скаляра c a ; 2) направление одинаковое с умножаемым вектором a , если 0 , и противоположное вектору a , если 0 . Деление вектора a на скаляр определяется как умножение этого a 1 вектора на величину обратную скаляру a . 57 Орт – единичный вектор, задающий направление произвольного вектора a , определяется как отношение вектора к модулю этого же вектора a ea . Тогда a a ea . a 7.1.1. Векторы в декартовой системе координат Векторная форма записи физических уравнений справедлива в любой координатной системе. Наиболее часто используемой является прямоугольная, декартова система координат. Декартова система координат определяется, заданием правой тройки взаимно перпендикулярных единичных векторов (базисом) i , j , k . Эти векторы называются единичными ортами соответствующих осей: i - оси ОХ, j - оси ОY, k - оси ОZ. Любой произвольный вектор a можно разложить по базису a ax i a y j az k (1) В выражении (2) a x , a y , a z – проекции вектора a на соответствующие координатные оси. Проекция (скалярная проекция) произвольного вектора a на ось декартовой системы координат определяется как произведение модуля вектора на косинус угла между вектором и единичным вектором соответствующей оси ax a cos (2) a y a cos az a cos где - угол между ортом оси ОХ и вектором a , - угол между ортом оси ОY и вектором a , - угол между ортом оси ОZ и вектором a . Если угол между вектором и осью острый – проекция на эту ось положительная, если угол тупой – отрицательная 58 Векторная проекция произвольного вектора a на ось декартовой системы координат равна, произведению соответствующего орта оси на скалярную проекцию вектора на соответствующую ось ax ax i ay a y j az az k (3) Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле a a x2 a y2 a z2 (4) Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций. Тогда углы, образуемые вектором a с координатными осями Ox, Oy и Oz, определяются как cos ax ax a ax2 a 2y az2 cos az az a ax2 a 2y az2 cos ay a (5) ay ax2 a 2y az2 Косинусы углов, определяемые по этим формулам, принято называть направляющими косинусами вектора a . Для направляющих косинусов вектора справедливо выражение cos 2 cos 2 cos 2 1 (6) Сумма квадратов косинусов углов, образуемых вектором с тремя взаимно перпендикулярными осями, равна единице. 59 Вектор равен нулю, если все три его проекции равны нулю. Если векторы a1 и a2 равны, то равны и их проекции a1x = a2x, a1y = a2y, a1z = a2z (7) Если для вектора a известны координаты его начала A(x1, y1, z1) и координаты его конца B(x2, y2, z2), то проекции вектора a на координатные оси определяются следующими соотношениями ax = x2 - x1, ay = y2 - y1, az = z2 - z1 (8) Модуль вектора в этом случае определится по формуле a ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 (9) Очевидно, что по данной формуле следует вычислять и расстояние между точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2). Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций этих векторов на ту же ось. От векторного равенства a a1 a 2 a3 a n , можно перейти к трём скалярным равенствам, записанным в проекциях на соответствующие оси координат ax = a1x + a2x + a3x + ... + anx ay = a1y + a2y +a3y + ... + any (10) az = a1z + a2z + a3z + ... + anz Тогда, если вернуться к процедуре сложения и вычитания векторов a ax i a y j az k b bx i by j bz k (11) получим a b ( a x b x )i ( a y b y ) j ( a z b z ) k (12) Радиус-вектор – вектор, проведённый из начала координат О в рассматриваемую точку 60 Z r M Y 0 X r ОМ , r x i y j z k . 7.1.2. Произведение двух векторов. Скалярное и векторное произведение двух векторов Возможны две операции умножения двух векторов. Одна в результате даёт скаляр, поэтому получила название скалярного умножения. Вторая – вектор, и называется векторным умножением. Скалярным произведением двух векторов а и b произведение их модулей на косинус угла между ними. произведение векторов а и b обозначается символом a b , или обозначить угол между векторами а и b через , то для называется Скалярное (a , b ) . Если скалярного произведения справедливо выражение a , b a b cos (1) Рассмотрим несколько важных следствий этого произведения. 1) В скалярном произведении можно менять порядок сомножителей. От этого оно не меняется. Говорят что скалярное произведение коммутативно a, b b , a (2) 61 2) Для скалярного произведения справедлив закон сочетательности относительно скалярного множителя a, b a, b (3) 2) Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, так как cos cos 0 . Следовательно, условием ортогональности 2 двух векторов может быть равенство нулю их скалярного произведения. 3) Скалярное произведение вектора на себя (сам вектор), получило название скалярного квадрата вектора a 2 a , a a a cos 0 a 2 (4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. 4) Выражение скалярного произведения через проекции векторов. Если заданы два вектора а и b a ax i a y j az k b bx i by j bz k (5) то их скалярное произведение вычисляется следующим образом a , b (ax i a y j az k ),(bx i by j bz k ) ax i , bx i ax i , by j ax i , bz k a y j , bx i a y j , by j a y j , bz k az k , bx i az k , by j az k , bz k ax bx i , i axby i , j axbz i , k a y bx j , i a y by j , j a y bz j , k az bx k , i az by k , j az bz k , k 62 (6) Учитывая в последнем выражении (6), тот факт, что скалярное произведение орта самого на себя равно единице, а скалярное произведение двух различных ортов равно нулю (поскольку они ортогональны) i , i 1, j , j 1, k , k 1 i , j 0, i , k 0, j , k 0 получим (7) a , b axbx a y by az bz (8) Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих проекций. В частности, из выражения (8), следует, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его проекций a 2 2 2 2 a , a a 2 a x ax a y a y az az ax a y a z (9) Следовательно, для нахождения модуля вектора, необходимо извлечь корень квадратный из суммы квадратов его проекций 2 2 a a x a y az 2 (10) Косинус угла между векторами (5), с учётом (8) определяется по формуле сos a x bx a y by a z bz (11) ab Если векторы а и b перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и тогда a x bx a y by a z bz 0 (12) Векторным произведением двух векторов a и b (обозначают a b или a , b ) называют третий вектор c b a 63 c ( a , b c ), который: 1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах a , b a b sin (13) 2) направление перпендикулярное к плоскости, в которой лежат перемножаемые вектора в ту сторону, откуда наименьший поворот первого сомножителя, совмещающий его направление с направлением второго сомножителя, виден происходящим против хода часовой стрелки. Дополнительно заметим, что направление вектора c можно определить известным мнемоническим правилом правого винта (или буравчика). Если правый винт (винт с правой резьбой) вращать в направлении кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым, то направление поступательного движения винта совпадает с направлением вектора c . Приведём несколько важных следствий векторного произведения. 1)При перестановке местами сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный, то есть векторное произведение не коммутативно (антикоммутативно) a , b b , a (14) Векторное произведение не обладает свойством переместительности. 2)Векторное произведение равно нулю, когда хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю или когда эти векторы коллиниарны. 3)Векторное произведение единичных векторов (ортов) равно i , i j , j k , k 0 i , j k , j , k i , k , i j j , i k , k , j i , i , k j 4) Выражение векторного произведения в координатной форме Пусть заданы векторы 64 (15) a ax i a y j az k b bx i by j bz k (16) Результат их векторного произведения может быть получен следующим образом a , b a y i a y j a z k , bx i b y j bz k a x bx i , i a x b y i , j a x bz i , k a y bx j , i a y b y j , j a y bz j , k a z bx k , i a z b y k , j a z bz k , k ( a y bz a z b y ) i ( a z bx a x bz ) j ( a x b y a y bx ) k (17) Результат, полученный в (17) можно представить в виде определителя третьего порядка i j k a , b ax a y az bx by bz (18) Как видно из (17), проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам a , b a y bz az by x a , b az bx ax bz y a , b axby a y bx z (19) Тогда, модуль векторного произведения, связан с проекциями своих векторных сомножителей следующим выражением a , b (a y bz az by ) 2 (az bx ax bz )2 (axby a y bx ) 2 7.1.3. Произведение трёх векторов. 65 (20) Простейшее, двойное векторное (векторно-векторное) и смешанное (векторно-скалярное) произведение трёх векторов Если перемножить два вектора а и b скалярно и полученный результат (скаляр) умножить на третий вектор c , то получиться новый вектор, называемый простейшим произведением трёх векторов a , b c . Подчеркнём, что в результате получается вектор, коллинеарный с третьим вектором c , который стоит за знаком скалярного умножения. Следовательно, если в общем случае перемножаемые вектора неколлинеарные, то простейшее произведение трёх векторов не подчиняется закону сочетательности a b , c a, b c (1) Если вектор а , векторно умножить на векторное произведение двух других векторов b и c , то в результате получиться вектор, называемый векторно-векторным векторов. или Обозначается двойным такое векторным произведение a b c . произведением или трёх a, b , c , или Полезно запомнить следующее правило, позволяющее разложить векторно-векторное произведение трёх векторов. Векторно-векторное произведение трёх векторов равно среднему вектору, умноженному на скалярное произведение крайних, минус тот крайний вектор, который заключён в скобки, умноженный на скалярное произведение двух остальных векторов a, b , c b a, c c a, b (2) Выражение (2), при такой (!) последовательности векторов в левой его части, даёт хорошо известное мнемоническое правило: «bac» минус «cab». Заметим, что векторно-векторное произведение не подчиняется закону сочетательности 66 a, b , c a, b , c (3) Если перемножить два вектора а и b векторно и полученный вектор умножить скалярно на третий вектор c , то в результате получиться скаляр, называемый векторно-скалярным или смешанным произведением трёх векторов. Это произведение принято обозначать a , b c или Векторно-скалярное произведение ab c . подчиняется закону сочетательности. Векторно-скалярное произведение трёх векторов не зависит от группировки множителей a , b c a b , c (4) Для смешанного произведения справедлив закон переместительности, согласно которому при перестановке множителей, не нарушающей их кругового порядка, векторно-скалярное произведение не меняется; при перестановке же множителей, нарушающей круговой порядок, векторноскалярное произведение меняет только свой знак a , b c b , a c b , c a c , b a c , a b a, c b (5) Векторно-скалярное произведение трёх векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы компланарны (лежат в одной плоскости). 7.1.4. Переменные векторы, зависящие от скалярного аргумента. Дифференцирование вектора по скалярному аргументу. Правила дифференцирования векторных функций Векторная функция скалярного аргумента, определяется аналогично скалярной функции скалярного аргумента и представляет собой переменный вектор, зависящий от скалярного аргумента. 67 Если каждому допустимому численному значению скалярной переменной величины t соответствует определённый вектор а , то говорят, что вектор а есть функция скалярного аргумента t а а (t ) (1) При изменении t , вектор а может изменяться как по модулю, так и по направлению. Проекции вектора а , так же являются функциями скалярного аргумента t . Следовательно а (t ) аx (t ) i а y (t ) j аz (t ) k (2) Часто, для сокращения записи векторной функции, аргумент t в проекциях, опускают а (t ) а x i а y j а z k . Рассмотрим операции, связанные с переменными векторами. Начнем с рассмотрения того случая, когда независимой переменной является скалярный аргумент t. Например, в механике, чаще всего, таким скалярным аргументом является время. Пусть задан вектор a (t ) , изменяющийся вместе с t и представляющий некоторую функцию времени t. Будем всегда предполагать a (t ) непрерывной функцией времени t, то есть, считать, что для двух соседних значений аргумента t и t t , разность a (t t ) a (t ) может быть сделана сколь угодно малой при достаточно малом t . В этом случае говорят так же, что a (t ) есть предел a(t t) при t стремящемся к нулю. Записывают это следующим образом a (t ) lim a (t t ) t 0 (3) Определим понятие производной вектора a (t ) . Возьмем два соседних значения аргумента t и t t , найдем соответствующие им значения вектора a (t ) и a (t t ) , составим приращение вектора а a a (t t ) a (t ) (4) Составим предел отношения приращения векторной функции (4) к приращению её аргумента t 68 a a (t t ) a (t ) lim lim t 0 t t 0 t (5) Если этот предел существует, то его называют производной вектора da (t ) a (t ) и обозначают dt a (t ) . Таким образом, производная или векторной функции (вектор - функции) a a (t ) по скалярному аргументу t называется новая вектор-функция, определяемая как a (t t ) a (t ) da lim dt t 0 t (6) Процесс нахождения производной векторной функции по скалярному аргументу называется дифференцированием векторной функции по скалярному аргументу. Поскольку производная вектора a (t ) есть в свою очередь вектор, зависящий от скалярного аргумента t , поэтому от него можно взять ещё производную. Эта производная называется второй производной вектора a (t ) d 2 a (t ) и обозначается . Заметим, что будем предполагать все производные, о dt 2 которых идет речь, существующими и непрерывными. Введём обозначения используемых векторных функций a a (t ), b b (t ) и сформулируем основные правила дифференцирования векторных функций скалярного аргумента: 1. Производная от постоянного вектора a равна нулю da 0 dt (7) 2. Производная суммы векторов равна сумме производных слагаемых d da db a b dt dt dt (8) 69 3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной ( m const ) d da m a m dt dt (9) 4. Если m скалярная функция скалярного аргумента t , m m(t ) , то справедлива формула дифференцирования произведения d da dm m a m a dt dt dt (10) 5. Производная от скалярного произведения d db da a, b a, b , dt dt dt (11) 6. Производная от векторного произведения db da d a,b a, dt , b dt dt (12) Относительно последней формулы (12) напомним, что порядок сомножителей в векторном произведении произвольно менять нельзя. 7.2. Элементы интегрального исчисления. Первообразная. Интеграл. Интегрирование. Первообразной для функции f (x) на некотором интервале называется такая функция F (x) , производная которой равна этой функции f (x) для всех x из указанного интервала F ( x) f ( x) (1) Понятие первообразной легко уяснить из приведённого ниже примера. Возьмем функцию y x 4 . Как известно, производной от x 4 является 4x 3 . Символически это записывается как ( x 4 ) 4 x 3 . Следовательно, из функции y x 4 мы получаем новую функцию y 4x 3 . Образно говоря, функция 70 y x 4 произвела функцию y 4x 3 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие первообразная. То есть функция F ( x 4 ) является первообразной для функции f (4 x 3 ) . Сформулируем правила и формулы для первообразной: 1. Если F (x) - первообразная для f (x) , а G (x) - первообразная для g (x) , то для f ( x ) g ( x) первообразная будет равна F ( x) G ( x) , то есть, первообразная суммы равна сумме первообразных. 2. Если F (x) первообразная для f (x) и с – константа, то для сf (x) первообразной будет сF (x) . 3. Если F (x) является первообразной для функции f (x) и k, m постоянные, причем k 0 , то для функции является функция f (kx m) первообразной 1 F (kx m) . k 4. Если F (x) является первообразной для функции f (x) , то функция f (x) имеет бесконечное множество первообразных, имеющих вид: F ( x) С (С - некоторая константа). Формулы для нахождения первообразных элементарных функций: Функция f (x) Первообразная F (x) 0 C k kx C (постоянная) x n ( n 1) x n 1 C n 1 1 x ln | x | C ex ex C 71 ax ax C ln a sin x cos x C cos x sin x C 1 sin 2 x ctg x C 1 cos 2 x tg x C Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Интегрирование – это процесс нахождения функции по заданной производной. Операция интегрирования является обратной для операции дифференцирования. Так как задача нахождения первообразной имеет бесчисленное множество решений, то этот факт нашел отражение в определении неопределенного интеграла. Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается через символ (называется знаком интеграла), а f (x) – подынтегральной функцией. Это записывается в виде f ( x) dx F ( x) C (2) где С – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования. Достаточным (но вовсе не необходимым!) условием существования неопределенного интеграла от функции f (x) служит ее непрерывность. Определенным интегралом от a до b непрерывной функции f (x) , определенной на интервале [a;b], называется приращение первообразной F (x) для этой функции, то есть b f ( x) dx F ( x) b a (3) F (b) F (a ) a 72 где F (x) - любая первообразная для подынтегральной функции. Выражение (3) называется формулой Ньютона-Лейбница и, по-существу, представляет связь неопределенного и определенного интегралов. Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Интеграл – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным, а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени. Само понятие интеграл ввел Я. Бернулли (1690 г.). Оно происходит от латинского integero, переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. В заключении обсудим вопрос о применении определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур. Если функция f (x) непрерывна и b положительна на интервале [a, b], то интеграл f ( x) dx представляет собой a площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) Тогда площадь криволинейной трапеции можно определить по формуле b (4) S кр. тр. f ( x) dx a В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла и на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур. 73 Рассмотрим следующий пример. Пусть точка движется с постоянной по модулю скоростью о . Графиком скорости в системе координат ( , t ) будет прямая о , параллельная оси t. Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле s o t . Эта величина представляет собой площадь прямоугольника, ограниченного графиком функции о , осью абсцисс t , осью ординат и параллельной оси ординат прямой. Таким образом, путь, пройденный точкой равен площади под графиком, а интеграл от модуля скорости равен пути t S (t ) (t )dt (5) 0 Стоит заметить, что нахождение пути по скорости является физическим смыслом определенного интеграла. Если движение неравномерное, то скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени [t, t+dt]. Если модуль скорость меняется по закону (t ) , то путь, пройденный за отрезок времени [t, t+dt] выразится произведением (t ) dt . На графике это площадь прямоугольника со сторонами (t ) и dt . Точное значение пути за отрезок времени [t, t+dt] равно площади криволинейной трапеции, закрашенной на рисунке 74 Весь путь, пройденный за отрезок времени от t1 до t2 получится сложением площадей таких криволинейных трапеций и выразится, как площадь под графиком непрерывной функции (t ) t2 S (t ) (t )dt (6) t1 Таким образом, геометрический смысл операции интегрирования определение площади между графиком интегрируемой функции и осью аргумента, а также вычисление площадей плоских фигур (интегрирование функций одного аргумента) и объёмов геометрических тел (интегрирование функций двух аргументов по обоим аргументам). Физический смысл интегрирования - определение общего результата протекания какого-либо процесса, описываемого интегрируемой функцией. 