Cкачать.

Читая задачи, имейте в виду общепринятые обозначения:
1) в рукописном тексте вектор обозначается чертой над буквой, а в печатном тексте вектор обозначается
жирной буквой;
2) в рукописном тексте длина вектора обозначается той же буквой, что и сам вектор, только без чёрточки, а в
печатном тексте – той же буквой, что и сам вектор, но нежирной.
Задачи по магнитостатике
Задача № 1
Найти магнитное поле H, магнитную индукцию B и векторный потенциал A прямолинейного
бесконечного тока J , текущего в среде с магнитной проницаемостью µ .
Результат: в цилиндрических координатах (r⊥ , α , z ) с осью z вдоль тока: H α =
Az = −
2J
, H=
H=
0,
r⊥
z
cr⊥
2J
ln r⊥ , A
=
A=
0.
α
r⊥
c
Задача № 2 (БТ №246)
Найти векторный потенциал
A
и магнитное поле
H,
создаваемые двумя прямолинейными
параллельными токами J , текущими в противоположных направлениях. Расстояние между токами 2a.
Магнитная проницаемость среды µ .
Указание: сложить векторные потенциалы токов.
Результат: если начало отсчёта поместить посередине между токами, ось z направить по течению одного
из токов, ось x направить так, чтобы токи, текущие в положительном и отрицательном направлениях оси z ,
пересекали ось x в точках с x = a и x = −a соответственно, то A=
A=
0 , Az
x
y=
Hx = −
2J  x − a x + a 
8 J xya
=
− 2  , H z = 0 , где r1 =
, Hy

2 2
c  r12
r2 
c r1 r2
( x − a ) 2 + y 2 , r2 =
2 µ J r2 J ( x + a ) 2 + y 2
;
=
ln
ln
c
r1 c ( x − a ) 2 + y 2
( x + a)2 + y 2 .
Задача № 3
Определить напряжённость магнитного поля плоскости, по которой прямолинейно течёт ток, равномерно
распределённый по поверхности с поверхностной плотностью i.
Результат: по обе стороны от плоскости поле однородно и равно по величине H = 2π i c ; причём поле по
одну сторону от плоскости направлено противоположно полю с другой стороны плоскости.
Задача № 4
Определить напряжённость магнитного поля, созданного двумя параллельными плоскостями, по которым
прямолинейно текут токи с одинаковыми поверхностными плотностями i. Рассмотреть два случая: (а) токи
текут в противоположных направлениях; (б) токи направлены одинаково.
Задача № 5 (БТ №244)
Вдоль прямолинейной бесконечно длинной полоски шириной a течёт поверхностный ток J , равномерно
распределённый по её ширине.
(а) Найти напряжённость магнитного поля в окружающем пространстве, разбив полоску на бесконечно
узкие полоски и просуммировав их напряжённости (напряжённость прямолинейного бесконечного тока считать
известной).
(б) Проверить, что на большом расстоянии от полоски магнитное поле совпадает с полем прямолинейного
бесконечного тока.
(в) Показать, что магнитное поле вблизи центральной части полоски является однородным (совпадает с
магнитным полем плоскости, по которой течёт ток, равномерно распределённый по поверхности).
=
Hx
Результат:
2J 
x−a/2
x+a/2
− arctg
 arctg
,
ca 
y
y 
Hy =
J ( x + a / 2) 2 + y 2
,
ln
ca ( x − a / 2) 2 + y 2
Hz = 0 ;
ось
y
перпендикулярна полосе и проходит через её середину, ось z направлена в сторону течения тока.
Решение
Задача № 6 (БТ №242)
Определить во всех точках пространства напряжённость магнитного поля H, магнитную индукцию B и
векторный потенциал A, создаваемые током J , текущим по бесконечному цилиндрическому проводнику
кругового сечения радиуса a (ток J
равномерно распределённым по площади сечения). Магнитные
проницаемости проводника и окружающего проводник вещества равны µ1 и µ 2 соответственно.
Решить задачу
(а) с помощью дифференциального уравнения для векторного потенциала A ,
(б) с помощью уравнения Максвелла для H в интегральной форме.
Результат. Ниже приведены компоненты векторов H, B и A в цилиндрических координатах (r⊥ , α , z ) с
осью z , совпадающей с осью цилиндра и направленной по току J . Отсутствующие компоненты равны нулю.
r⊥ < a :
Hα =
2J
r⊥ ,
ca 2
Bα = µ1 H α ,
r⊥ > a :
Hα =
2J
,
cr⊥
Bα = µ 2 H α ,
  r⊥  2 
1 −    ;
  a  
2 J µ 2 r⊥
Az = −
ln .
c
a
=
Az
J µ1
c
Задача № 7 (БТ №248)
В бесконечном цилиндрическом проводнике радиуса b вырезана цилиндрическая полость радиуса a; оси
цилиндров смещены друг относительно друга на расстояние d ( b > a + d ). По этому проводнику течёт ток J ,
равномерно распределённый по площади сечения. Определить напряжённость магнитного поля в полости.
Указание: использовать принцип суперпозиции полей и результат предыдущей задачи.
Задача № 8 (БТ №243)
По проводнику, представляющему собой бесконечный цилиндрический слой (внутренний радиус a,
внешний b ), течёт ток J , равномерно распределённый по площади сечения. Определить напряжённость
магнитного поля H, магнитную индукцию B и векторный потенциал A во всех точках пространства.
Магнитные проницаемости всех сред считать заданными.
Решить задачу
(а) с помощью дифференциального уравнения для векторного потенциала A ,
(б) с помощью уравнения Максвелла для H в интегральной форме.
Результат. Ниже приведены компоненты векторов H, B и A в цилиндрических координатах (r⊥ , α , z ) с
осью z , совпадающей с осью цилиндра и направленной по току J . Отсутствующие компоненты равны нулю.
r⊥ < a :
=
Bα µ=
0,
1 Hα
H α = 0,

