(для ссузов). Трофимова. — Основы электродинамики

основы
ГЛАВА
9
Электростатика
Основные законы и формулы
Закон сохранения электрического заряда в замкнутой сис­
•
теме
~Qi
= const.
t
Закон Кулона
•
F = _1_
4пе 0
IQ1llQ2I
(в вакууме),
2
r
1
F = -4ттЕ 0
er 2
(в среде)
сила взаимодействия двух точечных зарядов
[F -
расстояние между зарядами; Ео =
r -
IQ1llQ2I
рическая постоянная; Е
-
8,85 ·
10- 12 Ф/м
Q 1 и Q2 ;
- элект­
диэлектрическая проницаемость сре­
ды].
Напряженность электростатического поля
•
~
Е= Е_
Qo
---->
[F ряд Q 0 ,
помещенный в данную точку поля].
Напряженность электростатического поля точечного заряда
•
Q
сила, действующая на точечный положительный за-
на расстоянии
E=-1_Q
4пе 0 r2
•
заряда
•
Принцип суперпозиции электростатических полей
__,
Е=
п
~
1: Е.l
i= 1
напряженность поля, создаваемого зарядом
[Ei -
•
r от
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной
бесконечной плоскостью,
(J
Е=-
2е0 ·
122
QJ.
•
Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными па­
раллельными разноименно заряженными плоскостями,
cr
Е=
•
-.
Ео
Плотность зарядов линейная,
поверхностная и объемная,
т. е. заряд, приходящийся соответственно на единицу длины,
поверхности и объема:
р=
•
dv·
Потенциальная энергия заряда
r от
стоянии
W
п
•
dQ
Q0
в поле заряда
Q
на рас­
него
= _1_ QQo
4nE 0
r ·
Потенциал электростатического поля
[W п
заряда
потенциальная энергия
-
Q0 ;
А 00
-
пробного положительного
работа по перемещению единичного положи­
тельного заряда при удалении его из данной точки в бесконеч­
ность].
•
Потенциал электростатического поля точечного заряда на
расстоянии
1
<р = 41tEo
•
r
от заряда
Q
r•
Работа, совершаемая силами электростатического поля при
перемещении заряда
•
Q0
из точки
1в
точку
2,
Разность потенциалов между двумя точками
1
и
2
электро­
статического поля
123
•
Принцип
суперпозиции
(наложения)
электростатических
полей
п
<р =1:
i
=
<р
i
потенциал поля, создаваемого зарядом
[<pi -
•
1
QJ.
Электроемкость уединенного проводника
С=~
<р
заряд, сообщенный проводнику; <р
[Q -
потенциал про­
-
водника].
•
Электроемкость шара радиусом
R
С= 4rtE 0 ER.
•
Электроемкость конденсатора
Q
-
С=-­
<р1
заряд,
[Q (<р 1 -<р 2 ) -
•
<р2
накопленный
на
обкладках
конденсатора;
разность потенциалов между обкладками].
Электроемкость плоского конденсатора
E0 ES
С=~
площадь каждой пластины конденсатора;
[S -
d -
рас­
стояние между пластинами].
•
Электроемкость системы конденсаторов соответственно при
последовательном и параллельном соединении
1
1
п
- = L
с
i=1
ci
п
и
С=
L с.
i=1
l
электроемкость i-го конденсатора; п
[Ci -
-
число конден­
саторов].
•
Энергия уединенного заряженного проводника
_
С<р2
_ Q<p _ Q2
w-2-2•
2с·
Энергия заряженного конденсатора
W = С(Л<р)2 = QЛ<р = Q2
2
2
2С
124
[Q -
заряд конденсатора; С
его электроемкость; Лq>
-
-
разность потенциалов между обкладками].
•
Энергия электростатического поля плоского конденсатора
E0 ES И 2
Е 0 ЕЕ
W= -2-Sd=
2
[S -
2d
Е 0 ЕЕ 2
-2-V
=
площадь одной пластины; И - разность потенциалов
V = Sd - объем конденсатора].
между пластинами;
•
Объемная плотность энергии электростатического поля
Е 0 ЕЕ 2
w= -2-·
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
D Два одинаковых шарика одинаковой массы и заряда, подве­
шенные на нитях равной длины, опускают в трансформаторное
масло, плотность которого р
проницаемость е =
2,2.
= 0,94
г/см 3 и диэлектрическая
Определите плотность р 1 материала ша­
риков, если углы расхождения нитей в воздухе и в масле оказа­
лись одинаковыми.
= 0,94 г/см 3 =
= 0,94 · 103 кг;мз
t
= 2,2
l1 = l2 = l
а = а =а
1
2
р
Решение. До
погружения
в
жидкий
диэлектрик, т. е. в воздухе, на каждый
шарик (рис. 69, а) действуют сила тя­
жести тg, кулоновская сила F и сила
натяжения нити Т. При равновесии шариков
Р1-?
тg+F+ т= о.
После погружения в жидкий диэлектрик (в трансформатор­
ное масло) на каждый шарик (рис.
69,
б) действует сила тяжес-
1
а
Q
1
т
а
r
Q
1
r
Q
тg
Рис.
69
125
~,
---)>
ти тg, кулонов~кая сила
F,
-+
выталкивающая сила
FА
и сила на-
тяжения нити Т 1 • При равновесии шариков
тg + F' + Fл + 'i\ =О.
Кулоновская сила отталкивания шариков в воздухе (из тре­
угольника на рис.
69,
а)
F=
тgtga;
(1)
кулоновская сила в диэлектрике
F'
=
(mg- F л) tg а
(2)
(учли выталкивающую (архимедову) силу). В диэлектрике ку­
лоновская сила уменьшается в Е
1
раз, так что
F' = !_.
(3)
Е
Тогда
F
Е
Поделив выражение
(4)
!
Е
=(mg-Fл)tga.
на выражение
(1),
= mg - F А = 1 _ F А
тg
(4)
получим
•
(5)
тg
Согласно закону Архимеда,
FA = pVg,
где р
g р1 -
-
плотность жидкого диэлектрика,
V -
p1V,
где
плотность материала шарика. Подставив последние два
выражения в формулу
(5),
получим
! =1-_е_
Е
Р1'
откуда искомая плотность материала шарика
~
~
Ответ: р 1 =1,72 г/см 3 •
126
объем шарика,
ускорение свободного падения. Масса шарика т =
fJ Электростатическое поле создается двумя бесконечными па­
раллельными
именными
=4
мкКл/м
плоскостями,
зарядами
2
и
с
заряженными
поверхностными
равномерно
одно­
плотностями
cr 1 =
cr2 = 1 мкКл/м • Определите напряженность
1) между плоскостями; 2) за преде­
2
электростатического поля:
лами плоскостей.
cr 1 = 4 мкКл/м 2 = 4 • 10-6 Кл/м2
cr2 = 1 мкКл/м 2 = 10-6 Кл/м2
Е
-?
Решение. Согласно
принци­
пу суперпозиции,
Ё = Ё1 + Ё2,
причем
каждая
из
(1)
заряжен-
ных плоскостей создает электростатическое поле независимо от
наличия другой заряженной плоскости (рис.
Напряженность
электростатического
70).
поля,
создаваемого
каждой из бесконечных плоскостей в вакууме:
(2)
Между плоскостями линии вектора напряженности направ­
лены
в
противоположные
стороны,
следовательно,
суммарная
напряженность поля равна разности напряженностей полей,
создаваемых первой и второй плоскостями:
Е=Е1-Е2=
0'1 - 02
2
Ео
'
В пространстве за пределами плоскос­
тей
линии
вектора
направлены,
напряженности
следовательно,
со­
суммарная
напряженность поля равна сумме напря­
женностей
полей,
создаваемых
и второй плоскостями:
(j2
(jl--->
Ei
Е1
J....., -
.El
_..__ -.Е 2
-~
_....,,., -
_..__ -
-~
_...,..
-
_..__
-
_...... -
_..__
-
--.-
...,..._
-
.Е-~
2
первой
и
-~
-
_..
Рис.
70
127
(векторы Е за пределами плоскостей направлены в разные сто­
роны).
Кл/м 2
Н
[ Е] = Кл 2 / ( Н • м 2 )
Ответ:
1) Е = 169
кН/Кл;
-
Кл .
+ 282 кН/Кл.
2) Е =
IJ Две параллельные пластины площадью S
находящиеся
Q = 70
в
воздухе,
заряжены
= 100 см 2 каждая,
разноименными
чтобы раздвинуть пластины на расстояние Лх
Решение. Для
S = 100 см 2 = 10-2 м2
Q = 70 нКл = 7 • 10-8 Кл
Лх = 0,1мм=10- 4 м
=
О, 1 мм.