75 ЧАСТЬ ВТОРАЯ МЕХАНИКА __________________________________________________________________ 8. Механика. Механическое движение. Классическая механика. Выше, мы отмечали тот факт, что физика – наука, изучающая общие свойства материального мира. Человеческий опыт показывает, что неотъемлемым свойством материи – формой ее существования – является движение. В широком смысле под движением понимают любое изменение материи (электризация, нагревание, изменение формы, цвета, химическое, биологическое и так далее). Наиболее простым из них является механическое движение. Определение механики как науки. Механика – наука об общих законах механического движения тел. Определение механического движения. Под механическим движением понимают любое изменение положения тел в пространстве с течением времени относительно других тел. Как известно, тела, которые состоят из огромного числа атомов и молекул, называются макроскопическими. Законы механики макроскопических тел были открыты английским ученым Исааком Ньютоном и сформулированы в его знаменитом труде «Математические начала натуральной философии» в 1686 году. Определение классической механики. Механика, основанная на законах Ньютона, называется классической механикой. Далее просто будем называть механикой. Создание квантовой физики и общей теории относительности позволили сделать вывод о том, что классическая механика ограничена в своем применении, то есть имеет границы применимости. 8.1. Границы применимости классической механики Поскольку строении представления материи, свойствах классической пространства 76 механики и времени о движении, исторически обусловлено временем их формирования, то законы классической механики не являются истиной в последней инстанции. В строгом смысле слова они не верны, точнее, верны приближённо, верны в определённых рамках ограничений. Обозначим границы применимости классической механики. Их три. Законы классической механики оказываются неприменимыми для описания движения микрочастиц, движения макроскопических тел со скоростями порядка скорости света, движения тел в областях пространства, близких к массивным телам. Подробно рассмотрим каждое из этих ограничений. 1. Тела должны быть макроскопическими. Таким признаком «макроскопичности» является физическая величина, получившая название – действия S . Для макроскопических систем действие S должно быть во много раз больше минимальной его порции (кванта действия, который определяется постоянной Планка h 6, 62 1034 Дж c ). За пределами этой области механическое движение описывается законами квантовой механики. Следовательно Sh Примером (1) макроскопического тела (системы), поведение которого подчиняется законам классической механики, является физический маятник (например, груз на нити). Простым расчётом можно показать для этой системы справедливость выражения (1), достаточно вычислить произведение средней энергии и характерного времени (периода) рассматриваемой системы. 2. Модуль скорости движения тел и систем отсчёта , в которых оно изучается, должен быть мал по сравнению со скоростью света c ( c 3 108 м ) с в вакууме c , что принято обозначать параметром 2 1 c2 (2) 3. Область пространства, в которой исследуется механическое движение, должна находиться далеко от массивных тел, вносящих 77 существенное искажение своей гравитацией в геометрические свойства пространства-времени (факт четырёхмерности нашего мира). Например, световой луч испытывает существенное отклонение от прямолинейного распространения в гигантском поле тяготения массивных объектов – «чёрных дыр». Траектория его движения представляет окружность или даже свёртывающуюся спираль. Экспериментальным фактом, является явление незначительного отклонения света идущего от звёзды вблизи Солнца. Математически это ограничение выражается соотношением rg L 1, (3) где L - расстояние области, в которой изучается механическое движение тел от массивного тела; rg - гравитационный радиус, определяющийся только массой тела rg 2 m , c2 где 6, 67 1011 (4) Н м2 - гравитационная постоянная. кг 2 Определение массивного тела. Тела называются массивными в том случае, если их геометрические размеры (радиус R ) сравнимы (то есть меньше или порядка) с их гравитационным радиусом rg (5) R rg В этой связи, предлагаем читателям самостоятельно ответить на вопрос, является ли в полной мере наше Солнце массивным телом? Напомним, что радиус Солнца составляет R 696000 км , его масса M 1,99 1033 г . 8.2. О формулировке законов механики Чтобы научиться описывать движение любых тел в любых условиях, надо знать общие законы механического движения. Опыт показывает, что размеры и форма тел сильно влияют на их движение. 78 В связи с этим возникает вопрос: можно ли сформулировать общие законы движения тел? Но как учесть все бесконечное многообразие форм и размеров существующих тел, с помощью конечного числа величин, входящих в закон. Это принципиальное затруднение решается путем отказа от формулировки законов движения тел и формулировки их для воображаемых идеальных объектов. Таким объектом, не имеющим формы и размера, является материальная точка. Определение материальной точки. Материальная точка – это геометрическая точка, которой мы приписываем массу. Основные законы классической механики формулируются для материальных точек, а не для тел. Эти законы мы будем изучать несколько позже. Сейчас же, попробуем сформулировать общий подход описания движения тел. С помощью этих законов движение любого тела описывается следующим образом: тела мысленно разбивают на отдельные элементы и заменяют их материальными точками. При этом мы сплошное тело заменим его моделью – системой материальных точек. Применяя законы Ньютона к каждой материальной точке, описывают движение полученной модели. Увеличивая число элементов, а следовательно и материальных точек, мы каждый раз будем получать модель, которая все меньше и меньше отличается от исходного тела. Повторяя этот процесс построения все более точных моделей неограниченное число раз, мы придем к сплошному телу, то есть опишем движение каждой точки тела, а, следовательно, и тела в целом. 79 Приведенным выше способом основные законы механики, не относящиеся ни к одному конкретному телу можно применять к описанию движения любых тел. Описать движение тела, значит описать движение каждой его точки. Гениальность Ньютона состоит в том, что он первым понял, как можно «лишить» тело формы и не потерять информацию о теле в целом. Так как основные законы классической механики сформулированы для материальных точек, то, следовательно, ни один из законов Ньютона не может быть непосредственно проверен на опыте. Возникает вопрос, как убедиться в справедливости этих законов? Как не парадоксально, ответить на этот вопрос можно только с помощью наблюдений и опыта. Другого способа нет. Если основные законы физики справедливы, то все следствия, полученные из них в области применения этих законов, должны подтверждаться опытом. Примером этому служат законы Ньютона, которыми пользуется человечество уже на протяжении более чем трех столетий. 8.3. Пространство и время в классической механике Механическое движение происходит в пространстве с течением времени. Развитие представлений о пространстве и времени имеет достаточно большую историю. В силу важности этих понятий для классической физики, коснемся их основных свойств. Как известно, пространство и время – философские категории, выражающие всеобщие формы существования материи. Определение пространства. Пространство – форма существования материальных объектов и процессов (характеризует структурность и протяженность материальной системы). В классической механике допускают, что пространство обладает следующими свойствами: оно однородно, изотропно, евклидово, безгранично, непрерывно (единство прерывности и непрерывности). Однородность пространства понимается как свойство, при котором каждая точка пространства не отличается от любой другой, то есть, все 80 геометрические соотношения между любыми геометрическими объектами совершенно одинаковы в любой области пространства. Изотропность пространства означает, что свойства пространства по различным направлениям одинаковы. Евклидово пространство подчиняется геометрической системе аксиом Евклида (III в. до н.э., древнегреческий ученый). Эта система содержит 20 аксиом, распределённых по пяти группам. Один из элементов системы – невозможность пересечения двух параллельных прямых. Свойство безграничности пространства предполагает, что пространство не имеет границ. Пространство непрерывно (единство прерывности и непрерывности), означает, что пространство представляется в виде совокупности точек (прерывность) непрерывно следующих друг за другом (непрерывность), то есть, отстоящих друг относительно друга на бесконечно малое расстояние. Последнее свойство позволяет в особых случаях приписать произвольной точке пространства определенный адрес, как говорят, арифметизировать пространство (каждой точке пространства поставить в соответствие число или координаты). Пространство, при таком подходе, обладает свойствами абсолютно твёрдого тела – расстояние между точками пространства не изменяется ни при каких условиях. Напомним, что процедура соотнесения точкам пространства соответствующих чисел называется арифметизацией пространства. Чтобы описать движение материальных точек и твердых тел необходимо условиться о способе задания положения точек. Современная физика говорит о пространстве, как о квантуемой величине. Квант пространства, величина ~10-30м. Определение времени. Время – форма последовательной смены явлений и состояния материи (характеризует длительность события). В классической механике допускается, что время следующими свойствами: оно однородно, равномерно, непрерывно. 81 обладает Однородность времени понимается как одинаковость развития и изменения конкретной физической ситуации независимо от того, в какой момент времени эта ситуация сложилась. Другими словами, при одинаковых условиях, одни и те же явления (в том числе эксперимент) в различные промежутки времени, происходят во времени одинаково. Равномерность времени означает, что в различных временных участках, время протекает одинаково равномерно. Время течёт одинаково быстро. Непрерывность времени означает, что время представляется в виде совокупности временных точек или событий (прерывность), непрерывно следующих друг за другом (непрерывность), то есть находящихся друг от друга на бесконечно-малом временном расстоянии. Это обстоятельство позволяет нам приписывать какому-либо выбранному моменту времени определённое число и говорить о событии, о прошлом, настоящем и будущем, о стреле времени. Необходимо заметить, что событие в ньютоновой механики, характеризуется как пространственной координатой, так и временем, причём эти характеристики незасимы друг от друга. Говорят, что событие происходит в пространстве с течением времени. Современная физика вводит представления о кванте времени, величина которого ~10-40с. Пространство и время, обладающие такими свойствами, получили название абсолютного пространства и времени (в смысле их полной независимости от движущейся материи). Необходимо отметить, что современные представления о пространстве и времени значительно отличаются от классических представлений. Теория относительности устанавливает неразрывную связь свойства пространства и времени, с происходящими в них материальными процессами. 82 8.4. КИНЕМАТИКА По характеру решаемых задач, в механике можно выделить два больших раздела: кинематика и динамика. Рассмотрим последовательно каждый из них. Определение кинематики. Кинематика – это вспомогательный раздел механики, изучающий геометрическую сторону движения тел безотносительно к причинам, вызвавшим изменение движения. 8.4.1. Описание движения тел. Система отсчета Для того чтобы иметь полную информацию о движении тела, надо знать, как движется каждая его точка, то есть знать информацию о положении, скорости, ускорении и траектории точки в любой момент времени. Более того, хорошо известно, что движение одного и того же тела выглядит по-разному, для различных наблюдателей. Например, движение лодки относительно наблюдателя, находящегося на берегу и наблюдателя сидящего в лодке. По отношению к одному она движется, по отношению к другому, она находится в покое (к тому же, как ему кажется, от него с лодкой, движется берег). Это различие в движении зависит не от индивидуальных свойств наблюдателей, а только от того, с какими телами они связаны. Изучая движение тел, мы обязательно должны указать, относительно какого тела это движение рассматривается. Определение тела отсчёта. Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчета. Чтобы определить положение точки относительно выбранного тела отсчета, надо связать с ним систему координат. Система координат позволяет математически описать положение различных точек тела в пространстве в любой момент времени. При этом под координатой точки тела надо понимать координату соответствующей точки пространства, определенного 83 системой координат, с которой в данный момент времени совпадает интересующая нас точка тела. Необходимо подчеркнуть, что в физике преимущественно правая система координат. используется Время измеряют с помощью часов. Определение системы отсчёта. Совокупность тела отсчета и связанных с ним системы координат и часов называют системой отсчета. Z Y 0 X Выше отмечалось, что мы сможем описать движение тел, если научимся описывать движение точки. Приступим к изучению такого описания. 8.5. Кинематика точки Движение точки считается известным, если известно ее положение в любой момент времени. Напомним, что геометрическая линия, по которой движется точка, называется траекторией. Длина траектории определяет путь совершенной точкой. В зависимости от формы траектории движение точки может быть как прямолинейным, так и криволинейным. 8.5.1. Способы описания движения точки. 84 Существует несколько способов описания движения точки или, что то же самое, задания движения точки. 1. Координатный способ Будем задавать положение точки М с помощью декартовых координат x, y, z . Z M ( x, y, z ) Y 0 X Если точка движется, то ее координаты с течением времени изменяются. Следовательно, координаты являются функциями времени x x (t ) y y (t ) z z (t ) (1) (1) – кинематические уравнения движения точки в координатной форме. Эти функции должны обладать следующими свойствами: непрерывны, однозначны, дважды дифференцируемы. 2. Векторный способ Положение точки М можно задать с помощью радиус-вектора r . Определение радиус-вектора. Радиус-вектор – это направленный отрезок, проведенный из начала координат в данную точку. 85 Z M r Y 0 X При движении точки радиус-вектор изменяется (изменяется его модуль и направление) с течением времени, то есть, является тоже функцией времени r r (t ) (2) (2) - кинематическое уравнение движения точки, записанное в векторной форме. Эта функция должна удовлетворять следующим свойствам: непрерывная, однозначная, дважды дифференцируемая. Как известно r (t ) можно представить r (t ) x(t ) i y (t ) j z (t ) k (3) Из (3) видно, что задание трех скалярных уравнений равносильно заданию одного векторного уравнения. В этом есть свои преимущества, поскольку в сжатом виде представлено максимум информации, то есть, векторный способ является более информативным. 3. Естественный способ В тех случаях, когда траектория точки заранее известна, ее движение можно задать одним скалярным уравнением (например, прямолинейное движение точки, движение точки по окружности). Для этого на траектории произвольно выбирают: 1) Начало отсчета (точка О) натуральной) S; 86 естественной координаты (или 2) Направление обхода (указывают стрелкой на траектории), которое принимают условно за положительное. Причём, в зависимости от этого координата S может быть либо положительной, либо отрицательной величиной S=-l 0 S=l С течением времени координата S изменяется, то есть, является функцией времени (4) S S (t ) (4) – кинематическое уравнение движения точки, записанное при естественном способе описания движения. Эта функция так же должна обладать свойствами непрерывности, однозначности, дважды дифференцируемости. Преимущество этого способа перед другими, очевидно, заключается в том, что вводится одна скалярная величина, с помощью которой описывается движение (напомним, что однозначное определение положения возможно благодаря выбранному направлению обхода). Однако связь с основными кинематическими характеристиками (скорость, ускорение) при этом способе задания движения является достаточно сложной. Уравнение движения является основой для ответа на вопрос о том, по какой геометрической линии движется точка. Чтобы получить уравнение траектории надо из кинематического уравнения движения исключить время. 8.5.2. Перемещение. Мгновенная скорость точки 87 Основными кинематическими характеристиками движения точки являются скорость и ускорение точки. Понятие ускорение точки будет определено ниже, а сейчас вспомним, что же понимают под скоростью точки и посмотрим, как она определяется при различных способах задания движения. Пусть в момент времени t движущаяся произвольным образом (криволинейно и неравномерно) точка занимала положение М, а спустя промежуток времени t от этого момента – положение М1. Z M ср r M1 0 Y X В этом случае говорят, что точка совершила в течение времени t перемещение r . Определение вектора перемещения точки. Направленный отрезок, проведенный из начального положения точки в ее конечное положение, называется вектором перемещения или просто перемещением этой точки. Перемещение – величина векторная, следовательно, характеризуется направлением и модулем. Поделив r на промежуток времени t , получим вектор направленный так же, как и вектор r . Это отношение, как известно, принято называть средней скоростью неравномерного движения точки за время t , и обозначать ср . 88 r ср t (1) Более строго, под средней скоростью неравномерного движения точки ср , понимают скорость такого равномерного прямолинейного движения, с которой должна бы двигаться интересующая нас точка, чтобы за время t попасть из начального в конечное положение. Напомним, что движение точки называется равномерным, если она за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути. При уменьшении промежутка времени t , перемещение точки изменяется как по модулю, так и по направлению. Следовательно, меняется и средняя скорость точки. В механике постулируется, что отношение r по мере t приближения промежутка t к нулю стремится к конечной величине – определенному вектору, как к своему предельному значению. Эту величину принято называть мгновенной скоростью точки в данный момент времени или просто скоростью точки и обозначать . Определение мгновенной скорости точки. Мгновенной скоростью называется предел отношения перемещения точки r к промежутку t в течение которого это перемещение произошло, при стремлении t к нулю. Математически это выражается следующим образом r lim t 0 t (2) Выясним вопрос о направлении скорости. В любой точке траектории вектор мгновенной скорости направлен так же, как в пределе при стремлении t 0 направлен вектор перемещения r , а он направлен по касательной. Следовательно, мгновенная скорость направлена по касательной к траектории , в сторону движения точки. 8.5.3. Скорость точки при различных способах задания движения Рассмотрим, как определяется скорость точки при различных способах задания её движения. 89 1. Векторный способ В этом случае кинематическое уравнение движения точки имеет вид r r (t ) . Z M r M1 r (t ) r (t t ) 0 Y X Поскольку r есть функция времени, то с течением времени, радиус-вектор меняет свое положение. Пусть в момент времени t точка занимала положение М, а в момент времени t t положение М1, что характеризуется соответственно радиус-векторами r (t ) и r (t t ) . Тогда, перемещение точки r связано с соответствующими радиус-векторами следующим соотношением r r (t t ) r (t ) (1) Воспользовавшись определением скорости, можно записать, что r (t t ) r (t ) dr lim t 0 t dt (2) Предел в выражении (2), определяет производную векторной функции r (t ) . Поскольку вычисления были проведены для точки М, заданной произвольно, следовательно, вывод справедлив для любой другой точки. Определение скорости при векторном способе задания точки. 