0,2 с.

Занятие 4.
Закон сохранения импульса
Вариант 1
5.1.1. Тело массой m движется равномерно по окружности со
скоростью v . Величина изменения импульса тела за половину периода движения равна
1. mv
2. 2mv
3. 2mv
4. 0
5.1.2. Система тел состоит из двух тел массой m и 2m . Скорость первого направлена горизонтально и равна v , скорость второго направлена вертикально и также равна v . Величина импульса
системы тел в этот момент времени равна
1. 2mv
2. 3mv
3. 3mv
4. 5mv
5.1.3. На тело, имеющее импульс 10 кг  м/с, начинает действовать постоянная сила 2 Н , направленная противоположно скорости тела. Чему равняется импульс тела через 2 с после начала
действия силы? Другие силы на тело не действовали.
1. 4 кг  м/с
2. 6 кг  м/с
3. 10 кг  м/с
4. 14 кг  м/с
5.1.4. Молоток массой 0,8 кг ударяет по гвоздю и забивает его
в доску. Скорость молотка перед ударом равна 5 м/с, в момент
удара молоток останавливается, продолжительность удара 0, 2 с.
Чему равна средняя сила, с которой молоток действует на гвоздь?
1. 40 Н
2. 20 Н
3. 80 Н
4. 2 Н
5.1.5. Тележка массой 1 кг, движущаяся со скоростью 1 м/с,
сталкивается с такой же покоящейся тележкой и сцепляется с ней.
Чему равен импульс системы из двух тележек после столкновения?
1. 1 кг  м/с
2. 0,5 кг  м/с
3. 2 кг  м/с
4. 0
5.1.6. Тележка массой m , движущаяся со скоростью v , сталкивается с неподвижной тележкой с массой 2m и сцепляется с ней.
Скорость тележек после столкновения равна
1
1. v
2. v / 2
3. v / 3
4. v / 4
5.1.7. Пуля массой m , движущаяся со скоростью v попадает в
покоящийся брусок массой M и застревает в нем. Чему равна скорость u бруска с пулей?
1. u 
mv
mM
2. u 
mv
M
3. u 
mv
mM
4. u 
Mv
mM
5.1.8. Два пластилиновых тела движутся навстречу друг другу.
Масса одного тела 10 г его скорость до столкновения 1 м/с. Масса
второго тела 25 г. При какой скорости второго тела после столкновения тела остановятся?
1. 2,5 м/с 2. 0, 25 м/с 3. 0, 4 м/с
4. 4 м/с
5.1.9. Пуля массой m , летевшая горизонтально со скоростью v ,
пробивает лежащий на столе брусок массой M , теряя при этом
половину своей скорости. Какую скорость u приобретет брусок?
1. u 
Mv
mv
2. u 
2M
2m
3. u 
2Mv
m
4. u 
2mv
M
5.1.10. Движущийся шар налетает на покоящийся и
после столкновения движется под прямым углом к
направлению первоначального движения (см. рисунок). В каком направлении будет двигаться после
столкновения второй шар?
1.
2.
3.
4.
Вариант 2
5.2.1. С тележки, движущейся по гладкой горизонтальной поверхности, аккуратно сбрасывают тело с нулевой (относительно
тележки) скоростью. Как изменится скорость тележки после этого?
1. Увеличится
2. Уменьшится
3. Не измениться
4. Это зависит от масс тела и тележки
5.2.2. Человек массой m бежит со скоростью v1 и догоняет тележку массой M , движущуюся в том же направлении со ско2
ростью v2 . С какой скоростью v3 будет двигаться тележка, если
человек прыгнет на нее и будет двигаться вместе с ней?
mv1  Mv2
mM
mv1  Mv2
3. v3 
mM
1. v3 
mv1  Mv2
mM
mv1  Mv2
4. v3 
mM
2. v3 
5.2.3. Игрушечная тележка с песком массой 4 кг движется со
скоростью v1  0,5 м/с по гладкой горизонтальной поверхности. В
песок попадает и застревает в нем шар массой 1 кг, летевший
навстречу тележке с горизонтальной скоростью v2  2,5 м/c. В какую сторону и с какой скоростью покатится тележка после этого?

