1. Квазистационарные явления Урок 25 a
реклама
1. Квазистационарные явления 1 1. Квазистационарные явления Урок 25 Сохранение магнитного потока 1.1. (Задача 6.23) Внутри сверхпроводящего бесконечного цилиндра с сечением S1 расположены аксиально симметрично бесконечный соленоид с сечением S2 и вокруг него одиночный измерительный виток с площадью S3 . В соленоиде создается магнитное поле H. Найти изменение магнитного потока через контур витка. Решение В момент времени t = 0 магнитный поток Φ = 0. После включения магнитного поля H в соленоиде по сверхпроводящему внешнему цилиндру потечет такой ток, который обеспечит равенство нулю полного потока через сверхпроводящий цилиндр. Этот ток создаст внутри цилиндра дополнительное поле H1 . Из условия равенства нулю полного тока имеем HS2 − H1 (S1 − S2 ) = 0, откуда S2 . S1 − S2 Изменение потока через виток с площадью S3 H1 = H ∆Φ3 = H1 · (S1 − S3 ) откуда ∆Φ3 = S2 · (S1 − S3 ) H. S1 − S2 1.2. (Задача 6.24) Две параллельные шины замкнуты на нижнем конце неподвижной перемычкой с размерами a × b, а сверху – «поршнем» веса P и b a размерами a × b. Все материалы сверхпроводящие, поле между h шинами H0 . Трением пренебречь. Найти зависимость h(t), считая поле внутри контура однородным (h À a, b) и пренебрегая обратным полем. Решение Поток через прямоугольное сечение h × a сохраняется, поэтому Φ0 = h0 aH0 = Φ = haH, откуда получаем в любой момент времени H= H0 h 0 . h 2 Давление со стороны замкнутого пространства (вверх) p= H2 H 2 h2 = 0 20 . 8π 8πh Тогда уравнение движения поршня весом P mḧ = −P + H2 H 2 h2 ab = −P + 20 0 ab 8π h 8π или, учитывая, что P = mg и вводя обозначение A = ḧ = −g + H02 h20 8πm ab, получаем A . h2 Введя переменную F (h) = ḣ, получим уравнение F dF A = −g + 2 . dh h dF 2 A = −gdh + 2 dh, 2 h откуда F 2 = −2gh − 2 A + C1 . h При h = h0 (в начальный момент времени) F = 0, откуда получаем C1 = 2gh0 + 2 A . h0 Уравнение F (h) = 0 имеет еще одно решение, т.е. µ 2 F = 0 = 2g(h0 − h) − 2A 1 1 − h h0 ¶ , откуда h1 = A H 2 ab = h0 0 . gh0 8πmg H 2 ab 0 таким образом поршень будет осуществлять колебания между h0 и h0 8πmg . 1. Квазистационарные явления 3 1.3. (Задача 6.25) Сверхпроводящее плоское кольцо с самоиндукцией L, в котором течет ток J, вдвигается полностью в однородное магнитное поле H0 . Найти ток J 0 , который будет после этого протекать по кольцу. Площадь осевого сечения кольца – S. Нормаль к плоскости кольца составляет с направлением H0 угол θ. Решение Поток через кольцо в начальный момент времени равен Φ0 = LJ . c Дополнительный поток, который появился в связи с появлением внешнего поля ∆Φ = H0 cos θ · S. Поскольку поток через сверхпроводящее кольцо не должен изменяться, в кольце пойдет другой ток J 0 LJ LJ 0 Φ0 = = + H0 cos θ · S, c c откуда LJ 0 LJ H0 S cos θ · c = − c c L или cH0 S J0 = J − cos θ. L 1.4. (Задача 6.26) Проводящее кольцо с самоиндукцией L находится в нормальном состоянии во внешнем магнитном поле (магнитный поток через контур кольца равен Φ0 ). Затем температура понижается и кольцо переводится в сверхпроводящее состояние. Какой ток будет течь по кольцу, если теперь выключить