раздвижения
плас­
тин на расстояние Лх следует совер­
шить работу
А-?
А=FЛх,
(1)
F=QE,
(2)
где сила
-
заряд одной пластины, Е
Q -
зарядами
нКл. Определите работу А, которую следует совершить,
напряженность электростати­
ческого поля, создаваемого одной из пластин. Имеем
E=~=_!L
2Ео
где а = ~
(3)
2EoS'
поверхностная плотность заряда.
-
Подставив формулы
(2)
и
(3)
в выражение
(1),
найдем иско­
мую работу
Q2
2e 0 S
А=-- Лх
[А]
Ответ: А=
IJ Три
Q2 = 3
в
2, 77
-
Кл 2 ·м
Кл 2 / ( Н
• м2) • м2
= Н
·м
мкДж.
точечных заряда Q 1 = 2 нКл,
Q 3 = -4 нКл расположены
нКл и
вершинах
равностороннего
ка со стороной а
= 10 см
(рис.
128
а
а
треугольни­
71).
Опреде­
лите потенциальную энергию этой систе­
мы.
=Дж.
Q1---~~a~~~ Qз
Рис.
71
Решение. Потенциальная энергия
Q 1 = 2 нКл = 2 • 10-9 Кл
Q 2 = 3 нКл = 3 • 10-9 Кл
Q3 = -4 нКл = -4·1О- 9 Кл
а= 10 см= 0,1 м
системы зарядов равна алгебраи­
ческой сумме энергий взаимодей­
ствия каждой из взаимодействую­
щих пар зарядов, т. е.
wп = wп12
U-?
+ wп13 + wп23'
(1)
где потенциальные энергии одного из зарядов, находящегося в
поле
другого
заряда
на
расстоянии
а
от
него,
соответственно
равны
W
п12
=
_1_ Q1Q2
41tEo -а-
;
W
1 Q1Q3
п13 = 47tEo -а-
W
;
п23
= _1_ • Q2QЗ
47tEo
а
(2)
Подставив формулы
(2)
в выражение
(1),
найдем искомую
потенциальную энергию системы зарядов
Кл 2
[Wп] = Кл2/(Н•м2)·м =Н•м=Дж.
Ответ: Wп
= -1,26
мкДж.
И Батарея из трех последовательно соединенных конденсато­
ров С 1 = 1 мкФ; С 2 = 2 мкФ и С 3 = 4 мкФ подсоединена к источ­
нику ЭДС. Заряд батареи конденсаторов Q = 40 мкКл. Опреде­
лите: 1) напряжения U 1 , U 2 и U 3 на каждом конденсаторе;
2) ЭДС
источника;
3) электроемкость батареи
Решение. При
С 1 =1мкФ=10- 6 Ф
С2
всех обкладок равны по модулю,
С 3 =4мкФ=4•1О- 6 Ф
поэтому
40мкКл=4·1О- 5 Кл
И1-?И2-?Из-?
€-?
с-?
последовательном
соединении конденсаторов заряды
= 2 мкФ = 2 • 1 о- 6 Ф
Q=
конденсаторов.
Ql = Q2 = Q.
Напряжения на конденсаторах
U 1 -_Q.
С1'
u-Q·
2 -
С2'
u-Q
з - Сз.
ЭДС источника равна сумме напряжений каждого из после­
довательно соединенных конденсаторов
S=U 1 +U 2 +U3 •
9 - 7165
129
При последовательном соединении суммируются величины,
обратные электроемкостям каждого из конденсаторов:
!С =_!_
+_!_ +_!_
С
С
С •
1
3
2
Таким образом, искомая электроемкость батареи конденса­
торов
Ответ:
3) С=
1)
0,571
U 1 =40B;
U 2 =20B;
2)
U 3 =10B;
6=70В;
мкФ.
mк пластинам плоского воздушного конденсатора приложена
разность потенциалов И 1
тора S
= 200
= 500
В. Площадь пластин конденса­
см 2 , расстояние между ними d 1
ны раздвинули до расстояния
d 2 = 15
= 1,5
мм. Пласти­
мм. Определите энергию
1 и W 2 конденсатора до и после раздвижения пластин, если
источник напряжения до раздвижения: 1) отключался; 2) не от­
W
ключался.
Решение.
И1
= 500 В
S = 200 см 2 = 2 • 10-2 м2
d 1 = 1, 5 мм = 1, 5 • 1 о-з м
d2 = 15 мм= 1,5. 10- 2 м
1)
Заряд
пластин
кон­
денсатора, отключенного от
точника
напряжения,
при
ис­
их
раздвижении не меняется, т. е.
Q 1 = Q 2 = Q = const.
l)W1 - ? W 2 -?
2)W1 - ? W 2 -?
Электроемкость
конденсатора
(1)
и
напряжение на нем соответственно
с учетом
(1):
до раздвижения пластин
E0 ES
с1 = -;г-;
(2)
1
после раздвижения пластин
(3)
Энергия заряженного конденсатора
W=cu2
2
130
'
(4)
откуда, учитывая формулу для С 1 , получаем
2
2
С i Иi
Eof.S И i
W1 = -2- =
Разделив почленно
(2)
на
(3),
И1
2d1
найдем
d2
И2 = di'
откуда
(5)
Тогда
[ W]-
2)
Кл 2 / ( Н • м 2 )
м2
•
м 2 • м • В 2 - Кл 2 • м • В 2 - (Дж) 2 • м
-
Н
• м2
-
Дж
•м
-Дж
-
·
Разность потенциалов на пластинах конденсатора, не от-
ключенного
от
источника
напряжения, остается постоян­
ной, т. е.
И1
=U 2 =U=const.
Подставив в формулу
и учитывая
(6),
(4)
(6)
выражения для С 1 и С 2 из
(2)
и
(3)
найдем искомые энергии
•
1) W 1 = 14,8
W 2 = 1,48 мкДж.
Ответ:
9•
мкДж;
W 2 = 148
мкДж;
2) W 1 = 14,8 мкДж;
131
fJ Плоский
=4
воздушный конденсатор электроемкостью С 1 =
пФ заряжен до разности потенциалов И 1 =
ключения
конденсатора от
500
В. После от­
источника напряжения
расстояние
между обкладками конденсатора увеличили в три раза. Опреде­
лите:
1)
разность потенциалов И 2 на обкладках конденсатора
после их раздвижения;
2)
работу внешних сил по раздвижению
пластин.
С1
= 4 пФ= 4 • 10- 12 Ф
И 1 = 500 В
d2 = 3dl
1)
И2 -
2)А
Решение. Заряд обкладок конденсато­
ра после отключения от источника на­
пряжения не меняется, т. е.
Q = const.
Поэтому
?
?
-
(1)
где С 2 и И 2 соответственно электро­
емкость и разность потенциалов на обкладках конденсатора
после их раздвижения.
Учитывая, что электроемкость плоского конденсатора С
=
e0 eS
~,из формулы
(1) получим
=
искомую разность потенциалов
(2)
После отключения конденсатора от источника напряжения
систему двух заряженных обкладок можно рассматривать как
замкнутую, для которой выполняется закон сохранения энер­
гии: работа А внешних сил равна изменению энергии системы
(3)
где
W1
и
W
2 -
соответственно энергия поля конденсатора в на­
чальном и конечном состоянии.
Учитывая, что
лы
(3)
W1 =
Q2
2 1
С
и
W
=
Q2
2С2
(Q = const),
из форму-
получим искомую работу внешних сил
2
2
Q2
Q2
С 1И1
A=W2-W1 = 2С2 - 2С1 = -2[учли, что
132
2
Q=
С 1 И 1 и формулу
2
(
1
С2
(2)].
- Cl1)
=
С ~2И 1 (ИИ21 -
1)
J
Кл
[А] = Ф • В 2 = В
Ответ:
1)
И2
= 1,5
кВ; 2)А
·В
2
= Кл· В =Дж.
= 1 мДж.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
3.1.
Два маленьких шарика с зарядами Q 1
=
1 мКл и Q 2 =
= 9 мКл соответственно находятся в вакууме на расстоянии
r = 30 см. Шарики привели в соприкосновение. Определите, на
какое расстояние r 1 следует их развести, чтобы сила взаимодействия между шариками оказалась такой же.
[r 1 = 0,5 м]
Два одинаковых шарика массой т
3.2.
= 100 г
каждый, со­
прикасаясь между собой, подвешены в вакууме на нитях дли­
= 80 см.