v1

v2
1. 0,1 м/с, в сторону первоначального движения тележки
2. 0,1 м/с, в сторону первоначального движения шара
3. 0,9 м/с в сторону первоначального движения тележки
4. 0,9 м/с, в сторону первоначального движения шара
5.2.4. Граната массой m , летевшая со скоростью v , разрывается на два осколка. Один осколок с массой m1 движется со скоростью v1 в том же направлении, что и граната до взрыва. При каких
соотношениях масс и скоростей m , m1 , v и v1 скорость второго
осколка будет направлена противоположно скорости гранаты до
взрыва?
1. При v1  v
2. При m1v1  mv
4. При m12v1  m2v
3. При m1v12  mv 2
3
5.2.5. По гладкой горизонтальной поверхности едет тележка
массой M , на которой стоит человек массой m . Скорость тележки
v . В некоторый момент времени человек спрыгивает с тележки.
Скорость человека после прыжка относительно земли противоположна направлению движения тележки и равна v1 (см. рисунок).
Чему равна скорость u тележки после этого?
v1
v
1. u 
 M  m  v  mv1
2. u 
M
( M  m)v  mv1
3. u 
M m
 M  m  v  mv1
M
( M  m)v  mv1
4. u 
M m
5.2.6. По гладкой горизонтальной поверхности едет тележка
массой M , на которой стоит человек массой m . Скорость тележки
v . В некоторый момент времени человек спрыгивает с тележки в
направлении, противоположном ее движению со скоростью v1 относительно нее. Чему равна скорость u тележки после этого?
1. u 
 M  m  v  mv1
2. u 
 M  m  v  mv1
M
( M  m)v  mv1
4. u 
M m
5.2.7. Снаряд, летевший горизонтально с импульсом p , распаM
( M  m)v  mv1
3. u 
M m
дается на два осколка. Импульс одного из них сразу после разрыва
направлен вертикально вверх и равен по величине p1 . Чему равен
импульс p2 второго осколка?
1. p2  p  p1
2. p2  p  p1
3. p2 
4. p2 
p 2  p12
4
p 2  p12
5.2.8. Два одинаковых тела массой m каждое движутся с одинаковыми по величине скоростями v , обраα
зующими угол α друг с другом (см. рисунок). Тела
сталкиваются и слипаются. Какую скорость будет иметь
v
образовавшееся тело?
1. v cos α
2. 2v cos α
3. v cos(α / 2)
4. 2v cos(α / 2)
5.2.9. Покоящееся ядро некоторого атома самопроизвольно делится на три ядра-осколка с массами m , 2m и 5m . Скорости двух
первых осколков взаимно перпендикулярны и равны по величине
3v и 2v . Чему равна величина скорости третьего осколка?
1. v
2. 2v
3. 3v
4. 4v
5.2.10. Гладкая симметричная горка покоится на гладкой горизонтальной поверхB
A
ности. На вершине горки закреплены два
одинаковых тела A и B. Сначала с горки
соскальзывает тело A, затем B. В какую
сторону будет двигаться горка после этого?
1. Налево
2. Направо
3. Горка будет стоять
4. Это зависит от соотношения масс тел и горки
v
5
Работа, мощность, энергия. Закон сохранения и изменения механической энергии
Вариант 1
6.1.1. Кинетическая энергия тела равна 8 Дж, а импульс
4 Н  с . Масса тела равна
1. 0,5 кг
2. 1 кг
3. 2 кг
4. 4 кг
6.1.2. Если единицу импульса возвести в квадрат и разделить на
единицу массы, получится:
1. 1 Джоуль
2. 1 Ньютон
3. 1 Ватт
4. 1 Паскаль
6.1.3. Подъемный кран медленно поднимает вертикально вверх
груз массой 100 кг на высоту 25 м. Какую работу совершает
подъемный кран во время подъема? g  10 м/с2.
1. 2,5 103 Дж
2. 2,5 104 Дж
3. 2,5 105 Дж
4. 2,5 106 Дж
6.1.4. Тело массой 2 кг соскальзывает с наклонной плоскости.
Высота плоскости 3 , длина 5 м. Какую работу совершила при
этом сила тяжести? g  10 м/с2.
1. 100 Дж
2. 60 Дж
3. 80 Дж
4. 60 Дж
6.1.5. Мальчик подбросил футбольный мяч массой 0, 4 кг на
высоту 3 м. На сколько изменилась потенциальная энергия мяча?
g  10 м/с2.
1. На 4 Дж
2. На 12 Дж
3. На 1, 2 Дж
4. На 7,5 Дж
6.1.6. Человек массой 70 кг поднялся на пятый этаж – 15 м – за
время 14 с. Чему примерно равна средняя мощность, развиваемая
этим человеком? Ответ выразить в лошадиных силах ( 1 л.с. =
= 735 Вт). g  10 м/с2.
1. 0,1 л.с.
2. 0,5 л.с. 3. 0, 75 л.с. 4. 1 л.с.
6
6.1.7. Лебедка равномерно поднимает груз 200 кг на высоту
3 м за 5 с. Чему равна мощность лебедки? g  10 м/с2.
1. 3000 Вт 2. 333 Вт
3. 1200 Вт
4. 120 Вт
6.1.8. Тело массой 2 кг перемещается по шероховатой горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между телом и поверхностью 0,5 . Какую работу совершает над телом сила трения, когда
тело проходит расстояние 1 м? g  10 м/с2.
1. 1 Дж