90 движения Вектор скорости точки равен первой производной по времени от ее радиус-вектора dr dt (3) 2. Координатный способ В этом случае движение точки задаётся тремя уравнениями x x (t ) y y (t ) z z (t ) (4) Положение произвольной точки с известными координатами в любой момент времени можно представить с помощью радиус-вектора r xi y j z k (5) Найдем производную от радиус-вектора r (t ) по времени dr dx dy dz i j k (6) dt dt dt dt dr Поскольку , а вектор скорости, как и любой другой вектор, можно в dt декартовой системе координат представить как x i y j z k (7) то из сравнения уравнений (6) и (7) находим, что x dx dy dz , y , z dt dt dt (8) Выражение (8) означает, что проекции скорости точки в данный момент времени на соответствующие оси координат определяются как первые производные по времени от соответствующих координат точки. Модуль скорости определяется как корень квадратный из суммы квадратов соответствующих проекций x2 y2 z2 (9) Информации о проекции скорости (8) уже достаточно для того, чтобы определить направление скорости. Однако принято характеризовать направление скорости направляющими косинусами между вектором и 91 соответствующими осями координат (точнее ортами осей). В общем случае это три выражения cos( , i ) x cos( , j ) y (10) z cos( , k ) Заметим, что формулы (10) являются следствием из определения скалярной проекции вектора на заданное направление. Значение углов тогда определяется известными соотношениями x , i arccos 2 n, n Z y , j arccos 2 n, n Z z , k arccos 2 n, n Z Однако необходимо направления заметить, (11) что для однозначного определения на плоскости достаточно указать один направляющий косинус, а в пространстве – два. 3. Естественный способ Напомним, что при этом способе описания движения выбранное начало отсчета и направлении обхода, позволяет каждой точке траектории задать естественную координату. В этом случае уравнение движения выглядит как (12) S S (t ) Поставим в соответствии каждой естественной координате S радиус-вектор r, тем самым определим новую функцию r (S ) . Поскольку для S, справедливо уравнение (12), то в результате наших действий, мы получили сложную функцию r ( S (t )) . Однако в конечном итоге r является функцией, зависящей от времени t . 92 Z r r (S ) r ( S S ) O Y X Воспользуемся определением скорости и учтём правило дифференцирования сложной функции dr dr dS dt dS dt (13) Рассмотрим последовательно каждый из этих сомножителей. Вспомним, что по определению производная векторной функции скалярного аргумента может быть представлена выражением dr r lim dS S 0 S Заметим, что величина S (14) в выражении (14), по смыслу приращение аргумента, должна быть положительной. Домножим и числитель, и знаменатель последнего выражения на r - модуль приращения векторной функции и перепишем его следующим образом r r r r lim lim S 0 S r S 0 S r (15) Наконец полученное выражение (15) учитывая свойства предела, приобретает вид r r lim lim S 0 S S 0 r (16) 93 Первый сомножитель в (16) означает, что при S 0 разница между абсолютным значением вектора перемещения (расстояние между точками траектории по прямой линии) и траектории) уменьшается и в S (расстояние между точками по пределе они оказываются Следовательно, их отношение равно единице и равными. r lim 1. S 0 S Второй сомножитель (16), по определению, есть не что иное, как единичный вектор, который задает направление вектора r . При S 0 вектор r стремится к положению касательной к траектории в данной точке. Этот единичный вектор принято обозначать . Возвращаясь к выражению (13) заметим, что второй его сомножитель может быть переписан как dS S lim dt t 0 t (17) Этот предел задаёт проекцию скорости на касательное направление. Поскольку (изменение S S 2 S1 координаты) может быть как положительной, так и отрицательной величиной то, следовательно, в общем случае величина алгебраическая. С учетом (16) и (17), выражение (13) может быть записано как (18) Ёще раз подчеркнём, что согласно выражению (18), в любой момент времени скорость направлена по касательной к траектории. 8.5.4. Ускорение точки 94 В общем случае при произвольном движении тела скорости различных его точек меняются с течением времени либо по модулю, либо по направлению, либо по модулю и направлению одновременно. Изменение скорости точек тела может происходить как очень быстро (пуля в канале ствола), так и сравнительно медленно (движение поезда при его отправлении). Величину, характеризующую изменение скорости с течением времени и позволяющую находить скорость точки в любой момент времени называют ускорением точки. Ускорение точки – важнейшая физическая величина. Дело в том, что законы Ньютона, лежащие в основе классической механики, позволяют определить именно эту величину. Рассмотрим криволинейное и неравномерное движение точки. В этом случае скорость изменяется как по модулю, так и по направлению. Пусть в некоторый момент времени t точка занимала положение M и обладала скоростью (t ) . По прошествии промежутка времени t точка займет положение M 1 , и будет иметь скорость (t t ) . Z (t ) M1 M (t t ) 0 (t ) Y X Вектор изменения скорости, в течение этого времени найдём из соотношения (t t ) (t ) (1) 95 Поделив вектор на t , получим вектор , направленный так же, как и t вектор . Его принято называть средним ускорением точки аср t (2) В классической механике постулируется, что при стремлении промежутка времени t к нулю отношение стремится к определенному вектору как к t своему предельному значению. Эту величину называют ускорением точки в данный момент времени и обозначают а . Определение ускорения точки. Ускорением точки называется предел отношения изменения скорости к промежутку времени t , в течение которого это изменение произошло, при стремлении промежутка t к нулю. Математически это можно представить следующим образом (t t ) (t ) a lim lim t 0 t t 0 t (3) Из последнего выражения следует, что ускорение точки равно первой производной от вектора скорости по времени d a dt (4) Отметим очень важное обстоятельство относительно направления вектора ускорения. В отличие от скорости для определения направления вектора ускорения не достаточно знать траекторию точки и направление ее движения по траектории. Поскольку а определяется пределом отношения , то для определения выше перечисленных параметров (траектории t t точки и направления движения) недостаточно, поэтому необходимо помнить, что при данном направлении скорости, ускорение точки может иметь любое направление. 8.5.5. Ускорение точки при различных способах задания движения 96 Покажем, как определяется ускорение точки при различных способах задания её движения. 1. Векторный способ Воспользуемся определением ускорения точки, как первой производной от её скорости d a dt (1) Как известно, скорость при векторном способе задания движения точки, так же по определению, задаётся выражением dr dt (2) Тогда выражение (1) с учетом (2) можно переписать как d dr d 2r а a 2 dt dt dt (3) Таким образом, ускорение точки при векторном способе задания движения точки, определяется как вторая производная от её радиус-вектора по времени. 2. Координатный способ Скорость точки при координатном способе задания движения определяется через ее проекции, которые являются первыми производными по времени от соответствующих координат dx dy dz i j k dt dt dt (4) Воспользовавшись определением ускорения точки, как первой производной от её скорости, получим d d dx dy dz d 2 x d 2 y d 2 z а i j k 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt dt dt dt (5) Поскольку вектор ускорения, как и любой другой вектор, можно представить как a ax i a y j az k (6) 97 то из сравнения (5) и (6) очевидно, что проекции ускорения точки в данный момент времени на соответствующие оси определяются как вторые производные по времени от соответствующей координаты точки ax d2x d2y d 2z , a , a y z dt 2 dt 2 dt 2 (7) Модуль вектора ускорения определяется как корень квадратный из суммы квадратов соответствующих проекций а аx2 a 2y az2 (8) Направление вектора ускорения точки характеризуется направляющими косинусами между вектором а и соответствующими осями координат (ортами осей) а cos(а , i ) x а а cos(а , j ) y а (9) а cos(а , k ) z а Из (9), как известно, можно определить углы между вектором ускорения а и соответствующими осями а (а , i ) arccos x 2 n, n Z а аy (а , j ) arccos 2 n, n Z а а (а , k ) arccos z 2 n, n Z а (10) Заметим, что так же, как и в случае со скоростью, для однозначного определения направления вектора ускорения а , на плоскости достаточно указать один направляющий косинус, а в пространстве – два направляющих косинуса. 3. Естественный способ Как известно, при естественном способе задания движения скорость точки определяется как 98 dS , dt (11) Тогда, воспользовавшись определением ускорения точки, как первой производной от её скорости и правилом дифференцирования векторной функции, можно записать d d d a dt dt dt (12) d Анализ полученного выражения начнём с выяснения смысла множителя dt его второго слагаемого. Поставим в соответствие единичному вектору естественную координату S , тем самым определим новую векторную функцию скалярного аргумента ( S (t )) . Это возможно, поскольку характеризует каждую точку траектории, положение которой, в то же время, однозначно определяется естественной координатой S , которая, в свою очередь, является функцией времени. С учётом того, что вновь образованная векторная функция является сложной, производную d , можно записать dt следующим образом d d dS d dt dS dt dS (13) С учетом последнего выражения (13) и (11), соотношение (12) можно переписать как 2 d 2 S dS d а 2 dt dt dS (14) Как видно из последнего соотношения (14) ускорение точки при естественном способе задания движения имеет две составляющих, от соотношения между которыми, по существу, и зависит его направление в пространстве. Для понимания этого факта, выясним, что представляет собой d вектор , как он направлен и чему равен его модуль. Воспользовавшись dS определением производной векторной функции скалярного аргумента, сначала определим направление данного вектора 99 d ( S S ) (S ) lim lim S 0 S dS S 0 S (15) d Из выражения (15) видно, что направлен так же, как в пределе направлен dS вектор . Определим это направление. Рассмотрим произвольное движение точки. Выбрав начало отсчёта естественной координаты (точка O ), отметим, что положение точки M в произвольный момент времени определяется естественной координатой S , которой соответствует единичный вектор ( S ) . Спустя произвольный промежуток времени t , точка заняла положение M , определяемое естественной координатой S S , которой соответствует единичный вектор ( S S ) . M (S ) n d ds 0 ( S S ) M ( S S ) Перенесем ( S S ) в точку M и найдем разность между векторами ( S S ) и ( S ) ( S S ) ( S ) (16) Поскольку единичный вектор, то его длина не завит от координаты точки на траектории. Это означает, что справедливо соотношение между векторами ( S S ) и ( S ) ( S ) ( S S ) (17) Из (17), следует, что концы этих векторов, проведенных из одной точки, лежат на окружности единичного радиуса с центром в точке 100 M. Следовательно, модуль вектора совпадает с хордой этой окружности, а сам вектор лежит на секущей этой окружности. При стремлении S 0 , направление вектора ( S S ) все меньше отличается от направления ( S ) , а вектор стремится занять предельное положение, совпадающее с положением секущей. При этом длина все меньше отличается от длины соответствующего участка окружности. Предельное положение секущей – это касательная к окружности в данной точке, а, как хорошо известно, касательная к окружности в любой точке всегда перпендикулярна ее радиусу. Таким образом, при стремлении S 0 , в пределе стремится занять S d перпендикулярное к ( S ) положение. Следовательно, в любой точке dS траектории. Для дальнейшего анализа полученного результата сделаем небольшое отступление, в котором введём некоторые важные понятия и определения аналитической геометрии в самом упрощённом их виде. Определение соприкасающейся плоскости. Рассмотрим две близкорасположенные точки произвольной пространственной кривой. Проведем плоскость через вектор точки M и произвольную точку M (единичный вектор и хорда MM однозначно задают положение плоскости). При стремлении M M эта плоскость будет поворачиваться, то есть менять своё положение в пространстве. Предельное положение этой плоскости, когда точки M и M совпадают и называется соприкасающейся плоскостью. M M Положение соприкасающейся плоскости для плоской кривой всегда совпадает с плоскостью, в которой эта кривая расположена. 101 Определение центра кривизны траектории. Рассмотрим произвольную пространственную кривую. Проведем окружность произвольного радиуса с центром O , так чтобы она пересекала нашу кривую в трех точках M 1 , M 2 , M 3 . Далее будем проводить окружности так, чтобы они все время проходили через одну из точек, точку M 2 , а их радиус постоянно уменьшался. M2 O M1 O M3 O O Заметим, что в этом случае точки M 1 и M 3 , будут приближаться к точке M 2 , а радиус окружности будет стремиться к своему предельному значению. Окружность, проходящая через точку M 2 и две бесконечно близкие к ней точки M 1 и M 3 кривой, получила название соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Она лежит в соприкасающейся плоскости, а радиус этой окружности называют радиусом кривизны в данной точке и обозначают . Определение кривизны кривой в данной точке. Величина обратная радиусу кривизны получила название кривизны кривой в данной точке. Она характеризует степень отличия кривой от прямой. Определение центра кривизны траектории. Точка, отстоящая от траектории на расстоянии в направлении главной нормали, называется центром кривизны траектории. Определение главной нормали к пространственной кривой. Всякая прямая, проходящая через произвольную точку M пространственной кривой и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью. Главной нормалью к пространственной кривой в 102 данной точке называется та нормаль, которая лежит в соприкасающейся плоскости. Определение бинормали к пространственной кривой. Бинормалью называется та нормаль, которая перпендикулярна соприкасающейся плоскости. С учётом математического отступления, можно сделать вывод о том, что d вектор в данной точке траектории направлен: dS 1) вдоль главной нормали к траектории; 2) к центру кривизны траектории (в сторону её вогнутости и лежит в соприкасающейся плоскости). Единичный вектор главной нормали обозначают n . Следовательно, d dS сонаправлен с вектором n d n dS (18) Определив направление вектора d d , выясним, чему равен его модуль . dS ds Воспользовавшись выражением (15) можно записать модуль этого вектора как d lim lim ds S 0 S S 0 S (19) Чтобы проанализировать последнее выражение (19), рассмотрим две бесконечно близкие точки M и M произвольной пространственной кривой, из которых проведены соответственно единичные вектора ( S ) и ( S S ) . Опустим перпендикуляры и из начала этих векторов в сторону вогнутости траектории. Очевидно, что эти перпендикуляры пересекутся гдето в произвольной точке под углом . Так же очевидно, что угол между единичными векторами ( S ) и ( S S ) , проведёнными из одной точки M тоже равен . Поскольку величины и S являются малыми и является центральным углом окружности ( S ) (S S ) 1 , то справедливо выражение 103 единичного радиуса (20) (S ) M ( S S ) 0 M ( S S ) О Условие малости угла означает, что и перпендикуляры и мало отличаются друг от друга , то есть . Тогда для модуля приращения естественной координаты S (расстояние между точками по траектории, то есть длина части траектории) справедливо соотношение S , (21) где - радиус кривизны траектории. С учётом соотношений (20) и (21) выражение (19) перепишется как d 1 lim ds S 0 (22) d Последнее выражение (22), означает, что модуль вектора равен кривизне ds траектории в данной точке. Окончательно, в векторной форме выражение (15) запишется d 1 = n ds (23) С учетом (23) выражение для ускорения при естественном способе задания движения (14) принимает вид 104 2 dS 2 d S dt а 2 n dt (24) Из последнего соотношения (24) следует два важных вывода: 1) Для нахождения ускорения при естественном способе задания движения необходимо продифференцировать функцию S (t ) соответствующим образом; 2) При естественном способе задания движения ускорение точки можно представить в виде двух его составляющих. Первую составляющую d 2 S d dS d d а 2 dt dt dt dt dt (25) принято называть касательным или тангенциальным ускорением, так как оно направлено по касательной к траектории. Тангенциальное ускорение ответственно за изменение модуля скорости. Оно равно нулю при равномерном движении. Вторая составляющая 2 dS 1 an n dt (26) называется нормальным ускорением, поскольку оно направлено по главной нормали к траектории. Нормальное ускорение равно прямолинейном движении, то есть когда кривизна траектории нулю при 1 равна нулю. Оно отвечает за изменение направления вектора скорости. С учётом введённых обозначений ускорение точки при естественном способе задания её движения запишется как (27) a a a n Тогда модуль ускорения a 2 a an 2 (28) 105 Для определения положения вектора полного ускорения, при движении точки по траектории, достаточно указать угол между векторами а и а или аn . Уточним, что единичные векторы и n лежат и одной плоскости. Как известно, эту плоскость называют соприкасающейся плоскостью. а n a соприкасающаяся плоскость an В общем случае с каждой точкой пространственной траектории при естественном способе задания движения можно связать систему координат, которую принято называть сопутствующей (правильнее сопровождающий трёхгранник или трёхгранник Френе). Направление осей координат задается естественным трехгранником единичных векторов: , n, b . b n Причем, ещё раз уточним, - направлен вдоль касательной к траектории в сторону движения точки; n - направлен вдоль главной нормали, в сторону вогнутости кривой; b - направлен вдоль бинормали. Связаны эти единичные векторы друг с другом простым соотношением 106 , n b (29) С учетом этого, в общем случае, вектор полного ускорения можно представить как a a an n ab b (30) Однако, всегда аb b 0 , то есть вектор a расположен в соприкасающейся плоскости. 8.5.6. Некоторые виды движения точки. Равномерное прямолинейное движение точки. Движение точки с постоянным ускорением. Движение точки с постоянным тангенциальным ускорением. Рассмотрим некоторые простейшие виды движения точки. Главной задачей, которую мы ставим перед собой, является получение уравнения движения точки, соответствующее рассматриваемому виду движения. Относительно формы траектории движение точки может быть прямолинейным или криволинейным. Точка может двигаться как с постоянной, так и с переменной скоростью, причём, изменение скорости может быть вызвано, в свою очередь, либо постоянным либо переменным ускорением. 1. Равномерное прямолинейное движение точки. Напомним, что движение точки называется равномерным, если она за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути. Если точка движется по траектории, которая является прямой линией, то движение прямолинейное. Исходным для получения уравнения движения является понятие скорости равномерного прямолинейного движения точки. Пусть точка движется равномерно по прямолинейной траектории. В начальный момент времени, она занимала положение M 0 , спустя промежуток времени t , положение M . При этом она совершила перемещение r . 