Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 21 ЛЕКЦИЯ 21 Релятивистский импульс. 4-вектор энергии-импульса. Закон сохранения энергии-импульса. Зависимость массы от скорости. Связь энергии с массой. Формула Эйнштейна E = mc2 . Релятивистский импульс. 4-вектор энергии-импульса. По аналогии с 4-скоростью ui введем 4-импульс для свободной частицы pi = m0 cui , (1) где m0 — масса в системе покоя частицы (масса покоя), или в компонентах mc m0 v 0 p = r , r . v2 v2 1− 2 1− 2 c c Пространственная компонента 4-импульса mv r 0 v2 1− 2 c i (2) (3) в пределе c → ∞ переходит в обычный (классический) импульс p = m0 v. Поэтому мы, по аналогии с классической механикой, будем называть величину m0 v p=r (4) v2 1− 2 c релятивистским импульсом. Этому выражению можно придать обычный для классической механики вид m0 p = mv, где m = r (5) v2 1− 2 c есть масса частицы, зависящая от ее скорости. Выясним теперь, p что представляет из себя временная компонента 4импульса — m0 c/ 1 − v 2 /c2 . Для этого посмотрим, во что переходит это 1 Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 21 p выражение при v ¿ c. Разлагая функцию 1/ 1 − v 2 /c2 в ряд Тейлора по малому параметру v/c, мы имеем 1 µ ¶ m0 c 1 v2 1 m0 v 2 r ≈ m0 c 1 + 2 = m0 c + . (6) 2c 2 c v2 1− 2 c Умножая это выражение на c, получим m0 c2 m0 v 2 2 r ≈ m0 c + . (7) 2 v2 1− 2 c Первое слагаемое в правой части этой формулы есть некоторая константа, не зависящая от скорости частицы и имеющая размерность энергии, а второе — есть не что иное, как кинетическая энергия частицы в классической механике. Поэтому по аналогии с классической механикой величина m0 c2 = mc2 E=r (8) 2 v 1− 2 c называется энергией частицы в релятивистской механике, а энергия частицы при v = 0, т. е. величина m0 c2 называется энергией покоя. После этих определений можно представить 4-импульс частицы в виде µ ¶ E pi = m0 cui = (9) , p , c т. е. временная компонента 4-импульса представляет собой энергию частицы, деленную на скорость света c, а пространственная — импульс частицы. Поэтому часто 4-импульс называют 4-вектором энергии-импульса. Вспомнив о том, что 4-скорость является ”единичным” 4-вектором, т. е. ui ui = 1, мы получаем следующее релятивистски инвариантное соотношение: pi pi = m20 c2 , (10) или 1 E2 − p2 = m20 c2 , 2 c Поскольку при x ¿ 1, разлагая в ряд Тейлора ¶0 µ 1 1 1 √ · x = 1 + x. ≈1+ √ 2 1−x 1 − x x=0 2 (11) Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 21 которое справедливо независимо от выбора инерциальной системы отсчета. В другой системе отсчета K 0 имеет место такое же соотношение E0 2 − p0 2 = m20 c2 . (12) 2 c Иными словами, полученная формула Лоренц инвариантна. Сами E и p меняются при переходе к другой системе отсчета в соответствии с преобразованиями Лоренца для 4-векторов E0 V 0 + px E c =r c , c V2 1− 2 c V E0 + px = r c c , V2 1− 2 c p0x py = p0y , pz = p0z . (13) pz = p0z . (14) Домножая первое соотношение на c, получим 0 E +V E=r 1− p0x , 2 V c2 V p0x + 2 E 0 px = r c , V2 1− 2 c py = p0y , Закон сохранения энергии-импульса Какой смысл во всех этих обозначениях, определениях и названиях? Ведь если исходить только из совпадения данной величины с ее классическим пределом при c → ∞, то мы могли бы назвать, например, ”импульсом” величину m0 v (15) (1 − v 2 /c2 ) (она переходит в классическое выражение при c → ∞), а ”энергией” величину 1 m0 c2 m0 c2 m0 v 2 ≈ + (16) 2 (1 − v 2 /c2 ) 2 2 (второе слагаемое в этой формуле есть кинетическая энергия частицы в классической механике). Однако можно показать, что эти величины не являются компонентами какого-либо 4-вектора. А почему нам надо, чтобы они были компонентами 4-вектора? Все дело в том, что в релятивистской физике, так же как и в физике нерелятивистской, выполняются законы сохранения импульса и энергии. Это есть, можно сказать, опытный факт. Не 3 Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 21 обнаружено пока отклонений от этих законов сохранения 2 . Но в силу принципа относительности эти законы сохранения должны выполняться во всех инерциальных системах, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. 