2. 10 Дж
3. 1 Дж
4. 10 Дж
6.1.9. Работа, которую необходимо совершить, чтобы остановить движущееся тело, пропорциональна:
1. Его скорости
2. Его ускорению
3. Квадрату его скорости
4. Квадрату его ускорения
6.1.10. Тело, имеющее кинетическую энергию 1 Дж, попадает
на шероховатую горизонтальную поверхность. Какую работу совершит над телом сила трения к тому моменту, когда тело остановится?
1. 1 Дж 2. 1 Дж
3. 0,5 Дж 4. 0,5 Дж
Вариант 2
6.2.1. Груз массой 1 кг под действием силы 50 Н, направленной
вертикально вверх, поднимается на высоту 3 м. Чему равно изменение кинетической энергии груза при этом? g  10 м/с2.
1. 30 Дж 2. 120 Дж
3. 150 Дж
4. 180 Дж
6.2.2. Пружину с коэффициентом жесткости k сжимают из недеформированного состояния на величину l . Работа A , совершаемая при этом силой упругости, равна
1. A  k l
2. A  k l
2
3. A  k l / 2
4. A  k l 2 / 2
6.2.3. На сколько потенциальная энергия пружины с коэффициентом жесткости k , растянутой на величину l , больше потенциальной энергии этой же пружины, сжатой на величину l / 2 ?
1. На k l 2 / 4
2. На 3k l 2 / 8
3. На 5k l 2 / 8
4. На 7k l 2 / 8
7
6.2.4. Мяч массой 1 кг движется со скоростью 1 м/с и сталкивается с закрепленной стенкой. После удара скорость мяча равна
0,5 м/с. Какое количество теплоты Q выделилось при ударе?
1. Q  0,5 Дж
2. Q  0,125 Дж
3. Q  0,75 Дж
4. Q  0,375 Дж
6.2.5. В каком случае тормозной путь автомобиля будет больше
и во сколько раз: при снижении скорости от v до v / 2 или при
снижении скорости от v / 2 до нуля? Считать, что во время торможения автомобиль скользит по дороге. Силой сопротивления воздуха пренебречь.
1. В первом случае больше в 2 раза
2. Во втором случае больше в 2 раза
3. В первом случае больше в 3 раза
4. Во втором случае больше в 3 раза
6.2.6. Тело бросили под углом α  30 к горизонту. Кинетическая энергия тела в момент броска 1 Дж. Какую работу совершит
над телом сила тяжести к моменту его подъема на максимальную
высоту?
1. 0, 25 Дж
2. 0,5 Дж
3. 0, 75 Дж
4. 1 Дж
6.2.7. Тело массой 1 кг, имеющее
скорость 1 м/с, попадает на ленту
транспортера, движущуюся со скоростью 3 м/с. Начальная скорость тела
перпендикулярна ленте (см. рисунок). Какую работу совершит над
телом сила трения до того момента, пока тело не перестанет перемещаться относительно ленты?
1. 4 Дж
2. 4 Дж
3. 8 Дж
4. 8 Дж
6.2.8. Тело массой m , движущееся
со скоростью v по гладкой горизонтальной опоре, налетает на горизон
тально расположенную пружину с коv
эффициентом жесткости k (см. рисунок). На какую максимальную величину l сожмется пружина?
8
2. l  v k / m
1. l  v m / k
3. l  v mk
4. l  v / mk
6.2.9. Тело массой m движется со скоростью v . После упругого
столкновения со стенкой тело стало двигаться в противоположном
направлении с такой же скоростью. Чему равна работа силы, действующей на тело со стороны стенки?
1. mv 2 / 2
2. mv 2
3. 3mv 2
4. 0
6.2.10. Тело падает на землю из состояния покоя. Какой график – 1, 2, 3 или 4 – правильно показывает зависимость мощности
N , развиваемой силой тяжести от времени? Сопротивлением воздуха пренебречь.
N
N
1.
2.
t
N
N
3.
t
4.
t
9
t
Закон сохранения импульса
Вариант 1
Номер задачи
5.1.1-5.1.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
2
4
2
2
1
3
1
3
1
3
Номер задачи
5.1.1-5.1.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
3
4
2
2
1
3
3
3
1
1
Вариант 2
Работа, мощность, энергия. Закон сохранения и изменения механической энергии
Вариант 1
Номер задачи
6.1.1-6.1.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
2
1
2
2
2
4
3
4
3
1
Номер задачи
6.2.1-6.2.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
2
4
2
4
3
1
1
1
4
3
Вариант 2
10
Закон сохранения импульса
Импульсом тела p называется векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость
(5.1)
p  mv .
Импульсом системы тел называют векторную сумму импульсов
всех тел, входящих в эту систему. С импульсом связаны два закона,
которые можно использовать для нахождения скоростей тел.
Через изменение импульса тела можно записать второй закон
Ньютона. Действительно, поскольку ускорение тела равно
a
v
,
t
где v – изменение скорости тела за бесконечно малый интервал
времени t , то из второго закона Ньютона получаем для изменения импульса этого тела