107 Z M0 r M 0 Y X Определение скорости равномерного прямолинейного движения точки. Скоростью равномерного прямолинейного движения точки называют величину, равную отношению перемещения точки к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло r t Очевидно, (1) что модуль скорости определяется модулем последнего выражения r t (2) Поскольку, модуль скорости точки при равномерном движении остаётся постоянным, а условие прямолинейности движения делает неизменным направление её скорости , то следовательно const (3) Последнее выражение (3), не смотря на кажущуюся простоту, содержит важное утверждение. При равномерном прямолинейном движении точки, её скорость (как векторная величина) постоянна. Получим уравнение равномерного прямолинейного движения точки. Воспользуемся определением скорости при векторном способе задания движения dr dt (4) 108 Бесконечно малое приращение dr перемещения точки может быть выражено из (2) как dr dt (5) Последнее уравнение (5) может быть проинтегрировано с учётом следующих начальных условий. Пусть в момент времени t0 положение частицы определяется радиус вектором r0 , а в другой произвольный момент времени t – r. Z r0 M0 r M r 0 Y X Тогда r t r0 t0 dr dt (6) Так как в уравнении (6) const , то интегрирование удаётся провести достаточно просто. Заметим, что в большинстве случаев, вычисление интеграла от векторных функций, сложная математическая операция, требующая перехода к проекциям подынтегральных выражений. В результате получаем r r0 (t t0 ) (7) Если в уравнении (7) принять, что t0 0 ,то оно принимает известный вид r r0 t Уравнение (8) (8) принято называть уравнением равномерного прямолинейного движения точки в векторной форме. Это уравнение позволяет найти радиус-вектор точки в любой момент времени, если известны радиус-вектор, задающий её положение в начальный момент 109 времени и скорость точки. Оно эквивалентно трём скалярным уравнениям, автоматически получаемым из (8), как его проекции на соответствующие оси декартовой системы координат x x0 x t (9) y y0 y t z z0 z t Уравнения (9) представляют собой уравнения равномерного прямолинейного движения точки, записанные в координатной форме, поскольку они позволяют найти соответствующую координату в любой момент времени, если известна проекция скорости на соответствующие оси и соответствующая начальная координата точки. При прямолинейном движении всегда соответствующим выбором системы координат можно добиться того, чтобы движение происходило вдоль какой-либо одной координатной оси. Тогда для описания движения понадобится только одно из уравнений. Например, если в качестве такой оси принята ось OX, то таким уравнением, является уравнение для координаты x (10) x x0 x t В этом случае говорят, что движение одномерное. Тогда путь L , пройденный точкой, равен модулю изменения ее координаты (11) L x2 x1 Понятие изменение, какой либо физической величины, не надо путать с понятием разности этой величины. Под изменением физической величины понимают операцию вычитания, из конечного её значения, значение начального. Под разностью физической величины принято понимать так же вычитание, только из начального значения его конечного значения. Строго говоря, равномерного прямолинейного движения не существует. Это одно из упрощений действительности, позволяющее описывать движение. 2. Движение точки с постоянным ускорением. 110 Движение точки с постоянным ускорением является наиболее простым движением с переменной скоростью. Если ускорение точки постоянно, то, следовательно, отношение изменения скорости к изменению времени t будет одним и тем же для любого произвольного промежутка времени a t (12) Модуль ускорения определяется как a t (13) Выражения (12) и (13) означают, что с течением времени ни модуль, ни направление ускорения не изменяются, то есть a const (14) Получим уравнение движения точки с постоянным ускорением. Для этого прежде выясним, как найти скорость точки. Воспользуемся определением ускорения точки как первой производной по времени от скорости d a dt (15) Бесконечно малое изменение скорости из (15) определяется как d a dt (16) Начальные условия для интегрирования уравнения (16) выбираются следующим образом. Пусть в момент времени t0 точка, обладает скоростью 0 , а в любой другой произвольный момент времени t – . Тогда (16) перепишется как t 0 t0 d a dt (17) Учитывая, что в уравнении (17) a const , в результате интегрирования получаем 0 a (t t0 ) (18) Полагая в последнем выражении (18) t0 0 , уравнение принимает вид 111 0 а t (19) (19) – уравнение для скорости точки при её движении с постоянным ускорением. Как следует из (19), скорость точки можно найти в любой момент времени, если будут известны ее начальная скорость и ускорение. Проведём небольшой анализ уравнение (19) и выясним, каким будет движение точки, прямолинейным или криволинейным, в последовательно рассмотренных случаях: 1) Пусть начальная скорость точки равна нулю 0 0 . Тогда уравнение (19) принимает вид a t . Поскольку a const , то вектор скорости будет расти линейно с изменением времени, причём, не меняя своего направления. Следовательно, движение точки будет происходить по прямой линии, то есть будет прямолинейным. 2)Вектор начальной скорости и ускорения лежат на одной прямой. Этому соответствуют два случая: 0 a , 0 a . Тогда, так как a const , вектор суммы уравнения (19) всегда направлен по той же прямой, и движение точки будет так же прямолинейным. В первом случае движение, как известно, принято называть равноускоренным, во втором – равнозамедленным. 3) Рассмотрим случай, когда вектор начальной скорости 0 и ускорения a не направлены по одной прямой и составляют между собой произвольный угол , то есть 0 , a . Вектор скорости в уравнении (19), представляет собой, в любой момент времени, векторную сумму векторов 0 и at . Этот суммарный вектор, за счёт линейного роста второго слагаемого, будет постоянно изменятся с течением времени как по модулю, так и по направлению. А поскольку скорость в данной точке всегда направлена по касательной к траектории движения в этой же точке, следовательно, движение будет криволинейным. 112 at1 0 at2 1 2 а Причём, оно будет происходить в той же плоскости, в которой расположены векторы начальной скорости и ускорения. Такое движение принято называть плоским движением, имея в виду, что оно происходит в заданной плоскости. В общем случае уравнение (19) эквивалентно трем скалярным x 0 x ax t y 0 y a y t (20) z 0 z az t (20) – уравнения для проекции скорости точки движущейся с постоянным ускорением на соответствующие оси координат OX, OY, OZ. Чтобы получить уравнение движения, воспользуемся определением скорости при векторном способе задания движения точки dr dt (21) dr dt (22) Тогда Последнее выражение с учётом (19) перепишется как dr (0 a t ) dt (23) Полагая, что в момент времени t0 положение точки определяет радиус вектор r0 , а в момент времени t – r , выражение (23) интегрируя, перепишем как r t t t r0 t0 t0 t0 dr (0 a t )dt 0 dt a tdt (24) Из последнего уравнения (24) получаем a 2 2 r r0 0 (t t0 ) (t t0 ) 2 (25) Если, в последнем выражении, принять t0 0 , то 113 a t2 r r0 0 t 2 (26) (26) – уравнение движения точки с постоянным ускорением в векторной форме. Таким образом, для того, чтобы найти радиус-вектор точки в любой момент времени, необходимо знать информацию об ускорение точки, а также ее скорости и положении в начальный момент времени. Уравнение (26) эквивалентно трем скалярным x x0 0 x y y0 0 y ax t 2 2 ay t 2 (27) 2 a t2 z z0 0 z z 2 (27) – уравнения движения точки с постоянным ускорением, записанные в координатной форме. 3. Движение точки с постоянным тангенциальным ускорением. Напомним, что при движении точки по пространственной кривой, положение сопутствующей системы координат меняется. Она, как бы перемещаясь, поворачивается относительно стороннего наблюдателя, то есть меняется как положение, так и направление единичных векторов , n , b естественного трехгранника. a a b n Однако, относительно самой сопутствующей системы координат, положение вектора тангенциального ускорения а остается неизменным, поскольку оно всегда расположено на прямой касательной к траектории в данной точке и проходящей через единичный вектор (либо сонаправленно с ним, либо противоположно направленно ему). Модуль этой составляющей полного 114 ускорения при таком движении, так же не изменяется. Следовательно, тангенциальное ускорение постоянно и удовлетворяет уравнению a const (28) Получим уравнение движения точки с постоянным тангенциальным ускорением. Как известно, тангенциальное ускорение точки при естественном способе задания движения определяется выражением d 2S a 2 dt Поскольку первая (29) производная от естественной координаты точки представляет собой проекцию скорости на касательное направление dS dt (30) то, выражение (29) принимает вид d a dt (31) Заметим, что вектор a , в последнем выражении (31) можно представить в виде a a (32) Из сравнения (31) и (32), следует что a d dt (33) Выразим из (33) бесконечно малое приращение проекции скорости (34) d a dt Проинтегрируем последнее выражение. Пусть в момент времени t0 проекция скорости на касательное направление равна 0 , а в момент времени t – . Тогда 0 t (35) d a dt t0 Принимая во внимание условие (28) и учитывая что, из него следует a const , в результате интегрирования обеих частей выражения (35) получаем 115 (36) 0 а (t t0 ) Если принять t0 0 , то уравнение (35) перепишется как (37) 0 a t (37) – уравнение (тангенциальное) для проекции направление при скорости её точки движении на касательное с постоянным тангенциальным ускорением. Вернёмся к выражению (30) и выразим из него бесконечно малое приращение естественной координаты (38) dS dt С учетом (37), (38) перепишется как (39) dS ( 0 a t )dt Пусть в момент времени t0 положение точки задается естественной координатой S0 , а в момент времени t – естественной координатой S , тогда S t t dS ( 0 S0 t0 t a t )dt 0 dt a tdt t0 (40) t0 После интегрирования получаем S S0 0 (t t0 ) a 2 2 (t t0 ) 2 (41) Если положить что t0 0 , то уравнение (41) приобретает окончательный вид a t 2 S S0 0 t 2 (42) (42) – уравнение движения точки с постоянным тангенциальным ускорением. 8.6. Кинематика абсолютно твердого тела (а.т.т.) Перед нами стоит задача математически описать движение абсолютно твёрдого тела. О движении произвольного тела судят по движению каждой его точки. Поскольку при произвольном движении, различные точки тела испытывают разное движение, говорить о скорости и ускорении тела в целом нельзя. Следовательно, описать движение абсолютно твёрдого тела – это значит, знать движение каждой его точки, то есть, уметь находить 116 положение, скорость, ускорение его произвольной точки в любой момент времени. Определение абсолютно твердого тела. Под абсолютно твердым телом ( далее а.т.т.) понимают тело, размеры и форма которого ни при каких условиях не изменяются. Следовательно, расстояние между любыми двумя точками а.т.т. всегда остается постоянным. Абсолютно твердых тел нет. Это идеальный объект. Это модель. Заметим, что у реальных тел всегда, при действии на них других тел, изменяется расстояние между точками. Вопрос о применении модели а.т.т. при решении различных задач, решается в каждом конкретном случае отдельно. Критерием выбора, служит слабое влияние изменение формы и размера на движение тела. Покажем, что если известно движение трех произвольных точек а.т.т., не лежащих на одной прямой, то известно движение всех его точек. Рассмотрим, движении а.т.т. относительно произвольно выбранной системы отсчёта XYZ , которую будим считать неподвижной. Возьмем три его произвольные точки 1,2,3. Z Y Z X 2 1 O 3 O Y X Свяжем с а.т.т. другую систему отсчёта X Y Z , причём начало отсчёта O совместим с точкой 1. Проведём координатную ось OX так, чтобы она проходила через точку 2, две другие оси OY и OZ так, чтобы все точки 1,2,3 оказались в одной плоскости X OY . Это достигается путём поворота всей системы координат X Y Z относительно оси OX , до полного совмещения плоскости X OY с плоскостью, в которой расположены рассматриваемые 117 точки 1,2,3 а.т.т.. Так как положение точек а.т.т. в этой системе координат не меняется, то достаточно в каждый момент времени знать положение системы координат X Y Z относительно, XYZ то есть, в сущности, положение точек 1,2,3. Чтобы следить за движением этих точек твердого тела относительно неподвижной декартовой системы координат, нужно в каждый момент времени иметь информацию о координатах каждой из точек, то есть, знать, как изменяются 9 функций времени: x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), y1 (t ), ... , z3 (t ) . Однако, для а.т.т., на эти функции наложены определенные ограничения. Между ними существуют три соотношения, выражающие постоянство расстояний между точками 1, 2, 3. Математически это выражается следующим образом ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 l122 const1 ( x3 x1 )2 ( y3 y1 )2 ( z3 z1 )2 l132 const2 (1) ( x3 x2 )2 ( y3 y2 ) 2 ( z3 z2 )2 l232 const3 По существу (1) представляет систему трёх алгебраических уравнений. Эта система разрешима в том случае, если число неизвестных переменных равно числу уравнений. Следовательно, из всех 9 функций независимыми оказываются любые 6. Остальные три мы можем вычислить. Таким образом, для задания произвольного движения а.т.т. достаточно 6 независимых уравнений. Говорят, что а.т.т. имеет 6 степеней свободы. Определения числа степеней свободы а.т.т.. Число независимых переменных (функций времени), однозначно определяющих положение а.т.т. в любой момент времени принято называть числом степеней свободы а.т.т.. Если на движение а.т.т. наложены какие-либо ограничения, то число степеней свободы может быть меньше 6. С понятием степени свободы мы будем встречаться неоднократно. Очень часто степень свободы отождествляют с возможностью объекта, как правило, идеализированного (материальная точка, а.т.т.), совершать возможные независимые изменения своего положения. Например, материальная точка может совершать три независимых движения, вдоль соответствующих 118 координатных осей. Число степеней свободы такой материальной точки равно трём. А.т.т. вращающееся вокруг неподвижной в пространстве оси обладает 1 степенью свободы (вращательной). Вращение а.т.т. вокруг неподвижной точки, характеризуется 3 степенями свободы, равными числу независимых движений в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях. В общем случае различают пять видов движения а.т.т.: поступательное, вращение вокруг неподвижной оси, плоское движение, движение вокруг неподвижной точки и свободное движение. Поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси являются основными видами движения а.т.т., так как остальные виды движения а.т.т. можно с вести к одному из них или к их совокупности. 8.6.1. Поступательное движение а.т.т. Поступательное движение является самым простым движением а.т.т.. Определение поступательного движение а.т.т. Поступательным называется такое движение а.т.т., при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается параллельно самой себе. B B B A A A Заметим, что при поступательном движении остаётся постоянным модуль и направлении вектора AB , соединяющего любые две точки а.т.т.. Поступательно движется например ящик письменного стола, когда мы его открываем или закрываем. Поступательное движение может иметь довольно сложный вид: педаль велосипеда, кабина колеса обозрения. Покажем, что при поступательном движении а.т.т скорости всех точек а.т.т одинаковы. Пусть относительно выбранной системы отсчёта положение 119 произвольной точки поступательно движущегося а.т.т. в данный момент задано радиус-вектором r1 , а положение любой другой произвольной точки в этот же момент времени - r2 . Z 1 r21 r1 2 r2 O Y X Эти векторы оказываются связанными друг с другом. Разность между векторами r1 и r2 можно представить как r1 r2 r21 (1) Отметим, что вектор r21 const в силу определения а.т.т. Модуль этого вектора не изменяется, поскольку имеет смысл расстояния между точками а.т.т. Постоянно так же и направление этого вектора, поскольку речь идёт о поступательном движении. Продифференцируем обе части уравнения (1) dr1 dr2 0 dt dt (2) В выражении (2) первое слагаемое левой части имеет смысл скорости точки 1, второе – скорости точки 2. С учётом этого, переписывая (2), получим 1 2 (3) В силу того, что точки тела были выбраны произвольно, можно утверждать, что все точки тела имеют одну и туже скорость. Покажем, что при поступательном движении ускорение всех точек а.т.т одинаково. Так как равенство (3) справедливо в любой момент времени, то мы имеем право, дифференцировать его по времени. Сделав это, получим d1 d2 dt dt (4) 120 Учитывая, что производная по времени от скорости точки определяет её ускорение, приходим к выводу a1 a2 (5) Соотношение (5) означает, что ускорения точек 1 и 2 одинаковы, а в силу произвольного выбора точек, следовательно, одинаковы ускорения и всех точек твердого тела. Покажем, что при поступательном движении все точки а.т.т. движутся по одинаковым траекториям. Вернемся к равенству (1) и перепишем его с учётом того, что r21 const в виде r1 r2 const (6) Из (6) следует, что траектории всех точек тела одинаковы. Они лишь смещены относительно друг друга на постоянный вектор и жестко связаны между собой. Таким образом, при поступательном движении все точки а.т.т. движутся одинаково, то есть, совершают одинаковые перемещения, описывают одинаковые траектории, проходят одинаковые пути и имеют в каждый момент времени одинаковую скорость и одно и тоже ускорение. Это позволяет утверждать, что для описания поступательного движения а.т.т. достаточно описать движение какой-либо одной из его точек. Лишь при поступательном движении можно говорить о скорости и ускорении тела. Для непоступательного движения термины «скорость тела», «ускорение тела» теряют смысл. 8.6.2. Вращение а.т.т. вокруг неподвижной оси. Угловая скорость а.т.т. Вращение а.т.т. вокруг неподвижной оси является более сложным его движением. Определение вращательного движения а.т.т.. Вращением а.т.т. вокруг неподвижной оси называется движение, при котором каждая точка тела остается на неизменном расстоянии от неподвижной прямой – оси вращения. 121 Из определения следует, что траекториями точек тела, не лежащих на оси вращения, являются окружности (или дуги окружностей), расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, с центрами на оси вращения. Чтобы осуществить такое движение, достаточно закрепить какие-либо две произвольные точки а.т.т.. Попытаемся из простых соображений ответить на вопрос о числе степеней свободы а.т.т. при таком движении. Пусть прямая, проходящая через две точки а.т.т., то есть ось вращения совпадает с осью OZ неподвижной декартовой системы координат. Z 2 0 x X y M Y 1 Вспомним, что для полного описания движения а.т.т. достаточно знать как движутся три его произвольные точки. Поскольку, в нашем случае две точки закреплены, то есть их координаты не изменяются с течением времени, то из 9 функций времени остаются только три. Опуская индексы при координатах оставшейся незакреплённой точки, обозначим их как x(t ), y (t ), z (t ) . Далее отметим, что плоскость вращения этой точки остаётся постоянной, а это значит, что z (t ) const . Оставшиеся две координаты x(t ), y(t ) изменяются с течением времени. По определению степени свободы эти функции должны быть независимыми. Покажем, что они этому условию не удовлетворяют. 122 Положение произвольной точки М а.т.т. в произвольный момент времени t можно задавать с помощью угла (угловой координаты), которому приписывается определённый знак. Этот угол отсчитывается от выделенного направления (неподвижной прямой), в нашем случае оси OX . Причем считается положительным, при вращении точки против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси OZ , в противном случае 0 . Нетрудно видеть, что декартовы координаты точки М и угол , в произвольный момент времени связаны известным соотношением x r cos (1) y r sin В выражении (1) r x2 y 2 . Это означает, что декартовы координаты, как функции времени x(t ), y(t ) определяются в каждый момент времени угловой координатой (t ) . Следовательно, эти функции являются зависимыми. Таким образом, угловой координатой (t ) однозначно можно определить положение любой точки а.т.т. в любой момент времени и следовательно описать его движение. В результате таких рассуждений приходим к выводу, что а.т.т. с двумя закреплёнными точками характеризуется одной степенью свободы. Это означает, что вращение а.т.т. вокруг неподвижной оси задаётся с помощью одного уравнения (1) (t ) Отметим, что за любой промежуток времени t изменение угловой координаты (угол поворота) для всех точек а.т.т. одно и тоже, хотя сами значения угловой координаты могут быть разными. Одинаковость угла поворота для всех точек а.т.т. позволяет ввести единую характеристику этого вида движения – угловую скорость, величину характеризующую одновременно как быстроту изменения угловой координаты , так и направление изменения этой координаты. Определим эту величину более строго. 123 Пусть а.т.т. вращается вокруг произвольной и неподвижной в пространстве оси. Совместим координатную ось OZ с осью вращения и выберем за начало координат точку O . Рассмотрим произвольную точку а.т.