ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО
МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ КИБЕРНЕТИКИ
Лабораторная работа
«Изучение распределений непрерывных случайных величин
в среде MATHCAD»
Томск 2009
2
Лабораторный практикум предназначен для выполнения студентами
направления 220200 «Автоматизация и управление» и студентами специальности
220301 «Автоматизация
технологических
процессов и
производств
(в
нефтегазовой отрасли)» цикла лабораторных работ по дисциплине «Математические
основы кибернетики» / сост., В.А. Рудницкий, Томск, ТПУ, каф. ИКСУ АВТФ, 2009 г.
3
Целью лабораторной работы является изучение наиболее распространенных
непрерывных случайных величин в среде математического пакета Mathcad.
Как известно, каждая случайная величина полностью определяется своей
функцией распределения.
Если x - случайная величина, то функция Fx
(x)=
P(x<x) называется функцией распределения случайной величины x. Здесь P(x<x) –
вероятность того, что случайная величина x принимает значение меньшее x. Если Fx(x)
непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной. В
случае, когда Fx(x) непрерывно дифференцируема, то более наглядное представление о
случайной величине дает плотность вероятности случайной величины px(x), которая
связана с функцией распределения Fx(x) соотношениями
Ґ
dFx ( x )
Fx ( x ) = т p x ( t )dt и p x ( x ) =
.
dx
-Ґ
Вероятность того, что значение случайной величины x попадет в интервал
b], вычисляется для непрерывной случайной величины по формуле
[a,
b
P(a < x < b ) = Fx (b ) - Fx (a ) = т p x ( t )dt .
a
Как и в случае дискретных случайных величин
изучение непрерывной
случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которая
содержит полную информацию об этой величине. Поэтому обратимся к рассмотрению
наиболее распространенных законов
распределения непрерывной случайной
величины.
1.Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина x, принимающая значения на отрезке [a, b],
распределена равномерно на [a, b], если плотность распределения px(x) и функция
распределения случайной величины Fx(x) имеют вид:
x Ј a,
м0,
x П [a, b],
м0,
пx - a
п
п
p x ( x) = н 1
Fx ( x ) = н
,
a < x Ј b,
b
a
,
x
О
[
a
,
b
]
по b - a
п
x > b.
по1,
В Mathcad , в случае равномерного распределения, значения плотности
распределения и функции распределения случайной величины в точке х вычисляются
с помощью встроенных функций, соответственно, dunif(x, a,b) и punif(x,a,b). Пример
использования этих функций в рабочем документе показан на рисунке 1.
2
2
dunif ( x, 0 , 1)
1
0
0
2
1
-1
0
1
x
2
2
2
punif ( x, 0 , 1)
1
0
0
1
-1
0
1
x
2
2
4
Рисунок 1. Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной
величины x, принимающей значения на отрезке [0, 1] и имеющей равномерное
распределение.
2. Экспоненциальное (показательное распределение)
Непрерывная случайная величина x имеет показательное распределение с
параметром l, если плотность распределения рx имеет вид
x < 0,
мп0,
p x ( x) = н -lx
поle
,
x і 0.
Отсюда
видно, что показательное распределенная случайная величина
принимает только неотрицательные значения. Функция распределения такой
случайной величины имеет вид
xЈ0
мп0,
Fx ( x ) = н
по1 - e -lx ,
x > 0.
В Mathcad
значения в точке х плотности распределения и функции
распределения случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с
параметром l, вычисляются с помощью встроенных функций dexp(x, l) и pexp(x, l)
соответственно.
На рисунке 2 приведен фрагмент рабочего документа, содержащего графики
плотностей вероятностей и функций
распределения случайных величин для
параметров l=1 и l=2.
2
2
dexp( x, 1)
1
0
0
2
5
0
-5
2
5
x
1
0
0
pexp( x, 1)
1
0
0
10
10
2
dexp( x, 2)
2
5
-5
0
5
x
2
10
10
0
5
10
0
x
10
0
5
10
0
x
10
2
pexp( x, 2)
1
0
0
Рисунок 2. Графики плотностей вероятностей и функций распределения случайной величины x,
имеющей показательное распределение с параметрами l=1 и l=2.
3. Нормальное распределение
Это распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и
математической статистике. Случайная величина x имеет нормальное распределение с
5
параметрами a и s, s>0, это записывается в форме x ~N (a, s), если ее плотность
распределения рx имеет вид
p x ( x) =
(x - a) 2
1
exp( ).
2p s
2s 2
Случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, если a=0
и s=1, x ~N (0, 1). Плотность стандартного нормального распределения имеет вид
x2
),
2
2p
а его функция распределения Fx(x)=Ф(х), где Ф(х) – функция Лапласа:
p x ( x) =
1
exp( -
z2
Ф( x ) =
)dz .