p  F1  F2  F3  ... t ,
(5.2)
где F1 , F2 , F3 , … – силы, действующие на данное тело со стороны
других тел. Формулу (5.2) принято называть вторым законом Ньютона в импульсной форме.
Для системы тел, которые взаимодействуют только друг с другом, но не с другими телами (такая система тел называется замкнутой), выполняется закон сохранения импульса. Этот закон утверждает, что вектор импульса такой системы тел не изменяется с течением времени, хотя импульсы
отдельных тел системы могут
p1
изменяться. Рассмотрим примеэтих определений и закоp2  p1 нение
нов к решению задач.
При решении задачи 5.1.1 сле p1 p2
дует помнить, что импульс – векp2
торная величина, и потому импульс тела при его вращении по
окружности с постоянной по величине скоростью изменяется. В частности, величина изменения импульса тела за половину периода движения по окружности равна p  p2  p1  2mv
p2
P  p1  p2
p1
11
(см. рисунок, вычитание векторов выполнено на правой части рисунка).
Поэтому правильный ответ в задаче – 2.
Импульс данной в задаче 5.1.2 системы тел находится с помощью векторного сложения импульсов отдельных тел, входящих в
систему (см. рисунок). Используя теорему Пифагора, находим величину импульса системы P  5 mv (ответ 4).
В задаче 5.1.3 удобно использовать второй закон Ньютона в
импульсной форме (5.2). Поскольку действующая на тело сила постоянна, закон (5.2) можно применить не только к бесконечно малому, но и к конечному интервалу времени. Из закона (5.2) имеем
p2  p1  F t ,
где p1 и p2 – начальный и конечный импульсы тела, F – действующая на тело сила, t – время действия силы. Поскольку по
условию векторы начального импульса и силы направлены противоположно, находим, проецируя второй закон Ньютона на направление начального импульса p2  p1  F t  6 кг  м/с (ответ 2).
С помощью второго закона Ньютона в импульсной форме удобно решать и следующую задачу 5.1.4. Применяя этот закон для молотка (при этом надо учесть, что после удара молоток остановился,
и, следовательно, p  mv ), находим среднюю силу, действующую на него со стороны гвоздя, которая равна силе, действующей
со стороны молотка на гвоздь
F
mv mv