т., положение которой определяется точкой М . Z M1 r h C r1 M k r O При повороте она перейдет в новое положение М 1 описав дугу окружности с центром в точке C . Обозначим: - угол поворота, соответствующий этому переходу; r - вектор конечного перемещения точки; - радиус-вектор середины отрезка ММ 1 . Тогда r и , можно связать с радиус-векторами точек М и М 1 r r1 r r1 r 2 (2) Очевидно, что плоскость CММ 1 перпендикулярна единичному вектору k оси OZ , поскольку движение происходит в плоскости перпендикулярной оси вращения, а треугольник OММ 1 равнобедренный. Следовательно, вектор r перпендикулярен векторам k и , и поэтому одинаково направлен с их векторным произведением. Это может быть представлено как 124 k , r r k , (3) Выражение (3), представляет вектор r , как произведение его модуля r на единичный вектор который задается в данном случае векторным произведением двух других векторов. Рассмотрим отдельно отношение модулей векторов в этом выражении. Раскрывая модуль векторного произведения, получим r r k , k sin (4) Поскольку произведение sin h - высота равнобедренного треугольника CММ 1 , а модуль единичного вектора k 1 , то r r 2 tg h 2 k sin (5) Таким образом, отношение модулей векторов в (3) равно r 2 tg 2 k , (6) Вводя обозначение 2 tg Ф , выражение (3), может быть переписано как 2 r Ф k , (7) Воспользуемся свойством векторного произведения (точнее свойством обратимости сочетательного закона векторного произведения относительно скалярного множителя) и перепишем последнее соотношение r Ф k , Ф, (8) Полученный вектор Ф Ф k , направлен по оси вращения, как и единичный вектор k . Этот вектор называют вектором конечного поворота а.т.т.. Он определяет поворот а.т.т.. Разделим обе части выражения (8) на малый промежуток времени t , в течение которого произошло рассматриваемое перемещение r 125 r Ф , t t (9) Перейдём к пределу при t 0 Ф r lim lim , t 0 t t 0 t (10) Предел в левой части выражения (10), представляет собой, по определению, скорость, которую принято называть линейной скоростью точки а.т.т. r lim t 0 t (11) Напомним, что в (11), вектор перемещения r стремится занять предельное положение, совпадающее с касательной в точке М , следовательно, вектор направлен по касательной к окружности и лежит в плоскости окружности. Предел в правой части выражения (10) перепишем как Ф Ф lim , lim , lim t 0 t t 0 t t 0 (12) Очевидно, что lim r (13) t 0 Оставшийся предел представим следующим образом Ф Фk Ф lim lim lim k t 0 t t 0 t t 0 t (14) Запишем правую часть последнего соотношения с учётом введённого ранее обозначения для Ф 2 tg Ф 2 lim lim t 0 t t 0 t (15) Домножим и числитель, и знаменатель выражения (15) на - изменение угловой координаты и перепишем как lim t 0 Ф lim t t 0 tg tg 2 lim 2 lim 2 lim t 0 t 0 t t 0 t t 2 2 2 tg 126 (16) Приняв во внимание, что предел lim 2 1 , а предел t 0 2 tg lim t 0 d t dt (17) определяет производную по времени от угловой координаты, выражение (14) перепишем Ф Ф k d lim lim k t 0 t t 0 t dt (18) Предел (18) представляет собой вектор, не зависящий от выбора точки М а.т.т.. Он называется угловой скоростью а.т.т. Определение угловой скорости а.т.т.. Предел отношения вектора конечного поворота Ф а.т.т. к промежутку времени t в течение которого этот поворот произошёл при стремлении t к нулю называют угловой скоростью а.т.т. Ф lim t 0 t (19) Тогда, согласно (18), вектор угловой скорости может быть записан как d k dt (20) d z , (20) перепишется dt z k Обозначая (21) С учётом (11), (13) и (19), выражение (10) принимает вид , r (22) Последнее выражение (22), анализ которого будет проведён ниже, принято называть формулой Эйлера. Здесь же отметим, что вектор линейной скорости произвольной точки а.т.т. определяется векторным произведением вектора угловой скорости а.т.т. и радиус-вектора этой точки. Векторы, подобные угловой скорости , направление которых связывается с направлением вращения и изменяется на противоположное при переходе от правой системы координат к левой, называются псевдовекторами или аксиальными (в отличие от 127 обычных векторов – полярных векторов, не изменяющих своего направления при указанном преобразовании координат). Однако, можно договориться, что если использовать только правую систему координат, то на такое различие векторов можно не обращать внимания. В заключение напомним некоторые известные характеристики вращательного движения. Единицей угловой скорости является радиан в секунду 1 рад , с который равен угловой скорости равномерно вращающегося тела, все точки которого за время 1с поворачиваются относительно начального положения на угол 1 рад (1 рад - 5701748 ). Если угол выражен в радианах, то обозначение радиана, как правило, не пишут, а единицу угловой скорости тогда обозначают 1с 1 . Если эта скорость постоянна, то её принято называть круговой частотой вращения твердого тела вокруг оси. При вращении точек а.т.т. вокруг неподвижной оси координата точки , либо возрастает либо убывает при каждом обороте твёрдого тела на 2π. Поэтому модуль угла поворота определяется по формуле (23) 2 N где N – число оборотов, не обязательно целое. Число оборотов в единицу времени называют частотой вращения. Ее можно выразить через модуль угловой скорости N 1 t 2 t 2 (24) Тогда (25) 2 Для вращения с постоянной угловой скоростью вводят понятие периода вращения Т , под которым понимают время одного полного оборота Т 1 2 n (26) 128 8.6.3. Линейная скорость точки а.т.т., вращающегося вокруг неподвижной оси Скорость произвольной точки вращающегося а.т.т. называют линейной скоростью, чтобы отличать ее от угловой скорости. Заметим, что линейная скорость у каждой точки а.т.т. разная, а угловая - одна и та же. Как, известно, вектор линейной скорости а.т.т. связан с вектором его угловой скорости, полученной выше формулой Эйлера , r (1) Эта формула описывает скорости всех точек тела. При анализе соотношения (1), необходимо помнить, что радиус-вектор r , произвольной точки а.т.т., проводится из начала координат находящейся на оси вращения. Z R k r O Направление вектора линейной скорости произвольной точки а.т.т. , а следовательно и направление вращения а.т.т., при известном направлении вектора угловой скорости , определяется с помощью известного мнемонического правила правого винта. Модуль линейной скорости точки а.т.т. можно найти, взяв модуль от векторного произведения (1) r sin , r (2) Последнее выражение (2) с учетом, что r sin( , r ) R , можно записать 129 (3) R Из (3) хорошо видно, что чем дальше находится точка от оси вращения, тем больше значение её линейной скорости. Модуль скорости точек, ледащих на оси вращения, равен нулю. 8.6.4. Угловое ускорение а.т.т. Линейное ускорение произвольной точки а.т.т., вращающегося вокруг неподвижной оси Введем новую величину, которая будет характеризовать быстроту изменения угловой скорости а.т.т. с течением времени. Пусть в момент времени t а.т.т. вращающееся вокруг неподвижной оси обладало угловой скоростью (t ) , а в момент времени t t - (t t ) . Определение углового ускорения а.т.т.. Угловым ускорением а.т.т. называется предел отношения изменения угловой скорости к промежутку времени t , в течение которого это изменение произошло, при стремлении промежутка t к нулю (t t ) (t ) lim lim t 0 t t 0 t (1) Как следует из (1), угловое ускорение а.т.т. определяется как первая производная по времени от угловой скорости d dt (2) Если вспомнить, что z k , то (2) перепишется как d z d dk ( z k ) k z (3) dt dt dt dk Поскольку 0 , что определяется неподвижностью оси OZ , совпадающей dt с осью вращения а.т.т. ( орт k const ), то d z k dt (4) и проекция углового ускорения на ось OZ определяется первой производной по времени от проекции угловой скорости 130 z d z dt В силу того, что z z (5) d (5) перепишется dt d 2 dt 2 (6) и вектор углового ускорения а.т.т. определяется как d 2 2 k dt (7) Из последнего выражения (7) видно, что вектор углового ускорения а.т.т. определяется через вторую производную по времени от угловой координаты, причём его направление на оси OZ , зависит от знака второй производной. Напомним, что единицей углового ускорения является радиан на секунду в квадрате 1 рад . Очень часто угол в радианах не пишут, тогда с2 1 с 2 . 2 с В отличии от углового ускорения а.т.т., вращающегося вокруг неподвижной оси, ускорение его произвольной точки называют линейным ускорением. Найдем связь линейного ускорения произвольной точки а.т.т. с угловой скоростью и угловым ускорением а.т.т.. Воспользуемся определением ускорения точки, как первой производной по времени от её скорости d а dt (8) и формулой Эйлера , r (9) Продифференцируем последнее выражение по времени d d , r dt dt (10) Тогда, учитывая (8) и раскрывая производную от векторного произведения в правой части (10) получим 131 d dr a , r , dt dt (11) d dr Перепишем последнее выражение (11) с учётом, что , а dt dt a , r , (12) Линейное ускорение произвольной точки а.т.т. (12) состоит из двух частей. Выясним смысл каждой из составляющих ускорения. Поскольку мы рассматриваем движение точки а.т.т. вращающегося вокруг неподвижной оси, то можно говорить о том, что траектория точки заранее известна (следствие определения вращательного движения) – это окружность. В общем случае мы имеем дело с криволинейным движением. Для описания движения в таком случае можно применить естественный способ. Напомним, при естественном способе задания движения вектор полного ускорения точки может быть представлен суммой нормального и тангенциального ускорений a a an (13) Сравнивая (12) и (13), приходим к выводу, что тангенциальное ускорение произвольной точки а.т.т. определяется как a , r (14) , а нормальное ускорение an , (15) Модуль тангенциальной составляющей линейного ускорения определяется как модуль соответствующего векторного произведения (14) a r sin( , r ) (16) Следовательно a R (17) Модуль нормальной составляющей – модулем выражения (15) an sin( , ) (18) Поскольку и R , то 132 2 an 2 R R (19) Из (18) и (19) видно, что модули нормального и тангенциального ускорения изменяются линейно с расстоянием от оси вращения до рассматриваемой точки. Напомним, что направление этих составляющих, связано с единичными векторами и n . Z an k a n a r O Модуль линейного ускорения произвольной точки а.т.т. определяется как 2 a a an 2 (20) 8.6.5. Вращение а.т.т. вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением Получим уравнение движения а.т.т. вращающегося вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением. Если угловое ускорение постоянно, то отношение изменения угловой скорости к соответствующему изменению времени t являются постоянным для любого произвольного промежутка времени t (1) 133 Модуль вектора углового ускорения из (1) определяется как t (2) Такое движение означает, что с течением времени ни модуль, ни направление ускорения не изменяются const (3) Воспользуемся определением углового ускорения d dt (4) и сначала определим, как изменяется угловая скорость при таком движении. Как и в предыдущих рассуждениях, рассматривая вращательное движение а.т.т. положим, что координатная ось OZ совпадает с осью вращения. Заметим, что в этом случае проекция углового ускорения z (поскольку она единственная) будет однозначно характеризовать направление вектора углового ускорения и от векторного соотношения (2), можно перейти к его проекции на ось OZ z d z dt (5) Тогда (6) d z z dt Проинтегрируем (6), учитывая, что в момент времени t0 проекция угловой скорости а.т.т равна 0z , а в любой другой произвольный момент времени t – z z d 0 z t z (7) z dt t0 Поскольку из (3) следует, что z const , то (8) z 0 z z (t t 0 ) Полагая в (8) t0 0 , получим (9) z 0 z z t 134 Уравнение (9) представляет собой уравнение для проекции угловой скорости при вращении а.т.т. вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением. В векторной форме уравнение для угловой скорости при вращении а.т.т. вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением записывается следующим образом 0 t (10) При этом необходимо помнить, что для векторного уравнения (10) существует только одна проекция (на координатную ось совпадающую с осью вращения), так как на две оставшиеся равны нулю. Из уравнения (10) видно, что в произвольный момент времени вектор угловой скорости является суммой векторов 0 и t (всегда лежащих на одной прямой - оси вращения). Если 0 являются векторами сонаправленными, то движение равноускоренное и а.т.т. с течением времени увеличивает свою угловую скорость, как говорят, тело раскручивается. Z 0 r 0 Если 0 векторы противоположно направленные - движение равнозамедленное и а.т.т. с течением времени уменьшает свою угловую скорость в сравнении с начальной, наблюдается замедление вращения. 135 Z r 0 0 Для получения уравнения движения, вспомним, что z d dt (12) Из (8) получим, что (13) d z dt Интегрируем (13) в пределах t0 0 , t с учетом (9) t t t t d z dt (0 z z t )dt 0 z dt zt dt 0 t0 t0 t0 (14) t0 В результате интегрирования (14) получим 1 0 0 z (t t0 ) z (t 2 t02 ) 2 (15) Полагая в (15) t0 0 окончательно запишем 0 0 z t zt 2 2 (16) (16) – уравнение вращения а.т.т. вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением. Из (16) видно, что законы изменения угловых координат различных точек а.т.т. отличаются друг от друга только начальными значениями 0 , которые заранее могут быть известны. Поэтому достаточно проследить за движением одной точки а.т.т., не принадлежащей оси вращения, и тогда будет известно движение всех остальных его точек. 136 8.6.6. Произвольное движение а.т.т. Покажем, что произвольное движение а.т.т. за любой малый промежуток времени складывается из двух движений: поступательного и вращательного. Пусть а.т.т. совершает произвольное движение, относительно неподвижной системы отсчёта. Для описания такого движения поступают следующим образом. Выберем какую-либо точку а.т.т. и назовём ее точкой полюса (или просто полюсом) Р Z Р r rp rp 0 r Y X Заметим, что радиус-вектор любой другой произвольной точки а.т.т. r всегда можно представить как сумму радиус-вектора полюса rp и вектора разности (r rp ) радиус-векторов произвольной точки и точки полюса r rp (r rp ) (1) Поскольку равенство (1) справедливо в любой момент времени, то продифференцируем его по времени dr drp d (r rp ) dt dt dt (2) Воспользуемся в (2) смыслом первой производной по времени от радиусвектора точки, как её скорости, получим 137 d p (r rp ) dt (3) Вычислим производную по времени d (r rp ) в правой части выражения (3), dt тем самым, определим вектор p . Для этого воспользуемся следующим приёмом. Умножим обе части (3) скалярно на вектор (r rp ) d (( p ), (r rp )) (r rp ), (r rp ) dt (4) Выясним, чему равно скалярное произведение правой части уравнения (4). Так как а.т.т. испытывает произвольное движение, то вектор (r rp ) не изменяется только по модулю, в то время как его направление может меняться с течением времени как угодно. Это факт соответствует утверждению, что r rp const (5) Возведем обе части уравнения (5) в квадрат 2 r rp const 2 (6) Последнее, с учётом того что, скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, можно представить как (r rp )2 (r rp ), (r rp ) const 2 (7) Продифференцируем (7) по времени d d (r rp ), (r rp ) const 2 dt dt (8) Применяя правила дифференцирования, с учётом закона переместительности скалярного произведения, получим d d d (r rp ), (r rp ) (r rp ), (r rp ) (r rp ), (r rp ) dt dt dt d d (r rp ), (r rp ) (r rp ), (r rp ) dt dt d 2 r rp , r rp dt 138 (9) Поскольку d const 2 0 , с учётом (9) выражение (8) перепишется как dt d (r rp ), (r rp ) 0 dt (10) Сравнивая (4) и (10), приходим к выводу (( p ), (r rp )) 0 (11) Равенство (11) выполняется в том случае, если два векторных сомножителя ортогональны дуг другу ( p ) (r rp ) (12) Из последнего следует, что вектор p можно представить как векторное произведение неизвестного вектора на вектор r rp d p (r rp ) , r rp dt (13) p , r rp (14) Или В выражении (14) вектор получил название вектора мгновенной угловой скорости а.т.т. Вектор мгновенной угловой скорости не зависит от выбора полюса и одинаков для всех точек тела. Определение мгновенной оси вращения. Прямая линия, вдоль которой направлен вектор , называется мгновенной осью вращения. Первое слагаемое (14) описывает поступательное движение а.т.т. со скоростью полюса p . Второе слагаемое описывает вращение а.т.т. вокруг мгновенной оси, проходящей через точку полюса. Зная скорость точки а.т.т. в случае произвольного его движения в d любой момент времени, можно определить её ускорение. Поскольку a , dt то, дифференцируя по времени (14) получаем 139 d d p d , r rp dt dt dt d a a p , r rp dt (15) Производную от векторного произведения перепишем как d d d , r rp , r rp , (r rp ) (16) dt dt dt d Учтём в (16), что и выражение (13). Тогда второе выражение (15) dt можно представить в виде a a p , r rp , , r rp (17) Введём в (17) обозначения: aвр , r rp (18) (18) – определяет, так называемое вращательное ускорение; aос , , r rp (19) (19) – осестремительное ускорение. С учётом (18) и (19), полное ускорение произвольной точки а.т.т. при его произвольном движении (17) складывается из трёх составляющих a a p aвр aос (20) 8.7. Относительность механического движения Для того, чтобы описать движение, необходимо зафиксировать систему отсчета, относительно которой будет рассматриваться движение. Говорить просто, что тело движется, не указывая того, относительно чего происходит движение бессмысленно, так как одно и то же движение выглядит по-разному в различных системах отсчета. С точки зрения наблюдателя находящегося на перроне железнодорожного пути, все пассажиры отходящего поезда движутся вместе с поездом. Однако относительно наблюдателя, связанного с самим поездом, пассажиры сидящие напротив него неподвижны. Кто из наблюдателей прав? Правы оба. Поскольку в кинематике все системы координат равноправны, следовательно, для описания движения можно использовать любую. 140 В кинематике все системы отсчёта равноправны. Все кинематические величины (координаты, путь, траектория, перемещение, скорость, ускорение) имеют определенные значения в каждой из выбранных систем отсчета. При переходе от одной системы отсчета к другой указанные величины могут изменяться. В этом собственно и состоит относительность механического движения. В связи с этим нужно научиться по результатам измерений, проведённых в одной системе отсчета, предсказывать результаты таких же измерений в другой системе отсчета. Главным вопросом кинематики относительного движения является установление связи между кинематическими величинами в двух различных системах отсчёта, движущихся относительно друг друга. 8.7.1. Сложение и разложение движения точки: абсолютное, относительное и переносное движение Пусть имеются две системы координат XYZ и X Y Z , которые движутся относительно друг друга произвольным образом. Одну из них, например XYZ , выберем условно за неподвижную. Пусть точка M совершает движение по произвольной траектории в системе координат X Y Z . Введём несколько общепринятых терминов кинематики относительного движения с помощью простых определений. Z Z M O O X Y X 141 Y Определение абсолютного движения. Движение точки относительно неподвижной системы координат называют абсолютным движением. Определение относительного движения. Движение точки относительно подвижной системы координат называют относительным движением. Определение переносного движения. Движение подвижной системы координат относительно неподвижной называют переносным движением. Определение абсолютных кинематических величин. Скорость, ускорение, перемещение и траектория точки в неподвижной системе координат называют соответственно: абсолютной скоростью, абсолютным ускорением, абсолютным перемещением, абсолютной траекторией. Эти же величины по отношению к подвижной системе координат называют относительными. С каждой системой координат связано пространство, под которым, как мы уже отмечали, понимают всю совокупность геометрических точек, жестко связанных с этой системой координат, то есть пространство наделено свойствами а.т.т.. Определение подвижного и неподвижного пространства. Пространство, связанное с неподвижной системой координат условно называется неподвижным, а с движущейся системой координат – подвижным пространством. Так как пространство наделено свойствами а.