РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА ВДОЛЬ НЕОДНОРОДНОГО РЕБРА

Энергетика
УДК 536.24
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА ВДОЛЬ НЕОДНОРОДНОГО РЕБРА
ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Ю.В. Видин, Р.В. Казаков
Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
Email: [email protected]
Показана возможность использования известных аналитических решений применительно к более сложным инженерным зада
чам. Так, при некоторых закономерностях изменения коэффициента теплопроводности материала вдоль стержня постоянного
сечения расчет его температурного поля может быть проведен на основании математических зависимостей, полученных для од
нородных ребер переменного сечения.
Ключевые слова:
Ребро, теплопроводность, неоднородные материалы, поперечный профиль стержня, температурное поле.
Key words:
Rib, thermal conductivity, heterogeneous material, cross direction profile of the rod, thermal field.
Проблемы совершенствования процессов те
плообмена актуальны для многих современных бы
строразвивающихся областей техники.
Одним из эффективных способов интенсифика
ции теплообмена является применение оребренных
поверхностей. Аналитическим методам решения за
дачи о распределении температуры в ребрах посвя
щено значительное количество работ [1]. В основу
многих решений положен ряд допущений, которые
позволяют сравнительно простым математическим
путем получить результаты, пригодные для инже
нерной практики. Одним из таких допущений явля
ется то, что материал исследуемого тела однороден
(изотропен), т. е. коэффициент теплопроводности
одинаков во всех направлениях и постоянен.
Целью данной работы является получение ана
литического решения задачи распределения темпе
ратуры вдоль ребер, изготовленных из материалов
с переменным коэффициентом теплопроводности.
В предлагаемой статье рассматривается случай,
когда этот коэффициент зависит некоторым обра
зом от продольной координаты. В качестве приме
ра проведем исследование стационарного процесса
переноса теплоты вдоль неоднородного стержня
постоянного поперечного сечения.
Тогда дифференциальное уравнение, описы
вающее изменение температуры по длине ребра,
можно записать в виде
d ⎡
dϑ ⎤
(1)
ϕ ( x)
− m 2ϑ = 0, 0 ≤ x ≤ l ,
dx ⎢⎣
dx ⎥⎦
где ϑ=T–TЖ – избыточная температура (ТЖ – по
стоянная температура среды); 0≤x≤l – продольная
αP
координата ребра, l – длина ребра, м; m =
,
λ0 f
м–1; P, f – периметр и площадь поперечного сече
ния стержня; α – коэффициент теплоотдачи на бо
ковой поверхности ребра, Вт/(м2К); λ0 – фиксиро
ванное значение коэффициента теплопроводности
тела (в частности, в сечении, соответствующем на
чалу координаты x=0), Вт/(м.К); ϕ(x) – функция,
характеризующая зависимость коэффициента те
плопроводности от координаты x. Если стержень
выполнен из однородного материала, то ϕ(x) = 1.
Уравнение (1) необходимо дополнить гранич
ными условиями.
Примем, что в начальном сечении стержня тем
пература поддерживается постоянной. Тогда при
x=0:
ϑ = ϑ0 = (T0 − TÆ ).
(2)
Обычно теплоотдачей с торца стержня (x=l) до
пустимо пренебречь. Следовательно, второе гра
ничное условие (при x=l) будет иметь вид:
dϑ
(3)
= 0.
dx
Если ϕ(x) = 1, то решение системы (1)–(3) име
ет наиболее простой вид [1–3]
ch[ m(l − x)]
(4)
.
ϑ = ϑ0
ch( ml )
Выразить общее аналитическое решение задачи
(1)–(3) для произвольной функции ϕ(x) затрудни
тельно. Однако для некоторых конкретных случаев
такое решение удается получить.
Так, в частности, если ϕ(x) является линейной
зависимостью, т. е.
ϕ ( x) = 1 − kx,
(5)
где сомножитель k при уменьшении коэффициента
теплопроводности λ вдоль ребра должен удовле
творять условию
1
> k > 0,
l
при его же увеличении
−∞ < k < 0.
Если k=0, то очевидно справедливо выражение (4).