 20 Н
t
t
(ответ 2).
Задача 5.1.5 является очень простой. Однако ее (может быть
именно из-за простоты) плохо делают школьники. Поскольку импульс замкнутой системы сохраняется, то у системы тележек в любой момент времени он будет таким же, как и в начальный момент,
причем независимо от характера столкновения (сцепились они, или
нет, разлетелись и т.д.). А поскольку в начальный момент импульс
системы равен 1 кг  м/с, то таким же он будет и в дальнейшем (ответ 1).
12
Применяя закон сохранения импульса к столкновению тележек
из задачи 5.1.6, получим mv  3mv1 , где 3m – суммарная маска
тележек, v1 – их скорость после столкновения. Отсюда находим,
что v1  v / 3 (ответ 3).
Закон сохранения импульса для системы «брусок-пуля» из задачи 5.1.7 дает
mv  (m  M )u ,
где u – скорость бруска с застрявшей в нем пулей. Отсюда находим, что u  mv /(m  M ) (ответ 1).
В задаче 5.1.8 рассматривается столкновение тел, которые после
этого слипаются. Если после столкновения тела останавливаются, то
импульс этой системы тел после столкновения равен нулю. Следовательно, должен равняться нулю и импульс системы тел до столкновения. Поэтому до столкновения должно выполняться равенство
m1v1  m2v2 , где m1 , m2 и v1 , v2 – массы и скорости тел до столкновения. Отсюда находим v2  m1v1 / m2  0, 4 м/с (ответ 3).
Закон сохранения импульса для системы тел пуля-брусок из задачи 5.1.9 имеет вид
mv  m(v / 2)  Mu ,
где u – скорость бруска после того, как его пробила пуля. Поэтому
u  mv / 2M (ответ 1).
Из закона сохранения импульса в задаче 5.1.10
p  p  p1 ,
где p и p – импульсы первого тела до и после столкновения,
p1 – импульс второго тела после столкновения, находим
p1  p  p или
p
p1
 p
что означает, что вектор скорости второго тела после столкновения
направлен так, как это показано на рисунке 3 в условии задачи.
Очевидно, скорость тележки после «аккуратного» сбрасывания
тела (т.е. с нулевой скоростью относительно тележки) не изменяет13
ся (задача 5.2.1). Действительно, из закона сохранения импульса
следует, что скорость тележки изменится, если изменится и скорость тела (так, чтобы не изменился суммарный импульс системы
«тележка-тело»). В рассматриваемом же случае скорость тела не
изменяется, поэтому не изменяется и скорость тележки.
Закон сохранения импульса для человека и тележки, движущихся в одном направлении (задача 5.2.2), имеет вид
mv1  Mv2  (m  M )v3 ,
откуда получаем данный в условии задачи ответ 4. Отметим, что
остальные данные в условии ответы можно было «отбросить» сразу: в двух из них при одинаковых массах человека и тележки получается нуль в знаменателе (что невозможно), еще один ответ дает
нуль для скорости при одинаковых скоростях человека и тележки
(а ответ в этом случае, очевидно, должен дать именно эту скорость).