2J
a2 
r − ,
2
2  ⊥
r⊥ 
c(b − a ) 
2J
Hα =
,
cr⊥
Hα
a < r⊥ <=
b:
r⊥ > b :
Az = C1 ;
Bα = µ 2 H α ,

2 J µ 2  r⊥2
Az =
−
− a 2 ln r⊥  + C2 ;
2
2 
c(b − a )  2

Bα = µ3 H α ,
2 J µ3
Az =
−
ln r⊥ + C3 .
c
Константы C1 , C2 , C3 в векторном потенциале определяются из условия его непрерывности при r⊥ = a и при
r⊥ = b , что позволяет любые две константы выразить через третью.
Задача № 9 (БТ №241)
По поверхности цилиндрической оболочки радиуса b течёт ток J , равномерно распределённый по
окружности сечения. Внутри цилиндрической оболочки находится коаксиальный с ней провод радиуса a с
магнитной проницаемостью µ1 , по которому течёт в обратном направлении такой же ток J , равномерно
распределённый по площади кругового сечения. Магнитная проницаемость вещества между проводом и
цилиндрической оболочкой равна µ 2 . Определить напряжённость магнитного поля H, магнитную индукцию
B и векторный потенциал A во всех точках пространства.
Решить задачу
(а) с помощью дифференциального уравнения для векторного потенциала A ,
(б) с помощью уравнения Максвелла для H в интегральной форме.
Результат. Ниже приведены компоненты векторов H, B и A в цилиндрических координатах (r⊥ , α , z ) с
осью z , совпадающей с осью цилиндра и направленной в сторону течения тока в проводе радиуса a.
Отсутствующие компоненты равны нулю.
2
J µ1   r⊥  
1 −    ;
c   a  
r⊥ < a :
Hα =
2J
r⊥ ,
ca 2
Bα = µ1 H α ,
a < r⊥ < b :
Hα =
2J
,
cr⊥
Bα = µ 2 H α ,
Az = −
2 J µ 2 r⊥
ln ;
c
a
=
Bα µ=
0,
3 Hα
Az = −
2 J µ2 b
ln ;
c
a
r⊥ > b :
H α = 0,
Az
=
Магнитный момент тока
Задача № 10 (БТ №276)
Найти магнитный момент m шара радиуса R и заряда q, вращающегося вокруг одного из своих
диаметров с постоянной угловой скоростью, по величине равной ω. Рассмотреть случаи равномерного
объёмного и равномерного поверхностного распределений заряда q .
Результат: для объёмного распределения m =
qR 2
qR 2
ω.
ω, для поверхностного m =
5c
3c
Примечание: для объёмного распределения ρ =
q
q
, для поверхностного σ =
.
4
4π R 2
π R3
3
Задача № 11
Найти магнитный момент m заряженного шара радиуса R, вращающегося вокруг одного из своих
диаметров с постоянной угловой скоростью, по величине равной ω. Шар заряжен по объёму с плотностью
ρ (r ) = Ar n , где r – расстояние от центра шара до точки внутри шара. Вычислить заряд шара q; из полученной
формулы выразить константу A через q, n, R и подставить A в формулу для магнитного момента.
Результат:=
m
R n+3
qR 2 n + 3
.
⋅
ω , q = 4π A
n+3
3c n + 5
Задача № 12