шарики, если им сообщить заряд
r, на которое разойдутся
Q = 5 нКл. Угол отклонения
нити принять малым.
мм]
ной
l
F
=
[r = 30
3.4.
[r = 4,51
Два точечных заряда
3.3.
дящихся
лой
Определите расстояние
в
0,1
вакууме,
Н.
Q 1 = 1 мкКл и Q 2 = 3 мкКл, нахо­
взаимодействуют друг с другом с си­
Определите
расстояние
зарядами.
см]
Два маленьких шарика с одинаковым по модулю заря­
дом находятся на расстоянии
r
модействуют в вакууме с силой
ло
N нескомпенсированных
[N = 2,33 • 1013]
3.5.
между
=
F
50 см друг
= 50 мкН.
от друга и взаи­
Определите чис­
зарядов на каждом из шариков.
Два точечных заряда отталкиваются друг от друга
5) с силой F 1 =
отталкивания этих зарядов в ке­
в масле (диэлектрическая проницаемость е 1 =
100 мН.
росине (е 2
=
Определите силу
=
2),
F2
если они находятся на расстоянии, в три раза
меньшем, чем в масле.
[F 2 = 2,25
И]
3.б. Два одинаковых шарика массой т
=
100 г каждый на­
ходятся в вакууме на некотором расстоянии друг от друга. Оп­
ределите, какие одинаковые заряды следует сообщить шари­
кам, чтобы их взаимодействие уравновешивало силы тяготения.
[Q = 8,61
пКл]
133
К шарику зарядом Q 1 = 10 нКл и массой m = 0,5 г, вися­
щему на тонкой шелковой нити, на расстоянии r = 2,5 см от не­
3.7.
го поднесли второй заряженный шарик. Определите заряд
Q2
второго шарика, если натяжение нити уменьшилось в два раза.
= 17
[Q 2
3.8.
нКл]
Расстояние l между двумя одноименными заряженны­
ми точечными зарядами
ными в вакууме, равно
на заряд
Q0
1
=
(Q 1 = 2
20
нКл и
Q2 = 5
нКл), расположен­
см. Определите силу
F,
действующую
нКл, который помещен в точку, находящуюся
на прямой, соединяющей заряды
наковом расстоянии.
[F
= 2,7
Q
и отстоящую от них на оди-
м:кН]
-8 нКл) распо­
ложены друг от друга в вакууме на расстоянии l = 10 см. Опре­
делите силу F, которая действует на заряд Q0 = 1 нКл, помещен­
3.9.
Два точечных заряда (Q 1
= 5 нКл и Q 2
=
ный в точку, находящуюся на прямой, соединяющей заряды и
удаленную на
от первого заряда и на
го заряда.
r 1 = 4 см
[F = 48,1
м:кН]
r2 = 6
см от второ-
3.10. Три точечных отрицательных заряда Q = -4 нКл каж­
дый находятся в вершинах равностороннего треугольника. Оп­
ределите, какой заряд
Q 1 нужно поместить в центр треугольника, чтобы система находилась в равновесии.
[Q 1 2,31 нКл]
=
3.11. Определите напряженность поля, создаваемого дипо­
р = 1 нКл · м на расстоянии
лем с электрическим моментом
r = 25
см от центра диполя в перпендикулярном направлении.
[Ел =
576
В/м]
3.12. В боровской модели атома водорода электрон движется
r = 52,8 пм, в центре которой на­
ходится протон. Определите скорость v электрона на орбите.
по круговой орбите радиусом
[v
= 2,19 Мм/с]
3.13. Электростатическое
ным зарядом
Q= 1
поле создается в вакууме точеч­
нКл. Определите:
1)
напряженность Е поля
в точке, которая находится на расстоянии
F, действующую в этой
[1) Е = 104 В/м; 2) F = 30 м:кН]
2)
силу
r = 3 см
точке на заряд
от заряда;
Q0 = 3
нКл.
3.14. Электростатическое поле создается в вакууме заря­
Q. В точке, расположенной на расстоянии r = 30 см от него,
заряд Q 0 = 5 нКл действует сила F = 1 мкН. Определите:
дом
на
1)
напряженность Е поля в точке, где находится заряд
ряд
134
Q.
[1)
Е
= 200
В/м;
2) Q
=2
нКл]
Q 0 ; 2)
за-
Электростатическое поле создается в вакууме точеч­
3.15.
ным зарядом. Определите напряженность этого поля Е 1 в точке,
расположенной на расстоянии
стоянии
r 2 = 15 см
3.16.
от него Е 2 =
r1 = 5
см от заряда, если на рас-
100 кВ/м.
Определите расстояние
[Е 1 =
900
кВ/м]
r 2 от точечного заряда,
на кото­
ром напряженность электростатического поля в воде будет та­
кой же, как в вакууме на расстоянии
r 1 = 13,5 см
электрическая проницаемость воды е 2 =
3.17.
плоского
от заряда. Ди-
[r2 = 1,5
81.
см]
В пространстве между горизонтальными пластинами
воздушного
Определите радиус
r
конденсатора
взвешена
капелька
этой капельки, если ее заряд
ртути.
Q = 1
нКл,
а напряженность электростатического поля конденсатора Е =
= 10 5 В/м. Плотность ртути р = 13,6 г/см 3 •
[r = 0,564 мм]
3.18.
Медный шарик р
мещен в масло (р 1
= 8,93 г/см 3 радиусом r = 0,5 см по­
= 0,8 г/см 3 ). Определите заряд шарика, если в
однородном электростатическом поле он оказался взвешенным
в
масле.
Электростатическое
вверх, и его напряженность Е
3.19.
направлено
кВ/см.
вертикально
[Q = 10
нКл]
Определите ускорение а, с которым движется протон
в электростатическом
Масса протона т =
[а =
поле
= 4,25
поле
напряженностью Е =
1 кВ/м.
27
1,67 • 10- кг, его заряд е = 1,6 • 10-19 Кл.
9,58 • 1010 м/с2]
3.20.
Два точечных заряда Q 1
дятся друг от друга на расстоянии
ческой проницаемостью Е
= 2,2.
= 4 нКл и Q 2 = -2 нКл нахо­
l = 50 см в среде с диэлектри­
Определите напряженность по­
ля Е в точке А, находящейся посередине отрезка прямой, соеди-
няющей заряды.
3.21.
[Е =
393
В/м]
Два одноименных точечных заряда Q 1
ложены в вакууме на расстоянии
l =8
= 5 нКл
распо­
см друг от друга. Опреде­
лите напряженность в точке А, расположенной на расстоянии
r = 3
см на перпендикуляре, восставленном из середины отрез-
ка, который соединяет заряды.
3.22.
[Е А
= 21,6 кВ/м]
Два разноименных точечных заряда
ложены в вакууме на расстоянии
l =8
Q = ±5 нКл распо­
см друг от друга. Опреде­
лите напряженность в точке А, расположенной на расстоянии
r = 3
см на перпендикуляре, восставленном из середины отрез-
ка, который соединяет заряды.
[Е А
= 28,8 кВ/м]
135
Расстояние d между точечными зарядами Q 1
3.23.
и
нКл, находящимися в вакууме, равно
Q2 = 5
= 3 нКл
см. Определи­
35
те напряженность электростатического поля в точке А, отстоя­
щей на расстоянии
r1
см от первого заряда и на расстоянии
25
=
см от второго заряда.
r 2 = 20
= 1,28 кВ/м]
[Е А
Сфера радиусом R = 3 см заряжена равномерно с по­
верхностной плотностью <.J = 1 нКл/см 2 • Определите напряжен­
3.24.
ность Е электростатического поля в вакууме на расстоянии
r = 10 см
от центра сферы.
3.25.
[Е
= 1,02 • 105
В/м]
Напряженность поля, создаваемого в вакууме двумя
сферами, заряженными равномерно с одинаковой поверхност­
ной плотностью, на расстояниях
r1 = 5
см и
r 2 = 10 см
сфер оказалась одинаковой. Определите радиус
ры, если радиус первой сферы
3.26.
ми
R1 = 3
см.
[R 2
R2
второй сфе-
см]
6
=
от центра
Электростатическое поле создается двумя бесконечны­
параллельными
плоскостями,
заряженными
равномерно
<.J 1 =
нКл/м 2 • Определите напряженность элек­
разноименными зарядами с поверхностными плотностями
=3
нКл/м 2 и а 2
= -6
тростатического поля:
плоскостей.
3.27.
