6. Излучение релятивистской частицы Урок XXIII

117
6. Излучение релятивистской частицы
6.
Излучение релятивистской частицы
Урок XXIII
Преобразование полей. Инварианты поля Контравариантные координаты 4вектор события xi = (x0 , x1 , x2 , x3 ), xi = (ct, x, y, z). Декартова система A0 движется вдоль оси x0 , совпадающей с осью x, со скоростью v. Тогда контравариантные
координаты вектора события в этих системах связаны преобразованием Лоренца
 0  


ct
γ
−βγ 0 0
ct
 x0   −βγ


γ
0 0 
 0 =
 x ,
(1)
 y   0


0
1 0
y 
z0
0
0
0 1
z
p
где γ = 1/ 1 − β 2 , β = v/c. Сокращенно это соотношение можно записать
i
x0 = Λi.k xk , где по повторяющимся индексам (один из которых вверху, другой расположен внизу) подразумевается суммирование. Иными словами, предыдущая запись
означает, что
3
X
Λi.k xk .
(2)
x0i =
k=0
Матрица обратного преобразования Λ(β)−1 = Λ(−β).
Контравариантные компоненты некоторых 4-векторов:
потенциал Ai = (ϕ, A1 , A2 , A3 ) = (ϕ, A);
ток j i = (cρ, j 1 , j 2 , j 3 ) = (cρ, j);
волновой вектор k i = ( ωc , k 1 , k 2 , k 3 ) = ( ωc , k);
энергия-импульс pi = ( Ec , p1 , p2 , p3 ).
Величина
gik

1
 0
=
 0
0

0
0
0
−1 0
0 

0 −1 0 
0
0 −1
(3)
называется метрическим тензором. Контравариантные и ковариантные компоненты
метрического вектора связаны соотношением
−1
g ik = gik = gik
.
Метрический тензор используется для поднятия и опускания индекса
Ai = gik Ak ; Ai = g ik Ak .
118
Скалярное произведение 2-х произвольных 4-векторов a и b есть
ab = gik ai bk = ak bk = ai bi = g ik ai bk .
(4)
Скалярное произведение инвариантно относительно преобразования Лоренца. Интервал
2
(ds) = gik dxi dxk = dxk · dxk .
(5)
p
ds = cdt 1 − β 2 = cdt/γ = cdτ,
(6)
где τ – собственное время.
Эффект Доплера – преобразование частоты и угла:
ω ω
ω
ki =
, cos θ, sin θ, 0 ,
c
c 0 c 0
0
ω
ω
0i
0 ω
0
k
=
,
cos θ ,
sin θ , 0 ,
c c
c
k0
i
=
(7)
Λi.k k k .
Преобразование частоты
Аберрация
1 − β cos θ
ω 0 = γω(1 − β cos θ) = ω p
1 − β2
tg θ0 =
sin θ
.
γ(cos θ − β)
(8)
(9)
Продольный эффект Доплера:
θ0 = 0 или θ0 = π ⇒ sin θ0 = sin θ = 0.
ω 0 = ωγ (1 − β) = ω
s
1−β
.
1+β
Поперечный эффект Доплера:
θ0 = π/2, тогда
p
ω
ω0 = γ 1 − β2 ω = = ω 1 − β2.
γ
(10)
(11)
4-вектор скорости4
ui =
4В
dxi
= γ (c, v) = γc(1, β).
dτ
(12)
некоторых учебниках, в частности в «Теории поля» Ландау Л.Д. при определении 4-вектора скоро`
´
i
сти используется безразмерное определение ui = dx
= γ 1, vc = γ(1, β).
ds
119
6. Излучение релятивистской частицы
4-вектор ускорения
dui
dui
d2 xi
=γ
= γ 2 2 = γ 2 (0, a); ui ai = 0.
dτ
dt
dt
Свободная релятивистская частица.
2
Импульс p = √mv 2 , энергия E = √mc 2 = γmc2 ,
ai =
1−β
1−β
E 2 = p 2 c2 + m 2 c4 .
Заряженная релятивистская частица. Сила Лоренца
(13)
p
E
=
v
c2 ,
dp
q
1 ∂A
= qE + [vH], E = −∇ϕ −
, H = rot A.
(14)
dt
c
c ∂t
Уравнение движения заряженной релятивистской частицы в электромагнитном поле в
ковариантном виде
dui
q
= F ik uk .
m
(15)
ds
c
Контравариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид
F ik =
∂Ak
∂Ai
−
.
∂xi
∂xk
F ik – антисимметричный тензор, F ik = −F ki :

0 −Ex −Ey
 Ex
0
−Hz
ik

F =
Ey Hz
0
Ez −Hy Hx
Преобразование Лоренца для F ik :
(16)