т.т., то в общем случае различные точки подвижного пространства в заданный момент времени имеют различные относительно скорости. другого за Тогда малый движение промежуток одного можно пространства представить суперпозицией поступательного движения со скоростью полюса и вращения 142 вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс, с угловой скоростью, не зависящей от выбора полюса. Из такого представления следует очень важное понятие переносной скорости и ускорения. Определение переносной скорости и переносного ускорения. Переносной скоростью или переносным ускорением называют скорость или ускорение той точки подвижного пространства, через которую в данный момент проходит интересующая нас точки тела. Вопрос об установлении связи между всеми кинематическими величинами часто оказывается довольно сложным. Ограничимся лишь соотношениями между скоростями и ускорениями. 8.7.2. Закон сложения скоростей и ускорений. Кориолисово ускорение1. Рассмотрим две системы координат: неподвижная XYZ и подвижная X Y Z , которая совершает относительно первой произвольное (непоступательное и сложное) движение. Z O X Z rабс r0 rотн Y O Y X 1 Кориолис Гюстав Гаспар (21.V.1792 – 19.IX.1843) – французский физик и инженер, член Парижской АН. Независимо от Понселе ввел в 1826г. в механике понятие «работы», сформулировал теорему «живых сил». За меру «живой» силы принял половину произведения массы на квадрат скорости. Показал, что при сложном движении точки, когда система отсчета перемещается не поступательно, возникает дополнительное ускорение (кориолисово ускорение). 143 Тогда положение произвольной интересующей нас точки относительное подвижной системы координат определяется радиус-вектором rотн , а относительно неподвижной системы координат соответственно rабс . Нетрудно видеть, что эти векторы связаны между собой соотношением rабс r0 rотн (1) Из простых рассуждений, минуя сложный расчёт, ответим на вопрос о скорости произвольной точки. Дифференцируя по времени уравнение (1) получим что d d d (rабс ) (r0 ) (rотн ) dt dt dt (2) Учтем в (2) определение абсолютной, относительной и переносной скоростей drотн абс 0 dt (3) Если производная от первых двух векторов (2), поскольку система координат XYZ неподвижная, скорость по определению, то вычисление производной drотн вызывает затруднения, так как система отсчёта X Y Z с течением dt времени в общем случае меняет свое положение и ориентацию. Выясним, её смысл. Разложим rотн по базису подвижной системы координат rотн x i y j z k (4) Тогда производная по времени от rотн , после группировки слагаемых может быть записана как drотн dx dy dz di dj dk i j k x y z dt dt dt dt dt dt dt (5) В (5) первые три слагаемых векторные проекции скорости в штрихованной (подвижной) системе координат, которую мы называем, как известно, относительной скоростью dx dy dz отн i j k dt dt dt Оставшиеся слагаемые, (6) представляют собой производные от соответствующих ортов подвижной системы координат умноженные на 144 координаты точки в этой же системе отсчёта. Напомним, что в нашем случае они меняют своё направление в пространстве с течением времени, следовательно i, j, k const . Для таких векторов, выше было показано, что производная по времени может быть представлена, как векторное произведение мгновенной скорости на сам этот вектор. Следовательно di dj dk , i , , j , , k dt dt dt (7) Используя свойство распределительности векторного произведения, сумма оставшихся трёх слагаемых выражения (5), с учётом (6), запишется как di dj dk x y z dt dt dt , x i , y j , z k , rотн (8) Посколку вектор мгновенной угловой скорости подвижного пространства, с точкой которого совпадает интересующая нас точка, то назовем ее переносной угловой скоростью и обозначим пер . Тогда (5), с учетом (6) и (8) перепишется drотн отн пер , rотн dt (9) Учтем, что в последнем выражении (9) rотн можно представить, через радиус векторы неподвижной системы координат rотн rабс r0 , тогда (3) с учетом (9) перепишем следующим образом абс отн 0 пер , rабс r0 (9) Сумма последних двух слагаемых в (9), представляет собой в соответствие с определением, переносную скорость интересующей нас точки пер 0 пер , rабс r0 (10) Тогда окончательно, с учётом (10), выражение (9) приобретает следующий вид абс отн пер (11) 145 Последнее выражение (11) называют законом сложения скоростей в классической механике. Закон сложения скоростей в классической механики. Абсолютная скорость точки равна сумме относительной и переносной скоростей. Воспользуемся соотношением (11) и получим закон сложения ускорений. Так как ускорение точки определяется как первая производная по времени от её скорости, то продифференцировав (11) по времени, сохраняя индексы при введенных величинах, получим d d d aабс отн 0 пер , rабс r0 dt dt dt (12) Вычислим последовательно три производные правой части (12). Заметим, что отн x i y j z k (13) и поэтому dотн d x d y d z di dj dk i j k x y z dt dt dt dt dt dt dt В последнем выражении (14) одна его (14) часть представляет собой относительное ускорение точки d d d aотн x i y j z k dt dt dt (15) Оставшаяся часть (14), путём уже изложенных выше приёмов преобразуется в выражение di dj dk x y z dt dt dt , x i , y j , z k ,отн (16) Обозначая пер , первая производная (14), выражения (12) приобретает вид d (отн ) аотн пер ,отн dt (17) Вторая производная правой части (12) представляет собой по определению ускорение начала координат подвижной системы отсчёта 146 d (0 ) a0 dt (18) Последняя, третья производная вычисляется следующим образом d dt dr пер , rабс r0 пер , r абс r0 пер , отн dt (19) При записи второго слагаемого выражения (19) учтено, что rабс r0 rотн . Рассмотрим его отдельно. Напомним, что согласно уравнению (9) drотн отн пер , rотн . Сделав обратную замену rотн rабс r0 , преобразуем это dt слагаемое следующим образом drотн пер , dt пер , отн пер , rабс r0 пер ,отн пер , пер , rабс r0 (20) Тогда уравнение (19) с учетом (20) перепишется как d пер , rабс r0 dt пер , rабс r0 пер ,отн пер , пер , rабс r0 (21) Поэтому окончательно для абсолютного ускорения точки (12) с учетом (17), (18) и (21) получаем aабс aотн пер ,отн а0 пер , rабс r0 пер ,отн пер , пер , rабс r0 (22) Учитывая подобные слагаемые (22) перепишется как aабс aотн 2 пер ,отн а0 пер , rабс r0 пер , пер , rабс r0 (23) Составляющая ускорения, равная 2 пер ,отн принято назвать кориолисовым ускорением ак 2 пер ,отн (24) Тогда (23) приобретает довольно компактный вид аабс аотн апер ак (25) (25) – закон сложения ускорений в классической механике. Закон сложения ускорений в классической механике. 147 Абсолютное ускорение точки в общем случае равно сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений. Сделаем несколько важных замечаний относительно полученного выражения (24). Кориолисово ускорение своим появлением обязано двум причинам: 1) подвижный наблюдатель не замечает поворота своей системы координат (то есть поворота относительной скорости), следовательно, измеренное им ускорение не включает изменение скорости, связанное с этим поворотом; 2) интересующая нас точка переходит из одного места подвижного пространства в другое, где переносная скорость также другая. Следовательно, изменение переносной скорости обусловлено в общем случае, как переносным ускорением, так и переходом точки из одного места пространства в другое. Кориолисово ускорение обращается в нуль в трех случаях: 1) пер 0 , что соответствует тому, что подвижное пространство движется поступательно относительно неподвижного; 2) отн 0 - точка покоится в подвижном пространстве; 3) sin(пер ,отн ) 0 - точка движется параллельно мгновенной оси вращения. Как видно из (24), кориолисово ускорение перпендикулярно относительной скорости точки отн . Проявлением кориолисова ускорения, в частности объясняется тот факт, что тела, движущиеся вдоль земной поверхности, например вода в реке (или снаряд выпущенный из орудия), будут отклоняться в северном полушарии вправо, а в южном – влево от направления их движения, что, приводит к подмыву соответствующего берега у реки. Дело в том, что эта составляющая ускорения является следствием кориолисовой силы инерции Fкор maк 2m пер ,отн , связанной с вращением Земли. 148 пер Z * ак отн O Y X * * 149 8.8. Динамика (основной раздел механики). Сила. Масса Выше были рассмотрены некоторые вопросы кинематики, которая в целом является вспомогательным разделом механики. Основной раздел механики, как известно, называется динамикой. Название его произошло от греческого слова означающего сила. По существу механика стала наукой после того, как были сформулированы основные ее законы – законы Ньютона. Необходимо помнить, что законы Ньютона не являются прямым следствием каких-либо наблюдений и экспериментов. Они есть результат теоретических обобщений всех знаний о движении и взаимодействии. Критерием справедливости законов Ньютона является человеческая практика. Она устанавливает также границы применимости этих законов. Определение динамики. Динамика – это основной раздел механики, изучающий движение тел с учетом причин, вызвавших это движение. Другими словами, динамика отвечает на вопросы: Что вынуждает тела совершать те или иные движения? Какие условия надо создать, чтобы осуществить нужное нам движение? Основными законами динамики являются законы Ньютона. Эти законы формулируются на основе понятий сила и масса. Понятие силы заимствовано из обыденной жизни, которое обозначает меру мускульного напряжения и «физического благополучия». Научное понятие не имеет ничего общего с бытовым. В механике сила рассматривается как количественная мера взаимодействия тел. Это понятие является одним из первичных понятий механики. Сила определяется как векторная величина и обозначается, как правило, большими латинскими буквами (например F , P, Q ). Она имеет модуль, направление и точку приложения. Заметим, в механике не изучается природа сил, а лишь устанавливается количественная зависимость силы от других физических величин. Вторая величина - масса, как и понятие силы, с течением времени изменялось и уточнялось. Масса в механике рассматривается как мера 150 инертности тел, а также как характеристика интенсивности гравитационного притяжения тел друг к другу. В этом смысле различают массу инертную mин и массу гравитационную (тяжёлую) mгр . Многочисленными опытами, с высокой точностью ( 1012 ), установлено, что гравитационная масса пропорциональна инертной. Выбором единиц измерения, эти массы можно сделать равными друг другу mин mгр и можно говорить, только об одной массе тела m . Определение инертности тел. Инертность – это свойство тел сопротивляться изменению их движения под действием сил. Другими словами, это свойство, выражающее степень неподатливости тела к изменению его скорости. Считается, что тела, имеющие большую массу, являются более инертными и наоборот. В классической механике принимается, что масса – величина аддитивная, то есть масса совокупности тел равна сумме масс этих тел. 8.8.1. Момент силы Важным понятием, связанным с понятием силы является понятие момента силы. Различают момент силы относительно произвольной точки пространства и момент силы относительно оси, проходящей через произвольную точку пространства. Определим последовательно эти понятия. Пусть некоторая сила F , лежащая в плоскости перпендикулярной плоскости листа (доски), имеет произвольную точку приложения. Выберем другую произвольную точку O и определим момент вектора силы F относительно этой точки. Определение момета силы относительно произвольной точки пространства. Под моментом M (или M ( F ) ) силы F относительно произвольной точки O понимают векторную величину, равную векторному произведению 151 вектора r , проведенного из точки O в точку приложения силы, на вектор силы F . Это определение соответствует математическому выражению M r , F (1) и легко поясняется с помощью следующего рисунка F r O M (F ) Напомним, что поскольку момент вектора силы M , является результатом векторного произведения, то его направление можно определить, используя мнемоническое правило правого винта. Модуль вектора M определяется как M r F sin(r , F ) (2) Вспомним некоторые определения. Определение линии действия силы. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Определение плеча силы. Кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до линии действия силы называется плечом силы. Из этих определений следует, что плечо силы F в нашем случае задаётся как 152 r sin(r , F ) l (3) F r l O M Тогда (2) с учётом (3) принимает известный вид M F l (4) Согласно (4), модуль момента силы определяется как произведение модуля силы на плечо этой силы. Определение момента силы относительно оси, проходящей через произвольную точку пространства. Под моментом силы относительно оси, проходящей через произвольную точку пространства, понимают проекцию (точнее скалярную проекцию) на эту ось момента вектора относительно любой точки этой оси. Таким образом, момент вектора относительно оси уже не является вектором, а является его скалярной проекцией. Пусть в качестве оси, проходящей через произвольную точку пространства, выбрана ось OZ . Тогда, согласно определению, момент силы относительно оси, проходящей через произвольную точку пространства можно представить как M z M cos (5) 153 - угол между вектором момента силы M и осью OZ (единичным вектором k ). F r 0 Z M Аналогично моменту силы вводится понятие момента и для других векторных величин. 8.8.2. Аксиомы механики. Первый закон Ньютона – закон инерции. Второй закон Ньютона – основной закон динамики. Третий закон Ньютона – принцип действия и противодействия. Принцип независимости действия сил. Напомним, что выше, мы подробно обсуждали вопрос о формулировке законов механики. Далее, при изложении материала, будим придерживаться этой идеи. Настало время сформулировать аксиомы механики. Аксиома 1. (первый закон Ньютона – закон инерции) Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока какая-нибудь сила не изменит этого состояния. Первый закон утверждает, что скорость (ни по модулю, ни по направлению) материальной точки с течением времени не изменяется, если 154 на нее не действует сила. Поэтому одной из возможных математических формулировок этого закона, может быть следующая const (1) В приведённой формулировке, по существу, утверждается равноправие состояний покоя и равномерного прямолинейного движения, как естественных состояний. В то же время, мы уже знаем, что скорость точки в одних системах отсчета может изменяться, когда в других нет, поскольку движение относительно. Возникает вопрос, существуют ли системы отсчета, в которых единственной причиной изменения скорости является сила? Именно на этот вопрос отвечает первый закон Ньютона. Эта аксиома постулирует существование таких систем отсчёта, в которых единственной причиной изменения скорости материальной точки является сила. Они называются инерциальными. Все другие системы отсчета, для которых несправедлив первый закон Ньютона, называются неинерциальными. В них для изменения скорости материальной точки существуют две причины: действующая на точку сила и движение самой системы отсчета относительно какой-либо инерциальной системы. В связи с этим, введём важное определение инерции тел. Определение инерции тел. Свойство тел сохранять в инерциальной системе отсчета состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, когда на них не действуют силы, называют инерцией. Естественно возникает вопрос, а какую систему можно принять за инерциальную? В обычной человеческой практике долгое время считали, что система отсчета, связанная с Землей (геоцентрическая), является инерциальной. Она с успехом применяется и сейчас для решения практических задач, не требующих высокой точности. Однако это не так, эта система не является инерциальной, и причиной тому, движение Земли, как суточное, так и орбитальное. С высокой степенью точности инерциальной 155 является система отсчёта, начало которой совмещено с центром Солнца, а оси направлены на «неподвижные» звёзды неба. Её принято называть гелиоцентрической системой отсчёта. Аксиома 2. (Второй закон Ньютона – основной закон динамики) В инерциальной системе отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой под действием силы, пропорционально этой силе и направлено в сторону ее действия. Согласно формулировке аF (2) Коэффициентом пропорциональности в (2) является величина, обратная инертной массе материальной точке 1 . Тогда математическая формулировка m второго закона Ньютона может быть представлена как F а m (3) Второй закон Ньютона называют основным законом динамики потому, что он содержит главную информацию о движении материальной точки в инерциальной системе отсчета. Если известна сила, то можно узнать, каким будет движение точки и наоборот. Аксиома 3. (Третий закон Ньютона – принцип действия и противодействия) Силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, равны по модулю, противоположны по направлению и лежат на прямой, проходящей через эти точки. Рассмотрим более подробно математическую формулировку этого закона. Обозначим через F12 силу, действующую на материальную точку 1 со стороны материальной точки 2, F21 - силу, действующую на материальную точку 2 со стороны 1. Уточним, что первый индекс при силе указывает на точку приложения силы (материальную точку к которой приложена сила), 156 второй – материальную точку, которая обуславливает возникновение силы. Силы приложены к разным точкам. Тогда по третьему закону Ньютона F12 m1 F21 m2 F12 m1 m2 F21 и привычная для нас математическая формулировка утверждает что F12 F21 , F12 F21 0 (4) Однако, такая математическая запись оказывается на полной. Она не учитывает, ту часть формулировки закона, в которой утверждается, что силы должны лежать на одной прямой, проходящей через взаимодействующие точки. Примером сил, не лежащих на одной прямой, но удовлетворяющих приведенной выше математической формулировке (4), может быть известная в механике пара сил F12 m1 F21 m2 Действительно, в этом случае, силы F12 и F21 равны по модулю, противоположны по направлению, но не лежат на одной прямой. Этот недостаток можно устранить с помощью понятия момента силы. Покажем, что сумма моментов сил, действующих на материальную точку, относительно произвольной точки пространства, для сил, лежащих на одной прямой, равна нулю. Пусть имеется две взаимодействующие материальные точки m 1 и m 2 . Выберем произвольную точку O , проведем соответствующие вектора r1 и r2 157 F12 m1 F21 m2 r1 r2 r1 r2 O Воспользуемся определением момента силы и запишем моменты сил F12 и F21 относительно точки O M ( F12 ) r1 , F12 , M ( F21 ) r2 , F21 (5) Используя свойства сочетательности и распределительности векторного произведения, с учётом (4), вычислим сумму этих моментов M ( F12 ) M ( F21 ) r1 , F12 r2 , F21 (6) r1 , F12 r2 , F12 r1 r2 , F12 Заметим, что векторы r1 r2 и F12 , векторного произведения (6), являются коллинеарными и следовательно их векторное произведение равно нулю r1 r2 , F12 0 (7) Следовательно, сумма моментов сил равна нулю. Выражение (7), как раз и утверждает, что силы, подчиняющиеся третьему закону Ньютона, являются центральными, то есть лежат на одной прямой. Таким образом, полная математическая формулировка третьего закона Ньютона, должна состоять из двух частей (4) и (7) F12 F21 , r1 r2 , F12 0 (8) Подчеркнём, что действие, согласно этому закону, всегда вызывает характер противодействия и взаимодействия. Силы в природе всегда «рождаются» парами и приложены, в конечном итоге, к разным телам. Третий закон Ньютона является следствием однородности и изотропности пространства. Аксиома 4. (Принцип независимости действия сил) 158 В инерциальной системе отсчета ускорение, получаемое материальной точкой при одновременном действии на нее нескольких сил, равно сумме ускорений, сообщаемых ей каждой силой в отдельности N a a1 a2 a3 ... aN ai (9) i 1 Рассмотрим важное следствие, вытекающее из этой аксиомы. Пусть на материальную точку m действуют одновременно N сил F1 , F2 , F3 ,..., FN . Если бы на эту точку действовала только одна сила F1 , то ускорение, F1 F2 приобретаемое точкой, определялось как a1 , если бы F2 - a2 , … . m m Тогда, используя принцип независимости действия сил (9), можно записать 1 1 1 1 a a1 a2 a3 ... aN F1 F2 F3 ... FN m m m m (10) 1 ( F1 F2 F3 ... FN ) m F Сравнивая (10) с вторым законом Ньютона a , приходим к выводу что, m что N F F1 F2 F3 ... FN Fi (11) i 1 Сила F в (11) получила название равнодействующей силы. Именно эта аксиома дает право складывать силы и заменять их сумму одной. 