РАЗДЕЛ 7. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ ПРИ РЕШЕНИИ

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины
Севастопольский национальный технический университет
РАЗДЕЛ 7. ВЕКТОРЫ.
МЕТОД КООРДИНАТ ПРИ РЕШЕНИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Методические указания и контрольные задания
для подготовки к внешнему независимому оцениванию
по математике
Севастополь
2011
2
УДК 514.742.2
Методические указания и контрольные задания для
подготовки к внешнему независимому оцениванию по
математике. Раздел 7. Векторы. Метод координат при
решении геометрических задач. / Сост. В.Г. Зенцева. –
Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2011. - 60 с.
Целью методических указаний является оказание помощи
учащимся школ, лицеев и других средних учебных заведений в
подготовке к внешнему независимому оцениванию и
выполнении контрольных заданий по теме «Векторы. Метод
координат при решении геометрических задач».
Указания содержат необходимые теоретические сведения,
примеры решения задач, задачи для самостоятельного решения,
а также контрольную работу и тест.
Методические указания предназначены, прежде всего,
учащимся средних учебных заведений и могут быть
использованы для проведения занятий на подготовительных
курсах, а также при самостоятельной подготовке к внешнему
независимому тестированию.
Методические указания рассмотрены и утверждены на
заседании кафедры «Высшая математика» 24.06.2011 г.,
протокол № 11 .
Допущено учебно-методическим центром и научнометодическим советом СевНТУ в качестве методических
указаний.
Рецензент: Деркач М.И., доцент кафедры высшей
математики
3
СОДЕРЖАНИЕ
Глава .1. Векторы на плоскости и в пространстве.
Декартова система координат................................................... 4
§1. Векторы и операции над ними ............................................ 4
§2. Базис на плоскости и в пространстве................................ 14
§3. Декартова система координат на прямой, на
плоскости и в пространстве .................................................... 20
Глава 2. Прямоугольные декартовы координаты и
простейшие задачи аналитической геометрии ....................... 29
§4. Проекция вектора на ось ................................................... 29
§5. Прямоугольная декартова система координат ................. 31
§6. Скалярное произведение векторов.................................... 36
§7. Элементы аналитической геометрии ................................ 49
Контрольная работа................................................................. 53
Тест .......................................................................................... 55
Библиографический список использованной
литературы ............................................................................ 59
4
ГЛАВА 1. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В
ПРОСТРАНСТВЕ. ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ
§1. Векторы и операции над ними.
1. Понятие вектора.
В математике и ее приложениях встречаются различные
величины. Некоторые из них (длина линии, площадь фигуры,
объем или масса тела) полностью определяются числом. Такие
величины называются скалярами. Для определения других
величин недостаточно одного числового значения; необходимо
указать еще присущее им направление. К таким величинам
относятся сила, скорость и т.д. Например, сила определяется не
только числовым значением, но и направлением, в котором она
действует. Такие величины называются векторами.
Определение. Отрезок прямой называют направленным
отрезком или вектором, если указано, какой из его концов
считается началом отрезка, а какой – концом. Направлением
вектора считают направление от начала к концу.
Для указания направления на конце вектора рисуют
стрелку (рисунок 1).
Вектор с началом в точке A и концом в точке B
обозначают AB . Мы будем часто записывать вектор в виде
одной (как правило, малой латинской) буквы со стрелкой

наверху, например: a (рисунок 2).
конец
В

a
начало
А
Рисунок 1
Рисунок 2
5
Длиной или модулем вектора AB называют длину отрезка
AB и обозначают AB ; если вектор записан одной буквой,


например a , то его модуль обозначают a .
Начало вектора AB (точку А) часто называют его точкой
приложения.
Определение. Векторы, лежащие на одной прямой или на
параллельных прямых, называют коллинеарными.
Рисунок 3
Рисунок 4
Любые два из трех векторов, изображенных на рисунке 3,
коллинеарны друг другу.
Определение. Векторы называют равными, если они
коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковые
направления.
Равенство векторов записывают в виде AB = CD .
Приведенное определение равенства векторов означает, по
существу, что точку приложения вектора можно выбирать где
угодно. В этом смысле векторы называют свободными. На
рисунке 4 изображены равные векторы AB и CD . Векторы MN
и MP , а также EF и GH – неравные.
Если начало вектора совпадает с его концом, то вектор
изображается одной точкой и не имеет направления. Такой
вектор называется нулевым или просто нулем. Для обозначения
нулевого вектора будем использовать число нуль. Таким


образом, равенство a  0 будем считать так: «вектор a равен
6

нулю» – и понимать в том смысле, что начало и конец вектора a
совпадают. Модуль нулевого вектора равен нулю.
В соответствии с данным ранее определением
коллинеарных векторов нулевой вектор коллинеарен любому
другому.
2. Сложение векторов.


Пусть a и b – два произвольных вектора. Если от


произвольной точки О отложить вектор a , равный a , затем от


конца этого вектора отложить вектор b  , равный b (рисунок 5),


то вектор, идущий из начала a (т.е. из точки О) в конец b  , и
 
есть a  b .

b
 
a b
О

a

a
Рисунок 5

b
О'
Рисунок 6
Важно понимать, что построенный таким способом вектор
 
a  b не зависит от положения точки О; если вместо точки О
взять другую точку О', то выполнив указанное построение,
 
получим вектор, равный a  b , но отложенный от точки О'
(рисунок 6).


В случае неколлинеарных векторов a и b можно вместо
правила треугольника использовать правило параллелограмма:

 

для построения a  b следует перенести начало векторов a и b
в общую точку О и построить на этих векторах, как на смежных
сторонах, параллелограмм (рисунок 7); тогда вектор, идущий из
точки О в противоположную вершину параллелограмма, и есть
 
ab .
7

b

b
 
a b
О

b

a
 
ba

a
Рисунок 7

a
 
ab

b
Рисунок 8
Правило параллелограмма играет важную роль в физике.
Его используют при сложении сил, т.е. нахождении
равнодействующей.
Свойства операции сложения векторов.
1. Коммутативность (переместительность):
   
(1)
a  b =b  a .
Иллюстрацией этого свойства для случая неколлинеарных
 
векторов a и b служит рисунок 8.
2. Ассоциативность (сочетательность):
     
a b с  a  b с .
(2)
Иллюстрацией служит рисунок 9.





b

a
 
ab
 
b с
  
ab c
Рисунок 9

c

a1

a2

a3

a4

an
 

a1  a2  ...  an
Рисунок 10
Из приведенных свойств сложения векторов вытекает, что
сумма любого числа векторов не зависит от порядка слагаемых и
от того, в каком порядке складывают векторы.
 

Для построения суммы a1  a2  ...  an удобнее всего
использовать правило замыкания ломаной, представляющее

собой обобщение правила треугольника: к концу a1 следует
8



приложить вектор a2 , к концу a2 – вектор a3 и т.д.; тогда


вектор, идущий из начала a1 к концу an , и является суммой
 

a1  a2  ...  an (рисунок 10).
3. Вычитание векторов 

Определение. Пусть a и b – два произвольных вектора.
 

Разностью b  a этих векторов называют такой вектор d ,


который в сумме с вектором a дает вектор b .
Отсюда вытекает следующее правило вычитания: векторы


a и b нужно привести к общему началу О и затем их концы
соединить с помощью вектора, который направлен к концу


уменьшаемого вектора b . Действительно, если a  OA и

b  OB (рисунок 11), то
 
OA  AB  OB , т.е. AB  OB  OA , или AB  b  a .
B

b
O
 
b a

a
A

a
Рисунок 11
B

a
A
Рисунок 12

Вектор, имеющий ту же длину, что и вектор a , но
противоположное направление, называют противоположным


вектору a и обозначают  a . Нетрудно видеть, что


a   a   0 .
(3)


Действительно, если a  AB , то  a  BA , тогда (рисунок
12)


a   a   AB  BA  AA  0 .
Из формулы (3) вытекает следующая формула для разности
двух векторов:
  

b  a  b   a  .
(4)
9

a
Действительно, если сложить вектор
с вектором


b   a  , то получим
 


 


a  b   a   b  a   a   b  0  b .
Формула (4) особенно удобна, когда требуется применить
операцию сложения или вычитания к нескольким (более чем
   
двум) векторам. Например, чтобы найти a  b  c  d ,
   
достаточно взять векторы a,  b ,  c ,  d и построить их сумму
по правилу замыкания ломаной.
4. Умножение вектора на число.


Пусть даны вектор a и число  . Произведением  a

называют вектор, который коллинеарен вектору a , имеет длину


  a и направлен так же, как и вектор a , если   0 , и


противоположно, если   0 . Здесь  означает абсолютную
величину числа  .

Произведение 0a принимают равным нулю (нулевому
вектору).

Если   0 , то смысл операции умножения вектора a на
число  можно выразить наглядно следующим образом: вектор


 a получается из a «растяжением» в  раз. Это выражение
1
условно; например, если   , то «растяжение» в  раз
2

означает уменьшение длины вектора a в два раза. При   0
«растяжение» в  раз сопровождается изменением направления

вектора a на противоположное (рисунок 13).
Операция умножения вектора на число обладает
следующим свойством:


 a    a .
(5)


Действительно, векторы  a  и  a имеют один и тот

же модуль, равный   a , и одно и то же направление,

совпадающее с направлением вектора a , если  и  имеют
одинаковый знак, и противоположное направление, если  и 
10
имеют разные знаки. Если одно из чисел  ,  равно нулю, то


оба вектора  a  и  a также равны нулю. Отметим еще
одно важное свойство операции умножения вектора на число


 a     a .
(6)
Иллюстрацией этого свойства служит рисунок 14.


a
2a

 a


a

1/2 a
 2a
(  ) a

-1/2 a
Рисунок 13
Рисунок 14


Теорема (о коллинеарных векторах). Если a и b – два

коллинеарных вектора, причем вектор a – ненулевой, то


найдется единственное число  , такое, что b  a .