−Hz
Hy 
.
−Hx 
0
F 0ik = Λi.m Λk.n F mn .
(17)
(18)
Преобразование полей
Hx
Hy
Hz
= Hx 0 ,
= γ(Hy 0 − βEz 0 ),
= γ(Hz 0 + βEy 0 ),
Ex
Ey
Ez
= Ex 0 ,
= γ(Ey 0 + βHz 0 ),
= γ(Ez 0 − βHy 0 ).
(19)
Иногда эти формулы удобнее записать не в x − y − z координатах, а в терминах
параллельных (вектору скорости) и перпендикулярных компонент. Тогда
Ek = E0k , E⊥ = γ (E0⊥ − [β × H0⊥ ]) ,
Hk = H0k , H⊥ = γ (H0⊥ + [β × E0⊥ ]) .
Инварианты поля:
120
1. Fik F ik = −2E 2 + 2H 2 = inv ⇒ E 2 − H 2 = inv .
2. Fik F˜ik = 4EH = inv ⇒ E · H = inv .
Система уравнений Максвелла в вакууме в ковариантной форме :
∂F ik
4π
= − j i.
k
∂x
c
(20)
∂ F̃ ik
= 0.
∂xk
(21)
Излученный 4-импульс:
Z
2 e4
∆p = −
Fkl ul F km um dxi ,
2
5
3m c
в частности, излученная энергия
2
Z ∞ E + 1c [v × H] − c12 (Ev)2
2 e4
∆E =
dt.
3 m2 c3 −∞
1 − v 2 /c2
i
(22)
(23)
Торможение излучением нерелятивистской частицы
F=−
2 e2
v̈,
3 c3
для ультрарелятивистской частицы
2 e4
2
βγ 2 |E⊥ + [β × H]| .
3 m 2 c4
6.1. (Задача 5.1.) Оси координат двух инерциальных систем отсчета параллельны между собой, относительная скорость систем направлена вдоль оси X, и при
t = t0 = 0 начала координат O и O0 совпадают. Используя известные формулы
преобразования Лоренца координат и времени для этих систем, найти матрицу Λi.k
i
такую, что x0 = Λi.k xk 5 .
Решение В соответствии с правилами преобразования координат и времени при
переходе из лабораторной системы координат в движущуюся
F=−
β
x,
c
x0 = γx − cγβt,
t0 = γt −
y 0 = y,
z 0 = z,
5 Иногда используется другое определение 4-вектора: x = (x , x , x , x ) ≡ (r, ict). Мнимая
1
2
3
4
i
√
единица i = −1, фигурирующая в определении компоненты x4 = ict, физического смысла не несет
и позволяет, используя стандартное определение скалярного произведения, получить правильные знаки
получающихся выражений. При этом необходимо иначе определить матрицу Λik .
121
6. Излучение релятивистской частицы
где введены условные обозначения
1
γ= p
,
1 − β2
β=
v
.
c
Эти преобразования можно записать в матричном виде
x0i = Λi.k xk ,
т.е.
 
ct0
γ
 x0   −βγ
 0 =
 y   0
z0
0

−βγ
γ
0
0
0
0
1
0
если матрица Λ имеет вид
Λi.k

γ
 −βγ
=
 0
0
−βγ
γ
0
0
0
0
1
0

0
ct
 x
0 

0  y
1
z





0
0 
.
0 
1
6.2. (Задача 5.2.) Используя матрицу Λi.k преобразований Лоренца, найденную
в предыдущей задаче, записать формулы преобразования для следующих 4-векторов:
P i = ( Ec , p) (4-вектор энергии-импульса), k i = ( ωc , k) (волновой 4-вектор), Ai =
(ϕ, A) (4-вектор потенциала), j i = (cρ, j) (4-вектор плотности тока).
Решение Любой из перечисленных далее векторов
nε o
Pi =
,p ,
c o
nω
ki =
,k ,
c
Ai = {ϕ, A} ,
j i = {cρ, j}
преобразуется по правилу
A0i = Λi.k Ak .
При необходимости выразить компоненты вектора в лабораторной системе координат через компоненты вектора в собственной системе отсчета можно использовать
очевидное свойство матрицы Λ
Λ−1 = Λ(−β),
122
т.е.
A0 = γ A00 + βA01 ,
A1 = γ βA00 + A01 ,
A2 = A02 ,
A3 = A03 ,
где Ai – любой из данных векторов.
6.3. (Задача 5.4.) Точечный заряд q покоится в системе K 0 в точке r0 = (x0 , y 0 z 0 ).
Система K 0 движется относительно K со скоростью v вдоль оси X. Найти: а) скалярный и векторный потенциалы в системе K; б) электрическое и магнитное поля,
используя найденные значения потенциалов. Установить связь между значениями полей в системах K 0 и K.
Решение В системе K заряд покоится и, следовательно, мы имеем кулоновское
статическое поле, для которого
q
q
ϕ0 = 0 = p
, A0 = 0.
02
R
(x + y 02 + z 02 )
Преобразование потенциалов имеет вид