т exp( 2
2p - Ґ
Функция распределения нормальной величины h ~N (a, s), также выражается через
функцию Лапласа
x-a
Fh ( x ) = Ф(
).
s
Возможность выражения плотности распределения и функции распределения с
помощью функции Лапласа обусловили широкое распространение нормального
распределения при решении различных задач теории вероятности и математической
статистики.
В Mathcad
значения в точке х плотности распределения и функции
распределения нормальной случайной величины с параметрами a и s, находятся
встроенными функциями dnorm(x, a , s) и pnorm(x, a , s).
На рисунке 3 приведены построенные в Mathcad
графики плотности
вероятностей и функций распределения случайных величин для x ~N (0, 1) и
h ~N
(1, 2).
1
x
1
1
dnorm( x, 0 , 1) 0.5
pnorm( x, 0 , 1) 0.5
1
0
1
0
10
0
10
- 10
x
10
0
10
0
10
x
1
1
1
dnorm( x, 1 , 2) 0.5
pnorm ( x, 1 , 2) 0.5
0
0
10
0
10
- 10
x
10
0
0
10
0
10
- 10
x
10
Рисунок 3. Графики плотности вероятностей и функций распределения случайной величины
x, имеющей нормальное распределение для x ~N (0, 1) и
h ~N (1, 2).
4. Распределение хи-квадрат (c2-распределение)
6
Пусть x1, x2, … ,xn – независимые случайные величины, каждая из которых
имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Можно составить случайную
величину c2n= x12 +x2 2 + xn2. Ее распределение называется
c2-распределением с
n степенями свободы. Выражение плотности распределения этой случайной величины
определяется следующим образом:
z < 0,
м0,
п
n- 2
пп
1
z
p n (z ) = н
z 2 exp( - ) z і 0,
n
2
п
n
2
п Г( ) 2
по 2
Ґ
где Г( х)- гамма функция Эйлера Г( x ) = т x z -1 exp( - z )dz .
0
В среде Mathcad значения в точке х плотности распределения и функции
распределения с n степенями свободы вычисляется встроенными функциями dchisq (x,
n) и pchisq (x, n).
На рисунке 4 приведены графики плотности вероятностей и функций
распределения для c2-распределения с двумя, четырьмя и восьмью степенями
свободы.
0.6
1
1
dchisq ( x, 2) 0.4
pchisq ( x, 2)
dchisq ( x, 4)
pchisq ( x, 4) 0.5
dchisq ( x, 8) 0.2
pchisq ( x, 8)
0
0
0
0
-1
5
x
10
10
0
0
-1
10
20
x
20
2
Рисунок 4. Графики плотности вероятностей и функций распределения для c -распределения с двумя,
четырьмя и восьмью степенями свободы.
5. Распределение Стьюдента
Пусть случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, а
случайная величина cn2 - распределение с n степенями свободы. Если x и cn2
x
независимы, то про случайную величину t n =
говорят, что она имеет
2
cn
n
распределение Стьюдента с числом степеней свободы n. Доказано, что плотность
вероятности такой случайной величины вычисляется по формуле
n+1
n +1
Г(
)
1
x2 - 2
2
p tn (x) =
(1 +
)
,
xО R
n
np Г( n )
2
7
При больших значениях n распределение Стьюдента практически не отличается
от N(0,1).
В Mathcad значения в точке х плотности распределения и функции Стьюдента с
n степенями свободы вычисляются встроенными функциями dt(x, n) и pt(x, n).
На рисунке 5 показан пример использования этих функций для построения
соответствующих графиков.
0.5
1.1
1
0.4
dt ( x, 2)
pt ( x, 2)
dt ( x, 5)
pt ( x, 5)
0.2
dt ( x, 10)
0
0
0.5
pt ( x, 10)
0
5
0
5
-5
x
5
0
5
0
5
-5
x
5
Рисунок 5. Графики плотности вероятностей и функций распределения при n=2,5,10.
6.Распределение Фишера
Пусть случайные величины cn2 и cm2 независимы и имеют распределение c2 с n
c n2
Fn,m =
и m степенями свободы. Тогда случайная величина
2
cm
n
имеет F-
m
распределение с плотностью вероятности
n- 2
n+m
Г(
)
n
x 2
2
p F ( x) =
( )n 2 Ч
,
x > 0.
n+m
n
m m
Г( )Г( )
nx
2
2
(1 + ) 2
m
В Mathcad значения в точке х плотности распределения и функции Фишера
вычисляются встроенными функциями dF(x, n, m) и pF(x, n,m).
На рисунке 6 приведены построенные в Mathcad графики плотности
вероятностей и функций распределения для n=2,5 и m=5,2.