ными
[1)
Е
1)
между плоскостями;
= 508
В/м;
2)
Е
= +169
за пределами
2)
В/м]
Пространство между двумя бесконечными параллель­
плоскостями,
заряженными
равномерно
одноименными
зарядами с поверхностными плотностями а 1 = 3 нКл/м 2 и а 2 =
= 2 нКл/м 2 , заполнено эбонитом (Е = 3). Определите напряжен­
ность электростатического поля:
пределами плоскостей.
3.28.
1) между плоскостями; 2) за
[1) Е 1 = 18,8 В/м; 2) Е 2 = + 282 В/м]
Определите напряженность Е поля, создаваемого ди­
полем с электрическим моментом р
r
=
40
= 0,5
нКл
•м
на расстоянии
см от центра диполя в направлении, перпендикулярном
плечу диполя.
3.29.
[Е А
= 70,3
В/м]
Под действием электростатического поля равномерно
Q = 2
заряженной· бесконечной плоскости точечный заряд
переместился
равное
делите
[а
l = 2
вдоль
линии
поверхностную
= 1, 77
3.30.
напряженности
см; при этом совершена работа А
плотность
а
нКл
на
расстояние,
= 40
мкДж. Опре­
заряда
на
плоскости.
мкКл/м 2 ]
Две параллельные пластины площадью S
=
50 см 2
каждая, находящиеся в воздухе, заряжены разноименными за­
рядами
136
Q
=
± 40 нКл.
Определите работу А, которую следует со-
вершить, чтобы раздвинуть пластины на расстояние
[А =
3.31.
см.
мДж]
1,81
стью Е
l = 10
В однородном электростатическом поле напряженно­
= 500 В/м
переместили заряд
нии линии напряженности на
Q = -10 нКл в направле­
расстояние l = 5 см. Определите:
1) работу А сил поля; 2) изменение потенциальной энергии
[1) А = -0,25 мкДж; 2) ЛWп = 0,25 мкДж]
ЛWп
заряда.
3.32.
Точечный заряд
Q = 10 нКл перемещается в однород­
1 кВ/м на
углом а = 60° к линиям напряженности
ном электростатическом поле напряженностью Е =
расстояние
l = 40
м под
поля. Определите:
2)
1)
работу А сил электростатического поля;
изменение потенциальной энергии ЛWп заряда.
[1)
А =
= 2 мкДж; 2) ЛWп = -2 мкДж]
3.33.
60
Потенциал заряженного шара радиусом
30 см равен
В. Определите потенциал электростатического поля, созда­
ваемого этим шаром в вакууме в точке на расстоянии радиуса
шара от его поверхности.
[ср 2 =
25
В]
Q = 5 нКл в некоторой точке поля,
=
= 15 мкДж. Определите: 1) потенциал <р этой точки поля; 2) рас­
стояние r от этой точки до заряда.
[1) ер= 3 кВ; 2) r = 1,5 см]
3.34.
Точечный заряд
создаваемого зарядом, обладает потенциальной энергией Wп
3.35.
Определите потенциал <р электростатического поля в
точке, расположенной на одинаковом расстоянии от зарядов
и
3.36.
Потенциальная энергия Wп системы двух точечных
Q 1 = 50 нКл и Q 2 = 2 нКл равна 90 мкДж.
расстояние r между этими зарядами.
[r = 1 см]
зарядов
3.37.
Q = 20
= 500 В
1)
работу, совершаемую силами этого
Q 1 =10
нКл из точки с потенциа­
в точку с потенциалом <р 2
[1)
между этими точками.
3.38.
Определите
Электростатическое поле создается точечным зарядом
нКл. Определите:
поля при перемещении заряда
лом <р 1
+Q
[ер= О]
-Q.
А =
3
= 200 В; 2) расстояние
2) r 2 - r 1 = 54 см]
мкДж;
Электростатическое поле в среде с диэлектрической
проницаемостью€
Определите:
1)
= 2,2
создается точечным зарядом
Q= 2
нКл.
разность потенциалов между двумя точками,
от заряда на расстояниях r 1 =
5 см и
работу А, совершаемую силами электростатиче­
расположенными
r 2 = 20
см;
ского
поля
Q1= 1
нКл.
2)
при
перемещении
[ср 1 -
ср 2
между
этими
точками
заряда
= 1,54 кВ; А = 1,54 мкДж]
137
3.39.
Два точечных одноименных заряда находятся в ваку­
r 1 = 40 см. Для сближения зарядов до рас­
см затратили работу А= 2,03 мкДж. Определите
уме на расстоянии
стояния
заряд
r2
Q2 ,
3.40.
=
10
если
Q1 = 2
нКл.
[Q 2
=
15
нКл]
Какую разность потенциалов должен пройти протон,
чтобы его скорость увеличилась от v 1 = 1 Мм/с до v 2 = 5 Мм/с?
Заряд протона Q = 1,6 • 10- 19 Кл, его масса т = 1,67 • 10- 27 кг.
[ q> 1 - q> 2 = 125 кВ]
3.41.
Электрон летит между двумя точками с разностью по­
тенциалов (<р 1 -
q> 2 ) = 200
В. Определите скорость электрона
v2
v1 =
О.
в конечной точке, если в начальной точке скорость
[v 2
= 4,13 Мм/с]
3.42. В пространстве
между двумя горизонтально располо­
женными пластинами (расстояние между ними
d = 3
см), заря­
женными до разности потенциалов И = 5 кВ, взвешена пылин­
ка, масса которой т = 10- 10 кг. Определите заряд Q пылинки.
[Q = 5,89 • l0- 1 5
3.43.
Кл]
В пространстве между двумя горизонтально располо­
женными пластинами
потенциалов
лите
р
И
радиус
= 0,96
= 1
этой
(d = 10
кВ,
мм), заряженными до разности
взвешена
капельки
капелька
масла,
если
масла.
Опреде­
плотность
масла
г/см , а заряд капельки равен двум элементарным за-
рядам.
3.44.
3
[r = 0,201
мкм]
Металлическая сферическая поверхность радиусом
r = 20 см заряжена равномерно с поверхностной плотностью
а= 5 нКл/м 2 • Определите напряженность Е 0 и потенциал q>0
электростатического поля в центре сферы.
[Е 0 =О; q> 0 = 113 В]
3.45. Сплошная металлическая сфера радиусом R = 10 см
несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плот­
= 1 нКл/м 2 • Определите напряженность и потенциал
электростатического поля: 1) в центре сферы; 2) на расстоя­
нии r 1 = 15 см от центра сферы.
[1) Е 0 = О; q> 0 = 11,3 В;
2) Е 1 = 50,3 В/м; q> 1 = 7,53 В]
ностью а
3.46.
Определите радиус R шара, который обладал бы в ва­
кууме электроемкостью С
(R3 = 6,37 • 10 6 м).
3.47.
= 1 Ф. Сравните его с радиусом
[R = 9 • 109 м; R/R 3 = 1410]
Земли
Определите диаметр шарика, находящегося в ваку­
уме, если его потенциал q> = 500 В, а поверхностная плотность
заряда а= 8,85 нКл/м 2 •
[d = 1 см]
138
Определите, во сколько раз изменится электроемкость
3.48.
проводящего шара, если вначале он был помещен в трансфор­
маторное масло (Е 1
[В
25,5
= 2,2),
а затем
-
раза]
в глицерин (Е 2
= 56).
Металлический шарик, радиус которого R 1 = 5 см, не­
3.49.
Q = 6
сет заряд
нКл. Этот шарик привели в соприкосновение с
незаряженным металлическим шариком радиусом
Определите заряды
вения.
Q1
нКл;
[Q 1 = 2
и
Q2
R 2 = 10 см.
на шариках после их соприкосно-
Q2 = 4
нКл]
Два металлических шарика, радиусы которых соот­
3.50.
R 1 = 1 см и R 2 = 2 см, соединены проводни­
ком, электроемкостью которого можно пренебречь. Шарам сооб­
ветственно равны
Q
щен заряд
2
=
нКл. Определите поверхностную плотность заря[а = 53,1 • lo-s Кл/м 2 ; а = 26,5 • l0-8 Кл/м 2 ]
1
дов на шарах.
2
Электроемкость плоского конденсатора С
3.51.
Определите расстояние
пластин
S = 200
= 3
[d = 3,54
см]
если
расстояние
между
его
пластинами
раза, а площадь пластин увеличить в т
[Увеличится в
3.53.
= 2).
Определите, во сколько раз изменится электроемкость
конденсатора,
шить в п
= 10 пФ.
