ЗАРЯД И МАССА ФОТОНА Д.X. Базиев ` 1. Введение В период с

!"#$%&'&("))"&*+,+-"
%./.&012345
!!"#!$%&'&()&
$! *&+),'! -! "./0! 1#! *,! "..2! 1#! 3! 45()657-3! -)-8&6(96! 5(57)4,6
%-&1,! :;-*&+)6&(857<(,1,! )! (5=7>'58&7<(,1,! 658&+)575?! (5;,*7&((,1,
%! @)4);&?! 5-8+,(,6))! )! 5-8+,@)4);&! -,! %+&6&(! ! A#! B)7<=&+85! )! B#
B57)7&3#!$!)8,1&!C'57,-<!C-85(,%)8<!-7&'C>D&&E
"#! F;-*&+)6&(857<(9G! 658&+)57! )! -CD&-8%C>D53! 8&,+)3! @)4);)! %
=,7<H)(-8%&!-7CI5&%!(&!-,175-C>8-3!6&J'C!-,=,G#
K#! L6&&8-3! (&;)G! @C('56&(857<(9G! (&',-858,;! %! :;-*&+)6&(857<(,6
658&+)57&?!(&!*,4%,73>D)G!*,-8+,)8<!-,175-,%5((C>!8&,+)>#
2#! F8)6!@C('56&(857<(96!(&',-858;,6!3%73&8-3!,8-C8-8%)&!45+3',%,1,
5(8)*,'5! :7&;8+,(5! %! %)'&! )-8)((,! :7&6&(85+(,G! I5-8)M9! *,7,J)8&7<(96!45+3',6!)!;,(&I(,G!65--,G#
N#! O+,8,(!)!*,4)8+,(!(&!3%73>8-3!)-8)((,!:7&6&(85+(96)!I5-8)M56)!)
()! ,'(5! )4! ()P! (&! 6,J&8! *+&8&(',%58<! (5! +,7<! 5(8)*,'5! :7&;8+,(5?
*,-;,7<;C!*,'%&+J&(9!+5-D&*7&()>#
Q#! R8;+98)&! %8,+,G! )-8)((,! :7&6&(85+(,G! I5-8)M9! -! *,7,J)8&7<(96
45+3',6! ',7J(,! %,--85(,%)8<! 45+3',%C>! -)66&8+)>! %! @)4);&?
*+)%&-8)! ;! ;,+&((,6C! *&+&-6,8+C! -CD&-8%C>D&G! 8&,+&8)I&-;,G
@)4);)!)!%9%&-8)!&&!)4!;+)4)-(,1,!-,-8,3()3#
O,)-;! :8,G! I5-8)M9! *+)%&7! 6&(3! ;! *,-8,3((,G! O75(;5! )
*,8+&=,%57! C-85(,%7&()3! &&! @)4)I&-;,G! -C8)#! S&H&()&! :8,G! 45'5I)
-857,! %,46,J(96! 8,7<;,! *,-7&! C-85(,%7&()3! -8+C;8C+9! :7&6&(85+(,1,
7CI5!&-8&-8%&((,1,!-%&85?!%!;,8,+,6!*,-8,3((,G!%&7)I)(,G!,;54575-<!(&
-;,+,-8<! +5-*+,-8+5(&()3! -%&85! !?! 5! -&;8,+)57<(53! -;,+,-8<! @,8,(5?
(54%5((53!*,-8,3((,G!T)77);&(5?!UE
K
µ = λK' ⋅ ν ' = "".?."W ./N 6 K V -&; = "#$%& ?
\"]
1'&! X'! )! Y'! Z! '7)(5! %,7(9! )! I5-8,85! '[,1,! 6,(,P+,658)I&-;,1,! *CI;5
7CI&G#! A-85(,%7&()&! :8,G! (,%,G! %&7)I)(9! *+)%&7,! ;! +&H&()>
@)4)I&-;,G!-C8)!*,-8,3((,G!O75(;5!)!%)'5E
) = (* ⋅ µ ⋅ 2 Nπ V 2 V K = W?WKWKW/" ⋅ "0 −2N ;1 ⋅ 6 K V - = "#$%& ?
\K]
1'&!(*!Z!65--5!%8,+,G!\*,-7&!:7&;8+,(5]!)-8)((,!:7&6&(85+(,G!I5-8)M9?