3 2 1 4 Рис. 1: Столкновение 2-х частиц в лабораторной системе. Рассмотрим, например, столкновение 2-х частиц в лабораторной системе с образованием двух (вообще говоря, других) частиц. Закон сохранения импульса гласит p1 + p2 = p3 + p4 . (17) А закон сохранения энергии E1 + E2 = E3 + E4 . (18) Но такие же законы сохранения должны выполняться и в любой другой инерциальной системе K 0 , движущейся относительно лабораторной системы со скоростью V p01 + p02 = p03 + p04 , E10 + E20 = E30 + E40 . (19) Если величины E/c и p являются компонентами 4-вектора, то это следует автоматически из преобразований Лоренца. Например, в проекции на ось x p1x + p2x = p3x + p4x , (20) E1 + E2 = E3 + E4 . Когда такие отклонения обнаруживаются, то в конце концов оказывается, что это либо ошибка, либо, если выясняется, что ошибки нет, это приводит к открытию новых элементарных частиц. Наиболее яркий пример такого рода — это открытие нейтрино. 2 4 Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 21 Применяя преобразования Лоренца, получаем из (20) V V V V p03x + 2 E30 p04x + 2 E40 p01x + 2 E10 p02x + 2 E20 r c + r c = r c + r c , V2 V2 V2 V2 1− 2 1− 2 1− 2 1− 2 c c c c E10 + V p01x E20 + V p02x E30 + V p03x E40 + V p04x r +r = r +r . V2 V2 V2 V2 1− 2 1− 2 1− 2 1− 2 c c c c p После сокращения на 1 − V 2 /c2 имеем p01x + p02x + V 0 V 0 0 0 0 (E + E ) = p + p + (E3 + E40 ), 1 2 3x 4x 2 2 c c E10 (p01x + E20 +V + p02x ) = E30 + E40 +V (p03x + (21) (22) (23) p04x ). Домножая второе уравнение на V /c2 и вычитая его из первого, получим (1 − V 2 /c2 )(p01x + p02x ) = (1 − V 2 /c2 )(p03x + p04x ). (24) В итоге мы приходим к закону сохранения импульса в системе K 0 p01x + p02x = p03x + p04x . (25) Но если выполняется закон сохранения импульса, то из первого уравнения системы (23) следует закон сохранения энергии E10 + E20 = E30 + E40 . (26) Таким образом, мы приходим к выводу, что сохраняющиеся величины в релятивистской физике должны быть компонентами 4-векторов (или 4-тензоров). Тогда законы сохранения, будучи справедливы в одной инерциальной системе отсчета, будут справедливы и в любой другой инерциальной системе. Зависимость массы от скорости Возможно, кто-то остался неудовлетворенным этим довольно формальным выводом выражений для энергии и импульса релятивистской частицы. Поэтому приведем еще один вывод, заимствованный из книги 5 Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 21 М. Борна ”Эйнштейновская теория относительности”, Мир, Москва, 1972 г. (стр. 262). Давайте будем искать выражение для импульса частицы в виде p = m(v)v, (27) считая, что масса частицы m(v) есть некоторая функция ее скорости, которую нам предстоит определить исходя из предположения, что импульс частицы — сохраняющаяся величина. Рассмотрим для этого неупругое столкновение двух одинаковых тел одно из которых покоится (в некоторой лабораторной системе отсчета K), а другое движется к нему со скоростью v. После столкновения тела слипаются и продолжают движение вместе с некоторой скоростью u, которую нам надо найти. K M(u) m(v) v u 2 1 До после и столкновения Рис. 2: Неупругое столкновение двух одинаковых тел. Закон сохранения импульса в проекции на первоначальное направления движения (которое мы выбираем качестве оси x) в лабораторной системе гласит m(v)v = M (u)u, (28) где M (u) — масса образовавшегося тела. Посмотрим теперь на то же столкновение из другой инерциальной системы K 0 , которая движется