Рачковский, Н.Н. О понятии предела в курсе высшей математики

О ПОНЯТИИ ПРЕДЕЛА В КУРСЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ
СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ «МЕНЕДЖМЕНТ»
Рачковский Н.Н.
Государственный институт управления и социальных технологий БГУ,
г. Минск
Отличительной особенностью преподавания курса высшей математики в вузах в
настоящее время является высокая степень формализации изложения учебного
материала. Преимущества такой методики очевидны и неоспоримы: они заключаются,
прежде всего, в том, что при аналитическом подходе изложение любой математической
теории формально значительно упрощается, причем чем выше степень абстракции, тем
формально проще излагается данная теория. Однако, приходится констатировать, что
подобное формальное упрощение теории неизбежно сопровождается понижением
уровня ее наглядности и, как следствие, усложнением ее восприятия. Другими словами,
чем выше уровень формализации, тем проще формальное изложение теории, и тем
сложнее ее восприятие.
В связи с этим естественным образом возникает вопрос о нахождении
оптимального соотношения между уровнем абстрактности и уровнем наглядности
предлагаемого учебного материала при преподавании мате- матических дисциплин.
Очевидно, ответ на этот вопрос далеко неоднозначен; это соотношение определяется
несколькими факторами: прежде всего, целями и задачами, стоящими перед студентами
при изучении этих дисциплин, а также степенью подготовленности студенческой
аудитории. Действительно, если речь идет о студентах естественно-научных
факультетов университетов, то высокая степень абстракции при изложении всех разделов высшей математики не только допустима, но и желательна.
Если рассматривается обучение студентов технических вузов, то, по всей
видимости, следует искать некий промежуточный вариант, обеспечивающий и
достаточный уровень абстрактности, и достаточную наглядность изложения материала.
Если же мы имеем в виду студентов экономических и гуманитарных специальностей, то,
скорее всего, нужно придерживаться наибольшей наглядности в преподавании всех
математических дисциплин. Наглядность любой математической теории (основных
понятий, фактов, теорем) обеспечивается возможностью ее геометрической
интерпретации. Поэтому важно при изложении всех, а особенно начальных тем, где
даются определения основополагающих понятий, исходить из геометрического смысла
этих понятий.
Это относится, прежде всего, к темам «Теория пределов», «Производная
функции», «Неопределенные и определенные интегралы». Так, например, наиболее
часто при рассмотрении понятия предела числовой последовательности используется
определение этого понятия в форме Коши [1]: число а называется пределом числовой
последовательности {х n }, если для любого (сколь угодно малого) числа є > 0 найдется
номер n є , начиная с которого выполняется неравенство | а — х n | < є. Заметим, что такое
формальное определение с трудом воспринимается некоторой частью студентов
естественнонаучных и математических специальностей Белорусского государственного
университета, что же касается студентов экономических специальностей, то они это
определение не понимают совсем.
Поэтому предлагается при определении предела последовательности сначала
определить предел последовательности точек плоскости, применяя понятные даже
интуитивно понятие точки сгущения такой последовательности и расходящейся
последовательности: под точкой сгущения понимается такая точка плоскости, вблизи
которой находится бесконечно много членов данной последовательности;
последовательность точек плоскости называется расходящейся, если она не имеет ни
183
одной точки сгущения. Тогда
говорят, что данная последовательность точек плоскости
имеет предел, если она имеет единственную точку сгущения, и при этом ни одна ее
подпоследовательность не является расходящейся. После этого можно дать определение
предела числовой последовательности, рассматривая ее как частный случай
последовательности точек плоскости.
Заметим, что такой подход удобен не только своей наглядностью, но и
возможностью его использования при определении предела функции, при этом плохо
понимаемое аналитическое определение заменяется наглядным определением, которое
оперирует графиком функции, хорошо знакомым студентам еще со школьного курса
математики.
Литература
1. Гусак, А.А. Высшая математика: Учебник для студентов вузов: в 2 т . / А.А.
Гусак. - 6-е изд. - Минск: ТетраСистемс, 2007. - Т. 1. - 544 с.
184