(54%5((,G!6(,>!^:7&;8+)(,_#!L4!\K]!-7&'C&8E
(* =
K)
= W?/QQbQbK..W2 ⋅ "0 − 2W ;1 = "#$%&#
2
µ Nπ V 2
\2]
`5+3'!:7&;8+)(,?!*?!*,7,J)8&7&(!)!,*+&'&73&8-3!)4!-,,8(,H&()3E
*=−
(* ⋅ $ * ⋅ ,
− 2?K.QKWW0.0./ ⋅ "0 −QN
=−
= "?./bWNN2"Wb" ⋅ "0 −Kb d7 = "#$%& ?
−
Kb
(. − $,⋅ ⋅ (,
"?WQb/Q/NQ2. ⋅ "0
\N]
1'&! ! (+! a! "?WW0Qb""0[Kb! ;1! Z! 65--5! :7&6&(85+(,1,! 58,65?! *+)(38,1,! 45
65--,%9G! :;%)%57&(8! ,'(,G! ! 58,6(,G! &')()M9c! $,! a! 2! Z! I)-7,
:7&;8+,(,%! %! -,-85%&! :7&6&(85+(,1,! 58,65c! -! a! [! "?W0K"/.K""0[".! d7! Z
45+3'! :7&;8+,(5c! (,! a! .?02/N/b""0[2"! ;1! Z! C8,I(&((,&! 4(5I&()&! 65--9
:7&;8+,(5c! $*! a! K?N"/".//bW""0/! Z! I)-7,! :7&;8+)(,! %! -,-85%&
:7&6&(85+(,1,!58,65#
e5;)6!,=+54,6?!-857,!3-(,?!I8,!*,-8,3((53!O75(;5?!;,8,+53!*,I8)
-8,!7&8!J'575!-%,&1,!+&H&()3?!3%73&8-3!6,6&(8,6!)6*C7<-5!:7&;8+)(,#
L6&((,! %! *,-8,3((,G! O75(;5! )! -;+9%575-<! %8,+53! )-8)((,
:7&6&(85+(53! I5-8)M5?! ;,8,+53! )! 3%73&8-3! 45+3',%96! 5(8)*,',6
:7&;8+,(5?!,8;+98,1,!&D&!%!"/.b!1,'C!fJ#!fJ#!e,6-,(,6#
2
S&H&()&!*,-8,3((,G!O75(;5!*+)%&7,!6&(3!;!-)(8&4C!(,%,G!8&,+))
@)4);)?! )47,J&((,G! %! ;()1&! ^R-(,%9! &')(,G! 8&,+))! @)4);)_! \Rgeh]
iT#?!O&'51,1);5?!"..N?!WN0!-#j#!$!I5-8(,-8)?!856!*,;545(,?!I8,!:7&;8+)(,
3%73&8-3! (,-)8&7&6! 651()8(,1,! *,73?! :7&;8+)I&-;,1,! 8,;5?! @,8,(,6
%-&P!')5*54,(,%!)47CI&()3?!-7CJ)8!C()%&+-57<(96!(,-)8&7&6!:(&+1))!)
)(@,+65M))! )! )P! *&+&(,-I);,6?! %9-8C*5&8! %! +,7)! (&G8+)(,! *+)
'%)J&())!*,!8+5&;8,+)36!*&+%,1,!*,+3';5#
!&6.&74859:!84;1<=3:&>?@A483B4CD
k+&4%9I5G(53! %5J(,-8<! )! (,%)4(5! *,7CI&((9P! +&4C7<858,%! %
Rgeh! *,8+&=,%57)! :;-*&+)6&(857<(,1,! ',;5458&7<-8%5! +&57<(,-8)
:7&;8+)(,#! f73! ',-8)J&()3! :8,G! M&7)! %! L(-8)8C8&! ,=D&G! )
(&,+15()I&-;,G! P)6))! )6&()! l#m#! dC+(5;,%5! \')+&;8,+! Z! n;5'&6);
l#e#! dC4(&M,%]?! *+,%&'&(! +&H5>D)G! :;-*&+)6&(8?! %! ,-(,%C! ;,8,+,1,
7&17)!-7&'C>D)&!'%5!:@@&;85?!*+&'-;549%5&69&!&')(,G!8&,+)&G!@)4);)
\geh]#
"#! g-7)! :7&;8+)(,! '&G-8%)8&7<(,! ,8;+98,?! )! -%&8! *+&'-85%73&8! -,=,G
,+15()4,%5((9G! *,8,;! I5-8)M! iRgeh?! -#"bj?! ,=75'5>D)P! *,7,J)[
8&7<(96! 45+3',6! )! ;,(&I(,G! 65--,G?! 8,! )4! :8,1,! -7&'C&8E! *+)
+54+3J&())!)-8,I();5!*,-8,3((,1,!8,;5!I&+&4!:7&;8+)I&-;C>! 756*C
(5;57)%5()3?!%!;,8,+,G!8,;!8+5(-@,+6)+C&8-3!%!-%&8,%,&!)47CI&()&!)