внешнее магнитное поле? Решение LI Φ0 = c I= cΦ0 . L 1.5. (Задача 6.27) В постоянном однородном магнитном поле с индукцией B находится круглое, недеформируемое, достаточно малого сечения сверхпроводящее кольцо радиуса R. В начальный момент плоскость кольца параллельна направлению магнитного поля, а ток в кольце отсутствует. Определить силу тока в кольце сразу после того, как оно было повернуто так, что плоскость кольца стала перпендикулярна к линиям магнитного поля. Найти затраченную работу. 4 Решение Если индуктивность кольца L, то изменение магнитного потока от внешнего поля после поворота ∆Φ = BπR2 . Это изменение компенсируется током I, которое возникнет в кольце ∆Φ = LI , c откуда I= cBπR2 . L работа, которая совершается при этом A= B 2 π 2 R4 Φ2 = . 2L 2L 1.6. (Задача 6.29) Сверхпроводящий короткозамкнутый соленоид с током J, имеющий N плотно намотанных витков, длину `, радиус витка a (` À a), растягивают в длину в два раза. Какую работу нужно при этом затратить? Решение Магнитное поле внутри соленоида в начальный момент времени (по теореме Стокса) 4π H0 ` = N I, c а поток через поперечное сечение соленоида Φ0 = H0 S. После того, как соленоид растянули, поле внутри определяется из соотношения 2H1 ` = 4πN I1 , c а поток не должен измениться - соленоид сверхпроводящий и короткозамкнутый. Φ1 = H1 S = H0 S. Откуда получаем H1 = H0 , I1 = 2I. Работа по растяжению, следовательно A = `S · H2 16π 2 N 2 I 2 2N 2 I 2 π 2 a2 = `S 2 2 = . 8π ` c 8π `c2 1. Квазистационарные явления 5 1.7. (Задача 6.33) Медный тонкостенный цилиндр массы m и длины ` внесли в однородное магнитное поле параллельное оси цилиндра, после чего за очень короткий интервал времени τ поле быстро увеличили до значения H1 и выключили. Известно, что цилиндр сжался без разрушения («магнитное обжатие»). Считая цилиндр длинным, а его форму после обжатия – цилиндрической, найти поле внутри цилиндра сразу после «обжатия» (H1 = 5 кГс, H0 = 1 кГс, τ = 10−6 с, m/` = 1 г/см. Силами упругой деформации пренебречь). Решение Предположим, что за время t, 0 ≤ t ≤ τ когда поле снаружи стало H1 , радиус цилиндра не успел измениться. Магнитное поле внутри определяется из закона сохранения магнитного потока через поперечное сечение цилиндра (приближение «сверхпроводимости» тонкого медного цилиндра) Φ = H0 πr02 = H(r)πr2 , где r– текущий радиус сжимающегося цилиндра. Тогда поле внутри цилиндра H(r) = H0 r02 . r2 Уравнение движения элемента цилиндра длиной rδϕ вдоль радиуса под действием разности давлений магнитных полей описывается уравнением · ¸ r4 δϕ rδϕ` mr̈ = − H12 − H02 04 , 2π 8π r или, упрощая, получим r̈ = − · ¸ r` r4 H12 − H02 04 . 4m r Домножив обе части уравнения на ṙ, можно привести уравнение к виду · ¸ d 2 ` d d 1 ṙ = − H12 r2 + H02 r04 , dt 4m dt dt r2 откуда получаем решение · ¸ 4 ` 2 r0 2 2 ṙ = − H1 r + H0 2 + C 1 . 4m r 2 Из начальных условий получим C1 = ¤ ` £ 2 2 H1 r0 + H02 r02 . 4m 6 Считая, как указано выше, что цилиндр не сдвинулся с места при t, 0 ≤ t ≤ τ , т.е. ṙ = 0. Тогда ¡ ¢ H12 r4 + H02 r04 − H12 + H02 r02 r2 = 0, откуда, решая квадратное уравнение, получим r = r0 H2 H0 , и H = 1. H1 H0