между его пластинами, если площадь
см 2 , а пространство между пластинами запол-
нено парафином (Е
3.52.
d
3
умень­
= 6
раз.
раза]
Определите расстояние d между пластинами плоского
конденсатора, если между ними приложена разность потенциа­
500 В, причем площадь каждой пластины S = 50 см 2 ,
ее заряд Q = 5 нКл. Диэлектриком служит эбонит (Е = 3).
[d = 1,33 см]
лов И=
3.54.
второго
-
Электроемкость одного конденсатора С 1 = 1,5 мкФ,
С2
= 6
мкФ. Сравните напряжения, которые следует
подавать на эти конденсаторы, чтобы они накопили одинаковые
[U 1 /U 2 = 4]
заряды.
3.55.
Электроемкость одного конденсатора С 1 = 1,5 мкФ,
второго С 2
= 6
мкФ. Сравните заряды, накопленные на обклад­
ках этих конденсаторов,
пряжение.
3.56.
если на них подается одинаковое на-
[Q 2 /Q 1 = 4]
Пространство между пластинами плоского конденса­
тора заполнено слоем эбонита (Е
нами
d = 7
= 3).
Расстояние между пласти­
мм, разность потенциалов И
= 1 кВ.
Определите
поверхностную плотность а зарядов на обкладках конденсатора.
[о-
= 3,79
мкКл/м2]
139
3.57. Между пластинами плоского конденсатора площадью
S = 50 см 2 , заряженного до разности потенциалов И= 500 В, на­
= 5).
ходится слой фарфора (Е
ность
Определите поверхностную плот­
заряда на обкладках конденсатора и его электроем­
cr
= 400
кость, если напряженность поля в конденсаторе Е
[о=
1,77
3.58.
мкКл/м 2 ; С=
17,7
В/см.
пФ]
К пластинам плоского воздушного конденсатора с рас­
3 мм и площадью S = 100 см 2 прило­
стоянием между ними d =
=
жена разность потенциалов И 1
О, 7 кВ. В пространство между
пластинами конденсатора при включенном источнике питания
7).
внесли стекло (Е =
1)
Определите:
разность потенциалов
И 2 между пластинами после внесения диэлектрика;
2)
электро­
емкости конденсаторов С 1 и С 2 до и после внесения диэлект-
рика.
[1) U 2
3.59.
= 700
В;
2)
С1 =
29,5
пФ; С 2 =
К пластинам плоского воздушного конденсатора с рас­
стоянием между пластинами d
= 3
мм и площадью S
приложена разность потенциалов И 1
ния
пФ]
207
конденсатора
от
источника
=
О, 7 кВ. После отключе­
напряжения
между пластинами внесли стекло (Е =
= 100 см 2
7).
в
пространство
Определите:
1)
раз­
ность потенциалов И 2 между пластинами после внесения ди­
электрика;
2)
электроемкости конденсаторов С 1 и С 2 до и после
внесения диэлектрика.
С2 =
207
3.60.
[1) U 2 = 100
пФ]
2)
С1
расстояние между ними
источника
3
= 2).
1
кВ. Площадь пластин
в
пространство
Определите:
1)
между
конденсатора до и после внесения диэлектрика;
электрика.
3)
01
заряда
[ 1) U 2
= 02 = 2,96
3.61.
на
и
пластинах
до
пластинами
разность потенциалов
между пластинами после внесения диэлектрика;
плотность
50 см 2
мм. После отключения конденсатора
напряжения
внесли парафин (Е 2
ную
= 29,5 пФ;
К пластинам плоского воздушного конденсатора при­
ложена разность потенциалов
от
В;
и
3)
после
2)
емкость
поверхност­
внесения
ди-
= 500 В; 2) С 1 = 14,8 пФ; С 2 = 29,6 пФ;
7мкКл J
Три одинаковых плоских конденсатора (площадь плас­
S = 200 см 2 ), между обкладками которых находит­
= 5), соединены последовательно. Определите тол­
щину d парафина, если электроемкость С 6 батареи конденсаторов равна 120 пФ.
[d = 2,46 мм]
тин каждого
ся фарфор (Е
140
3.62.
Заряд Q каждой обкладки двух последовательно заря­
женных конденсаторов, электроемкость которых С 1
С2
= 40 пФ,
равен
10 нКл.
Определите:
1)
на каждом из конденсаторов;
2)
денсаторов.
U 2 = 250
3.63.
ных
В,
[1) U 1 = 500
= 20
пФ и
напряжения И 1 и И 2
напряжение И на батарее кон-
В;
2) U = 750
В]
Электроемкость С батареи конденсаторов, образован­
двумя
последовательно
соединенными
электроемкость одного из которых С 1
конденсаторами,
= 100 пФ,
равна 80 пФ,
Q = 10 нКл. Определите: 1) электроемкость С 2 второго
конденсатора; 2) разность потенциалов И 1 и И 2 на обкладках
каждого конденсатора.
[1) С 2 = 400 пФ; 2) U 1 = 100 В;
U 2 = 25 В]
а заряд
3.64.
Плоский воздушный конденсатор, заряженный и за­
тем отключенный от источника напряжения И 1
= 400 В,
со­
единили параллельно с одинаковым по размерам и форме не­
заряженным
ходится
конденсатором,
диэлектрик.
между
пластинами
которого
Определите диэлектрическую
на­
проница­
емость Е этого диэлектрика, если после соединения конденсато-
ров разность потенциалов уменьшилась до И=
3.65.
Три
конденсатора,
кость которых С 1
(рис.
72),
[s = 3]
100 В.
электроем­
= 1 мкФ и С2 =
С3
= 2 мкФ
подключены к источнику посто­
янного напряжения И=
150 В. Определи­
1) общий заряд Q батареи конденсато­
ров; 2) заряды Q 1 , Q 2 и Q 3 на отдельных
те:
конденсаторах;
3)
разности
потенциалов
И 1 , И 2 и И 3 на отдельных конденсаторах.
Рис.
72
[1) Q = 120 мкКл; 2) Q 1 = 120 мкКл;
Q2 = Q3 = 60 мкКл; 3) U 1 = 120 В; U 2 =
= U 3 = 30 В]
3.66.
Определите электроемкость бата­
реи конденсаторов (рис.
четырех
= 1 мкФ,
= 4 мкФ.
С1
3.67.
73),
конденсаторов
С2
[С
= 2
мкФ, С 3
= 2,38
состоящей из
электроемкостью
= 3
мкФ]
мкФ и С 4
=
Рис.
73
Рис.
74
Конденсаторы электроемкостью С
каждый соединены так, как показано на
рисунке
собщ
74.
этого
[С 06щ = 2С]
Определите
электроемкость
соединения
конденсаторов.
141
Рис.
3.68.
(рис.
75
В каждое ребро куба, изготовленного из проволоки
75),
включено по одному конденсатору электроемкостью С
каждый.
Определите электроемкость этой батареи конденса­
торов,
если
она
включается
в
цепь
проводниками,
подсоеди­
ненными к противоположным концам (А и В) диагонали куба.
[С 06 щ =
1,2
3.69.
С]
Определите потенциал <р заряженного проводящего
r = 10 см,
шара радиусом
=
5
мкДж.
3.70.
= 948
[ер
если он обладает
энергией
W =
В]
Определите разность потенциалов Л<р между обкладка­
ми конденсатора, если при сообщении обкладкам конденсатора
заряда
Q = 10
3.71.
мкКл его энергия
W = 0,01
Дж.
Плоский воздушный конденсатор (Е 1
[Лер=
2
кВ]
= 1) после заряд­
ки отключили от источника напряжения и поместили в транс­
форматорное масло (Е 2
ленная в конденсаторе?
3.72.
= 2,2). Как изменится
[W2 /W 1 = 2,2]
энергия, накоп-
Пространство между пластинами плоского конденса­
тора заполнено диэлектриком толщиной
ческой проницаемостью Е
= 5.
d
=
1,5
см и диэлектри­
Определите объемную плотность
энергии ш поля конденсатора, если он заряжен до разности по­
тенциалов И=
3.73.
которых
ком (Е
= 3)
[w = 0,221 Дж/м 3 ]
4)
плоского конденсатора заполнено диэлектри­
толщиной
= 1
2) заряд Q
го поля;
кВ.
Пространство между круглыми пластинами (радиус
r = 2 см)
пряжения И
тора;
1,5
d = 1,5
на пластинах;
1) электроемкость
3) энергию W
С конденса­
электростатическо­
объемную плотность энергии ш поля конденсатора.