Доказательство. Если b  0 , то, очевидно,   0 . Пусть

 


теперь b  0 . Положим   b / a , если векторы b и a
 


направлены одинаково, и    b / a , если b и a направлены


противоположно. Тогда b  a .


Если наряду с равенством b  a имеет место равенство




b  a , то    a  0 ; так как a  0 , отсюда следует, что
    0 ; т.е.    .
5. Линейные операции над векторами.
Операции сложения векторов и умножения вектора на
число называются линейными операциями. (Что касается
операции вычитания, то она определяется через сложение и
является в этом смысле «вторичной».)
Рассмотрим два свойства, в каждом из которых участвуют
обе линейные операции:
   a  a  a ,
(7)

 

 a  b  a  b .
(8)


11


В этих равенствах a и b
–
произвольные векторы, а  и  –

 
любые
числа.
Рисунок
15

ab
b
b
иллюстрирует второе из равенств


для случая   1 .
a
a
Свойства (7) и (8) вместе со
Рисунок 15
свойствами (1)-(6) имеют важное
значение, так как позволяют проводить выкладки в векторной
алгебре в основном так же, как в обычной алгебре.
В частности, при вычислениях с векторами можно
применять обычные арифметические правила раскрытия скобок
и вынесения общих множителей за скобки.
6. Линейные комбинации нескольких векторов.
 

Пусть дано несколько векторов a1 , a2 ,..., an .
 

Определение. Линейной комбинацией векторов a1 , a2 ,..., an
называют сумму произведений этих векторов на какие-нибудь
числа c1 , c2 , ..., cn :



c1a1  c2 a2  ...  cn an , где c1 , c2 , ..., cn – коэффициенты линейной
комбинации векторов.
 1

Так, вектор 3a  b  7c есть линейная комбинация
2
  
векторов a , b , c .
Пример. Дан четырехугольник ABCD (рисунок 16).
Точки Р и Q – середины сторон ВC и
Р
C
В
АD. Выразить вектор PQ через векторы
 
 (a  b )
А
Q
Рисунок 16
D
AB , BC , CD , т.е. представить в виде
линейной комбинации этих векторов.
Решение.
Имеем PQ  PB  BA  AQ 
1
1
  BC  AB  AD .
2
2
12
Если учесть, что AB  BC  CD  DA  AA  0 , и значит,
DA   AB  BC  CD , то получим
1
1
1
1
PQ   BC  AB  AB  BC  CD   AB  CD .
2
2
2
2
Как видим, вектор BC в это выражение не входит.
7. Задача об отрезке, разделенном в данном отношении.
Пусть точка C, лежащая на отрезке АВ, делит (рисунок 17)
этот отрезок в отношении  /  , т.е.
А

AC 
C
 . Тогда очевидно,
CB 


AC  CB .
(9)
О
В

Рисунок 17
Соединим точки А, В и C с некоторой
точкой О и поставим следующую задачу:
выразить вектор OC через векторы OA и OB .
Решение.
Имеем AC  OC  OA , CB  OB  OC .
Умножая обе части первого из этих равенств на  , а обе

части


второго

–

на
 , получаем


 AC   OC  OA ,

 CB   OB  OC .
Левые части равенств в силу (9) равны между собой,
поэтому равны и правые части, т.е.  OC  OA   OB  OC .

 

Переписав это равенство в виде    OC   OA   OB ,
получим


OC 
OA 
OB .
(10)

 
Пример.
Доказать,
что
медианы
произвольного
треугольника пересекаются в одной точке, а также что эта точка
делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины.
13
В
1
2
А
А'
Р
Рисунок 18
С
Решение. Выберем в плоскости
треугольника произвольную точку О.
Далее на медиане АА', соединяющей
вершину А с серединой стороны ВC,
рассмотрим точку P, делящую ее в
отношении 2:1 (рисунок 18). По
формуле (10) имеем
1
2
OP 
OA 
OA ,
2 1
2 1
1
1
OA  OB  OC .
2
2
1
21
1
1
1
 1
Отсюда OP  OA   OB  OC   OA  OB  OC .
3
32
2
3
3
 3
В полученное выражение векторы OA, OB, OC входят
равноправно. Отсюда ясно, что если взять точку Q , делящую
медиану ВВ' в отношении 2:1, а также точку R , которая делит
медиану CC' в отношении 2:1, то для векторов OQ и OR
получим точно такое же выражение. Следовательно,
OP  OQ  OR , что и доказывает совпадение точек P, Q, R .
В
a:b
с:b
С'
А'
В'
А
с:a
Рисунок 19
С
14
§2. Базис на плоскости и в пространстве.
1. Базис на плоскости. Разложение произвольного
вектора по базису.
 
Лемма. Если векторы a и b не коллинеарны, то равенство


a   b  0
(1)
возможно лишь при условии, что оба числа  и  равны нулю.
Доказательство. Пусть, например,   0 . Тогда из (1)


 

следует a   b , а это противоречит тому, что векторы a и b

не коллинеарны. Поэтому   0 . Аналогично можно доказать,
что   0 .
Рассмотрим теперь в пространстве некоторую плоскость.
Определение. Базисом в данной плоскости называют любые два


неколлинеарных вектора e1 и e2 в этой плоскости.
 
Теорема. Пусть e1 , e2 – базис в плоскости. Тогда любой

вектор a этой плоскости может быть представлен, и притом
единственным образом, в виде линейной комбинации базисных


векторов e1 и e2 :



a  X e1  Y e2 .
(2)
Доказательство.
 

Приведем векторы e1 , e2 и a к
общему началу О. Далее проведем
А2
А

через точку А (конец вектора a )

прямую, параллельную вектору e2 ,

e2
и пусть А1 – точка пересечения этой


А
прямой с осью вектора e1 (рис. 20);
1
О e1
точка существует, так как векторы
Рисунок 20


e1 и e2 не коллинеарны. Имеем

a  OA1  A1 A .

По теореме о коллинеарных векторах, OA1  X e1 ,
15

A1 A  Y e2 , где X и Y - некоторые числа.



Отсюда a  X e1  Y e2 , что и доказывает представимость



вектора a в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 .
Докажем единственность этого представления. Пусть
наряду с (2) имеет место равенство



a  X  e1  Y  e2 .
(3)
Вычитая (3) из (2) получаем


( X  X ) e1  (Y  Y ) e2  0 .
По лемме отсюда следует, что X  X  и Y  Y  .
Определение. Равенство (2) называют разложением
 

вектора a по базису e1 , e2 , а числа X и Y - координатами
  

вектора a в базисе e1 , e2 : a  ( X ,Y ) .
Пример. Дан параллелограмм АВСD (рис. 21). Точки P и
Q – середины сторон BC и CD соответственно. Найти
координаты вектора PQ , если за базисные векторы приняты


e1  AD и e2  AB .
Р
В
С
Решение.
Имеем

Q
e2
1
1
PQ  PC  CQ  AD  AB 

2
2
D
А e1


1
1
Рисунок 21
 e1  e2 .
2
2
1
 
1
Значит, PQ   ;   в базисе e1 , e2 .
2
2
2. Компланарные векторы.
Назовем вектор AB параллельным данной плоскости  ,
если прямая AB , на которой лежит этот вектор, параллельна
плоскости  . Нулевой вектор считают параллельным любой
плоскости.
  
Определение. Несколько векторов a , b , c ,... в пространстве
16
называются компланарными, если они параллельны одной
и той же плоскости.
Если векторы OA , OB , OC ,… с общим началом О
компланарны, то, очевидно, точки A, B, C ,… лежат в одной
плоскости. В этом смысле говорят, что компланарные векторы
можно перенести в одну плоскость.
Пример. Рассмотрим пирамиду с вершинами A, B, C , D
(рисунок 22).
Векторы BC , CD , DB , очевидно, компланарны. Векторы AB ,
AD , AC , напротив, не компланарны.
А
Векторы AB , AD , DC также не
компланарны: в противном случае точка
С
В
С лежала в плоскости АВD.
Два вектора всегда компланарны.
D
Три вектора могут и не быть
Рисунок 22
компланарными. Если векторы OA , OB ,
не
компланарны,
то,
проведя через конец каждого из них
OC
плоскость, параллельную двум другим векторам, получим три
различные плоскости. Эти три плоскости вместе с тремя
другими
плоскостями,
Р
определяемыми соответственно
В
парами векторов OA , OB ; OA ,
С
Q
OC ; OB , OC , ограничивают
некоторый
параллелепипед
О
А
(рисунок 23).
Рисунок 23
Если Р – вершина этого
параллелепипеда,
противоположная О, то OP  OQ  QP  OQ  OC  OA  OB  OC .
Полученное равенство дает способ построения суммы трех
некомпланарных векторов OA , OB , OC : нужно рассмотреть
параллелепипед с вершиной О, имеющей в качестве трех сторон
отрезки OA, OB, OC ; тогда вектор OA  OB  OC изобразится
диагональю этого параллелепипеда, имеющей начало в вершине
О и конец в противоположной вершине параллелепипеда.
17
3. Базис в пространстве. Разложение произвольного
вектора по базису.

Лемма. Если векторы a, b , c не компланарны, то равенство
 

(4)
 a   b  c  0
возможно лишь при условии   0,   0,   0 .
Определение. Базисом в пространстве называют любые
три некомпланарных вектора e1, e2 , e3 .
Теорема. Пусть e1 , e2 , e3 – векторный базис в пространстве.