вправо относительно системы K со скоростью v (рис. 3). В этой системе K K' u v v 1 после столкновения 2 до столкновения Рис. 3: То же столкновение в системе K 0 . первая частица покоится, а вторая налетает на нее со скоростью −v. В результате образующаяся составная частица движется со скоростью −u 6 Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 21 (так как процесс симметрично выглядит в этой системе по сравнению с системой K). Применяя теперь закон сложения скоростей, мы можем связать u и v. Для этого в формулу релятивистского закона сложения скоростей, определяющей скорость слипшейся частицы в двух системах отсчета K и K 0 vx0 + V (29) vx = vx0 V 1+ 2 c 0 подставим vx = u, vx = −u и V = v. В результате получим уравнение для u −u + v u= (30) uv . 1− 2 c Относительно скорости u это есть квадратное уравнение. Выбирая из двух корней тот корень, который соответствует скорости, меньшей скорости света, получим Ã ! r 2 2 c v v r u= 1− 1− 2 = . (31) v c v2 1+ 1− 2 c В пределе c → ∞ это переходит в известный классический результат: u = v/2. Рассмотрим теперь то же столкновение из системы K 00 , которая движется вниз со скоростью V . В этой системе отсчета, если мы развернем X K K'' V Y Рис. 4: Система K 00 . картинку и снова сделаем ось x горизонтальной, столкновение тел будет выглядеть так, как показано на рис 5. Для определения компонент скоростей тел до и после столкновения в системе K 00 воспользуемся фор- 7 Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 21 2 u y'' K'' 1 V -c2 V V V 2 после столкновения x'' 2 v 1 V -c2 V 1 до столкновения Рис. 5: Столкновение в системе K 00 . мулами преобразования скоростей vx00 = r V2 vy 1 − 2 c . 00 vy = vx Vx 1− 2 c vx − V x , vx V x 1− 2 c (32) В данном случае Vx = −V (33) v1x = v2x = vσx = 0 (34) и (значок σ относится к телу образовавшемуся в результате столкновения). Поэтому из формул (32) следует для x компонент скоростей в системе K 00 00 00 00 = V. (35) = vσx v1x = v2x Аналогичным образом, поскольку v1y = v, v2y = 0, vσy = u, (36) получаем для y компонент скоростей r r 2 V V2 00 00 00 v1y (37) = v 1 − 2 , v2y = 0, vσy =u 1− 2 . c c Запишем теперь закон сохранения импульса в системе K 00 в проекции на ось x Ãs Ãs µ ¶! µ ¶! 2 2 V V m V 2 + v2 1 − 2 V + m(V )V = M V 2 + u2 1 − 2 V. c c | {z } | {z } | {z } сост. част. 2 част. 1 част. 8 Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 21 Сокращая на V , получаем Ãs Ãs ¶! ¶! µ µ 2 2 V V =M . (38) m(V ) + m V 2 + v2 1 − 2 V 2 + u2 1 − 2 c c Это равенство должно выполняться при любом V , в том числе и при V =0 m(0) + m(v) = M (u). (39) В таком виде оно представляет собой не что иное, как закон сохранения массы при неупругом столкновении двух тел. Подставляя теперь M (u) в закон сохранения импульса (28), получим m(v)v = uM (u) = u [m(0) + m(v)] . (40) Разрешая это уравнение относительно m(v), приходим к соотношению u m(v) = m(0) . (41) v−u Нам теперь осталось вычислить только отношение u/(v − u). Подставляя в него скорость u из уравнения (31), получим v r v2 1+ 1− 2 u 1 c =r . (42) = v v−u v− v2 r 1− 2 v2 c 1+ 1− 2 c Таким образом, мы приходим к уже известному нам выражению для массы тела, зависящей от его скорости m(0) m(v) = r . 2 v 1− 2 c (43) Попутно мы доказали, что если сохраняется импульс (во всех инерциальных системах отсчета), то сохраняется и масса (зависящая от скорости), или, что то же самое, энергия, равная произведению массы тела на квадрат скорости света. Связь энергии с массой. Формула Эйнштейна E = mc2 Важнейший результат специальной теории относительности относится к понятию массы. В дорелятивистской физике было два закона сохра9 Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 21 нения: закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Оба этих фундаментальных закона считались совершенно независимыми друг от друга. Теория относительности объединила их в один. Так, если тело, движущееся со скоростью v и получающее энергию E0 в форме излучения 3 без изменения своей скорости, увеличивает при этом свою энергию на величину E0 p . (44) 1 − v 2 /c2 В результате полная энергия тела становится равной (m0 + E0 /c2 )c2 p . 