Для варианта (5) уравнение (1) запишется как
d ⎡
dϑ ⎤
(1 − kx)
− m 2ϑ = 0.
(6)
⎢
dx ⎣
dx ⎥⎦
29
Известия Томского политехнического университета. 2011. Т. 319. № 4
Рисунок. Зависимость распределения избыточной температуры по длине ребра от величины коэффициента k
Введем новую переменную
1
z = − x.
(7)
k
Тогда уравнение (6) приводится к виду
d 2ϑ dϑ m 2
(8)
ϑ = 0.
z 2 +
−
dz
dz
k
Дифференциальное уравнение (8) есть модифи
цированное уравнение Бесселя, решение которого
имеет вид
⎛
⎛
z⎞
z⎞
(9)
ϑ = C1 I 0 ⎜⎜ 2m
⎟⎟ + C2 K 0 ⎜⎜ 2m
⎟,
k⎠
k ⎟⎠
⎝
⎝
где I0 и K0 – модифицированные функции Бесселя
первого и второго рода нулевого порядка.
После подстановки (7) в (9) получим
⎛ m
⎞
⎛ m
⎞
ϑ = C1 I 0 ⎜ 2
1 − kx ⎟ + C2 K 0 ⎜ 2
1 − kx ⎟ .
⎝ k
⎠
⎝ k
⎠
Постоянные C1 и C2 находим из граничных
условий (2) и (3)
⎛ m
⎞
K1 ⎜ 2
1 − kl ⎟
⎝ k
⎠
Ñ1 = ϑ0
,
⎛ ⎛ m⎞ ⎛ m
⎞ ⎞
⎜ I 0 ⎜ 2 k ⎟ K1 ⎜ 2 k 1 − kl ⎟ + ⎟
⎠ ⎝
⎠ ⎟
⎜ ⎝
⎜
⎛ m⎞ ⎛ m
⎞⎟
1 − kl ⎟ ⎟
⎜ + K 0 ⎜ 2 ⎟ I1 ⎜ 2
⎝ k⎠ ⎝ k
⎠⎠
⎝
m
I1 (2
1 − kl )
k
C2 = ϑ0
.
⎛ ⎛ m⎞ ⎛ m
⎞ ⎞
⎜ I 0 ⎜ 2 k ⎟ K1 ⎜ 2 k 1 − kl ⎟ + ⎟
⎠ ⎝
⎠ ⎟
⎜ ⎝
⎜
⎛ m⎞ ⎛ m
⎞⎟
1 − kl ⎟ ⎟
⎜ + K 0 ⎜ 2 ⎟ I1 ⎜ 2
k
k
⎝
⎠ ⎝
⎠⎠
⎝
30
Тогда окончательно получим
ϑ = ϑ0
⎛ I 0 (b 1 − kx ) K1 (b 1 − kl ) + ⎞
⎜
⎟
⎜ + K (b 1 − kx ) I (b 1 − kl ) ⎟
⎝ 0
⎠
1
I 0 (b) K1 (b 1 − kl ) + K 0 (b) I1 (b 1 − kl )
,
(10)
m
.
k
На основании решения (10) можно найти избы
точную температуру на вершине ребра (x=l)
где b = 2
ϑx = l
⎛ I 0 (b 1 − kl ) K1 (b 1 − kl ) + ⎞
⎜
⎟
⎜ + K (b 1 − kl ) I (b 1 − kl ) ⎟
⎝
⎠
0
1
= ϑ0
.
I 0 (b) K1 (b 1 − kl ) + K 0 (b) I1 (b 1 − kl )
Учитывая, что комплекс
I 0 (b 1 − kl ) K1 (b 1 − kl ) +
+ K 0 (b 1 − kl ) I1 (b 1 − kl ) =
1
,
b 1 − kl
соотношение (10) примет вид
ϑ( x = l) =
ϑ0
×
b 1 − kl
×[ I 0 (b) K1 (b 1 − kl ) + K 0 (b) I1 (b 1 − kl )] −1.