Тогда любой вектор a в пространстве может быть представлен,
и притом единственным образом, в виде линейной комбинации
базисных векторов e1, e2 , e3 :




(5)
a  Xe1  Y e2  Z e3 .
Определение. Равенство (5) называют разложением

вектора a по базису e1, e2 , e3 , а числа X , Y , Z - кооординатами

вектора a в базисе e1, e2 , e3 .
Пример. Дана пирамида с вершинами А, В, C, D. Точки P
и Q - середины ребер AD и BC соответственно (рисунок 24).
Найти координаты вектора PQ в базисе



e1  AB , e2  AC , e3  AD .
P
B
C
Решение.
Q
Имеем PQ  PA  AC  CQ 
D
1
1
1
Рисунок 24
  AD  AC  CB   AD  AC 
2
2
2
1
1
1
1
1
1
 CB   AD  AC  CA  AB  AB  AC  AD 
2
2
2
2
2
2
1 1 1
 e1  e2  e3 .
2
2
2
1 1 1
Отсюда PQ   , ,  в базисе e1, e2 , e3 .
 2 2 2
А


18
4. Действия над векторами, заданными своими
координатами.
Пусть на плоскости выбран векторный базис e , e и
 
относительно него векторы a и b заданы своими координатами:
a   X ,Y  ,
b   X , Y  .
Тогда
имеем
a  X e1  Y e2 ,
1
2
b  X e1  Y e2 , а значит,
a  b   X  X  e1  Y  Y  e2 ,
a  b   X  X e1  Y  Y e2 .
Таким
a  b   X  X , Y  Y  ,
образом,
a  b   X  X , Y  Y  , т.е. при сложении или вычитании
векторов складываются или вычитаются их одноименные
координаты.
Аналогично, если a   X , Y  , то можно записать
a  X e1  Y e2 ,  a  X e1  Y e2 , откуда следует, что
 a  (X ,  Y ),
т.е. при умножении вектора на число его координаты
умножаются на это число.
Для векторов в пространстве правила действий в
координатах остаются теми же, что и в случае плоскости:
если a  ( X , Y , Z ) и b   X , Y , Z  , то
a  b  ( X  X , Y  Y , Z  Z ) ,
a  b  ( X  X , Y  Y , Z  Z ) ,
 a  ( X ,  Y ,  Z ) .
Пример.
Пусть
7a  5b .
Решение.
7a  5b  (12,1, 0) .
a  (1,2,5), b  (1,3,7) .
Имеем
7a  (7,14,35),
Найти
вектор
5b  (5,15,35) ,
19
5. Условие коллинеарности векторов в координатах.
Пусть a   X , Y  , b   X , Y  – два вектора на плоскости,
причем a  0 . Если вектор b коллинеарен a , то b   a , где  –
некоторое число. Так как равные векторы имеют соответственно
равные координаты, то
X   X , Y   Y .
(6)
Обратно: если имеют место равенства (6), то b   a , т.е.
вектор b коллинеарен a .
Итак, вектор b коллинеарен ненулевому вектору a в том и
только в том случае, когда координаты вектора b
пропорциональны соответственным координатам вектора a .
Такое заключение справедливо и для векторов в
пространстве.
Если ни одна из координат вектора a не равна нулю,
можно записать условие коллинеарности вектора b вектору a в
X Y
виде

– в случае плоскости,
X Y
X  Y Z
 
– в случае пространства.
X Y
Z
Например, вектор b   2,6, 4 коллинеарен a   3,9,6  ,
2 6 4
так как
  .
3 9 6
Пример. Проверить, что векторы a   1,3 и b  2,2 на
плоскости не коллинеарны, и разложить вектор c  (7,5) по
базису a , b .
1 3
 , то векторы a и b не
2 2
коллинеарны. Следовательно, они образуют базис на плоскости.
Пусть c  X a  Y b . Чтобы найти X и Y , приравняем друг другу
Решение. Так как

20
соответственные координаты векторов c и X a  Y b . Получим
следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными X и
Y:
7  X (1)  Y  2

 5  X  3  Y  2.
Решив ее, находим X  3, Y  2 .
Итак, c  3a  2b .
§3. Декартова система координат на прямой, на
плоскости и в пространстве
Пусть O - некоторая фиксированная точка, которую далее
будем называть началом. Если M – произвольная точка, то
вектор OM называется радиусом-вектором точки M по
отношению к началу O , короче, радиусом-вектором точки M.
1. Декартовы координаты на прямой.
Пусть в пространстве дана некоторая прямая l . Выберем
начало O лежащим на этой прямой. Кроме того, выберем на
прямой l ненулевой вектор e , который
будем называть базисным (рисунок 25).
О e
М
Определение. Совокупность O; e
х
точки O и базисного вектора e
Рисунок 25
называют
декартовой
системой
координат на прямой.
Рассмотрим на прямой l произвольную точку М. Так как
 
векторы OM и e коллинеарны, то OM  x e , где x – некоторое
число. Это число назовем координатой точки М на прямой.
Начало O имеет координату нуль, все остальные точки М на
прямой имеют положительные или отрицательные координаты в
зависимости от того, совпадают ли с направлением векторов
OM и e или же они противоположны. Прямую l , на которой
21
введены координаты, будем называть осью координат или осью
OX .
Введение координат на прямой приводит к тому, что
каждой точке M на прямой соответствует единственное число x
– ее координата. Обратно: если дано произвольное число x , то
существует единственная точка M, для которой это число
является координатой.
2. Декартовы координаты на плоскости.
Выберем на плоскости начало O и два неколлинеарных
вектора e1 , e2 , образующих векторный базис.
Определение.
Совокупность
O; e , e 
1
2
точки
O
и
векторного базиса e1 , e2 называют декартовой системой
координат на плоскости.
Две прямые, проходящие через O и параллельные
соответственно векторам e1 и e2 , называют осями координат.
Первую из них обычно называют осью абсцисс и обозначают
OX , вторую – осью ординат и
y ось ординат
обозначают OY .
Будем всегда изображать
e2
ось абсцисс
векторы e1 и e2 лежащими на
х
соответствующих осях координат
О e1
(рисунок 26). Если на плоскости
Рисунок 26
задана
декартова
система
координат, то положение любой
точки M по отношению к этой системе координат может быть
охарактеризовано с помощью двух чисел x и y – координат
точки М в этой системе.
Определение. Координатами точки M на плоскости
относительно декартовой системы координат
O; e1 , e2


называют координаты ее радиуса-вектора OM в базисе e1 , e2 .
22
Другими словами, чтобы найти координаты точки M , нужно
разложить вектор OM по базису e1 , e2 :
тогда числа
x, y
OM = xe1  y e2 ,
и будут координатами M относительно


декартовой системы координат O; e1 , e2 .
Координату x называют абсциссой точки M, координату
y – ординатой точки M. Координаты точки записывают в
скобках рядом с обозначением этой точки: например, запись
M (1;-2) означает «точка M имеет абсциссу 1 и ординату -2».
Итак, если выбрана система координат O; e1 , e2 на
плоскости, то каждой точке M плоскости отвечает
упорядоченная пара чисел x и y . Обратно: любой
упорядоченной паре чисел x и y отвечает единственная точка
M на плоскости. Эта точка является концом вектора
OM  x e1  y e2 .
Начало O имеет координаты 0,0  . Точки, лежащие на оси
абсцисс, имеют ординату, равную 0, точки лежащие на оси
ординат, абсциссу, равную 0. Остальная часть плоскости
разбивается осями координат на четыре координатных угла или
четверти (рисунок 27):
II
y
для точек первого угла x  0, y  0 ;

e2
для точек второго угла x  0, y  0 ;
III
I

для точек третьего x  0, y  0 ;
0 e1
для точек четвертого x  0, y  0 .
IV
x
Введение
системы
координат
лежит в основе метода аналитической
Рисунок 27
геометрии, сущность которого состоит в
том, чтобы научиться сводить любую геометрическую задачу к
задаче арифметики или алгебры. Начальным этапом такого
сведения является арифметизация исходных данных; например,
задание точки означает задание ее координат. При этом
арифметизируется и само решение задачи. Конечный результат


23
имеет также арифметическую форму; например, если ставится
задача найти некоторую точку, то в итоге должны быть
получены ее координаты.
3. Координаты вектора в декартовой системе.

Определение. Координатами вектора a на плоскости
 
относительно декартовой системы координат 0; e1; e2  называют
координаты этого вектора в базисе e1 , e2 .

Иначе говоря, чтобы найти координаты вектора a , нужно
разложить его по базису e1 , e2 :

a = X e1  Y e2 ;

тогда коэффициенты X и Y и будут координатами вектора a
 
относительно декартовой системы 0; e1; e2 .
Рассмотрим следующую важную задачу.
Задача. Даны точки A( x; y ) и B( x; y ) . Найти координаты
X и Y вектора AB .
Решение. Имеем OA  xe1  y e2 , OB  xe1  y e2 . Вычитая


из второго равенства первое, получаем AB   x  x e1   y   y e2 .
Следовательно, X  x  x, Y  y  y .
(1)
Итак, координаты вектора равны разности соответственных
координат конца и начала вектора.
4. Декартова система координат в пространстве.
Пусть в пространстве зафиксирована некоторая точка O
(начало) и выбран базис e1 , e2 , e3 .