v1

v2
x
Закон сохранения импульса для системы тел «тележка с песком – шар» из задачи 5.2.3 имеет вид
Mv1  mv2   M  m  u ,
где M , m и v1 , v2 – массы и скорости тележки и шара до столкновения, u – скорость тележки с шаром после столкновения. Проецируя закон сохранения импульса на ось x (см. рисунок), находим
Mv1  mv2
 0,1 м/с,
M m
где u x – проекция вектора u на ось x . Отсюда следует, что вектор
скорости тележки с шаром направлен против оси x и равен по величине 0,1 м/с (ответ 2).
ux 
Рассмотрим закон сохранения импульса для гранаты (задача
5.2.4) mv  m1v1  m2v2 , где m1 и m2 – массы двух осколков, v1 и
14
v2 – их скорости после взрыва. Проецируя этот закон на направление движения гранаты, получаем
mv  m1v1  m2 (v2 ) x ,
(1)
где (v2 ) x – проекция скорости второго осколка на это направление.
Из формулы (1) следует, что второй осколок движется после взрыва противоположно направлению движения гранаты до взрыва, если m1v1  mv , поскольку в этом случае проекция вектора v2 на
направление движения гранаты до взрыва отрицательна (ответ 2).
Задачи 5.2.5 и 5.2.6 поставлены очень похоже друг на друга, но в
первой из них дана скорость человека относительно земли, во второй – относительно тележки. А какую скорость следует использовать в законе сохранения импульса? Вообще-то можно брать скорости в любой системе отсчета, но важно, чтобы все скорости были
заданы в одной и той же системе. А поскольку известна начальная
скорость тележки относительно земли, удобно все скорости задавать именно в этой системе. В задаче 5.2.5 имеем в системе отсчета, связанной с землей в проекциях на ось, направленную вдоль
скорости тележки
 M  m v  Mu  mv1 ,
где u – скорость тележки после столкновения. Отсюда находим
u
 M  m  v  mv1
M
(правильный ответ – 1).
Закон сохранения импульса в задаче 5.2.6
 M  m v  Mu  mv1,оз ,
в котором все скорости заданы относительно земли ( v1,оз – скорость
человека относительно земли), необходимо объединить с законом
сложения скоростей
v1,оз  v1  u ,
где v1 – скорость человека относительно земли, u – скорость тележки. Подставляя закон сложения скоростей в закон сохранения
импульса, имеем
15
 M  m v  Mu  m  v1  u    M  m u  mv1 .
Проецируя этот векторный закон на направление движения тележки, получим
u
( M  m)v  mv1
M m
(правильный ответ – 3). Отметим, что отличие ответов этой и
предыдущей задач сводится к отличию их знаменателей.
В задаче 5.2.7 надо рассмотреть закон сохранения импульса в
случае, когда скорости тел после столкновения направлены не
вдоль одной прямой. Из закона сохранения импульса для снаряда
p  p1  p2
имеем
p2
p1
p
Откуда
p2 
p 2  p12
(правильный ответ – 3).
Поскольку проекция импульса системы тел в задаче 5.2.8 на ось
y (см. рисунок) равна нулю, после слипания
тела будут двигаться вдоль оси x . Поэтому из
y
проекции закона сохранения импульса систеα
мы на ось x
2mv cos(α / 2)  2mu ,
x
где u – скорость тел после столкновения, получаем u  v cos(α / 2) (ответ 3).
Поскольку импульс начального ядра равен нулю (задача 5.2.9),
то равна нулю и векторная сумма импульсов ядер-осколков. Поэтому p3    p1  p2  , где p1 , p2 и p3 – импульсы первого, второго и третьего осколков. По условию векторы p1 и p2 направле-
16
ны перпендикулярно друг другу. Поэтому величину вектора
p1  p2 можно найти по теореме Пифагора
p1  p2 
 3mv    4mv 
2
2
 5mv .
Отсюда находим скорость третьего осколка v3  v (ответ 1).
В задаче 5.2.10 сначала рассмотрим
движение
тела А по поверхности горки, коB
A
гда тело В закреплено и может двигаться
только вместе с горкой. Согласно закону
сохранения импульса после соскальзывания
тела А влево горка с телом В будет двигаться вправо с некоторой
скоростью (см. рисунок), причем чем больше масса горки с телом В
по сравнению с массой тела А, тем меньшую скорость приобретет
горка. Рассмотрим теперь соскальзывание тела В, но сделаем это в
системе отсчета, связанной с горкой. В ней горка в начальный момент стоит, а затем после соскальзывания тела В вправо будет двигаться влево. Если бы горка приобрела такую же скорость, как и в
первом случае, то в системе отсчета, связанной с землей, она остановилась. Можно, однако, понять, что во втором случае горка приобретет большую скорость. Действительно, в первом случае тело А
при соскальзывании толкало в противоположную сторону горку
вместе с телом В, а тело В – только одну горку (т.е. более легкое
тело). Поэтому после последовательного соскальзывания двух тел
(сначала А, затем В) горка будет двигаться влево (ответ 1).
Работа, мощность, энергия. Закон сохранения и изменения механической энергии
При решении задач единого государственного экзамена на работу, мощность и энергию необходимо знать следующие законы и
определения. Во-первых, это определения всех перечисленных величин, причем глубокого понимания того, что такое потенциальная
энергия, в общем-то, не требуется: достаточно помнить формулы
потенциальных энергий тела в однородном поле тяжести и деформированной пружины. Определение работы достаточно знать только для постоянной силы и помнить формулу для работы силы
упругости. Во-вторых, необходимо знать и уметь применять в про17
стейших случаях теорему об изменении кинетической энергии. И,
в-третьих, нужно знать закон сохранения механической энергии, а
также понимать, в каких случаях этот закон выполняется, а когда
нарушается. Сформулируем эти определения и законы.
Кинетической энергией тела массой m , движущегося со скоростью v , называется величина
E
mv 2
.
2
(6.1)
Пусть тело при своем движении совершает перемещение r . Если в процессе этого движения на тело действует постоянная сила
F , то работой этой силы называется величина
(6.2)
A  Fr cos α ,
где α – угол между векторами силы F и перемещения r . Если в
процессе движения тела сила изменяется, для вычисления работы
необходимо разбивать траекторию на такие малые участки, что силу или угол на каждом из них можно считать постоянными, находить работу силы на каждом участке, а затем суммировать. Если на
тело действуют несколько сил, то работа, совершенная равнодействующей силой, равна сумме работ, совершенных отдельными
силами.
Все силы в природе можно разделить на две группы – потенциальные и непотенциальные. К непотенциальным силам относятся
силы сопротивления или трения, к потенциальным – все остальные.
Для вычисления работ, которые совершают потенциальные силы,
вводится понятие потенциальной энергии. Потенциальной энергией тела называется такая функция координат, разность значений
которой для начала и конца траектории равна совершенной работе.
Для решения задач школьного курса физики необходимо знать, что
потенциальная энергия тела в поле силы тяжести равна
(6.3)
U  mgh ,
где m – масса тела, g – ускорение свободного падения, h – высота расположения тела по отношению к некоторому уровню, который считается начальным (может быть выбран любым). Знак «+» в
этой формуле следует взять, когда тело находится выше начального уровня, знак «–», если ниже. Потенциальная энергия сжатой, или
растянутой пружины определяется соотношением
18
U
k x 2
,
2
(6.4)
где k – коэффициент жесткости пружины, x – ее деформация.
Следует иметь в виду, что эта формула справедлива независимо от
того, сжата пружина или растянута. Следует также помнить, что
для непотенциальных сил ввести потенциальную энергию нельзя.
Через изменение потенциальной энергии можно найти работу
соответствующей силы. Если, например, тело переместилось из
точки, в которой его потенциальная энергия равнялась U1 , в точку,
в которой его потенциальная энергия равняется U 2 , то отвечающая
этой потенциальной энергии сила совершила работу
(6.5)
A  U1  U 2 .
Если некоторая сила F совершает работу A за время t , то
мощностью этой силы N называется отношение
N
A
,
t
(6.6)
которое имеет смысл работы, совершаемой в единицу времени. В
связи с формулой (6.6) можно говорить о средней или мгновенной
мощности, когда интервал времени t стремится к нулю.
Для любого движения тела справедливо утверждение, которое
называется теоремой об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела равно сумме работ всех сил, действующих на тело
mvк2 mvн2