[1) С = 22,2 пФ; 2) Q =
4) w = 5,89 Дж/м 3 ]
142
мм. Конденсатор заряжен до на­
кВ. Определите:
22,2
нКл;
3)
W
=
11,1
мкДж;
3.74.
Определите объемную плотность энергии w электро­
статического
поля
внутри
плоского
конденсатора,
погруженного в трансформаторное масло (Е =
полностью
если напря­
женность поля между пластинами конденсатора Е = 106 В/м.
2,2),
[w = 9,74 Дж/м3]
3.75.
Обкладками плоского воздушного конденсатора слу­
жат круглые пластинки радиусом
ду которыми
плотность
d = 10
энергии w
электростатического
[W = 139
3.76.
С1 =
мкДж;
w
Плоский
1 пФ
=
r
=
10 см,
расстояние меж­
см. Определите энергию
поля
поля
44,3
конденсатора,
и объемную
W
если
напряженность
между обкладками Е
= 1 кВ/см.
мДж/м 3 ]
воздушный конденсатор электроемкостью
подключен к источнику ЭДС Б
= 500
В. Отключив
конденсатор от источника ЭДС, расстояние между пластинами
конденсатора увеличили в п =
3
раза. Определите работу внеш-
них сил по раздвижению пластин.
[А =
250
нДж]
ГЛАВА 1о
Законы постоянного тока
Основные законы и формулы
•
Сила тока
dQ
dt"
[=
Для постоянного тока
•
Плотность тока в проводнике
~ , J = ne<v>
j =
[S
площадь поперечного сечения проводника;
-
<v> -
средняя скорость упорядоченного движения зарядов в провод­
нике; п
•
-
концентрация зарядов].
Электродвижущая сила, действующая в цепи,
6= Аст
Qo
[Аст
работа сторонних сил;
-
ный заряд].
· •
Напряжение на участке
И12
=
Ч'1 - Ч'2
[( <р 1
-
<р 2 ) -
1-2
Q0
цепи
разность потенциалов между точками цепи;
ЭДС, действующая на участке
-
•
Сопротивление
G
единичный положитель­
+ 612
6 12
водимость
-
R
1-2 цепи].
однородного линейного проводника, про­
проводника и удельная электрическая проводи­
мость у вещества проводника:
1
G =-·
R'
[р
-
у=
1
-
р
удельное электрическое сопротивление;
поперечного сечения проводника;
144
l -
его длина].
S -
площадь
•
Сопротивление проводников:
-
при последовательном соединении
п
R
L R.;l
i 1
=
=
-
.!.
при параллельном соединении
I: 1 Ri
_!_
=
R
i
=
сопротивление i-го проводника; п
[Ri -
число проводни­
-
ков].
Зависимость удельного сопротивления р материала про­
•
водника от его температуры
р = р 0 (1
[а
-
+ at)
температурный коэффициент сопротивления].
Т а б л и ц а
10.1
Последовательное и параллельное соединения проводников
Соединение
последовательное
параллельное
Rп
r:=э-i
Схема
Сохраняю­
щаяся вели­
чина
~
[ = [ 1 =12 = ... =[п=
= const
И=И 1 =И 2 = ... =Ип =
= const
Суммируемые
величины
1
1
1
1
R=R+R
+ ... +Rn
1
2
Результирую­
щее сопротив­
п
ление
R= L R.
i = 1
•
l.
1
R
п
1
Rt
- = r, i= 1
Закон Ома:
-
для однородного участка цепи
и
l= R;
10- 7165
145
-
l=
для неоднородного участка цепи
Ч'1
-
ч>2
R
+
f'12
для замкнутой цепи
{
I= R
[И
-
напряжение на участке цепи;
пи (участка цепи);
участка цепи;
€ 12
(<р 1
-
R -
сопротивление це­
разность потенциалов на концах
ЭДС источников тока, входящих в участок;
-
ЭДС всех источников тока цепи].
€ -
Работа тока за время
•
<р 2 ) -
А=
IUt
=
I 2 Rt
=
u2
t
R t.
Мощность тока
•
р =
UI = I 2 R =
u2
R.
Закон Джоуля-Ленца
•
Q = I 2Rt = IUt
[Q - количество теплоты, выделяющейся
t при прохождении тока].
в участке цепи за
время
Правила Кирхгофа
•
t I k = О;
t IiRi = t Sk.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
D По
проводнику,
изготовленному
из
аллюминия
(р
=
= 2, 7 г/см 3 ; М = 27 · 10-з кг/моль) сечением S = 0,4 мм 2 , течет
ток I = 0,5 А. Определите среднюю скорость упорядоченного
(направленного) движения электронов, считая, что число сво­
бодных электронов п в единице объема проводника равно числу
атомов п' в единице объема проводника.
р
= 2, 7 г/см 3 = 2, 7 · 103 кг/см 3
М=
• 10-3 кг/моль
27
S = 0,4 мм 2 = 0,4 • 10-6 м 2
I= О,5А
Решение.
Плотность
где
j = ne<v>,
<v> - средняя
упорядоченного
<и>=?
146
тока
в
проводнике
(1)
скорость
движения
электронов в проводнике, п
-
концентрация электронов (число электронов в единице объема),
= 1,6 • 10-19 Кл - заряд электрона.
е
Согласно условию задачи,
(2)
(учли, что
N = vNА =
т
М N А' где
его молярная масса; N А
гадро; р
т
масса проводника; М
m -
= 6,02 • 1023 моль- 1 -
-
постоянная Аво­
плотность алюминия).
= V -
Учитывая формулу (2) и формулу j =~,выражение (1) мож­
но записать в виде
l
S =
pNA
М
e<v>,
откуда искомая скорость упорядоченного движения электронов
IM
<v>= р N Ае S
[<v>] =
Ответ:
А• кг/моль
:кг/(м)
3
• моль-
1
·Кл· м
2
А• м
А· м
Кл
А· с
= -- = -- =
м/с.
<v> = 1,3 -10-4 м/с.
fJ Определите общее сопротивление между точками А и В цепи
проводников в виде шестиугольника (рис.
каждой проволоки
76).
Сопротивление
r = 2,5 Ом.
r = 2,5 Ом 1 Решение. В силу симметрии токи, текущие по co-
R _?
противлениям
8, 9, 11
и
12,
одинаковы. Поэтому
ток через узел О равен нулю. Тогда схема, пред­
ставленная на рисунке
77,
является эквивалентной той, кото­
рая задана в виде шестиугольника. Сопротивления
8
и
9
соеди-
2
1
А
2
3
в
5
Рис.
10*
76
Рис.
77
147
иены между собой последовательно и параллельно с сопротивле­
нием
2.
Тогда
2
Rв, 9, 2 =
Эквивалентное сопротивление
с сопротивлениями
1
и
2,
R 8 , 9 , 2 соединено
последовательно
поэтому
3=
R1 ~
3 r.
2
З
r+r+r=
8
З
r.
Из схемы следует, что эквивалентное сопротивление
R4
~ 6 рав­
но R1~3,т.е.
R4~5 =
Сопротивления
R 1 ~ 3, R 4
~ 6,
7
и
8
3 r.
9
соединены параллельно, по­
этому
Подставив значения
R 1 ~ 3, R 4 ~ 6 ,
1
R
3
= Br
+
3
Br
получим
1
1
+r +r =
5
4r'
откуда искомое общее сопротивление
Ответ:
R= 2
Ом.
IJ В цепь, состоящую из источника ЭДС и резистора сопротив­
лением
а
затем
R
=
100 Ом,
включают вольтметр сначала параллельно,
последовательно
резистору,
причем
показания
вольт­
метра одинаковы. Определите внутреннее сопротивление
точника ЭДС, если сопротивление вольтметра
R=1000м
Rv=
5000м
И1 = И2
r-?
148
Решение.
метр
ис­
Согласно условию задачи, вольт­
один
раз
подключают
раллельно (рис.
тельно
r
Rv = 500 Ом.
(рис.
одинаковы.
78,
78,
б),
к
резистору
а), второй
причем
па­
-
последова­
его
показания
Силу тока найдем согласно закону Ома
а)
R
для замкнутой цепи:
-
при параллельном включении
11 =
-
при последовательном соединении
12
где
6
RRv
R + Rv + r
€-
=
6
R + Rv + r'
б)~
ЭДС источника.
Падение напряжения на вольтметре:
-
при параллельном соединении
Рис.