Найти магнитный момент m сферического слоя, ограниченного сферами радиусов R1 и R2 ( R1 < R2 ),
равномерно заряженного по объёму и вращающегося с постоянной угловой скоростью, по величине равной ω ,
вокруг оси, проходящей через центр слоя.
Результат: m
=
q
q R25 − R15
.
⋅
ω. Примечание: ρ =
4
5c R23 − R13
3
3
π ( R2 − R1 )
3
Задача № 13
Найти магнитный момент m заряженного цилиндра радиуса R и высоты h, вращающегося вокруг своей
оси с постоянной угловой скоростью, по величине равной ω. Цилиндр заряжен по объёму с плотностью
ρ (r⊥ ) = Ar⊥n , где r⊥ – расстояние от оси цилиндра до точки внутри цилиндра. Вычислить заряд цилиндра q; из
полученной формулы выразить константу A через q, n, R, h и подставить A в формулу для магнитного
момента.
Результат:=
m
Rn+2
qR 2 n + 2
.
⋅
ω , q = 2π Ah
n+2
2c n + 4
Задача № 14
Найти магнитный момент m цилиндра радиуса R и высоты h, вращающегося вокруг своей оси с
постоянной угловой скоростью, по величине равной ω. Цилиндр заряжен равномерно по объёму, полный заряд
цилиндра q.
Результат: m =
q
qR 2
.
ω. Примечание: ρ =
4c
π R2h
Задача № 15
Найти магнитный момент m цилиндра радиуса R и высоты h, вращающегося вокруг своей оси с
постоянной угловой скоростью, по величине равной ω. Цилиндр заряжен равномерно по боковой поверхности
(торцы цилиндра не заряжены), полный заряд цилиндра q.
Результат: m =
q
qR 2
.
ω. Примечание: σ =
2π Rh
2c
Задача № 16
Найти магнитный момент m цилиндра радиуса R и высоты h, вращающегося вокруг своей оси с
постоянной угловой скоростью, по величине равной ω. Цилиндр заряжен равномерно по всей поверхности (т.е.
заряжены и боковая поверхность, и торцы цилиндра), полный заряд цилиндра q.
Результат:=
m
q
qR 2 R + 2h
.
⋅
ω. Примечание: σ =
4c R + h
2π Rh + 2π R 2
Задача № 17
Найти магнитный момент m системы «полусфера радиуса R + основание», заряженной равномерно по
поверхности и вращающейся вокруг оси симметрии с постоянной угловой скоростью, по величине равной ω.
Полный заряд системы q.
Результат: m
=
11 qR 2
q
q
⋅
ω. Примечание:
=
σ =
.
36 c
4π R 2 2 + π R 2 3π R 2
Задача № 18
Найти магнитный момент m сферы радиуса R, вращающейся вокруг диаметра с постоянной угловой
скоростью, по величине равной ω. Сфера заряжена с поверхностной плотностью σ (θ ) = A sin 2 θ , где θ – угол
между осью вращения и точкой на сфере. Вычислить заряд сферы q; из полученной формулы выразить
константу A через q, R и подставить A в формулу для магнитного момента.
Результат: m=
8
2 qR 2
⋅
ω, q = π R 2 A.
3
5 c