=&4%,4%+58(,! +5--&)%5&8-3?! %&-! )-8,I();5! %! 45+3J&((,6! -,-8,3())
',7J&(!',-8,%&+(,!,87)I58<-3!,8!&1,!%&-5!%!+54+3J&((,6!-,-8,3())#
g-7)! :8,! *,'8%&+')8-3! %! :;-*&+)6&(8&?! 69! %*+5%&! C8%&+J'58<?! I8,
-%&8!'&G-8%)8&7<(,!-,-8,)8!)4!658&+)57<(9P!I5-8)M!;,(&I(,G!65--9?
5!45+3'!)-8,I();5?!C(,-)69G!-%&8,6?!*,7,J)8&7&(?!*,-;,7<;C!756*5
(5;57)%5()3!\/!a!"Q!$8]!(&!)-*C-;5&8!:7&;8+,(,%?!(,-)8&7&G!,8+)M5[
8&7<(,1,!45+3'5#
N
K#! mC8<! %8,+,1,! :@@&;85! -,-8,)8! %! C8%&+J'&())! 8,1,?! I8,! %! +&4C7<858&
+54+3'5! )-8,I();5! *,-8,3((,1,! 8,;5! &1,! %&-! =C'&8! %,4+5-858<?! 5! *+)
45+3';&!Z!C6&(<H58<-3#
k8,=9! C=&')8<-3! %! -*+5%&'7)%,-8)! :8)P! *+&'-;545()G?! =97,
)41,8,%7&(,!
(&-;,7<;,!
1&+6&8)I(9P!
;,(8&G(&+,%!
-!
+54(96)
)-8,I();56)! *,-8,3((,1,! 8,;5#! F7&;8+,'9! =97)! %9%&'&(9! (5+CJC
I&+&4!-8&;73((9&!)4,738,+9#!e,;!)-*98C&6,1,!)-8,I();5!(5*+5%737-3!%
:7&;8+)I&-;C>! 756*C?! %! ;,8,+,G! ,(! 8+5(-@,+6)+,%57-3! %! -%&8,%,&
)47CI&()&! %! %)')6,G! )! )(@+5;+5-(,G! ,=75-8)#! $&-! ;,(8&G(&+,%
@);-)+,%57-3! *&+&'! (5I57,6! +54+3'(,1,! *+,M&--5! )! *,-7&! &1,
45%&+H&()3!-!+54+&H&()&6!o/!a!#!0?0K!61?!*,1+&H(,-8<!%&-,%!-,-85%[
7375! o! a! #! 0?0Q! 61?! -+&'(&&! ;%5'+58)I(,&! ,8;7,(&()&! )46&+&()G! (&
*+&%9H57,!p!a!#!0?02!61?!'73!;5J',1,!)46&+&()3!%&-5!+5--I)89%575-<
-)75! n+P)6&'5#! $! '5((,G! -858<&! *+)%,'38-3! +&4C7<8589! )--7&',%5()3
8,7<;,! ,'(,1,! ;,(8&G(&+5?! %! ;,8,+9G! %6,(8)+,%5(9! I&89+&! -&+)G(,
)41,8,%7&((9P! 5;;C6C738,+5! qr?! -,&')(&((9P! *,-7&',%58&7<(,#
mC665+(,&! ! (5*+3J&()&! ! =585+&)! ! ',-8)157,! ! QN00! 6$! ! *+)! ! &6;,-8)
W000!6n"I5-#!S54+3'!*+&+9%57-3!*+)!*5'&())!(5*+3J&()3!',!N000!6$?