Определение. Совокупность
0; e1 , e2 , e3
называется
декартовой системой координат в пространстве.
Три прямые, проходящие через O и параллельные
соответственно векторам e1 , e2 , e3 , называют осями координат и
обозначают соответственно OX , OY , OZ . Мы будем всегда
24
изображать векторы e1 , e2 , e3 лежащими на соответственных
осях координат (рисунок 28).
z
Определение. Координатами точки M в
пространстве относительно декартовой

e3
системы
координат
0; e1 , e2 , e3
0


называют координаты ее радиуса-вектора
e1
e2
y
OM в этой системе.
x
Иначе говоря, координаты точки M –
Рисунок 28
это такие три числа x, y, z , что


OM  x e1  y e2  z e3 .
Как и в случае плоскости x и y – соответственно абсцисса
и ордината точки M ; третью координату z называют
аппликатой точки M . Запись M ( x; y; z) означает: «точка M
имеет координаты x, y, z ».
Введение в пространстве декартовой системы координат
позволяет установить взаимно однозначное соответствие между
точками M пространства и упорядоченными тройками чисел
x, y, z .
Начало O имеет координаты 0,0,0  . Точки, лежащие на
осях Ox, Oy, Oz , имеют соответственно координаты  x;0;0 ,
0; y;0 , 0;0; z  ; точки, принадлежащие координатным
плоскостям xOy, xOz, yOz – соответственно координаты  x; y;0 ,
x;0; z  , 0; y; z  . Множество всех остальных точек пространства
разбивается координатными плоскостями на восемь частей,
называемых октантами.

Определение. Координатами вектора a в пространстве
относительно декартовой системы координат 0; e1 , e2 , e3


называют координаты этого вектора в базисе e1 , e2 , e3 .
Как и в случае плоскости, решается задача о нахождении
координат вектора по координатам его концов: если A x; y; z  и
25
B x; y; z  , то координаты X , Y , Z вектора AB соответственно
равны X  x  x , Y  y   y , Z  z   z .
5. Координаты точки, делящей отрезок в данном
отношении.
Пуст в пространстве заданы две точки: A x, y , z  ,
B x; y; z  . Требуется найти точку C , делящую отрезок AB в
данном отношении  /  . В аналитической геометрии найти
точку всегда означает найти ее координаты. Воспользуемся
формулой


OC 
OA 
OB ,

 
выведенной в п.7. §1. Обозначая координаты точки C
X C , YC , Z C , получаем


xc 
x
x ,
 



yc 
y
y ,
(2)
 
 


zc 
z
z ,


что и решает поставленную задачу.
Ту же задачу можно рассмотреть на плоскости; тогда
A x; y  , B x; y  , а решение задачи дают первые две из формул
(2).
В частном случае    формулы (2) принимают вид
x  x
y  y
z  z
, yc 
, zc 
,
2
2
2
т.е. координаты середины отрезка равны полусуммам координат
концов отрезка.
xc 
26
Задачи с решениями.
Пример 1. В параллелограмме ABCD диагонали
пересекаются в точке
O . Найти сумму векторов
OA  OB  OC  OD .
Решение.
Диагонали
параллелограмма
В
С
пересекаясь,
делятся
пополам:
О
А
OA  OC . Векторы
OA
и
OC
D
противоположные, их сумма равна

нулевому вектору:
OA + OC = 0 .
Аналогично устанавливается, что OB и OD – противоположные

векторы. Итак, OA + OB + OC + OD =( OA + OC )+( OB + OD )= 0 .


Пример 2. Доказать, что для любых векторов a и b
   
справедливо неравенство a  b  a  b .

Решение. Если один из векторов a

 
или b нулевой, то это неравенство
O
B
ab


очевидно выполняется. Пусть a и b


ненулевые векторы, OA  a и AB  b ,
A
тогда по правилу сложения векторов

 

(треугольника)
По
a
b
OB  a  b .
свойству расстояний для любых трех
точек O, A и B выполняется
   
неравенство OB  OA  AB , поэтому a  b  a  b .
Заметим, что для различных точек O, A и B равенство
OB  OA  AB выполняется тогда и только тогда, когда O, A и
B лежат на одной прямой, причем точка A лежит межу точками


O и B . Следовательно, для ненулевых векторов a и b
   
равенство a  b  a  b справедливо тогда и только тогда,
когда они сонаправлены.
27
Пример 3. Отрезок AB , где A(7;1), B(4;5) разделен на
три равные части. Найти координаты точек деления.
Решение. Пусть P – точка деления, ближайшая к А. Тогда
 1
 и координаты точки P таковы:
 2
2
1
2
1
xP   7   4  6, y P  1   (5)  1 .
3
3
3
3
 2
Для второй точки деления Q имеем  , следовательно
 1
1
2
1
2
xQ   7   4  5, yQ  1   (5)  3 .
3
3
3
3
Таким образом, точки деления: P(6;1), Q(5;3).
Пример 4. Найти точку, симметричную точке A(2;0;7)
относительно точки B(5;1;2) .
Решение. Если C – искомая точка, то В – середина отрезка
АC. Поэтому, обозначив координаты точки C через x, y, z ,
2 x

 5 2 ;
 x  12;

0 y


имеем
откуда
;
 1 
 y  2;
2
 z  3.


7z

2

;

2


Пример 5. На плоскости даны два вектора p  (2;3),


 
g  (1;2) . Найти разложение вектора a  (9;4) по базису p, g .
 
2 3
Решение. Так как

, то векторы p и g не
1
2
коллинеарны. Следовательно, они образуют базис на плоскости.



Пусть a  Xp  Yg . Чтобы найти X и Y , приравняем друг другу



соответственные координаты векторов a и Xp  Yg . Получим
систему двух уравнений с двумя неизвестными X и Y :
28
9  2 x  y,

4  3x  2 y.



Решив ее, находим x  2, y  5 . Итак, a  2 p  5 g .
Задачи для самостоятельного решения
  
1. Задайте произвольно векторы a , b , c на плоскости и
 1
 


1
постройте: а) 3a ; б)  b ; в) 2a  3b ; г) a  2b  c .
2
3


2. В параллелограмме АВCD имеем AB  a и AD  b .


Выразите через a и b следующие векторы: PA, PB , PC , PD ,
где P – точка пересечения диагоналей параллелограмма.
3. Сторона ВC треугольника АВC разделена точками P и Q


на три равные части. Обозначив AB  c и AC  b , выразите


через b и c векторы AP и AQ .


4. На плоскости даны два вектора: a =(2;3) и b =(1;2).
Проверьте, что они не коллинеарны, и найдите разложение

 
вектора c =(4;9) по базису a и b .
5. Найдите точку, симметричную точке
A(3;0)
относительно точки B(2;9) .
6. Отрезок АВ, где A(1;3;5) , B(7;3;4) , разделен на три
равные части. Найдите точки деления.
Ответы.
1  
1  
1  
PA   (a  b ) ,
PB  a  b ,
PC  (a  b ) ,
2
2
2



1 
2 1
2
1
PD   a  b . 3. AP  c  b , AQ  b  c .
2
3
3
3
3



4. c  a  6b . 5. (7;18). 6. (3;-1;-2) и (5;1;1).

2.



29
ГЛАВА 2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ДЕКАРТОВЫ
КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§4. Проекция вектора на ось.
Пусть в пространстве задана прямая. Выберем на ней одно
из двух направлений и будем считать его положительным.
Определение.
Прямую,
на
которой
выбраны
положительное направление и единица для измерения длин,
называют осью.
Обычно положительное направление и единицу длины

задают одновременно с помощью вектора e длины 1,
параллельного этой прямой. Такой вектор называют единичным
вектором данной оси или ортом (рисунок 29).

e
А

e
В
l
В'
А'
Рисунок 29
Рисунок 30
Обозначим рассматриваемую ось буквой l. Из
произвольной точки А опустим перпендикуляр на l. Точку А' –
основание перпендикуляра – называют ортогональной
проекцией (или просто проекцией) точки А на ось l.
Определение. Пусть l – произвольная ось и AB –
произвольный вектор в пространстве. Вектор AB , начало и
конец которого суть проекции точек на ось l (рисунок 30).
Наряду с векторной проекцией применяют скалярную
проекцию вектора на ось.
Определение. Скалярной проекцией вектора AB на ось l

называют такое число  , что AB  e .
30
Скалярную проекцию будем обозначать так: прl AB или

прa AB , где a – какой-нибудь ненулевой вектор, идущий в
положительном направлении оси l.
1. Угол между
 векторами. Угол вектора с осью.

Пусть a и b – два произвольных вектора. Перенесем их
начала в одну точку и затем проведем через них плоскость.


Углом  между векторами a и b называют угол кратчайшего


поворота от вектора a к вектору b в плоскости этих векторов
(рисунок 31). Очевидно, 0     .

Если имеется некоторый вектор a и ось l, то углом между


ними назовем угол  между вектором a и ортом e оси l
 
(рисунок 32). Угол  будем обозначать символами (a , b ) и

 
a
(a , e ) .



b 
e
l


e
a
Рисунок 32
Рисунок 31
2. Теорема о проекции вектора на ось

Теорема. Проекция вектора a на ось l равна произведению

длины вектора a на косинус угла между этим вектором и осью l:
 

прl a  a cos (a , l ) .
(1)
Формула (1) непосредственно следует из определения
косинуса. Рисунок 33 поясняет возможные при этом случаи.


прl a  0

 /2

e

прl a  0

e
Рисунок 33

прl a  0
31
3. Свойства проекций
1. Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же

 

 
ось. Действительно, если a = b , то a  b и (a , l )  (b , l ) , откуда


по формуле (1) следует прl a  прl b .
2. Проекция суммы нескольких векторов на произвольную
ось равна сумме их проекций на эту ось:

 

прl a  b  ...  прl a  прl b  ...
3. При умножении вектора на число его проекция
умножается на то же число:


прl (k  a )  k  прl a .


§5. Прямоугольная декартова система координат.
Среди декартовых систем координат простейшей является
прямоугольная декартова система координат.
 