1 − v 2 /c2 (45) Следовательно, тело обладает такой же энергией, как и тело, движущееся со скоростью v и имеющее массу покоя m0 + E0 /c2 . Таким образом, можно сказать, что если тело получает энергию E0 (в системе отсчета, где тело покоится), то его масса покоя увеличивается на величину E0 /c2 . Так, например, нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, и, если бы в нашем распоряжении были бы очень точные весы, мы бы убедились в этом непосредственно с помощью взвешивания. Однако в нерелятивистской физике изменения энергии E0 , которые мы могли сообщить телу, были, как правило, недостаточно велики, чтобы можно было заметить изменения инертной массы тела. Величина E0 /c2 в нашей обыденной жизни слишком мала по сравнению с массой покоя m0 , которую имело тело до изменения энергии. Этим обстоятельством объясняется тот факт, что закон сохранения массы так долго имел в физике самостоятельное значение. Совершенно по-другому обстоит дело в релятивистской физике. Хорошо известно, что с помощью ускорителей мы можем сообщить телам (элементарным частицам) огромную энергию, достаточную для рождения новых (элементарных) частиц — процесс, который наблюдается сейчас сплошь и рядом на современных ускорителях элементарных частиц. Формула Эйнштейна E = mc2 ”работает” в ядерных реакторах атомных электростанций, где энергия высвобождается за счет процесса деления ядер тяжелых элементов. Масса конечных продуктов реакции меньше массы исходного вещества. Эта разница масс, деленная на квадрат скорости света, и представляет собой полезную высвобожденную энергию. 3 Здесь E — полученная телом энергия при наблюдении из системы координат, движущейся 0 вместе с телом. 10 Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 21 Подобным же образом нас обеспечивает теплом и наше Солнце, где за счет реакции термоядерного синтеза водород превращается в гелий и выделяется огромное количество энергии в виде излучения 4 . Сейчас можно считать твердо установленным, что инертная масса тела определяется количеством запасенной в теле энергии. Эту энергию сполна можно получить в процессе аннигиляции вещества с антивеществом, например, электрона с позитроном. В результате такой реакции образуются два гамма-кванта — фотона очень большой энергии. Этот источник энергии, возможно, будет использоваться в будущем в фотонных двигателях ракет для достижения ими субсветовых скоростей при полетах к далеким галактикам. Задачи 1. Частица с массой покоя m0 , движущаяся со скоростью 4c/5, испытывает неупругое соударение с покоящейся частицей такой же массы. а) Чему равна скорость u образовавшейся составной частицы? б) Чему равна ее масса покоя M0 ? Ответ: c 2m0 4m0 u= , M0 = 2mu = r = √ . 2 3 u2 1− 2 c Анекдот Однажды на физическом практикуме МГУ была задана такая задача: разобрать принципиальную схему осциллографа и измерить его чувствительность. Через 40 минут прибегает один студент и виновато сообщает, что дела идут успешно, но вот трубка никак не вытаскивается... Когда руководитель занятий в предчувствии беды прибежал в лабораторию, то увидел груду панелей, сопротивлений и ламп... Студент, правда, оказался добросовестным и два дня собирал осциллограф, но он так и не заработал... Как мы убедимся на следующей лекции, масса четырех протонов больше массы ядра атома He4 на 50 электронных масс. Эта энергия и выделяется при термоядерном синтезе в Солнце и других звездах. 4 11