*+,',7J)8&7<(,-8<!+54+3'(,1,!*+,M&--5!@);-)+,%575-<!-!8,I(,-8<>!',
,'(,G! -&;C('9#! s97)! *+,%&'&(9! '%&! -&+))! ,*98,%E! *&+%53! Z! %
586,-@&+&!%,4'CP5?!%8,+53!Z!%!586,-@&+&!5+1,(5?!%!;5J',G!-&+))!I)-7,
M);7,%! 45+3'! Z! +54+3'! +5%(,! '&-38)! \85=7#! "! )! @)1#! "]#! O,7(9G! ,=t&6
*+,%&'&((9P! )--7&',%5()G! )! *,'+,=(,&! ,=-CJ'&()&! *,7CI&((9P
+&4C7<858,%! *+)%,'38-3! %! ;()1&! ^`5+3'! )! 65--5! @,8,(5_! iT#?! )4'#
^O&'51,1);5_?!K00"?!QK!-#j#
O,7CI&((9&!+&4C7<8589!*,4%,73>8!-'&758<!-7&'C>D)&!%9%,'9E
"#! d5;!157<%5()I&-;)&!:7&6&(89?!85;!)!5;;C6C738,+9?!*+)!,8'5I&!45+3'5
I&+&4! :7&;8+)I&-;C>! 756*C?! *+&,=+54C>DC>! 8,;! )-8,I();,%! %
-%&8,%,&! )47CI&()&?! ',-8,%&+(,! )46&(3>8! -%,G! %&-! )! 45+3'?! )4! I&1,
Q
-7&'C&8?! I8,! @,8,(9! ,=75'5>8! ;,(&I(,G! 65--,G! )! *,7,J)8&7<(96
:7&;8+)I&-;)6!45+3',6#
K#! l,%53?! )-8)((,! :7&6&(85+(53! I5-8)M5! Z! :7&;8+)(,?! %9%&'&((53! )4
*,-8,3((,G! O75(;5! %! 5%1C-8&! "./K! 1,'5?! ,=(5+,',%5((53! %! 65&! "..N
1,'5?!
*,7CI5&8!
*,7(,&!
)!
=&4C-7,%(,&!
:;-*&+)6&(857<(,&
*,'8%&+J'&()&#
!&E.&FDG8G:&84;1<=3:&>?@A483B4CD
$! +56;5P! geh! *,7CI&(! +&4C7<858?! C8%&+J'5>D)G?! I8,! -;,+,-8<
+5-*+,-8+5(&()3! -%&85! %! %5;CC6&! 3%73&8-3! @C(;M)&G! I5-8,89! @,8,(,%
%',7<!,-)!7CI5?!-,175-(,!-,,8(,H&()36E
!' = µ ⋅ ν ' ? 2 V !?
\Q]
ν ' = µ V λK' ? " −" #
\W]
l5! :8,G! ,-(,%&! (,%53! 8&,+)3! *+&'-;549%5&8?! I8,! &-7)! )46&+)8<
-;,+,-8<! +5-*+,-8+5(&()3! 6,(,P+,658)I&-;,1,! *CI;5! &-8&-8%&((,1,
-%&85! \-,7(&I(,1,! )7)! -%&85! +8C8(,G! 756*9?! (,! (&! 754&+(,1,! 7CI5]! '7)(,G!%,7(9!X0!a!W?/""0[b! 6! \-&+&')(5! ;+5-(,G! -*&;8+57<(,G! 7)())]?
8,!*,7CI)6E
ν 0 = µ V λK0 = K?Q.22W02/ ⋅ "0"N ! −" ?
\b]
!0 = µ ⋅ ν = "?bW2N/Q0Q//K ⋅ "0/ 2 V ! ?
\/]
I8,!-,-85%73&8!Q/?/K2!u!,8!-;,+,-8)!+5-*+,-8+5(&()3!@),7&8,%,1,!7CI5
!1a!K?..b.KNWv"0/!6V-?!-!'7)(,G!%,7(9!Nv"0[b!6#
`56&IC?!754&+(9G!7CI!%!+56;5P!geh?!(&!3%73&8-3!-%&8,%96!7CI,6?
P,83!)!@,+6)+C&8-3!)4!:7&;8+)(,#!m;,+,-8<!+5-*+,-8+5(&()3!754&+(,1,
7CI5! +5%(5! -;,+,-8)! +5-*+,-8+5(&()3! 7CI5! 7,;58,+5! )! -;,+,-8)
+5-*+,-8+5(&()3!8,;5!*,!*+,%,'();C!)!-,-85%73&8!w0E
W
w0!a!K?/..KWK.v"0/!6V-!a!"#$%&3
!!!!!!!\.]
f5((9G! :;-*&+)6&(8! ();&6! &D&! (&! *+,%&'&(?! *+&'7515>
:;-*&+)6&(858,+56! ,-CD&-8%)8<! &1,! )! ,*C=7);,%58<! *,7CI&((9G
+&4C7<858#
"H84@&15DG81I!
"0QN/N#!T,-;%5?!m)+&(&%9G!=C7<%5+?
'#!WQ?!;,+*#!N?!;%#!QQ#
,4J4KGC&HGB1;C3:E! \0.Q]!NW"[.2[./