Определение. Декартова система координат 0; e1 , e2  на


плоскости называется прямоугольной, если e1 и e2 – взаимно
перпендикулярные единичные векторы.
Аналогично определяется прямоугольная декартова
  
система координат 0; e1 , e2 , e3  в пространстве; в этом случае
  
векторы
e1 , e2 , e3
также
должны
быть
взаимно
перпендикулярными и единичными.
 
Базисные векторы e1 , e2 прямоугольной декартовой
 
системы координат на плоскости обозначают обычно i , j ;
  
базисные векторы e1 , e2 , e3 прямоугольной декартовой системы
  
координат в пространстве обозначают i , j , k .
Соответственно разложение произвольного радиус-вектора
OM по базису записывают в виде
 
OM  xi  yj (для плоскости),

 
OM  xi  yj  zk (для пространства).
32
В первом случае точка M имеет координаты x, y , во
втором – координаты x, y, z (рисунок 34).
y
z
M(х,у)
M(х,у,z)

k

j

0 i


i 0 j
х
Рисунок 34
y
х
1. Координаты вектора в прямоугольной системе как
его проекции на оси координат.
Пусть в прямоугольной системе координат на плоскости
точка А имеет координаты x, y . Тогда ее проекциями на
координатные
оси
являются
A1 ( x;0), A2 (0; y ) .
Это
непосредственно следует из сказанного ранее. Аналогично, если
в прямоугольной системе координат в пространстве точка А
имеет координаты x, y, z , то ее проекции на координатные оси
суть A1 ( x;0;0), A2 (0; y;0), A3 (0;0; z ) .
Теорема. Координаты вектора AB в любой прямоугольной
системе координат совпадают с его проекциями на
координатные оси.
Доказательство. Пусть A( x; y; z ) и B( x; y ; z) . По
доказанному ранее, координаты вектора AB в данной системе
координат соответственно равны x  x, y  y , z  z .
Спроецируем точки А и В на координатные оси; в
результате получим точки A1 , A2 , A3 и B1 , B2 , B3 . Далее имеем
 

A1B1  OB1  OA1  xi  xi   x  x i и, аналогично,


A2 B2   y  y  j , A3 B3  z   z k .
Эти равенства показывают, что
пр0х AB  x  x , пр0y AB  y  y , пр0z AB  z   z .
33
2. Длина отрезка в координатах.
Пусть на координатной оси с началом 0 и единичным

базисным вектором e взяты две
точки A( x1 ) и B( x2 ) (рисунок 35).
A( x1 ) B( x2 )

Тогда
AB  OB  OA  ( x2  x1 )e .

0 e
Отсюда следует, что расстояние
между точками А и В равно
Рисунок 35
AB  x2  x1 .
Пусть теперь относительно прямоугольной системы
координат на плоскости взяты две точки A( x1; y1 ) и B( x2 ; y2 ) .
Предположим сначала, что отрезок AB не параллелен ни одной
из координатных осей. Проведем через каждую из точек А и В
прямые, параллельны координатным осям (рисунок 36). По
теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABP
2
2
2
находим AB  AP  BP .
y
Q
B ( x2 , y2 )
Но AP  пр0 x AB  x2  x1 ,
P
BP  пр0 y AB  y 2  y1 ,
A( x1 , y1 )
0
x
Рисунок 36
откуда
следует,
2
2
2
AB  x2  x1  y 2  y1 .
2
2
что
Итак,
AB   x2  x1    y2  y1  .
(1)
Полученная формула верна и в тех случаях, когда отрезок
AB параллелен оси 0Х или оси 0Y .
Формула (1) позволяет выразить длину отрезка на
плоскости через координаты его концов.
Наконец, рассмотрим точки А и В в пространстве. Пусть
A( x1; y1 ; z1 ) и B( x2 ; y2 ; z2 ) . Допустим сначала, что отрезок AB не
параллелен координатной плоскости X 0Y . Спроецируем
каждую из точек А, В на эту плоскость; получим точки
A( x1; y1 ;0) и B( x2 ; y2 ;0) .
34
2
2
2
По доказанному, AB   x2  x1    y2  y1  .
Проведем через точки А и В
z
плоскости перпендикулярные оси
B
z2
0Z (рисунок 37).
По
теореме
Пифагора
из
z1 A
P
треугольника
ABP
найдем
2
2
2
2
2
AB  AP  PB  AB  PB .
y
A'
x
Но PB  z 2  z 1 , поскольку PB –
абсолютная величина проекции
Рисунок 37
вектора AB на ось 0Z. Отсюда
2
2
2
2
AB   x2  x1    y2  y1    z2  z1  .
B'
2
2
2
Итак,
AB   x2  x1    y2  y1    z 2  z1 
(2)
Полученная формула верна и в том случае, когда отрезок
AB параллелен плоскости X 0Y (тогда AB  AB  , а z 2  z1  0 ).
Формула (2) позволяет выразить длину отрезка в
пространстве через координаты его концов.
3. Длина вектора в координатах.
Ранее были получены формулы, выражающие координаты
вектора AB через координаты его концов: X  x2  x1 ,
Y  y2  y1 , если A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 ) – две точки на плоскости и
X  x2  x1 , Y  y2  y1 , Z  z2  z1 , если A( x1; y1 ; z1 ) , B( x2 ; y2 ; z2 )
– две точки в пространстве.
Используя формулы (1) и (2) , можно теперь записать

формулы, выражающие длину произвольного вектора AB  a
через его координаты в прямоугольной системе координат:


a  X 2 Y2 ,
если a   X , Y  - вектор плоскости, и


a  X 2  Y 2  Z 2 , если a   X , Y , Z  - вектор в пространстве.
35
4. Направляющие косинусы.

Пусть a – ненулевой вектор в пространстве. Обозначим
через  ,  ,  – углы, которые этот вектор образует с осями 0х,
0у, 0z прямоугольной системы координат (рисунок 38).
Так как проекции вектора на
z
координатные
оси
совпадают
с

a

соответственными координатами X , Y , Z
этого вектора, то можно записать


равенства



X  a cos  , Y  a cos  , Z  a cos  . (3)
y
x
Итак, каждая координата вектора
Рисунок 38
равна произведению его длины на
косинус угла между вектором и
соответствующей координатной осью.
Определение.
Числа
cos , cos  , cos 
называют

направляющими косинусами вектора a .
Направляющие
косинусы
связаны
между
собой
соотношением
cos 2   cos 2   cos 2   1 .
(4)
2
Действительно a  X 2  Y 2  Z 2 , откуда согласно (3)
2 2
a  a (cos2   cos2   cos2  ) ,
2
сокращая на a , приходим к равенству (4).
Пример 1. Найти направляющие косинусы вектора AB ,
если A(1;1;3) , B(2;1;1) .
Решение. Координатами вектора AB
x  2  1  1 , y  1  (1)  2 , z  1  3  2 .
Отсюда AB  12  2 2  (2) 2  3 .
По формулам (3) находим
являются числа
36
x 1
y 2
z
2
cos     , cos     , cos      .
a 3
a 3
a
3

Пример 2. Вектор a образует с осями OX и OY углы 60 .
Какой угол он образует с осью OZ ?
Решение. Обозначая искомый угол через  , можно
cos 2 60  cos 2 60  cos 2   1 ; откуда следует, что
1
cos   
. Имеем два решения:   45 и   135 . Очевидно,
2
они отвечают двум векторам, симметричным друг другу
относительно координатной плоскости XOY .
записать
§6. Скалярное произведение векторов.
1. Определение. Скалярным произведением двух
 
ненулевых векторов a и b называют число
 
 
a  b cos a , b  .


 
Если хотя бы один из векторов a , b равен нулю, то их
скалярное произведение принимают равным нулю.


 
Скалярное произведение векторов a и b обозначают a  b .
Итак,
   
(1)
a  b = a  b cos  ,



где  – угол между векторами a и b . Случай, когда a  0 или


b  0 , также охватывается формулой (1), поскольку тогда a  0

или b  0 (угол  при этом можно считать произвольным).
Скалярное произведение тесно связано с проекциями


векторов. Если обозначить через прa b проекцию вектора b на

ось, имеющую направление вектора a , то, согласно теореме о
37
 
 
проекциях, будем иметь прa b  b cos  , прb a  a cos  . Из этих
формул и из формулы (1) следует, что
   
  

a  b  a прa b , a  b  b прb a ,
(2)
т.е. скалярное произведение двух векторов равно произведению
длины одного из них на проекцию другого вектора на
направление первого.
 

Скалярное произведение a  a вектора a на себя называют


скалярным квадратом вектора a и обозначают a 2 . Так как в
этом случае угол   0 , то

 
2
a 2  a  a cos 0  a ,
т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
2. Свойства скалярного произведения.
1. Коммутативность:
   
a b  b a .
Это свойство непосредственно следует из определения
скалярного произведения.
2. Ассоциативность по отношению к умножению вектора
на число:
 
 
(ka )  b  k (a  b ) .
Свойство вытекает из свойств проекций, поскольку


  



 
(ka )  b  b прb (ka )  b k прb a  k b прb a  k (a  b ) .
3. Дистрибутивность относительно сложения векторов:
      
(a  b )  c  a  c  b  c .
Доказательство этого свойства также следует из свойств
проекций:


   
 



 
(a  b )  c  c прc (a  b )  c (прc a  прc b )  c прc a  c прc b 
   
 a  c  b  c.


4. Свойство знака. Если a и b – два ненулевых вектора и
 – угол между ними, то
38
 
a b  0 тогда и только тогда, когда угол  – острый;
 
a b  0 тогда и только тогда, когда угол  – тупой;
 
a b  0 тогда и только тогда, когда угол  – прямой.