8.8.3. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальной системы отсчета. Возникает вопрос: если существует инерциальная система отсчета, то является ли она единственной? Зная, что всякое механическое движение относительно, легко показать, что любая система отсчета, которая движется относительно инерциальной поступательно, равномерно и прямолинейно, тоже будет инерциальной. Примем, условно, что одна из систем отсчета неподвижна. Тогда скорость второй, подвижной системы отсчёта, относительно первой будет 159 переносной скоростью nер . Пусть материальная точка имеет в неподвижной (инерциальной) системе отсчета, когда на нее не действуют силы, постоянную скорость aбс , которую принято называть, как известно, абсолютной. Тогда скорость точки относительно подвижной системы отсчета найдем с помощью закона сложения скоростей абс пер отн . Откуда отн абс пер Так как абс const и пер const , то и отн const (1) (2) Следовательно, материальная точка во второй (подвижной) системе отсчета сохраняет свою скорость неизменной, а это означает, что вторая система отсчета является так же инерциальной. Таким образом, если существует одна инерциальная система, то таких систем будем бесчисленное множество. Все они движутся друг относительно друга поступательно с постоянными скоростями. Возникает вопрос, как протекают механические явления в различных инерциальных системах отсчета одинаково или по-разному? Можно ли изучая движение тел в инерциальной системе отсчета, определить ее скорость относительно какой-либо другой инерциальной системы отсчета. На этот вопрос отвечает утверждение, получившее в физике название принципа относительности Галилея. Принцип относительности Галилея. Никакими механическими опытами, производимыми в инерциальной системе отсчета, нельзя установить ее движение относительно какой-либо другой инерциальной системы. Следовательно, что любое механическое явление во всех инерциальных системах отсчета протекает одинаково. Важной особенностью инерциальных систем отсчета является то, что по отношению к ним время и пространство обладают свойствами симметрии: время однородно, а пространство однородно и изотропно. 160 Дальнейшим обобщением принципа относительности Галилея, является принцип (постулат) относительности Эйнштейна, согласно которому, никакими физическими опытами, проводимыми в инерциальной системе отсчета, нельзя установить скорость её движения относительно других инерциальных систем. Найдем формулы преобразования координат, скорости и ускорения при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Пусть инерциальная система отсчета X Y Z движется относительно другой инерциальной системы отсчета XYZ со скоростью V . Положим, что в начальный момент времени начала отсчета этих систем O и O совпадали, а оси координат параллельны друг другу. В некоторый произвольный момент времени t положение систем отсчёта будет определяться следующим образом Z Z V M r O r O t Y Y X X Тогда для произвольной точки пространства соотношение между радиус векторами r и r каждой из систем запишется r r V t (1) Напомним, что в классической механике время абсолютно, то есть протекает в различных инерциальных системах отсчета одинаково (2) t t Соотношения (1) и (2) представляют собой так называемые преобразования Галилея в векторной форме. В координатной форме, они перепишутся как 161 x x y y V t (3) z z t t Из (3) видно, что для координаты и времени в каждый момент существует такое соотношение, какое существовало бы между ними, если бы эти системы в данный момент покоились друг относительно друга, то есть преобразования координат сводятся к геометрическим преобразованиям. Дифференцируя выражение (1) по времени находим что, скорости точки, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, связаны друг с другом соотношением V (4) Дифференцируя последнее выражение (4) по времени и учитывая, что V const , получим формулу преобразования для ускорения точки (5) а a Согласно (5), ускорение точки во всех инерциальных системах отсчета одинаково. Другими словами сила, являясь причиной ускорения ( изменения скорости согласно первому закону Ньютона), во всех инерциальных системах отсчета для рассматриваемой материальной точки, одна и та же. 8.8.4. Основные задачи механики Напомним, что общая задача механики состоит в описание движения тела. Её принято делить на две, причём обе являются основными задачами. В связи с этим, механика решает две основные задачи, которые, условно, получили название прямая и обратная задача механики. Прямая задача: по известным силам, действующим на тело, необходимо узнать, как оно будет двигаться. То есть, в любой момент времени знать его положение, скорость, ускорение, другие кинематические характеристики в любой известной нам форме задания движения. Обратная задача: из наблюдений известно движение тела, требуется узнать, какие силы вызывают это движение. То есть, изначально, известны в 162 любой момент времени координаты, скорость, ускорение - надо определить действующие силы. Обе задачи решаются с помощью законов Ньютона. Ярким примером решения обратной задачи является открытие Ньютоном закона Всемирного тяготения. Прямая задача механики является более важной и более сложной, поскольку она состоит в предсказании движения. В общем случае задача описания движения тел под действием силы является очень сложной и достаточно трудоёмкой. Напомним (смотри начало курса), её решение требует разбиения тел на элементы, замены этих элементов материальными точками, использование законов Ньютона и тем самым последовательного построения соответствующих промежуточных моделей тел. Поэтому, прежде всего, необходимо научиться решать более простую задачу о движении отдельной материальной точки, когда на нее действуют силы. Поступим аналогично тому, как мы поступали в кинематике, исследуя движение точки. Особо отметим, что в природе материальных точек нет, поэтому самостоятельного значения эти задачи не имеют, а носят лишь тренировочный характер. 8.9. Динамика материальной точки Рассмотрим задачу о движении материальной точки, когда на нее действуют силы. Основой её решения является дифференциальное уравнение движения материальной точки. Отметим, что в этом случае мы сталкиваемся с математическими операциями дифференцирования и интегрирования. 8.9.1. Дифференциальное уравнение движения материальной точки (векторный, координатный и естественный способы задания движения) В инерциальной системе отсчета сила или сумма сил, действующих на материальную точку m , определяется вторым законом Ньютона ma F (1) 163 Зная закон движения точки, к примеру в векторной форме r r (t ) , в любой момент времени можно определить скорость точки, как dr dt (2) а, следовательно, и ускорение d d 2 r a 2 dt dt (3) Тогда уравнение (1) с учетом (3) перепишется как d 2r m 2 F dt (4) Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. В механике его называют дифференциальным уравнением движения точки в векторной форме. Очевидно, что оно эквивалентно трем скалярным уравнениям, записанным в проекциях на оси декартовой системы координат m d 2x d2y d 2z F , m F , m Fz x y dt 2 dt 2 dt 2 (5) (5) – дифференциальные уравнения движения точки в координатной форме. Если известна траектория движения точки и уравнение её движения при естественном способе задания движения S S (t ) то, учитывая, что ускорение в этом случае определяется как 2 d 2 S dS 1 a 2 n dt dt (6) дифференциальное уравнение движения точки в проекциях на естественные оси удобно записать следующим образом m d 2 F , m Fn dt (7) Уравнение (5), записано с учётом того, что dS , 2 2 , а F , Fn - проекции dt вектора силы F на оси сопутствующей системы координат 164 b F a n Fn F Напомним, что сила, действующая на материальную точку, может зависеть, в общем случае, от положения этой точки, от ее скорости и от времени. То есть сила, как векторная величина, может быть векторной функцией как векторного, так и скалярного аргументов F F (r , , t ) (8) В отдельных случаях, сила может приближенно зависеть только от одной из этих величин или вообще быть постоянной. Примером сил, зависящих от положения материальной точки, являются гравитационные силы. Сила сопротивления при движении твердых тел в жидкости или газе зависит от скорости точек тела. Движение заряженной частицы в переменном электрическом поле определяется силой, зависящей от времени. Силу тяжести, действующую на материальную точку, в ряде случаев можно приближенно считать постоянной, так как ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли приближенно одинаково как по модулю, так и по направлению, а, следовательно, в ряде практических случаев постоянно. 8.9.2. Гравитационные силы. Закон Всемирного тяготения Гравитационные силы, которые так же называют силами тяготения, играют не только в механике, но и вообще в физике очень важную роль. Они являются представителями взаимодействий. Этими одного силами из четырёх обусловлено 165 фундаментальных существование звёзд, туманностей, планетных систем. В конечном счёте, именно этими силами определяется возможная судьба Вселенной, в том числе, связанная с наблюдаемым в настоящее время разбеганием галактик. Гравитационные силы являются достаточно слабыми и заметно проявляют себя лишь в макроскопических масштабах и явлениях. Они действуют между любыми макроскопическими телами. Ньютон впервые указал на то, что движение планет и движение падающих тел на Землю вызывает одна и та же сила. Такое обобщение позволило ему сформулировать закон Всемирного тяготения. Прежде чем приступить к формулировке этого закона, необходимо сделать следующее замечание. Он должен быть сформулирован так, чтобы с его помощью можно было рассчитать силы взаимного притяжения тел, имеющих любые произвольные размеры и форму, и произвольное взаимное расположение. Следовательно, он должен быть законом взаимодействия двух материальных точек. Вопрос о расчёте сил взаимодействия между телами, пока отложим, хотя в общих чертах, идея этого подхода нами уже рассматривалась в самом начале курса. Рассмотрим две материальные точки массами m1 и m 2 . Обозначим силу, действующую на первую материальную точку со стороны второй как F12 , а силу, действующую на вторую материальную точку со стороны первой как F21 . Выберем произвольной за начало отсчёта точку O . F21 m2 F12 m1 r21 r1 r2 O Положение материальной точки m1 зададим с помощью радиус-вектора r1 , а m 2 - r2 . Введем обозначение r21 r1 r 2 . Закон всемирного тяготения. 166 Силы, с которыми две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональны произведению их масс и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними. Математическое выражение для модуля сил взаимодействия двух материальных точек, как известно, записывается как F12 F21 m1m2 r212 (1) Коэффициент пропорциональности в (1), носит название гравитационной постоянной. Современное его значение в системе СИ, с большой точность равно 6, 67259 1011 H м2 (единица измерения читается как Ньютон метр кг 2 квадратный на килограмм в квадрате). Значение гравитационной постоянной, впервые, было определено экспериментально в 1798 г. англичанином Кавендишем, который использовал, как известно, в эксперименте крутильные весы. Известно, что Кавендиш вёл замкнутый образ жизни, очень ответственно относился к своим научным изысканиям и публиковал труды, в которых был полностью уверен. После его смерти, другой выдающийся английский физик Максвелл, разбирая архивы Кавендиша, опубликовал ряд его трудов, где ещё за 14 лет до открытия закона Кулона, содержались выводы о взаимодействии точечных зарядов. Вводя единичный вектор вектора r21 , как r21 , силу F12 с которой вторая r21 материальная точка притягивает первую принято записывать как mm F12 1 2 2 r21 Знак r21 mm 1 3 2 r21 r21 r21 (2) минуса «-», в (2), появляется за счёт того, что вектор силы F12 и единичный вектор вектора r21 направлены противоположно друг другу. Уравнение (2) полностью определяет математическое выражение закона Всемирного тяготения. Силу, с которой первая материальная точка действует на вторую, очевидно можно определить из равенства F12 F21 (3) 167 Коротко заметим, что, силы тяготения являются центральными силами, следовательно, подчиняются третьему закону Ньютона. 8.9.3. Общие теоремы динамики материальной точки. Теорема об изменении импульса материальной точки. Импульс силы. Теорема об изменении момента импульса материальной точки. Импульс момента силы. 1. Теорема об изменении импульса материальной точки Пусть на материальную точку массой m действуют в общем случае несколько сил, равнодействующая которых равна F . Согласно второму закону Ньютона ma F (1) Так как, ускорение точки может быть представлена как первая производная от её скорости a d , то (1) перепишется dt d m F dt (2) Поскольку m – масса материальной точки, является постоянной величиной, то её можно внести под знак производной и (2) переписать как d (m ) F dt (3) Величина под знаком производной в последнем выражении (3) получила название импульса материальной точки p m (4) Определение импульса материальной точки. Импульсом материальной точки называется произведение массы этой точки на ее скорость. Из определения следует, что импульс p величина векторная и всегда направлен так же, как и скорость точки . Единица импульса особого м с названия не имеет и определяется как [ p] [m] [ ] 1кг 1 1 168 кг м (читается с килограмм-метр в секунду). С учетом (4) соотношение (3) принимает следующий вид dp F dt (5) Выражение (5), есть математическое содержание теоремы об изменении импульса материальной точки. Теоремы об изменении импульса материальной точки. Производная по времени от импульса материальной точки равна сумме всех сил, приложенных к точке. Из (5) следует, что dp F dt (6) Интегрируя последнее выражение (6) в пределах p0 t0 , p t p t dp F dt p0 (7) t0 и учитывая, что в общем случае F const , получим t p p0 F dt (8) t0 Из последнего выражения (8) видно, что изменение импульса точки p p0 p определяется не только действующей на нее силой, но и временем, в течение которого эта сила действовала. Если в (8) положить, что сила с F const , течением времени не изменяется то интеграл вычисляется элементарно и изменение импульса точки задаётся как p p0 F ( t t 0 ) (9) Определение импульса силы. Величину, равную произведению постоянной силы на время ее действия, называют импульсом этой силы. В этой связи интеграл в правой части уравнения (8) в общем случае определяет импульс силы за произвольный промежуток времени. Из уравнений (8) и (9) следует сформулировать следующим образом. 169 важный вывод, который можно Изменение импульса материальной точки за любой промежуток времени всегда равно импульсу силы, действующей на эту точку. 2. Теорема об изменении момента импульса материальной точки. Заметим, что необходимо различать понятие момента импульса материальной точки относительно произвольной точки пространства и относительно оси проходящей через произвольную точку пространства, как и в случае с понятием момента силы, подробно рассмотренного ранее. В силу важности, начнём с первого. Запишем уравнение второго закона Ньютона в виде d m F dt (10) Умножим, векторно, слева, обе части уравнения (10) на радиус-вектор материальной точки m , проведенный из произвольной точки пространства d r , m dt r , F (11) Как известно, стоящее справа в уравнении (11) векторное произведение определяет момент M силы (или равнодействующая сил) F , действующий на материальную точку, относительно произвольной точки пространства r , F M (12) Зададимся вопросом, что представляет собой векторное произведение в левой части выражения (11). Для понимания этого, продифференцируем по времени векторное произведение r , m . Воспользовавшись правилами дифференцирования, получим d d dr r , m , m r , m (13) dt dt dt dr Поскольку , то первое слагаемое правой части (13) перепишется как dt dr (14) dt , m , m 0 Это векторное произведение равно нулю, поскольку векторы и m коллинеарные. Тогда выражение (11) с учетом (12), (13) и (14) принимает вид 170 d r , m M dt (15) Величина, под знаком производной в (15), получила название момента импульса материальной точки относительно произвольной точки пространства. Обозначать её как l r , m (16) Определение момента импульса материальной точки относительно произвольной точки пространства. Моментом импульса материальной точки относительно произвольной точки пространства называется векторное произведение радиус-вектора материальной точки, проведённого из этой произвольной точки пространства и импульса материальной точки. Модуль момента импульса l , определяется как l r m sin d m (17) где d r sin , представляет собой плечо импульса материальной точки относительно произвольной точки пространства O (плоскость рисунка, в которой лежат вектора r и m , перпендикулярна плоскости доски) l r 0 m α d Единица момента импульса относительно произвольной точки пространства, м с также специального названия не имеет l 1м 1кг 1 1кг килограмм-метр в квадрате на секунду). 