6
RRv
U 1 = RRv
R + Rv
R + Rv + r
78
(1)
(R:R~v - сопротивление параллельно соединенных вольтмет­
ра и резистора) ,
-
при последовательном соединении
6
И 2 = R + Rv + r Rv·
Приравняв выражения
(1)
и
(2),
согласно условию И 1 =
(2)
U 2,
получим
RRv
R + Rv + r
RRv
)
( R + Rv + r (R + Rv)
или
R
RRv + Rr + Rvr
1
R + Rv + r'
откуда находим искомое внутреннее сопротивление
~
~
Вычисляя, получаем
Ответ:
r = 20
r = 20 Ом.
Ом.
149
Е1 В приведенной на рисунке 79 электрической схеме моста
Уитстона заданы сопротивления
сила
6
R 2 , R 3 , R 4,
электродвижущая
источника тока и его внутреннее сопротивление
в цепи гальва­
нометра
гальванометра
равно
R1' если известно, что ток
G отсутствует (1 6 = О). Сопротивление
r. Опре­
делите сопротивление
R6•
R2
Решение. Выберем направление токов в различных
Rз
ветвях контура и направление обхода, как показано
на рисунке. Для узлов А, В и С, применяя правило
R4
Кирхгофа, получим
~'
lr-1 1 -14 =0,
3 =lr=_O,
{ 1l 2 ~l
1
lc - О.
1
(1)
2
Для контуров АСВ
6 А, ACDA
и
CBDC,
согласно
второму правилу Кирхгофа, можно записать
lrr +
l R +
{ 1 1
l 2R 2 -
l 1R 1 + l 2R 2
l 0 Rc - l 4R 4
l 3 R 3 - lcRc
=
е-:,
=О,
(2)
=О.
По условию задачи 1 6 =О (ток в цепи гальванометра отсутст­
вует), поэтому из системы уравнений (2) найдем:
l 1 =l2
а из системы
(2)
и
l 3 = l 4,
(3)
получим
(4)
l1R1 =l4R4,
Из равенств
(3)
и
(4)
вытекает, что
R2
R4 = Rз'
R1
откуда искомое сопротивление
~
~
I~
А
в
Таким образом, в случае равновесно­
го моста
(1 6
?13
=О) при определении ис­
комого сопротивления R
1 ЭДС бата­
реи, сопротивления батареи и гальва­
нометра роли не играют.
Ответ:
150
R1 =
R2R4
~ •
3
Рис.
79
И Определите мощность Р 1 тока во внешней цепи при силе то­
ка
1 1 = 2 А, если при силе тока 1 2 = 3 А мощность Р
а внутреннее сопротивление ЭДС равно 0,5 Ом.
11
2 = 6
Решение. Мощности, развиваемые токами
=2А
l 2,
l 2 =3A
Р 2 = 6 Вт
соответственно равны
Р 1 = l~ R 1 ;
r=О,50м
где
R1
и
ней цепи.
R2
-
Р 2 = l~ R 2 ,
Вт,
11 и
(1)
сопротивления резисторов внеш­
Согласно закону Ома,
[,
11 = R1
где Б
-
6
+ r;
12 = R2
+ r'
(2)
ЭДС источника. Тогда
€ = l 1R 1 + l 1 r,
€ = l 2R 2 + l 2 r
или
l 1R 1 + l 1r = l 2 R 2
Решив это уравнение относительно
r,
+ l 2 r.
получим
l1R1 -l2R2
r=----12 - 11
Из уравнений
(3)
( 1) найдем
Р1
l1R1 = Т'
1
Подставив эти выражения в формулу
(3),
найдем внутреннее со­
противление
откуда искомая мощность тока
[Р 1 ]=А[ Ом•А+ ~] =0м·А2 +Вт=
в
= Ом • А • Ом
Ответ: Р 1 =
5
+ Вт =
А •В
+ Вт =
Вт
+ Вт.
Вт.
151
Ш Сопротивление второго проводника в четыре раза больше,
чем сопротивление первого. Их сначала включают в цепь после­
довательно, а затем
параллельно. Определите отношение ко­
-
личеств теплоты, выделившейся в этих проводниках, для обоих
случаев.
Решение.
R 2 = 4R 1
1)
При последовательном со­
l)последовательно
единении
2)параллельно
гласно закону Джоуля-Ленца, количе­
ство
проводников
теплоты,
I = const.
выделившееся
в
Со­
первом
и втором проводниках,
(1)
t -
где
время прохождения тока через проводники, И
соответственно разность потенциалов
1
и И
2
-
между концами первого
и второго проводников.
Учитывая, что
мул
(1)
2)
11
=
12,
т. е.
И1
Ri
Ri
2
Я, из фор-
найдем отношение
При параллельном соединении проводников И
= const.
Согласно закону Джоуля-Ленца, количество теплоты, выде­
лившееся в первом и втором проводниках, за время
t:
(2)
Из формул
(1)
получаем отношение
~
~
152
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Какой будет плотность тока j, если за время t = 5 с че­
рез проводник сечением S = 2 мм 2 пройдет N = 5 • 10 19 электро­
3.77.
нов?
[j = 8 • 105 А/м2]
3.78.
Определите число N электронов, проходящих через
поперечное сечение проводника за
янный ток I = 1,6 А.
[N = 1019]
3.79.
1 с,
если по нему течет посто-
Принимая, что на каждый атом серебра приходится
один электрон, определите концентрацию электронов проводи­
мости в серебре. Плотность серебра р = 10,5 г/см 3 , его молярная
масса М = 108 -10- 3 кг/моль.
[п = 5,85•1028 м-3]
3.80.
По проводнику сечением S = 30 мм 2 течет постоянный
ток. Определите силу тока
и плотность тока
I
j
в этом провод­
нике, если средняя скорость упорядоченного движения зарядов
в нем <v> =
[I = 7 А; j =
3.81.
0,21 мм/с, а их концентрация п = 7,29 • 1027 м- 3 •
2,5•104 А/м2]
Определите силу тока, создаваемую электроном, вра­
щающимся вокруг ядра атома водорода, если радиус орбиты
[I = 33,4
r = 52,8 пм.
3.82.
ной
мкА]
Определите плотность тока j в медном проводнике дли­
l = 12
см, если он находится под напряжением И
Удельное сопротивление меди р
3.83.
t = 5 мин
Определите
работу
источника с ЭДС Б
сторонних
= 6
R = 1,5
1 А.
[U = 2
за
1,8
время
в приборе,
I
кДж]
t = 1 мин
r = 0,5 Ом
Ом. Определите:
[1) 1 = 0,4
1,2 В и внутренним
замкнут на внешнее сопротивление
1) силу тока 1 в
жения И 1 во внутренней части цепи;
мах элемента.
по проводни-
В]
Гальванический элемент с ЭДС Б =
сопротивлением
3.86.
[А =
Ом, если за время
Q = 80 Кл.
ку прошел заряд
R = 2,5
Аст
Определите падение напряжения И на проводнике со­
противлением
3.85.
сил
В.
29,4 МА/м 2 ]
В, если сила тока
подключенном к источнику, равна
3.84.
U=
= 17 нОм • м.
= 6
А;
3)
цепи;
2) падение
напря­
напряжение И 2 на зажи-
2) U 1 = 0,2
В;
3) U 2 = 1
В]
При подключении электрического прибора к источни­
ку с ЭДС Б =
12 В
и внутренним сопротивлением
жение на клеммах источника И=
10 В.
r
=
1 Ом напря­
1) силу то­
Определите:
ка
I в цепи; 2) работу сторонних сил Аст источника за время
t = 2,5 мин; 3) работу А во внешней цепи за то же время.
[1) 1 = 2 А; 2) Аст = 3,6 кДж; 3) А = 3 кДж]
153
3.87.
ЭДС аккумулятора 6 = 24 В. Определите внутреннее
r
сопротивление
КПД 11=О,7.
3.88.
батареи
аккумулятора, если при силе тока
Определите внутреннее сопротивление
аккумуляторов,
R 1 = 16 Ом
= 2 А; 6 = 18 В]
3.89. Определите
ли сопротивление
= 0,2
мм и длиной
3.90.
массой
А его
если
при
внешнем
r и ЭДС 6
сопротивлении
амперметр показал силу тока в цепи
внешнем сопротивлении
[r
I = 4
[r = 1,8 Ом]
R2 = 8
Ом
-
1 1 = 1 А, а при
силу тока 1 2 = 1,8 А.
удельное сопротивление р алюминия, ес­
алюминиевой проволоки диаметром
R
l = 1,5
м равно
1,24
Ом.
[р
= 26
нОм
d =
• м]
Определите сопротивление R алюминиевой проволоки
т
=
1,5 кг и площадью поперечного сечения S =
= 0,15 мм 2 • Плотность алюминия р 0 = 2, 7 г/см 3 , его удельное сопротивление р = 26 нОм • м.