 A1  A2  ... ,
2
2
(6.7)
где vн и vк – скорости тела в начале и конце некоторого участка
пути, A1 , A2 , ... – работы всех сил, действующих на тело. Рассматриваемый в теореме (6.7) участок пути может быть выбран произвольно, но работы должны вычисляться именно на этом участке.
Теорема об изменении кинетической энергии позволяет находить
начальную или конечную скорость тела (при известных работах),
либо работу какой-то силы (при известных скоростях).
19
Теорему об изменении кинетической энергии можно сформулировать и на другом языке. Если на тело действуют только потенциальные силы, то их работу можно выразить через разности начальной и конечной потенциальной энергий. Тогда уравнение (6.7)
можно представить в виде
mvк2
mv 2
 U к1  U к2  ...  н  U н1  U н2  ... ,
2
2
(6.8)
где U 1 , U 2 , … – потенциальные энергии сил, действующих на тело (в начальном и конечном положениях тела). Сумма Кинетической и потенциальной энергии тела называется его механической
энергией. Из формулы (6.8) заключаем, что если на тело действуют
только потенциальные силы, его механическая энергия не изменяется. Формула (6.8) называется законом сохранения механической
энергии. Если на тело действуют и непотенциальные силы, то механическая энергия не сохраняется, но ее приращение равно работе
непотенциальных сил.
Разберем на основе этих определений и законов задачи, приведенные в первой части.
В задаче 6.1.1 из формул для величины импульса и кинетической энергии
mv 2
2
2
получаем m  p / 2E , откуда находим m  1 кг (ответ 2).
E
p  mv
Из формулы для кинетической энергии
E
mv 2 m( p / m)2 p 2


2
2
2m
заключаем, что размерность квадрата импульса, деленная на размерность массы, дает размерность энергии, т.е. Джоуль (задача
6.1.2 – правильный ответ 1). Обратим внимание читателя, что
названия всех единиц измерений, данные в ответах к этой задаче,
представляют собой фамилии выдающихся физиков.
Поскольку плита в задаче 6.1.3 поднимается медленно, сила, с
которой трос действует на плиту, равна силе тяжести. Поэтому работа, которую совершает подъемный кран, равна изменению потенци20
альной энергии тела mgh  2,5 104 Дж, где m – масса плиты, g –
ускорение свободного падения, h – высота подъема (ответ 2).
В задачах по физике часто приходится вычислять работу, которую совершает над каким-то телом сила тяжести. Следует запомнить, что независимо от траектории тела эта работа равна mgh ,
где m – масса тела, g – ускорение свободного падения, h – разность уровней начального и конечного положения тела. Знак «+» в
этой формуле следует взять, когда тело спускается (начальное положение выше конечного), знак «–», если поднимается. Например,
в задаче 6.1.4 тело массой 2 кг спускается на расстояние (по вертикали) 3 м. Поэтому сила тяжести совершает работу
A  2 кг 10 м/с2  3 м  60 Дж (ответ 2).
Из формулы (6.3) для потенциальной энергии силы тяжести заключаем, что потенциальная энергия мяча из задачи 6.1.5 увеличивается на 12 Дж (ответ 2).
Человек из задачи 6.1.6 массой m  70 кг, поднявшись на пятый этаж ( h  15 м), совершает работу не меньше, чем
A  mgh  10500 Дж. Поскольку человек затрачивает на подъем
время t  14 с, то средняя мощность, развиваемая этим человеком,
равна N  10500 /14  750 Вт. Переводя это значение в лошадиные силы, заключаем, что средняя мощность, развиваемая человеком в течение рассматриваемого интервала времени, примерно
равна одной лошадиной силе (правильный ответ 4). Конечно, подняться на пятый этаж за 14 с непросто, но вполне возможно для
тренированного человека.
Поскольку тело поднимается равномерно, сила, действующая на
тело со стороны троса лебедки, равна силе тяжести. Поэтому мощность, развиваемая лебедкой (задача 6.1.7), равна
N
mgh 200 10  3

 1200 Вт
t
5
(ответ 3).
Поскольку при движении тела по шероховатой горизонтальной
поверхности сила трения не изменяется, работа силы трения равна
A  μmgS , где μ – коэффициент трения, m – масса тела, g –
ускорение свободного падения, S – пройденный путь. Знак «–» в
21
этой формуле есть следствие противоположных направлений силы
трения и скорости тела. В задаче 6.1.8 согласно этой формуле получим A  10 Дж (ответ 4).
Пусть на тело, движущееся со скоростью v , начинает действовать некоторая сила, которая останавливает это тело. Тогда из теоремы об изменении кинетической энергии заключаем, что
mv 2

 A,
2
где A – работа этой силы. Отсюда следует, что работа, которую
нужно совершить, чтобы остановить тело, пропорциональна квадрату его скорости (задача 6.1.9 – правильный ответ 3). Аналогично
в задаче 6.1.10 находим, что работа силы трения равна A  1 Дж
(ответ 1).
В задаче 6.2.1 используем теорему об изменении кинетической
энергии для рассматриваемого в условии груза
mvк2 mvн2