1
1
1
dF ( x, 2, 5)
dF ( x, 5, 2)
0
1
pF( x, 2 , 5)
0.5
0
pF( x, 5 , 2)
0
1
-1
0
1
x
2
2
0.5
0
0
-1
5
x
10
10
Рисунок 6. Графики плотности вероятностей и функций распределения в случае F-распределения для
n=2,5 и m=5,2
7. Распределение Парето
8
Это распределение часто используется для
экономических исследований
плотность вероятностей для случайной величины при этом распределении имеет вид
x < a,
мп0,
p x ( x ) = н r -(r +1)
поra x
,
x і a,
где a>0, r>0.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий пример
определения и построения графиков (рисунок 7) плотности вероятностей и функций
распределения Парето. Поскольку в Mathcad нет встроенных функций для этого
распределения, они определяются исходя из соглашения об именах для имеющихся
статистических функций, как функции переменной х и параметров а и r: dP(x,p,a) и
pP(x,p,a) - соответственно для плотности вероятностей и функции распределения
Парето (параметр r обозначен как р).
dP (x , p , a) :=
p
- ( p + 1)
pЧa Чx
if x і a
pP ( x , p , a) :=
x
0 if x < a
1
у
p - ( p + 1)
ф pЧa Чt
dt if x і a
хa
1
1
dP( x, 1 , 1)
dP( x, 1 , 2)
0
0 if x < a
1
pP( x, 1 , 1)
0.5
0
pP( x, 1 , 2)
0
5
10
0
x
10
0
0.5
0
0
5
0
x
Рисунок 7. Графики плотности вероятностей и функций распределения
Парето.
10
10
в случае распределения
8. Логистическое распределение
Это еще одно распределение, широко применяемое в экономических
исследованиях. Оно имеет следующую функцию распределения:
1
Fx ( x ) =
,
xО R ,
x-a
1 + exp( )
b
где a и b - параметры распределения.
Плотность распределения вероятностей для логистического распределения
вычисляется по формуле:
x-a
exp( )
1
b
p x ( x) = Ч
,
xОR .
x-a 2
b
1 + exp( )
b
По своим свойствам логистическое распределение очень похоже на нормальное.
В среде Mathcad значения в точке х плотности распределения и функции
9
распределения для логистического распределения вычисляются встроенными
функциями соответственно dlogis(x,a,b) и plogis(x,a,b).
Графики плотности вероятностей и функций распределения для a=0, b=1, 2
показаны на рисунке 8.
1.5
0.5
0.4
dlogis ( x, 0 , 1)
plogis ( x, 0 , 1)
dlogis ( x, 0 , 2) 0.2
plogis ( x, 0 , 2)
0
0
0
10
0
10
- 10
x
10
1
0
10
0
10
- 10
x
10
Рисунок 8. Графики плотности вероятностей и функций распределения в случае
логистического распределения.
ЗАДАНИЕ
Построить графики плотности распределения и функции распределения для
экспоненциального, нормального, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера, Парето и
логистического распределений. Найти вероятность того, что значение случайной
величины x попадет в заданный интервал [a, b]. Исследовать поведение px(x) и Fx (x)
при заданном изменении параметров распределений.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
1. Построить графики плотности распределения и функции распределения для
показательного распределения с параметром l, равным N. Здесь N – номер
варианта.
2. Построить графики плотности распределения и функции распределения в случае
нормального закона распределения случайной величины. Параметры
распределения задаются преподавателем.
3. Построить графики плотности распределения и функции распределения c2 с
указанным числом степеней свободы k=N. Здесь N – номер варианта. При
построении в тех же осях для сравнения построить графики стандартного
нормального распределения.
4. Построить графики плотности распределения и функции распределения
Стьюдента с указанным числом степеней свободы, равным k=N. Здесь N – номер
варианта. В тех же осях для сравнения построить графики стандартного
нормального распределения.
5. Построить графики плотности распределения и функции распределения Фишера
для указанных в Таблице 1 значений n и m.
6. Построить графики плотности распределения и функции распределения Парето
для указанных в Таблице 2 значений a и r.
7. Построить графики плотности распределения и функции распределения для
логистического распределения при значениях параметров a=a и b=r. Значения
a и r берутся из Таблицы 2.
8. В пп. 1ё7 для указанных преподавателем значений a и b найти вероятность того,
что значение случайной величины x попадет в заданный интервал [a, b].
10
9. В пп. 1ё7 построить px(x) и Fx (x) для 5 различных значений параметров
распределений.
Таблица 1.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
20
n
6
7
8
9
10
9
8
7
6
5
4
5
6
7
8
9
10
9
7
m
4
4
4
4
4
5
5
5
3
3
2
2
3
4
4
5
5
5
5
a
1
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.1
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
3.1
r
1
1
1
1
1
1
1.5
1.5
1.5
1.5
2
2
2
2
2
2
2.5
2.5
Таблица 2.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
11
19
20
3.2
3.3
2.5
2.5
СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1.
2.
3.
4.
5.
Цель работы.
Задание.
Рабочий документ Mathcad для всех указанных распределений с комментариями.
Ответы на контрольные вопросы.
Выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется непрерывной случайной величиной?
2. Чему равна вероятность того, что случайная величина x принимает значение
меньшее x?
3. При каких условиях случайная величина x имеет стандартное нормальное
распределение?
4. Когда распределение Стьюдента не отличается от нормального распределения?