На рисунке изображены зависимости распреде
ления избыточной температуры по длине ребра
от величины коэффициента k. Расчет проводился
по формуле (4) для k=0, и по формуле (10), для
k=10 и 15 м–1. Использовались значения l=0,05 м,
m=15,492 м–1, ϑ0=100 °С.
Следует отметить, что в [2] представлено анали
тическое решение задачи о стационарном темпера
турном поле в однородном ребре трапециевидного
сечения, которое подобно формуле (10).
Энергетика
Выводы
Дифференциальное уравнение
d ⎡
dϑ ⎤
ϕ ( x)
− m 2ϑ = 0
⎢
dx ⎣
dx ⎥⎦
можно рассматривать в качестве обобщенного ура
внения стационарной теплопроводности продоль
ных ребер произвольного профиля, выполненных
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Керн Д., Краус А. Развитые поверхности теплообмена. – М.:
Энергия, 1977. – 461 с.
2. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. –
М.: Энергия, 1975. – 486 с.
как из однородных, так и из неоднородных мате
риалов.
Аналитическое решение, полученное для задач
переноса теплоты в ребрах переменного сечения
и выполненных из материалов с постоянным ко
эффициентом теплопроводности, можно распро
странить на изучение температурных полей в ре
брах с изменяющимися свойствами.
3. Видин Ю.В., Бойков Г.П., Колосов В.В., Ромащенко А.С.
Краткий справочник по тепломассообмену. – Красноярск: Си
бирский федеральный унт, 2007 – 169 с.
Поступила 10.03.2011 г.
УДК 519.635;532.546.3
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ СУШКЕ ДРЕВЕСИНЫ
КОНДУКТИВНЫМ СПОСОБОМ В УСЛОВИЯХ ПОНИЖЕННОГО ДАВЛЕНИЯ
М.В. Алексеев, Г.В. Кузнецов
Томский политехнический университет
Email: [email protected]
Сформулирована математическая модель тепломассопереноса в древесине при кондуктивном нагреве с использованием моде
ли фронтального испарения влаги. Проведено численное исследование тепломассопереноса при сушке древесины кондуктив
ным способом в условиях пониженного давления окружающей среды. Проведен анализ влияния основных параметров техно
логического процесса на длительность сушки.
Ключевые слова:
Тепломассоперенос, испарение, кондуктивная сушка древесины, пониженное давление.
Key words:
Heat and masstransfer, evaporation, conductive wood drying, underpressure.
Введение
Обязательной, самой длительной и энергозатрат
ной операцией большинства технологических про
цессов деревообработки, обеспечивающей высокое
качество продукции, является сушка древесины.
Любые технологии сушки сопряжены с боль
шими затратами тепловой и электрической энер
гии [1, 2].
Одним из наиболее перспективных является
кондуктивный способ сушки древесины при пони
женном давлении [3]. До настоящего времени этот
способ не применяется широко в связи с тем, что
отсутствует математический аппарат для выбора
технологических параметров рассматриваемого
процесса, обеспечивающий его высокую эффек
тивность. Выбирать экспериментально оптималь
ные технологические параметры такой сушки
практически невозможно изза большой длитель
ности и энергозатратности рассматриваемого про
цесса, а также многовариантности набора условий
внешних воздействий на древесину. Так, например,
понижение давления в сушильной камере по ре
зультатам в значительной степени равноценно по
вышению температуры нагревательных элементов
и наоборот. В этой связи создание математической
модели, соответствующе описывающей процесс
и позволяющей осуществлять оптимальный выбор
технологических параметров, представляется весь
ма актуальной задачей, обуславливающей сниже
ние энергозатрат на отработку технологии сушки.
В настоящее время таких моделей и методов расче
та технологических параметров рассматриваемого
варианта процесса сушки нет.
Целью настоящей работы является математиче
ское моделирование процесса кондуктивной суш
ки древесины в условиях пониженного давления
с использованием модели фронтального испаре
ния влаги.
Постановка задачи
Рассматривается пластина древесины, находя
щаяся между двумя нагревательными элементами
(рис. 1). Ось ОХ является осью симметрии, поэто
му можно рассматривать процесс в осимметричной
31