171 м2 с (читается С учетом (16), (15) перепишется dl M dt (18) Выражение (18) представляет собой математическое содержание теоремы об изменении момента импульса материальной точки относительно произвольной точки пространства (часто называют уравнением моментов для материальной точки). Теорема об изменении момента импульса материальной точки относительно произвольной точки пространства. Производная по времени момента импульса материальной точки относительно произвольной точки пространства равна моменту силы относительно той же точки. Из последнего выражения (18) следует, что dl M dt (19) Интегрируя (19) по времени, в пределах l0 t0 , l t , в общем случае получим t l l0 M dt (20) 0 Величину, стоящую в правой части выражения (20) называют импульсом момента силы за произвольный промежуток времени. Таким образом, из (20) следует что, изменение момента импульса материальной точки относительно произвольной точки пространства l l0 l за любой промежуток времени равно импульсу момента силы относительно той же точки пространства, за то же время. Введем понятие момента импульса материальной точки относительно оси, проходящей через произвольную точку пространства (далее произвольной оси), и посмотрим, как будет выглядеть уравнение моментов в этом случае. Определение момента импульса материальной точки относительно произвольной оси. 172 Моментом импульса материальной точки относительно произвольной оси, называют проекцию на эту ось момента импульса материальной точки относительно любой произвольной точки данной оси. Следовательно, и нам это уже известно, момент импульса материальной точки относительно произвольной оси не является векторной величиной. Этот момент является скалярной проекцией вектора момента импульса материальной точки, которая не зависит от выбора точки на соответствующей оси, относительно которой вычисляется проекция вектора. Важно, чтобы эта точка была одной и той же, при вычислении проекции, как момента импульса материальной точки (16), так и момента силы (12), действующей на материальную точку. Если, с рассматриваемой осью совместить одну из осей координат, например ось OZ , то с учетом вышесказанного, математическое выражение теоремы об изменении момента импульса материальной точки относительно произвольной оси, можно записать как dl z Mz dt (21) Теорема об изменении момента импульса материальной точки относительно произвольной оси. Производная по времени от момента импульса материальной точки относительно произвольной оси равна моменту силы относительно этой оси. 8.9.4. Работа силы. Мощность Понятия работа силы и мощность силы являются важными понятиями механики. Рассмотрим эти понятия в рамках динамики материальной точки. Пусть материальная точка, двигаясь по некоторой траектории под действием произвольной, в общем случае, силы F переходит из положения 1 в положение 2 . Уточним, что сила в процессе движения может меняться как по модулю, так и по направлению. Рассчитаем работу силы при переходе материальной точки из начального положения 1 в конечное положение 2 . Для чего, разобьём траекторию движения точки на N частей, таким образом, 173 что бы сила в пределах каждого такого малого участка траектории изменялась незначительно, и её можно было бы считать постоянной. Рассмотрим i ый участок, для которого произвольному перемещение ri , соответствует такая постоянная сила Fi малому 2 ri Fi 1 Тогда работу постоянной силы, как известно, можно записать как Ai Fi ri cos (1) Последнее выражение (1), с учётом понятия скалярного произведения векторов, можно переписать следующим образом Ai ( Fi , ri ) (2) Полная работа, совершаемая силой при переходе материальной точки из начального положения 1 в конечное положение 2 , может быть представлена, как сумма работ, на каждом из участков траектории N N A12 Ai ( Fi , ri ) i 1 (3) i 1 Заметим, что выражение (3), выполняется тем точнее, чем меньше по длине участки разбиений (или больше число разбиений траектории на малые участки), поскольку сила в пределах каждого из них имеет более точное значение, а сам участок точнее совпадает с перемещением точки приложения силы. Таким образом, точное значение полной работы, можно определить только при числе разбиений, стремящемся к бесконечности N . Совершим предельный переход, при N в выражении (3), при этом заметим, что ri 0 . Известно, что данный предел существует и по определению представляет собой интеграл (2) A12 lim ( Fi , ri ) ( F , dr ) N ri 0 N i 1 (4) (1) 174 Выражение, стоящее под знаком интеграла, получило название элементарной работы A . Определение элементарной работы силы. Элементарной работой силы называется скалярное произведение силы на бесконечно малое перемещение точки ее приложения. A ( F , dr ) F dr cos( F , dr ) Из соотношения (5) видно, (5) что элементарная работа, величина алгебраическая. Она может быть как положительной ( A 0 , если 0 / 2 и 3 / 2 0 ), так и отрицательной ( A 0 , если / 2 3 / 2 ) и, в частности, равной нулю ( A 0 , / 2; 3 / 2,... ). С учётом, введённого понятия элементарной работы, сформулируем общее определение работы силы на конечном перемещении. Определение работы силы на конечном перемещении. Работой силы на конечном перемещении называют интеграл от элементарной работы (2) A A (1) (2) (6) ( F , dr ) (1) Отметим, что интеграл, стоящий в правой части выражения (6), принято называть криволинейным (поскольку интегрирование производится вдоль произвольной траектории, произвольной кривой) и в общем случае зависит от формы траектории. Как известно, любой вектор можно представить в виде разложения по базису. В случае декартовой системы координат для векторов F и dr , это выглядит следующим образом F Fx i Fy j Fz k dr dx i dy j dz k (7) Воспользуемся выражением скалярного произведения двух векторов через соответствующие проекции этих векторов ( F , dr ) Fx dx Fy dy Fz dz (8) 175 Тогда уравнение (5) с учетом (8) перепишется как (9) A Fx dx Fy dy Fz dz Последнее выражение (9), представляет общее выражение для элементарной работы, записанное через проекции векторов F и dr . Рассмотрим важный частный случай, когда сила является постоянной F const . Для вычисления работы такой силы воспользуемся соотношением (9) (2) A (2) ( F dx F x y dy Fz dz ) (1) (2) (2) F dx F x y (1) dy (1) F dz z (1) (10) Fx ( x2 x1 ) Fy ( y2 y1 ) Fz ( z 2 z1 ) Последнее выражение (10), можно переписать как (11) A Fx x Fy y Fz z Выражение (11) представляет собой математическое выражение для работы постоянной силы в общем случае. Поскольку постоянная сила F не меняет своего направления, то соответствующим выбором системы координат можно добиться того, чтобы в выражении (11) осталось только одно слагаемое, а два других были бы равны нулю. Для характеристики скорости, с которой совершается работа силы, вводят величину, называемую мощностью силы. Определение мощности силы. Мощностью силы называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Если за бесконечно малый промежуток времени dt сила F совершает элементарную работу А , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени определяется как A ( F , dr ) N ( F , ) dt dt (12) Из (12) следует, что мощность, развиваемая силой F , равна скалярному произведению силы на скорость, с которой движется точка приложения данной силы. Мощность, как и работа, величина алгебраическая. Если F const и const , то из (12) следует 176 N F cos( F , ) (13) Зная мощность силы, можно вычислить работу, совершаемую силой за любой произвольный промежуток времени t t t0 . Из (12) следует, что (14) A N dt Интегрируя обе части последнего выражения (14) в пределах от t0 до t (2) t (15) A N dt t0 (1) получим t (16) A N dt t0 8.9.5. Примеры вычисления работы силы: работа гравитационной силы; работа силы упругости; работа силы тяжести 1. Работа гравитационной силы. Как известно, эта сила подчиняется закону Всемирного тяготения, рассмотренному выше. Сила F12 с которой одна материальная точка притягивает другую определяется выражением mm F12 1 3 2 r21 r21 (1) Для вычисления работы гравитационной силы, перепишем (1) в более удобном, для решения задачи, виде. Пусть на материальную точку m1 действует гравитационная сила F со стороны материальной точки m 2 . Предположим, что материальная точка m1 перемещается по произвольной траектории из положения 1 в положение 2. Выберем за начало системы отсчёта точку O , совпадающую с положением материальной точки m 2 . Тогда положение m1 относительно m 2 можно задать с помощью радиус вектора r 177 m1 F 2 r 1 O m2 В связи с этим, гравитационную силу, с которой материальная точка m 2 действует на материальную точку m1 можно представить как mm F 1 3 2 r r (2) Подсчитаем работу A12 , совершаемую гравитационной силой в этом случае. Как известно (2) A12 (3) A (1) Для вычисления интеграла (3) представим выражение для элементарной работы в виде mm A ( F , dr ) 1 3 2 (r , dr ) r (4) Заметим, что в выражении (4) скалярный множитель вынесен за скобки скалярного произведения (r , dr ) , значение которого необходимо определить. Попытаемся это сделать из достаточно простых соображений, поскольку хорошо известно, что (r , dr ) r dr сos (5) Напомним, что в последнем выражении (5), вектор dr представляет собой бесконечно малое перемещение точки приложения силы F . В связи с этим его можно рассматривать как бесконечно малое приращение радиус-вектора r r dr r (6) 178 dr dr m 1 r r O m2 Произведение модуля приращения dr на косинус угла между векторами r и dr в выражении (5), как видно представляет собой приращение модуля радиус-вектора r dr сos dr (7) И так, следует запомнить и не путать понятия: бесконечно малое приращение dr радиус-вектора r , модуль приращения dr и приращение модуля dr того же самого радиус-вектора. С учётом (7) выражение (6) принимает вид (r , dr ) r dr сos = r dr (8) Из (8), следует важный обобщающий вывод. Скалярное произведение вектора и его приращения, определяется произведением модуля этого вектора на приращение его модуля. Для более подготовленного читателя заметим, что тот же самый вывод следует из более строгих рассуждений основанных на знании элементов векторного исчисления. Приведём их без обсуждения 1 1 1 1 (r , dr ) r , dr (r , dr ) (r , dr ) (dr , r ) d (r , r ) d (r ) 2 2 2 2 2 1 1 d (r 2 ) 2r dr r dr 2 2 С учётом (8), выражение для элементарной работы (4) перепишется как A Тогда m1m2 mm r dr 1 2 2 dr 3 r r работу, (9) совершаемую гравитационной силой, вычисления интеграла (3) 179 получим путём (2) (2) mm A12 1 2 2 dr m1m2 r 2 dr r (1) (1) (10) (2) 1 1 1 m1m2 m1m2 m1m2 r (1) r2 r1 Перепишем последнее выражение (10) в более удобном виде 1 1 A12 m1m2 r2 r1 (11) и пока отложим его обсуждение. 2. Работа силы упругости. Рассмотрим материальную точку, на которую действует упругая сила со стороны деформированной пружины, подчиняющаяся закону Гука2. Если за начальное совпадающее положения с началом недеформированной материальной отсчёта пружины, то точки системы принять координат проекция силы соответствующую ось (пусть это будет ось OX координат) и координата материальной положение, и концом упругости на декартовой системы точки x будут иметь противоположные знаки. В этом случае, закон Гука можно представить как (12) Fx kx Действительно, если в выражении (12) положить, что координата материальной точки равна нулю x 0 (что соответствует недеформированной пружине), то и Fx 0 . В случае, если x 0 (пружина растянута), и из (12) следует что Fx 0 , а если x 0 (пружина сжата), Fx 0 . Подсчитаем работу A12 упругой силы, при переходе материальной точки из произвольного положения 1 в произвольное положение 2 . Для чего запишем выражение для элементарной работы, с учётом того, что движение происходит вдоль оси OX и сила упругости имеет только одну проекцию A ( F , dr ) Fx dx k x dx (13) 2 Связь силы упругости и деформации была открыта экспериментально, современником Ньютона, английским физиком Робертом Гуком. 180 Тогда, с учётом (13), работа определяется интегральным выражением, которое легко вычислить (2) (2) x2 A12 kx dx k x dx k 2 (1) (1) (2) (1) x22 x12 k k 2 2 (14) Перепишем последнее выражение (14) в виде k A12 ( x22 x12 ) 2 (15) 3. Работа силы тяжести. Пусть на материальную точку массой m действует сила тяжести G mg (16) Поскольку, в большинстве встречающихся случаев ускорение свободного падения можно считать постоянным g const , то сила тяжести G , так же не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Следовательно, на материальную точку действует постоянная сила. Вычислим работу этой силы при переходе материальной точки из положения 1 в произвольное положение 2, используя известное соотношение для работы постоянной силы (17) A Gx x G y y Gz z Выберем систему координат так, что бы ось OZ совпадала с линией действия силы G Z 2 m 1 G O Y X 181 При таком подходе, отличной от нуля будет только проекция силы тяжести на ось OZ ( Gz 0 ), а две другие проекции окажутся равными нулю Gx 0 , G у 0 . Тогда из (17), следует, что формула для работы упрощается (18) A Gz z Подставляя в (18) значение проекции силы тяжести на ось OZ (19) Gz mg и учитывая, что z ( z2 z1 ) получим общее выражение для работы силы тяжести (20) A12 mg ( z 2 z1 ) Сделаем общие замечания относительно работы рассмотренных выше сил: 1) Работа, как величина алгебраическая, может быть как отрицательной, так и положительной и в общем случае равной нулю. Причём, если A12 0 , то работа совершается рассматриваемой силой (в этом случае, выражение работы силы, как нельзя лучше оправдывает своё содержание). Если A12 0 , работа совершается против рассматриваемых сил. Если A12 0 , работу рассматриваемая сила не совершает. 2) Рассмотренные выше силы обладают одной важной особенностью. Работа этих сил не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением материальной точки. 8.9.6. Консервативные силы. Потенциальная энергия материальной точки Введём важное, и играющее большую роль в физике, понятие консервативных сил. Определение консервативных сил. Силы, работа которых не зависит от формы траектории материальной точки и обращается в нуль при движении материальной точки по любой замкнутой траектории, называют консервативными (или потенциальными). 182 Доказательство этого утверждения хорошо известно. Изложим его идею. Пусть материальная точка m под действием консервативной силы, двигаясь по замкнутой траектории, возвращается в то же самое положение 1 откуда и начала своё движение. Направление движение укажем стрелкой. Разобьём эту траекторию на две части, выбрав произвольной положение точки 2 2 A1a 2 a b A2 b1 1 Тогда работа, совершаемая силой на участке 1-а-2, будет определяться как A1a 2 , а на участке 2-b-1, соответственно A2 b1 . Полная работа силы, при движении точки по замкнутой траектории, очевидно, равна сумме работ на соответствующих её участках (1) A A1a 2 A2 b1 Воспользуемся тем фактом, что (2) A2 b1 A1b 2 Тогда (1) с учётом (2) перепишется как (3) A A1a 2 A1b 2 Поскольку работа консервативной силы не зависит от пути перехода, то справедливо выражение (4) A1a 2 A1b 2 Следовательно, с учётом (4) из (3) приходим к выводу, что работа консервативных сил при движении материальной точки по любой замкнутой траектории обращается в нуль (5) A0 Что и требовалось доказать. Отметим, что силы, не удовлетворяющие этому условию, называются неконсервативными (соответственно и непотенциальными). Примером таких сил могут служить силы трения и сопротивления. 183 Если в каждой точке пространства определена сила, то говорят что задано поле сил. Независимость работы консервативной силы от формы траектории (или пути перехода) позволяет ввести понятие потенциальной энергии материальной точки в поле консервативных или потенциальных сил. Потенциальную энергию материальной точки будем обозначать Ep. Примем без доказательства, важное утверждение о том, что работа консервативной силы равна взятому с противоположным знаком «-» минус изменению потенциальной энергии материальной точки (6) A12 ( E p 2 E p1 ) E p где E p 2 – потенциальная энергия точки в положении 2, а E p1 – потенциальная энергия точки в положении 1. Соотношение (6) дает возможность найти выражение для потенциальной энергии материальной точки в случае любой консервативной силы. Для этого достаточно вычислить работу силы на соответствующем участке траектории. Сделаем важное замечание относительно потенциальной энергии. Из (6) видно, что работа консервативной силы не изменится, если к потенциальной энергии точки в 1-ом и 2-ом положении прибавить любую постоянную величину, которая измеряется в таких же единицах. Следовательно, выражение для потенциальной энергии точки можно изменять путем прибавления к нему любой постоянной величины E p E p const . Константу можно выбирать совершенно произвольно, причём её значение может быть и равно нулю. Посуществу она задаёт «уровень» отсчёта, относительно которого определяется потенциальная энергия материальной точки. Воспользуемся результатами, полученными при вычислении работы гравитационной силы, силы упругости и силы тяжести, и определим потенциальную энергию материальной точки при действии на неё соответствующих сил. Для этого консервативной силы в форме (6). 1) Гравитационная сила. 184 достаточно представить работу Воспользуемся выражением для работы гравитационной силы и представим её в следующем виде m m m m 1 1 А12 m1m2 1 2 1 2 r2 r1 r2 r1 (7) Из сравнения (7) и (6) видно, что потенциальная энергия материальной точки, на которую действует гравитационная сила, равна Ep m1m2 r (8) 2) Упругая сила. Выражение для работы упругой силы, учитывая (6) можно переписать следующим образом kx 2 kx 2 k A12 ( x22 x12 ) 2 1 2 2 2 (9) Сравнивая (9) и (6) видно, приходим к выводу, что потенциальная энергия материальной точки, на которую действует сила упругости, определяется как kx 2 Ep 2 (10) 3) Сила тяжести. Перепишем выражение для работы силы тяжести в виде (11) A12 mg ( z 2 z1 ) (mgz2 mgz1 ) Сопоставляя (11) и (6) получим, что потенциальная энергия материальной точки, на которую действует сила тяжести, имеет вид (12) E p mgz Заметим, что при написании выражений (8),(10),(12) сonst выбрана равной нулю. 8.9.7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Закон сохранения механической энергии материальной точки Пусть материальная точка массой m движется произвольной силы F . Согласно второму закону Ньютона 185 под действием m d F dt (1) Умножим обе части уравнения (1) скалярно на бесконечно малое изменение радиус-вектора точки, представленное в виде dt dr . В результате этого получим m( , d ) ( F , dr ) (2) Преобразуем отдельно сначала левую, а затем правую части последнего выражения (2). Так скалярное произведение ( , d ) может быть представлено, как дифференциал новой функции 2 ( , d ) d d 2 (3) Скалярное произведение ( F , dr ) , по определению, есть элементарная работа силы A ( F , dr ) A (4) Тогда (2) с учетом (3), (4) и того, что m const перепишется как m 2 d A 2 (5) Величина, стоящая под знаком дифференциала в уравнении (5), получила название кинетической энергии материальной точки. Определение кинетической энергии материальной точки. Кинетической энергией материальной точки называется величина численно равная половине произведения массы этой точки на квадрат модуля ее скорости Eк m 2 2 (6) Заметим, что кинетическая энергия – величина аддитивная. За единицу кинетической энергии принят 1 джоуль (Дж): Ek 1кг 1м 2 1 Дж . 1с 2 Проинтегрируем выражение (5) , в следующих пределах. Пусть в положении 1 материальная точка обладала скоростью 0 , а в положении 2 скоростью 186 (2) m 2 d 2 (1) A 0 (7) В результате интегрирования, получаем m 2 m02 A 2 2 (8) Соотношение (8) представляет собой математическое выражение теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Изменение кинетической энергии материальной точки за любой промежуток времени всегда равно работе силы, действующей на точку. Если к материальной точке приложено несколько сил, то под F надо понимать их равнодействующую, а под A – суммарную работу всех сил. Предположим, что на материальную точку действуют только консервативные силы. Тогда, как известно, их работа может быть представлена изменением потенциальной энергии материальной точки A ( E p E p 0 ) и теорема (8) принимает вид m 2 m02 ( E p E p 0 ) 2 2 (9) Группируя в последнем уравнении (9) члены с одинаковыми индексами, перепишем его следующим образом m 2 m02 Ep E p0 2 2 (10) Уравнение (10) называют законом сохранения механической энергии материальной точки. Напомним, что сумма кинетической и потенциальной энергии материальной точки, представляет собой полную механическую энергию материальной точки. Закон сохранения механической энергии материальной точки. Если на материальную точку действуют только консервативные силы, то сохраняется сумма ее кинетической и потенциальной энергии. Получим очень важное следствие из теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки. В общем случае, если на 187 материальную точку действуют не только консервативные силы, но и неконсервативные, то теорема (8) приобретает вид m 2 m02 Аконс Анеконс 2 2 (11) В (11) приняты обозначения: Aконс – работа всех консервативных сил; Aнеконс – работа всех неконсервативных сил. Поскольку работа консервативных сил может быть представлена как Aконс ( E p E p 0 ) , то (11), с учётом группировки перепишется m 2 m02 E E p 0 Aнеконс p 2 2 (12) Из последнего выражения (12) следует, что изменение полной механической энергии материальной точки равно суммарной работе неконсервативных сил. Работа неконсервативных сил Aнеконс величина алгебраическая, следовательно, возможно как убывание, так и возрастание полной механической энергии материальной точки. 188 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Чертов А.Г. Физические величины (терминология, определения, обозначения, размерности, единицы): Справ. пособие. М.: изд-во «Высшая школа», 1990, 335 с. 2. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности: Учебносправочное руководство. М.: изд-во «Наука», 1988, 432 с. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин. Л.: изд-во «Наука», 1974, 108 с. 3. Касндров О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. М.: издво «Наука», 1970, 104 с. 4. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. Пер. с англ. М.: изд-во «Мир», 1985, 272 с. 5. Ильин В.А., Э.Г.Позняк Основы математического анализа. Часть 1. М.: изд-во «Наука», 1971, 600 с. 6. Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. М.: изд-во «Наука», 1975, 336 с. 7. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. М.: изд-во «ФИЗМАТГИЗ», 1962, 132 с. 8. Физика-10: Учеб. для 10 кл. с углублённым изучением физики / В.В. Северьянов, Н.Н. Сотский.- 3-е изд.- Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та, 2006.206 с. 9. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. СПб.: Лань, 2006. 10. Иродов И.Е. Механика. М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2006. 309с. 11. Механика и теория относительности. Лекции по физике: Учеб. пособие /Ю.Н.Колмаков, Ю.А.Пекар, И.М.Лагун, Л.С.Лежнева. Тула: Тул.гос.ун-т., 2008. 179 с. 189