 Amg  AF ,
2
2
где Amg – работа силы тяжести, AF – работа данной силы F . На
участке пути 3 м эти силы совершают над грузом работы
AF  50  3  150 Дж.
Amg  110  3  30 Дж,
Отсюда заключаем, что изменение кинетической энергии тела равно 120 Дж (ответ 2).
Формулу для работы, совершаемой силой упругости, нужно запомнить. Если пружина растягивается или сжимается из недеформированного состояния, то сила упругости совершает работу
A
k l 2
2
(правильный ответ в задаче 6.2.2 – 4).
Используя формулу (6.4) для потенциальной энергии пружины,
находим энергию пружины, растянутой на величину l :
E1  k l 2 / 2 , и сжатой на величину l / 2 : E2  k l 2 / 8 . Вычитая
вторую величину из первой, находим, что потенциальная энергия
пружины, растянутой на величину l , больше на 3k l 2 / 8 , чем
22
потенциальная энергия этой же пружины, сжатой на величину
l / 2 (задача 6.2.3 – ответ 2).
При столкновениях тел механическая энергия может сохраняться (в этом случае говорят об абсолютно упругом столкновении), а
может и не сохраняться (неупругое столкновение). В этом случае
механическая энергия переходит в другие формы, и в частности, в
тепло. При этом согласно закону сохранения энергии количество
выделившейся теплоты равно разности начальной и конечной механической энергии тела. Поэтому в задаче 6.2.4 получаем
Q  Eн  Eк 
mvн2 mvк2
,

2
2
где Eн и Eк – начальная и конечная кинетические энергии мяча,
vн и vк – начальная и конечная скорости мяча. Подставляя в эту
формулу данные условия, получаем Q  0,375 Дж (ответ 4).
Пусть при торможении автомобиля его скорость снизилась от v
до v / 2 (задача 6.2.5). Тогда по теореме об изменении кинетической энергии имеем
m(v 2 / 2) mv 2
3mv 2


  Fтр S ,
2
2
8
где S – тормозной путь автомобиля при таком торможении, Fтр –
сила трения, действующая на тело. Если скорость автомобиля снижается от v / 2 до нуля, теорема об изменении кинетической энергии дает
m(v 2 / 2)
mv 2

  Fтр S1 .
2
8
Отсюда заключаем, что тормозной путь S в первом случае больше
тормозного пути S1 во втором в 3 раза (ответ 3).
При бросании тела со скоростью v0 под углом к горизонту (за0
дача 6.2.6) его начальная кинетическая энергия равна
mv02
.
2
23
Скорость в верхней точке траектории равна v0 cos α , и потому кинетическая энергия в верхней точке –
mv02 cos 2 α
.
2
Отсюда по теореме об изменении кинетической энергии находим
работу силы тяжести
mv02
cos 2 α  1  0, 25 Дж

2
(ответ 1).
До попадания тела на ленту транспортера в задаче 6.2.7 тело
имело кинетическую энергию 0,5 Дж, после остановки относительно ленты – 4,5 Дж, причем единственной силой, которая совершала работу (изменила скорость тела) является сила трения
между телом и лентой. Поэтому по теореме об изменении кинетической энергии получаем Aтр  4 Дж (ответ 1).
Запишем для участка движения тела от начала контакта с пружиной до остановки (задача 6.2.8) закон сохранения механической
энергии
mv 2
k l 2
.
0  0
2
2
Здесь нуль в левой части – это потенциальная энергия недеформированной пружины (до момента контакта тела с пружиной), а нуль
в правой части – кинетическая энергия тела в момент остановки
(именно это положение тела отвечает максимальному сжатию пружины). Отсюда находим l  v m / k (ответ 1).
Задача 6.2.9 является достаточно сложной для школьников, поскольку правильный ответ (который мгновенно получается по тео-
mv 2 mv 2

 A  0 ) ка2
2
жется бессмысленным. С одной стороны, раз A  0 , то стенка ниреме об изменении кинетической энергии
чего «не делала», с другой стороны, понятно, что именно она останавливала тело. Тем не менее, этот ответ правильный, а стенка совершала работу дважды. Сначала она остановила тело (т.е. измени24
ла его скорость от v до нуля) и совершила работу A  mv 2 / 2 ,
затем разогнала – от нулевой скорости до v и совершила при этом
работу A  mv 2 / 2 . Поэтому суммарная работы силы, действующей на тело со стороны стенки, равна нулю. В этом решении ярко
проявляется невекторный (скалярный) характер энергии: кинетическая энергия тела, движущегося в направлении стенки и от нее,
одинакова.
В задаче 6.2.10 необходимо найти мгновенную мощность, развиваемую силой тяжести. Пусть в некоторый момент времени тело
имеет скорость v . Тогда за малый интервал времени t , за который его скорость не успевает измениться, тело проходит расстояние vt . Следовательно, работа силы тяжести за этот интервал
времени будет равна mgvt , а мощность, развиваемая силой тяжести, – N  A / t  mgv . А поскольку для падающего из состояния
покоя тела v  gt , получаем N  mg 2t . Это значит, что мощность
силы тяжести линейно возрастает со временем (ответ 3).
25