Действительно, так как a  0 и b  0 , то:
 
неравенство a b  0 равнозначно неравенству cos  0 ;
 
неравенство a b  0 равнозначно неравенству cos  0 ;
 
неравенство a b  0 равнозначно неравенству cos  0 ;


5. Векторы a и b перпендикулярны в том и только в том
случае, когда их скалярное произведение равно 0.
 

Действительно, если a  b , то   , откуда следует
2
 
cos  0 , а значит и a b  0 .

 

Обратно, если a b  0 , то либо a  0 , либо b  0 , либо
 
cos  0 . В первом и втором случаях a  b , так как нулевой
вектор перпендикулярен любому другому, в третьем же случае
 

  и ab.
2
3. Выражение скалярного произведения через
координаты векторов.
Пусть в прямоугольной системе координат на плоскости
 


заданы координаты векторов a и b : a   x1 , y1  , b   x2 , y2  .
Тогда имеет место важная формула
 
a  b  x1 x2  y1 y2 ,
т.е. скалярное произведение равно сумме произведений
одноименных координат.
Чтобы вывести эту формулу, разложим векторы по ортам:






a  x1i  y1 j ,
b  x2 i  y 2 j ,
39
затем перемножим их скалярно, используя установленные ранее
свойства скалярного произведения. Получим




 
a  b   x1 x2 i i   x1 y2 i j   y1 x2  j i   y1 y2  j j .
  


Так как i i  j j  1 (векторы i и j имеют длину, равную 1) и
  


i j  j i  0 (вектор i перпендикулярен j ), то выражение для
 
a  b приводится к требуемому виду:
 
a  b  x1 x2  y1 y2 .



Если a и b – два вектора в пространстве и a   x1 , y1 , z1  ,

b   x2 , y 2 , z 2  , то, рассуждая аналогично, приходим к равенству
 
a  b  x1 x2  y1 y2  z1 z 2 ,
(3)
которое формулируется точно так же, как и в случае плоскости.

В частности, для одного вектора a   x, y, z  имеем
  2
a  a  a  x2  y2  z2 ,
откуда следует уже знакомая формула

a  x2  y 2  z 2 .
4. Применение скалярного произведения.
1) Условие перпендикулярности двух векторов.


Векторы a и b перпендикулярны в том и только в том
случае, когда
x1 x2  y1 y2  z1 z2  0 .
Это предложение непосредственно следует из формулы (3)
и свойства 5 скалярного произведения.


2) Угол между векторами. Пусть a и b – два ненулевых
вектора,  – угол между ними. Из определения скалярного
произведения следует
 
a b
cos    
a b
40
cos  
или
x1 x2  y1 y 2  z1 z 2
.
(4)
2
2
x1  y12  z12 x2  y22  z 22
С помощью этой формулы можно находить косинус угла
 
между векторами a и b .
3) Проекция вектора на ось.
Пусть в пространстве дана некоторая ось  , единичный

вектор которой e составляет с координатными осями углы

 ,  ,  . Тогда проекция произвольного вектора a   x, y, z  на
эту ось определяется формулой

пр a  x cos   y cos   z cos  .
(5)

Действительно, поскольку длина вектора e равна 1, его
проекции на координатные оси равны 1 cos  , 1 cos  , 1 cos  .

Следовательно, координаты вектора e также равны cos ,
cos  , cos  . Так как
 
  
пр a  a пр a  a  e ,
то в результате получаем формулу (5).
Пример 1. Даны точки A(2;0;1), B(2;1;0), C (1;0;0) . Найти
угол АВC.
Решение.
Рассмотрим
векторы
и
BA  (0;1;1)
BC  (1;1;0) . Искомый угол АВC есть угол  между этими
векторами. По формуле для косинуса угла между двумя
векторами находим
cos  
BA  BC
BA  BC

0  (1)  (1)  (1)  1 0
0 2  (1) 2  12 (1) 2  (1) 2  0 2

1
.
2
Следовательно,   60 .

Пример 2. Найти проекцию вектора a  (1,2,3) на ось  ,
образующую с координатными осями равные острые углы.
Решение. Как следует из ранее сказанного, направляющие
косинусы оси  таковы:
41
1
. Следовательно,
3

1
1
1
пр a  1
 2
 3
2 3.
3
3
3


Пример 3. Даны векторы a  (1,2,1) , b  (2,1,3) . Найти
cos  cos   cos  

прa b .

  
Решение. Так как a  b  a прa b , то

 a  b 1 2  2(1)  (1)  3  3
3
прa b   


.
2
2
2
a
2
6
1 2  (1)
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
 
1. Найдите скалярное произведение векторов a и b , если:


 

а) a  3 , b  1 , (a , b )   ;
6
Решение.
   
 
3 3
 
a  b  a  b cos (a , b )  3 1 cos    3 
 .
2
2
 6
3
Ответ: .
2


б) a  3;1;5 , b  1;2;3 ;
Решение.
 
a  b  x1 x2  y1 y 2  z1 z 2  3 1  1 2  5(3)  3  2  15  14 .
Ответ: -14.
  
 
 

в) a  2i  3 j  4k , b  i  2 j  k ;
Решение.


Вектор a имеет координаты a  2;3;4 , вектор

b  1;2;1 , тогда
 
a b  2  1  (3)(2)  4  1  2  6  4  12 .
42
Ответ: 12.
  
 
  


г) a  p  g  2r , b  2 p  g  r , где p  (3;4;2) , g  (2;3;5) ,

r  (3;2;4) ;
Решение.
 
Найдем координаты векторов a и b

a  (3;4;2)  (2;3;5)  2(3;2;4)  (11;11;15) ,

b  2(3;4;2)  (2;3;5)  (3;2;4)  (1;3;5) .
Тогда скалярное произведение
 
a b  11 1  11  3  15(5)  31 .


д) a  AB, b  CD , где A(2;3;8), B(2;1;7), C (1;4;5),
D (7;4;7) .
Решение.

a  AB  (2  (2);1  (3);7  8)  (4;4;1) .

b  CD  (7  1;4  4;7  5)  (8;8;2) .
 
a  b  AB  CD  4(8)  4(8)  (1)2  32  32  2  66 .


2. Найдите угол между векторами a и b , если


a  (1;2;2) , b  (6;3;6) .
Решение.
 
 
a b
 1  (6)  2  (3)  (2)  6
cos (a , b )    

ab
(1) 2  2 2  (2) 2 (6) 2  (3) 2  6 2
6  6  12
 12
4

 .
9
1  4  4  36  9  36
9  81


 4
(a , b )  arccos   .
 9
 4
Ответ: arccos   .
 9

 

3. При каком значении a векторы p  ai  3 j  2k и


 
g  i  2 j  ak перпендикулярны?

43
Решение.
Если векторы перпендикулярны, то
произведение равно нулю.
 
pg  0.
a 1  3  2  2  (  a )  0 .
a  6  2a  0 .  6  a  0 .
a  6 .
Ответ: a  6 .
их
скалярное
4. Известны вершины ABC : A(2;3;0), B(2;1;1), C (0;1;4) .
Найдите угол между медианой BD и основанием AC .
Решение.
Найдем векторы BD и AC . Точка D середина отрезка AC
и по формулам ( ) имеем
В
А
x A  xC 2  0
y  yC  3  1

 1, y D  A

 1,
2
2
2
2
z z
0 4
zD  A C 
 2.
2
2
Итак, точка D (1;1;2) .
xD 
D
C
BD  (1;0;1), AC  (2;4;4).

cos( BD, AC ) 
BD  AC

BD  AC

(1)  (2)  0  4  1  4
(1) 2  12  (2) 2  4 2  4 2

204
6
1
2



.
2
2  36
2 6
2

( BD, AC )  arccos
2 

2
4

.
4
5. Даны три точки A(2;1) , B(3;1), C (4;0) , являющиеся
вершинами
равнобедренной
трапеции
Найти
ABCD .
координаты точки D , если AB  k CD .
Ответ:
44
Решение. По условию,
AB  k CD  AB || CD
Находим координаты векторов AB и CD (рисунок 30):
А(2;1)
С(-4;0)
(1).
AB (1;2), CD ( x  4; y ) , где x и y –
координаты точки D . Из (1) следует, что
1
2

или y  2 x  8
(2) .
x4
y
Так
как
трапеция
ABCD
В(3;-1)
D(x;y)
равнобедренная, то AC  BD и AC || BD .
Найдем векторы AC  (6;1), BD  ( x  3; y  1) и воспользуемся
тем,
что
AC 2  BD 2 ,
x 2  y 2  6 x  2 y  27 (3) .
имеем
2
2
36  1   x  3   y  1
или
Решив систему уравнений (2) и (3)
 y  2 x  8
, получим
x1  1,4, y1  5,2;
 2
2
 x  y  6 x  2 y  27
или x2   3, y2  2.
Этим значениям соответствуют два вектора: BD(4,4;4, 2)
и BD(6;1) . Последний вектор коллинеарен AC и, значит, не
удовлетворяет условию. Итак, получаем ответ: D (1,4;5,2) .

