1.11. Векторы на координатной оси

Операции сложения векторов и умножения вектора на число были определены нами
чисто геометрически. Но выполнять операции с векторами геометрически не всегда удобно.
Например, если надо сложить двадцать векторов, да еще умноженных на некоторые числа.
Оказывается, что действия с векторами можно свести к действиям с числами. Но для этого
надо сначала ввести систему координат (на прямой, на плоскости или в пространстве) и тогда
действия с векторами просто сводятся к аналогичным действиям с числами.
1.11. Векторы на координатной оси. Сначала рассмотрим векторы, лежащие на
некоторой прямой р. Введем на этой прямой координату х, выбрав начало координат - точку О
r
r
и единичный вектор ОЕ = i . Прямая р стала координатной осью х (рис.1.44). Любой вектор а ,
r
лежащий на прямой р коллинеарен единичному вектору i . Согласно характерному свойству
коллинеарных векторов (теорема п.1.8)
r
r
а = ах i .
(8)
r
Число ах называется координатой вектора а на координатной оси х. Оно определяется
для каждого вектора на оси х единственным образом.
Рис.1.44
r
r
r
r
r
r
1 Действительно, пусть а = ах i и а = ах* i . Тогда из равенства ах i = ах* i следует,
что ах=ах* (по свойству 4 п.8). Поэтому два вектора на оси равны тогда и только тогда, когда
их координаты равны. g
Теперь легко установить следующие два свойства координат векторов на прямой:
С в о й с т в о 1. При сложении
векторов на оси их
координаты складываются.
r r
r r
r
r r r
r
1 Покажем, что если с =
а + b и с =сх i , а =ах i , b =bх i , то сх=ах+bх.
r
r
r
r
r
r
r r r
r
Действительно, с = а + b =ах i +bх i =(ах+bх) i и с =сх i . Из равенства (ах+bх) i =сх i по
свойству 4 п.8 имеем: сх=ах+bх.g
С в о й с т в о 2. При умножении вектора на число его координата умножается на
это число.
Это свойство докажите самостоятельно.
Свойства 1 и 2 сводят действия с векторами на оси к действиям с их координатами.
r
r
Когда вектор а отложен на оси х от начала координат (рис.1.45), т.е. а = ОА , то его
координата ах равна координате точки А - числу хА:
ах=хА.
(9)
а)
б)
Рис.1.45
1 Действительно, модули этих чисел равны длине отрезка ОА. Оба эти числа
положительны, когда точка А лежит на положительной полуоси х (рис.1.45,а) - в этом случае
r
векторы ОА и i сонаправлены. Если же точка А лежит на отрицательной полуоси х
r
(рис.1.45,б), то оба они отрицательны - векторы ОА и i направлены противоположно.
Следовательно, числа ах и хА равны.g
r
Теперь уже легко найти координату вектора а = АВ на оси х, если известны координаты
r
r
r
хА и хВ точек А и В. Поскольку AB = ОВ - ОА и ОА =хА i , а ОВ =хВ i , то AB =(хВ -хА) i .
Последнее равенство и говорит о том, что координата вектора на оси равна разности
координат его начала и конца:
ах=хВ - хА .
(10)
Вопросы для самоконтроля
1. Как вводится координата вектора на оси?
2. Чему равна координата вектора на оси, координаты начала и конца которого
известны?
3. Чему равна координата суммы векторов?
4. Что происходит с координатой вектора при умножении его на некоторое число?
Задачи
Представляем. 11.1. Верно ли, что чем длиннее вектор, лежащий на оси, тем больше его
координата? Верно ли обратное?
r
Вычисляем. 11.2. Вектор а имеет координату –5, вектор b имеет координату 2. Каковы
координаты векторов: а) а + b ; б) - а + b ; в) 2 а -3 b ?
11.3. На оси лежат четыре вектора. Их координаты соответственно 3, -2, -8, 7. Какой
вектор является их суммой?
11.4. Даны две точки на оси: А(-10) и В(20). Каковы координаты векторов AB и ВА ?
11.5. Даны две точки на оси: А(100) и В(-20). Какую координату имеет точка Х, такая,
что: а) ХА =2 ХВ ; б) ХА + ХВ = 0 ; в) АХ + ХВ = 0 ; г) 2 АХ -3 ХВ = 0 ?
Исследуем. 11.6. Даны точки на оси: А(-3), В(-1), С(4) и D(6). Есть ли среди векторов,
заданных этими точками, равные?
11.7. Как изменятся координаты векторов на координатной оси, если ее единичный
вектор изменил направление?