 
 0 
γ βγ 0 0
ϕ
ϕ
 Ax   βγ γ 0 0   0 

 

,
 Ay  =  0
0 1 0  0 
0
0 0 1
0
Az
т.е.
ϕ = γϕ0 , Ax = βγϕ0 , Ay = Az = 0.
При этом следует иметь в виду, что при переходе из одной системы координат в другую необходимо в функциональной зависимости подставить вместо независимых переменных {ct0 , r0 } преобразованные величины {ct, r}. Тогда получаем
q
q
q
q
ϕ = γ 0 = γq
= q
= ∗,
2 +z 2
2
y
R
R
2
(x − vt) + γ 2
γ 2 (x − vt) + y 2 + z 2
q
Ax = β ∗ ,
R
где
y z
R∗ = x − vt, ,
,
γ γ
s
y2 + z 2
2
∗
R = (x − vt) +
.
γ2
123
6. Излучение релятивистской частицы
Электрическое поле в лабораторной системе координат выражается формулой
E=−
1 ∂A
− ∇ϕ.
c ∂t
∂ϕ ∂R∗
β ∂ϕ ∂R∗
∂ϕ ∂R∗
1 ∂Ax ∂R∗
−
=
−
−
=
∗ ∂t
∗ ∂t
c ∂R
∂R∗ ∂x
c∂R
∂R∗ ∂x ∗
∗
∂ϕ β ∂R
∂R
q
β 1 2 (x − vt)
1 2 (x − vt)
=− ∗
+
= ∗2
(−v) +
=
∂R c ∂t
∂x
R
c 2
R∗
2
R∗
q 1 qR∗
= ∗2 ∗ (x − vt) 1 − β 2 = 2 x∗3 .
R R
γ R
Ex = −
y
∂ϕ ∂R∗
γq
=
,
∂R∗ ∂y
γR∗3
z
∂ϕ ∂R∗
γq
Ez = − ∗
=
,
∂R ∂z
γR∗3
H = [β × E] .
Ey = −
6.4. Используя закон преобразования 4-вектора {ω/c, k} найти формулы для
релятивистского эффекта Доплера.
Решение Пусть источник покоится в лабораторной системе отсчета и излучает с частотой ω, а его волновой вектор имеет отличную от нуля компоненту kx =
−ω/c в системе K, наблюдатель движется навстречу источнику со скоростью v вдоль
оси x (поэтому у вектора kx отрицательный знак. Тогда преобразование 4-вектора
{ω/c, k} можно записать в виде
 
ω 0 /c
γ
 kx0   −βγ
 0 =
 ky   0
0
kz0

−βγ
γ
0
0
0
0
1
0


ω/c
0


0 
  kx  .
0  0 
0
1
Тогда получаем
ω0
ω
ω
= γ − βγkx = γ (1 + β) .
c
c
c
Продольный эффект Доплера имеет нерелятивистский предел при β = v/c
ll1
ω 0 ≈ ω (1 + β) .
124
Он наблюдается не только с электромагнитными волнами, но и, например, звуковыми. Гудок движущегося навстречу наблюдателю паровоза имеет более высокую частоту, а при удалении от наблюдателя – более низкую. Рассмотрим теперь поперечный
эффект Доплера. При этом у источника kx = 0, ky ω/c. Тогда
ω 0 = γω.
Из полученного результата видно, что это эффект сугубо релятивистский, поскольку
при разложении γ по степеням β мы получим квадратичную поправку.
β2
ω0 ≈ ω 1 +
.
2
6.5. С какой скоростью должен ехать автомобилист, чтобы спутать красный светофор с зеленым (анекдот о Вуде)? Считать, что длина красного света λкр = 6, 6 ·
10−7 м, а зеленого λзел = 5, 1 · 10−7 м.
Решение В соответствие с предыдущей задачей
ω0
1=β
= p
.
ω
1 − β2
Возводя в квадрат обе части уравнения и перенося члены с β в одну сторону, получим
2
β=
(ω 0 /ω) − 1
2
(ω 0 /ω)
+1
=
0, 675
≈ 0, 25.
2, 675
Таким образом Вуд (по его же собственному утверждению) ехал со скоростью v =
0, 25 c ≈ 7, 5·104км/с и, следовательно, должен был быть оштрафован не за переезд
на красный свет, а за превышение скорости.