6. Найдите модуль вектора m  a  2b , если a  2, b  1 ,
 
а угол между векторами a и b равен 60 .
Решение. Вектор m  a  2b ; возведем в квадрат обе части
этого равенства
m 2  a  2b  или m 2  a 2  2a b  4b 2 .
Используя свойства скалярного квадрата и определения
скалярного произведения векторов, имеем:
2
1
2
2
m  a  2 a  b cos 60  4 b  4  4  2 1  4  4 , итак
2
2
m  4 , откуда следует, что m  2 .
2
45
7. Вычислите a  b , если a  13, b  19, a  b  24 .
Решение. По определению следует, что a  b 
a  b 
2
;
a  b  .
Пусть a  b 
2
a b 
2
 x 2 или a 2  2a b  b 2  x 2 , тогда по
условию задачи a 2  2a b  b 2  24 2 , сложим эти равенства,
получим 2a 2  2b 2  x 2  24 2 , используем свойства скалярного
квадрата,
т.е.
2
2
2 a  2 b  x 2  24 2 .
Подставим
начальные
данные
2 132  2 19 2  x 2  24 2 или x 2  2 169  2  361  576 ,
x 2  484 ; x  22 , т.е. a  b  22 .
8.
Найдите
скалярное
изображенных на рисунке.
Точки
y
A
3
2
B
1
0
1
2
3
x
произведение
векторов,
O (0;0), A(2;3), B(3;2) ,
вектор OA  (2;3) ,вектор OB  (3;2) .
Скалярное произведение векторов,
заданных своими координатами,
вычисляется по формуле
OA OB  2  3  3  2  12 .
9. Дан вектор a (1;2;5) . Найти координаты вектора b ,
лежащего в плоскости XOY и перпендикулярного вектору a ,
если b  2 5 .
Решение. Если векторы a и b перпендикулярны, то их
скалярное произведение равно нулю a  b  0 . Так как вектор
b  XOY , то он имеет координаты  x; y;0 . Скалярное
46
произведение в координатной форме имеет вид 1  x  (2) y  0 .
Найдем длину вектора b  x 2  y 2  2 5 .
Получили систему уравнений
2
 x  y 2  2 5
 x 2  y 2  20 5 y 2  20  y 2  4 y  2,
или 



 x  2 y  0
x  2 y
x  2 y
 x  2 y x  4.
Получили два вектора b1  (4;2;0) и b2  (4;2;0) .
10. Найти угол между скрещивающимися диагоналями
смежных граней куба. Найти угол между векторами D1C и A1D .
Решение. Пусть длина ребра куба равна a , тогда вершины
куба имеют следующие координаты в системе XOYZ :
A(a;0;0) , A1 (a;0; a ) , C (0; a;0) , C1 (0; a; a ) , B(0;0;0) , B1 (0;0; a ) ,
D (a; a;0) , D1 (a; a; a ) .
a  A1D  (a  a,  0  a,  a  0)  (0, a,  a) .
b  D1C  (0  a, a  a, 0  a )  ( a,0, a ).
z
B1
A1
Вектор A1B  D1C , поэтому найдем угол
C1
между векторами A1B и A1D :
D1
B
C
y
A
x

D


A1 D  A1B

A1 D  A1B
0( a )  a  0  ( a )( a )
0 2  a 2  (  a) 2  (  a) 2  0 2  (  a ) 2
a2
a2
1
 2  .
2
2
2
a 2  a 2 2a
2a 2a
1
A1B  A1 D  arccos  60 .
2

a2

cos A1B, A1 D 

47


11. Длины ненулевых векторов a и b равны. Найти угол

 
между этими векторами, если известно, что векторы p  a  2b и



g  5a  4b перпендикулярны.


Решение. Так как векторы p и g перпендикулярны, то их
скалярное произведение равно нулю:
 

2
 

2
 
p  g  (a  2b )(5a  4b )  5 a  6a  b  8 b .
Таким образом,
2
2
 
 
   
5 a  6 a  b cos a , b   8 b  0 , откуда при
a =b


 2    
2
получаем  6 a cos a , b   3 a  0 .



2
    1
Так как a  0 , то сокращая на a , находим cos a , b   .

 2
 
Следовательно, угол между векторами a и b равен 60 .
Ответ: 60 .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
 
1. Найдите скалярное произведение векторов a и b , если:


  2
а) a  3 , b  4 , (a , b ) 
.
Ответ: -6.
3


б) a  (5;7;4) , b  (2;3;8) .
Ответ: -1.





в) a  i  2 j  k , b  CD , где C (1;2;0) , D (2;1;3) . Ответ: 4.
 
2. Найдите угол между векторами a и b , если:


11 

а) a  (3;1;2) , b  (2;3;4) .
Ответ: arccos 
.
406 

48


б) a  AC , b  BD , где A(1;2;2) , B(1;4;0) , C (4;1;1) ,
D (5;5;3) .
Ответ: 90 .
3. Найдите угол между векторами



1 7
d   a  b , если a  (1;1) и b  (1;3) .
4
4

 
c  4a  b
и
Ответ: 45 .
4. Покажите, что точки A(1;1;1), B(1;3;1), C (4;3;1), D (4;1;1)
являются вершинами прямоугольника.
5. Найдите координаты точек, симметричных A(3;1;2)
относительно координатных плоскостей XOY , XOZ , YOZ .
Ответ: (3;1;2), (3;1;2), (3;1;2) .

6. Вектор a образует с осями координат равные острые
1
углы. Определить эти углы.
Ответ: cos 
.
3



7. Найдите прa b , если a  (1;2;2), b  (0;5;2) .


8. Длины ненулевых векторов a и b равны. Найти угол

 
между этими векторами, если известно, что векторы p  a  2b и



g  5a  4b перпендикулярны.
Ответ: 60 .
49
§7. Элементы аналитической геометрии.
1. Уравнение прямой на плоскости.
а) ax  by  c  0 – в общем виде;
(1)
б) с угловым коэффициентом (при b  0 )
y  kx  b – прямая l
(2)
у
k  tg – угловой коэффициент для
l
прямой AB
A B
b
y  yA

k AB  B
.
(3)
xB  x A
х
Рисунок 39
2. Уравнение плоскости в пространстве
ax  by  cz  d  0 – плоскость 
(4)

  n  a, b, c.
Если плоскость проходит через точку M ( x0 , y0 , z 0 ) и
  n , то уравнение плоскости  :
a( x  x0 )  b( y  y0 )  c ( z  z0 )  0 .
(5)
Условия параллельности и перпендикулярности
прямых на плоскости.
у
l
m
0
х
Рисунок 40
y  k1 x  b1 – прямая l
y  k 2 x  b2 – прямая m
k1  k 2
l || m  
b1  b2 .
(6)
у
l
l
l  m  k1  k 2  1
m
0
х
Рисунок 41
(7)
50
Уравнение окружности.
у
x2  y 2  R2
(8)
Центр окружности – начало
координат.
R
0
х
Рисунок 42
у
О1(а,b)
R
0
х
( x  a ) 2  ( y  b) 2  R 2
Центр окружности –
O1 (a, b) .
(9)
точка
Рисунок 43
Уравнение сферы.
z
0 R
у
x2  y 2  z 2  R2
Центр
сферы
–
координат.
(10)
начало
х
Рисунок 44
z
О1(а,b,с)
0
у
х
Рисунок 45
( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R 2 (11)
Центр сферы – точка O1 (a, b, c) .
51
Задачи с решениями.
1. Запишите уравнение прямой на плоскости, если эта
прямая проходит через:
а) точку M (3;2) перпендикулярно вектору AB , где
A(3;2) , B(1;5) .
Решение.

Найдем координаты вектора AB  (4;3) , т.е. n  (4;3) .
Используя уравнение (5), имеем
 4( x  3)  3( y  2)  0 или
 4 x  12  3 y  6  0 ,  4 x  3 y  18  0 .
4 x  3 y  18  0 .
Ответ: 4 x  3 y  18  0 .
б) точку M (1;2) параллельно прямой x  2 y  3  0 .
Решение. Вектор нормали к данной прямой имеет

координаты n  (1;2) – это коэффициенты при x и y . Если
данная прямая параллельна искомой прямой, то у них один
вектор нормали, поэтому искомая прямая, проходящая через
данную точку M перпендикулярно вектору нормали, имеет вид:
1( x  1)  2( y  2)  0 .
x  1  2 y  4  0 или x  2 y  5  0
Ответ: x  2 y  5  0 .
2. Запишите уравнение плоскости, если она проходит через
точку A(1;2;3) перпендикулярно вектору AB , где B(4;6;9) .
Решение. Найдем координаты вектора AB(3;4;6) . Он
является вектором нормали к плоскости, поэтому уравнение
плоскости имеет вид:
3( x  1)  4( y  2)  6( z  3)  0 ,
3 x  3  4 y  8  6 z  18  0 ,
3 x  4 y  6 z  29  0 .
Ответ: 3 x  4 y  6 z  29  0 .
52
3. Запишите уравнение сферы, если точки A(2;3;5) и
B(4;1;3) являются концами одного из ее диаметров.
Решение.
Найдем вектор AB  (2;4;8) , вычислим его длину
AB  2 2  4 2  (8) 2  84  2 21 .
d
 21 .
2
Найдем координаты середины диаметра, которая является
центром сферы.
24
 3 1
53
x0 
 3 , y 0 
  1 , z 0 
 1 . Точка O
2
2
2
центр сферы имеет координаты O(3;1;1) .
Тогда сфера имеет уравнение
AB является диаметром сферы. Следовательно, R 
 
2
( x  3) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  21  21 .
Ответ: ( x  3) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  21 .
4. Определите координаты центра сферы и ее радиус, если
сфера задана уравнением x 2  y 2  z 2  20 y  0 .
Решение.
Выделим полный квадрат относительно переменной y
x 2  ( y 2  20 y )  z 2  0 .
x 2  ( y 2  2 10  y  100)  100  z 2  0 .
x 2  ( y  10) 2  z 2  100 .
Центр сферы имеет координаты O(0;10;0) и радиус
R  10 .
53
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
«Векторы. Решение геометрических задач с помощью
векторов»
1. OABC - тетраэдр, AM - медиана грани ABC . Разложить
вектор AM по векторам OA, OB , OC .
1
Ответ: AM  OB  OC  2OA .
2


2. Векторы a и b неколлинеарны. Найти числа x и y ,
если векторы xa  yb и ( y  1)a  (2  x)b равны.
3
1
Ответ: x  , y  .
2
2
3. Определить при каких x и y вектор a  2i  3 j  yk
коллинеарен вектору b  xi  bj  2k .
Ответ: x  4, y  1 .