[R = 642 Ом]
Вольфрамовая нить электролампы длиной l
3.91.
температуре
t = 2400
Определите
диаметр
°С обладает сопротивлением
=
5 см при
R = 1 79
Ом.
d нити, если удельное сопротивление
53 нОм • м, его температурный коэффициент соа= 0,005 °с- 1 •
[d = 0,7 м:км]
вольфрама р 0 =
противления
3.92.
длиной
Определите плотность тока j в медном проводнике
l = 10
м при температуре
t = 27 °С, если напряжение на
= 110 В. Удельное сопротивление меди
15,8 нОм • м; температурный коэффициент со-
концах проводника И
при О
0
С равно
противления а
i к-1 .
-- 273
[j
= 6,34
А/м 2 ]
Определите общее сопротивление R цепи, приведен­
ной на рисунке 80, если все сопротивления одинаковы и равны r.
3.93.
[R =
~;
r]
L
__
~1 0 - -
.J
Рис.
154
80
3.94.
Сопротивление
ной проволоки
R
=
однород­
144 Ом.
Опреде­
лите, на сколько равных частей
N
следует разрезать проволоку, чтобы
после их параллельного соединения
общее сопротивление оказалось рав-
ным
4
Ом.
3.95.
[N = 6]
Напряжение между точка­
ми А и В цепи (рис.
Определите
из
силу
резисторов,
если
всех резисторов
30 Ом.
14 =
5
16 =
равно
в
220
В.
каждом
сопротивление
одинаково
[ 11 = 4
1=
81)
тока
А; 1 2
и
равно
= 13 = 2
А;
~ А]
3.96. На рисунке 82 R 1 = R 2 =
= 50 Ом, R 3 = 100 Ом, С = 60 нФ.
Определите ЭДС
€
источника, пре­
небрегая его внутренним сопротив­
Рис.
83
лением, если заряд на конденсаторе
[f;' = 220
Q = 2,64 мкКл.
В]
Определите ток короткого
3.97.
замыкания Jк.з батареи из двух ак­
кумуляторов с ЭДС
=
В (рис.
6
сопротивления
[lк.з =
2 А]
3.98.
6
6
1 = 12 В и 2 =
если их внутренние
83),
r 1 = 2 Ом
и
ны
6В,
0,2
84
Определите внутреннее сопротивление и ЭДС батареи,
состоящей из трех источников (рис.
61 =
Рис.
r 2 = 1 Ом.
84),
если ЭДС источников
62 = 10 В и 63 = 8 В, а их внутренние сопротивления рав[r6 = 0,3 Ом; 6 = 10 В]
Ом.
3.99.
Определите сопротивление внешней цепи, при кото­
рой сила тока в ней будет одинакова при параллельном и после­
довательном соединении п одинаковых источников ЭДС в бата­
рею,
если
и равны
r.
внутренние
сопротивления
источников
одинаковы
[R = r]
Батарея из п источников с одинаковыми ЭДС 6
внутренними сопротивлениями r подключается к резистору
3.100.
и
сопротивлением
R.
Определите напряжение на внешней час-
155
ти
цепи:
ЭДС;
1)
при
2)
[ 1) U 1 = R
последовательном
параллельном
n:~r;
2) U 2
=
R = 1 Ом,
= 0,5 Ом.
ЭДС.
Внешнее сопротивление
85.
а внутренние сопротивления источников
r1 = r2 = r =
Определите силы токов, протекающих через внеш­
нее сопротивление
А;
3.102.
1 3 = 3,2
(l н> и источники (l 1' I
[ /R
2 ).
2,4
=
А;
А]
Два источника с ЭДС
ми сопротивлениями
r 1 = 1 Ом
€ 1 = 5 В и f' 2 = 3 В и внутренни­
r 2 = 0,5 Ом включены парал­
и
лельно резистору сопротивлением
тока
источников
источников
f;R r ]
R+n
как показано на рисунке
1 2 = 0,8
соединении
соединении
Два источника, ЭДС которых f 1 = 2В и 6 2 = 4 В, соеди­
3.101.
нены,
при
I через это сопротивление.
R
[1
=
Ом. Определите силу
3
= 1, 1
А]
На рисунке 86 € 1 = 10 В, 6 2 = 20 В, е;3 = 40 В, а сопро­
R 1 = R 2 = R 3 = R = 10 Ом. Определите силы токов, про­
текающих через сопротивления (l) и через источники ЭДС (!').
3.103.
тивления
Внутренние
сопротивления
источников
ЭДС
не
учитывать.
[1 1 =1А;12 = 3 А; 1 3 = 2 А; 1~ = 2 А; 1; =О; 1~ = 3 А]
3.104.
К концам проводника сопротивлением R
приложено напряжение И=
12
= 0,5 мин: 1) заряд, прошедший
[1) Q = 60 Кл; 2) А = 720 Дж]
3.105.
В.
=
6 Ом
Определите за время
по проводнику;
2)
t
=
работу тока.
Определите расстояние L, на которое можно переда­
вать электрическую энергию от источника ЭДС
мощью алюминиевых проводов, сечение
чтобы на нагрузке сопротивлением
ность Р
= 10
R
=
2
6 = 10 кВ с по­
которых S = 1 мм 2 ,
кОм выделялась мощ­
кВт. Внутренним сопротивлением источника пре­
небречь.
Удельное сопротивление алюминия
[L = 43,7
км]
f2
Рис.85
156
Рис.86
р
= 26
нОм
• м.
3.106.
Два цилиндрических проводника из меди и нихрома
одинаковой длины и одинакового сечения соединены один раз
последовательно, другой
параллельно. Определите отноше­
-
ние мощностей для этих проводников при указанных соедине­
ниях, если удельное сопротивление меди р 1
ма р 2 =1 мкОм·м.
3.107.
[Р 1 /Р 2
= 17 нОм • м,
= 0,017; Р 1 /Р2 = 58,8]
Определите КПД Т1
электродвигателя подъемного
крана, работающего под напряжением И
= 380 В,
= 1,5 т кран поднимает равномерно на
время t = 1 мин. Сила тока в обмотке
l = 20 А.
[11 = 0,646]
сой т
3.108.
нием
Источник ЭДС
r = 2 Ом
нихро­
(S = 220 В)
если груз мас­
высоту
h = 20
м за
электродвигателя
с внутренним сопротивле­
замкнут на внешнее сопротивление
R = 300 Ом.
Определите полную мощность Р и полезную мощность Р пол
источника ЭДС.
3.109.
[Р
= 160
= 159
Вт; Р пол
Определите внутреннее сопротивление r источника
тока, если во внешней цепи при силе тока
мощность тока Р 1 = 8 Вт, а при силе тока
Р 2 =9Вт.
[r = 1 Ом]
3.110.
I 1 = 2 А развивается
I 2 = 3 А - мощность
В электрическом чайнике мощностью Р =
гревают воду массой
t 1 = 20 °С
Вт]
т
= 1,8
2 кВт на­
кг от начальной температуры
до кипения. Определите время
t,
за которое закипит
вода, если КПД чайника Т1=О,7, а удельная теплоемкость воды
с =
4,19 кДж/(кг ·К). Какова сила тока, протекающего по спи­
рали, если напряжение И= 220 В?
[t = 431 с; 1 = 9,09 А]
3.111.
S = 0,1
Определите длину l нихромовой проволоки сечением
мм 2 , необходимую для изготовления нагревателя, с по­
мощью которого можно за
т
= 1,6 кг,
сети И
t = 4
мин вскипятить воду массой
t 1 = 20 °С. Напряжение в
= 0,85, удельное сопротив­
взятую при температуре
= 220
В, КПД нагревателя Т1
ление нихрома р
= 1 мкОм • м (р считать постоянным), удельная
теплоемкость воды с= 4,19 кДж/(кг ·К).
[l = 2,55 м]
3.112.
Определите внутреннее сопротивление
r батареи ак­
кумуляторов, если при ее поочередном замыкании на резисторы
сопротивлениями
теплоты.
3.113.
[r
=
R1
и
R2
выделяется одинаковое количество
JR 1 R 2 ]
Электрический чайник содержит две обмотки. При
включении одной обмотки вода в чайнике закипает за время
- за t 2 = 3 мин. Определите
t, за которое закипит вода в чайнике, если обмотки соеди­
нить: 1) последовательно; 2) параллельно.
[1) t 3 = 3 мин;
2) t 4 = 1,2 мин]
t1 = 2
мин, при включении второй
время
157