4. Определить длины векторов a  b
a  (3;5;8) и b  (1;1;4) .
и a  b , если
Ответ: a  b  6 , a  b  14 .
5. Найти угол между диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах a  (1;2) и b  (2;1) .
Ответ: 90 .
6. Вычислить скалярное произведение векторов 4a  b и


2a  3b , если a  2, b  3 и угол между векторами a и b
равен 120 .
Ответ: -25.
7. Найти 6e1  e2 e1  2e2  , если угол между единичными
векторами e1 и e2 равен 60 .
3
Ответ:  .
2
54
8. Найти координаты вектора b , коллинеарного вектору
a  (1;2) , если b  10 .
Ответ:  ( 2 ;2 2 ) .
9. Найти, при каком
m
вектор
a  (m;7;2)
перпендикулярен вектору b (3; m;2) .
Ответ: 1.
10. Найти расстояние от точки M (2;0;1) до середины
отрезка AB , если A(2;1;0) и B(2;3;2) .
Ответ:
5.
11. Даны A(1;3;7), B(2;1;5), C (0;1;5) . Найти
AB
и
2 AB  CB 2BC  BA.
Ответ: 13; -524.
12. Вычислите внутренние углы треугольника ABC , где
A(1;2;1) , B(3;1;7) , C (7;4;2) . Является ли этот треугольник
равнобедренным?
61
61
 12 
arccos
arccos
Ответ:
,
,
arccos   .
7 122
7 122
 49 
Треугольник равнобедренный.
13. Известны вершины ABC : A(2;3;0) , B(2;1;1) ,
C (0;1;4) . Найдите угол между медианой BD и основанием AC .

Ответ: .
4
14. Запишите уравнение сферы с центром в точке A(1;2;3) и
радиусом R  4 .
Ответ: ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  4 2 .
15. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно
стороне основания. Найти угол между стороной основания и
непересекающей ее диагональю боковой грани.
2
Ответ: arccos
.
4
55
Тест № 1. «Векторы. Метод координат при решении
геометрических задач»
1. Даны точки A(1;2;3) , B(3;3;0) , C (0;3;4) и D (2;8;7) .
Найдите разность векторов AB  CD .
А) (0;0;0) . Б) (4;6;6) . В) (4;0;0) . Г) (4;6;6) . Д) (0;6;6) .


2. При каких n вектора a (n;2;3) и b (n; n;1)
перпендикулярны? В ответ запишите произведение всех
полученных n .
А) -3.
Б) 3.
В) 1.
Г) 4.
Д) 2.
3. Круг с центром в точке O (1;3) проходит через точку
A(2;2) . Найдите радиус данного круга.
А) 20 . Б) 4.
В) 34 . Г) 2.
Д) Другой ответ.
4. Укажите точку, которая отстоит от начала координат на
3 единицы.
А) (2;2;2). Б) (1;1;1). В) (0;0;2). Г) (2;2;1). Д) (0;0;-2).
5. Точки А и В заданы координатами. Укажите случай,
когда середина отрезка AB лежит на плоскости XOY .
А) A(1;2;4) ;
Б) A(2;5;6) ; В) A(0;6;8) ; Г) A(10;12;0) ;
B(3;2;4) .
B(2;3;2) .
B(2;0;4) .
B(0;12;4) .
Д) A(2;2;5) ;
B(2;2;3) .
6. Определите расстояние от вершины A куба
ABCDA1 B1C1 D1 до плоскости BDD1B1 , если ребро куба равно
6 2 см.
А) 7 см.
Б) 4 см.
В) 6 см.
Г) 12 см. Д) 6 2 см.
7. Укажите уравнение окружности с центром в точке
A(5;0) и радиусом 3:
А) ( x  5) 2  y 2  9 . Б) ( x  5) 2  y 2  9 . В) ( x  5) 2  y 2  3 .
Г) x 2  ( y  5) 2  9 . Д) x 2  ( y  5) 2  9 .
56
8. Даны плоскость  и точка A , которая не принадлежит
плоскости  . Геометрическое место середин отрезков, которые
соединяют точку A с точками плоскости  , – это:
А) Точка.
Б) Отрезок.
В) Прямая.
Г) Плоскость.
Д) Многоугольник.
9. Даны четыре точки: A(0;1;1) , B(1;1;2) , C (0;2;2) ,
D (2;3;1) . Найдите градусную меру угла между векторами BC и
AD .
А) 30 . Б) 60 . В)  45 . Г) 45 . Д) Другой ответ.
10. Какая из приведенных точек удалена от оси OY на
расстояние 10?
А) (4;3;4). Б) (8;1;-6). В) (7;0;7). Г) (1;1;10). Д) (0;10;0).


11. Даны векторы a (3;0;3) , b (4;2;4) . Найдите вектор
 1 1
S  a b.
3
2
А) (2;3;1) . Б) (3;1;3) . В) (3;1;3) . Г) (3;1;2) . Д) (3;1;2) .
12. Дан треугольник ABC . Найдите внешний угол при
вершине B , если B(2;1;1) , A(2;2;4) и C (3;1;2) . Выразите
его градусную меру.
А) 120 . Б) 100 . В) 130 . Г) 90 . Д) 150 .
13. Центр какой из окружностей, уравнения которых
приведены, принадлежит оси абсцисс?
А) ( x  4) 2  ( y  4) 2  2 .
Б) ( x  4) 2  ( y  4) 2  2 .
В) ( x  4) 2  y 2  2 .
Г) x 2  ( y  4) 2  2 .
14. Точка М – середина отрезка AB , A(3;2;6) ,
M (1;5;2) . Найдите координаты точки B .
А) B(7;9;14) . Б) B(5;12;10) . В) B(1;1,5;2) . Г) B(1;8;2) .
15. При каком значении k векторы m (2;3; k ) и n (k ;4;2)
перпендикулярны?
А) 3.
Б) -3.
В) 4.
Г) -4.
57
16. Даны точки M (1;4;3) , N (2;5;2) , K (3;4;6) ,
F (2;3;1) . Какое из утверждений верно?
1
А) MN  FK . Б) MN  KF . В) MN  FK . Г) MN  2 FK .
2
17. Найдите координаты вектора b , если b  2e1  e2  3e3 ,
где e1 (1;0;0) , e2 (0;1;0) , e1 (0;0;1) .
А) b (2;1;3) . Б) b (1;1;1) . В) b (0;0;0) . Г) b (2;1;3) .
18. Даны скрещивающиеся прямые a и b . Сколько
существует плоскостей, проходящих через прямую a и
параллельных прямой b ?
А) Одна. Б) Две. В) Бесконечно много. Г) Ни одной.
19. Относительно какой из данных точек симметричны
точки C (3;5;6) и D (1;3;4) ?
А) M (2;2;10) . Б) N (2;4;1) . В) K (4;8;2) . Г) P(1;1;5) .
20. Найдите сумму векторов MN и NK , если M (4;3;2) ,
K (2;1;1) , N - произвольная точка пространства.
А) (2;4;3) . Б) (6;2;1) . В) (3;1;0,5) . Г)Найти невозможно.
1
21. Найдите координаты вектора g  3m  n , если
4
m (1;2;0,5) , n (8;4;2) .
А) g (1;1;0) . Б) g (5;7;2) . В) g (1;5;1) . Г) g (5;2;0,5) .
22. Сторона основания правильной четырехугольной
пирамиды MABCD , изображенной на
М
рисунке, равна 2.
Чему равен модуль
суммы
B
C
AM  MC  ?
А) 1. Б) 2 . В) 2. Г) 2 2 .
А
D
Рисунок – К задаче 22
58
23. Найдите координаты начала вектора EF , если
EF (0;3;6) , F (3;3;3) .
А) E (3;0;3) . Б) E (3;0;3) . В) E (3;6;3) . Г) E (3;6;3) .
24. Найдите расстояние от точки A(2;3;6) до
координатной плоскости XOY .
А) -6.
Б) 2.
В) 3.
Г) 6.
Д) 7.
25. Найдите угол между векторами a  b и c в градусах,
если известно, что a (3;5;4) , b (2;5;4) и c (0;0;2) .
А) 90 . Б) 60 . В) 45 . Г) 120 . Д) 30 .
Ответы к тестам
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
А А В Г А В Б Г Г Б В А В Б А
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Б Г А Г А В Г В Г А
59
Библиографический список использованной литературы
1. Солодовников А.С. Линейная алгебра с элементами
аналитической геометрии / А.С. Солодовников, Г.А. Торопова. –
М.: Высш. шк., 1987. – С.5-43.
2. Гальперина А.Р. Математика. Типовые тестовые задания
/ А.Р. Гальперина, Е.Я. Михеева. – Х: Факт, 2008. – 128 с.
3. Сборник заданий для государственной итоговой
аттестации по математике. Книга 1 / М.И. Бурда [и др.] – Х.:
Гимназия, 2008. – 224 с.
4. Сборник конкурсных задач по математике для
поступающих во втузы: учеб. пособие / Под ред. Сканави М.И. –
5-е изд., дополн. – М.: Высш. шк., 1988. – 357 с.
5. Математика. Сборник задач с решениями для
поступающих в вузы /
Под. ред. В.М. Говорова, Н.В.
Мирошина. – М.: Астрель, 2006. – С. 554 – 607.
60
Заказ № ______ от __________ 2010 г. Тираж _______ экз.
Изд-во СевНТУ